MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

Transkript

1 MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů z ČUT [2], která je na webu. 1. přednáška 1 Diferenciální počet funkcí na R N 1.1 Funkce více proměnných, limita, spojitost. 1.2 Parciální derivace. Záměnnost smíšených derivací. 1.3 Totální diferenciál, tečná rovina, normála. 1.4 Derivace složených funkcí. Rektorys I., (a) ypočtěte gradient funkcí: a) x y b) arctan y x (b) ypočtěte všechny druhé derivace funkce: x ln(xy) (c) Jsou dány funkce u(a, b) = ln a + b, a(x) = 1 + x 2, b(y) = y 2. i. počítejte parciální derivace x f a y f pro složenou funkci f(x, y) = u(a(x), b(y)). ii. Na jaké množině M jsou obě derivace spojité? iii. Na množině M nalezněte obecný tvar totálního diferenciálu. iv. Napište parametrickou rovnici tečné roviny a normálový vektor v bodě [1, 2]. (a) Definiční obor - [2] str. 1; 3,4 (b) Limita spojitost - [2] str. 18; 4,5,10* (c) Derivace ve směru - [2] str. 22; 1,2,3 (d) Totální diferenciál - [2] str. 25; 1,2,3,4*,6 (e) Derivace složené funkce - [2] str. 29; 1,2,3,4 1

2 2. přednáška 1.5 Zavedení nových proměnných. Transformace diferenciálních výrazů. 1.6 Polární, cylindrické, sférické souřadnice. Rektorys I., (a) Necht f(x, y, z), g(x, y, z) jsou dané funkce tří proměnných. Transformujte výraz: do cylindrických souřadnic: výsledek: = f g x y g f x y + f g z z x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, h = 2z ( f g r r ϕ f g ) + 4 f g ϕ r h h (b) Odvod te tvar Laplaceova operátoru: xx f(x, y) + yy f(x, y) v polárních souřednicích. (a) První derivace, 2 nezávisle proměnné - [2] str. 50; 2,3 (b) Druhé derivace, 2 nezávisle proměnné - [2] str. 51; 4* (c) Polarní souřadnice - [2] str. 52; 8, 10* 2

3 3. přednáška 1.7 ektorový počet. Diferenciální operátory. Rektorys I., Feynman II., kapitola 2, str ektorová algebra: Eukleidovský prostor R 3, skalarní a vektorový součin ektorový počet: gradient, nabla, divergence, rotace (i ve 2d), Laplaceův operátor, skalární a vektorový potenciál (a) Pro polohový vektor (rádius vektor) r = (x, y, z), r = r = r r2 2 + r2 3. spočtěte: a) r b) r c) r r 3 d) r r 3 Plyne z posledních dvou výsledků porušení Helmholtzovy dekompozice? (b) počtěte div(rot(ω)) pro obecné vektorové pole ω. (c) Pro vektorové pole v(x, y, z) = ω r rychlostí tuhého tělesa rotujícího okolo osy dané vektorem úhlové rychlosti ω spočítejte v a v. První výsledek odpovídá nestlačitelnosti, druhý ukazuje na geometrický význam rotace vířivosti. (a) Gradient - [2] str. 223; 1-4,6,8*,13,17a, (b) Divergence - [2] str. 232; 25, 27, (c) Rotace - [2] str. 237;

4 4. přednáška 1.8 Extrémy, ázané extrémy, Lagrangeovy multiplikátory. Rektorys I., příklady: 65/1, 58/1,2,3 (a) Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 3 + y x2 3 2 xy + 3x 3 2 y + 1 (b) Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 na množině M = {x + 2y + 3z = 1}. (c) Do polokoule vepište kvádr s maximálním objemem. (a) Extrémy funkcí 2 proměnných - str. 58; 1-9,10* (b) Extrémy funkcí 3 proměnných - str. 61; (c) ázané extrémy - str. 66; 1,3,5,7,9,11 4

5 5. přednáška 2 Integrální počet na R N 2.1 Míra a Lebesgueův integrál 2.2 Oblasti, křivky, plochy, integrovatelné funkce 2.3 Integrace ve 2D a 3D. Fubiniova věta. ubstituce. Rektorys I., Pro každý příklad nejprve namalujte oblast, přes kterou se integruje. (a) ypočítejte kde Ω je omezena přímkami: Ω x 2 + y 2 dx dy, (b) ypočtěte (c) kde Ω je elipsa 2x = y, y = 2x + 1, y = 1, y = 1. Ω 1 x2 a 2 y2 dx dy, b2 a 2 + y2 b 2 = 1. Použijte eliptické souřadnice, určete jakobián. kde je oblast ohraničená plochami x 2 xyz dx dy dz, x 2 + y 2 + z 2 = 1, x = 0, y = 0, z = 0. ýpočet proved te jednak přímo pomocí Fubiniovy věty a dále pomocí substituce do cylindrických, nebo sférických souřadnic. (a) Fubiniho věta: [2] str. 89; 1-7,9,11 (b) ubstituce: [2] str. 97; 1-3, 7 5

6 6. přednáška 2.4 Integrace po křivce a po ploše. Kelvin-tokesova, Greenova, Gaussova věta. Rektorys (bohužel pouze ve složkovém zápisu) Pomocí vektorového zápisu je integrál (1. druhu) ze skalárního pole f podél křivky k dané parametricky funkcí ϕ(t), t [α, β]: β f dϕ = f ( ϕ(t) ) β ϕ (t) dt = f(ϕ x, ϕ y, ϕ z ) (ϕ x) 2 + (ϕ y) 2 + (ϕ z) 2 dt k α kde ϕ (t) je tečný vektor, tj. vektor derivace funkce ϕ, [2] str α Podobně pro integrál (1. druhu) ze skalárního pole f podél plochy dané parametricky funkcí ϕ(u, v), [u, v] M R 2 : f dn = f(ϕ(u, v)) n(u, v) du dv = f(ϕ x, ϕ y, ϕ z ) (n x ) 2 + (n y ) 2 + (n z ) 2 du dv, M M kde n je normála plochy (vektor kolmý k ploše jehož velikost je daná velikostí elementární plošky ). Normála je rovna vektorovému součinu tečných vektorů: n = t u t v, t u = ϕ u, t v = ϕ v. Pozor, pokud plocha není rovina, tak normála a tudíž i její velikost závisí na parametrech u, v, [2] str e vektorovém zápisu je integrál (2. druhu) z vektorového pole F podél křivky k: β F ds = F (ϕ(s)) ϕ (s) ds k α Integrál vyjadřuje práci pole podél křivky, [2] str Podobně lze integrál (2. druhu) vektorového pole F skrze plochu napsat: F dn = F (ϕ(u, v)) ( u ϕ v ϕ ) du dv Tento integrál má význam celkového toku pole skrz plochu, [2] str tokesova věta: Pro plochu ohraničenou uzavřenou křivkou k platí rotf dn = F dk. Gaussova věta: Pro objem ohraničený plochou platí divf d = F dn. Greenova věta (integrace per partes): x uv d = ([2] str. 208) M ( u) v d = k uv dn x uv dn u x v d udivv d (a) počítejte tok vektorového pole plochou danou rovnicí F = (x 3, y 3, z 3 ) x 2 + y 2 + z 2 = x. Návod: Použijte Gaussovu větu a substituci do sférických souřadnic. [π/5] (b) počítejte tok pole F = (y, x, z) trojúhelníkem A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 0, 3) orientovaným směrem od počátku. [3/2] [2] str. 135, 244; 6

7 7. přednáška 2.5 Aplikace v geometrii a fyzice Rektorys I., Délka křivky, plocha plochy je integrál (1. druhu) ze skalárního pole f(x, y, z) = 1, tj. l = β α ϕ (t) dt, P = M n(u, v) du dv Hmota křivky nebo plochy je integrál (1. druhu) ze skalárního pole hustoty ρ(x, y, z). M = ρ(x, y, z) ds, M = ρ(x, y, z) dn k ouřadnice těžiště křivky nebo plochy je vektor (T x, T y, T z ) integrálů (1. druhu!!) z vektoru skalárních funkcí xρ(x, y, z), yρ(x, y, z), zρ(x, y, z) dělený celkovou hmotou M. Např. pro plochu : T x = 1 xρ(x, y, z) dn, T y = 1 yρ(x, y, z) dn, T z = 1 zρ(x, y, z) dn. M M M Moment setrvačnosti vzhledem k ose o je integrál (1. druhu) ze skalární funkce f(x, y, z) = r 2 ρ(x, y, z), kde r je vzdálenost bodu [x, y, z] od osy o. Bývá vhodné použít cylindrické souřadnice okolo osy o. Práce síly po křivce. Integrál 2. druhu z vektorové funkce síly. Tok kapaliny skrze plochu za jednotkový čas. Integrál 2. druhu z vektorového pole rychlosti. (a) počítejte moment setrvačnosti kuželolvé plochy x 2 +y 2 4z 2 = 0, 0 < z < 1 2 s hustotou ρ(x, y, z) = z vzhledem k přímce {y = 0, z = 1 2 }. Návod: Použijte cylindrické souřadnice pro parametrické vyjádření plochy. [π 513/(20 12)] (b) počítejte práci elastické síly směřující do počátku o velikosti dvojnásobku vzdálenosti do počátku podél šroubovice {3 cos 2t, 3 sin 2t, t}, 0 < t < 2π. ysvětlete proč je výsledek záporný. [ 4π 2 ] [2] str. 112, str. 248; 7

8 8. přednáška 3 šehochut 3.1 Laplaceova transformace, Fourierovy řady. 3.2 Rovnice vedení tepla, rovnice kontinuity. [3] - Laplaceova transformace [1] Fourierovy řady [2] str. 249, 58 - rovnice vedení tepla; 59 - rovnice kontinuity 8

9 9. přednáška 4 Mechanika tekutin 4.1 tavové proměnné, rovnice kontinuity, Eulerovy a Navier-tokesovy rovnice 4.2 Zjednodušené modely: Bernuliho rovnice, porézní prostředí * [5] Horský, J., Novotný, J., Štefaník, M.: Mechanika ve fyzice, Academia, Praha, Feynman I. 10. přednáška 5 Elektromagnetismus Elektromagnetická indukce, Faradayův zákon, Magnetické pole, Maxwellovy rovnice Kapitoly z Feynmana: 1 (základní zákony bez formalismu), 2 a 3 - vektorový, diferenciální a integrální počet prakticky, 4 - Maxwellovy rovnice 12 - aplikace Laplaceovy rovnice, 13 a 14 - pouze vybrane, 18 finalni Maxwelovy rovnice [4], [5] 6 Požadavky ke zkoušce ypracovanáa odevzdaná (nejpozději při zkoušce) zadaná cvičení z přednášek 1-7 (viz. výše). Dále si připravit celkem tři témata. Po jednom z okruhů 1, 2, 3. Zkouška bude probíhat ústně. 1. (a) Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální derivace, totální diferenciál (b) Derivace složených funkcí. Transformace diferenciálních výrazů při změně souřadnic. Cylindrické a sférické souřadnice. (c) Extrémy funkcí více proměnných: nevázané a vázané extrémy, extrémy na omezené oblasti, rozpoznání minima, maxima, sedla 2. (a) ektorový počet: součiny, vektorové pole, operátory, div, rot (b) Lesgueova míra a integrál (základní idea), Fubiniho věta, věta o substituci (c) Integrace podél křivky a podél plochy, integrály I. a II. druhu, tokesovy věty 3. (a) Aplikace integrálů ve fyzice: hmota, těžiště, momenty, tok pole skrze plochu, práce pole podél křivky, rovnice vedení tepla, rovnice kontinuity (b) Laplaceova transformace. Fourierovy řady. (c) Elektřina a magnetismus: náboj q a proudová hustota J, stavové veličiny elektro magnetického pole: E, H, D, B, parametry µ, ε; pohyb náboje v elektromagnetiském poli, Lorentzova síla, umět zjednodušit úplný systém Maxwell rovnic v případech elektrostatického a stacionárního proudového pole; Ohmův zákon, odpor, vodivost Reference [1] K. Rektorys a spol. : Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha, [2] [3] J. eit: Integrální transformace. NTL, Praha, [4] R. Feynman: Přednášky z fyziky II., Fragment, 2001 [5] B. edlák,i. Štoll :Eletřina a magnetismus. Academia, Praha,