Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.

1 Teorie množin Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy z teorie množin. Začneme základními operacemi s množinami, seznámíme se s pojmy jako kartézský součin, relace, relace ekvivalence, relace uspořádání, zobrazení, funkce a operace. Výstupy z výukové jednotky Student bude umět definovat množinu, určit její mohutnost, bude umět porovnat vlastnosti dvou různých množin a naučí se používat základní množinové operace a zákony. Zvládne také základní operace s kartézskými množinami. Dále bude umět definovat relaci, inverzní relaci a bude znát princip skládání relací. Bude umět poznat základní vlastnosti binárních relací a pochopí význam relace ekvivalence a relace uspořádání. Bude umět definovat zobrazení, funkci, bude umět určit obor hodnot a definiční obor zobrazení a bude umět určit základní vlastnosti zobrazení. 1.1 Motivace Teorie množin tvoří spolu s matematickou logikou základ veškerých matematických teorií. Jak již název napovídá, zabývá se množinami. A protože v matematice je všechno množina (čísla, zobrazení, funkce...), je tedy všechno na teorii množin vystavěno. V tomto textu se budeme nejprve zabývat základními pojmy z teorie množin - množina, prvek, podmnožina, potenční množina. Dále se seznámíme se základními množinovými operacemi - průnik, sjednocení, rozdíl a kartézský součin. Se znalostí kartézských součinů zavedeme relace a zobrazení a budeme zkoumat jejich vlastnosti. 1.2 Základní pojmy V teorii množin bude používat následující symboliku: A, B, C, množiny a, b, c, prvky a A prvek množiny ( x)p pro libovolné x platí P ( x)p existuje x tak, že platí P (!x)p existuje právě jedno x tak, že platí P,,,,, konjukce, disjunkce, negace průnik, sjednocení implikace, ekvivalence sumace, multiplikace Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy. Množina v naivní teorii množin je souhrn objektů, které jsou přesně určené a rozlišitelné a tvoří součást světa našich představ a myšlenek; tyto objekty nazýváme prvky množiny. (definice podle G. Cantora) 1

Skutečnost, že x je prvkem množiny A značíme x A. Skutečnost, že x není prvkem množiny A značíme x A. Prvky množiny lze zadat buďto výčtem, nebo pomocí vlastnosti, kterou musí splňovat. Pro označení některých často používaných množin budeme v textu používat následující symboly: N - množina přirozených čísel, tj. 1, 2, 3,... Číslo 0 do množiny přirozených čísel nepatří. Z - množina celých čísel, tj. přirozená čísla, 0 a všechna čísla opačná k přirozeným číslům. Q - racionální čísla, tj. čísla, která se dají vyjádřit ve tvaru p/q, kde p Z a q N R - reálná čísla, tj. všechny čísla, která lze znázornit na číselné ose. C - komplexní čísla, tj. všechny uspořádané dvojice reálných čísel. Platí, že N Z Q R C Příklad: Zapište množinu, která obsahuje čísla 1 až 5: A = {1,2,3,4,5} A = {x N x 5} Prázdná množina je taková množina, která neobsahuje žádné prvky. Značíme ji symbolem, případně {}. Zápis { } neoznačuje prázdnou množinu, ale jednoprvkovou množinu, jejíž jediným prvkem je prázdná množina. Počet prvků množiny někdy oznčujeme slovem mohutnost či kardinalita a značíme jej A, kde A je množina. Množina, která má konečný počet prvků, se nazývá konečná. Množina, která není konečná, je nekonečná. Dvě množiny nazveme disjunktní právě tehdy, když mají prázdný průnik A B =. Množiny X a Y se rovnají, zapisujeme X=Y, právě tehdy, když každý prvek množiny X je prvkem množiny Y a současně každý prvek množiny Y je prvkem množiny X. Nechť A a B jsou množiny. řekneme, že A je podmnožinou množiny B, značíme A B, právě když platí ( x)(x A x B), tj. libovolný prvek množiny A je současně i prvkem množiny B. Vztah být podmnožinou nazýváme také inkluze (negací je exkluze). Množinová inkluze definuje relaci uspořádání, protože platí: ( A)(A A) reflexivita ( A,B)(A B B A) (A=B) antisymetrie ( A,B,C)(A B B C) (A C) antisymetrie Nechť A je množina. Množinu všech podmnožin množiny A nazýváme potenční množina množiny A a značíme P(A), někdy též 2 A. Ukázky potenčních množin: P( ) = P({a}) = {,{a}} P({a,b}) = {,{a},{b},{a,b}} Příklad: Kolik prvků má potenční množina n-prvkové množiny? Otázku můžeme přeformulovat na "kolik různých podmnožin má n-prvkové množina?" Protože každá z podmnožin je jednoznačně určená svými prvky, je počet podmnožin roven počtu všech kombinací prvků množiny. Každý prvek má přitom dvě možnosti - buďto v dané množině je, nebo ne. Ke dvěma možnostem prvního prvku přibudou dvě možnosti druhého prvku, ke každé z výsledných čtyř možností pak přibudou dvě možnosti třetího prvku, atd. Celkem tedy 2 n. Platí tedy že P(A) = 2 A. 1.3 Základní množinové operace a zákony Sjednocení množin A a B je množina prvků, které jsou v množině A nebo v množině B. Sjednocení budeme označovat A B = {x x A x B} Průnik množin A a B je množina prvků, které jsou zároveň v množině A i v množině B. Průnik budeme označovat A B = {x x A x B} Rozdíl množin A a B je množina těch prvků z množiny A, které nejsou prvky množiny B. Rozdíl budeme označovat A - B = {x x A x B} 2

Nechť A a Z jsou množiny takové, že A Z. Doplňkem množiny A v množině Z nazveme množinu A' Z = Z - A. Doplněk je tedy množina těch prvků množiny Z, které nejsou prvky množiny A. Jediný rozdíl mezi množinovým rozdílem a doplňkem je ten, že o doplňku hovoříme pouze v situaci, kdy množina A je podmnožinou tzv. základní množiny M. Neplatí-li vztah inkluze, hovoříme o rozdílu. Pokud A a Z jsou množiny takové, že A Z, potom platí: A Z = Z, A Z = A, A = A, A = A A' M = Z, A A' Z =, M' Z =, ' Z = Z zákony jednotky zákony negace (A B)' Z = A' Z B' Z, (A B)' Z = A' Z B' Z de Morganovy zákony Níže uvádíme základní množinové zákony. Pro libovolné množiny A, B a C platí: ( A) A prázdná množina je podmnožinou každé množiny A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A A = A, A A = A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) komutativní zákon pro sjednocení komutativní zákon pro průnik asociativní zákon pro sjednocení asociativní zákon pro průnik idempotentní zákony distributivní zákon distributivní zákon Následující obrázek zobrazuje tzv. Vennovy diagramy, kde jsou znázorněny základní množinové operace. 1.4 Kartézský součin Jsou dány množiny A, B. Kartézským součinem rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic takových, že první prvek uspořádané dvojice je prvkem množiny A a druhý prvek uspořádané dvojice je prvek množiny B. Formálně zapisujeme: A B = {(a,b) a A, b B} Kartézský součin obecně není komutativní. A to proto, že v uspořádané dvojici záleží na pořadí prvků. Pro A B tedy platí, že A B B A. Jestliže A = n a B = m, pak A B = n m. Příklad: Určete kartézské součiny množin A = {a, b, c} a B = {1, 2} Řešení: A B = {(a,b) a A, b B} = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)} 3

B A = {(a,b) a B, b A} = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)} Oba kartézské součiny jsou stejně mohutné (díky komutativitě násobení), obsahují však dvojice s prvky v opačném pořadí. Pro kartézský součin platí následující distributivní zákony: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Pro prázdnou množinu platí v kartézském součinu následující pravidla, která vyplývají přímo z definice kartézského součinu a ze skutečnosti, že prázdná množina neobsahuje žádné prvky. A = A =, kde A je libovolná množina. Speciálně pro A = tedy dostáváme =. V případě, kdy A = B a tvoříme tak kartézský součin množiny se sebou samou, hovoříme o kartézské mocnině,, kterou značíme A 2. Analogicky jako u číselných mocnin můžemee exponent rozšířit i na jiná přirozená čísla než 2. Kartézská moznina množiny A je definována induktivně: A 1 = A A n = A n-1 A Pokud bychom se chtěli držet čistě formálníhoo značení, pak by A 3 = A 2 A, tedy A 3 = {(a,b) a A 2, b A} = {((c,d),b) c, d, b A}. Zápis ((c, d), b) však můžeme bez újmy na obecnosti zjednodušit na (c, d, b) a nazvat uspořádanou trojicí. Pro kartézský součin více množin využijeme pojem uspořádaná n-tice, který tvoří zobecnění pojmu uspořádaná trojice, který byl zaveden v předchozím odstavci. Přesná formální definice uspořádané n-tice je zobecněním množinového pojetí uspořádané dvojice. Nám však bude stačitt definovat uspořádanou dvojici jako objekt typu (a 1, a 2,... a n n), kde nám záleží na pořadí prvků. Kartézský součin n množin pak definujeme jako množinu všech uspořádaných n-tic, kde i-tý prvek každé n- tice je prvkem i-té množiny. Formálně zapsáno: A 1 A 2... A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a 1 A 1, a 2 A 2,..., a n A n } Pro kartézský součin více množinn zavádíme zápis podobný symbolům Σ a Π pro sumaci a multiplikaci: Příklad: Určete kartézský součin A B C, kde množiny jsou A = {#}, B = {1, 2} a C = {x, y} Řešení: A B C = {(#,1,x),(#,1,y),(#,2,x),(#,2,y)} 1.5 Relace Slovo relace lze do češtiny přeložit nejpřesněji jako "vztah". Relace nám tedy umožňují dávat dohromady prvky množin, které jsou spolu v nějakém vztahu. Protože dávání prvků dohromady nám umožnily již uspořádané dvojice, triojice, či n-tice, využijeme tohoto aparátu. V kartézském součinu, který obsahuje vždy všechny možné uspořádané n-tice prvků, tak je dohromady každý prvek s každým. Chceme-li nějak specifikovat vztahy mezi těmito prvky, případně popisovat vlastnosti, které musí prvky mít, abychom je dali dohromady, je třeba z kartézského součinu vybírat jen některé n-tice, čili vytvářet jeho podmnožiny. Jakoukoliv podmnožinu kartézského součinu nazveme relací. Nejprve se budemee zabývat relacemi, které vzniknou jako podmnožiny kartézského součinu dvou množin. Dále se budeme zabývat relacemi na množině, čili podmnožinammi druhé kartézské mocniny a v závěru poznatky zobecníme na podmnožiny kartézského součinu n množin. Celá relační algebraa tvoří základ relačních databází. Její pochopení je tedy nutnou podmínkou pro pochopení fungování relačních databází a operací v nich. Binární relace: Nechť jsou A, B množiny a nechť ρ A B. Pak ρ nazýváme (binární) relací mezi množinami A a B. Je-li A = B, nazýváme ρ (binární) relací na množině A. Příklady relací: ρ Z N, ρ ={(x,y) x < y} je relace mezi celými a přirozenými čísly, obsahující jen ty uspořádané dvojice, v nichž je první prvek ostře menší než druhý. id A = {(x, x) x A} je tzv. identická relace na množině A. 4

Relaci je možné znázornit graficky, jak je vidět na následujícím obrázku, který zachycuje relaci R = {(a, r), (b, r), (c, s), (c, t)} mezi množinami A = {a, b, c, d} a B = {r, s, t} Relaci je možné znázornit i tabulkou, která má v záhlaví řádků prvky množiny A a v záhlaví sloupců prvky množiny B. Relace R znázorněná na obrázku by se tak pomocí tabulky znázornnila takto: r s t a 1 0 0 b 1 0 0 c 0 1 1 d 0 0 0 Zápis (a, b) ρ někdy nahrazujeme infixovým zápisem a ρ b. Je-li ρ =, nazýváme relaci ρ prázdnou relací. Je-li ρ = A B, nazýváme ρ plnou relací. Protože relace je jakákoliv podmnožina kartézského součinu, je počet různých relací roven počtu podmnožin kartézského součinu. Počet podmnožin k-prvkové množiny je 2 k. Kartézský součin n-prvkové a m-prvkové množiny má n m prvků. Počet reací mezi n-prvkovou a m-prvkovou množinou je tak 2 n m. Složená relace: Nechť jsou A, B a C množiny a ρ = A B je binární relace mezi množinami A a B a σ = B C je binární relace mezi množinami B a C. Složenou relací ρ º σ (čteme sigma po ró) definujeme vztahem ρ º σ = {(x, y) x A C z B : (x, z) ρ (z, y) σ} Graficky můžeme skládání relací zobrazit následujícím obrázkem: Příklad: Máme relace σ 1 = {(a,r),(b,r),(c,s),(c,t)} a σ 2 = {(r,p),(r,q),(r,r),(t,q)}. Určete složenou relaci σ 1 º σ 2. Řešešní: Složením relací σ 1 a σ 2 vznikne relace: σ 1 º σ 2 = {(a,p), (a,q), (a,r), (b,p), (b,q), (b,r), (c,q)} Skládání relací obecně není komutativní, je však asociativní. Platí tedy: ρ º ( σ º τ ) = ( ρ º σ ) º τ. Inverzní relace: Nechť A, B jsou množiny a ρ = A B je binární relace mezi množinami A a B. Relaci ρ -1 definovanou jako ρ -1 = {(a,b) A B (b, a) ρ} nazýváme relací inverzní k relaci ρ. Inverzní relace tedy obsahuje přesně opačné uspořádané dvojice, než původní relace. V případě znázornění relace pomocí obrázku, bychom inverzní relaci znázornili tímtéž obrázkem, pouze s opačně orieentovanými šipkami. V případě znázorňování relace pomocí tabulky je tabulka inverzní relace transponovaná (tj. převrácená podle hlavní diagonály). Příklad: Nechť A = {a, b, c} a B = {r, s, t} jsou množiny a ρ = {(a, r), (a, s), (a, t), (b, t), (c, s)} je relace mezi těmito množinami. Inverzní relací k relaci ρ je relace ρ -1 = {(r, a), (s, a), (t, a), (t, b), (s, c)}. 5

1.6 Vlastnosti binárních relací na množině Binární relace na množině mají speciální význam, neboť umožňují zkoumat vlastnosti vztahů mezi prvky patřícími do téže množiny. U relací na množině tedy rozlišujeme vlastnosti, jejichž znalost je pro další studium nutná. Nechť A je množina a ρ A A je relace na této množině. Reflexivita: Relace ρ se nazývá reflexivní, jestliže x A: (x,x) ρ, tedy jestliže každý prvek množiny A je v relaci sám se sebou. Příkladem reflexivní relace je identita, relace "být menší nebo rovno", relace dělitelnosti, atd. Také platí, že sjednocení a průnik reflexivních relací je opět reflexivní relace. Složením dvou reflexivních relací vznikne opět reflexivní relace. Inverzní relací k reflexivní relaci je reflexivní relace. Symetrická relace: Relace ρ se nazývá symetrická, jestliže x, y A : (x, y) ρ (y, x) ρ, tedy jestliže každá dvojice prvků, která je spolu v relaci, je spolu v relaci i v opačném pořadí. Příkladem symetrické relace je identita, nerovnost nebo vlastnost typu "mít stejné znaménko". Platí, že sjednocení a průnik symetrických relací je opět symetrická relace. Inverzní relací k symetrické relaci je táž relace (pro symetrickou relaci platí, že ρ -1 = ρ). Složením symetrických relací vznikne opět symetrická relace. Antisymetrická relace: Relace ρ se nazývá antisymetrická, jestliže x, y A : ((x, y) ρ (y, x) ρ) x=y, tedy pokud je daná dvojice prvků v relaci nezávisle na jejich pořadí, pak to nutně musí znamenat, že se jedná o tentýž prvek. Příkladem antisymetrické relace je relace "být menší nebo rovno". Je zřejmé, že pokud a b a zároveň b a, pak nutně a = b. Tranzitivní relace: Relace ρ se nazývá tranzitivní, jestliže x, y, z A : ((x, y ) ρ (y, z) ρ) (x, z) ρ, tedy pokud je prvek x v relaci s prvkem y a prvek y je v relaci s prvkem z, je v relaci i prvek x s prvkem z. Příkladem tranzitivní relace je opět relace "být menší nebo rovno", identita, či relace "být příbuzný" na množině lidí. Úplná relace: Relace ρ se nazývá úplná, jestliže x, y A : (x, y) ρ (y, x) ρ, tedy pokud pro každou dvojici prvků platí, že je buď jeden v relaci s druhým, nebo druhý v relaci s prvním. Příkladem úplné relace je například relace na libovolné číselné množině. Je zřejmé, že pro jakákoliv dvě čísla x, y platí buď x y, nebo y x. Plná relace: Relaci nazveme plnou, právě když ρ = A A. Plná relace tedy obsahuje celý kartézský součin. Pozor: úplná a plná relace jsou dva rozličné pojmy! Prázdná relace: Relaci nazveme prázdnou, jestliže ρ =. Jedná se tedy o prázdnou množinu. Nyní se podíváme na dvě speciální relace a to relaci ekvivalence a relaci uspořádání. Relace ekvivalence: Relaci nazveme ekvivalence, právě když je tato relace reflexivní, symetrická a tranzitivní. Ekvivalence je určitým zobecněním rovnosti (tedy identity). Je zřejmé, že rovnost splňuje všechny tři požadované vlastnosti ekvivalence, tj. je reflexivní (každý prvek je roven sám sobě), symetrická (je-li jeden roven druhému, je i druhý roven prvnímu), i tranzitivní (pokud a = b a b = c, pak i a = c. Existují však i jiné vlastnosti, které splňují tyto tři podmínky. Jejich společným jmenovatelem je to, že v definici relace musí být popsána vlastnost, která je stejná pro prvky, které spolu jsou v relaci. Typickými příklady tak jsou "dávat po dělení číslem m stejný zbytek", "mít stejné znaménko", apod. V případě ekvivalence se lze někdy setkat s označením ~, či. Na následujícím obrázku si pomocí grafu můžeme znázornit, jak taková relace ekvivalence vypadá (absence šipek je způsobena symetrií relace). Příklad: Nechť M je množina všech studentů. Uvažujme postupně následující relace R M M a zjistěte, zda-li se jedná o ekvivalence 6

(x,y) R právě když x má stejnou výšku jako y (x,y) R právě když x má stejnou barvu vlasů jako y (x,y) R právě když x a y mají stejnou výšku a barvu vlasů (x,y) R právě když x a y mají stejnou výšku nebo barvu vlasů Řešení: Kromě posledního případu jsou všechny relací ekvivalence. U posledního případu není splněna tranzitivita. Příklad: Nechť R N N je binární relace definována následujícím způsobem: (x, y) R právě tehdy, když x-y je dělitelné třemi. V jakém smyslu jsou x a y stejné? Řešení: Dávají stejný zbytek po dělení třemi. Rozklad množiny: Nechť M je množina. Rozklad na množině M je taková množina podmnožin N 2 M, která splňuje následující podmínky: N - každý prvek N je neprázdná množina M pokud A,B N, pak buď A=B nebo A B = A N A = M Prvkům N se také říká třídy rozkladu. S relacemi ekvivalence a jimi implicitně definovanými rozklady množin se lze setkat tam, kde nějaké objekty "rozdělujeme do přihrádek" podle nějakých sdílených znaků nebo jiných kritérií. Příklad: Buď M = {a,b,c,d}. Pak N = {{a}, {b,c},{d}} je rozklad na M. Nechť A 0 = {k N k mod 3 = 0}, A 1 = {k N k mod 3 = 1} a A 2 = {k N k mod 3 = 2}. Pak N = {A 0, A 1, A 2 } je rozklad všech přirozených čísel podle zbytkových tříd. Relace uspořádání: Relaci nazveme uspořádáním, právě když je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Uspořádání zde máme, podobně jako tomu bylo v případě ekvivalence, definováno velmi obecně, tj. jde nám o to, abychom byli schopné vybudovat na prvcích dané množiny stromovou strukturu. Nechceme tedy uspořádat prvky množiny do jediného řetězce, jak by mohlo z významu slova "uspořádání" plynout, obecnost spočívá právě v tom, že jeden prvek může mít v daném uspořádání více následníků, vždy má však jen jediného předchůdce. Typickým uspořádáním je relace, tedy "být menší nebo rovno". Na následujícím obrázku je graficky znázorněna relace uspořádání pomocí dělitelnosti. V obrázku jsou zakresleny jen šipky vyplývající z antisymetrie (šipky vyplývající z reflexivity a tranzitivity jsou vynechány). Příklad: Dokažte, že relace ρ = {(a,b) Z 2 (a b)} je uspořádání. Řešení: Je třeba ověřit, že uvedená relace je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Reflexivita: Je zřejmé, že pro každé celé číslo z platí, že z z. Realce je tedy reflexivní. Antisymetrie: Je třeba ověřit, že pro každou dvojici celých čísel platí, že je-li x y a zároveň y x, pak je nutně x = y. To je však také snadné. Je-li x y, pak je buď x < y, nebo x = y. Stejně tak, je-li y x, pak je buď y < x, nebo y = x. Zamyslíme-li se nad tím, které ze čtyř možných kombinací uvedených dvojic nevedou ke sporu, je evidentní, že dostáváme x = y. Relace je tedy antisymetrická. Tranzitivita: Je třeba ověřit, že je-li x y a y z, pak je i x z, což je však evidentní. Uvedená relace je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní, je to tedy uspořádání. 7

1.7 Zobrazení, funkce, operace Pojem zobrazení vychází z pojmu relace. Zatímco relace definovala nějaký obecný vztah mezi libovolnými dvojicemi prvků daných množin, zobrazení je tu od toho, aby každému prvku jedné množiny přiřadilo (obecně jiný) prvek téže, nebo jiné množiny. Z toho tedy vyplývá ona důležitá omezující podmínka, že každý prvek množiny A může být v relaci maximálně s jediným prvkem množiny B. Zobrazení: Nechť A, B jsou množiny. Zobrazením f množiny A do množiny B nazýváme každou relaci f A B, pro kterou platí: každému prvku a A je přiřazen nejvýše jeden takový prvek b B, že uspořádaná dvojice (a, b) f. Skutečnost, že f je zobrazením množiny A do množiny B značíme f: A B. Funkce: Jsou-li navíc A a B číselné množiny, hovoříme namísto zobrazení o funkci. Namísto (a, b) f budeme nyní psát f(a) = b. Umožňuje nám to právě podmínka jednoznačnosti prvku b ve vztahu k prvku a. O prvku a budeme hovořit jako o vzoru prvku b, o prvku b pak budeme hovořit jako o obrazu prvku a. Definiční obor: Podle definice zobrazení má být každému prvku množiny A přiřazen nejvýše jeden prvek množiny B. Znamená to tedy, že v množině A mohou existovat jak prvky, kterým není přiřazen žádný prvek z množiny B, tak prvky, kterým je přiřazen jeden prvek z množiny B. Platí tedy, že pokud f: A B, pak množinu D A definovanou jako D = {a A b B : f(a) = b} nazveme definičním oborem zobrazení (značíme D f ). Definiční obor zobrazení je tedy množina všech prvků, pro něž má zobrazení f smysl (je definováno). Obor hodnot: Nechť A, B jsou množiny a f je zobrazení f: A B. Pak množinu H B definovanou jako H = {b B a A: f(a) = b} nazveme obor hodnot zobrazení f (značíme H f ). Obor hodnot je tedy zjednodušeně řečeno "množina obrazů", čili množina všech prvků množiny B, které mají svůj vzor v množině A. Surjektivní zobrazení: Nechť A, B jsou množiny a f je zobrazení f: A B. Jestliže H f = B, to znamená b B: a A: f(a) = b, říkáme, že zobrazení f je zobrazení na množinu B. Zobrazení na množinu se též nazývá surjektivní zobrazení, neboli surjekce. Příklad: Jsou zobrazení f: N N definované vztahem f(x) = x + 1 a zobrazení g: N N 0 definované vztahem g(x) = x-1 surjektivní? Řešení: Zobrazení f není surjektivní, neboť existuje přirozené číslo 1, které nemá svůj vzor (číslo 0 které by mohlo být jeho vzorem nepatří mezi přirozená čísla). Zobrazení g je surjektivní, neboť k aždé přirozené číslo a nula má v definičním oboru (množině přirozených čísel) svůj vzor. Prosté zobrazení, injekce: V definicci zobrazení jsme požadovali, aby každému prvku z definičního oboru byl přiřazený pouze jediný prvek z oboru hodnot. To však ještě nevylučuje případ, kdy je jeden prvek z oboru hodnot obrazem více prvků definičního oboru. To nás vede k definici prostého zobrazení, které právě tuto násobnost přiiřazení vylučuje. Nechť A, B jsou množiny a f je zobrazení f: A B. Jestliže b B! a A: f(a) = b, pak říkáme, že zobrazení f je prosté. Prosté zobrazení též nazýváme injektivní zobrazení, neboli injekce. Příklad: Určete, zda je zobrazení f: R R: f(x) = x 2 prosté (injektivní). Řešení: Zobrazení f prosté není, neboť f(x) = f(-x) pro všechna reálná čísla. Bijekce: Zobrazení, které je zároveň injektivní a surjektivní se nazývá bijektivní zobrazení, neboli bijekce. Existuje-li mezi dvěma množinami bijektivní zobrazení, pak je zřejmé, že tyto dvě množiny musí mít stejný počet prvků. Je-li totiž každému prvku definičního oboru přiřazen právě jeden prvek oboru hodnot (protože je to zobrazení), každý prvek oboru hodnot má svůj vzor v definičním oboru (protože je to surjekce) a tento vzor je navíc určen jednoznačně (prrotože je to injekce), jedná se o párování 1:1, které je evidentně možné realizovat jedině mezi stejně početnými množinami. Příklad bijektivního zobrazení: f:{a,b,c,d} {1,2,3,4}: f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3, f(d)=4 Inverzní zobrazení: Nehcť A, B jsou množiny a f: A B je binární zobrazení. Inverzní zobrazení k zobrazení f pak můžeme definovat takto: f -1 = {(b,a) (a,b) f. 8

Příklad: Je dáno zobrazení f:{a,b,c,d} {1,2,3,4}: f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3, f(d)=4. Určete k němu inverzní zobrazení. Řešení: g: {1,2,3,4} {a,b,c,d}: g(1)=a, g(2)=b, g(3)=c, g(4)=d je inverzním zobrazením k zobrazení f. U zobrazení daných výčtem je problém určení inverzního zobrazení řešitelný velmi snadno. Je-li zobrazení dáno funkčním předpisem, je třeba zaměnit význam proměnných a vyjádřit novou neznámou. Ukažme si tento postup na následujícím příkladu. Příklad: Je dáno zobrazení f: R R: f(x) =. Určete k němu inverzní zobrazení. Řešení: Pro jednoduchost provedeme substituci y = f(x) a dostáváme y =. V tomto vzorci zaměníme x a y (tím jsme definovali invezní zobrazení): x =. Zbývá už jen vyjádřit y, abychom získali přepis inverzního zobrazení: 2x = y-3 y = 2x + 3. Inverzní zobrazení tedy je f -1 : R R: f -1 (x) = 2x + 3. Složené zobrazení: Jsou li dány množiny A, B, C a zobrazení f: A B a g: B C, pak definujeme složené zobrazení h: A C, značíme h = g º f, vztahem: h(a) = g(f(a)) a A. Složené zobrazení tedy vzniká postupnou aplikací obou skládaných zobrazení. Příklad: Jsou dány zobrazení f: R R: f(x) = x 3 a g: R R: f(x) = 2(x+3). Určete jak vypadají složená zobrazení g º f a f º g. Řešení: Složené zobrazení g º f: R R: g º f(x) = g(f(x)) = 2(f(x)+3) = 2(x 3 +3) Složené zobrazení f º g: R R: f º g(x) = f º 2(x+3) = (2(x+3)) 3 Jak je vidět z předchozího příkladu, že skládání zobrazení obecně není komutativní. Lze však snadno ukázat, že je asociativní (tj. že nezáleží na pořadí uzávorkování), tedy že pro libovolná zobrazení f, g, h platí: f º (g º h) = (f º g) º h. Důkaz získáme rozepsáním obou stran rovnosti podle definice složeného zobrazení. Pro libovolný prvek x tedy platí: (f º (g º h))(x) = f((g º h)(x)) = f(g(h(x))) a také ((f º g) º h))(x) = (f º g)(h(x)) = f(g(h(x))). Obě strany jsou si tedy rovny a výrazy tak jsou ekvivalentní. Operace: Buď A množina a n přirozené číslo. Zobrazení f: A n A nazýváme n-ární algebraickou operací na množině A. Číslo n N nazýváme četností (aritou) operace. Pro n = 0 definujeme nulární operaci na A jako zvolení určitého prvku v množině A (čili výběr konstanty). Pro n = 1 hovoříme o unární operaci, pro n = 2 (nejběžnější případ) hovoříme o binární operaci, pro n = 3 o ternární, atd. Příkladem unární operace (n = 1) v množině Z je (-a), kde a Z. Tato unární operace je převodem celého čísla a na opačné. Příkladem binární operace f: Z 2 Z na Z jsou operace sčítání, násobení, odčítání, Tyto operace mají dva operandy a nejčastěji se píší v infixovém tvaru a 1 a 2, kde zastupuje symbol obecné binární operace (+, º, -, ). Příklady k procvičení: TODO 9