13. cvičení z Matematické analýzy 2

Transkript

1 . cvičení z atematické analýz května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2 + x+z, 2 x+z, x+z 2. iii F x,, z z, z, x z 2. Řešení: Práce síl F v oblasti tj. otevřené souvislé množině z bodu A do bodu B nezávisí na dráze právě kdž pole má potenciál, tj. existuje funkce f : R, že gradf F. Pokud je oblast navíc jednoduše souvislá tj. jakákoliv uzavřená křivka v se dá v rámci spojitě stáhnout do bodu, pak toto nastává právě kdž rot F na celém. Příkladem jednoduše souvislé oblasti je R n nebo R \ {}. Příkladem oblasti, která není jednoduše souvislá je R 2 \ {}, R \ osa x nebo torus tj. pneumatika. V našem případě je oblastí celé R, ted jednoduše souvislá oblast. Pole rotace je definováno jako rot F F i j k x F F 2 F F F 2, F x + F, F 2 x F kde x,, je formálně definovaný vektor složený z operátorů parciálních derivací. Poznámka: Jestliže pole F vznikne jako gradient f, pak jeho rotace je nulová a tato nulovost vlastně znamená záměnnost druhých parciálních derivací funkce f. Nulová rotace je ale jen nutnou podmínkou pro existenci potenciálu v případě, že oblast není jednoduše souvislá, jak ukazuje příklad vektorového pole F x 2 + 2, x x 2 + 2, na množině {x,, z R x }, která není jednoduše souvislá. áme rot F 2x,, x x x ale práce síl F podél kružnice Γ : ϕα cos α, sin α,, α, 2π je nenulová: F d s sin α, cos α, sin α cos α dα dα 2π. Γ Pole ted nemá potenciál na celém. Na druhé straně, na určitých podmnožinách lze potenciál pole F nalézt, např. f x,, z arctg na {x,, z R x } x nebo f 2 x,, z arccotg x na 2 {x,, z R }. i Po dosazení máme rot F,,,

2 ted rotace je nulová na celém R a pole F má potenciál. Potenciál je funkce f : R R taková, že Z první rovnice dostaneme fx,, z x x x 2 ze z. x 2 + dx x + x + C, z, kde C : R 2 R je neznámá funkce závislá nní pouze na a z. Nalezený tvar funkce f ted dosadíme do druhé rovnice 2 + x x + x + C, z x + C ted C 2. Dostáváme C, z 2 d + Dz, kde D : R R je opět neznámá funkce závislá pouze na z. Zatím ted máme fx,, z x a dosazením do poslední rovnice máme ze z x + x + + Dz + x + + Dz D. Takže Dz ze z dz z e z + K, kde K R je konstanta. Celkově tak máme potenciál fx,, z x + x + + z ez + K. ii Podobně jako v předchozím příkladu máme rot F x + z 2 x + z 2, 2 x + z 2 x + z, x + z 2 x + z 2. Rotace je opět nulová na celém R a pole F má potenciál. Pro potenciál f máme x x2 + x + z 2 4 x + z 5 x + z 2. 6 Page 2

3 Začneme třeba druhou rovnici: fx,, z x + z d + Cx, z, x + z kde C : R 2 R je neznámá funkce závislá nní pouze na x a z. Nalezený tvar funkce f ted dosadíme do třetí rovnice x + z 2 + Cx, z x + z x + z 2 + C ted C. Dostáváme Cx, z Dx, kde D : R R je opět neznámá funkce závislá pouze na x. Dostáváme ted zatím fx,, z x + z + Dx a dosazením do poslední rovnice máme x 2 + x + z 2 x x x + z + Dx x + z 2 + D x. Takže Dx x 2 dx x + K, kde K R je konstanta. Celkově tak máme potenciál fx,, z x + z + x + K. iii Pokud se nám podaří najít potenciál, nepotřebujeme počítat rotaci. Pro potenciál f musí platit Začneme třeba první rovnici: fx,, z x z 7 z 8 x z 2. 9 z dx x + C, z, z kde C : R 2 R je neznámá funkce závislá nní pouze na a z. Nalezený tvar funkce f ted dosadíme do druhé rovnice z x z + C, z C ted Dostáváme C, z z d z z. Dostáváme ted zatím C z. + Dz, kde D : R R je opět neznámá funkce závislá pouze na fx,, z x z + Dz Page

4 a dosazením do poslední rovnice máme Takže D x z 2 x z + Dz x z 2 + D. a ted Dz K, kde K R je konstanta. Celkově tak máme potenciál fx,, z x z + K..2 plošný integrál z funkce počítejte i ii iii z d, kde je částí válce x mezi rovinami z a z x +. z d, kde je povrch popsaný parametrick rovnicemi x uv, u + v, z u v a u 2 + v 2. kde je povrch polokoule x z 2 4, z. x 2 z + 2 z d, Řešení: Integrál z funkce f : R je určený jako f d kde Φ : je vhodná parametrizace. fφu, v u d, i Plocha je určena jako : x & z x +. Její parametrizaci vtvoříme pomocí clindrických souřadnic jako Φϕ, z cos ϕ, sin ϕ, z áme : ϕ 2π & z + cos ϕ. sin ϕ, cos ϕ, ϕ Page 4

5 a Takže pro funkci fx,, z z máme,, ϕ cos ϕ, sin ϕ, ϕ. f d z d +cos ϕ z dz dϕ + cos ϕ 2 2 dϕ 2π 2 + cos ϕ + cos2 ϕ 2 dϕ π + + π 2 2 π. ii Plochu máme nní definovanou jako Φ, kde a Φ : R, : u 2 + v 2 Φu, v uv, u + v, u v. Ověříme ještě, že Φ je skutečně parametrizace ploch tj. Φ je prosté a hodnost derivace Φ je 2. Prostota Φ plne z toho, ze druhá a třetí souřadnice tohoto zobrazení tj. u + v a z u v tvoří regulární lineární zobrazení které je prosté. Hodnost derivace ověříme jako v předchozím případě pomocí vektorového součinu: v,, u a u 2, v + u, v u u,, Pro integrál pak máme z d u 2 v 2 2u 2 + v d 2π r cos 2 ϕ sin 2 ϕ 2r dr dϕ protože druhý integrál je nulový. u 2u 2 + v [ ur cos ϕ ] vr sin ϕ r,ϕ,,2π r 2r dr cos 2ϕ dϕ, Poznámka: ůžeme ještě určit, jak vlastně plocha vpadá. Z rovnic u + v a z u v dostaneme u z+ a 2 v z 2. Takže x uv 2 z 2 a u v 2 z Celkově ted máme vztah 4 2 z 2 4x, 2 + z 2 4 což je část hperbolického paraboloidu tj. sedlo nacházející se uvnitř válce s osou x a poloměrem 2. iii Plochu {x,, z R x z 2 4 & z } parametrizujeme pomocí sférických souřadnic jako Φϕ, ϑ 2 sin ϑ cos ϕ, 2 sin ϑ sin ϕ, 2 cos ϑ Page 5

6 : ϕ 2π & ϑ π 2. Dále máme 2 sin ϑ sin ϕ, 2 sin ϑ cos ϕ, ϕ 2 cos ϑ cos ϕ, 2 cos ϑ sin ϕ, 2 sin ϑ. ϑ Výpočet norm vektorového součinu si zjednodušíme tím, že si všimneme, že dané vektor jsou na sebe kolmé, tj. u. Pak je u u 4 sin ϑ. áme ted x 2 z + 2 z d 8 sin 2 ϑ cos ϑ 4 sin ϑ d [ ] ϑ π 2π 8 sin 4 2 ϑ ϑ π 2 6π. 2 sin ϑ cos ϑ dϑ dϕ. plošný integrál z funkce - aplikace rčete hmotnost ploch, která je leží na plášti kuželu z x a je vmezená pomocí z 4, jestliže její plošná hustota je dána jako ρx,, z z. Řešení: Hmotnost ploch je určena jako Takže máme ρ d. Plocha je parametrick určena např. jako graf funkce pomocí: Φ x,, x : x ρ d z d x dxd 2π 4 r r drdϕ 2π 4 [5r 2 r [ xr cos ϕ ] r sin ϕ r 4 ϕ 2π r r dr dϕ ] r4 r 8π. Page 6

7 .4 plošný integrál z vektorového pole - tok počítejte F d kde i F x,, z, x, z, je část paraboloidu z x 2 2 pro z s orientaci danou vektorovým polem směřujícím vzhůru. ii F x,, z, x, z 2 a je šroubová plocha s parametrizací Φu, v u cos v, u sin v, v, u, v π a orientací indukovanou touto parametrizací. iii F x,, z e, e x, x 2 a je částí paraboloidu z x 2 + 2, x, s horní orientací. Řešení: Tok vektorového pole F : R orientovanou plochou R se spočítá jako F d F Φu, v u d, kde Φ : je opět vhodná parametrizace, R 2, a orientace daná vektorovým polem u souhlasí se zadanou parametrizací ploch. Pokud b orientace nesouhlasila, stačí jen změnit pořadí ve vektorovém součinu, tj. změnit znaménko integrálu. i Plochu zparametrizujeme přirozeně jako graf funkce: Φx, x,, x 2 2 áme a : x x,, 2x,, 2 x 2, 2x,. Třetí složka tohoto vektoru je kladná, takže toto pole je orientované v souhlase se zadáním. Takže máme F d + x d F Φx, x d [ xr cos ϕ ] r sin ϕ r ϕ 2π 2π [ + r 2 2 2π 4 + r 2 r drdϕ ] r r, x, x π. 2 2x d + r 2 r dr dϕ Page 7

8 ii áme u cos v, sin v, u sin v, u cos v, a orientace indukovaná touto parametrizací je dána vektorovým polem máme Takže pro u sin v, cos v, u. : u & v π F d F Φu, v u d usin 2 v cos 2 v + v 2 u d u du π u sin v, u cos v, v 2 cos2v dϕ + sin v cos v u u dr π d v 2 dϕ π 6. iii Plocha je grafem funkce fx, x 2 + 2, takže ji přirozeně parametrizujeme pomocí Φx, x,, fx, x,, x áme a Třetí složka vektoru nahoru. áme tak x F d 2xe 2 2 e x + x 2 dx d : x &.,, 2x x,, 2 x 2x, 2, je kladná, ted tento normálový vektor odpovídá zadané orientací ploch F Φx, x d e, e x, x 2 2x 2 d e 2 2 e + d e 2 e e. Page 8

9 .5 plošný integrál z vektorového pole - tok počítejte F d kde F x,, z x 2, 2, z 2 a je sféra x a 2 + b 2 + z c 2 R 2 s vnější orientací a R > je parametr. Řešení: Integrál spočítáme podle definice ale lze použít i Gaussovu větu, protože jde o uzavřenou plochu. Plochu zparametrizujeme přirozeně pomocí posunutých sférických souřadnic: Φ : x a b z c R sin ϑ cos ϕ R sin ϑ sin ϕ R cos ϑ áme a : ϕ 2π & ϑ π. ϕ R sin ϑ sin ϕ, R sin ϑ cos ϕ, ϑ R cos ϑ cos ϕ, R cos ϑ sin ϕ, R sin ϑ ϕ ϑ R sin ϑ R sin ϑ cos ϕ, R sin ϑ sin ϕ, R cos ϑ R sin ϑ x a, b, z c. Vektor x a, b, z c míří směrem od bodu a, b, c k bodu x,, z. Takže vektorový součin má opačný směr, než zadaná vnější orientace sfér. Proto místo vezmeme v integrálu ϑ ϕ. Pro skalární součin vektoru v integrálu ted máme F Φ ϑ ϕ R sin ϑ a + R sin ϑ cos ϕ 2, b + R sin ϑ sin ϕ 2, c + R cos ϑ 2 ϕ ϑ R sin ϑ cos ϕ R sin ϑ sin ϕ R cos ϑ [ R 2 sin ϑ 2R a cos 2 ϕ sin 2 ϑ + b sin 2 ϕ sin 2 ϑ + c cos 2 ϑ + c 2 cos ϑ + R 2 cos ϑ + kde tečk znamenají výraz, ze kterých se dá vtknout bud pouze sin ϕ nebo pouze cos ϕ a to v liché mocnině. V integrálu pak tto výraz dají nulu. Takže už můžeme psát F d ϕ 2π ϑ π [ R 2 sin ϑ 2R a cos 2 ϕ sin 2 ϑ + b sin 2 ϕ sin 2 ϑ + c cos 2 ϑ ] + c 2 cos ϑ + R 2 cos ϑ dϕ dϑ ] Page 9

10 π [ R 2 sin ϑ 2R πa sin 2 ϑ + πb sin 2 ϑ + 2πc cos 2 ϑ ] + 2πc 2 cos ϑ + 2πR 2 cos ϑ dϑ 2R πa + b 2R πa + b +R 2 πc 2 π π π sin ϑ dϑ + 4R πc sin2ϑ dϑ + 2R 4 π [ cos 2 ϑ sin ϑ dϑ + 4R πc 2R πa + b R πc 2 π π cos 2 ϑ sin ϑ dϑ + cos ϑ sin ϑ dϑ cos ϑ ] ϑπ [ + 2R 4 π ϑ 8πR a + b + c. cos4 ϑ ] ϑπ 4 ϑ Page