12. Křivkové integrály

Transkript

1 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ n t), t a, b, 121) kde a) funkce ϕ 1 t),, ϕ n t) jsou spojité na a, b a mají zde i po částech spojité derivace, b) funkce ϕ 1 t),, ϕ n t) nejsou pro žádné t a, b zároveň rovny nule, c) pro žádnou dvojici t 1, t 2 a, b) neplatí zároveň ϕ 1 t 1 ) = ϕ 1 t 2 ),, ϕ n t 1 ) = ϕ n t 2 ) a) b) c) d) Obr 121: Příklady křivek a) jednoduchá otevřená hladká, b) jednoduchá uzavřená po částech hladká, c) není jednoduchá, d) jednoduchá hladká uzavřená Poznámka Podmínka c) v Definici 121 vyjadřuje, že křivka sama sebe neprotíná 2 V případě, že platí ϕ i a) = ϕ i b) pro všechna i = 1, 2,, n, pak se jedná o křivku uzavřenou, viz například situace na Obrázku 121 d) Definice 123 Nechť je dána jednoduchá konečná po částech hladká křivka čti Gama), která je dána parametrickými rovnicemi 121) Pak křivku lze orientovat dvěma způsoby: Bod At 1 ) je před bodem Bt 2 ), když a jen když t 1 < t 2 Pak řekneme, že křivka je orientována souhlasně se svým parametrickým vyjádřením Bod At 1 ) je před bodem Bt 2 ), když a jen když t 2 < t 1 Pak řekneme, že křivka je orientována nesouhlasně se svým parametrickým vyjádřením ÚM FSI VUT v Brně 42

2 Následující pasáž bude věnována křivkovému integrálu prvního druhu Pro tento integrál se užívá několik ekvivalentních pojmenování, která velmi výstižně vyjadřují jeho hlavní vlastnosti Používá se označení neorientovaný křivkový integrál, nebo též křivkový integrál skalárního pole Definice 124 Křivkový integrál skalárního pole) Nechť je jednoduchá hladká křivka o parametrických rovnicích 121) Nechť fx 1,, x n ) je spojitá funkce v nějaké oblasti Ω R n, v níž leží křivka, tj uvažujeme příslušné skalární pole Pak integrál prvního druhu zavedeme následovně: a) Pro jednoduchou hladkou křivku v R n, která je vyjádřena parametrickými rovnicemi 121) platí fx 1,, x n )ds = b a f ϕ 1 t),, ϕ n t) ) ϕ1 t) ) ϕn t) ) 2 dt 122) b) Pro jednoduchou hladkou křivku v Ω R 2, kterou lze explicitně vyjádřit ve tvaru y = gx), x α, β platí β fx, y)ds = f x, gx) ) 1 + g x) ) dx α x 2 %x 2 %s %x 1 x 1 Obr 122: ds = dx 1 ) 2 + dx 2 ) 2 = ϕ1 t) ) 2 + ϕ2 t) ) 2 dt Poznámka Integrál prvního druhu nezávisí na orientaci křivky a jedná se o integrál ze skalární funkce fx 1,, x n ) 2 Myšlenka přechodu od křivkového integrálu k integrálu určitému ve vztahu 122) je názorně naznačena na Obrázku 122 Věta 126 Aplikace křivkového integrálu 1 druhu Nechť je jednoduchá hladká křivka Pak křivkový integrál 1 druhu můžeme aplikovat následovně: L) = 1ds, kde L) je délkou křivky ; P ) = fx, y)ds, kde P ) je plošným obsahem válcové plochy nad rovinnou křivkou shora ukončeným plochou z = fx, y); m) = µx, y)ds, kde m) je hmotností rovinné křivky s lineární délkovou) hustotou µx, y) ÚM FSI VUT v Brně 43

3 Příklad 127 Vypočtěte xyds, kde křivka je obvod obdélníka vymezeného přímkami x =, y =, x = 4, y = 2, viz Obrázek 123 y x Obr 123: K příkladu 127 Řešení: Křivka je po částech hladká a lze ji zapsat jako sjednocení hladkých křivek Potom = , kde parametrické vyjádření jednotlivých úseků je následující: 1 : ϕ 1 t) = x = t, ϕ 2 t) = y =, t, 4 a platí ds = ϕ1 t) ) 2 + ϕ2 t) ) 2 dt = dt = 1dt; 2 : x = 4, y = t, t, 2 a platí ds = dt = 1dt; 3 : x = t, y = 2, t, 4 a platí ds = 1dt; 4 : x = y = t, t, 2 a platí ds = 1dt Pak hledaný integrál vypočteme následovně: xyds = xyds 4 Protože 1 xyds = 4 xyds =, dostaneme xyds = 2 xyds = 3 2 4tdt + 4 2tdt = [ 2t 2] 2 + [ t 2] 4 = 24 Déle se zabývejme křivkovým integrálem druhého druhu Opět se používá ekvivalentní značení orientovaný křivkový integrál nebo křivkový integrál vektorového pole, které vystihuje základní vlastnosti tohoho integrálu ÚM FSI VUT v Brně 44

4 ` 12 Křivkové integrály Studijní text, 9 června 29 Definice 128 Křivkový integrál vektorového pole) Mějme vektorovou funkci F x 1,, x n ) = f 1 x 1,, x n ),, f n x 1,, x n ) ) se spojitými složkami f 1 x 1,, x n ),, f n x 1,, x n ) v nějaké oblasti Ω R n, v níž leží křivka, tj uvažujme příslušné vektorové pole Pak křivkový integrál druhého druhu zavedeme následovně: a) Pro jednoduchou hladkou orientovanou křivku v R n, která je vyjádřena parametrickými rovnicemi 121) platí F x 1,, x n )d s f 1 dx f n dx n = b = ± f 1 ϕ1 t),, ϕ n t) ),, f n ϕ1 t),, ϕ n t) )) ϕ 1 t),, ϕ n t) ) dt, }{{}}{{} a vektor vektor 123) přičemž znaménko + píšeme při souhlasné, znaménko při nesouhlasné orientaci křivky s daným parametrickým vyjádřením b) Pro jednoduchou hladkou orientovanou křivku v R 2, kterou lze explicitně vyjádřit ve tvaru y = gx) platí F x, y)d s f 1 x, y)dx + f 2 x, y)dy = ± β α f 1 x, gx) ), f2 x, gx) ) ) 1, g x) ) dx a α, β jsou x-ové souřadnice průmětu křivky na osu x x 2 %x 2 %s %x 1 x 1 Obr 124: d s = dx 1, dx 2 ) = ϕ 1 t), ϕ 2 t) ) dt Poznámka Integrál druhého druhu závisí na orientaci křivky a jedná se o integrál z vektorové funkce F x 1,, x n ) = f1 x 1,, x n ),, f n x 1,, x n ) ) 2 Myšlenka přechodu od křivkového integrálu k integrálu určitému ve vztahu 123) je názorně naznačena na Obrázku 124 Věta 121 Aplikace křivkového integrálu 2 druhu Nechť je jednoduchá hladká křivka Pak platí A) = F d s, kde A) je práce, kterou vykoná síla F po orientované křivce ÚM FSI VUT v Brně 45

5 Nyní zavedeme některé pojmy, které využijeme při formulaci Greenovy věty, která je hojně využívána při výpočtech v technické praxi i v důkazových technikách a která vyjadřuje vztah mezi křivkovým integrálem 2 druhu po uzavřené křivce a dvojným integrálem přes oblast Ω, jejíž hranici křivka tvoří Definice 1211 Oblast typu A) Nechť Ω je omezená nikoliv nutně jednoduše souvislá) oblast v R 2 Tvoří-li její hranici konečný počet jednoduchých konečných po částech hladkých uzavřených křivek, budeme říkat, že oblast Ω je typu A Věta 1212 Greenova věta Nechť Ω je uzavřená oblast typu A s hranicí kladně orientovanou vzhledem k Ω tzn oblast Ω zůstává po levé straně, probíháme-li křivku v kladném smyslu), viz Obrázek 125 Dále nechť funkce f 1 x, y), f 2 x, y), f1 x, y), f2 x, y) jsou spojité v oblasti Ω Pak platí f2 f 1 x, y)dx + f 2 x, y)dy = Ω f 1 ) dxdy y Æ x Obr 125: Ke Greenově větě Definice 1213 Nechť Ω je orientovaná křivka s počátečním bodem A a koncovým bodem B Jestliže hodnota integrálu I = f 1 x, y)dx + f 2 x, y)dy 124) závisí jen na volbě bodů A, B, a nikoliv na tom, kterou křivku z oblasti Ω spojující tyto body zvolíme, říkáme, že integrál I nezávisí v oblasti Ω na integrační cestě Věta 1214 Nechť funkce f 1 x, y), f 2 x, y), f1 Pak platnost rovnice f 1 x, y) = f 2 x, y), f2 x, y), x, y) jsou spojité v jednoduše souvislé oblasti Ω [x, y] Ω je nutnou a postačující podmínkou, aby integrál 124) nezávisel v oblasti Ω na integrační cestě Navíc pak výraz f 1 x, y)dx + f 2 x, y)dy je v Ω totálním diferenciálem nějaké funkce F x, y) Hodnota integrálu 124) je pak dána rozdílem F x 2, y 2 ) F x 1, y 1 ), kde [x 1, y 1 ] je počáteční a [x 2, y 2 ] koncový bod křivky ÚM FSI VUT v Brně 46