Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma bodovými náboji (částicemi s nábojem) při které náboj vytváří elektrické pole do kterého vkládáme náboj lze popsat Coulombovým zákonem Gravitační pole Hmotnost m [m] = kg Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma hmotnými body při které bod o hmotnosti M vytváří gravitační pole do kterého vkládáme bod o hmotnosti m lze popsat Newtonovým gravitačním zákonem 1 kde gravitační konstanta Ve kde ve vakuu platí k 9.10 9 N.m 2.C 2. Ve vektorovém tvaru má Coulombův zákon tvar: vektorovém tvaru má Newtonův zákon tvar: 4 0 r kde r 0. Za Q a q dosazujeme včetně znamének! r kde r r 0 Znaménko mínus vyjadřuje přitahování r Vektorový popis silového pole Intenzitu elektrického pole definujeme vztahem s rozměrem [ ]. Intenzitu gravitačního pole definujeme vztahem s rozměrem [ ]. Pro elektrické pole bodového náboje Q v bodě A platí: k Q E k Q za Q dosazujeme včetně znaménka Elektrické pole soustavy bodových nábojů v bodě A ( ) Pro gravitační pole hmotného bodu hmotnosti m v bodě A platí: Gravitační pole soustavy hmotných bodů v bodě A ( ) Za dosazujeme včetně znamének 1
Mechanická praáce sil pole Práce sil el pole ( ) Potenciální energie elektrická Práce sil gravitačního pole ( ) Potenciální energie gravitační Za Q a q dosazujeme včetně znamének Skalární popis silového pole Elektrický potenciál φ: W pe [ ] ( ) q Gravitační potenciál V: V W pg [ ] m Elektrický potenciál pole bodového náboje Q v bodě A: Q k r Gravitační potenciál pole hmotného bodu hmotnosti M v bodě A Grafické znázornění silových polí Vektorové pole siločára (vektorová čára) Skalární pole ekvipotenciální plocha (hladina potenciálu) φ = konst. na ekvipotenciální ploše (v daném bodě ekvipotenciální plochy leží na notmále plochy v tomto bodě) Př. radiálni pole bodového náboje 2
Souvislost mezi skalárním a vektorovým popisem silového pole Ve výše uvedených silových polích platí: A W p respektive da dwp dwp da Elektrické pole: dwpe da Fe dr QEdr Gravitační pole: dwpg da Fg dr mk dr d dφ E. dr,po integraci φ Edr φ x, y, z C d Q m V K. dr V x, y, z C dv dr, po integraci E dr dr b) Uvažujme skalární pole V V( y z) v něm dvě ekvipotenciální plochy s potenciály V a V+dV. Z plochy V konst na plochu V dv konst se můžeme dostat v různých směrech dr dr dr dv Veličina je růst potenciálu, velikost této veličiny závisí na dr. Maximální růst potenciálu je ve směru normály. dri Definice: Gradient potenciálu grad V (obecně gradient skalární funkce, kterou je skalární pole definováno v určité části prostoru) je vektor, který má v daném bodě skalárního pole směr a velikost maximálního růstu skalární veličiny (potenciálu), kterou je pole definováno. (Definice je fyzikálním významem gradientu.) Výpočet gradientu: Uvažujme skalární pole ( ). Má-li funkce V totální diferenciál, lze psát Pravou stranu lze chápat jako skalární součin dvou vektorů 3
( ) ( ) Gradient skalární funkce je vektorová funkce. Gravitační pole Protože je a zároveň platí. Vynásobíme-li tento vztah hmotností, dostaneme: Elektrické pole Analogicky platí a, proto také platí. Vynásobíme-li tento vztah nábojem dostaneme: Elektřina a magnetismus Vektorový popis Elektrické pole popisujeme pomocí vektorů elektrické intenzity, elektrické indukce s jednotkou [ ]. s jednotkou [ ] Magnetické pole popisujeme pomocí vektoru magnetické indukce definovaného pomocí rovnice Fm I l B s jednotkou [ ] a vektoru magnetické intenzity H Gaussův zákon Tok vektoru elektrické intenzity plochou S definujeme: B s jednotkou [ ]. 4
Uvažujme bodový náboj Q, který leží ve středu kulové plochy o poloměru r. Intenzita tohoto radiálního pole má ve všech bodech této kulové plochy stejnou velikost a má radiální směr.. Tok vektoru touto kulovou plochou je Dosadíme za E a dostaneme Protože elektrické siločáry jsou spojité křivky, bude rovnice N která uzavírá týž náboj. 1 Q platit pro uzavřenou plochu jakéhokoliv tvaru, Gaussův zákon Je-li v elektrickém poli sestrojena uzavřená plocha jakéhokoliv tvaru tak, že uzavírá náboj Q, je tok vektoru intenzity touto plochou roven součinu 1 a velikosti náboje uvnitř plochy, bez ohledu na to, jak je náboj rozdělen: Poznámky: Uzávírá-li plocha náboje pak celkový tok intenzity plochou je roven součinu a algebraického součtu nábojů uvnitř plochy: (Je-li, pak tok uzavřenou plochou je roven nule). Je-li náboj Q vně zvolené uzavřené plochy S, je tok vektoru intenzity touto plochou roven 0. 5
(Plošky přispívají k celkovému toku stejnou hodnotou opačného znaménka). Uzavřenou plochu volíme vždy tak, aby na ní náboj Q neležel, protože v místě náboje není intenzita pole definována. Je-li náboj Q rozprostřen v objemu V s hustotou náboje ([ ] ), tj., pak Gaussův zákon v diferenciálním tvaru K úpravě vztahu použijeme matematickou Gaussovu-Ostrogradského větu: Tok vektoru uzavřenou plochou S ve směru vnější normály je roven objemovému integrálu divergence vektoru přes oblast V ohraničenou plochou S: Použijeme-li tuto větu k úpravě levé strany rovnice rovnice, můžeme za předpokladu x,y,z, prostředí je homogenní) psát (tj. nezávisína a z toho respektive, což je Gaussův zákon v diferenciálním tvaru. Magnetický indukční tok Je definován vztahy, respektive s jednotkou [ ]. V magnetickém poli se dá dokázat, že platí: Použijeme-li Gaussovu-Ostrogradského větu je tato vlastnost popsána v diferenciálním tvaru rovnicí magnetické pole je polem nezřídlovým. Magnetické indukční čáry jsou uzavřené křivky. Výpočet magnetických polí vodičů s proudem K výpočtu se používá Laplaceova zákona ( ) Ampérův zákon Při výpočtu pole přímého, tenkého, nekonečně dlouhého vodiče z Laplaceova zákona vyjde pro velikost magnetické indukce, kde x je vzdálenost od vodiče. Indukční čáry jsou kružnice se středem na vodiči, poloměrech x a jejich roviny jsou kolmé k vodiči. Zapišme tento výsledek ve tvaru:, kde je délka indukční 6
čáry a výraz představuje změnu velikosti vektoru při jenom kladném oběhu (indukční čára je orientovaná křivka) po indukční čáře. Změna vektoru při jednom oběhu po indukční čáře se nazývá cirkulace vektoru. Pak se vztah dá interpretovat takto: Cirkulace vektoru magnetické indukce podél příslušné indukční čáry je rovna μ násobku proudu, který toto pole vytvořil. V obecném případě není proudovodič přímý a homogenní, pole v jeho okolí je složitější. V takovém případě vezmeme příspěvek elementu vodiče k cirkulaci vektoru a celková cirkulace je pak což je Ampérův zákon. Křivkou navíc nemusí být indukční čára, ale libovolná uzavřená křivka, která obsahuje ve svém vnitřku proudovodič, kterým teče proud I. Ampérův zákon (pro magnetické pole vytvořené stacionárním proudem I) lze vyslovit následovně: Cirkulace vektoru podél libovolné křivky, obsahující proudovodič ve svém vnitřku, je rovna μ násobné hodnotě proudu I. Ampérův zákon v diferenciálním tvaru K úpravě vztahu použijeme matematickou Stokesovu větu: Cirkulace vektoru po uzavřené orientované křivce je rovna plošnému integrálu rotace vektoru přes plochu S, pro kterou je hraniční křivka a plocha S je souhlasně orientována vzhledem ke křivce : Zapíšeme-li pomocí proudové hustoty: a za předpokladu, pak použijeme-li Stokesovu větu dostaneme z rovnice a odtud, respektive, což je Ampérův zákon v diferenciálním tvaru. Faradayův zákon elektromagnetické indukce Z Bakalářské fyziky známe integrální tvar zákona elektromagnetické indukce: který můžeme přepsat do tvaru Použijeme-li pro levou stranu Stokesovu větu, pak 7
a tedy což je diferenciální tvar zákona. Indukované elektrické pole je vírové. Maxwellův posuvný proud Pokud dochází v prostředí v důsledku polarizace dielektrika ke vzniku tzv. vázaného náboje na volném povrchu dielektrika, platí i pro tento vázaný náboj Q V Gaussův zákon ve tvaru ( ) Pokud rovnici derivujeme podle času, dostaneme kde I P je posuvný proud, tedy proud vznikající díky polarizaci dielektrika. Položíme-li pak výraz má význam hustoty posuvného proudu.posuvný proud má stejné účinky jako vodivý proud vyvolává vznik magnetického pole a můžeme tedy zobecnit Ampérův zákon pro nestacionární elektromagnetické pole: ( ) a v diferenciálním tvaru Maxwellovy rovnice Hlavní Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru ( ) v diferenciálním tvaru 8
Vedlejší Maxwellovy rovnice: ( ) 9