Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Transkript

1 Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 29/5/218, 9: 11: ➊ (8 bod ) Pro parametry a > a b R vypo t te ur itý integrál e ax2 cos(bx2 ) 1 x Uºijte v tu o derivaci integrálu s parametrem. Spln ní p edpokladu o m itelnosti nezd vod ujte! ➋ (5 bod ) Nalezn te sm r s E r, v n mº graf funkce g(x) C 1 (U δ ( a)) stoupá v bod a nejstrm ji. Pro je výhodné p edpokládat, ºe funkce leºí v C 1 (U δ ( a))? Úlohu e²te obecn teoreticky a uºitý postup vhodn komentujte! ➌ (1 bod ) e²te parciální diferenciální rovnici xy 2 u x 2 (x2 + y 2 ) 2 u x y + xy 2 u y 2 + y u x + x u y =. Uºijte k tomu substituci r = x 2 + y 2, s = xy. ➍ (9 bod ) Vy²et ete lokální extrémy funkce g(x, y, z) = xyz na mnoºin B = {(x, y, z) E 3 : xy + 2(xz + yz) = 3. ➎ (9 bod ) Nech je vytvo ující funkcí φ(x) = { Θ(x)x 2... x 2; 3(x + 1)... x > 2; zadána jednodimenzionální míra µ(x). Podle denice Lebesgueovy míry vypo ítejte µ({ 2) a µ({2). Dále pak ur ete hodnotu integrálu x 2 dµ(x). 1,2 ➏ (9 bod ) Vypo t te y ovou sou adnici t ºi²t t lesa T = { (x, y, z) R 3 : ( x a + y b) 2 + z 2 c 2 x a + y b x, y, z.

2 Zkou²ková písemná práce. 2 z p edm tu 1MAB4 5/6/218, 9: 11: Vypo ítejte obsah a z ovou sou adnici t ºi²t plochy S = { (x, y, z) E 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 16 z > 2. ➋ (1 bod ) Vy²et ete lokální extrémy funkce g(x, y, z) = xy 2 z 2 na mnoºin G = {(x, y, z) E 3 : x, y, z > x2 4 + y4 + z4 16 = 3. ➌ (7 bod ) Pro funkci g(x, y) = { y 2 x+y x 2 +y 2... (x, y) (, );... (x, y) = (, ); rozhodn te, zda existuje její totální diferenciál v bod (, ). ➍ (9 bod ) Rozvi te funkci g(x, y) = arcsin(x + y 2 ) do Maclaurinovy ady. Výsledek upravte do tvaru ady s dvojitou sumou a dvojnými faktoriály. Jaký je výsledný obor konvergence? Pe liv ho na rtn te do obrázku! ➎ (5 bod ) Podle denice ukaºte, ºe funkce g(x) = x je λ m itelná. ➏ (1 bod ) Nech a, b, c >. Vypo t te klasickou Lebesgueovu míru λ 3 (Y) mnoºiny (( x Y = (x, y, z) R3 : x, y > a + y ) 2 z 2 ) 7/2 ( x + b a b) + y 4 z 4. c 2 c 4

3 Zkou²ková písemná práce. 3 z p edm tu 1MAB4 12/6/218, 9: 11: ➊ (7 bod ) Pro bazén tvaru kvádru je k dispozici 48m 2 obkladacích dlaºdic. Jak je nutno zvolit rozm ry kvádru, aby m l bazén nejv t²í moºný objem? ➋ (1 bod ) Nech a >. Vypo ítejte A xy dµ c(x, y), kde A = { (x, y) R 2 : (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 y 2 ) x > y >. ➌ (1 bod ) Pro parametry α, β 1 vypo t te ur itý integrál ln(x 2 + β 2 ) ln(x 2 + 1) x 2 + α 2 ➍ (5 bod ) Kruh (x 6y + 1) 2 + (3y x 2) 2 a 2 má obsah rovný t em. ƒemu se rovná a? ➎ (1 bod ) Výraz 2 u y 2 p eve te do sou adnic r, s zavedených vztahy x = r cos 2 (s), y = r sin 2 (s). ➏ (8 bod ) Ve kterých bodech je te ná rovina k plo²e rovnob ºná s rovinou z = 777? x 2 4xy + 2xz + 5y 2 8yz + 2y + 6z =

4 Zkou²ková písemná práce. 4 z p edm tu 1MAB4 26/6/218, 9: 11: Nech a, b, v > jsou pevné kladné hodnoty. Vypo ítejte integrál ( x 4 D a 4 y4 b 4 ) d(x, y, z) p es mnoºinu D = {(x, y, z) R 3 : x4 a 4 + y4 b 4 2z < x a > y b > < z < v. ➋ (9 bod ) Pro funkci g(x, y) = x 2 y 4y + 2 x 2 y 2... x y, 2e x+6y... x = y, vypo ítejte sm rovou derivaci ve sm ru s = (1, 1) v bod (, ) a hodnotu s gradg(,) s ob ma výsledky. Jaký fakt z n ho vyplývá? a diskutujte vztah mezi ➌ (4 body) Nech A R je lebesgueovsky NEm itelná mnoºina. Nech { 3... x A, h(x) = 3... x R \ A. Rozhodn te, zda jsou funkce h(x) a h(x) m itelné. ➍ (8 bod ) Nech a, b, c > jsou pevné kladné hodnoty. Pro bikubickou plochu x 4 a 4 y4 b 4 + z4 c 4 = 1 nalezn te univerzální tvar te né roviny v jejím bod (x, y, z ). Výsledek upravte do elegantního tvaru inspirovaného známými st edo²kolskými tvary te ných p ímek ke kuºelose kám (viz stránka vloºená do zadání). ➎ (1 bod ) Vy²et ete lokální extrémy funkce f (x, y, z) = sin(2x) sin(y) sin(2z) na mnoºin A = { (x, y, z) E 3 : 4x + 2y + 4z = π x > y > z >. ➏ (1 bod ) Pro parametry α, β > vypo t te ur itý integrál arctg(αx) arctg(2x) x ( 1 + β 2 x 2)

5 Zkou²ková písemná práce. 5 z p edm tu 1MAB4 4/9/218, 9: 11: Vy²et ete lokální extrémy funkce u(x, y) zadané implicitn rovnicí 4u 3 + y(2u 2 + x + 4) x = 2. ➋ (7 bod ) Rozhodn te, má-li funkce f (x, y) = x 2 y + 3x + 2; x 2 +y 2 (x, y) (, ); 2; (x, y) = (, ); totální diferenciál v po átku. ➌ (9 bod ) Nech je vytvo ující funkcí φ(τ) = τ 3 zadána dvoudimenzionální míra µ(x). Vypo ítejte x 2 + y 2 dµ(x, y). x 2 +y 2 <3 ➍ (4 body) V integrálu invertujte integra ní po adí. 2 4x+8 1 4x 2 f (x, y) dydx ➎ (9 bod ) Nech a, c > jsou pevn zvolené parametry. Vypo t te integrál z (x 2 + y 2 ) d(x, y, z), A kde A = {(x, y, z) E 3 : x2 + y 2 a 2 + z4 c 4 1. ➏ (12 bod ) e²te parciální diferenciální rovnici 3x 2 2 u x 2 + 2x 2 u x y 2 u y 2 + u y =. Uºijte transforma ních vztah r = x e y, s = x e 3y. Zapi²te také maximální mnoºinu regularity zadané transformace.