Kapitola 1. Teorie portfolia. 1.1 Výnos a riziko akcie

Transkript

1 Kapitola 1 Teorie portfolia 1.1 Výnos a riziko akcie Výnosem akcie rozumíme míru zisku, která plyne z investice do akcie. Tento zisk se v t²inou skládá ze dvou sloºek kapitálového výnosu a výnosu z dividend. Kapitálový výnos realizujeme nákupem akcie a jejím pozd j²ím prodejem za vy²²í cenu. Kapitálový výnos je hlavní motivací ke spekulativním obchod m s akciemi. Dividendový výnos získáváme z dividend vyplacených b hem drºení akcie. Ozna íme-li ceny akcie p i nákupu a prodeji P t 1, P t a dividendy vyplacené b hem tohoto období D t, lze výnos z této akcie za sledované období ur it (bez ohledu na asové rozloºení dividend 1 ) dle následujícího vztahu: r t = (P t P t 1 ) + D t P t 1 (1.1) Pozn. V této kapitole budeme ve shod s v t²inou literatury na toto téma pouºívat pro výnos zna ení r místo dosud pouºívaného i. Pokud uvaºujeme m období v celkové délce n, ur íme pr m rný výnos za asovou jednotku jako geometrický pr m r výnos za jednotlivá období. ( m 1/n ˆr = (1 + r t )) 1 (1.2) t=1 Celkovvý výnos ur íme z principu stejných výnosu dle vztahu: 1 + r G = m (1 + r t ) (1.3) t=1 1 v t²inou bereme asové období s výplatou jedné dividendy 1

2 2 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA P íklad 1.1. Dále jsou uvedeny výnosy ze p t období. Ur ete celkový výnos, pr m rný ro ní výnos a pr m rný m sí ní výnos. Období r t e ení Ur íme celkový výnos 1 + r G = ( )( )( )( )( ) = a poté pr m rný ro ní výnos za 5.5 roku ˆr r = /5.5 1 = a pr m rný m sí ní výnos za 66 m síc ˆr m = /66 1 = Celkový výnos je 15.13%, pr m rný ro ní výnos je 2.59% a pr m rný m sí ní výnos je 0.21% Na výnosy akcie pohlíºíme jako na náhodné veli iny. St ední hodnotu t chto náhodných veli in budeme povaºovat za st ední výnos a sm rodatnou odchylku (rozptyl) za riziko (volatilitu). V t²í sm rodatná odchylka znamená v t²í vychýlení a tedy v t²í riziko dané akcie. Pokud výnosy akcie ze jednotlivá období mají stejné rozd lení, potom jejich st ední hodnotu r a riziko m ºeme odhadnout následujícími nestrannými odhady. u t = ln (1 + r t ) (1.4) ˆr = 1 N u t (1.5) N t=1 ˆσ = 1 N (r t ˆr) N 1 2 (1.6) t=1

3 1.2. KONSTRUKCE PORTFOLIA 3 P íklad 1.2. V následující tabulce jsou uvedeny kursy akcie na konci posledních m síc spolu s eventuální výplatou dividendy. Odhadn te m sí ní st ední výnos a riziko a ro ní st ední výnos a riziko. M síc P t D t r t = (P t P t 1 + D t)/p t 1 u t Suma e ení î = = ˆσ = M sí ní st ední výnos je 1.432% a riziko je 4.415% P ibliºný ro ní st ední výnos je 12 0, = 17.19% a ro ní riziko 12σ = = 15.29% Snahou investora je dosáhnout maximální výnos p i minimálním riziku. Taková ideální investice neexistuje. Velký výnos sebou nese i velké riziko. Pro daný výnos je moºné sníºení rizika konstrukcí souboru investi ních instrument do portfolia. 1.2 Konstrukce portfolia Na trhu investujeme do r zných titul a vytvá íme tak diverzikované portfolio. Kombinací r zných aktiv vytvá íme portfolio dle svých p edstav v t²inou vzhledem k poºadovanému výnosu i minimalizaci rizika. Problematikou konstrukce takových portfolií se zabývá teorie portfolia.

4 4 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA Portfolia v t²inou zobrazujeme gracky v rovin riziko-výnos, která se také nazývá (σ, r) - rovina. Kaºdému portfoliu v této rovin odpovídá jeden bod s daným výnosem a rizikem portfolia. Porfolio tvo ené pouze akcií z p íkladu 2 bude v (σ, r)-rovin znázorn no bodem se sou adnicemi [15.15,18.41]. Teorie porfolia ukazuje postupy konstrukce potfolií s poºadovaným výnosem a p im eným rizikem. Výhodnou vlastností takto konstruovaných porfoliích je riziko men²í neº je riziko aktiv, které tvo í portfolio. Vyuºíváme záporné korela ní koecienty mezi aktivy v portfoliu. Nap. máme zastoupená aktiva vojenského pr myslu a rem zabývajících se turistikou a rekreací. V praxi není nutné kombinovat aktiva se zápornou korelací, posta ují i aktiva s mírn pozitivní korelací a men²í. Investo i tak asto pouºijí aktiva, do kterých by vzhledem k malé výnosností i velkému riziku nikdy neinvestovali. Investo i se li²í svou averzí v i riziku, která m ºe být vyjád ena v (σ, r)- rovin indiferen ními k ivkami. ƒím je investorova averze v i riziku v t²í, tím je jeho indeferen ní k ivka strm j²í. B ºní investo i se p i daném riziku snaºí maximalizovat výnos a nebo pro poºadovaný výnos minimalizovat riziko. Portfolio vytvo ené dle t chto poºadavk e²ením optimaliza ní úlohy, nazýváme ecientní potfolio. Pro následující výklad budeme pouºívat toto zna ení Základní pojmy r i výnos i-tého aktiva (náhodná veli ina) r i st ední hodnota E(r i ) i-tého aktiva σ(r i ) = σ i = σ ii riziko i-tého aktiva cov(r i, r j ) = σ ij kovariance mezi i-tým a j-tým aktivem w i váha (pom r) ur ující zastoupení i-tého aktiva v portfoliu Uvaºujeme portfolio sloºené obecn z K aktiv. Cílem p i konstrukci portfolia poºadovaných vlastností (výnos, riziko) je tedy ur it hodnotu vah w 1,..., w K. Hodnota vah není omezena pouze na nezáporná ísla, ale p ipou²tíme i zápornou hodnotu. V takovém p ípad se jedná o výp j ní portfolio s úrokovou sazbou r i, které m ºe být reprezentováno prodejem daného aktiva na krátko. Abychom mohli konstruovat poºadované portfolio, uvádíme dále zp sob výpo tu výnosu a rizika celého portfolia. ( K ) r = E w i r i = w i E(r i ) = w i r i (1.7)

5 1.2. KONSTRUKCE PORTFOLIA 5 ( K ) σ 2 = var w i r i = w i w j σ ij = j=1 K 1 wi 2 σi j=i+1 Kovariance σ ij odhadneme z dat stejn jako ve vztahu 1.6. w i w j σ ij (1.8) ˆσ ij = 1 N 1 l=1 (r i,l r i )(r j,l r j ) = 1 N 1 1 r i,l r j,l N(N 1) l=1 l=1 r i,l K r j,l (1.9) Nyní jiº m ºeme ur it st ední výnos a riziko portfolia vyuºitím vztah 1.7 a 1.8, ve kterým místo st edních výnos r i pouºijeme jejich odhady ˆr i a místo kovariancí σ ij odhady ˆσ ij Konstrukce portfolia ze dvou aktiv Pro zjednodu²ení analyzujme nejd íve portfolio skládající se ze dvou aktiv. Vzorce 1.7 a 1.8 p epí²eme do následujícího tvaru pro K = 2. l=1 r = w 1 r 1 + (1 w 1 ) r 2 (1.10) σ 2 = w 2 1σ (1 w 1 ) 2 σ w 1 (1 w 1 )σ 1 σ 2 ρ 12 (1.11) kde ρ 12 = σ 12 /(σ 1 σ 2 ) je korela ní koecient mezi výnosy obou aktiv. Pokud ρ 12 = 1 je mezi výnosy obou aktiv vztah p ímé úm rnosti, pokud ρ 12 = 1, je mezi výnosy vztah nep ímé úm ry a pokud ρ 12 = 0, jsou výnosy navzájem nekorelované. Na obrázku 1.1 jsou znázorn na v (σ, r)-rovin v²echna moºná portfolia pro aktivum s výnosem r 1 = 11% a rizikem σ 1 = 14% a aktivum s výnosem r 2 = 6% a rizikem σ 2 = 8%. Jednotlivá portfolia na vybrané k ivce se li²í hodnotou w 1 a w 2 = 1 w 1. Jednotlivé k ivky jsou mnoºinou p ípustných portfolií pro daný korela ní koecient. Zvýrazn ny jsou mnoºiny pro hodnoty koecient ρ 12 { 1, 0, 1}. Pro ρ 12 = 1 je takovou mnoºinou p ímka, procházející ob mi aktivy, pro ρ 12 = 1 je touto mnoºinou lomená ára, procházející aktivy a pro ρ 12 = 0 je to parabolická k ivka, procházející danými

6 6 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA ρ 12 = 1 výnos ρ 12 =1 ρ 12 = riziko σ Obrázek 1.1: P ípustná portfolia s r zným korela ním koecientem aktivy. P ípustná portfolia s vahou 0 w 1 1 (resp. 0 1 w 1 1) leºí na úse kách i k ivkách mezi body znázor ujícími pouºitá aktiva. Záporné hodnoty w 1 (w 2 ) znamenají prodej daného aktiva nakrátko. Pokud nalezneme pomocí derivace vztahu 1.11 dle prom né w 1 a jejího nulování minimální hodnotu σ 2, ur íme hodnotu w1 pro p ípustné portfolio s minimálním rizikem. w 1 = σ 2 2 σ 1 σ 2 ρ 12 σ σ 2 2 2σ 1 σ 2 ρ 12 (1.12) w 2 = 1 w 1 (1.13) Pomocí vztah 1.10 a 1.11 jiº snadno ur íme minimální moºné riziko σ a odpovídající výnos portfolia pouºitých aktiv r. Na záv r n kolik poznámek. Investor v t²inou neuvaºuje portfolia, která mají výnos men²í neº r. Proto akceptuje portfolia pouze z horní asti k ivky mnoºiny p ípustných portfolií. Pokud promítneme do obrázku 1.1 p ípadné indeferen ní k ivky investora, zjistíme, ºe "strm j²í"k ivky (investor averzní v ºi riziku) se dotýkají k ivky p ípustných portfolií v bod s men²ím rizikem

7 1.2. KONSTRUKCE PORTFOLIA 7 ale i výnosem neº je to v p ípad "pozvoln j²í"k ivky investora s v t²í ochotou riskovat. Z obrázku je patrna i moºnost konstrukce portfolií s rizikem men²ím neº riziko obou uvaºovaných aktiv Konstrukce portfolia z K aktiv Pokud tvo íme portfolio z K aktiv a p edpokládáme nezáporné váhy w i 0 pro i {1,..., K} (nep ipou²tíme prodej na krátko), potom mnoºina p ípustných portfolií má typický "de²tníkový"tvar (umbrella shape). Na severozápadní hranici (ecient frontier) této mnoºiny leºí ecientní portfolia rizikov averzního investora. Tato optimální portfolia p i pevn daném st edním výnosu r minimalizují riziko resp. p i daném riziku σ maximalizuji st ední výnos. P íklad 1.3. Ur ete v²echna p ípustná portfolia sestavená z akcií 5 uvedených spole ností. Vývoj výnos jednotlivých titul za posledních 10 období je uveden v tabulce. P edpokládejte pouze nákupy akcií. Období a.s. A a.s. B a.s. C a.s. D a.s. E ˆr i ˆσ i e ení Pomocí vztah 1.7 a 1.8 ur íme pro v²echny kombinace vah w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 0, 1, pro které platí 5 w i = 1, hodnoty r a σ 2 (σ). Dvojice [σ, r] ur ují jednotlivá p íspustná portfolia. Na obrázku 1.2 jsou zobrazena portfolia v (σ, r)-rovin. Mnoºina p ípustných portfolií tvo í typický "de²tníkový"tvar (umbrella shape).

8 8 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA 0.14 Pripustna portfolia E(r) Riziko σ x 10 3 Obrázek 1.2: P ípustná portfolia tvo ená 5 aktivy Základním problémem je hledání daného ecientního portfolia, neboli k pevn danému st edním výnosu nalézt minimální riziko i k pevn danému riziku ur it odpovídající maximální st ední výnos. e²íme tedy následující optimaliza ní úlohu: min σ 2 = w 1,...,w K s následujícími podmínkami w i w j σ ij (1.14) j=1 r = w i r i (1.15) w i = 1 (1.16) w i 0 i {1,..., K} (1.17) Podmínky (omezení) zaji² ují vstupní poºadavky zaji² uje nalezení p ípustného portfolia, 1.16 zaru í investici v²ech prost edk do daného port-

9 1.2. KONSTRUKCE PORTFOLIA 9 folia a 1.17 umoº uje pouze nákupy akcií. Pokud umoº ujeme i prodeje nakrátko, poslední omezení neuvaºujeme. Uvedený optimaliza ní problém je úlohou kvadratického programování. e²ením této optimaliza ní úlohy nalezneme pro daný st ední výnos r p ípustné ecientní portfolio s minimálním rizikem. Následující modikace optimaliza ní úlohy ur í pro r zné parametry 0 θ 1 v²echna p ípustná ecientní portfolia. min σ 2 = θ w 1,...,w K s následujícími podmínkami w i w j σ ij (1 θ) j=1 w i r i (1.18) w i = 1 (1.19) w i 0 i {1,..., K} (1.20) Existují r zné algoritmy pro e²ení vý²e uvedených optimaliza ních úloh. Zájemci mohou najít jedno z moºných e²ení v [Cipra, 2000] str P íklad 1.4. Sestavte portfolio za 1 mil. K z p ti titul p íkladu 3. Ur ete rozloºení portfolia tak, aby jste minimalizovali riziko. e ení Úkolem je nalézt mnoºinu ecientních portfolií a ur it portfolio s minimálním rizikem z této mnoºiny. Z uvedených hodnot sestavíme kovarian ní matici a poté eventuáln matici korela ní

10 10 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA Nyní máme jiº v²echny údaje pot ebné pro výpo et st edních o ekávaných výnos a rizik porfolií a ur ení ecientních portfolií z nichº hledaná portfolia rizikov averzního investora leºící na severozápadní hranici ukazuje obrázek 1.3. K výpo tu lze pouºít nap. Matlab a funkcí ewstats a frontcon (portopt) Eficientni portfolia E(r) Riziko σ x 10 3 Obrázek 1.3: Ecientní portfolia tvo ená 5 aktivy Následující tabulka ukazuje 10 vybraných portfolií leºících podél ecientní hranice. V tabulce je pro kaºdé portfolio ur en výnos, riziko jako standartní odchylka a váhy ur ující pom rné zastoupení jednotlivých aktiv v portfoliu. ˆr [%] ˆσ A [%] B [%] C [%] D [%] E [%]

11 1.2. KONSTRUKCE PORTFOLIA 11 Z tabulky lze ur it výnos % portfolia s minimálním rizikem. Toto portfolia sestrojíme tak, ºe nakoupíme akcie A za K, akcie B za K, akcie C za 400 K, akcie D za a akcie E za K. Rizika v²ech uvedených portfolií jsou men²í nebo rovna neº rizika pouºitých aktiv Konstrukce portfolia s bezrizikovým aktivem V této asti analyzujeme portfolio, ke kterému jsme p idali bezrizikové aktivum (nap. krátkodobé SPP). Portfolio tvo ené pouze tímto aktivem leºí v rovin (σ, r) na svislé ose s nulovým rizikem. Mnoºina ecientních portfolií musí tedy obsahovat toto portfolio, ale take portfolio s maximálním výnosem leºící v mnoºin ecientních portfolií. K ivka p edstavující ecientnií portfolia se v tomto p ípad m ní na polop ímku s po átkem v bezrizikovém portfoliu a procházejícím portfoliem na p vodní k ivce ecientních portfolií, ve kterých je výnos maximální neboli p ímka je te nou k p vodní k ivce ecientních portfolií. Bod, ve kterém se te na dotýka k ivky ozna íme M (trºní portfolio, market portfolio). V²echna portfolia s bezrizikovým aktivem jsou kombinací bezrizikového portfolia a portfolia reprezentovaného bodem M. Uvedená p ímka se d lí na 2 polop ímky. Od bezrizikového portfolia k bodu M, ve kterém jsou portfolia sestavena áste n z bezrizikového aktiva (portfolio na svisle ose se skládá pouze z bezrizikového aktiva) a zbytek z aktiv s nenulovým rizikem. Výnos maximalizujeme portfoliem znázorn ným bodem M. Polop ímka od bodu M dále sm rem od bezrizikového portfolia p edstavuje portfolia tvo ená pouze aktivy s nenulovým rizikem, jejichº nákup jsme z ásti pokryli vlastními zdroji a ást jsme nancovali z p j ky za danou úrokovou sazbu. Dosti asto se pouºívá r f. V tomto p ípad je váha mnoºství bezrizikového aktiva záporná a celková váha ostatních aktiv je v t²í neº jedna. K dosud pouºívaným váhám pro riziková aktiva v portfoliu lze nyní p idat i váhu w r, která ur uje podíl bezrizikových aktiv. Pro v²echny váhy aktiv v portfoliu s K rizikovými aktivy nyní platí: w i + w r = 1 (1.21) Pokud w r = 0, portfolio se skládá pouze z rizikových aktiv (portfolio M). Jestliºe w r > 0, portfolio zahrnuje i investici do bezrizikových aktiv (nákup SPP). Jestliºe w r < 0, p j ili jsme si za bezrizikovou sazbu a investovali jsme do dal²ích rizikových aktiv. Pro w r = 1 jsme sestavili bezrizikové portfolio. P íklad 1.5.

12 12 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA Ur ete v²echna portfolia sestavená z akcií 5 spole ností z p íkladu 3 a bezrizikové SPP s výnosem 11.5%. Dal²í prost edky si lze p j it za 11.5%. e ení e²ení je výsledkem optimaliza ní úlohy, ve které hledáme optimální (s maximálním výnosem) ecientní portfolio, které je zárov bodem p ímky, procházející bezrizikovým portfoliem na svislé ose v bod 11.5%. Hledáme tedy bod M na k ivce ecientních portfolií, kterým lze vést te nu ke k ivce, procházející bezrizikovým portfoliem. Portfolia mezi hledaným bodem M a bezrizikovým portfoliem jsou tvo ena rizikovými aktivy (rizikovým portfoliem) a bezrizikovým aktivem. Optimální rizikové portfolio s maximálním výnosem je tvo eno pouze 5 rizikovými aktivy (rizikové portfolio). K výpo tu lze pouºít nap. Matlab a funkcí ewstats, portopt a portalloc. Výsledek je na obrázku Portfolia s bezrizikovym aktivem Eficientni portfolia Optimalni portfolio vzhledem k riziku Optimalni rizikove portfolio E(r) M r f Riziko σ Obrázek 1.4: Portfolia obsahující bezrizikové aktivum Z obrázku je patrná alokace optimálního rizikového portfolia s výnosem 13.10% a rizikem 0.74%. Toto portfolio se skládá ze 76.91% z aktiva B, 1.45% aktiva D a 21.64% aktiva D. Na obrázku je znázorn no i optimální portfolio vzhledem k zadanému riziku. Toto porfolio leºí na polop ímce s po átkem v bod M sm rem od bezrizikového

13 1.3. MODEL OCEŒOVÁNÍ KAPITÁLOVÝCH AKTIV 13 portfolia. Proto se skládá pouze z rizikových aktiv, na které si áste n p j íme za úrokovou sazbu 11.5%. Váha rizikového portfolia (rizikových aktiv) bude tj % prost edk si p j íme. Výnos tohoto portfolia bude 13.81% p i poºadovaném riziku 1.08%. 1.3 Model oce ování kapitálových aktiv P ímka kapitálového trhu P ímka, kterou jsme zkonstruovali v p íkladu 5 se nazývá p ímka kapitálového trhu - CML (Capital Market Line). V rámci daného kapitálového trhu se pouºívá pro stanovení st edního výnosu nebo rizika ecientního portfolia. Rovnici této p ímky odvodíme dále. Uvedený p íklad ukázal také existenci portfolia ozna eného bodem M. Doplníme p íklad sestavením modelu pro optimaliza ni úlohu, která nalezné dane portfolio. Cílem je tedy nalézt obecn hodnotu vah w 1,..., w K uvaºovaných K aktiv, které tvo í v nalezených podílech portfolio M. Krom jiº zavedeného zna ení ozna me r M, σ M výnos a riziko hledaného portfolia. Kaºdé ecientní portfolio na p ímce r f M je kombinací podílu w bezrizikového aktiva a 1 w rizikového portfolia M. To ukazují následující vztahy: r = wr f + (1 w) r M σ = (1 w)σ M Vyjád íme w z druhého vztahu a dosadime do prvního. Dostaneme tak hledaný vztah r, σ pro kaºdé portfolio na p ímce. r = r f + r M r f σ M σ (1.22) Podobn bychom mohli najít vyjád ení p ímky pomocí dvou bod na této p ímce [0, r f ], [σ M, r M ]. Jak tedy najdeme portfolio M tj. jeho riziko-výnos [σ M, r M ]? Snaºíme se najít takovou p ímku, obsahující bezrizikové aktivum, která obsahuje ecientní portfolio M, mající maximální výnos. Taková p ímka je te nou ke k ivce ecientních portfolií v bod M. Optimaliza ní úloha je tedy maximalizací sm rnice p ímky za vztahu 1.22 p i spln ní v²ech uvedených podmínek. Portfolio M je ecientním portfoliem tj. jeho riziko-výnos

14 14 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA spl ují vztahy 1.7 a 1.8 a sou asn pro hledané váhy w i 0, i {1,..., K} platí K w i = 1. Na základ uvedeného m ºeme sestavit následující optimaliza ní úlohu. s následujícími podmínkami max w 1,...,w K r r f σ (1.23) σ 2 = r = w i r i (1.24) K 1 wi 2 σi j=i+1 w i w j σ ij (1.25) w i = 1 (1.26) w i 0 i {1,..., K} (1.27) Dosazením do kriteriální funkce dostaneme kone nou podobu optimaliza ní úlohy max w 1,...,w K s následujícími podmínkami K w i r i r f ( K w2 i σ2 i + 2 K 1 ) 1/2 (1.28) K j=i+1 w iw j σ ij w i = 1 (1.29) w i 0 i {1,..., K} (1.30) e²ením úlohy je vektor vah, které ur ují podíl jednotlivých aktiv v optimálním portfoliu. Z p edcházejících úvah vyplývá, ºe investo i konstruují svá portfolia kombinací rizikových aktiv, bezrizikového aktiva i investicí za p j ené prost edky se sazbou r f. Kaºdý investor vºdy sestavuje rizikové portfolio, které má optimální proporce p edstavované bodem M. Podíly kaºdého aktiva jsou v rizikové skupin portfolií pro kaºdého investora nezávislé na individuálních preferencích kaºdého z nich. Vlastní portfolio investora je poté ur eno dle jeho preferencí bodem dotyku investorovi indeferen ní k ivky s p ímkou kapitálového trhu. Toto nijak neovliv uje poloºení bodu M.

15 1.3. MODEL OCEŒOVÁNÍ KAPITÁLOVÝCH AKTIV Trºní portfolio Abychom nemuseli portfolio M konstruovat z velkého mnoºství aktiv na trhu, pouºíváme tzv. trºní portfolio, market portfolio, které reprezentuje kapitálový trh. Toto portfolio by m lo zahrnout v²echna aktiva kapitálového trhu a s vahami, odpovídajícími jejich skute nému podílu na trhu. V praxi se jako trºní portfolio pouºívá vhodný trºní index. Kaºdé portfolio poté m ºeme sestavit jako kombinaci tohoto trºního portfolia a bezrizikového aktiva P ímka trhu cených papír Podívejme se na vyjád ení sm rnice v kriteriální funkci 1.28 z pohledu libovolného uvaºovaného aktiva a jeho kombinace s popsaným trºním portfoliem. Na rozdíl od CML nyní neuvaºujeme pouze ecientní portfolia s aktivy pln korelujícími s trºním portfoliem, ale hledáme vztah mezi výnosem libovolného aktiva a trºního portfolia neboli trhu za p edpokladu, ºe toto aktivum nemusí korelovat s trºním portfoliem. Sestavujeme tedy libovolné p ípustné portfolio. Pomocí tohoto portfolia nalezneme sm rnici p ímky zkoumaného aktiva neboli p ímku trhu cenných papír - SML (Security Market Line) i charakteristickou p ímku. Dále budeme st ední výnos zkoumaného aktiva zna it r i a pomocí vztah 1.7 a 1.8 vytvá íme portfolia s výnosy a rizikem r p, σ p. r p = w r i + (1 w) r M (1.31) σ p = [w 2 σ 2 i + (1 w) 2 σ 2 M + 2(1 w)σ i,m ] 1/2 (1.32) Hledáme vztah mezi r p a σ p jako funkci váhy w. Tento vztah je vlastn sm rnicí dané funk ní závislosti r p = f(σ p ). V tomto p ípad ur ení této sm rnice není tak triviální jako v p edcházejícím. Sm rnici najdeme jako první derivaci dané funkce podle σ p. r p σ p = d r p dw dσ p dw (1.33) Dosadíme výnos a riziko pomocného portfolia ze vztah 1.31 a 1.32 a zderivujeme. V nalezené derivaci poloºíme w = 0, coº je derivace v bod M, která musí být sm rnicí p ímky procházející bodem M tj. CML p ímky a je tedy shodná se sm rnicí ze vztahu To vede k následujícímu vztahu. r i r M ( σ 2 M + σ i,m)/σ M = r M r f σ M (1.34)

16 16 KAPITOLA 1. TEORIE PORTFOLIA Z tohoto odvodíme hledané vyjád ení vztahu mezi výnosem aktiva a rizikem trºního portfolia. r i = r f + ( r M r f ) σ i,m σ 2 M = r f + ( r M r f )β (1.35) kde koecient β = σ i,m σ 2 M (1.36) je míra beta, která m í systematické riziko plynoucí ze vztahu výnos daného aktiva k výnos m trºního portfolia. Rovnice 1.35 je vyjád ením SML p ímky neboli vyjád ením lineární závislosti st edního výnosu libovolného aktiva na systematickém riziku daném mírou beta. Daný vztah m ºeme p epsat do následující podoby r i = r f + r M r f σ M ρ i,m σ (1.37) který p ipomíná vztah Pro aktivum pln korelované s trºním portfoliem ρ i,m = 1 se p ímka SML stává p ímkou CML.

17 Literatura [Cipra, 2005] CIPRA T.: Pr vodce nan ní a pojistnou matematikou,, Praha 2005, ISBN [Cipra, 2000] CIPRA T.: Matematika cenných papír, Edice HZ, Praha 2000, ISBN