Aplikace kinetických metod na dynamiku tekutin
|
|
- Vlastimil Vávra
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Aplikace kinetických metod na dynamiku tekutin Martin Ptáček Abstrakt: Práce se zabývá aplikací kinetické metody na model mělké vody a porovnáním s přesným Riemannovským řešením a dalšími metodami pro řešení hyperbolických rovnic. V první části práce je popsán model. V další části je představena kinetická metoda. Následuje popis používaných numerických metod a obrázky získané z numerických simulací v systému Matlab. Úvod V této práci se budeme zabývat numerickými simulacemi modelu mělké vody z angl. Shallow-Water. Tento model se používá například při simulaci povodňových vln při protržení přehrady, vlny tsunami, a nebo dopadu kapky na vodní hladinu. Pro simulaci budeme používat kinetické schéma pro jednorozměrný a dvourozměrný model mělké vody. Při studiu literatury věnované dynamice tekutin se kinetické metody zdály být vhodné pro simulace modelu mělké vody. Myšlenka, na které jsou kinetické metody založeny, spočívá v transformaci modelu mělké vody na transportní rovnici u t + au = s nekonstantní rychlostí transportu a = at,. Důležitou součástí práce bylo vytvoření řešiče používajícího kinetické metody určeného pro výpočty jak D modelu, tak 2D modelu - zde používáme nestrukturované trojúhelníkové sítě. V závěrečné části této práce předložíme grafické výstupy tohoto řešiče. Jako testovací úlohu jsme zvolili problém protržení hráze z angl. Dam-break problem. U této testovací úlohy je známo eaktní řešení Riemannova problému. Díky tomu můžeme na grafu znázornit odchylky numerických řešení od řešení přesného. Zároveň u této úlohy můžeme porovnat výstupy kinetického schématu s výstupy klasických numerických metod pro řešení hyperbolických rovnic. 2 Model mělké vody 2. Model ve dvou prostorových proměnných Model mělké vody ve dvou rozměrech je popsán rovnicemi pro tloušt ku vodní vrstvy h, y, t a pro složky rychlosti u, y, t, v, y, t, g je gravitační konstanta [7, 8]. h t + hu + hv y =, hu t + hu gh2 + huv y =, hv t + huv + hv gh2 y =, Katedra Matematiky, Západočeská univerzita v Plzni, Univerzitní 22, 36 4 Plzeň, heky@students.zcu.cz
2 kde u = u, y, t, v = v, y, t, y Ω R 2, h = h, y, t t, T Model v jednom prostorovém rozměru Vztahy pro model mělké vody v jedné prostorové dimenzi [7, 8] plynou z dvourozměrného modelu. Vztahy získáme restrikcí ze dvou prostorových proměnných do jedné prostorové proměnné. Tím nám vypadne parciální derivace podle y a všechny členy, ve kterých vystupuje rychlost ve směru y. Model v jednom rozměru potom vypadá takto h t + hu =, hu t + hu 2 + g 3 2 h2 =, kde h je výška hladiny vodní vrstvy proto h >, u je rychlost pohybu této vrstvy a g je gravitační zrychlení a platí u = u, t Ω R, h = h, t t, T. 4 3 Kinetické metody V dalším tetu budeme značit dolními indey u rychlosti u složky rychlosti ve směru, tedy u značí rychlost ve směru osy a u y značí rychlost ve směru osy y. 3. Kinetické schéma pro jednorozměrný případ Mějme dánu počáteční úlohu ve tvaru w t + fw =, w, = w, R, t, T. 5 Gibbsovo equilibrium [3] vyjadřující hustotu částic je pro jednorozměrný model mělké vody definováno takto ht, ut, Gt,, = ct, χ, 6 ct, kde ct, 2 ght, =. 7 2 Reálná funkce χ, která je obsažena v rovnici Gibbsova equilibria, musí splňovat následující podmínky χ = χ, + χd =, + 2 χd =. 8 Tyto předpoklady splňuje například funkce normálního rozložení [, 2, 5].
3 Lemma [4] Funkce ht, a ut, jsou slabým řešením soustavy mělké vody 3 právě tehdy, když Gt,, splňuje kinetickou rovnici Gt,, t Gt,, + kde Q = Qt,, je kolizní podmínka, pro kterou platí = Qt,,, 9 + Qt,, d =, + Qt,, d =, řešení rovnice 9 je entropické, pokud navíc platí + Kinetickou rovnici můžeme přepsat jako t Gt,, d + 2 Qt,, d. 2 Gt,, d = Z toho integrací získáme model mělké vody h + hu t hu hu 2 + g 2 h2 =. Qt,, d. Obecný důkaz lemmatu je proveden v [6]. Na oblasti R, T sestrojíme sít s uzly Xi n = X i, t n, i Z, n N. Definujeme i = i, kde je prostorový krok sítě a čas t n = n t, kde t je časový krok. Označme W n i aproimaci hodnoty w n i = w i, t n přesného řešení úlohy 9. Definujeme duální buňky C i jako C i = [X i, X 2 i+ ], X 2 i+ 2 = X i+x i+ 2 Řešení aproimujeme po částech konstantní funkcí, konstantní na C i s hodnotami W i = H, HU T. Aproimaci funkce G získáme pomocí diskretizace G n+ i = G n i G tn n G n, 2 i+ i i 2 2 kde G n i+ 2 = Zintegrujeme-li 2 podle získáme G n+ i d = G n i d tn i { G n i pro G n i+ pro <. G n i+ 2 d G n d, 3 i 2
4 to můžeme přepsat Přeznačením získáme H n+ i = H n i tn i G n i+ 2 d G n d. 4 i 2 H n+ i = Hi n F tn n F n, 5 H,i+ H,i i 2 2 F n H,i+ 2 = G n i d + G n i+d. 6 Obdobně toto provedeme s G a získáme H n+ i U n+ i = H n i U n i tn i 2 G n i+ 2 d 2 G n d. 7 i 2 Přeznačením získáme H n+ i U n+ i = Hi n Ui n F tn n F n, 8 HU,i+ HU,i i 2 2 Spojením rovnic 5 a 8 získáme W n+ i = W n i tn F n W F n W, 9 i+ i i 2 2 F n HU,i+ 2 = 2 G n i d + 2 G n i+d. 2 Tokovou funkci F n i+ 2 získáme tedy z F + a F F n i+ 2 = F W n i, W n i+ = F + W n i + F W n i+, 2 kde F + W n i = F W n i = + G n i d, G n i d. Rovnice 22 a 6 s funkcí χ zvolenou jako funkce normálního rozložení se dají přepsat jako F + W n i = h + i h χ i d, F W n i = h i 23 h χ i d. 22
5 Kinetické schéma je konzervativní pokud platí tzv. CFL podmínka, která zajišt uje nezápornost výšky hladiny h. [3] t n i min u n i +, 24 suppχcn i kde suppχ je kompaktní support funkce χ[2]. Konzistence a konvergence kinetické metody je dokázána v [6]. 3.2 Kinetické schéma pro dvourozměrný případ Mějme dánu počáteční úlohu ve tvaru w,y,t t + div F w, y, t =, w, y, = w, y, R, y R, t, T. 25 Na oblasti R 2, T sestrojíme trojúhelníkovou sít s uzly Pi n = P i, y i, t n, i Z, n N. Definujeme t jako časový krok, potom t n = n t je celkový čas v časové vrstvě n. Označme W n i aproimaci hodnoty w n i = w i, y i, t n přesného řešení úlohy 25. P i n i,j C i à i,j P j Obrázek : Duální buňka C i Na této síti zavedeme duální buňky C i, které budou mít středy v uzlech sítě P i, a jejich hrany budou spojnice těžišt okolních trojúhelníků. Tyto hrany označíme Γ i,j = ΓP i, P j a délku hran označíme L i,j = Γ i,j. Vnější normály hran duální buňky zapíšeme n i,j = np i, P j viz. obr. Plochu duální buňky označíme C i. Symbolem K i označíme množinu uzlů P j, které jsou spojeny s uzlem P i hranou. Okrajové duální buňky viz. obr2 zkonstruujeme tak, že hrany Γ i,j u okraje jsou spojnicí těžiště a středu okrajové hrany. Potom také sestrojíme okrajové hrany
6 C i à i,j P i n i,j ñ i,j à i,j P j Obrázek 2: Okrajová duální buňka C i Γ i,j = ΓP i, P j, spojující uzel sítě P i se středem okrajové hrany s normálou ñ i,j = ñp i, P j, a délku těchto hran označíme L. i,j = Γ i,j Symbolem Ki označíme množinu uzlů P j, které jsou spojeny s uzlem P i okrajovou hranou. Hodnoty funkcí ut n, i, y i a ht n, i, y i v uzlech sítě P i označíme ht n, i, y i Wi n = u t n, i, y i u y t n, i, y i v časové vrstvě n, která odpovídá času t n a v souřadnicích i, y i, které jsou souřadnicemi uzlu P i. Řešení budeme hledat jako po částech konstantní funkci, která má vždy na celé buňce C i konstantní hodnotu. Model mělké vody můžeme též zapsat jako z toho integrací dostaneme tvar W t + div F W =. 26 C i W t n+, i d C i W t n, i d + t n+ t n C i F W n ddt =, 27 který můžeme diskretizovat ve smyslu naší sítě takto W n+ i = W n i j K i σ i,j FW n i, W n j, n i,j j K i σ i,j FW n i, W n i, ñ i,j, 28
7 s σ i,j = tl i,j C i σ i,j = t L i,j C i. FW n i, W n j, n i,j je aproimace normálové složky toku F W n i,j kolmo na hranu Γ i,j. Tato aproimace je provedena pomocí jednorozměrného řešiče, protože lokálně tento problém vypadá jako jednorozměrná nespojitost. FW n i, W n j, n i,j = F + W i, n i,j + F W j, n j,i, 29 a F + W i, n i,j = n i,j n i,j F W j, n j,i = n j,i n j,i M i d, M j d Numerická implementace Nyní představíme naši implementaci této metody. Hodnoty výšky hladiny a rychlostí ve směrech a y W = h, u, u y. převedeme na normálové a tečné rychlosti ve smyslu normál hran a výška hladiny se nezmění Ŵ = h, u n, u τ, û = u n, u τ. Složky normál označíme n i,j = n, n y. Potom definujeme Ŵ jako transformaci do směru normály hrany a Ŵ = RW s R = F + = R ˆF +Ŵ, R = Následně spočítáme jednorozměrný případ ˆF + Ŵ i = h i ˆF Ŵ j = h j c j + n n n τ n τ n n y n y n n n y n y n χ, 3 h i d n, χ hj c j d n.. 32 Tečná složka rychlosti je v tomto případě konstatní, proto můžeme tok rychlosti ve směru tečny hrany spočítat jako 33 ˆF + u τ W i = u i,τ ˆF + h W i, ˆF u τ W j = u i,τ ˆF h W j. 34 Pro výpočet jedné časové vrstvy je nutno spočítat přibližně 6 počet uzlů integrálů funkcí F + a F, které jsou počítány gausovou kvadraturou.
8 3.4 Okrajové podmínky Okrajové podmínky budeme uvažovat na celé hranici sítě pouze odrazové, které simulují pevnou zed. Odrazovou okrajovou podmínku implementujeme tak, že normálové rychlosti u n okrajové hrany obrátíme orientaci. To můžeme zapsat takto [] W = 4 Numerické simulace 4. V jednom rozměru h u n u τ. 35 V jednom rozměru srovnáme aproimaci řešení získané kinetickou metodou s aproimacemi získanými dvoukrokovým LF řešičem prvního řádu, dvoukrokovým LW řešičem druhého řádu a s eaktním řešením Riemannova problému. Počáteční podmínku definujeme takto h = hl h r =, 2, Grafické výstupy D, u = ul u r =. 36 Nyní srovnáme řešení kinetické metody s Laovou-Fridrichsovou metodou prvního řádu a s eaktním Riemannovým řešením..5.4 Výška hladiny v č ase t=.75 Kinetická metoda Laova Friedrichsova metoda Eaktní řešení.9.8 Rychlost v č ase t=.75 Kinetická metoda Laova Friedrichsova metoda Eaktní řešení H. U Obrázek 3: Výška hladiny a rychlost proudění. Nyní srovnáme řešení kinetické metody s Laovou-Wendrofovou metodou druhého řádu a s eaktním Riemannovým řešením.
9 .5.4 Výška hladiny v č ase t=.75 Kinetická metoda Laova Wendrofova metoda Eaktní řešení.9.8 Rychlost v č ase t=.75 Kinetická metoda Laova Wendrofova metoda Eaktní řešení H. U Grafické výstupy 2D Obrázek 4: Výška hladiny a rychlost proudění. Další testovací úloha představuje částečné protržení hráze ve střední části Obrázek 5: Výpočetní sít použitá pro následující simulaci 6482 trojúhelníků. Na okraji sítě je uvažována odrazová okrajová podmínka. Výška hladiny v nižší části je, 8 a ve vyšší části je rovna, 2 viz. obrázek 6. Rychlost vody ve směrech a y je rovna.
10 výška hladiny t= y Obra zek 6: Poc a tec nı vy s ka hladiny 6482 troju helnı ku výška hladiny t= y.8 5 Obra zek 7: Vy s ka hladiny v c ase t = troju helnı ku Obra zek 8: Eperimenta lnı model.
11 5 Závěr Představili jsme model mělké vody, implementovali jsme kinetické schéma na tento model a ukázali jsme výstupy kinetické metody ve vizuálním porovnání s klasickými metodami, s eaktním Riemannovským řešením. Ukázali jsme použití pro jednorozměrný i dvourozměrný model. Kinetická metoda se ukázala býti použitelnou metodou prvního řádu. Při její implementaci se projevila její náročnost na procesorový čas - hlavně při výpočtu integrálů F + a F 23. Dalším krokem, kterým by se dalo pokračovat, je například přidat do modelu mělké vody profil dna a pokusit se použít pohyblivé okraje výpočtové oblasti, což by umožnilo simulovat např. vylití řeky z břehů při povodních nebo chování vlny tsunami při příchodu na pobřeží - kinetické metody to umožnují. Reference [] M.-O. Bristeau, B. Coussin, Boundary conditions for the shallow water equations solved by kinetic schemes, Rapport de recherche, INRIA, [ RR-4282 ], 2. [2] E. Audusse, M.-O. Bristeau, B. Perthame, Kinetic Schemes for Saint-Venant Equations with Source Terms on Unstructured Grids, Rapport de recherche INRIA [ RR-3989 ], 2. [3] E. Audusse, M.-O. Bristeau, Transport of Pollutant in Shallow Water. A Two Time Steps Kinetic Method, M2AN, vol. 37, no 2, pp , 23. [4] E. Audusse, Modélisation hyperbolique et analyse numérique pour les écoulements en eau peu profondes, Th?se, Université Pierre et Marie Curie, 24 [5] B. Perthame, C. Simeoni, A kinetic scheme for the Saint-Venant system with a source term, Th?se, Département de Mathématiques et Applications, École Normale Supérieure, 45, rue d Ulm, 7523 Paris Cede 5, 25, France [6] R. Botchorishvili, B. Perthame, A. Vasseur, Schemas d Equilibre pour des Lois de Conservation Scalaires avec des Termes Sources Raides, Rapport de recherche INRIA [ RR-389 ], 2, France. [7] Leveque R. J.: Finite volume methods for hypebolic problems, Cambridge university press, 22 [8] Leveque R. J.: Numerical Methods for Conservation Laws, Research Institute Of Mathematics, Zürich 99 [9] Ptáček M.: Aplikace numerických metod na dynamiku tekutin, sbornik 7. studentská konference VŠTEZ, České vysoké učení technické v Praze,29, ISBN
MODELOVÁNÍ SHALLOW WATER
Západočeská univerzita Fakulta aplikovaných věd Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávání MODELOÁNÍ SHLLOW WTER KRISTÝN HDŠOÁ ziraf@students.zcu.cz 1 ÚOD Dostala jsem za úkol namodelovat
Vícetermodynamický zákon František SEIFRT 9. března 2006
Říční toky, dopravní zácpy a druhý termodynamický zákon Seminář Oddělení Mikrostruktur 9. března 2006 Plzeň 1 Úvod 2 Model dopravní zácpy, podmínka entropie Nelineární zákon zachování 3 Model říčního toku
VíceŘešení 1D vedení tepla metodou sítí a metodou
ENumerická analýza transportních procesů - NTP2 Přednáška č. 9 Řešení 1D vedení tepla metodou sítí a metodou konečných objemů Metoda sítí (metoda konečných diferencí - MKD) Metoda sítí Základní myšlenka
Víceúloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat
VíceStabilizace Galerkin Least Squares pro
Fakulta strojní ČVUT Ústav technické matematiky Stabilizace Galerkin Least Squares pro MKP na řešení proudění o vyšších Reynoldsových číslech Ing. Jakub Šístek Doc. RNDr. Pavel Burda, CSc. RNDr. Jaroslav
VíceNumerické řešení 2D stlačitelného proudění s kondenzací. Michal Seifert
Numerické řešení 2D stlačitelného proudění s kondenzací Michal Seifert Úkoly diplomové práce Popsat matematické modely proudící tekutiny Popis numerických metod založených na metodě konečných objemů Porovnání
VíceVýpočet stlačitelného proudění metodou konečných objemů
Výpočet stlačitelného proudění metodou konečných objemů Petra Punčochářová Ústav technické matematiky, Fakulta strojní, Vysoké učení technické v Praze Vedoucí práce: Prof. RNDr. K. Kozel DrSc. Úvod V 80.
VíceNUMERICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO PŘENOSU TEPLA V PALIVOVÉ TYČI JADERNÉHO REAKTORU VVER 1000 SVOČ FST 2014
NUMERICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO PŘENOSU TEPLA V PALIVOVÉ TYČI JADERNÉHO REAKTORU VVER 1000 SVOČ FST 2014 Miroslav Kabát, Západočeská univerzita v Plzni, Univerzitní 8, 306 14 Plzeň Česká republika ABSTRAKT
VícePřevedení okrajové úlohy na sled
Převedení okrajové úlohy na sled úloh počátečních 1 Jiří Taufer Abstrakt Tento příspěvek je věnován řešení okrajových problémů pro soustavu okrajových obyčejných diferenciálních lineárních rovnic metodami,
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VícePříspěvek do konference STČ 2008: Numerické modelování obtékání profilu NACA 0012 dvěma nemísitelnými tekutinami
Příspěvek do konference STČ 2008: Numerické modelování obtékání profilu NACA 0012 dvěma nemísitelnými tekutinami (Numerical Modelling of Flow of Two Immiscible Fluids Past a NACA 0012 profile) Ing. Tomáš
VíceModelování ternárních systémů slitin
Software pro modelování ternárních systémů slitin Modelování ternárních systémů slitin pomocí B-splajnových ploch Zuzana Morávková Jiří Vrbický Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VícePočítačová dynamika tekutin (CFD) Řešení rovnic. - metoda konečných objemů -
Počítačová dynamika tekutin (CFD) Řešení rovnic - metoda konečných objemů - Rozdělení parciálních diferenciálních rovnic 2 Obecná parciální diferenciální rovnice se dvěma nezávislými proměnnými x a y:
VíceŘešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic
Řešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic Jiří Škvára Katedra fyziky, Přírodovědecká fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l.. ročník, počítačové metody ve vědě a technice Abstrakt Seminární
VíceColloquium FLUID DYNAMICS 2007 Institute of Thermomechanics AS CR, v. v. i., Prague, October 24-26, 2007 p.1
Colloquium FLUID DYNAMICS 27 Institute of Thermomechanics AS CR, v. v. i., Prague, October 24-26, 27 p.1 NUMERICKÉ ŘEŠENÍ STACIONÁRNÍHO A NESTACIONÁRNÍHO TRANSSONICKÉHO PROUDĚNÍ VE VNĚJŠÍ AERODYNAMICE
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceMATEMATIKA V MEDICÍNĚ
MATEMATIKA V MEDICÍNĚ Tomáš Oberhuber Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Matematika pro život TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA
VíceSimulace (nejen) fyzikálních jevů na počítači
Simulace (nejen) fyzikálních jevů na počítači V. Kučera Katedra numerické matematiky, MFFUK Praha 7.2.2013 Aerodynamický flutter Tacoma bridge, 1940 Fyzikální model Realita je komplikovaná Navier-Stokesovy
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceGodunovovy metody pro 1D-Eulerovy rovnice
Godunovovy metody pro D-Eulerovy rovnice Řešte Eulerovy rovnice w t + f(w) w(0, t) = = o, x (0, l), t (0, T ), w(l, 0) w(x, 0) = w 0 (x), = 0, t (0, T ), x (0, l), w = (ϱ, ϱu, E) T, f(w) = (ϱu, ϱu + p,
Víceb) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0
Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:
VíceF n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
VíceTento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že
Kapitola Zadání Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování alespoň jedné úlohy je nutnou podmínkou pro úspěšné složení zkoušky resp. získaní (klasifikovaného) zápočtu (viz.
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VíceStudentská tvůrčí činnost 2009
Studentská tvůrčí činnost 2009 Numerické řešení proudového pole v kompresorové lopatkové mříži Balcarová Lucie Vedoucí práce: Prof. Ing. P. Šafařík, CSc. a Ing. T. Hyhlík, PhD. Numerické řešení proudového
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceCFD simulace vícefázového proudění na nakloněné desce: porovnání smáčivosti různých kapalin. Martin Šourek
CFD simulace vícefázového proudění na nakloněné desce: porovnání smáčivosti různých kapalin Martin Šourek VŠCHT Praha Ústav matematiky Praha 13. Prosince 2016 Úvod Model Výsledky Závěr Úvod 13.12.2016
Více2 Odvození pomocí rovnováhy sil
Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
VícePARCIÁLN LNÍ ROVNICE
PARCIÁLN LNÍ DIFERENCIÁLN LNÍ ROVNICE VE ZPRACOVÁNÍ OBRAZU Autor práce: Vedoucí práce: Anna Kratochvílová Ing.Tomáš Oberhuber Zadání Najít vhodný matematický model pro segmentaci obrazových dat Navrhnout
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceJEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt
SIMULAČNÍ MODEL KLIKOVÉ HŘÍDELE KOGENERAČNÍ JEDNOTKY E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze Abstrakt Crankshaft is a part of commonly produced heat engines. It is used for converting
VíceDynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině.
Dynamika tekutin popisuje kinematiku (pohyb částice v času a prostoru) a silové působení v tekutině. Přehled proudění Vazkost - nevazké - vazké (newtonské, nenewtonské) Stlačitelnost - nestlačitelné (kapaliny
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceLiteratura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA Dnešní látka: Metoda sítí pro D úlohy. Poissonova rovnice. Vlnová rovnice. Rovnice vedení tepla. Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 3, ČVUT, Praha,. Text přednášky
VíceNosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)
Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek
VíceCentrum kompetence automobilového průmyslu Josefa Božka - AutoSympo a Kolokvium Božek 2. a , Roztoky -
Popis obsahu balíčku WP13: Aerodynamika motorového prostoru a chlazení WP13: Aerodynamika motorového prostoru a chlazení Vedoucí konsorcia podílející se na pracovním balíčku České vysoké učení technické
VíceProgram KALKULÁTOR POLOHY HPV
Program KALKULÁTOR POLOHY HPV Výpočet úrovně hladiny podzemní vody Dokumentace Teoretický základ problematiky Pokyny pro uživatele Jakub Štibinger, Pavel Kovář, František Křovák Praha, 2011 Tato dokumentace
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
VíceParametrické rovnice křivky
Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou
VícePetra Monhartová. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Katedra numerické matematiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Petra Monhartová Schémata typu ADER pro řešení rovnic mělké vody Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr.
VíceNumerické řešení modelu proudění v porézní hornině s puklinou
Numerické řešení modelu proudění v porézní hornině s puklinou Martin Hanek Úvod Vedoucí práce prof. RNDr. Pavel Burda, CSc. Zajímá nás jednofázová tekutina v puklině porézní horniny. Studie je provedena
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceKMA/GPM Barycentrické souřadnice a
KMA/GPM Barycentrické souřadnice a trojúhelníkové pláty František Ježek jezek@kma.zcu.cz Katedra matematiky Západočeské univerzity v Plzni, 2008 19. dubna 2009 1 Trojúhelníkové pláty obecně 2 Barycentrické
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceNumerické řešení variačních úloh v Excelu
Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com
VíceSoftware pro modelování chování systému tlakové kanalizační sítě Popis metodiky a ukázka aplikace
Optimalizace systémů tlakových kanalizací pomocí matematického modelování jejich provozních stavů Software pro modelování chování systému tlakové kanalizační sítě Popis metodiky a ukázka aplikace Ing.
VícePotenciální proudění
Hydromechanické procesy Potenciální proudění + plíživé obtékání koule M. Jahoda Proudění tekutiny Pohyby elementu tekutiny 2 čas t čas t + dt obecný pohyb posunutí lineární deformace rotace úhlová deformace
VícePočítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice. - laminární tok -
Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice - laminární tok - Základní pojmy 2 Tekutina nemá vlastní tvar působením nepatrných tečných sil se částice tekutiny snadno uvedou do pohybu (výjimka některé
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceModelování anelastické odezvy vlastních kmitů zemětřesení v Chile 2010
Modelování anelastické odezvy vlastních kmitů zemětřesení v Chile 2010 Eliška Zábranová Katedra geofyziky MFF UK, VCDZ Úvod Vlastní kmity jsou elementy stojatého vlnění s nekonečným počtem stupňů volnosti.
VíceSIMULACE ŠÍŘENÍ NAPĚŤOVÝCH VLN V KRYSTALECH MĚDI A NIKLU
SIMULACE ŠÍŘENÍ NAPĚŤOVÝCH VLN V KRYSTALECH MĚDI A NIKLU V. Pelikán, P. Hora, A. Machová Ústav termomechaniky AV ČR Příspěvek vznikl na základě podpory záměru ÚT AV ČR AV0Z20760514. VÝPOČTOVÁ MECHANIKA
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceVlny konečné amplitudy vyzařované bublinou vytvořenou jiskrovým výbojem ve vodě
12. 14. května 2015 Vlny konečné amplitudy vyzařované bublinou vytvořenou jiskrovým výbojem ve vodě Karel Vokurka Technická univerzita v Liberci, katedra fyziky, Studentská 2, 461 17 Liberec karel.vokurka@tul.cz
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VíceSimulace proudění vody nenasyceným půdním prostředím - Hydrus 1D
Simulace proudění vody nenasyceným půdním prostředím - Hydrus 1D jednorozměrný pohyb vody a látek v proměnlivě nasyceném porézním prostředí proudění Richardsova rovnice transport látek advekčně-disperzní
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VícePočítačová dynamika tekutin užitečný nástroj pro inženýry
Počítačová dynamika tekutin užitečný nástroj pro inženýry M. Jahoda Úvod Počítačová dynamika tekutin (Computational Fluid Dynamics, CFD) je moderní metoda, která se zabývá prouděním tekutin, přenosem tepla
VícePřednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla
Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Motivace Diferenciální rovnice problému Gradient teploty Energetická bilance Fourierův zákon Diferenciální rovnice vedení tepla Slabé řešení Diskretizace
VíceBetonové konstrukce (S) Přednáška 3
Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceII.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.
II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceMechanika s Inventorem
Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah přednášky: Lagrangeův
Více7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro
7 Gaussova věta Zadání Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro následující nabitá tělesa:. rovnoměrně nabitou kouli s objemovou hustotou nábojeρ,
VíceZáklady hydrauliky vodních toků
Základy hydrauliky vodních toků Jan Unucka, 014 Motivace pro začínajícího hydroinformatika Cesta do pravěku Síly ovlivňující proudění 1. Gravitace. Tření 3. Coriolisova síla 4. Vítr 5. Vztlak (rozdíly
VíceV. Riemannův(dvojný) integrál
V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál
VíceFLUENT přednášky. Metoda konečných objemů (MKO)
FLUENT přednášky Metoda konečných objemů (MKO) Pavel Zácha zdroj: [Bakker, 2008], [Vodička, 2011], [Runchal, 2008], [Kozubková, 2008] Historie - zřejmě nestarší způsob řešení parciálních diferenciálních
VíceINOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ
INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ CZ.1.07/1.1.00/08.0010 NUMERICKÉ SIMULACE ING. KATEŘINA
VíceÚvod do analytické mechaniky
Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.
VíceVztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti. IB102 Automaty, gramatiky a složitost, /31
Vztah teorie vyčíslitelnosti a teorie složitosti IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 1/31 IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 2. 12. 2013 2/31 Časová složitost algoritmu počet kroků výpočtu
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceVE 2D A 3D. Radek Výrut. Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského sumy
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Radek Výrut VÝPOČET MINKOWSKÉHO SUMY VE 2D A 3D Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského
VíceŘešení úloh krajského kola 60. ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 3), V. Vícha (4)
Řešení úloh krajského kola 60. ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas 1,, ), V. Vícha 4) 1.a) Mezi spodní destičkou a podložkou působí proti vzájemnému pohybu síla tření o velikosti
Více1 Vedení tepla stacionární úloha
1 VEDENÍ TEPLA STACIONÁRNÍ ÚLOHA 1 1 Vedení tepla stacionární úloha Typický představitel transportních jevů Obdobným způsobem možno řešit například Fyzikální jev Neznámá Difuze koncentrace [3] Deformace
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 3. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 3 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská
VíceČasové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů
Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Časové
VíceSIMULACE ZVUKOVÉHO POLE VÍCE ZDROJŮ
SIMULACE ZVUKOVÉHO POLE VÍCE ZDROJŮ F. Rund Katedra radioelektroniky, Fakulta elektrotechnická, České vysoké učení technické v Praze Abstrakt Studium zvukového pole vytvářeného soustavou jednotlivých zvukových
Více