y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "y ds, z T = 1 z ds, kde S = S"

Transkript

1 Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných integrálů prvního druhu x T = x d, y T = y d, z T = z d, kde = d je obsah plochy. Abychom našli příslušné plošné integrály, nejprve napíšeme parametrické rovnice dané plochy. Jestliže za parametry zvolíme souřadnice x a y, lze psát kde množina je dána nerovnostmi x = x, y = y, z = x y, x, y R, x >, y >, x y >. Ještě musíme v této parametrizaci najít element plochy d. Postupně dostaneme t x =,,, t y =,,, n = t x t y =,,, n = 3. Tedy pro souřadnice těžiště platí x T = x 3 dx dy, y T = y 3 dx dy, z T = x y 3 dx dy, kde = 3 dx dy. Ještě musíme najít dvojné integrály přes množinu. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu ve tvaru plyne z Fubiniovy věty = < y < x, x > = < x, x > = < x <, 3 dx dy = 3 3x dx dy = 3 dx 3y dx dy = 3 dx 3 x y dx dy = 3 dx A tedy souřadnice těžiště dané plochy jsou x dx x x x dy = 3 3 x dx =, x dy = 3 3 x x dx = 6, 3 3 y dy = x dx = 6, 3 x y dy = x dx = x T = y T = z T = počtěte d, kde je hranice čtyřstěnu ohraničeného rovinou x y z = a x y souřadnicovými rovinami. Typeset by AM-TEX

2 Řešení: Plocha je sjednocení čtyř rovin,, 3, 4, kde : x =, y >, z >, y z <, : y =, x >, z >, x z <, 3 : z =, x >, y >, x y <, 4 : z = x y, x >, z >, x y <, a hran čtyřstěnu. Protože hrany čtyřstěnu mají míru nula, lze daný integrál můžeme tedy počítat jako d x y = d x y Parametrizace jednotlivých ploch jsou d x y 3 d x y 4 : x =, y, z = { y >, z >, y z < } ; d = dy dz, : y =, x, z = { x >, z >, x z < } ; d = dx dz, 3 : z =, x, y 3 = { x >, y >, x y < } ; d = dx dy, 4 : z = x y, x, y 4 = { x >, y >, x y < } ; d = 3 dx dy, kde jsme element plochy d s parametrickými rovnicemi z = zx, y počítali podle vztahu d = z z dx dy, y d x y. resp. z analogických vztahů pro plochy dané rovnicí x = xy, z nebo y = yx, z. Z toho dostaneme d x y = dy dz y dx dz x 3 dx dy x y 4 3 dx dy x y. Dvojné integrály snadno nalezneme podle Fubiniovy věty, když napíšeme nerovnosti ve tvaru x >, y >, x y < = < y < x, < x <. Když ještě sloučíme první a druhý a třetí a čtvrtý integrál, dostaneme d x y = = z dz z dy y 3 x dy dx x y = dz 3 x dx = 3 3 ln 4. = ln 3 ln = Určete obsah plochy = { x, y, z R 3 ; x y = z ; < z < }. Řešení: Protože je plocha dána rovnicí z = x y, < z = lze počítat element plochy ze vztahu d = z x y < = < x y < 4, z dx dy = x y y dx dy

3 a výpočet plochy převést na dvojný integrál = d = x y dx dy, kde R je dána nerovností x y < 4. Protože je kruh se středem v počátku a poloměrem, je při výpočtu dvojného integrálu použít polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Z rovnice, která definuje množinu plyne x y < 4 = < r <, < ϕ < π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak dostaneme = dr r r dϕ = π r [ r dr = π r ] 3/ = 3 π Určete obsah plochy = { x, y, z R 3 ; x y z = R, x y < Rx, z > }. Řešení: Jestliže se rozhodneme počítat obsah plochy plošným integrálem prvního druhu, musíme najít nějaké její parametrické rovnice. Protože je z >, lze z rovnice, která definuje plochu vypočítat z = zx, y a za parametry zvolit x a y. Pak je z = R x y, x, y = { x y < Rx, x y R }. Při této volbě parametrických rovnic je Obsah plochy tedy je d = z = kde množina R je dána nerovnostmi z dx dy = y d = R dx dy R x y, R dx dy R x y. x y < Rx, x y R. Abychom našli dvojný integrál přes množinu, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. V těchto souřadnicích dostaneme z rovnic x y < Rx, x y R = < r < R cos ϕ, cos ϕ > = π ϕ π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty proto platí = π/ R cos ϕ dϕ Rr dr π/ [ R R r = ] R cos ϕ R r = π/ = R sin ϕ dϕ = π R. 3 π/ R sin ϕ dϕ =

4 Vypočtěte plošný integrál x y d, kde je hranice tělesa x y z. Řešení: Plocha je až na množinu nulové dvourozměrné míry rovna sjednocení =, kde : x y = z, z < ; : z =, x y. Proto platí x y d = x y d x y d. Obě plochy můžeme parametrizovat jako graf funkce z = zx, y s parametry a a y: : z = x y, x, y = { x y < } ; d = dx dy, : z =, x, y = { x y < } ; d = dx dy, kde jsme element plochy d počítali ze vztahu d = z z dx dy. y Protože = a výraz x y je na obou plochách stejný, převedli jsme daný plošný integrál na dvojný integrál x y d = x y dx dy x y dx dy = x y dx dy. Tento dvojný integrál snadno nalezneme v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože v polárních souřadnicích je množina dána nerovností < r <, dostaneme podle věty o substituci a Fubiniovy věty počtěte x y d = dr r 3 dϕ = π. xy d, kde = { x, y, z R 3 ; z = x y, < z < }. Řešení: Protože máme plochu vyjádřenou jako graf funkce z = zx, y, vezmeme za parametry proměnné x a y a za parametrickou rovnici plochy budeme považovat funkci z = x y, < x y < ; d = z Takto můžeme daný plošný integrál vyjádřit jako dvojný integrál xy d = xy 4x 4y dx dy, 4 z dx dy = 4x y 4y dx dy

5 kde R je dána nerovností x y <. Ve dvojném integrálu se nabízí zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Nerovnost, která definuje plochu, má v polárních souřadnicích tvar r <, a proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty xy d = dr [ = 4 sin ϕ ] π/ r 3 cos ϕ sin ϕ 4r dϕ = kde jsme při integraci použili substituci 4r = t. t t dt = 49 3, možná cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 4r dr = počtěte moment setrvačnosti J z = x y d plochy vzhledem k ose z, je-li plocha hranicí tělesa V = { x, y, z R 3 ; x y < z, < z < }. Řešení: Plocha je až na množinu nulové dvourozměrné míry rovna sjednocení =, kde Proto platí : x y = z, < z < ; : z =, x y. J z = x y d = x y d x y d. Obě plochy můžeme parametrizovat jako graf funkce z = zx, y s parametry a a y: : z = x y, x, y = { x y < } ; d = dx dy, : z =, x, y = { x y < } ; d = dx dy, kde jsme element plochy d počítali ze vztahu d = z z dx dy. y Protože = a výraz x y je na obou plochách stejný, převedli jsme daný plošný integrál na dvojný integrál J z = x y dx dy x y dx dy = x y dx dy. Tento dvojný integrál snadno nalezneme v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože v polárních souřadnicích je množina dána nerovností < r <, dostaneme podle věty o substituci a Fubiniovy věty J z = dr r 3 dϕ = π. Určete d x y, kde = { x, y, z R 3 ; x y z =, x >, y >, z > }. 5

6 Řešení: Protože je plocha parametrizována jako graf graf funkce z = x y, kde x >, y > a z = x y >, zvolíme za parametry proměnné x a y a d = z Pak lze plošný integrál najít jako dvojný integrál kde R je definována nerovnostmi Když zapíšeme tyto nerovnosti ve tvaru z dx dy = 3 dx dy. d 3 dx dy x y = x y, x >, y > a x y <. < y < x, x > = < x, x > = < x < a použijeme k výpočtu dvojného integrálu Fubiniovu větu, dostaneme Určete d x 3 dy x y = dx x y = 3 x 3 dx = ln 4. x y d, kde je část šroubové plochy dané parametricky rovnicemi: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = ϕ; < ρ <, < ϕ < π. Řešení: Protože je plocha dána parametrickými rovnicemi x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = ϕ, ρ, ϕ = { < ρ <, < ϕ < π }, musíme najít element plochy d. Ten dostaneme takto: t ρ = cos ϕ, sin ϕ,, t ϕ = ρ sin ϕ, ρ cos ϕ, = n = t ρ t ϕ = sin ϕ, cos ϕ, ρ = = d = n dρdϕ = ρ dρdϕ. A protože ne ploše je x y = ρ, je plošný integrál roven dvojnému integrálu x y d = = π ρ ρ dρdϕ = dρ ρ ρ dϕ = ρ [ ρ dρ = π 3 ρ ] 3/ = π. 3 Určete xy yz xz d, kde je část kuželové plochy z = x y, která leží uvnitř válce x y < x. Řešení: Protože je plocha dána jako graf funkce z = x y, kde x, y, = { x, y R ; x y < x }, 6

7 najdeme element plochy d jako d = z Pak lze plošný integrál najít jako dvojný integrál z dx dy = dx dy. xy xz yz d = xy x y x y dx dy. Dvojný integrál přes množinu lze najít třeba pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. Protože nerovnosti, které definují množinu jsou v souřadnicích r a ϕ x y < x = < r < cos ϕ = cos ϕ > = π < ϕ < π, je podle věty o substituci a Fubiniovy věty xy xz yz d = = 4 π/ π/ dϕ cos ϕ r cos ϕ sin ϕ r cos ϕ sin ϕ r dr = cos 5 ϕ sin ϕ cos 4 ϕ sin ϕ cos 5 ϕ = 4 [ 6 cos6 ϕ 5 cos5 ϕ ] π/ π/ dϕ = = Určete x y z d, kde = { x, y, z R 3 ; x y z = R, z > }. Řešení: Protože je podle zadání z >, lze plochu vyjádřit jako graf funkce Pak je element plochy z = R x y, x, y = { x, y R ; x y < R }. d = z z dx dy = a daný plošný integrál lze počítat jako dvojný integrál R dx dy R x y x y z d = x y R x y R dx dy R x y. Abychom našli dvojný integrál přes kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože množina je v těchto souřadnicích definována nerovnostmi < r < R a < ϕ < π, 7

8 je podle věty o substituci a Fubiniovy věty x y z d = R Vypočtěte plošný integrál dr u sin v, z = v; < u < a, < v < π. r cos ϕ r sin ϕ R r Rr dϕ R R r = πr r dr = πr 3. x d, kde je dána parametrickými rovnicemi x = u cos v, y = Řešení: Protože je plocha dána parametrickými rovnicemi { x = u cos v, y = u sin v, z = v, u, v = u, v R ; < u < a, < v < π}, najdeme nejprve element plochy d takto: t u = cos v, sin v,, t v = u sin v, u cos v, = n = t u t v = sin v, cos v, u = = d = n dudv = u dudv. Při této parametrizaci lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu jako x d = u cos v u dudv a podle Fubiniovy věty platí x d = a du u cos v u dv = [ 3 u ] 3/ a a 3/ =. 3 Vypočtěte plošný integrál z d, kde je část kuželové plochy x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α; < r < a, < ϕ < π, kde α, π je konstantní. Řešení: Protože je plocha dána parametrickými rovnicemi najdeme nejprve element plochy d takto: x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α, r, ϕ = { r, ϕ R ; < r < a, < ϕ < π }, t r =cos ϕ sin α, sin ϕ sin α, cos α, t ϕ = r sin ϕ sin α, r cos ϕ sin α, = = n = r cos ϕ cos α sin α, r sin ϕ cos α sin α, r cos α sin α = = d = n drdϕ = r cos α sin α drdϕ. Při této parametrizaci lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu jako z d = r cos α r cos α sin α drdϕ a podle Fubiniovy věty platí z d = cos 3 α sin α a dr 8 r 3 dϕ = πa4 cos 3 α sin α.

9 Najděte obsah části plochy az = xy, která leží uvnitř válce x y = a. Řešení: Jestliže napíšeme rovnici plochy ve tvaru z = xy a, x y < a. lze plochu chápat jako graf funkce z = zx, y. Proto je element plochy d roven d = z Tedy dané plochy lze najít jako dvojný Riemannův integrál = d = z dx dy = x y a x a dx dx = y dx dy. a a x y dx dy = a a a x y dx dy, kde je kruh x y < a. Abychom našli integrál pře kruh je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože množina je v těchto souřadnicích definována nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty < r < a a < ϕ < π, = a a dr a r r ddϕ = π a a r a r dr = π a [ 3 a r ] 3/ a = 3 πa. Najděte obsah části plochy z = x y, která leží uvnitř válce x y = x. Řešení: Protože je plocha dána jako graf funkce z = x y, kde x, y, najdeme element plochy d jako d = = { x, y R ; x y < x }, z Pak lze obsah plochy najít jako dvojný integrál = d = z dx dy = dx dy. dx dy. Dvojný integrál přes množinu lze najít třeba pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. Protože nerovnosti, které definují množinu jsou v souřadnicích r a ϕ x y < x = < r < cos ϕ = cos ϕ > = π < ϕ < π, 9

10 je podle věty o substituci a Fubiniovy věty = dϕ π/ cos ϕ r dr = cos ϕ dϕ = π. π/ Najděte obsah části plochy x y = az, která leží uvnitř válce x y = a x y, x. Řešení: Jestliže napíšeme rovnici plochy ve tvaru z = x y a, x, y = { x, y R ; x y < a x y, x }, lze plochu chápat jako graf funkce z = zx, y. Proto je element plochy d roven d = z Tedy dané plochy lze najít jako dvojný Riemannův integrál = d = z dx dy = x y a x a dx dx = y dx dy. a a x y dx dy = a a a x y dx dy. Abychom našli integrál pře množinu je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. Množina je v těchto souřadnicích definována nerovnostmi r < a cos ϕ sin ϕ, cos ϕ = < r < a cos ϕ, cos ϕ, π ϕ π = = < r < a cos ϕ, 4 π ϕ 4 π. Proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty = a π/4 π/4 dϕ a cos ϕ a r r dr = a Když v posledním integrálu použijeme rovnost dostaneme = a 3 π/4 π/4 = a 3 π/4 [ π/4 π/4 π/4 3 a r ] 3/ a cos ϕ dϕ = cos ϕ 3/ dϕ. cos ϕ = cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ = cos ϕ, [ cos 3 ϕ dϕ = a sin ϕ 3 3 sin3 ϕ ] π/4 ϕ = a 3π. π/4 8 Najděte obsah části kulové plochy s poloměrem R omezené dvěma poledníky ϕ, ϕ rovnoběžkami θ, θ. a dvěma

11 Řešení: Počátek souřadnic umístíme do středu kulové plochy. Pak jsou její parametrické rovnice x = R cos θ cos ϕ, y = R cos θ sin ϕ, z = R sin θ, < ϕ < π, π < θ < π. Najdeme element obsahu plochy d: t ϕ = R cos θ sin ϕ, R cos θ cos ϕ,, t θ = R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ = = n = t ϕ t θ = R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R cos θ sin θ = = d = n dθdϕ = R cos θ dθdϕ. Protože je dána množina, kterou probíhají parametry ϕ a θ vztahy je obsah dané části kulové plochy = d = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, θ θ θ, θ dϕ R cos θ dθ = R ϕ ϕ sin θ sin θ. θ Najděte obsah anuloidu x = b a cos ψ cos ϕ, y = b a cos ψ sin ϕ, z = a sin ψ, ϕ π, ψ π, kde < a b. Řešení: Protože je anuloid dán parametrickými rovnicemi, určíme element plošného obsahu d: t ϕ = b a cos ψ sin ϕ, b a cos ψ cos ϕ,, t ψ = a sin ψ cos ϕ, a sin ψ sin ϕ, a cos ψ = = n = t ϕ t ψ = ab a cos ψ cos ψ cos ϕ, ab a cos ψ cos ψ sin ϕ, ab a cos ψ sin ψ = = d = n dϕ dψ = ab a cos ψ dϕ dψ. Protože parametry ϕ a ψ probíhají oba interval, π, je obsah anuloidu roven = d = dϕ ab a cos ψ dψ = 4π ab. Najděte hmotnost poloviny kulové plochy x y z M = [x; y; z] rovna ρx, y, z = z a. = a, z >, je-li její hustota v bodě Řešení: Hmotnost M plochy, která má hustotu ρx, y, z je dána plošným integrálem prvního druhu z M = ρx, y, z d = a d, protože v našem případě je ρ = z. Plocha je polovina kulové plochy a z = a x y, x, y = { x, y R ; x y < a }. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y, lze najít element plošného obsahu jako d = z z dx dy = x y a y a x dx dy = y dx dy a x y.

12 Tedy hmotnost plochy je a x M = y a dx dy a a x y = protože množina je kruh s poloměrem a. dx dy = πa, Najděte statický moment xy = z d homogenní trojúhelníkové desky x y z = a, x, y, z. Řešení: Jestliže zvolíme za parametry x a y, pak lze plochu snadno parametrizovat jako graf funkce x = a y z, y, z, a y z. Pak je element plošného obsahu d roven d = y a plošný integrál lze zapsat jako dvojný integrál xy = z d = kde je množina R dána nerovnostmi dy dz = 3 dy dz z z 3 dy dz, z a y, y a. Jestliže při výpočtu dvojného integrálu použijeme Fubiniovu větu, dostaneme xy = a a y 3 a 3 3 dy z dz = a y dy = [ 3 a y3] a = 3 6 a3. Určete souřadnice těžiště homogenní plochy { = x, y, z R 3 ; Rz = h } x y, < z < h. Řešení: ouřadnice x T, y T a z T těžiště homogenní plochy lze najít pomocí plošných integrálů prvního druhu ze vztahů x T = x d, y T = y d, z T = z d, kde = d je velikost plochy. Protože je těleso symetrické vzhledem k rovinám yz a xz, tj. nezmění je při zaměně [x; y; z] [ x; y; z] a [x; y; z] [x; y; z] jsou jeho souřadnice x T = y T =. Obsah plochy a souřadnici těžiště z T najdeme pomocí integrálů. Protože je plocha dána jako graf funkce z = h R x y, < z < h = < x y < R, najdeme element plošného obsahu d pomocí vztahu z z d = dx dy = h R h dx dy = dx dy. y R R

13 Pak můžeme převést plošné integrály prvního druhu na dvojné integrály = d = R h dx dy, R z d = h R h R x y dx dy, kde je kruh x y < R. Abychom našli integrály pře kruh, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože je v těchto souřadnicích dán kruh nerovnostmi dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty = d = < r < R a < ϕ < π, R h R z d = h R h R Tedy souřadnice těžiště daného tělesa jsou R dr R dr r dϕ = πr R h, r dϕ = 3 πrh R h. x T = y T =, z T = 3 h. Najděte souřadnici z T těžiště části homogenní plochy z = x y, která leží uvnitř plochy x y = ax. Řešení: ouřadnici z T těžiště homogenní plochy lze najít pomocí plošných integrálů prvního druhu ze vztahů z T = z d, kde = d je velikost plochy. Protože je plocha dána jako graf funkce z = x y, x y < ax, najdeme element plošného obsahu d pomocí vztahu d = z z dx dy = dx dy. y Pak můžeme převést plošné integrály prvního druhu na dvojné integrály = d = dx dy, z d = x y dx dy, kde je množina x y < ax. Abychom našli integrály pře kruh, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. Protože je v těchto souřadnicích množina dána nerovnostmi < r < a cos ϕ = cos ϕ > = π < ϕ < π, 3

14 dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty = dϕ π/ dϕ π/ a cos ϕ a cos ϕ r dr = r dr = 3 π/ π/ Tedy hledaná souřadnice těžiště je z T = 6 9π a. a cos ϕ dϕ = 4 πa, a 3 cos 3 ϕ dϕ = 3 a3[ sin ϕ 3 sin3 ϕ Určete moment setrvačnosti J z = x y d kulové plochy x y z = R. Řešení: Parametrické rovnice dané kulové plochy jsou = 4 π/ 9 a3. x = R cos θ cos ϕ, y = R cos θ sin ϕ, z = R sin θ, < ϕ < π, π < θ < π. Najdeme element obsahu plochy d: t ϕ = R cos θ sin ϕ, R cos θ cos ϕ,, t θ = R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ = = n = t ϕ t θ = R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R cos θ sin θ = = d = n dθ dϕ = R cos θ dθ dϕ. Plošný integrál pak lze vyjádřit přes dvojný integrál a dostaneme J z = x y d = ] π/ dϕ R cos θ R cos θ dθ = πr 4[ ] π/ sin θ 3 sin3 θ = 8 π/ π/ 3 πr4. Určete moment setrvačnosti J z = x y d plochy = { x, y, z R 3 ; Rz = h } x y, < z < h. Řešení: Protože je plocha dána jako graf funkce z = h R x y, < z < h = < x y < R, najdeme element plošného obsahu d pomocí vztahu d = z z dx dy = y h dx dy = R Pak můžeme převést plošný integrál prvního druhu na dvojný integrál J z = x y d = R h x y dx dy, R R h dx dy. R kde je kruh x y < R. Abychom našli integrály pře kruh, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. 4

15 Protože je v těchto souřadnicích dán kruh nerovnostmi dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete J z = R h R < r < R a < ϕ < π, R dr r 3 dϕ = π R3 R h. d x y z, kde = { x, y, z R 3 ; x y = R, < z < h }. Řešení: Abychom našli daný plošný integrál prvního druhu, budeme nejprve parametrizovat plochu. Rovnice x y = R má parametrické řešení x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, kde ϕ π. Proto jsou parametrické rovnice plochy například x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, z = z, kde ϕ π, < z < h. Pro tuto parametrizaci musíme ještě najít element plošného obsahu d. Pro ten dostaneme t ϕ = R sin ϕ, R cos ϕ,, t z =,, = = n = t ϕ t z = R cos ϕ, R sin ϕ, = d = n dϕ dz = R dϕ dz. Protože ϕ π a < z < h je daný plošný integrál roven d x y z = h [ R dz dϕ R z = π arctg z ] h = π arctg h R R. tanovte hmotnost kulové plochy o poloměru R a středu v počátku, je-li hustota rozložení hmoty rovna ρx, y, z = x y. Řešení: Hmotnost M plochy, která má hustotu ρx, y, z je dána plošným integrálem prvního druhu M = ρx, y, z d = x y d, protože v našem případě je ρ = x y. Abychom našli tento plošný integrál, musíme nejprve najít parametrické rovnice plochy. Protože se jedné o kulovou plochu se středem v počátku a poloměrem R, můžeme zvolit parametrické rovnice jako x = R cos θ cos ϕ, y = R cos θ sin ϕ, z = R sin θ, < ϕ < π, π < θ < π. Element obsahu plochy d je při této parametrizaci t ϕ = R cos θ sin ϕ, R cos θ cos ϕ,, t θ = R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ = = n = t ϕ t θ = R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R cos θ sin θ = = d = n dθ dϕ = R cos θ dθ dϕ. Plošný integrál pak lze vyjádřit přes dvojný integrál a dostaneme M = x y d = dϕ R cos θ R cos θ dθ = πr 3 cos θ dθ = π R 3. π/ π/ 5

16 Určete x y z d, kde je hranice krychle,,,. Řešení: Povrch krychle je až na množinu dvojrozměrné míry nula roven disjunktnímu sjednocení jejich šesti stěn, tj. = , kde : x =, y, z,, =, : y =, x, z,, =, 3 : z =, x, y,, =, 4 : x =, y, z,, =, 5 : y =, x, z,, =, 6 : z =, x, y,, =, Tedy hledaný integrál je Určete x y z d = 6 x y z d = 3 k k= z d, kde = { x, y, z R 3 ; z = x y, < z < }. Řešení: Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y, kde x y z d = y z dy dz x y z d = x z dx dz x y z d = x y dx dy 3 x y z d = y z dy dz 4 x y z d = x z dx dz 5 x y z d = x y dx dy 6 z = x y, < z < = < x y <, x y dx dy 3 x y dx dy = 9. je přirozené vybrat jako její parametry proměnné x a y. V takovém případě je element obsahu plochy d dán vztahem z z d = dx dy = 4x y 4y dx dy Při této parametrizaci je daný plošný integrál prvního druhu definován jako dvojný integrál z d = x y 4x 4y dx dy, kde je kruh x y <. Abychom našli dvojný integrál přes kruh zvolíme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Nerovnost, která definuje plochu, má v polárních souřadnicích tvar < r <, < ϕ < π, a proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty z d = dϕ r 3 4r dr = π 6 5 t t dt = π 6 6 [ 5 t5/ 3 t3/] 5 = π 5 5, 6

17 kde jsme při výpočtu integrálu použili substituci t = 4r. Najděte hmotnost části paraboloidu z = x y, z, jestliže je jeho hustota ρx, y, z = z. Řešení: Hmotnost M plochy, která má hustotu ρx, y, z je dána plošným integrálem prvního druhu M = ρx, y, z d = z d. Abychom našli tento plošný integrál, musíme nejprve najít parametrické rovnice plochy. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y, kde z = x y, z = x y, je přirozené vybrat jako její parametry proměnné x a y. plochy d dán vztahem d = z V takovém případě je element obsahu z dx dy = x y y dx dy Při této parametrizaci je daný plošný integrál prvního druhu definován jako dvojný integrál M = x y x y dx dy, kde je kruh x y <. Abychom našli dvojný integrál přes kruh zvolíme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Nerovnost, která definuje plochu, má v polárních souřadnicích tvar < r <, < ϕ < π, a proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty M = dϕ r r dr = π 3 t t dt = π kde jsme při výpočtu integrálu použili substituci t = r. Určete F d, kde F = x, y, z a [ 5 t5/ 3 t3/] 3 = π 6 3, 5 = { x, y, z R 3 ; h x y = R z h, < z < h }. Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu. Proto nejprve parametrizujeme plochu. Protože je z < h, plyne z rovnice, která definuje plochu z = h h R x y, < z < = < x y < R. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y je rozumné zvolit za parametry plochy proměnné x a y a psát parametrické rovnice plochy ve tvaru x = x, y = y, z = h h R x y, < x y < R. 7

18 V této parametrizaci spočítáme vektor normály k ploše. hx t x =,, R hy, t y =,, x y R = x y hx = n = t x t y = R x y, hy R x y, a skalární součin F n = Tedy hledaný plošný integrál je hx R x y hy R x y h h x y R = h. F d = h dx dy, kde je kruh x y < R. A protože jeho obsah je πr, je F d = πr h. Určete xz dx dy, kde je část roviny x y z =, která leží v prvním oktantu, x >, y > z >, orientovaná tak, že n,, >. Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =,, xz a plocha m8 rovnice z = x y, x >, y >, z = x y >. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y je rozumné ji parametrizovat pomocí proměnných x a y, tj. položit x = x, y = y, z = x y, x >, y > x y <. Při této parametrizaci najdeme vektor normály. Postupně dostaneme t x =,,, t y =,, = n = t x t y =,,. Normála první složku kladnou, tj.,,,, = >, a tedy orientuje plochu souhlasně se zadanou orientací. A protože n F = xz = x x y, je xz dx dy = kde množina R je dána nerovnostmi Tedy podle Fubiniovy věty je xz dx dy = dx x x y dx dy, < y < x, < x <. x x x y dy = x x dx = 4. 8

19 Určete y dy dz z dz dx, kde = { x, y, z R 3 ; x z =, x y < } Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = y, z,. Protože plocha má rovnici xz =, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy budou x = x, y = y, z = x, x y <. Nyní najdeme normálu k ploše v této parametrizaci: t x =,,, t y =,, = n = t x t y =,,. Protože je daný plošný integrál roven F n = y, y dy dz z dz dx = y dx dy, kde je kruh x y <. Abychom našli tento dvojný integrál, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi < r < a < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete y dy dz z dz dx = x dy dz y dz dx z dx dy, kde = { x, y, z R 3 ; je orientovaná tak, že n,, >. dr r sin ϕ dϕ =. x } a y b z c =, x >, y > Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = x, y, z. Protože je plocha částí elipsoidu, budeme ji parametrizovat pomocí souřadnic x = a cos θ cos ϕ, y = b cos θ sin ϕ, z = c sin θ, π < θ < π < ϕ < π. Z nerovností x > a y > plyne x >, y > = π < θ < π, < ϕ < π. Normála k ploše ve zvolené parametrizaci je t ϕ = a cos θ sin ϕ, b cos θ cos ϕ,, t θ = a sin θ cos ϕ, b sin θ sin ϕ, c cos θ = = n = t ϕ t θ = bc cos θ cos ϕ, ac cos θ sin ϕ, ab cos θ sin θ. 9

20 Protože její první složka n = n,, = bc cos θ cos ϕ >, je zvolená parametrizace plochy souhlasná se zadanou orientací. A protože je hledaný plošný integrál roven Určete x dy dz y dz dx z dx dy = F n = abc cos θ, dϕ abc cos θ dθ = πabc. π/ xy dy dz yz dz dx xz dx dy, kde je část roviny x 3y z = 6, která leží v prvním oktantu, x >, y >, z >, a je orientovaná tak, že n,, >. Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = xy, yz, xz. Protože plocha má rovnici x 3y z = 6, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy budou x = x, y = y, z = 6 x 3y, x >, y >, z = 6 x 3y > = = x >, y >, x 3y < 6. Nyní najdeme normálu k ploše v této parametrizaci: t x =,,, t y =,, 3 = n = t x t y =, 3,. Protože je první složka této normály n = n,, = >, dostali jsme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = xy 3y6 x 3y x6 x 3y = 6x 8y x 7xy 9y, lze hledaný plošný integrál najít jako dvojný integrál xy dy dz yz dz dx xz dx dy = 6x 8y x 7xy 9y dx dy, kde množina R je dána nerovnostmi Podle Fubiniovy věty pak je Určete x >, y >, x 3y < 6 = < y < 6 x, < x < 3. 3 xy dy dzyz dz dxxz dx dy = F d, kde F =,, xz a Orientaci volte tak, že n,, >. 3 dx 3 x/3 = { x, y, z R 3 ; x y z = R, z > }. 6x8y x 7xy 9y dy = snad Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu. Nejprve najdeme parametrické rovnice plochy. Protože se jedná o polokouli, lze použít sférické souřadnice nebo vyřešit rovnici, která plochu

21 definuje a parametrizovat ji jako graf funkce z = zx, y = R x y. Protože se ve druhém případě lépe počítá normála, zvolíme druhý postup. Za parametry proměnné x a y a parametrické rovnice napíšeme jako x = x, y = y, z = R x y, x y < R. Pro tuto parametrizaci jednoduše najdeme normálu t x =,, x, t y =,, R x y y = R x y x = n = t x t y = R x y, y R x y,. Protože její třetí složka n 3 = n,, = >, dostáváme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = x R x y, je F d = x R x y dx dy, kde R je kruh x y < R. Abychom našli integrál přes tento kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi < r < R a < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete F d = R dr r cos ϕ R r r dϕ =. yz dy dz xz dz dx xy dx dy, kde je část roviny x y z = a, která leží v prvním oktantu, x >, y >, z >, orientovaná tak, že n,, >. Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = yz, xz, xy. Protože plocha má rovnici x y z = a, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy budou x = x, y = y, z = a x y, x >, y >, z = a x y > = = x >, y >, x y < a. Nyní najdeme normálu k ploše v této parametrizaci: t x =,,, t y =,, = n = t x t y =,,. Protože je první složka této normály n = n,, = >, dostali jsme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = ya x y xa x y xy = ax ay x xy y, lze hledaný plošný integrál najít jako dvojný integrál yz dy dz xz dz dx xy dx dy = ax ay x xy y dx dy,

22 kde množina R je dána nerovnostmi Podle Fubiniovy věty pak je Určete x >, y >, x y < a = < y < a x, < x < a. yz dy dz xz dz dx xy dx dy = y dy dz z dz dx x dx dy, kde Orientaci volte tak, že n,, >. a dx a x = { x, y, z R 3 ; x y = z, < z < h }. ax ay x xy y dy = a4 8. Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = y, z, x. Ještě musíme najít parametrické rovnice plochy. Ty lze získat pomocí cylindrických souřadnic nebo tak, že vyřešíme rovnici, která definuje plochu, tj. napíšeme z = x y a plochu budeme parametrizovat jako graf funkce. Zvolím druhý postup. Za parametry vyberu proměnné x a y a parametrické rovnice budou x = x, y = y, z = x y, < z = x y < h = < x y < h. Pro tuto parametrizaci najdeme normálu t x =,, x, t y =,, x y y = n = t x t y = x y x x y, y x y,. Protože je třetí složka normály n 3 = n,, = >, orientuje tato normála plochu souhlasně se zadanou orientací. A protože xy F n = x y y x, je hledaný plošný integrál roven dvojnému integrálu y dy dz z dz dx x xy dx dy = x y y x dx dy, kde R je kruh x y < h. Abychom našli integrál přes tento kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi < r < h a < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty y dy dz z dz dx x dx dy = = h h dr r cos ϕ sin ϕ r sin ϕ r cos ϕ r dϕ = πr 3 dr = π 4 h4.

23 Určete x y z dx dy, kde = { x, y, z R 3 ; x y z = 4, x >, y >, z > } orientovaná tak, že normála má kladné složky. Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =,, x y z. Protože plocha má rovnici x y z = 4, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy budou x = x, y = y, z = 4 x y, x >, y >, z = 4 x y > = = x >, y >, x y < 4. Nyní najdeme normálu k ploše v této parametrizaci: t x =,,, t y =,, = n = t x t y =,,. Protože tato normála má všechny složky kladné, dostali jsme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = 4, lze hledaný plošný integrál najít jako dvojný integrál x y z dx dy = kde množina R je dána nerovnostmi Podle Fubiniovy věty pak je Určete 4 dx dy, x >, y >, x y < 4 = < y < 4 x, < x < 4. x dy dz y dz dx, kde orientovaná tak, že n,, >. x y z dx dy = 4 dx 4 x 4 dx dy = 3. = { x, y, z R 3 ; x y z = R, z > } Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x, y,. Najdeme parametrické rovnice plochy. Protože se jedná o polokouli, lze k její parametrizaci použít sférické souřadnice nebo vyřešit rovnici, která plochu definuje a parametrizovat ji jako graf funkce z = zx, y = R x y. Protože se ve druhém případě lépe počítá normála, zvolíme druhý postup. Za parametry proměnné x a y a parametrické rovnice napíšeme jako x = x, y = y, z = R x y, x y < R. Pro tuto parametrizaci jednoduše najdeme normálu t x =,, x, t y = R x y,, y = R x y x = n = t x t y = R x y, y R x y,. 3

24 Protože její třetí složka n 3 = n,, = >, dostáváme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože x y F n = R x y, je x dy dz y dz dx = x y dx dy, R x y kde R je kruh x y < R. Abychom našli integrál přes tento kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi < r < R a < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty x dy dz y dz dx = R dϕ r 3 dr R R r = π kde jsme při výpočtu integrálu použili substituci t = R r. Určete x dy dz y dz dx z dx dy, kde = { x, y, z R 3 ; x y =, < z < }, R t t / dt = 4 3 πr3, která je orientovaná tak, že normála má pro x > a y > první složku kladnou. Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x, y, z. Najdeme parametrické rovnice plochy. To je nejjednodušší pomocí cylindrických souřadnic, kdy dostaneme parametrické rovnice Normála v těchto souřadnicích je x = cos ϕ, y = sin ϕ, z = z, < ϕ < π, < z <. t ϕ = sin ϕ, cos ϕ,, t z =,, = n = t ϕ t z = cos ϕ, sin ϕ,. Protože pro x > a y > je < ϕ < π, dostali jsme orientaci souhlasnou s požadovanou orientací. A protože F n = cos ϕ sin ϕ =, je hledaný plošný integrál roven x dy dz y dz dx z dx dy = dϕ dz = π. Určete dy dz y dx dz, kde = { x, y, z R 3 ; z = x y, x y < } orientovaná tak, že n,, >. 4

25 Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =, y,, protože dx dz = dz dx. Plocha je dána jako graf funkce z = zx, y = x y. Proto je přirozené vybrat za parametry proměnné x a y a za parametrické rovnice vzít x = x, y = y, z = x y, x y <. V této parametrizaci nalezneme odpovídající normálu k ploše : t x =,, x, t y =,, y, n = t x t y = x, y,. Protože je třetí složka této normály n 3 = >, dává tato orientace plochy požadovanou orientaci. A protože F n = x y, lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu dz dy y dz dx = x y dx dy,, kde je kruh x y <. Integrál přes kruh najdeme například pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích definována nerovnostmi < r <, < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete dz dy y dz dx = z dx dy, kde = dr { x, y, z R 3 ; která je orientovaná tak, že třetí složka normály je kladná. r cos ϕ r sin ϕ r dϕ = πr 3 dr = π. x } a y b z c = R, z >, Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =,, z. Protože integrujeme přes polovinu elipsoidu, je výhodné parametrizovat plochu pomocí rovnic x = a cos θ cos ϕ, y = b cos θ sin ϕ, z = c sin θ, π < θ < π < ϕ < π. Z nerovnosti z > pak plyne Normála k ploše ve zvolené parametrizaci je sin θ > = < ϕ < π, < θ < π. t ϕ = a cos θ sin ϕ, b cos θ cos ϕ,, t θ = a sin θ cos ϕ, b sin θ sin ϕ, c cos θ = = n = t ϕ t θ = bc cos θ cos ϕ, ac cos θ sin ϕ, ab cos θ sin θ. Protože pro θ, π je její třetí složka kladná, definuje tato normála orientaci plochy souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = abc sin θ cos θ, 5

26 je plošný integrál dán dvojným integrálem z dx dy = Z Fubiniovy věty pak dostaneme Určete z dx dy = dθ z dx dy x y dz dx, kde která je orientovaná tak, že n,, >. abc sin θ cos θ dϕ dθ. abc sin θ cos θ dϕ = πabc [ = πabc 3 sin3 θ = { x, y, z R 3 ; z = x y, < z < }, sin θ cos θ dθ = ] π/ = 3 πabc. Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =, x y, z. Plocha je dána jako graf funkce z = zx, y = x y. Proto je přirozené vybrat za parametry proměnné x a y a za parametrické rovnice vzít x = x, y = y, z = x y, z = x y <. V této parametrizaci nalezneme odpovídající normálu k ploše : t x =,, x, t y =,, y, n = t x t y = x, y,. Protože je třetí složka této normály n 3 = >, dává tato orientace plochy požadovanou orientaci. A protože F n = yx y x y = x xy 3y, lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu z dx dy x y dz dx = x xy 3y dx dy. kde je kruh x y <. Integrál přes kruh najdeme například pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích definována nerovnostmi < r <, < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete z dx dy x y dz dx = = 4 dϕ xz dy dz x y dz dx y z dx dy, kde r cos ϕ r cos ϕ sin ϕ 3r sin ϕ r dr = cos ϕ sin ϕ dϕ = π. = { x, y, z R 3 ; x y =, x >, y >, < z < } 6

27 orientovaná tak, že n,, >. Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = xz, x y, y z. Najdeme parametrické rovnice plochy. To je v našem případě nejjednodušší pomocí cylindrických souřadnic. Z nich dostaneme x = cos ϕ, y = sin ϕ, z = z, < ϕ < π, z R. Z podmínek x >, y >, < z < = < ϕ < π, < z <. Odpovídající normála v těchto souřadnicích t ϕ = sin ϕ, cos ϕ,, t z =,, = n = t ϕ t z = cos ϕ, sin ϕ,, má na množině x >, tj. cos ϕ >, první složku kladnou, a tedy orientuje plochu souhlasně se zadanou orientací. Protože F n = z cos ϕ cos ϕ sin ϕ, je hledaný plošný integrál = xz dy dz x y dz dx y z dx dy = cos ϕ cos ϕ sin ϕ dϕ = dϕ z cos ϕ cos ϕ sin ϕ dz = 3 cos ϕ cos 4 ϕ dϕ = 3 π 3 4 π = 3π 6. Vypočtěte plošný integrál y b z c =. dy dz x dz dx y dx dy, kde je vnější strana elipsoidu x z a Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = x, y, z. Protože integrujeme přes elipsoid, je výhodné parametrizovat plochu pomocí rovnic x = a cos θ cos ϕ, y = b cos θ sin ϕ, z = c sin θ, π < θ < π < ϕ < π. Normála k ploše ve zvolené parametrizaci je t ϕ = a cos θ sin ϕ, b cos θ cos ϕ,, t θ = a sin θ cos ϕ, b sin θ sin ϕ, c cos θ = = n = t ϕ t θ = bc cos θ cos ϕ, ac cos θ sin ϕ, ab cos θ sin θ. Protože například v bodě [a; ; ], kterému odpovídají hodnoty parametrů ϕ = θ =, je normála n = bc,,, a tedy směřuje vně elipsoidu, odpovídá tato orientace zadané orientaci. A protože F n = bc a cos θ ac b ab cos θ c cos θ = a b a c b c abc cos θ, je plošný integrál dán dvojným integrálem dy dz x dz dx y dx dy a b a c b c = z abc 7 cos θ dϕdθ.

28 Z Fubiniovy věty pak dostaneme dy dz x dz dx y dx dy = a b a c b c z abc = 4π a b a c b c abc. dϕ cos θ dθ = π/ Vypočtěte plošný integrál x dy dz y dz dz z dx dy, kde je vnější strana kulové plochy x a y b z c = R. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x, y, z je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je F d = div F dx dy dz. V daném případě je δv V div F = x y z a V je koule x a y b z c < R. Proto je x dy dz y dz dx z dx dy = x y z dx dy dz. V Integrál přes kouli V najdeme třeba pomocí sférických souřadnic. Protože jde o kouli se středem = [a; b; c], zvolíme souřadnice x = a r cos θ cos ϕ, y = b r cos θ sin ϕ, z = c r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. A protože je koule V v těchto souřadnicích určena nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty x dy dz y dz dx z dx dy = = R Určete dr dθ π/ < r < R, π < θ < π, < ϕ < π, a b c r cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ r cos θ dϕ = 8 πa b c. 3 xz dy dzxy dz dxyz dx dy, kde je hranice čtyřstěnu x >, y >, z >, xyz <, která je kladně orientovaná, tj. normála směřuje vně. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = xz, xy, yz je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je F d = div F dx dy dz. δv V 8

29 V daném případě je div F = z x y a V je čtyřstěn x >, y >, z > a x y z <. Proto je xz dy dz xy dz dx yz dx dy = x y z dx dy dz. Integrál přes čtyřstěn najdeme pomocí Fubiniovy věty, když napíšeme nerovnosti ve tvaru Podle ní je počtěte integrál < z < x y, < y < x, < x <. xz dy dz xy dz dx yz dx dy = fd, kde fx, y, z = x, y, z a V x dx dy x y x y z dz = 8. = { x, y, z R 3 ; x y z = a, x >, y >, z > }, kde normála má všechny složky kladné. Řešení: Nejprve najdeme parametrické rovnice plochy. Protože se jedná o část kulové plochy se středem v počátku a poloměrem a, jsou její parametrické rovnice a z nerovností x = a cos θ cos ϕ, y = a cos θ sin ϕ, z = a sin θ, π < θ < π, < ϕ < π x >, y > z > = < θ < π, < ϕ < π. Zbývá ještě najít odpovídající rovnice normály. Ty jsou t ϕ = a cos θ sin ϕ, a cos θ cos ϕ,, t θ = a sin θ cos ϕ, a sin θ sin ϕ, a cos θ = = n = t ϕ t θ = a cos θ cos ϕ, a cos θ sin ϕ, a cos θ sin θ. Protože v oboru hodnot parametrů θ a ϕ jsou složky této normály kladné, zadává tato normála orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože f n = a 3 cos 3 θ cos ϕ a 3 cos 3 θ sin ϕ a 3 cos θ sin θ = a 3 cos θ, je daný plošný integrál fd = dϕ a 3 cos θ dθ = π a3. Vypočtěte integrál x dy dz z dx dy, kde je kladně orientovaná hranice krychle D = { x, y, z R 3 ; x, y, z }. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x,, z je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je F d = div F dx dy dz. δv V 9

30 V daném případě je div F = x z a V je krychle < x <, < y < a < z <. Tedy platí a podle Fubiniovy věty je Vypočtěte integrál x dy dz z dx dy = x z dx dy dz V x dy dz z dx dy = dx dz x 3 dy dz y 3 dz dx z 3 dx dy, kde která je orientovaná tak, že n,, >. x z dy =. = { x, y, z R 3 ; x y z =, z }, Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x 3, y 3, z 3 je spojitě diferencovatelná funkce. Kdyby byla plocha hranicí nějakého tělesa V, mohli bychom použít Gaussovu větu. Plocha je polovina kulové plochy x y z =, z. Jestliže plochu uzavřeme plochou, která je dána rovnicí z =, x y, dostaneme hranici polokoule V, na kterou již lze použít Gaussovu větu. Ta dává F d = F d F d = div F dx dy dz. V Protože je plocha kruh v rovině z = je její normála n =,,, a tedy ploše platí Proto je a platí Protože je F n = x 3, y 3,,, =. F d = F d = V div F dx dy dz. div F = 3 x y z, x 3 dy dz y 3 dz dx z 3 dx dy = 3 x y z dx dy dz. V Pro výpočet integrálu přes polokouli V použijeme sférické souřadnice x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. A protože je polokoule V v těchto souřadnicích určena nerovnostmi < r <, < θ < π, < ϕ < π, 3

31 je podle věty o substituci a Fubiniovy věty x 3 dy dz y 3 dz dx z 3 dx dy = 3 dϕ cos θ dθ r 4 dr = 6 5 π. Poznámka: Podobné doplnění plochy na uzavřenou plochu lze použít i v některých dalších příkladech, ale nechtěl jsem to komplikovat. Vypočtěte integrál fd, kde f = x, y, z a je kladně orientovaná hranice tělesa D = { x, y, z R 3 ; x y, z }. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu fd, kde f = x, y, z je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je fd = div f dx dy dz. V daném případě je δv V div f = z a V je část válce x y <, < z <. Proto je fd = z dx dy dz. Integrál přes válec V najdeme třeba pomocí válcových souřadnic. V x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r >, < ϕ < π, z R ; J = r. A protože je V v těchto souřadnicích určeno nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty Vypočtěte integrál < r <, < ϕ < π, < z <, fd = dϕ dr z r dz = 3π. xz dy dz xy dz dx yz dx dy, kde je kladně orientovaná hranice tělesa D = { x, y, z R 3 ; x y R, z h, x, y }. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = xz, xy, yz je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je F d = div F dx dy dz. δv V V daném případě je div F = z x y 3

32 a těleso V je část válce x y < R, x >, y >, < z < h. Proto je xz dy dz xy dz dx yz dx dy = x y z dx dy dz. Integrál přes válec V najdeme třeba pomocí válcových souřadnic. x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r >, < ϕ < π, z R ; J = r. A protože je V v těchto souřadnicích určeno nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty Vypočtěte xz dy dzxy dz dx yz dx dy = = h dz R < r < R, < ϕ < π, < z < h, h dz R r πz r dr = dr h V r cos ϕ r sin ϕ z r dϕ = 3 R3 4 πr z dz = hr 4 6R 3πh. fd, kde f = x, y, z a je část kuželové plochy x y = z, < z < h, která je orientovaná tak, že n,, <. Řešení: Nejprve najdeme parametrické rovnice plochy. Aby se mi snadno počítala normála, budu ji parametrizovat jako graf funkce z = zx, y = x y, tj. za parametry zvolím proměnné x a y. Parametrické rovnice pak jsou x = x, y = y, z = x y, < z = x y < h. V těchto souřadnicích je odpovídající normála x t x =,,, t y =,, x y y = n = t x t y = x x y x y, y x y,. Ale protože je její třetí složka n 3 = >, definuje opačnou orientaci plochy než je požadovaná orientace. Protože f n = x3 y 3 x y x y, je x 3 y 3 fd = x y x y dx dy, kde je kruh x y < h. Integrál přes tento kruh najdeme například pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože je kruh dán v polárních souřadnicích nerovnostmi < r < h a < ϕ < π, plyne z věty o substituci a Fubiniovy věty, že platí fd = h dr r cos 3 ϕ r sin 3 ϕ r r dϕ = π 3 h r 3 dr = π h4.

33 Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = xi yj zk stěnou kuželové plochy x y = z, z h. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je pole v = x, y, z a plocha je dána vztahem x y = z, z h. Abychom převedli plošný integrál na dvojný, parametrizujeme plochu. To lze snadno udělat pomocí cylindrických souřadnic nebo tím, že plochu parametrizujeme jako graf funkce z = zx, y = x y. Abych dostal jednoduchý výpočet normály, zvolím druhý způsob. Parametry pak budou proměnné x a y a parametrické rovnice x = x, y = y, z = x y, z = x y h. Pro normálu při této volbě parametrizace dostaneme x t x =,,, t y =,, x y y = n = t x t y = x x y x y, y x y,. A protože je v n = x y x y x y =, je tok vektoru v plochou roven Φ =. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yzi xzj xyk boční stěnou válce x y a, z h. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je pole v = yz, xz, xy a plocha je dána vztahem x y = a, z h. Abychom převedli plošný integrál na dvojný, parametrizujeme plochu. Tu lze snadno najít pomocí válcových souřadnic a dostaneme x = a cos ϕ, y = a sin ϕ, z = z, < ϕ < π, < z < h. Normála v těchto souřadnicích je t ϕ = sin ϕ, cos ϕ,, t z =,, = n = t ϕ t z = cos ϕ, sin ϕ,. A protože je je v n = a z sin ϕ cos ϕ a z sin ϕ cos ϕ = a z cos ϕ sin ϕ, Φ = h dz a z cos ϕ sin ϕ dϕ =. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yzi xzj xyk povrchem válce x y a, z h. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je pole v = yz, xz, xy a plocha je povrch válce x y a, z h. Protože je plocha hranice tělesa V, lze při výpočtu integrálu použít Gaussovu větu vd = div v dx dy dz. V 33

34 V našem případě je a tedy to vektoru v povrchem válce je div v =, Φ =. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = xi yj zk plochou z = x y, z. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je vektorové pole v = x, y, z a plocha je kuželová plocha dána rovnicí z = x y, z. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y, použijeme jako parametry proměnné x a y. Parametrické rovnice plochy jsou v takovém případě x = x, y = y, z = x y, z = x y = x y. Odpovídající normála je t x =,, x, t y =,, x y y = n = t x t y = x x y x y, y x y,. A protože skalární součin v n = x y x y x y =, je tok vektoru v plochou dán dvojným integrálem Φ = dx dy, kde je kruh x y <. Poslední integrál je obsah tohoto kruhu, a tedy Φ = π. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = x i y j z k částí kulové plochy x y z =, která leží v prvním oktantu, tj. x, y, z. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je vektorové pole v = x, y, z a plocha je část kulové plochy x y z =, x, y, z. Abychom mohli použít k výpočtu integrálu Gaussovu větu, uzavřeme plochu čtvrtkruhy x, y a z se středem v počátku a poloměrem, kde x : x =, n x,,, v n x = x = = vd =, x y : y =, n y,,, v n y = y = = vd =, y z : z =, n z,,, v n z = z = = vd =. z Protože x y z = δv, 34

35 kde V je osmina koule x y z <, x, y, z >, je podle Gaussovy věty vd = vd = div v dx dy dz. Protože δv V div v = x y z, je tok roven Φ = x y z dx dy dz. V Trojný integrál přes osminu koule V najdeme nejsnáze pomocí sférických souřadnic x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. Naše osmina koule V je v těchto souřadnicích dána nerovnostmi < r <, < θ < π, < ϕ < π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak dostaneme Φ = = = dθ dθ dϕ r 3 cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos θ dr = cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos θ dϕ = cos θ π sin θ cos θ dθ = π π = π. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yi zj xk povrchem čtyřstěnu, který je omezen rovinami x y z = a, x =, y = a z = a >. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je vektorové pole v = y, z, x a plocha je hranice čtyřstěnu V, který je definován nerovnostmi x >, y >, z > a x y z < a. Protože plocha = δv je hranicí čtyřstěnu V můžeme pro výpočet plošného integrálu použít Gaussovu větu. Podle ní je Φ = vd = div v dx dy dz. A protože pro dané vektorové pole v je je jeho tok povrchem čtyřstěnu δv V div v =, Φ =. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = x 3 i y 3 j z 3 k kulovou plochou x y z = z. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je vektorové pole v = x 3, y 3, z 3 a plocha je hranice koule V definované nerovností x y y < z, lze při výpočtu integrálu použít Gaussovu větu. Podle ní je Φ = vd = div v dx dy dz. 35 V

36 Divergence daného vektorového pole je a tedy div v = 3 x y y, Φ = 3 x y z dx dy dz. V Trojný integrál přes kouli V najdeme pomocí sférických souřadnic x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je koule dána nerovnostmi < r < sin θ, < ϕ < π = sin θ > = < θ < π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak dostaneme Φ = 3 dθ sin θ dr = 6 5 π sin 5 θ cos θ dθ = π 5. r 4 cos θ dϕ = 6π dθ sin θ r 4 cos θ dr = 36

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Kapitola List v prostoru R 3 a jeho parametrizace

Kapitola List v prostoru R 3 a jeho parametrizace Kapitola 4 Plošné integrály 4. ist v prostoru R 3 a jeho parametrizace Klíčová slova: přípustná oblast, zanedbatelná množina, list v R 3, parametrizace listu, obor parametrů, kraj listu, tečné vektorové

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule).

PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). uzavřená hladká kraj LOCHY lochy v prostoru, které byly zatím

Více

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1, MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi

Více

VEKTOROVÁ POLE Otázky

VEKTOROVÁ POLE Otázky VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,

Více

11. cvičení z Matematiky 2

11. cvičení z Matematiky 2 11. cvičení z Mateatiky. - 6. května 16 11.1 Vypočtěte 1 x + y + z dv, kde : x + y + z 1. Věta o substituci á analogický tva a podínky pouze zanedbatelné nožiny nyní zahnují i plochy, oviny atd.: f dv

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Integrace funkcí více proměnných, numerické metody

Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Matematika III 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů

Více

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský

Více

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

Parametrické rovnice křivky

Parametrické rovnice křivky Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích

15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích 15 HYPERSFÉRICKÉ SOUŘADNICE 1 15 Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích 151 Definice hypersférických souřadnic r, ϑ N,, ϑ 1, ϕ v E N Hypersférické souřadnice souvisejí s kartézskými souřadnicemi

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL . VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin

Více

U V W xy 2 x 2 +2z 3yz

U V W xy 2 x 2 +2z 3yz E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 V.5. Gaussova-strogradského věta Má-li vektorováfunkce f (U,V,W spojitévšechn parciálníderivacevotevřenémnožině G E 3, pak skalární

Více

Skalární a vektorový popis silového pole

Skalární a vektorový popis silového pole Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0. VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta 14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

1. Přirozená topologie R n

1. Přirozená topologie R n Příklady PŘÍKLADY A CVIČENÍ. Přirozená topologie R n. Dokažte, že čtverec M = {(x, y) R n ; x + y } je kompaktní množina. Řešení: Stačí ukázat, že množina M je uzavřená a ohraničená. Uzavřenost lze dokázat

Více

Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných

Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 10. 2007 Obsah přednášky 1 Lineární programování 2 Integrály

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL DVOJNÝ A TROJNÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro 7 Gaussova věta Zadání Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro následující nabitá tělesa:. rovnoměrně nabitou kouli s objemovou hustotou nábojeρ,

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více