14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta
|
|
|
- Zdenka Lišková
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11
2 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n 1)-plocha, pokud S je konečným sjednocením hladkých (n 1)-ploch, (n 2)-ploch,..., 2-ploch, hladkých křivek a bodů.
3 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n 1)-plocha, pokud S je konečným sjednocením hladkých (n 1)-ploch, (n 2)-ploch,..., 2-ploch, hladkých křivek a bodů. Jsou-li S j, j = 1,...,k všechny hladké (n 1)-plochy z tohoto sjednocení, definujeme plošné integrály 1. resp. 2. druhu z funkce f resp. pole T jako S f ds = k j=1 S j f ds, resp. mají-li výrazy na pravě straně smysl. S T d S = k j=1 S j T d S,
4 14.1 Úvod (pokrač.) Poznámka (zobecněná křivka) V případě, že n = 2, zahrnuje předchozí definice i křivkový integrál. V tomto případě tedy chápeme křivku jako "1-plochu" ( ϕ S) a křivkový integrál přes jako "plošný integrál přes 1-plochu". Pod zápisem f ds resp. T ds S S pak rozumíme ϕ f ds resp. ϕ T d ϕ. Tato dohoda nám umožní formulovat následující věty v jednotném tvaru.
5 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce Úmluva V následujících větách budeme předpokládat:
6 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce Úmluva V následujících větách budeme předpokládat: je omezená souvislá otevřená množina v R n, n 2,
7 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce Úmluva V následujících větách budeme předpokládat: je omezená souvislá otevřená množina v R n, n 2, její hranice je zobecněná (n 1)-plocha ve smyslu předchozí definice a poznámky.
8 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce Úmluva V následujících větách budeme předpokládat: je omezená souvislá otevřená množina v R n, n 2, její hranice je zobecněná (n 1)-plocha ve smyslu předchozí definice a poznámky. Všechny integrované (skalární či vektorové) funkce jsou (pro jednoduchost) spojité spolu se všemi potřebnými derivacemi na.
9 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce Úmluva V následujících větách budeme předpokládat: je omezená souvislá otevřená množina v R n, n 2, její hranice je zobecněná (n 1)-plocha ve smyslu předchozí definice a poznámky. Všechny integrované (skalární či vektorové) funkce jsou (pro jednoduchost) spojité spolu se všemi potřebnými derivacemi na. Symbolem ν označujeme jednotkový vektor vnější normály k, v bodech, ve kterých existuje.
10 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Věta 14.1 Pro f : R n R, resp. T : R n R n platí (za předpokladů předchozí úmluvy):
11 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Věta 14.1 Pro f : R n R, resp. T : R n R n platí (za předpokladů předchozí úmluvy): Gauss-Green-Ostrogradský, pro k {1,...,n}: f dx = fν k ds. (1) x k
12 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Věta 14.1 Pro f : R n R, resp. T : R n R n platí (za předpokladů předchozí úmluvy): Gauss-Green-Ostrogradský, pro k {1,...,n}: f dx = fν k ds. (1) x k Věta o divergenci: div T dx = T ν ds. (2)
13 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Věta 14.2 Pro u, v : R n R platí (za předpokladů předchozí úmluvy):
14 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Věta 14.2 Pro u, v : R n R platí (za předpokladů předchozí úmluvy): Integrace per partes (po složkách), pro k {1,...,n}: u v dx = u v ν k ds v u dx. (3) x k x k
15 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Věta 14.2 Pro u, v : R n R platí (za předpokladů předchozí úmluvy): Integrace per partes (po složkách), pro k {1,...,n}: u v dx = u v ν k ds v u dx. (3) x k x k Integrace per partes (vektorově): u v dx = u v ν ds v u dx. (4)
16 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Věta 14.3 Pro u, v : R n R platí (za předpokladů předchozí úmluvy):
17 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Věta 14.3 Pro u, v : R n R platí (za předpokladů předchozí úmluvy): 1. Greenova formule: u v dx = kde u ν v u ν ds v u dx, (5) := u ν je derivace ve směru vektoru ν.
18 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Věta 14.3 Pro u, v : R n R platí (za předpokladů předchozí úmluvy): 1. Greenova formule: u v dx = kde u ν v u ν ds v u dx, (5) := u ν je derivace ve směru vektoru ν. 2. Greenova formule: ( ) u v v u dx = ( u v ν u ) v ds. (6) ν
19 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Důsledek 14.4 Pro u : R n R platí (za předpokladů předchozí úmluvy):
20 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Důsledek 14.4 Pro u : R n R platí (za předpokladů předchozí úmluvy): u dx = u ds. (7) ν
21 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Důsledek 14.4 Pro u : R n R platí (za předpokladů předchozí úmluvy): u dx = u ds. (7) ν Dále platí (je-li ν jednotkový vektor vnější normály k ): ν ds = 0. (8)
22 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Poznámky k důkazům vzorců(1) (8): Vzorec (1) považujeme za základní a nebudeme jej dokazovat. Všimněte si však jeho bezprostřední analogie se známým (jednodimenzionálním) Newton-Leibnizovým vztahem, platným např. pro f C 1 ( a, b ), b a f dx = f(b) f(a). (9)
23 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Poznámky k důkazům vzorců(1) (8): Vzorec (1) považujeme za základní a nebudeme jej dokazovat. Všimněte si však jeho bezprostřední analogie se známým (jednodimenzionálním) Newton-Leibnizovým vztahem, platným např. pro f C 1 ( a, b ), b a f dx = f(b) f(a). (9) Interval (a, b) v (9) hraje roli množiny ve vztahu (1), jeho hranicí jsou dva body a a b. Hodnoty v hraničních bodech f(b) a f(a) na pravé straně (9) jsou násobeny hodnotami 1 a 1, které lze chápat jako hodnoty "vnější jednotkové normály k intervalu (a, b)", v bodech a a b.
24 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Vztah (2) plyne z (1): dosad te f := T k v (1) a sečtěte přes k.
25 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Vztah (2) plyne z (1): dosad te f := T k v (1) a sečtěte přes k. Vztah (3) plyne z (1): dosad te f := uv v (1) a derivujte součin na levé straně.
26 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Vztah (2) plyne z (1): dosad te f := T k v (1) a sečtěte přes k. Vztah (3) plyne z (1): dosad te f := uv v (1) a derivujte součin na levé straně. Vztah (4) je jen vektorovým zápisem vztahu (3). Vztah (5) plyne z (3): místo u dosad te u x k a takto vzniklé rovnosti sečtěte přes k.
27 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Vztah (2) plyne z (1): dosad te f := T k v (1) a sečtěte přes k. Vztah (3) plyne z (1): dosad te f := uv v (1) a derivujte součin na levé straně. Vztah (4) je jen vektorovým zápisem vztahu (3). Vztah (5) plyne z (3): místo u dosad te u x k a takto vzniklé rovnosti sečtěte přes k. Vztah (6) plyne z (5): napište si modifikaci vztahu (5), tak, že prohodíte roli u a v. Potom odečtěte (5) a tento modifikovaný vztah.
28 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Vztah (2) plyne z (1): dosad te f := T k v (1) a sečtěte přes k. Vztah (3) plyne z (1): dosad te f := uv v (1) a derivujte součin na levé straně. Vztah (4) je jen vektorovým zápisem vztahu (3). Vztah (5) plyne z (3): místo u dosad te u x k a takto vzniklé rovnosti sečtěte přes k. Vztah (6) plyne z (5): napište si modifikaci vztahu (5), tak, že prohodíte roli u a v. Potom odečtěte (5) a tento modifikovaný vztah. Vztah (7): položte v = 1 v (5).
29 14.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce (pokrač.) Vztah (2) plyne z (1): dosad te f := T k v (1) a sečtěte přes k. Vztah (3) plyne z (1): dosad te f := uv v (1) a derivujte součin na levé straně. Vztah (4) je jen vektorovým zápisem vztahu (3). Vztah (5) plyne z (3): místo u dosad te u x k a takto vzniklé rovnosti sečtěte přes k. Vztah (6) plyne z (5): napište si modifikaci vztahu (5), tak, že prohodíte roli u a v. Potom odečtěte (5) a tento modifikovaný vztah. Vztah (7): položte v = 1 v (5). Vztah (8): položte u = v = 1 v (4).
30 14.3 Greenova a Stokesova věta Věta 14.5 (Green) Bud n=2. Pro T : R 2 R 2 platí (za předpokladů předchozí úmluvy, tj. speciálně je sjednocení konečného počtu hladkých křivek a bodů):
31 14.3 Greenova a Stokesova věta Věta 14.5 (Green) Bud n=2. Pro T : R 2 R 2 platí (za předpokladů předchozí úmluvy, tj. speciálně je sjednocení konečného počtu hladkých křivek a bodů): ( T1 + T ) 2 dx = T ν dϕ, (10) x 1 x 2
32 14.3 Greenova a Stokesova věta Věta 14.5 (Green) Bud n=2. Pro T : R 2 R 2 platí (za předpokladů předchozí úmluvy, tj. speciálně je sjednocení konečného počtu hladkých křivek a bodů): ( T1 + T ) 2 dx = T ν dϕ, (10) x 1 x 2 ( T2 T ) 1 dx = T τ dϕ, (11) x 1 x 2 kde ν je vnější normálový vektor (k ) a τ tečný vektor ke křivce, která "obíhá" tak, že má "po levé ruce".
33 14.3 Greenova a Stokesova věta (pokrač.) Poznámka Jiný zápis předchozích dvou vztahů (10), (11) (stále jsme v R n pro n = 2) je
34 14.3 Greenova a Stokesova věta (pokrač.) Poznámka Jiný zápis předchozích dvou vztahů (10), (11) (stále jsme v R n pro n = 2) je div T dx = T ν dϕ, (12)
35 14.3 Greenova a Stokesova věta (pokrač.) Poznámka Jiný zápis předchozích dvou vztahů (10), (11) (stále jsme v R n pro n = 2) je div T dx = rot T dx = T ν dϕ, (12) T τ dϕ, (13) kde rot T = T 2 x 1 T 1 x 2 je "dvourozměrná rotace dvourozměrného pole T = (T 1, T 2 )" (třetí souřadnice třirozměrné rotace pole T = (T 1, T 2, 0)).
36 14.3 Greenova a Stokesova věta (pokrač.) Poznámka Jiný zápis předchozích dvou vztahů (10), (11) (stále jsme v R n pro n = 2) je div T dx = rot T dx = T ν dϕ, (12) T τ dϕ, (13) kde rot T = T 2 x 1 T 1 x 2 je "dvourozměrná rotace dvourozměrného pole T = (T 1, T 2 )" (třetí souřadnice třirozměrné rotace pole T = (T 1, T 2, 0)). Zobecněním vztahu (13) do tří dimenzí je tzv. Stokesova věta.
37 14.3 Greenova a Stokesova věta (pokrač.) Věta 14.6 (Stokes) Bud (S, ν) R 3 hladká orientovaná 2-plocha taková, že S = ϕ, kde ϕ je Jordanova křivka, obíhající (S, ν) v kladném smyslu, tj. v souladu "s pravidlem palce pravé ruky". Potom (platí-li stále úmluva z počátku této kapitoly)
38 14.3 Greenova a Stokesova věta (pokrač.) Věta 14.6 (Stokes) Bud (S, ν) R 3 hladká orientovaná 2-plocha taková, že S = ϕ, kde ϕ je Jordanova křivka, obíhající (S, ν) v kladném smyslu, tj. v souladu "s pravidlem palce pravé ruky". Potom (platí-li stále úmluva z počátku této kapitoly) (S, ν) rot T ν ds = ϕ T τ dϕ = ϕ T d ϕ. (14)
39 14.3 Greenova a Stokesova věta (pokrač.) Poznámka (integrální reprezentace divergence) Necht K r (x 0 ) R n je koule o středu x 0 R n a poloměru r (0, R), a T C 1 (K R (x 0 )), pak div T(x 1 0 ) = lim T ν ds. (15) r 0+ λ n (K r (x 0 )) K r(x 0 )
40 14.3 Greenova a Stokesova věta (pokrač.) Poznámka (integrální reprezentace rotace) Necht (S, ν) S r (x 0 ) R 3 je dvourozměrný orientovaný kruh o středu x 0 R 3 a poloměru r (0, R), který leží v rovině rovnoběžné z některou dvojicí souřadných rovin (xy, xz nebo yz), s hranicí S = ϕ, orientovanou v souladu se Stokesovou větou. Necht dále T C 1 (K R (x 0 )). Pak ( rot T ) 1 ν (x 0 ) = lim T τ dϕ. (16) r 0+ λ 2 (S r (x 0 )) ϕ
41 14.4 Závěr To je letos vše, přeji pěkné prázdniny a nashledanou v příštím školním roce.
VEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál
Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
VEKTOROVÁ POLE Podíváme se podrobněji na vektorové funkce. Jde často o zkoumání fyzikálních veličin jako tlak vzduchu, proudění tekutin a podobně. VEKTOROVÁ POLE Na zobrazení z roviny do roviny nebo z
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Skalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule).
LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). uzavřená hladká kraj LOCHY lochy v prostoru, které byly zatím
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 18 Vektorová analýza a teorie pole Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 18 Vektorová funkce jedné
svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny
Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu
Matematika 2 (2016/2017)
Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více
13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
y ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných
Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTERÁL JAN MALÝ Obsah 1. Plochy a křivky 1 2. Křivkový a plošný integrál prvého druhu 1 3. Křivkový integrál druhého druhu 3 4. Elementy teorie pole 4 5. Plošný integrál kodimenze 1
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
Význam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
Matematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky
Matematika III Základy vektorové analýzy Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Skalární a vektorový součin Skalární součin Vektorový součin
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Matematika pro chemické inženýry
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní
14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Diferenciální geometrie
Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5
Obsah. 1 Afinní prostor 2. 2 Křivky 10
Matematická analýza 3 1 Obsah 1 Afinní prostor 2 2 Křivky 10 3 Křivkové integrály, Greenova věta 15 3.1 Křivkové integrály................. 15 3.2 Greenova věta.................... 18 3.3 Důsledky Greenovy
Kristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,
Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
APLIKACE. Poznámky Otázky
APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy
Elementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
Co jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Numerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu
6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ
DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)
3 Křivkové integrály, Greenova věta Křivkové integrály Greenova věta Důsledky Greenovy věty... 20
Matematická analýza 3 1 Obsah 1 Afinní prostor 2 2 Křivky 10 3 Křivkové integrály, Greenova věta 15 3.1 Křivkové integrály................. 15 3.2 Greenova věta.................... 18 3.3 Důsledky Greenovy
Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
1 Integrál komplexní funkce pokračování
Integrál komplexní funkce pokračování Definice. Nechť D a F ) je taková funkce, že F ) = f) pro všechna D. Pak F ) naýváme primitivní funkcí k funkci f) v oblasti D. Protože při integraci funkce f po křivce,
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
PLOŠNÉ INTEGRÁLY PLOCHY
LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). LOCHY lochy v prostoru, které byly zatí hlavně používány, byly
1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Parametrické rovnice křivky
Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou
Matematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
INTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
Matematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
Kristýna Kuncová. Matematika B3
(7) Křivky a křivkový integrál Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 1 / 39 y Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 2 / 39 y Kristýna Kuncová (7) Křivky
MA2, M2. Kapitola 4. Vektorové funkce jedné reálné proměnné. c 2009, analyza.kma.zcu.cz
79 Kapitola 4 Vektorové funkce jedné reálné proměnné 80 Definice 4.1(vektorová funkce jedné reálné proměnné) Nechť D R.Zobrazení x: D R n se nazývá vektorová funkce jedné reálné proměnné t s definičním
1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Potenciál vektorového pole
Kapitola 12 Potenciál vektorového pole 1 Definice a výpočet Důležitým typem vektorového pole je pole F, pro které existuje spojitě diferencovatelná funkce f tak, že F je pole gradientů funkce f, tedy F
Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012
Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012 Robert Mařík 23. ledna 2015 2 Obsah 1 Přednášky 2012 5 2 Písemky 2012 9 3 4 OBSAH Kapitola 1 Přednášky 2012 1. prednaska, 16.2.2012 -----------------------
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(8) Funkce více proměnných Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 1 / 19 Parciální derivace Definice Derivaci funkce f : R R v bodě a definujeme jako limitu f f (a +
ZS: 2017/2018 NMAF061 F/2 J. MÁLEK. Matematika pro fyziky I. Posluchárna: T2 T1 Konzultační hodiny: pátek 9:40-10:30, posluchárna T5
ZS: 2017/2018 NMAF061 F/2 J. MÁLEK Matematika pro fyziky I OBECNÉ INFORMACE A SYLABUS Přednášející: Cvičící: Josef Málek Michal Báthory, Tomáš Los, Michal Pavelka, Vít Průša Termíny přednášek: Čtvrtek
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Matematická analýza 4
Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
Maturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
7. Integrál přes n-rozměrný interval
7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme
Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
U V W xy 2 x 2 +2z 3yz
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 V.5. Gaussova-strogradského věta Má-li vektorováfunkce f (U,V,W spojitévšechn parciálníderivacevotevřenémnožině G E 3, pak skalární
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů