Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Transkript

1 Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x)) = q(x) }. Co je bází ve W 0 a jak vypadá W q, je-li ➋ (7 bod ) Vy²et ete obor konvergence mocninné ady ˆL = d3, q(x) = 42? dx3 ( 1 ) n (3n)!!! (x + 5) n 4 (3n + 2)!!! n + 1. ➌ (10 bod ) Rozhodn te, zda je moºno derivovat adu funkcí ( 1) n 1 8n 2 + x 2 na mnoºin R len po lenu. Korektn a detailn zd vodn te! ➍ (8 bod ) Nalezn te formální e²ení diferenciální rovnice 2y + x + y x + 2y = y x vyhovující podmínce y(2) = 0. Výsledek upravte do nejjednodu²²ího moºného tvaru. ➎ (6 bod ) Nalezn te íselnou adu reprezentující hodnotu integrálu 2 0 sinh(x 2 ) x 2 dx. ➏ (6 bod ) Pro jaké x 2, 8 je sou et ady n=0 ( 1) n xn (3n)!!! nejmen²í? V p ípad pot eby je moºno uºít odhad ln(2). 9 2

2 Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta B st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (4 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x)) = q(x) }. Sestavte lineární diferenciální rovnici, pro niº [x, 1x ], 1 W 0 =. λ ➋ (7 bod ) Vy²et ete obor konvergence mocninné ady (2n)!! (3n + 1)!!! (x 3) n. n ➌ (9 bod ) Weierstrassovým kritériem rozhodn te o stejnom rné konvergenci ady funkcí na mnoºin R. (3n)!!! (3n + 2)!!! x 2 2x 6 + n 6 ➍ (8 bod ) e²te diferenciální rovnici y (x 2 + x 4 ) x(3 + 2x 2 )y + (3 + 2x 2 )y = 0. ➎ (6 bod ) Se t te íselnou adu ( 1) n 1 2n n n=0 ➏ (6 bod ) Pro jaké x 1, 4 je sou et ady n=0 ( 1) n x2n (4n)!!!! nejmen²í? V p ípad pot eby je moºno uºít odhad ln(2)

3 Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta C st eda 2. prosince 2015, 15:2017:20 ➊ (9 bod ) Abelovým kritériem rozhodn te o stejnom rné konvergenci funkcionální ady na mnoºin R. ( 1) n (2n)!! (2n + 1)!! n n 2 + e x ➋ (5 bod ) Vypo ítejte + 0 n=0 x2n+1 ( 1) n (4n)!!!! dx. ➌ (8 bod ) Pro diferenciální rovnici x 3 y 3x 2 (2 + x)y + 6x(2x + 3)y 6(3x + 4)y = 0 existuje monom, který leºí v jejím fundamentálním systému. Rovnici vy e²te. ➍ (8 bod ) Rozhodn te o stejnom rné konvergenci posloupnosti funkcí na mnoºin (0, ). ádn komentujte! ( e x2 + x 2 n 2 ) x 2 n 2 + xn + 1 ➎ (6 bod ) Sestavte Taylorovu adu funkce ( f (x) = ln 1 + x ) 2 v bod x = 6 a vy²et ete její obor konvergence. ➏ (4 body) V teorii funk ních posloupností je velice asto uºíván obrat: "Pro posloupnost konstantních funkcí pojmy stejnom rné a bodové konvergence splývají."vyslovte precizní matematickou formulaci této skute nosti a v tu dokaºte. V d kazu uºijte pouze denice stejnom rné a bodové konvergence a v²e podrobn vysv tlete!

4 Zápo tová písemná práce. 2 z p edm tu 01MAB3 varianta A pond lí 11. ledna 2016, 9:0011:00 ➊ (9 bod ) Pro kvadratickou plochu 2 2x + x 2 2xy + 2y 2 + 2z + 8xz 16yz + 32z 2 = 0 stanovte hlavní a vedlej²í signaturu, normální tvar a název. Stanovte transformaci, která zadanou plochu normalizuje. Numerické chyby se v tomto p íklad netolerují. ➋ (6 bod ) Pro která a > 0 leºí funkce x 3 + e ax v okolí funkce x 3 o polom ru ε = 1 11? Skalární sou in je na uvaºovaném Hilbertov prostoru zadán vztahem f g := 0 x f (x)e x g(x) dx. ➌ (8 bod ) e²te diferenciální rovnici x 3 y 3x 2 (2 + x)y + 6x(2x + 3)y 6(3x + 4)y = 0. Uºijte faktu, ºe tato rovnice má s rovnicí y = 0 neprázdný pr nik fundamentálních systém. ➍ (7 bod ) (Tuto úlohu e²te na zadní stran tohoto zadání.) Nech je na prostoru R 2 zadána metrika ϱ ( x, y ) = 3 y 1 x y 2 x 2. Do p iloºeného obrázku pe liv na rtn te okolí (ϱ) U 6 (0, 0). Dbejte na správné stanovení konvexnosti, resp. konkávnosti hranice okolí. Dále rozhodn te, je-li mnoºina M = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1 } otev ená v metrickém prostoru {R 2, ϱ.} Podrobn zd vodn te! ➎ (10 bod ) e²te Cauchyovu úlohu pro diferenciální rovnici y 2 x 2 y + 4 x 3 y = 0, y(1) = 1, y (1) = 1, y (1) = 1.

5

6 Zápo tová písemná práce. 2 z p edm tu 01MAB3 varianta B pond lí 11. ledna 2016, 9:0011:00 ➊ (10 bod ) e²te diferenciální rovnici x 2 y (9x 2 + 2x)y + (27x x + 2)y (27x x + 6)y = 9x 2 + 6x + 2. P i e²ení uºijte faktu, ºe rovnici e²í funkce y 1 (x) = e3x, y 2 (x) = e3x a y 3 (x) = e3x. ➋ (7 bod ) (Tuto úlohu e²te na zadní stran tohoto zadání.) Nech je na prostoru R 2 denována metrika χ( x, y) := x 1 y x 2 y 2. Do p iloºeného obrázku pe liv na rtn te tvar okolí (χ) U 15 2 (2, 3). Na záv r rozhodn te, zda je posloupnost konvergentní v metrickém prostoru {R 2, χ}. ( ) ( ) 1 + n xn := n ; 2 n ➌ (7 bod ) Na funkcionálním Hilbertov prostoru H je zadán skalární sou in p edpisem f g := f (x)g(x)e x dx. Vypo t te úhel, který v H svírají funkce (vektory) (x) = 1 a q(x) = x. 0 ➍ (9 bod ) V závislosti na hodnot parametru µ R rozhodn te, jakou kvadratickou plochu p edstavuje mnoºina bod T = { (x, y, z) R 3 : 4xy + 6xz 2yz + z 2 = µ }. Ve v²ech p ípadech vypi²te také p íslu²né signatury a ur ete polární bázi mnoºiny T. Numerické chyby se v tomto p íklad netolerují. ➎ (7 bod ) Nalezn te maximální e²ení diferenciální rovnice vyhovující podmínce y(3) = y 2 2xy + x 2 y = 0

7