Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky. Matematické modelování turbulentního

Transkript

1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky DIPLOMOVÁ PRÁCE Matematické modelování turbulentního proudění Plzeň 0 Helena Mlynaříková

2 Prohlášení Prohlašuji že jsem tuto diplomovou práci zpracovala samostatně a že jsem uvedla všechny zdroje a literaturu ze kterých jsem čerpala. Plzeň 3. června 0

3 Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala vedoucímu své diplomové práce Doc. Ing. Janu Vimmrovi Ph.D. za mnoho užitečných rad psychickou podporu důvěru a čas který mi věnoval během psaní této práce. Děkuji také Ing. Aleně Jonášové za poskytnuté konzultace. Velké poděkování patří všem mým blízkým za materiální a morální podporu která mi umožnila studium na Fakultě aplikovaných věd.

4 Abstrakt Tato diplomová práce se zabývá základy matematického modelování turbulentního proudění. Je uvažován model stlačitelné vazké tekutiny popsaný systémem Navierových-Stokesových rovnic z něhož je odvozen systém středovaných Navierových-Stokesových rovnic podle Favra. Ten se uzavírá modely turbulence nejpoužívanější z nich jsou popsány v této práci. Pro numerické řešení středovaného systému Navierových-Stokesových rovnic na strukturované čtyřúhelníkové síti je použita metoda konečných objemů nevazké numerické toky na stěnách kontrolních objemů jsou aproximovány AUSM schématem. Za účelem zvýšení jeho řádu přesnosti v prostorové proměnné je použita lineární rekonstrukce s minmod limiterem. Vazké numerické toky stěnami kontrolních objemů jsou aproximovány centrálně s pomocí duálních buněk. V práci je také detailně popsán způsob aproximace rovnic modelu turbulence k-ɛ. Na zvolené testovací úloze proudění v dvourozměrném úzkém kanálu jsou provedeny numerické simulace turbulentního proudění s pomocí algebraického modelu turbulence Baldwina a Lomaxe a dvourovnicového modelu turbulence k-ɛ. Klíčová slova: středování podle Favra systém středovaných Navierových-Stokesových rovnic algebraický model turbulence Baldwina a Lomaxe dvourovnicový model turbulence k-ɛ metoda konečných objemů AUSM schéma lineární rekonstrukce duální buňka čtyřstupňová Rungeova-Kuttova metoda Abstract This work deals with basics of mathematical modelling of turbulent flows. We consider model of compressible viscid fluid described by the system of Navier-Stokes equations from which the system of Favre averaged Navier-Stokes equations is derived. The system is closed by turbulence model some of the most important of them are described in this work. The nonlinear system of averaged Navier-Stokes equations is solved by the finite volume method on a structured grid inviscid numerical fluxes on the interface of control volumes are computed using AUSM scheme. Linear reconstruction with minmod limiter was implemented in order to improve its accuracy in space. Viscid numerical fluxes on the interface of control volumes are approximated using dual cells. Approximation of the equations of turbulence model k-ɛ is also described in detail. Numerical simulations of turbulent flow through a narrow channel using Baldwin-Lomax algebraic turbulence model and k-ɛ two-equation turbulence model were performed. Keywords: Favre averaging system of averaged Navier-Stokes equations algebraic Baldwin-Lomax turbulence model two-equation k-ɛ turbulence model finite volume method AUSM scheme linear reconstruction dual cell four-step Runge-Kutta scheme

5 Obsah Úvod 7 Matematické modelování turbulentního proudění 9. Středování systému Navierových-Stokesových rovnic Středování podle Reynoldse Středování podle Favra Uzavření systému středovaných Navierových-Stokesových rovnic Modely turbulence 8. Algebraické modely turbulence Model Cebeciho a Smithe Model Baldwina a Lomaxe Jednorovnicové modely turbulence Model Baldwina a Barthe Model Spalarta a Allmarase Dvourovnicové modely turbulence Model k-ɛ Model k-ω Kombinovaný model k-ɛ/k-ω Numerické řešení turbulentního proudění stlačitelné vazké tekutiny 3 3. Matematický model Metoda konečných objemů Metoda časové integrace Aproximace nevazkého numerického toku AUSM schéma Lineární rekonstrukce Aproximace vazkého numerického toku Aproximace rovnic modelu turbulence k-ɛ Modelování turbulentního proudění v úzkém kanálu Formulace úlohy Okrajové podmínky Implementace modelu turbulence Baldwina a Lomaxe Implementace modelu turbulence k-ɛ Numerické výsledky

6 OBSAH 6 Závěr 66 Literatura 67

7 Úvod Naprostá většina proudění v technických zařízeních i v přírodě je turbulentní. Přestože se lze v některých případech bez velké chyby omezit na proudění laminární z hlediska praktického použití je nutné proudění tekutin brát jako turbulentní umět ho modelovat a využívat tak pro výpočty v technické praxi. Tato diplomová práce se věnuje základům matematického modelování turbulentního proudění tekutin. Cílem je odvodit systém středovaných Navierových-Stokesových rovnic přehledně popsat vybrané modely turbulence implementovat je do vlastního programu pro numerické řešení turbulentního proudění a provést numerické simulace na zvolené testovací úloze. Práce je rozdělena do čtyřech kapitol. V první kapitole je uveden nelineární systém Navierových-Stokesových rovnic jako matematický model proudění tekutin je popsáno středování podle Reynoldse a podle Favra a pomocí něj odvozen systém středovaných Navierových- Stokesových rovnic podle Favra používaný pro modelování turbulentního proudění. V závěru první kapitoly je popsán způsob uzavření systému středovaných Navierových-Stokesových rovnic. Druhá kapitola je věnována rešerši modelů turbulence které se používají pro výpočet turbulentní vazkosti a tedy uzavření systému středovaných Navierových-Stokesových rovnic. Jsou uvedeny nejčastěji využívané modely turbulence ze skupiny algebraických model Cebeciho a Smithe a model Baldwina a Lomaxe jako zástupci jednorovnicových pak model Baldwina a Barthe a model Spalarta a Allmarase. V odstavci týkajícím se nejsložitějších a nejlépe využitelných dvourovnicových modelů turbulence je odvozena transportní rovnice pro turbulentní kinetickou energii a popsány modely k-ɛ k-ω a kombinovaný model k-ɛ/k-ω včetně některých úprav. Třetí kapitola uvádí metody použité pro numerickou simulaci turbulentního proudění ve D. Vychází ze systému středovaných Navierových-Stokesových rovnic podle Favra popisuje metodu konečných objemů pro prostorovou diskretizaci systému středovaných Navierových-Stokesových rovnic a metodu jeho časové integrace. Dále je popsáno AUSM schéma založené na metodě štěpení toku pomocí něhož je aproximován nevazký numerický tok hranicí kontrolního objemu a také metoda lineární rekonstrukce určená pro zvýšení řádu přesnosti tohoto schématu v prostorové proměnné. V závěru třetí kapitoly je uvedena aproximace vazkého numerického toku hranicí kontrolního objemu pomocí duálních buněk a nakonec detailně popsán způsob aproximace dvourovnicového modelu turbulence k-ɛ. Čtvrtá kapitola je věnována aplikaci dvou vybraných modelů turbulence na testovací úloze turbulentního proudění stlačitelné vazké tekutiny v úzkém dvourozměrném kanálu. Je zmíněno stanovení okrajových podmínek zvolené úlohy a popsány některé detaily implementace vybraných modelů turbulence v rámci vlastního programu pro numerické řešení turbulentního proudění. Ve druhé části čtvrté kapitoly jsou uvedeny dosažené výsledky pro 7

8 OBSAH 8 oba modely turbulence jejich porovnání s výsledky dostupnými v literatuře a navzájem. Vytvořené programy pro numerickou simulaci turbulentního proudění jsou napsány v systému Matlab klíčové části pro urychlení výpočtu v jazyce C++.

9 Kapitola Matematické modelování turbulentního proudění Proudění stlačitelné vazké newtonské tekutiny popisujeme nelineárním systémem Navierových-Stokesových rovnic. Ten je tvořen rovnicemi odvozenými ze zákonů zachování hmotnosti hybnosti a celkové energie. Konzervativní systém Navierových-Stokesových rovnic v diferenciálním tvaru popisující proudění v oblasti Ω R 3 je při zanedbání objemových sil působících na tekutinu vyjádřen vztahy [8] ρ t + (ρv j) = 0 y j (.) (ρv i ) + (ρv iv j + pδ ij ) = t ij t y j y j i = 3 (.) (ρe) + (ρev j + pv j ) = (t ijv i q j ) t y j y j (.3) kde y i i = 3 jsou kartézské složky vektoru prostorových souřadnic v i i = 3 jsou kartézské složky vektoru rychlosti ρ je hustota tekutiny t (0 ) je čas p je tlak a δ ij je Kroneckerovo delta. Pro celkovou měrnou energii e systému platí e = ɛ + v iv i kde ɛ je měrná vnitřní energie. Pro j-tou složku tepelného toku q j platí podle Fourierova zákona q j = k T y j kde T je termodynamická teplota a k součinitel tepelné vodivosti tekutiny. Tenzor vazkých napětí t ij je pro newtonskou tekutinu za předpokladu platnosti Stokesova vztahu dán t ij = µ ( v i y j + v j y i ) 3 µ v k y k δ ij kde µ je součinitel dynamické vazkosti tekutiny. Stlačitelná tekutina představuje termodynamický systém. Soustava rovnic (.) - (.3) která ho popisuje obsahuje více proměnných než rovnic proto je potřeba ji doplnit stavovou rovnicí p = p(ρ T ). V této práci uvažujeme ideální plyn pro který platí stavová rovnice ve tvaru p = ρrt (.4) kde r je měrná plynová konstanta. Uvedený systém rovnic vychází z fyzikálních zákonů zachování popisuje proto jak laminární tak i turbulentní proudění vazké stlačitelné tekutiny. 9

10 . Středování systému Navierových-Stokesových rovnic 0. Středování systému Navierových-Stokesových rovnic Pokud bychom chtěli numericky řešit přímo systém Navierových-Stokesových rovnic (.) - (.3) doplněný stavovou rovnicí (.4) v případě turbulentního proudění museli bychom volit velmi malý časový krok a velmi jemnou výpočetní sít abychom zachytili i ty nejmenší změny veličin proudového pole které jsou právě pro turbulentní proudění charakteristické. Tato takzvaná přímá numerická simulace (DNS - Direct Numerical Simulation) je proto velice časově náročná a současná výpočetní technika zatím neumožňuje její běžné využití pro technické aplikace ve 3D. Přímou numerickou simulací se ale zabývají mnozí autoři například [0] [5] a její výsledky mají velký význam při rozboru struktury turbulentního proudění protože simulace umožňuje určit i parametry turbulentního proudění které nelze získat z experimentů. Pro usnadnění řešení systému Navierových-Stokesových rovnic v případě turbulentního proudění je však možné rozložit okamžité hodnoty veličin proudového pole na časovou střední hodnotu a fluktuaci rovnice středovat v čase a pak je řešit pro střední hodnoty. To vede na metodu využívající soustavu časově středovaných Navierových-Stokesových rovnic (RANS - Reynolds Averaged Navier-Stokes equations nebo FANS - Favre Averaged Navier-Stokes equations). Jistým kompromisem mezi přímou numerickou simulací a metodami založenými na středování systému Navierových-Stokesových rovnic je simulace pohybu velkých vírů (LES - Large Eddy Simulation) například [3] [5]. Tato práce se věnuje modelování turbulentního proudění pomocí systému časově středovaných Navierových-Stokesových rovnic. Používají se dva typy středování a to středování podle Reynoldse a středování podle Favra... Středování podle Reynoldse Uvažujme veličinu proudového pole f = f(y t) y = [y y y 3 ] T Ω. Při středování podle Reynoldse [4] rozložíme její okamžitou hodnotu na časovou střední hodnotu f a fluktuaci f f(y t) = f(y t) + f (y t) kde střední hodnota f(y t) na časovém intervalu t je definována vztahem f(y t) = t t+ t t f(y t) dt. (.5) Časový interval t musí být podstatně větší než perioda změny fluktuací T a zároveň menší než perioda změny střední hodnoty T tedy T t T. Uvažujme nyní dvě veličiny proudového pole f(y t) a g(y t). Pokud nebude uvedeno jinak předpokládáme v následujících vztazích závislost okamžitých hodnot středních hodnot i fluktuací uvedených veličin na poloze a času. Okamžité hodnoty rozložíme podle Reynoldse f = f + f g = ḡ + g.

11 . Středování systému Navierových-Stokesových rovnic Potom můžeme pomocí definičního vztahu pro střední hodnotu (.5) odvodit následující pravidla pro počítání a f ± b g = t f = t f = t f g = t f g = t t+ t t t+ t t t+ t t t+ t t t+ t t = f ḡ f ḡ = 0 f g = t f y j = t f t = t t+ t t t+ t t t+ t t (a f ± b g) dt = a t f dt = f t t+ t (f f) dt = t f ḡ dt = f ḡ t t t+ t t f dt ± b t t+ t t g dt = a f ± b ḡ (.6) dt = f t (t + t t) = f (.7) t+ t t t+ t f(g ḡ) dt = f t t t+ t f dt t t+ t t f dt = f f = 0 (.8) dt = f ḡ t (t + t t) = f ḡ (.9) t+ t t g dt f ḡ t t+ t t dt = (.0) f g dt = f g dt = t f ḡ (.) t f dt = t+ t f dt = f (.) y j y j t y j t ( f + f ) dt = t = t [ f(y t + t) + f (y t + t) f(y t) f (y t)] = (.3) = f(y t + t) f(y t) + f (y t + t) f (y t) = t t f(y t + t) = lim f(y t) + lim t 0 t t f (y t + t) f (y t) t } {{ } 0 = f t kde konstanty a b R. Při odvození bylo využito skutečnosti že pro t T jsou střední hodnoty f a ḡ v časovém intervalu t konstantní. Při úpravě prvního zlomku ve vztahu (.3) obsahujícího rozdíl středních hodnot přejdeme k uvedené limitě protože pro t T můžeme uvažovat t 0. Podobně pro druhý zlomek obsahující rozdíl fluktuací lze vzhledem k t T uvažovat t. S využitím uvedených pravidel můžeme psát f g = ( f + f )(ḡ + g ) = f ḡ + f g + f ḡ + f g = f ḡ + f g (.4) f g = ( f + f ) g = f g + f g = f g 0. (.5) Pomocí středování podle Reynoldse upravíme rovnici zachování hmotnosti (.). Nejdříve rozepíšeme okamžité hodnoty veličin na střední hodnoty a fluktuace tedy ρ = ρ + ρ v j =

12 . Středování systému Navierových-Stokesových rovnic v j + v j a upravíme ρ t + (ρv j) = 0 y j t ( ρ + ρ ) + [( ρ + ρ )( v j + v y j)] = 0 j t ( ρ + ρ ) + ( ρ v j + ρv j + ρ v j + ρ v y j) = 0. j Středováním celé rovnice podle Reynoldse a využitím pravidel (.6) - (.3) dostaneme t ( ρ + ρ ) + ( ρ v j + ρv j + ρ y v j + ρ v j) = 0 j t ( ρ + ρ ) + ( ρ v j + ρv j + ρ y v j + ρ v j) = 0 j t (ρ + ρ ) + (ρ v j + ρv j + ρ y v j + ρ v j) = 0 j ρ t + ( ρ v j + ρ y v j) = 0. (.6) j Podobně je možné odvodit i středované rovnice zachování hybnosti a celkové energie ze vztahů (.) a (.3). Jejich připojením k rovnici (.6) dostaneme systém středovaných Reynoldsových Navierových-Stokesových rovnic (RANS) pro stlačitelné proudění. Tyto rovnice obsahují výrazy tvořené středními hodnotami které mají formálně stejný tvar jako odpovídající výrazy v původních nestředovaných pohybových rovnicích ale také výrazy s korelacemi fluktuací (výrazy typu v iv j ρ v j) které vyjadřují vliv turbulence na proudění. Řešení tohoto systému středovaných Navierových-Stokesových rovnic podle Reynoldse nejvíce komplikují výrazy s fluktuacemi hustoty jako například člen ρ v j vystupující v rovnici (.6) který nemá analogii v laminárním popisu a je obtížné ho vhodně aproximovat. Středování podle Reynoldse tedy není úplně vhodné pro stlačitelné proudění je ale možné dobře ho využít pro případ turbulentního proudění nestlačitelné kapaliny [6] kdy se ve středovaných Navierových-Stokesových rovnicích členy s fluktuacemi hustoty nevyskytují... Středování podle Favra Použijeme-li pro úpravu systému Navierových-Stokesových rovnic pro stlačitelné turbulentní proudění hmotnostně podmíněné středování podle Favra [4] místo konvenčního středování podle Reynoldse problematické výrazy s fluktuacemi hustoty se ve středovaných rovnicích neobjeví. Okamžitou hodnotu veličiny f = f(y t) proudového pole rozložíme na střední hodnotu f vztaženou na jednotku hmotnosti definovanou vztahem a na fluktuaci f tedy f(y t) = ρ(y t) t t+ t t ρ(y t) f(y t) dt = f(y t) = f(y t) + f (y t) ρ(y t) f(y t) ρ(y t) (.7)

13 . Středování systému Navierových-Stokesových rovnic 3 ρ je střední hodnota hustoty odpovídající Reynoldsovu středování. Opět budeme předpokládat v následujících vztazích závislost okamžitých hodnot středních hodnot i fluktuací uvedených veličin na poloze a času. Definiční vztah (.7) lze přepsat jako ρ f = ρf (.8) a využitím (.4) dostaneme ρ f = ρ f + ρ f. (.9) Pro středování podle Favra platí ρf = 0 což lze jednoduše ukázat s využitím vztahu (.8) tedy f = f + f ρf = ρ f + ρf ρf = ρ f + ρf = ρ f + ρf = ρ f + ρf ρf = ρf ρ f = 0. Dále platí f 0 protože s využitím vztahů (.9) a (.5) můžeme psát f = f + f ( ) f = f f = f f + ρ f ρ ( ) ρ f f = f f ρ f = ρ f ρ 0. Hlavní rozdíl mezi konvenčním středováním podle Reynoldse a hmotnostně podmíněným středováním podle Favra je tedy v následujících vztazích Reynolds : f = 0 ρf 0 Favre : f 0 ρf = 0. (.0) Hmotnostně podmíněné středování využijeme nyní pro středování konzervativního systému Navierových-Stokesových rovnic pro stlačitelné turbulentní proudění (.) - (.3). Středovanou rovnici zachování hmotnosti získáme ihned dosazením vztahu (.9) do rovnice kontinuity pro stlačitelné proudění středované podle Reynoldse (.6) tedy ρ t + ( ρṽ j) = 0. (.) y j Pro odvození středovaných rovnic zachování hybnosti a celkové energie rozložíme okamžité hodnoty složek rychlosti celkové energie termodynamické teploty a tenzoru vazkých napětí podle Favra a okamžité hodnoty tlaku a hustoty podle Reynoldse tedy v j = ṽ j + v j e = ẽ + e T = T + T t ij = t ij + t ij p = p + p ρ = ρ + ρ.

14 . Středování systému Navierových-Stokesových rovnic 4 Středovanou rovnici zachování hybnosti potom získáme úpravou (.) následujícím způsobem (ρv i ) + (ρv iv j + pδ ij ) = t ij t y j y j t [ρ(ṽ i + v i )] + [ρ(ṽ i + v i )(ṽ j + v j ) + pδ ij ] = ( t ij + t y j y ij) j t (ρṽ i + ρv i ) + (ρṽ i ṽ j + ρṽ i v j + ρv i ṽ j + ρv i v j + pδ ij ) = ( t ij + t y j y ij) j t ( ρṽ i) + y j ( ρṽ i ṽ j + pδ ij ) = y j ( t ij + t ij ρv i v j ). (.) Stejným způsobem odvodíme i středovanou rovnici zachování celkové energie z výchozí rovnice (.3) tedy (ρe) t Upravíme postupně jednotlivé členy této rovnice. ρe = ρ(ẽ + e ) = ρẽ + ρe = ρẽ + (ρev j + pv j ) y j = (t ijv i q j ) y j. (.3) ρev j + pv j = ρ(ẽ + e )(ṽ j + v j ) + p(ṽ j + v j ) = ρẽṽ j + ρẽv j + ρe ṽ j + ρe v j + pṽ j + pv j = = ρẽṽ j + pṽ j + ρe v j + pv j kde pro úpravu posledního sčítance využijeme stavové rovnice p = ρrt a vztahu pro celkovou energii e = ɛ + v iv i tedy p = ρrt = ρ(c p c v )T = ρc p T ρc v T = ρc p T ρɛ = ρc p T ρe + ρv iv i kde c p (c v ) je měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku (objemu). Dostaneme ρev j + pv j = ρẽṽ j + pṽ j + ρe v j + ρc p T v j ρev j + ρv iv i v j = = ρẽṽ j + pṽ j + ρe v j + ρc p T v j ρ(ẽ + e )v j + ρ(ṽ i + v i )(ṽ i + v i )v j = = ρẽṽ j + pṽ j + ρe v j + ρc p T v j ρẽv j ρe v j + ρṽ iṽ i v j + ρṽ iv i v j + + ρv i ṽ i v j + ρv i v i v j = = ρẽṽ j + pṽ j + ρc p T v j + ṽ i ρv i v j + ρv i v i v j. Dále upravíme první člen na pravé straně rovnice (.3) t ij v i = t ij (ṽ i + v i ) = t ij ṽ i + t ij v i = ( t ij + t ij)ṽ i + t ij v i = t ij ṽ i + t ijṽ i + t ij v i. Pro úpravu středovaného tepelného toku q j využijeme bezrozměrné Prandtlovo číslo P r = cpµ k a dostaneme q j = k T = c pµ y j P r ( y T + T ) = c pµ j P r T c pµ T. y j P r y j

15 . Středování systému Navierových-Stokesových rovnic 5 Středovanou rovnici zachování celkové energie (.3) získáváme po uvedených úpravách ve tvaru t ( ρẽ) + ( ρẽṽ j + pṽ j + c p ρt v j + ṽ i ρv i v j + y j ρv i v i v j ) = (.4) = ( t ij ṽ i + t y ijṽ i + t ij v i + c pµ j P r T + c pµ T ). y j P r y j Fluktuace měrné tepelné kapacity c p a součinitele dynamické vazkosti µ neuvažujeme. Dále zanedbáme v rovnicích (.) a (.4) členy obsahující t ij a T a dostaneme tak konzervativní systém středovaných Navierových-Stokesových rovnic podle Favra (FANS) pro stlačitelné turbulentní proudění ve tvaru ρ t + ( ρṽ j) = 0 y j (.5) t ( ρṽ i) + ( ρṽ i ṽ j + pδ ij ) = ( t ij ρv i v j ) y j y j (.6) t ( ρẽ) + ( ρẽṽ j + pṽ j ) = y j (.7) = ( t ij ṽ i ṽ i ρv i v j + c pµ y j P r T c p ρt v j + t ij v i y j ρv i v i v j ). Tento systém rovnic doplníme středovanou stavovou rovnicí pro ideální plyn p = ρrt p = rρ( T + T ) p = rρ T + rρt Pro středovanou celkovou měrnou energii ẽ platí ρe = ρɛ + ρv iv i p = r ρ T. (.8) ρ(ẽ + e ) = ρ ɛ + ɛ ) + ρ(ṽ i + v i )(ṽ i + v i ) ρẽ + ρe = ρ ɛ + ρɛ + ρṽ iṽ i + ρṽ i v i + ρv i v i ρẽ = ρ ɛ + ρṽ iṽ i + ρv i v i. Definujeme-li turbulentní kinetickou energii vztahem můžeme psát k = ρv i v i ρ (.9) ρẽ = ρ( ɛ + ṽiṽ i + k). (.30)

16 . Uzavření systému středovaných Navierových-Stokesových rovnic 6. Uzavření systému středovaných Navierových- Stokesových rovnic Abychom uzavřeli uvedený systém Navierových-Stokesových rovnic středovaných podle Favra popisující turbulentní proudění je potřeba vhodně aproximovat neznámé členy které se v něm vyskytují. Porovnáním s výchozími rovnicemi pro okamžité hodnoty veličin proudového pole (.) - (.3) vidíme že kromě nahrazení okamžitých hodnot středními obsahuje středovaná rovnice zachování hybnosti (.6) navíc člen ρv i v j. Ten vyjadřuje vliv turbulentních fluktuací na přenos hybnosti v tekutině a nazývá se tenzor Reynoldsových turbulentních napětí nebo také tenzor turbulentních smykových napětí zkráceně Reynoldsovo napětí [8] [3]. Značí se τ ij = ρv i v j. Ve středované rovnici zachování celkové energie (.7) se navíc vyskytuje opět člen obsahující tenzor Reynoldsových napětí τ ij a dále pak členy c p ρt v j t ij v i a ρv i v i v j. Výraz c p ρt v j představuje turbulentní přenos tepla a aproximuje se analogicky k molekulárnímu přenosu tepla výrazem [6] c p ρt v j = c pµ t P r t T y j kde P r t je turbulentní Prandtlovo číslo definované jako P r t = cpµt k t kde µ t je turbulentní dynamická vazkost a k t je součinitel turbulentní tepelné vodivosti tekutiny. Pro mezní vrstvu se obvykle používá hodnota turbulentního Prandtlova čísla P r t = 0 9. Výraz t ij v i ρv i v i v j se často zanedbává lze ale pro něj použít například aproximaci [6] t ij v i ( ρv i v i v j = µ + µ t σ k ) k y j kde k je turbulentní kinetická energie a σ k je konstanta. Dosadíme uvedené aproximace do systému středovaných Navierových-Stokesových rovnic podle Favra (.5) - (.7) a úpravíme členy obsahující střední hodnotu teploty pomocí středované stavové rovnice (.8) a známého vztahu z termodynamiky c p = κr kde κ je κ Poissonova adiabatická konstanta pro vzduch κ = 4. Získáme tak systém rovnic ve tvaru ρ t + ( ρṽ j) = 0 (.3) y j t ( ρṽ i) + ( ρṽ i ṽ j + pδ ij ) = ( t ij + τ ij ) (.3) y j y j t ( ρẽ) + ( ρẽṽ j + pṽ j ) = [ ( t ij + τ ij )ṽ i + κ ( µ y j y j κ P r + µ ) ( )] t p. (.33) P r t y j ρ Tenzor vazkých napětí určíme pomocí středovaných hodnot rychlostí vztahem t ij = µ ( ṽi + ṽ ) j y j y i 3 µṽ k δ ij y k

17 . Uzavření systému středovaných Navierových-Stokesových rovnic 7 a analogicky k němu definujeme podle tzv. Bussinesqovy hypotézy [3] [6] tenzor Reynoldsových turbulentních napětí τ ij tedy ( ṽi τ ij = µ t + ṽ ) j y j y i 3 µ ṽ k t δ ij y k 3 ρkδ ij (.34) kdy poslední člen na pravé straně se v některých případech zanedbává. Pomineme-li tento člen zbývá pro uzavření systému středovaných rovnic (.3) - (.33) určit pouze turbulentní dynamickou vazkost µ t. K tomu se využívají modely turbulence o nichž pojednává následující kapitola.

18 Kapitola Modely turbulence Modely turbulence jsou částečně empirické rovnice určující vztahy mezi středními hodnotami veličin proudového pole a korelacemi jejich fluktuací a tedy uzavírající systém středovaných Navierových-Stokesových rovnic. Obsahují velké množství konstant vyplývajících z experimentů a proto může být jejich využití často limitováno konkrétním typem úlohy pro kterou byly navrženy a které odpovídají uvedené konstanty. Modely turbulence dělíme na dvě základní skupiny. První tvoří modely založené na analogii mezi molekulárním a turbulentním přenosem hybnosti takzvané Bussinesqově hypotéze [6]. Podle ní se tenzor Reynoldsových turbulentních napětí τ ij vyjádří analogicky k tenzoru vazkých napětí zavedením turbulentní vazkosti µ t jak již bylo uvedeno v odstavci.4. Problém uzavření systému středovaných Navierových-Stokesových rovnic se tedy v podstatě převede na otázku určení turbulentní vazkosti µ t. Pokud pro určení turbulentní vazkosti využíváme pouze algebraické vztahy jedná se o algebraické nebo nularovnicové modely. Jednorovnicové modely jsou kromě algebraických vztahů tvořeny jednou parciální diferenciální rovnicí a dvourovnicové modely dvěma parciálními diferenciálními rovnicemi z nichž jedna je zpravidla transportní rovnice pro turbulentní kinetickou energii. Obecně platí že dvourovnicové modely umožňují přesněji modelovat turbulentní proudění a je možné je aplikovat i na složitější problémy zahrnující jevy jako rázové vlny nebo odtržení proudu. Jednodušší algebraické nebo jednorovnicové modely dávají dobré výsledky pouze v případě jednodušších typů proudění. Na první skupinu modelů vycházející z Bussinesqovy hypotézy je zaměřena tato práce. Druhá skupina je tvořena modely turbulence založenými na řešení transportních rovnic přímo pro složky tenzoru Reynoldsových napětí. Jedná se o modely RSM (Reynolds Stress Models) a jejich zjednodušení ARSM (Algebraic Reynolds Stress Models) využívající algebraické vztahy pro složky tenzoru Reynoldsových napětí.. Algebraické modely turbulence Algebraické nebo také nularovnicové modely turbulence určují závislost mezi korelacemi fluktuací a středními hodnotami veličin proudového pole pomocí algebraických vztahů. Na rozdíl od ostatních modelů neobsahují žádnou transportní rovnici a nezohledňují tudíž historii proudění. Jsou ale matematicky jednoduché a lze je poměrně snadno implementovat do programu pro numerický výpočet turbulentního proudění. Nejsou ovšem vhodné pro zachycení složitějších jevů typu rázových vln nebo odtržení proudu. 8

19 . Algebraické modely turbulence 9 Algebraické modely turbulence využívají Prandtlovu hypotézu o směšovací délce (mixing length) [8] [3] [6]. Ta vychází z představy zjednodušeného modelu turbulentního proudění v němž se shluky částic tekutiny pohybují jako celek. V následujícím textu budeme uvažovat dvourozměrné stlačitelné proudění okolo pevné stěny ve směru osy x v kartézském souřadnicovém systému y bude vzdálenost od stěny v kolmém směru. Směšovací délka l m pak vyjadřuje vzdálenost ve směru y kterou shluky částic tekutiny urazí než díky disipaci zaniknou. Podle Prandtlovy hypotézy je turbulentní vazkost dána vztahem µ t = ρ l m Ũ y (.) kde Ũ je gradient střední hodnoty rychlosti. y Prandtl dále předpokládal že směšovací délka je úměrná vzdálenosti od stěny tedy l m = κ y kde κ 0 4 je Kármánova konstanta. To ale platí pouze ve střední části mezní vrstvy v logaritmické oblasti. Pro oblast nejblíže u stěny vazkou podvrstvu zavedl Van Driest na základě experimentů tlumicí funkci a vztah pro směšovací délku tak upravil do podoby ) l m = κ y ( e y+ A + (.) kde konstanta A + = 6. Bezrozměrná normálová vzdálenost od obtékané stěny y + je definovaná jako y + = ũt y ν (.3) kde ν = µ ρ je součinitel kinematické vazkosti a ũ t = t w ρ je takzvaná třecí rychlost t w značí smykové napětí na stěně. V uvedených vztazích samozřejmě vystupují středované hodnoty veličin. Pro vnější oblast mezní vrstvy (defect layer) určil Clauser vztah pro turbulentní vazkost ve tvaru µ t = ρ α ũ e δ (.4) kde konstanta α = ũ e je středovaná rychlost vnějšího proudu tedy vně mezní vrstvy a δ je kinematická pošinovací nebo také odtlačovací tloušt ka (displacement thickness) definovaná pro stlačitelné proudění [] δ = ( 0 ρ ũ ρ e ũ e kde ρ e je středovaná hustota vnějšího proudu. Přesnost algebraických modelů ve vnější části mezní vrstvy dále zlepšuje využití Klebanoffovy empirické funkce [6] ) dy [ ( ) ] y 6 F Kleb = (.5) δ

20 . Algebraické modely turbulence 0 kde δ je tloušt ka mezní vrstvy. Touto funkcí se násobí turbulentní vazkost daná Clauserovým vztahem (.4). Důvodem pro zavedení Klebanoffovy funkce je střídavý charakter proudění v oblasti kde plně turbulentní proudění přechází v laminární. Mezi nejvýznamnější algebraické modely turbulence patří model Cebeciho a Smithe a model Baldwina a Lomaxe. Oba využívají uvedenou Van Driestovu Clauserovu a Klebanoffovu modifikaci výchozího Prandtlova vztahu (.)... Model Cebeciho a Smithe Algebraický model Cebeciho a Smithe [3] [6] určuje turbulentní vazkost odlišně ve dvou vrstvách a to ve vnitřní vrstvě (µ ti ) zahrnující vazkou podvrstvu a logaritmickou oblast mezní vrstvy a ve vnější vrstvě (µ to ) tvořené vnější vrstvou mezní vrstvy a volným proudem. Označíme-li y m nejmenší kolmou vzdálenost od obtékané stěny kde µ ti = µ to bude turbulentní vazkost dána µ t = { µti y y m µ to y > y m. Hodnota turbulentní vazkosti µ ti ve vnitřní vrstvě je určena vztahem odpovídajícím Prandtlově hypotéze o směšovací délce (.) tedy ) ( ũ µ ti = ρ lm + y ( ) ṽ x kde směšovací délka je dána vztahem s Van Driestovou tlumicí funkcí (.) ) l m = κ y ( e y+ A + κ = 0 4 A + = 6. Koeficient A + může být pro větší přesnost modelu vypočítán pomocí tlakového gradientu podle vzorce [ A + = 6 + y d p/dx ]. ρ µ t Hodnota turbulentní vazkosti µ to ve vnější vrstvě vychází z Clauserova vztahu (.4) a Klebanoffovy funkce (.5) tedy µ to = ρ α ũ e δv F Kleb kde α = Na rozdíl od původního Clauserova vztahu je zde δv stlačitelné i nestlačitelné proudění δ v = δ 0 ( ũ ) dy ũ e definováno pro a označováno jako velocity thickness. Pro nestlačitelné proudění platí δ = δ v. Model Cebeciho a Smithe je poměrně jednoduchý ale vyžaduje znalost tloušt ky mezní vrstvy δ.

21 . Algebraické modely turbulence.. Model Baldwina a Lomaxe Algebraický model turbulence Baldwina a Lomaxe [] je stejně jako model Cebeciho a Smithe formulován odlišně ve dvou vrstvách tedy µ t = { µti y y m µ to y > y m kde y m je nejmenší hodnota y pro kterou µ ti = µ to. Turbulentní vazkost µ ti ve vnitřní vrstvě je určena na základě Prandtlovy hypotézy vztahem µ ti = ρ l m ω kde ω je velikost vektoru vířivosti ω pro uvažované dvourozměrné proudění platí ω = ṽ ũ. x y Směšovací délka je opět určena vztahem (.) ) l m = κ y ( e y+ A + κ = 0 4 A + = 6. Turbulentní vazkost ve vnější oblasti je dána složitějšími vztahy než v modelu Cebeciho a Smithe ale nevyžaduje již znalost parametrů mezní vrstvy. Tedy µ to = ρ α C cp F wake F Kleb α = C cp = 6 { ( U) } F wake = min y max G max C wk y max C wk = G max = κ max (l m ω ) y G max kde U je pro případ obtékání stěny maximální hodnota rychlosti podle y tedy U = ( ũ + ṽ )max a y max je hodnota y pro kterou výraz l m ω nabývá svého maxima. Tloušt ka mezní vrstvy δ v Klebanoffově funkci (.5) je nahrazena poměrem y max /C Kleb kde konstanta C Kleb = 0 3. Tedy ( ) 6 CKleb y F Kleb = Možný způsob implementace modelu Baldwina a Lomaxe je podrobně popsán ve třetí kapitole. Při aplikaci uvedených algebraických modelů na jednoduché úlohy například proudění mezi dvěma rovnoběžnými deskami je možné upustit od stanovení rozhraní vnitřní a vnější vrstvy y m. Díky průběhu µ ti a µ to podle y [6] lze turbulentní vazkost stanovit jako y max µ t = min{µ ti µ to }. U složitějších úloh by toto zjednodušení mohlo vést k chybě.

22 . Jednorovnicové modely turbulence. Jednorovnicové modely turbulence Jednorovnicové modely turbulence jsou tvořeny jednou transportní rovnicí doplněnou algebraickými vztahy. Transportní rovnice je nejčastěji rovnicí pro turbulentní kinetickou energii k definovanou vztahem (.9) nebo je z ní odvozena. Obecně je pak turbulentní vazkost dána vztahem [8] µ t = ρ kl kde turbulentní kinetická energie k je určena z transportní rovnice a délkové měřítko l se vypočítá pomocí zmíněných algebraických vztahů. Jednorovnicové modely jsou díky transportní rovnici přesnější než modely nularovnicové jejich nevýhodou jsou ale algebraické vztahy pro délkové měřítko l. Je možné je použít v kombinaci s dvourovnicovými modely kdy v uvažovaném případě obtékání pevné stěny je jednorovnicový model aplikován pouze v úzké oblasti u stěny a dále pak navazuje model dvourovnicový. Známými jednorovnicovými modely turbulence jsou model Baldwina a Barthe a model Spalarta a Allmarase... Model Baldwina a Barthe Jednorovnicový model Baldwina a Barthe [] je odvozen z dvourovnicového modelu k-ɛ který bude uveden v následujících odstavcích. Rovnice modelu k-ɛ jsou zkombinovány tak že vznikne jedna transportní rovnice pro turbulentní Reynoldsovo číslo Re t = k kde ν = je νɛ µ ρ součinitel kinematické vazkosti a ɛ je rychlost disipace turbulentní energie. Pro lepší přesnost modelu v blízkosti obtékané stěny je turbulentní Reynoldsovo číslo rozděleno na dvě části Re t = Re t f(re t ) kde f je tlumicí funkce zajišt ující že Re t Re t pro velké hodnoty Re t. Transportní rovnice pro turbulentní Reynoldsovo číslo má tvar kde člen t t (νre t) + (νṽ j Re t ) = y j ( ν + ν ) t (νre t ) σ ɛ y k y k +(C ɛ f C ɛ ) ( ṽi P = ν t + ṽ ) j ṽi y j y i y j 3 ν t σ ɛ ν t y k (νre t ) y k + νre t P (.6) ( ṽk se nazývá produkce. Turbulentní kinematická vazkost je dána vztahem y k ) ν t = C µ νre t D D (.7) kde D a D jsou tlumicí funkce zavedené opět kvůli oblasti v těsné blízkosti obtékané stěny a platí pro ně D = e y+ A + D = e y + A +

23 .3 Dvourovnicové modely turbulence 3 kde A + = 6 A + = 0 a bezrozměrná normálová vzdálenost od stěny y + je definována vztahem (.3). Další konstanty a funkce vyskytující se v rovnicích (.6) a (.7) jsou C ɛ = C ɛ = 0 C µ = 0 09 f = C ( ɛ + C ɛ C ɛ C ɛ ) ( ) κy + D D +.. Model Spalarta a Allmarase Cµ = (C ɛ C ɛ ) σ ɛ D D + y+ D D D κ = 0 4 κ y + A + e A + + D A + e y + A +. Jednorovnicový model turbulence Spalarta a Allmarase [6] je tvořen transportní rovnicí pro proměnnou ν která souvisí s turbulentní kinematickou vazkostí vztahem Transportní rovnice je odvozena ve tvaru ν t + ( ) ν (ṽ j ν) = C b S ν Cw f w + y j d σ Konstanty a funkce v rovnicích (.8) a (.9) jsou χ 3 f v = χ 3 + Cv 3 χ f v = + χ f v [ ] + C 6 6 f w = g w3 g 6 + Cw3 6 ν t = νf v. (.8) y k [ (ν + ν) ν ] y k + C b σ ( ) ν. (.9) y k χ = ν ν g = r + C w(r 6 r) r = ν Sκ d S = S = ν κ d f v C b = C b = 0 6 C w = C b κ + ( + C b) σ C w = 0 3 C w3 = C v = 7 σ = κ = d je vzdálenost od nejbližší stěny a S je velikost vektoru vířivosti pro uvažované dvourozměrné proudění S = ṽ. ũ x y.3 Dvourovnicové modely turbulence Dvourovnicové modely jsou díky své schopnosti řešit i složitější typy turbulentního proudění nejpoužívanějšími modely turbulence ze skupiny modelů založených na Bussinesqově hypotéze. Jsou tvořeny dvěma transportními rovnicemi nejčastěji jednou rovnicí pro turbulentní kinetickou energii k a druhou rovnicí pro rychlost disipace turbulentní energie ɛ nebo

24 .3 Dvourovnicové modely turbulence 4 pro specifickou rychlost disipace ω. Tyto veličiny jsou definovány pomocí fluktuací rychlostí následujícím způsobem k = ɛ = µ v i ρv i v i ρ v i y j y j ρ (.0) (.) ω = ɛ k. (.) Díky transportním rovnicím zohledňují tyto modely i historii proudění a umožňují přesnější výpočty než modely algebraické a jednorovnicové. Naprostým základem dvourovnicových modelů je tedy transportní rovnice pro turbulentní kinetickou energii k kterou lze odvodit [8] [3] z rovnic zachování hybnosti (.) (ρv i ) t + (ρv iv k ) y k = p y i + t ik y k (.3) a středovaných rovnic zachování hybnosti podle Favra (.6) t ( ρṽ i) + y k ( ρṽ i ṽ k ) = p y i + y k ( t ik ρv i v k ). (.4) Nejdříve sečteme středovanou rovnici (.4) pro i vynásobenou ṽ j (.4) pro j vynásobenou ṽ i se středovanou rovnicí ṽ j t ( ρṽ i) + ṽ i t ( ρṽ j) + ṽ j = ṽ j p y i ṽ i p y j + ṽ j a členy na levé straně po dvou sečteme y k ( ρṽ i ṽ k ) + ṽ i y k ( ρṽ j ṽ k ) = y k ( t ik ρv i v k ) + ṽ i y k ( t jk ρv j v k ) t ( ρṽ iṽ j ) + ( ρṽ i ṽ j ṽ k ) = (.5) y k = ṽ j p y i ṽ i p y j + ṽ j y k ( t ik ρv i v k ) + ṽ i y k ( t jk ρv j v k ). Totéž provedeme s rovnicemi zachování hybnosti (.3) tedy rovnici pro i vynásobenou v j sečteme s rovnicí pro j vynásobenou v i v j (ρv i ) t + v i (ρv j ) t a levou stranu upravíme + v j (ρv i v k ) y k + v i (ρv j v k ) y k = v j p y i v i p y j + v j t ik y k + v i t jk y k (ρv i v j ) t + (ρv iv j v k ) y k = v j p y i v i p y j + v j t ik y k + v i t jk y k.

25 .3 Dvourovnicové modely turbulence 5 Tuto rovnici středujeme podle Favra úpravami podobnými jako v odstavci.. tedy t [ρ(ṽ i + v i )(ṽ j + v j )] + [ρ(ṽ i + v i )(ṽ j + v j )(ṽ k + v k y )] = k = (ṽ j + v j ) p (ṽ i + v i ) p + (ṽ j + v j ) t ik + (ṽ i + v i ) t jk y i y j y k y k t ( ρṽ iṽ j + ρv i v j ) + ( ρṽ i ṽ j ṽ k + ṽ i ρv j v k y + ṽ jρv i v k + ṽ kρv i v j + ρv i v j v k ) = k p = ṽ j v p p j ṽ i v p i + (.6) y i y i y j y j t ik +ṽ j + v t ik t jk j + ṽ i + v t jk i y k y k y k y k Odečteme-li nyní rovnici (.5) od rovnice (.6) dostaneme t (ρv i v j ) + (ṽ i ρv j v k y + ṽ jρv i v k + ṽ kρv i v j + ρv i v j v k ) = k = v j p v p i + v t ik j + v t jk i + ṽ j (ρv i v k y i y j y k y k y ) + ṽ i (ρv j v k k y ). k Členy přeskupíme a provedeme několik úprav. Sečteme následující dvojice ṽ j ṽ i (ρv i v k y ) (ṽ j ρv i v k k y ) = ρv k (ρv j v k y ) (ṽ i ρv j v k k y ) = ρv k i v k j v k ṽ j y k ṽ i y k upravíme součet členů obsahujících tlak [3] v j p v p i = [p y i y j y (δ jk v i + δ jk v j )] + p k ( v i ) + v j y j y i a za- a součet členů obsahujících tenzor vazkých napětí upravíme dosazením za t ik t jk nedbáním některých členů [3] tedy v j t ik + v i y k t jk = ( µ y k y k ρ y k (ρv i v j ) ) µ v i v j. y k y k Tím dostáváme transportní rovnici pro tenzor Reynoldsových napětí τ ij ve tvaru t (ρv i v j ) + (ṽ k ρv i v j ) = y k = ρv i v k ( v +p i ṽ j ρv y k + v y j y i j v k ) j ṽ i (ρv y k y k ( µ ρ + y k i v j v k ) y k (ρv i v j ) ) y k [p (δ jk v i + δ jk v j )] + µ v i v j. y k y k

26 .3 Dvourovnicové modely turbulence 6 Transportní rovnici pro turbulentní kinetickou energii z ní získáme položením i = j tedy t (ρv i v i ) + (ṽ k ρv i v i ) = y k = ρv i v k ( v +p i ṽ i ρv y k + v i y i y i i v k ) ṽ i (ρv y k y k ( µ ρ + y k i v i v k ) y k (ρv i v i ) ) y k [p (δ ik v i + δ ik v i )] + µ v i v i. y k y k Sčítací index k přeznačíme na j sečteme stejné členy a celou rovnici vydělíme dvěma t ( ρv i v i ) + (ṽ j y j ρv i v i ) = = ρv i v j ṽ i ( y j y j [ µ ρ y j +p v i + y i y j Člen p v i y i definičních vztahů pro k (.0) a ɛ (.) dostaneme v j ρv i v i ) ( ρv i v i (δ ij p y v i ) + j ) ] µ v i i v. y j y j dále zanedbáme protože nepřispívá k bilanci turbulentní energie [3]. Dosazením t ( ρk) + y j ( ρṽ j k) = τ ij ṽ i y j y j ( v j ρv i v i + δ ij p v i ) + ( µ k ) ρɛ y j y j ( ṽ kde člen P k = τ i ij y j je produkce turbulentní energie člen y j v j ρv i v i + δ ij p v i představuje turbulentní ( ) difusi tedy transport turbulentní energie vlivem fluktuací rychlosti a tlaku a člen y j µ k y j vyjadřuje vazkou difusi tedy transport turbulentní energie vlivem vazkosti. Turbulentní difuse se aproximuje analogicky k vazké difusi ( ) v j y j ρv i v i + δ ij p v i = ( ) µt k y j σ k y j kde µ t je turbulentní vazkost a σ k konstanta specifikovaná v konkrétním modelu. Výsledný tvar transportní rovnice pro turbulentní kinetickou energii po zavedení aproximace turbulentní difuse používaný ve dvourovnicových modelech je t ( ρk) + ( ρṽ j k) = [ ( µ + µ ) ] t k + P k ρɛ. (.7) y j y j σ k y j Nejpoužívanějšími dvourovnicovými modely jsou k-ɛ k-ω a kombinovaný k-ɛ/k-ω..3. Model k-ɛ Základní verze Dvourovnicový model k-ɛ [8] [6] je v základní podobě tvořen modelovou transportní rovnicí pro turbulentní kinetickou energii k (.7) t ( ρk) + ( ρṽ j k) = [ ( µ + µ ) ] t k + P k ρɛ (.8) y j y j σ k y j )

27 .3 Dvourovnicové modely turbulence 7 a transportní rovnicí pro rychlost disipace turbulentní energie ɛ. Tu je možné přesně odvodit podobně jako rovnici pro turbulentní energii. Protože ale obsahuje mnoho neznámých korelací fluktuací které je obtížné aproximovat používá se místo ní modelová transportní rovnice navržená analogicky k rovnici pro turbulentní energii tedy ṽ kde P k = τ i ij y j vztahem t ( ρɛ) + ( ρṽ j ɛ) = y j [ ( µ + µ ) ] t ɛ y j σ ɛ y j + C ɛ P k ɛ k C ɛ ρ ɛ k (.9) je již zmíněná produkce turbulentní energie. Turbulentní vazkost je dána µ t = C µ ρ k ɛ. (.0) Konstanty vyskytující se v rovnicích (.8) - (.0) jsou určeny empiricky na základě jednoduchých případů proudění a převážně se používají hodnoty σ k = 0 σ ɛ = 3 C ɛ = 44 C ɛ = 9 a C µ = Základní verze modelu k-ɛ není vhodná k výpočtu turbulentního proudění v těsné blízkosti obtékané stěny protože modelové rovnice nerespektují dostatečně vliv stěny na proudění [8]. Tento problém lze řešit několika způsoby. Jednou možností je použít tzv. stěnové funkce to ale není vhodné například pro proudění s odtržením [8]. Druhou možností je aplikovat na oblast v těsné blízkosti stěny včetně logaritmické oblasti model k-ω a ve vnějších oblastech model k-ɛ. To vede na kombinovaný model k-ɛ/k-ω který je uveden dále. Třetí možností je využít tzv. modifikaci modelu pro nízká turbulentní Reynoldsova čísla což umožní provést výpočet pomocí modelu k-ɛ v celé výpočtové oblasti až k obtékané stěně. Úprava pro nízká turbulentní Reynoldsova čísla Do transportních rovnic pro turbulentní energii k a rychlost disipace ɛ a do vztahu pro turbulentní vazkost µ t se zavedou tlumicí funkce jejichž funkční hodnota se s rostoucí vzdáleností od stěny blíží k jedné a přídavné členy jejichž hodnota se s rostoucí vzdáleností od stěny blíží k nule. Tím je dosaženo potřebné úpravy modelu blízko obtékané stěny jinde zůstává model v základní podobě. V úpravě pro nízká turbulentní Reynoldsova čísla tedy bude mít model k-ɛ tvar [8] t ( ρk) + ( ρṽ j k) = y j t ( ρɛ) + ( ρṽ j ɛ) = y j [ ( µ + µ ) ] t k + P k ρɛ + L k (.) y j σ k y j [ ( µ + µ ) ] t ɛ y j σ ɛ y j + C ɛ f P k ɛ k C ɛf ρ ɛ k + L ɛ (.) µ t = C µ f µ ρ k ɛ. (.3) Existuje několik takových úprav které se liší definicí funkcí f f f µ a členů L k a L ɛ. Jednou z možností je úprava podle Jonese a Laundera [8] [6] kteří stanovili f = 0 f = 0 3 e Re t f µ = e Re t

28 .3 Dvourovnicové modely turbulence 8 kde Re t = k ν ɛ Protože µ t ρ k ν ɛ t = µt ρ vazkostí Re t µt L k = µ ρ L ɛ = µ µ t ρ ( ) k j = y j ( ) ũ y je turbulentní Reynoldsovo číslo a ν = µ ρ µ..3. Model k-ω Základní verze je součinitel kinematické vazkosti. k udává turbulentní Reynoldsovo číslo v podstatě poměr ɛ Základní verze dvourovnicového modelu k-ω [8] je tvořena opět transportní rovnicí pro turbulentní kinetickou energii k (.7) ale v upraveném tvaru t ( ρk) + ( ρṽ j k) = y j y j [ (µ + σ µ t ) k y j ] + P k β ρkω (.4) a transportní rovnicí pro specifickou rychlost disipace ω navrženou na základě podstaty fyzikální dějů v proudění a rozměrové analýzy ve tvaru t ( ρω) + ( ρṽ j ω) = [ (µ + σµ t ) ω ] ω + αp k y j y j y j k β ρω (.5) kde P k = τ ij ṽ i y j je produkce turbulentní energie. Turbulentní vazkost je určena vztahem µ t = γ ρ k ω. (.6) Empirické konstanty v rovnicích (.4) - (.6) se nejčastěji používají s hodnotami σ = σ = β = 9 α = 5 β = 3 a γ =. Tato základní verze může být narozdíl od základní podoby modelu k-ɛ bez potíží aplikována až ke stěně. Model k-ω v uvedené podobě je lepší než model k-ɛ v těsné blízkosti obtékané stěny tedy ve vazké podvrstvě a logaritmické oblasti mezní vrstvy. Naopak ve vnější vrstvě se lépe chová model k-ɛ. Na základě této skutečnosti je tedy výhodné vytvořit kombinovaný model k-ɛ/k-ω abychom při použití dvourovnicových modelů turbulence dosáhli co nejlepších výsledků..3.3 Kombinovaný model k-ɛ/k-ω Kombinovaný dvourovnicový model k-ɛ/k-ω je dvouvrstvý model [8] který používá ve vazké podvrstvě a logaritmické oblasti mezní vrstvy model k-ω. Vně této oblasti na něj pak navazuje model k-ɛ v uvedené základní podobě tedy bez úpravy pro nízká turbulentní Reynoldsova čísla. Pro jednodušší zápis i implementaci v programu je transportní rovnice pro ɛ přepsána v proměnné ω. Oba modely jsou pak sloučeny do jednoho pomocí spojovací funkce F která je definována tak aby nabývala hodnoty ve vnitřní vrstvě (uplatní se model k-ω) a hodnoty 0 ve vnější vrstvě (uplatní se model k-ɛ).

29 .3 Dvourovnicové modely turbulence 9 Přepis transpotní rovnice pro ɛ do proměnné ω se provede pomocí vztahu ɛ = β ωk (.7) kde β = 0 09 je již uvedená konstanta z odstavce.3.. Vyjdeme z rovnice (.9) t ( ρɛ) + y j ( ρṽ j ɛ) = [ ( µ + µ ) ] t ɛ y j σ ɛ y j + C ɛ P k ɛ k C ɛ ρ ɛ k do které dosadíme transformační vztah (.7) a dostaneme t ( ρβ ωk) + ( ρṽ j β ωk) = y j y j [ ( µ + µ ) t (β ] ωk) σ ɛ y j + C ɛ P k β ωk k C ɛ ρ (β ωk). k Přeznačíme σ ɛ = σ ω rovnici vydělíme konstantou β a částečně upravíme derivace ω t ( ρk) + k t ( ρω) + ω ( ρṽ j k) + k ( ρṽ j ω) = (.8) y j y j = ω [ (µ + σ ω µ t ) k ] + k [ (µ + σ ω µ t ) ω ] + y j y j y j y j + (µ + σ ω µ t ) k ω + C ɛ P k ω C ɛ ρβ ω k. y j y j Dále potřebujeme upravit transportní rovnici pro k (.8) modelu k-ɛ. Přeznačíme σ k a do posledního členu dosadíme transformační vztah (.7) tedy t ( ρk) + ( ρṽ j k) = y j Celou rovnici vynásobíme ω y j [ (µ + σ k µ t ) k y j ] = σ k + P k ρβ ωk. (.9) ω t ( ρk) + ω ( ρṽ j k) = ω [ (µ + σ k µ t ) k ] + P k ω ρβ ω k. (.30) y j y j y j Nyní od rovnice (.8) odečteme rovnici (.30) a získáme k t ( ρω) + k ( ρṽ j ω) = k [ (µ + σ ω µ t ) ω ] + (C ɛ )P k ω y j y j y j (C ɛ ) ρβ ω k + (µ + σ ω µ t ) k ω. (.3) y j y j Předpokládali jsme že σ ω σ k jinak by v rovnici (.3) zůstal ještě jeden člen navíc. Ten je ale velmi malý a neovlivňuje příliš řešení takže ho můžeme zanedbat [8]. Dále v rovnici (.3) přeznačíme C ɛ = α β (C ɛ ) = β a v posledním členu na pravé straně rovnice upravíme závorku pomocí vztahu pro turbulentní vazkost (.6) následujícím způsobem [8] µ + σ ω µ t = µ + σ ω ρ k ω σ ω ρ k ω.

30 .3 Dvourovnicové modely turbulence 30 Nakonec celou rovnici (.3) vydělíme k a dostaneme t ( ρω) + ( ρṽ j ω) = [ (µ + σ ω µ t ) ω y j y j y j +σ ω ρ ω ] + α P k ω k β ρω + k ω. (.3) y j y j Rovnice (.9) a (.3) představují model k-ɛ formulovaný v podobě modelu k-ω. Nyní tedy máme dvouvrstvý model zapsaný pomocí k a ω pro oblast v těsné blízkosti obtékané stěny rovnicemi t ( ρk) + ( ρṽ j k) = y j t ( ρω) + ( ρṽ j ω) = y j [ (µ + σ k µ t ) k ] + P k β ρkω (.33) y j y j [ (µ + σ ω µ t ) ω ] ω + α P k y j y j k β ρω (.34) kde jsou oproti rovnicím modelu k-ω (.4) a (.5) pouze přeznačeny konstanty σ = σ k σ = σ ω α = α a β = β. Pro vnější oblast platí rovnice přeformulovaného modelu k-ɛ (.9) a (.3) t ( ρk) + ( ρṽ j k) = [ (µ + σ k µ t ) k ] + P k ρβ ωk (.35) y j y j y j t ( ρω) + ( ρṽ j ω) = (.36) y j = [ (µ + σ ω µ t ) ω ] ω + α P k y j y j k β ρω + σ ω ρ k ω. ω y j y j Turbulentní vazkost je pro obě vrstvy modelu dána vztahem µ t = ρ k ω který je totožný s (.6) kde γ =. Dosazením (.7) do (.0) je ihned vidět že je splněn i tento vztah protože C µ = β = Rovnice pro obě vrstvy modelu sloučíme pomocí spojovací funkce F navržené tak aby se limitně blížila k jedné v těsné blízkosti stěny a k nule ve větší vzdálenosti od stěny. Kombinovaný model k-ɛ/k-ω tedy zapíšeme t ( ρk) + ( ρṽ j k) = [ (µ + σ k µ t ) k ] + P k β ρkω y j y j y j t ( ρω) + ( ρṽ j ω) = y j y j [ (µ + σ ω µ t ) ω ] y j +( F )σ ω ρ ω + αp k ω k β ρω + k ω y j y j kde konstanta σ k = F σ k + ( F )σ k takže se opět podle hodnoty funkce F uplatní hodnota σ k σ k nebo jejich kombinace. Pro konstanty σ ω α a β platí analogické vztahy jako pro σ k.

31 .3 Dvourovnicové modely turbulence 3 Transformací modelu k-ɛ do podoby modelu k-ω vznikl na pravé straně rovnice (.36) významný člen závisející na gradientu k i ω který se nazývá příčná difuse (cross diffusion). Někdy je přidáván i do samotného modelu k-ω [6] což se ukazuje vhodné pro obtékání stěny méně už pro volné smykové vrstvy. Vliv příčné difuse na schopnost dvourovnicových modelů dobře zachycovat turbulentní proudění je zkoumán mnohými autory [6]. Používají se dvě varianty kombinovaného modelu k-ɛ/k-ω a to tzv. BSL model a SST model [8] [3] které se od sebe liší definicí turbulentní vazkosti µ t a určením konstant. BSL model (Baseline model) Turbulentní vazkost je pro BSL model dána již uvedeným vztahem µ t = ρ k ω. Konstanty příslušné modelu k-ω jsou σ k = 0 5 σ ω = 0 5 α = 0 56 β = β = 0 09 a konstanty příslušné modelu k-ɛ jsou σ k = σ ω = α = 0 44 β = a β = Spojovací funkce F zajišt ující hladký přechod mezi modely je definována následujícím způsobem F = tgh(arg 4 ) kde arg = min { max ( k 0 09ωy 500ν ) ; 4 ρσ } ωk ωy C kω y kde y je opět kolmá vzdálenost od obtékané stěny a hodnota C kω se určí z tzv. příčné difuse tedy z posledního členu v rovnici (.36). C kω = σ ω ρ ω pokud je tento výraz kladný jinak C kω = 0. SST model (Shear-stress transport model) k ω y j y j Název modelu je odvozen ze skutečnosti že díky upravené definici turbulentní vazkosti µ t bere na rozdíl od BSL modelu v úvahu vliv transportu turbulentního napětí [3]. Vychází totiž z tzv. Bradshawovy hypotézy která je založena na experimentech a říká že Reynoldsovo turbulentní napětí je v převážné části mezní vrstvy zhruba úměrné turbulentní kinetické energii. Na základě toho je pak turbulentní vazkost dána vztahem [8] [3] { ρk µ t = min ω ; a } ρk F Ω kde konstanta a = 0 3 Ω je absolutní hodnota vířivosti pro dvourozměrné proudění platí ṽ ũ a funkce x y { k F = tgh(arg ) arg = max 0 09ωy 500ν }. ωy S výjimkou σ k = 0 85 jsou všechny konstanty a předpis spojovací funkce F stejné jako v BSL modelu.

32 Kapitola 3 Numerické řešení turbulentního proudění stlačitelné vazké tekutiny 3. Matematický model Pro modelování turbulentního proudění stlačitelné vazké newtonské tekutiny je v této práci využit systém středovaných Navierových-Stokesových rovnic podle Favra jak je uvedeno v první kapitole. Po zavedení tenzoru Reynoldsových turbulentních napětí a aproximaci členu představujícího turbulentní přenos tepla byl odvozen systém rovnic (.3) - (.33) ve tvaru ρ t + ( ρṽ j) = 0 (3.) y j t ( ρṽ i) + ( ρṽ i ṽ j + pδ ij ) = ( t ij + τ ij ) (3.) y j y j t ( ρẽ) + ( ρẽṽ j + pṽ j ) = [ ( t ij + τ ij )ṽ i + κ ( µ y j y j κ P r + µ ) ( )] t p (3.3) P r t y j ρ kde tenzor vazkých napětí je dán vztahem a tenzor Reynoldsových turbulentních napětí ( ṽi t ij = µ + ṽ ) j y j y i 3 µṽ k δ ij (3.4) y k ( ṽi τ ij = µ t + ṽ ) j y j y i 3 µ ṽ k t δ ij. (3.5) y k Poslední člen ve vztahu pro Reynoldsovo napětí (.34) neuvažujeme. Označení všech veličin vystupujících v rovnicích (3.) - (3.5) odpovídá značení zavedenému v první kapitole. Uvedený systém rovnic uzavřený konkrétním modelem turbulence bude výchozí pro další úvahy. Pro uvažované dvourozměrné proudění rozepíšeme soustavu rovnic (3.) - (3.3) v kartézském souřadnicovém systému do tvaru ρ t + ( ρũ) x + ( ρṽ) y = 0 3

33 3. Matematický model 33 t ( ρũ) + x ( ρũũ + p) + y ( ρũṽ) = x ( t xx + τ xx ) + y ( t xy + τ xy ) t ( ρṽ) + x ( ρṽũ) + ( ρṽṽ + p) = y x ( t yx + τ yx ) + y ( t yy + τ yy ) t ( ρẽ) + x ( ρẽũ + pũ) + ( ρẽṽ + pṽ) = y = [ ( t xx + τ xx )ũ + ( t xy + τ xy )ṽ + κ ( µ x κ P r + µ t P r t + [ ( t xy + τ xy )ũ + ( t yy + τ yy )ṽ + κ y κ kde pro součet složek tenzoru vazkých a turbulentních napětí platí ( 4 ũ t xx + τ xx = (µ + µ t ) 3 x ) ṽ 3 y ( ũ t xy + τ xy = (µ + µ t ) y + ṽ ) = t yx + τ yx x ( t yy + τ yy = (µ + µ t ) ũ 3 x + 4 ) ṽ 3 y ) x ( µ P r + µ ) t P r t y ( )] p + ρ ( )] p ρ y = [x y] T Ω Ω R u a v jsou kartézké složky vektoru rychlosti ve směrech souřadnicových os x a y. Vyjádříme-li tento systém rovnic v kompaktní vektorové formě dostaneme w t + f I (w) + gi (w) x y = f V (w) x + gv (w) (3.6) y kde w = w(y t) w R 4 je vektor konzervativních proměnných f I (w) a g I (w) jsou složky nevazkého konzervativního toku a f V (w) a g V (w) složky vazkého konzervativního toku definované jako w = ρ ρũ ρṽ ρẽ f V (w) = f I (w) = g V (w) = ρũ ρũ + p ρũṽ ( ρẽ + p)ũ 0 t xx + τ xx t xy + τ xy ( t xx + τ xx )ũ + ( t xy + τ xy )ṽ + 0 t xy + τ xy t yy + τ yy ( t xy + τ xy )ũ + ( t yy + τ yy )ṽ + gi (w) = κ κ κ κ ρṽ ρũṽ ρṽ + p ( ρẽ + p)ṽ ( µ + ) ( µt p ρ) P r P r t x ( µ + ) ( µt p ρ) P r P r t y (3.7). (3.8) Systém rovnic (3.6) řešíme numericky metodou konečných objemů na strukturované čtyřúhelníkové síti a turbulentní vazkost určujeme podle konkrétního modelu turbulence.

34 3. Metoda konečných objemů Metoda konečných objemů Pro prostorovou diskretizaci systému středovaných Navierových-Stokesových rovnic (3.6) použijeme metodu konečných objemů aplikovanou na strukturovanou čtyřúhelníkovou sít [8]. Výpočtovou oblast Ω R rozdělíme na konečný počet malých navzájem disjunktních podoblastí Ω q Ω q =... N takových že Ω h = N q= Ω q kde Ω h je aproximace výpočtové oblasti Ω pomocí uzavřených konvexních čtyřúhelníků. To znamená že hranice Ω h je tvořena konečným počtem úseček. V případě strukturované sítě lze zavést dvě množiny indexů I =... N I a J =... N J tak že při označení Ω q Ω ij i I j J platí N = N I N J. Čtyřúhelníkový element Ω ij se nazývá kontrolní objem nebo také buňka sítě. N udává tedy celkový počet buněk strukturované čtyřúhelníkové sítě na Ω h jejíž výřez je znázorněn na obr. 3.. Řešení systému rovnic (3.6) hledáme na kontrolním objemu Ω ij ve tvaru konstantní funkce w ij která je aproximací přesného řešení w na Ω ij. Pro kontrolní objem Ω ij je tedy w ij integrálním průměrem vektoru konzervativních proměnných w w ij (t) = Ω ij Ω ij w(y t) ds (3.9) a je tudíž na něm konstantní. Ω ij značí obsah čtyřúhelníkové buňky Ω ij obr 3.. Rovnici (3.6) integrujeme přes každý kontrolní objem Ω ij a dostáváme Ω ij w t ds + Ω ij ( f I (w) x ) + gi (w) y ds = Ω ij ( f V (w) x ) + gv (w) ds = 0. (3.0) y Pomocí vztahu (3.9) pro integrální průměr upravíme první integrál na levé straně rovnice (3.0) do tvaru w t ds = w ds = dw ij Ω ij. t dt Ω ij Ω ij Obrázek 3.: Strukturovaná čtyřúhelníková sít

35 3. Metoda konečných objemů 35 Použitím Greenovy věty převedeme plošné integrály v rovnici (3.0) na křivkové ( f I ) (w) + gi (w) ds = ( x n ij f I (w) + y n ij g I (w)) dl x y Ω ij Ω ij ( f V ) (w) + gv (w) ds = ( x n ij f V (w) + y n ij g V (w)) dl x y Ω ij Ω ij takže z rovnice (3.0) dostaneme dw ij (t) dt Ω ij + Ω ij ( x n ij f I (w) + y n ij g I (w)) dl = Ω ij ( x n ij f V (w) + y n ij g V (w)) dl (3.) kde Ω ij je hranice kontrolního objemu Ω ij a n ij = [ x n ij y n ij ] T je jednotkový vektor vnější normály k hranici Ω ij kontrolního objemu Ω ij. Numerické řešení hledáme ve středech kontrolních objemů Ω ij. Křivkové integrály v rovnici (3.) vyjadřují celkový vazký a nevazký tok veličiny w hranicí Ω ij kontrolního objemu Ω ij v čase t. Tento integrál aproximujeme součtem vazkých a nevazkých numerických toků jednotlivými stranami l m m =... 4 tvořícími hranici Ω ij kontrolního objemu Ω ij obr. 3. dw ij (t) dt = Ω ij 4 (F I m F V m) l m (3.) m= kde F I m (F V m) je nevazký (vazký) numerický tok stranou l m kontrolního objemu Ω ij ve směru n m ij a l m je délka m-té strany kontrolního objemu Ω ij. Pro každou stranu nejdříve vypočítáme Obrázek 3.: Kontrolní objem Ω ij

36 3.3 Metoda časové integrace 36 její rozměry x m = x m+ x m y m = y m+ y m m = 3 4 a pro m = 4 je x m+ = x y m+ = y. Pro normálový vektor S m = [S x m S y m] T a velikost m-té strany l m platí S m = n m ij l m = [ y m x m ] T l m = x m + ym. Jednotkový vektor vnější normály k m-té straně l m kontrolního objemu Ω ij je pak n m ij = [ x n m ij y n m ij ] T = 3.3 Metoda časové integrace [ ] T ym l m x m. (3.3) l m Označíme-li pravou stranu rovnice (3.) funkcí R(w ij (t)) kde R je operátor prostorové diskretizace zapíšeme soustavu obyčejných diferenciálních rovnic ve tvaru dw ij (t) = R(w ij (t)) (3.4) dt kterou vyřešíme při dané počáteční podmínce wij 0 w ij (0) = Ω ij w(y 0)dS pomocí Ω ij explicitní čtyřstupňové Rungeovy-Kuttovy metody [0]. Necht 0 = t 0 < t < t <... < T je dělení časového intervalu (0 T ) a t = t n+ t n je časový krok mezi časovými hladinami t n a t n+. Označme wij n jako aproximaci funkce w ij (t n ) v čase t n. Nejdříve vypočítáme hodnotu pravé strany rovnice (3.4) v čase t n k = R (w n ij) a dále hodnoty pravé strany s upravenými argumenty k = R (w n ij + t k ) k 3 = R (w n ij + t k ) k 4 = R (w n ij + t k 3 ). V čase t n+ potom dostaneme hodnotu numerického řešení na kontrolním objemu Ω ij jako w n+ ij = w n ij + 6 t (k + k + k 3 + k 4 ) kde časový krok t je určen nutnou CFL podmínkou stability ve tvaru [7] t min ij CF L λ(a ij ) max x ij + λ(b ij) max y ij

37 3.4 Aproximace nevazkého numerického toku 37 kde λ(a ij ) max = ũ ij + ā ij a λ(b ij ) max = ṽ ij + ā ij jsou maximální absolutní hodnoty vlastních čísel Jacobiových matic nevazkých konzervativních toků f I (w) a g I (w) ũ ij a ṽ ij jsou střední hodnoty rychlosti proudu ve směrech i a j ā ij je střední hodnota lokální rychlosti zvuku CFL = 0.7 a x ij a y ij jsou aproximace délek kontrolního objemu Ω ij ve směrech i a j. 3.4 Aproximace nevazkého numerického toku Pro aproximaci nevazkého numerického toku F I m m-tou stranou konrolního objemu Ω ij vystupujícího v rovnici (3.) použijeme AUSM schéma (Advection Upstream Splitting Method) [] založené na štěpení toku. To je zobecněním takzvaných upwind schémat [7] AUSM schéma Vyjdeme z toho že nevazký numerický tok F I libovolnou stranou kontrolního objemu Ω ij lze rozdělit na dvě fyzikálně odlišné části a to na konvektivní část F I(c) numerického toku a tlakovou část F I(p) numerického toku [] F I = x n ij f I + y n ij g I Ṽ ā = M n ρā ρũā ρṽā ρ h 0 ā ρā ρũā ρṽā ρ h 0 ā + p 0 x n ij + p y n ij = 0 0 x n ij y n ij 0 = FI(c) + F I(p) kde Ṽ = ũ x n ij + ṽ y n ij je střední hodnota konvektivní normálové rychlosti mající směr jednotkového vektoru vnější normály n ij = [ x n ij y n ij ] T k odpovídající straně l kontrolního objemu Ω ij ā je střední hodnota lokální rychlosti zvuku definovaná jako ā = κ p ρ (3.5) M n je střední hodnota normálového Machova čísla a h 0 = h + (ũ + ṽ ) + k = ɛ + p ρ + (ũ + ṽ )+k = ẽ+ je střední hodnota měrné stagnační (klidové) enthalpie k je turbulentní energie p ρ (.9) a pro střední hodnoty celkové měrné a měrné vnitřní energie platí vztah (.30). Měrná enthalpie h je definovaná podle [9] vztahem h = ɛ + p kde ɛ je měrná vnitřní energie ρ analogický vztah platí pro střední hodnoty uvedených veličin tedy h = ɛ +. Pro případ p ρ ideálního plynu platí ɛ = c V T kde c V je měrná tepelná kapacita při konstantním objemu a T je střední hodnota termodynamické teploty tekutiny (ideálního plynu). κ je Poissonova adiabatická konstanta. Uvažujme dva sousední kontrolní objemy strukturované čtyřúhelníkové sítě obr Hodnoty vektoru konzervativních proměnných v levé a pravé buňce označíme jako w L a w R.

38 3.4 Aproximace nevazkého numerického toku 38 Obrázek 3.3: Nevazký numerický tok společnou stranou dvou sousedních kontrolních objemů Chceme určit nevazký numerický tok jejich společnou stranou. Nejdříve vypočítáme střední hodnotu normálového Machova čísla pro levou a pravou buňku M nl = ṽt L n ā L ṼL ā L MnR = ṽt R n ā R ṼR ā R kde ṼL a ṼR jsou střední hodnoty konvektivních normálových rychlostí v levé a pravé buňce ā L a ā R jsou střední hodnoty lokální rychlosti zvuku dané vztahem (3.5) v levé a pravé buňce a n je jednotkový normálový vektor k jejich společné straně obr Machovo číslo na společné straně dvou sousedních kontrolních objemů určíme jako M LR = M + ( M nl ) + M ( M nr ) kde M + a M jsou tzv. rozkládající (splitting) funkce. Existují různé tvary těchto funkcí zde použijeme funkce ve tvaru [6] M ± (M) = { (M ± M ) pro M > ± (M ± 4 ) ± (M ) 8 jinak. Tlak na společném rozhraní dvou sousedních buněk je určen vztahem p LR = P + ( M nl ) p L + P ( M nr ) p R kde p L p R jsou střední hodnoty tlaku v levé a pravé buňce a splitting funkce pro tlak jsou definovány podle [] jako P ± (M) = { (M ± M )/M pro M > (M ± 4 ) ( M) jinak. Celkový nevazký numerický tok společnou stranou l m dvou sousedních kontrolních objemů L (levého) a R (pravého) obr. 3.3 je potom dán vztahem [] F I m = F I m(w L ij w R i+j n m ij ) = F I(c) LR + p LR 0 x n m ij y n m ij 0

39 3.4 Aproximace nevazkého numerického toku 39 který z důvodu snazší algoritmizace lze přepsat do tvaru F I m = F I m(w L ij w R i+j n m ij ) = M LR (F I(c) L kde F I(c) L(R) = + F I(c) R ) M LR (F I(c) R ρā ρũā ρṽā ρ h 0 ā L(R). F I(c) L ) + p LR 0 0 (3.6) x n m ij y n m ij 3.4. Lineární rekonstrukce AUSM schéma je pouze prvního řádu přesnosti v prostorové proměnné. Pro výpočet nevazkého numerického toku hranicí kontrolních objemů jsme použili hodnoty vektoru konzervativních proměnných ze středů buněk. Lineární rekonstrukcí těchto hodnot založenou na Taylorově rozvoji ale můžeme řád přesnosti AUSM schématu zvýšit na druhý. Rekonstrukci provádíme zvlášt v obou směrech x a y nezávisle na sobě. Abychom zabránili nežádoucím oscilacím v řešení použijeme navíc ještě takzvaný minmod limiter. Ten ze dvou hodnot b a c vybere tu menší z nich pokud jsou stejného znaménka nebo nulu pokud mají znaménko opačné. Tím je zajištěno že nebudou vznikat nové extrémy. Následující vztah definuje minmod limiter pro libovolné dvě skalární hodnoty b a c (v případě vektorů se počítá po složkách) b pokud b < c a b c > 0 minmod(b c) = c pokud b > c a b c > 0 0 pokud b c 0. Pro každou složku w s s =... 4 vektoru konzervativních proměnných w R 4 vypočítáme v každém směru následující diferenční podíly [9] (σ s ) upwind x = (ws) ij (w s) i j x i j (σ s ) downwind Použitím minmod limiteru určíme veličiny x = (ws) i+j (w s) ij x i+ j (σ s ) upwind y = (ws) ij (w s) ij y ij (σ s ) downwind y = (ws) ij+ (w s) ij y ij+. (σ s ) minmod x = minmod ((σ s ) upwind x (σ s ) downwind x ) (σ s ) minmod y = minmod ((σ s ) upwind y (σ s ) downwind y ) s =... 4 pomocí nichž rekonstruujeme hodnoty numerického řešení w ij na stranách kontrolního objemu Ω ij následujícím způsobem w i+ j = w ij + x i+ j σ minmod x

40 3.5 Aproximace vazkého numerického toku 40 Poznamenejme že (σ s ) minmod x w i w ij+ w ij j = w ij x i a (σ s ) minmod y j = w ij + y ij+ = w ij y ij σ minmod x σ minmod y σ minmod y. s =... 4 jsou složky vektoru σ minmod x a σ minmod y. Potom pro výpočet celkového nevazkého numerického toku stranou l m společnou pro levý kontrolní objem Ω ij a pravý kontrolní objem Ω i+j obr. 3.3 použijeme ve vztahu (3.6) hodnoty w L i+ j z buňky Ω ij a w R i+ j z buňky Ω i+j tedy F I m = F I m(w L i+ j wr i+ j nm ij ). 3.5 Aproximace vazkého numerického toku Vazký numerický tok F V m m-tou stranou kontrolního objemu Ω ij vystupující ve schématu pro metodu konečných objemů (3.) budeme aproximovat centrálně s pomocí takzvaných duálních buněk [7] [8]. Uvažujme kontrolní objem Ω ij tvořený čtyřúhelníkem P P P 3 P 4 obr Chceme-li aproximovat složky vazkého numerického toku f V (w) a g V (w) stěnou P P kontrolního objemu Ω ij potřebujeme určit na této stěně tedy v bodě (i + ũ j) derivace ũ ṽ ṽ ( ) x y x y x p ρ ( ) y p ρ a složky rychlosti ũ a ṽ. Pro výpočet derivací v bodě (i+ j) který se nachází uvnitř výpočtové oblasti zavedeme duální čtyřúhelníkovou buňku Ω i+ j tvořenou čtyřúhelníkem D D D 3 D 4 obr. 3.4 pro který D = P D 4 = P a vrcholy D a D 3 odpovídají středům kontrolních objemů Ω ij a Ω i+j. Složky rychlosti ũ a ṽ v bodě (i+ j) stanovíme jako průměr ze složek rychlosti v buňkách přilehlých ke stěně P P tedy ũ i+ ṽ i+ j = ũij + ũ i+j j = ṽij + ṽ i+j. Derivace ũ a ũ v bodě (i + j) aproximujeme vztahy [7] x y ũ 4 x i+ Ω j i+ j ũ k y k (3.7) k= ũ 4 y i+ Ω j i+ j ũ k x k (3.8) k= kde Ω i+ j značí obsah duální buňky Ω i+ j který určíme podle vztahu Ω i+ j = (x i+j x ij )(y i+ j+ y i+ j ) (y i+j y ij )(x i+ j+ x i+ j ).

41 3.5 Aproximace vazkého numerického toku 4 Rozměry stěn duální buňky vypočítáme podobně jako pro buňku primární tedy x k = x k+ x k y k = y k+ y k k = 3 4 a pro k = 4 je x k+ = x y k+ = y x k a y k jsou souřadnice vrcholů duální buňky D k k = 3 4. Rychlosti ũ k k = 3 4 na stěnách duální buňky určíme následujícím způsobem ũ = ũ = ũ 3 = ũ 4 = ) (ũij + ũ i+ j (ũi+ j + ũ i+j ) (ũi+j + ũ i+ j+ ) (ũi+ j+ + ũ ij kde rychlosti ũ i+ j a ũ i+ j+ vypočítáme jako průměr z hodnot ũ ve středech okolních čtyřech primárních kontrolních objemů. Pro výpočet derivací v bodě (i + j) který leží na hranici výpočtové oblasti použijeme pouze polovinu duální buňky danou trojúhelníkem D D D 4 obr Sumy ve vztazích (3.7) a (3.8) tedy obsahují pouze tři sčítance a hodnoty ũ k x k y k k = 3 určujeme na stěnách D D D D 4 a D 4 D. Derivace ṽ a p ρ v bodě (i + j) vypočítáme analogicky k uvedeným derivacím ũ. ) Obrázek 3.4: Primární čtyřúhelníková buňka Ω ij a duální čtyřúhelníková buňka Ω i+ j

42 3.6 Aproximace rovnic modelu turbulence k-ɛ 4 Využitím uvedených vztahů vypočítáme hodnoty složek vazkého numerického toku f V (w) a g V (w) stěnou P P kontrolního objemu Ω ij podle (3.7) a (3.8) přičemž předpokládáme že turbulentní vazkost již máme vypočtenou pomocí zvoleného modelu turbulence. Složky vazkých numerických toků ostatními stěnami kontrolního objemu Ω ij tedy v bodech (i j) (i j + ) a (i j ) určíme podobným způsobem. Normálový vazký numerický tok F V m m-tou stranou kontrolního objemu Ω ij vystupující ve vztahu (3.) nakonec určíme pomocí normály k m-té straně kontrolního objemu n m ij = [ x n m ij y n m ij ] T (3.3) jako F V m = f V (w) x n m ij + g V (w) y n m ij. (3.9) 3.6 Aproximace rovnic modelu turbulence k-ɛ Dvourovnicový model turbulence k-ɛ s úpravou pro nízká turbulentní Reynoldsova čísla podle Jonese a Laundera je tvořen dvěma parciálními diferenciálními rovnicemi a řadou dalších vztahů jak je popsáno v odstavci.3. tedy t ( ρk) + y j ( ρṽ j k) = t ( ρɛ) + ( ρṽ j ɛ) = y j [ ( µ + µ ) ] t k + P k ρɛ + L k (3.0) y j σ k y j [ ( µ + µ ) ] t ɛ ɛ + C ɛ f P k y j σ ɛ y j k C ɛf ρ ɛ k + L ɛ (3.) µ t = C µ f µ ρ k ɛ (3.) ṽ i P k = τ ij y j f = 0 (3.3) (3.4) f = 0 3 e Re t (3.5) Re t = ρk µɛ 5 (3.6) f µ = e +00 Re t (3.7) L k = µ ρ ( ) k j = (3.8) y j L ɛ = µ µ ( ) t ũ (3.9) ρ y konstanty v nich obsažené jsou uvedeny v odstavci.3.. Pro řešení těchto rovnic na dané výpočtové oblasti Ω R diskretizované strukturovanou čtyřúhelníkovou sítí odvodíme explicitní diferenční schéma [8]. Ve zbývající části tohoto odstavce vynecháme pro přehlednější zápis značení středovaných veličin vlnkou a pruhem máme ale samozřejmě stále na mysli střední hodnoty příslušných veličin. Pro odvození explicitního schématu pro transportní rovnici (3.0) pro turbulentní kinetickou energii k tuto rovnici nejprve upravíme částečnou derivací členů na levé straně tedy ρ k t + k ρ t + ρv j k + k (ρv j) = [ ( µ + µ ) ] t k + P k ρɛ + L k. y j y j y j σ k y j

43 3.6 Aproximace rovnic modelu turbulence k-ɛ 43 Odečteme od ní středovanou rovnici kontinuity (3.) vynásobenou k k ρ t + k (ρv j) y j = 0 a dostaneme ρ k t + ρv k j = [ ( µ + µ ) ] t k + P k ρɛ + L k. y j y j σ k y j Výraz v kulaté závorce na pravé straně pro přehlednější zápis označíme A k = µ + µt σ k tedy ρ k t + ρv k j = ( ) k A k + P k ρɛ + L k. y j y j y j Tuto rovnici rozepíšeme v kartézském souřadnicovém systému pro j = do tvaru ρ k t + ρuk k + ρv x y = ( ) k A k + ( ) k A k + P k ρɛ + L k (3.30) x x y y kde L k = µ ( k ρ x + ) k (3.3) y ( u P k = τ xx x + τ u xy y + τ v yx x + τ v yy y = τ u u xx x + τ xy y + v ) v + τ yy x y. (3.3) Složky symetrického tenzoru Reynoldsových turbulentních napětí τ ij souřadnicovém systému jsou (.34) v kartézském τ xx = 4 3 µ u t x 3 µ v t y ρk 3 (3.33) u τ xy = τ yx = µ t y + µ v t x (3.34) τ yy = 3 µ u t x µ v t y ρk. 3 (3.35) Rovnice (3.30) - (3.35) je potřeba transformovat tak abychom je mohli řešit v souřadnicovém systému ξη na čtverci o délce strany jedna s rovnoměrným dělením os. To provedeme pomocí vztahů [8] ξ x = Jy η ξ y = Jx η η x = Jy ξ η y = Jx ξ kde J = x ξ y η x ηy ξ je Jacobián uvedeného zobrazení x = x(ξ η) y = y(ξ η). Parciální derivace potom transformujeme podle x = ξ x ξ + η x η (3.36) y = ξ y ξ + η y η. (3.37)

44 3.6 Aproximace rovnic modelu turbulence k-ɛ 44 Touto transformací se tedy daná čtyřúhelníková sít převede na ortogonální sít s ekvidistantním dělením os ve směru osy x s krokem ξ = N I a ve směru osy y s krokem η = N J kde N I N J jsou počty kontrolních objemů sítě ve směrech x y. Na této síti pak provedeme prostorovou diskretizaci rovnic modelu turbulence k-ɛ (3.30) - (3.35). Konvektivní členy ρu k k a ρv aproximujeme upwind schématem prvního řádu přesnosti x y a ostatní členy centrálními diferenčními formulemi druhého řádu přesnosti [8]. Aproximaci je možné provést bud ve středech kontrolních objemů nebo v uzlech sítě v této práci byla zvolena druhá možnost. S využitím vztahů (3.36) a (3.37) přepíšeme rovnici (3.30) do tvaru ρ k ( ) ( ) t + ρu k ξ x ξ + η k k x + ρv ξ y η ξ + η k y = η ( )] ( )] k = ξ x [A k ξ x ξ ξ + η k k x + η x [A k ξ x η η ξ + η k x + η ( )] ( )] k +ξ y [A k ξ y ξ ξ + η k k y + η y [A k ξ y η η ξ + η k y + P k ρɛ + L k. η Aproximaci členů P k a L k zatím ponecháme stranou. Konvektivní členy upravíme zavedením vztahů [8] U = ξ x u + ξ y v V = η x u + η y v a převedeme je na pravou stranu rovnice. Dostaneme ρ k t k = ρ U ρ V k + (3.38) ξ η }{{}}{{} I II ( )] ( )] k +ξ x [A k ξ x ξ ξ + η k k x +η x [A k ξ x η η ξ + η k x + η }{{}}{{} III IV ( )] ( )] k k k k +ξ y [A k ξ y +η y [A k ξ y +P k ρɛ + L k. ξ ξ + η y η }{{} V η ξ + η y η }{{} V I Nyní aproximujeme označené členy pomocí upwind schématu (členy I a II) a centrálních diferenčních formulí (členy III-VI). Diskretizaci provedeme v uzlu sítě (i j). I : II : U k = ξ ij (U ij + U ij ) k ij k i j ξ V k = η ij (V ij + V ij ) k ij k ij η + (U ij U ij ) k i+j k ij ξ + (V ij V ij ) k ij+ k ij η ( )] k III : [A k ξ x ξ ξ + η k x η ij =

45 3.6 Aproximace rovnic modelu turbulence k-ɛ 45 ( )] k IV : [A k ξ y ξ ξ + η k y η ( )] k V : [A k ξ x η ξ + η k x η ( )] k V I : [A k ξ y η ξ + η k y η ij ij ij = ( A k i+ j k ξx + η ) ξ x k A ( η i+ j k i j k ξx + η ) ξ x k η i j ξ = A ( k i+ j ξ A ( k i j ξ = = k i+j k ij ξ x i+ j ξ ξ x i j k ij k i j ξ + η x i+ + η x i k i+ j j+ k i j j+ k i+ j η k i j η ( A k i+ j k ξy + η ) ξ y k A ( η i+ j k i j k ξy + η ) ξ y k η i j ξ = A ( k i+ j ξ A ( k i j ξ = = A k ij+ = A k ij+ η A k ij η = = A k ij+ = A k ij+ η A k ij η k i+j k ij ξ y i+ j ξ ξ y i j k ij k i j ξ + η y i+ + η y i k i+ j j+ k i j j+ k i+ j η k i j η ( k ξx + η ) ( ξ x k k A η ij+ k ij ξx + η ) ξ x k η ij η ( ( ξ x ij+ ξ x ij k i+ j+ k i j+ ξ k i+ j k i j ξ + η x ij+ + η x ij = ) ) = ) ) = ) k ij+ k ij η ) k ij k ij η ( k ξy + η ) ( ξ y k k A η ij+ k ij ξy + η ) ξ y k η ij η ( ( ξ y ij+ ξ y ij k i+ j+ k i j+ ξ k i+ j k i j ξ + η y ij+ + η y ij = ) k ij+ k ij η ) k ij k ij η. Dosazením uvedených aproximací do (3.38) a vydělením celé rovnice hustotou ρ získáme k = t ij (U ij + U ij ) k ij k i j ξ (U ij U ij ) k i+j k ij ξ + ρ ij { (V ij + V ij ) k ij k ij η (V ij V ij ) k ij+ k ij η A k i+ j ( ξ) (k i+j k ij )(ξ x ij ξ x i+ j + ξ y ijξ y i+ j) + +

46 3.6 Aproximace rovnic modelu turbulence k-ɛ A k i+ j ξ η (k i+ j+ A k i j k i+ j )(ξ x ij η x i+ j + ξ y ijη y i+ j) ( ξ) (k ij k i j )(ξ x ij ξ x i j + ξ y ijξ y i j) (3.39) A k i j ξ η (k i j+ A k ij+ ξ η (k i+ j+ A k ij+ k i j )(ξ x ij η x i j + ξ y ijη y i j) + k i j+ )(η x ij ξ x ij+ ( η) (k ij+ k ij )(η x ij η x ij+ A k ij k i j )(η x ij ξ x ij ξ η (k i+ j A k ij ( η) (k ij k ij )(η x ij η x ij + η y ij ξ y ij+ ) + + η y ij η y ij+ ) + η y ij ξ y ij ) + η y ij η y ij ) } + P k ij ρ ij ɛ ij + L k ij ρ ij. Člen produkce P k v uzlu (i j) aproximujeme s využitím vztahů (3.36) a (3.37) následujícím způsobem u P k ij = τ xx ij + τ x xy u ij + v v + τ ij y ij x yy ij = ij y ij u u = τ xx ij ξ x ij + η ξ x ij + ij η ij u u v v + τ xy ij ξ y ij + η ξ y ij + ξ ij η x ij + η ij ξ x ij + ij η ij v v + τ yy ij ξ y ij + η ξ y ij = ij η ij = ( τ xx ij ξ x ij + τ xy ij ξ ) u y ij + ( τ ξ xx ij η x ij + τ xy ij η ) u y ij + ij η ij + ( τ xy ij ξ x ij + τ yy ij ξ ) v y ij + ( τ ξ xy ij η x ij + τ yy ij η ) v y ij ij η ij kde τ xx ij = 4 3 µ u u t ij ξ x ij + η ξ x ij ij η ij 3 µ v v t ij ξ y ij + η ξ y ij ij η ij 3 ρ ijk ij u u v τ xy ij = τ yx = µ t ij ξ y ij + η ξ y ij v + µ ij η t ij ξ x ij + η ij ξ x ij ij η ij τ yy ij = 3 µ u u t ij ξ x ij + η ξ x ij + 4 ij η 3 µ v v t ij ξ y ij + η ξ y ij ij η 3 ρ ijk ij ij ij

47 3.6 Aproximace rovnic modelu turbulence k-ɛ 47 a u = u i+j u i j ξ ij ξ u = u ij+ u ij η ij η v = v i+j v i j ξ ij ξ v = v ij+ v ij. η ij η Člen L k týkající se úpravy pro nízká turbulentní Reynoldsova čísla v uzlu (i j) aproximujeme L k ij = µ ij ρ ij = µ ij ρ ij ξ x ij k ij ξ (ξ x ij + ξ y ij ) k ij + η x ij η ki+ j k i j ξ k ij + η y ij = η kij+ k ij + (η x ij + η y ij ) η + ξ y ij k ij ξ Pravou stranu rovnice (3.39) označíme RHS k a derivaci k podle času na levé straně aproximujeme dopřednou diferenční formulí prvního řádu přesnosti [8]. Dostaneme k = RHS t k ij kij n = RHS k t lok kij n+ = kij n + t lok RHS k (3.40) k n+ ij kde hodnoty všech veličin vystupujících ve výrazu RHS k uvažujeme v n-té časové hladině. Explicitní schéma pro transportní rovnici pro rychlost disipace ɛ (3.) je možné odvodit analogickým způsobem jako schéma pro transportní rovnici pro turbulentní energii k. Člen L ɛ týkající se úpravy pro nízká turbulentní Reynoldsova čísla v uzlu (i j) aproximujeme. L ɛ = µ µ t ρ L ɛ ij = µ ij µ t ij ρ ij = µ ij µ t ij ρ ij = µ ij µ t ij ρ ij ( ) u y [ ( )] u ξ y y ξ + η u y = η ij ( ) ξ u y ξ y ξ ξ + η u y η }{{} Z [ ξ y ij Z i+ j Z i j ξ ( +η y η ) u ξ y ξ + η u y η }{{} Z ij ] Z ij+ Z ij + η y ij η =

48 3.6 Aproximace rovnic modelu turbulence k-ɛ 48 kde Z i+ j = ξ y i+ j u i+j u ij ξ u ij u i j Z i j = ξ y i j ξ Z ij+ Z ij = ξ y ij+ = ξ y ij u i+ j+ u i+ j + η y i+ + η y i u i j+ ξ u i j ξ Analogicky k rovnici (3.39) tedy můžeme pro ɛ psát u i+ j j+ u i j j+ + η y ij+ + η y ij u i+ j η u i j η u ij+ u ij η u ij u ij. η RHS ɛ = + ρ ij { (U ij + U ij ) ɛ ij ɛ i j ξ (V ij + V ij ) ɛ ij ɛ ij η A e i+ j (U ij U ij ) ɛ i+j ɛ ij ξ (V ij V ij ) ɛ ij+ ɛ ij η ( ξ) (ɛ i+j ɛ ij )(ξ x ij ξ x i+ j + ξ y ijξ y i+ A e i+ j ξ η (ɛ i+ j+ A e i j j) + ɛ i+ j )(ξ x ij η x i+ j + ξ y ijη y i+ j) ( ξ) (ɛ ij ɛ i j )(ξ x ij ξ x i j + ξ y ijξ y i A e i j ξ η (ɛ i j+ A e ij+ ξ η (ɛ i+ j+ A e ij+ j) ɛ i j )(ξ x ij η x i j + ξ y ijη y i j) + ɛ i j+ )(η x ij ξ x ij+ ( η) (ɛ ij+ ɛ ij )(η x ij η x ij+ A e ij ɛ i j )(η x ij ξ x ij ξ η (ɛ i+ j A e ij ( η) (ɛ ij ɛ ij )(η x ij η x ij + + η y ij ξ y ij+ ) + (3.4) + η y ij η y ij+ ) + η y ij ξ y ij ) + η y ij η y ij ) } + + C ɛ f ij P k ij ɛ ij ρ ij k ij C ɛ f ij ɛ ij k ij + L ɛ ij ρ ij kde A e = µ + µ t σ ɛ Re t ij = ρ ijk ij µ ij ɛ ij f ij = 0 f ij = 0 3 e Re t ij.

49 3.6 Aproximace rovnic modelu turbulence k-ɛ 49 Analogicky ke vztahu (3.40) platí pro ɛ ɛ n+ ij = ɛ n ij + t lok RHS ɛ (3.4) kde hodnoty všech veličin vystupujících ve výrazu RHS ɛ uvažujeme v n-té časové hladině. Hodnotu turbulentní vazkosti µ t v časové hladině n + v uzlu (i j) potom vypočítáme podle (3.) jako kde µ n+ t ij = C µ fµ n+ ij ρ n (k n+ ij f n+ µ ij = e ij ) ɛ n+ ij 5 +00Re n+ t ij. (3.43) Je zřejmé že abychom mohli uvedeným způsobem řešit rovnice modelu turbulence k-ɛ potřebujeme předepsat počáteční a okrajové podmínky pro turbulentní kinetickou energii k rychlost disipace ɛ a turbulentní vazkost µ t. Hodnoty použité v této práci a jejich stanovení je uvedeno v následující kapitole.

50 Kapitola 4 Modelování turbulentního proudění v úzkém kanálu Součástí této práce je algoritmizace dvou vybraných modelů turbulence v rámci vlastního programu pro numerický výpočet proudění a to modelu Baldwina a Lomaxe a modelu k-ɛ s úpravou pro nízká turbulentní Reynoldsova čísla. Model Baldwina a Lomaxe byl zvolen jako zástupce skupiny algebraických modelů turbulence. Při jeho použití není nutné řešit žádné parciální diferenciální rovnice a lze poměrně snadno počítat turbulentní vazkost µ t přímo ze vztahů uvedených v odstavci... Model k-ɛ byl vybrán jako zástupce dvourovnicových modelů turbulence s využitím i pro složitější typy proudění. Implementace dvourovnicového modelu v programu pro numerický výpočet turbulentního proudění je podstatně náročnější než implementace modelu algebraického některé detaily jsou uvedeny v této kapitole. Oba modely turbulence jsou aplikovány na úloze ustáleného dvourozměrného turbulentního proudění stlačitelné vazké tekutiny v úzkém obdélníkovém kanálu určeném dvěma rovnoběžnými pevnými nepropustnými stěnami. Volba této úlohy vyplývá ze skutečnosti že na katedře mechaniky Fakulty aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni je proudění tekutin v těsnících mezerách různého typu a minikanálech dlouhodobě řešeno a díky úzké spolupráci s Ústavem termomechaniky Akademie věd České republiky je možné některé výsledky vlastních numerických simulací porovnat s experimentálními výsledky získanými v Aerodynamické laboratoři ÚT AV ČR v Novém Kníně a také s výsledky vypočtenými v profesionálním výpočtovém systému ANSYS Fluent. 4. Formulace úlohy Zabýváme se turbulentním prouděním tekutiny v úzkém dvourozměrném kanálu který představuje výpočtovou oblast Ω R obr. 4. určenou hranicí Ω = Ω w Ω i Ω o. Část hranice Ω w představuje pevnou nepropustnou stěnu Ω i je část hranice kterou tekutina vstupuje do výpočtové oblasti a Ω o je část hranice kterou tekutina výpočtovou oblast opouští. Výška kanálu je h = mm a délka l = 00 mm. Dvourozměrné turbulentní proudění stlačitelné vazké tekutiny na uvedené výpočtové oblasti Ω popisujeme systémem středovaných Navierových-Stokesových rovnic podle Favra (3.) - (3.5) doplněným bud algebraickým modelem turbulence Baldwina a Lomaxe nebo dvourovnicovým modelem turbulence k-ɛ a to s úpravou pro nízká turbulentní Reynoldsova čísla podle Jonese a Laundera nebot se jedná o obtékání stěny. Dále předpokládáme že dyna- 50

51 4. Okrajové podmínky 5 mická vazkost tekutiny µ a Prandtlovo číslo P r je konstantní. Uvažujeme proudění vzduchu při běžných teplotách s dynamickou vazkostí µ = P a s a Prandtlovým číslem P r = 0 7. Pro obtékání stěny se standardně používá turbulentní Prandtlovo číslo P r t = 0 9. Úlohu řešíme v rozměrovém tvaru. Obrázek 4.: Geometrie výpočtové oblasti Ω R 4. Okrajové podmínky Okrajové podmínky jsou zadány tak aby co nejvíce odpovídaly úloze která byla experimentálně měřena v Aerodynamické laboratoři ÚT AV ČR v Novém Kníně a modelována ve výpočtovém systému ANSYS Fluent což umožňuje srovnání dosažených výsledků. Při zadávání okrajových podmínek máme samozřejmě stále na mysli střední hodnoty veličin proudového pole nikoliv jejich okamžité hodnoty. Na vstupu do výpočtové oblasti tedy na části hranice Ω i předepíšeme následující okrajové podmínky: stagnační tlak: p stag = 035P a stagnační teplotu: T stag = 94 5K úhel náběhu proudu: α = 0 derivaci termodynamické teploty ve směru jednotkového vektoru vnější normály k hranici Ω i : T n = 0 okrajovou podmínku typu ( t ij + τ ij ) n j = 0 i =. Nejdříve extrapolujeme hodnotu statického tlaku p inl z proudového pole tedy z vektoru konzervativních proměnných w = [w w w 3 w 4 ] T v příslušném kontrolním objemu sousedícím s hranicí Ω i podle vztahu p inl = (κ ) ( w 4 w + w 3 w ) κ = 4

52 4. Okrajové podmínky 5 s využitím předepsaného stagnačního tlaku p stag vypočítáme Machovo číslo na vstupu M inl = κ ( pstag p inl ) κ κ dále pomocí předepsané stagnační teploty T stag určíme teplotu na vstupu a hodnotu hustoty ze stavové rovnice T inl = T stag ( + κ ρ inl = M inl p inl r T inl r = 87. ) Stanovíme velikost rychlosti ṽ inl ṽ inl = M inl κ p inl ρ inl a celkovou měrnou energii na vstupu ẽ inl = p inl ρ inl (κ ) + ṽ inl. Vektor konzervativních proměnných na vstupu potom bude s ohledem na nulový úhel náběhu proudu dán ρ inl ρ w inl = inl ṽ inl 0. ρ inl ẽ inl Okrajové podmínky T = 0 a ( t n ij + τ ij ) n j = 0 i = vedou na nulový normálový vazký numerický tok příslušnou stranou kontrolního objemu která leží na vstupní hranici Ω i [7]. Numerické vazké toky (3.9) na vstupu tedy není vůbec potřeba počítat. Na výstupu z výpočtové oblasti tedy na části hranice Ω o předepisujeme statický tlak: p out = 37693P a derivaci termodynamické teploty ve směru jednotkového vektoru vnější normály k hranici Ω o : T n = 0 okrajovou podmínku typu ( t ij + τ ij ) n j = 0 i =. Z vektoru konzervativních proměnných w = [w w w 3 w 4 ] T v kontrolním objemu sousedícím s hranicí Ω o extrapolujeme hodnotu hustoty ρ out a složky vektoru rychlosti ũ out a ṽ out tedy ρ out = w ũ out = w w ṽ out = w 3 w

53 4.3 Implementace modelu turbulence Baldwina a Lomaxe 53 a pomocí předepsaného statického tlaku určíme celkovou měrnou energii na výstupu ẽ out = p out ρ out (κ ) + (ũ out + ṽ out). Vektor konzervativních proměnných na výstupu pak bude dán w out = ρ out ρ out ũ out ρ out ṽ out ρ inl ẽ out Okrajové podmínky T = 0 a ( t n ij + τ ij ) n j = 0 i = stejně jako na vstupu opět vedou na nulový normálový vazký numerický tok tou stranou příslušného kontrolního objemu která leží na výstupní hranici Ω o. Na pevné nepropustné stěně tedy na části hranice Ω w předepíšeme nulové složky rychlosti: ũ = 0 ṽ = 0.. Jako počáteční podmínky můžeme v celé výpočtové oblasti Ω použít hodnoty vektoru konzervativních proměnných na vstupu w inl. Dále je potřeba předepsat okrajové a počáteční podmínky týkající se použitých modelů turbulence. Jejich konkrétní podoba je popsána v následujících odstavcích. 4.3 Implementace modelu turbulence Baldwina a Lomaxe Aplikace algebraického modelu turbulence Baldwina a Lomaxe nevyžaduje žádné další úpravy použijeme přímo vztahy uvedené v odstavci.. pomocí kterých vypočítáme ve středech všech kontrolních objemů turbulentní vazkost µ ti a µ to a určíme µ t jako minimum z těchto dvou hodnot. Pouze je potřeba si uvědomit že v dolní polovině kanálu představuje proměnná y kolmou vzdálenost od dolní stěny a v horní polovině kanálu kolmou vzdálenost od horní stěny tedy že y neodpovídá druhé kartézské souřadnici středů kontrolních objemů. Turbulentní vazkost na stěně předpokládáme nulovou. 4.4 Implementace modelu turbulence k-ɛ Obecně existují dva způsoby jak zahrnout dvourovnicový model turbulence do kódu pro numerické řešení systému středovaných Navierových-Stokesových rovnic. Jednou možností je řešit systém Navierových-Stokesových rovnic a rovnice modelu turbulence odděleně v podstatě jako v laminárním případě kdy se k vazkosti µ respektive podílu µ pouze přičítá P r µ turbulentní vazkost µ t respektive podíl t P r t jak je vidět ze vztahů v odstavci 3.. Hodnoty turbulentní vazkosti µ t se používají vždy z předchozí časové hladiny. Tento způsob je popsaný a aplikovaný v této práci. Druhou možností je řešit systém středovaných Navierových-Stokesových rovnic a rovnice modelu turbulence současně.

54 4.4 Implementace modelu turbulence k-ɛ 54 Při praktické implementaci dvourovnicového modelu k-ɛ je potřeba vyřešit několik problematických otázek které nemusí být na první pohled zřejmé. Jedná se především o stanovení okrajových a počátečních podmínek pro k ɛ a µ t dále o volbu časového kroku pro řešení transportních rovnic pro k a ɛ vystupujícího ve vztazích (3.40) a (3.4) a také o celkovou strukturu programu pro výpočet turbulentního proudění především začlenění modelu turbulence. Počáteční a okrajové podmínky Model turbulence k-ɛ je tvořen dvěma parciálními diferenciálními rovnicemi pro jejichž řešení je nutné znát počáteční a okrajové podmínky pro k a ɛ. To je obecně problém protože na rozdíl od klasických okrajových podmínek jako je tlak nebo teplota o kterých máme jasnou fyzikální představu a můžeme je v reálné technické aplikaci přímo změřit nebo nastavit určit okrajové podmínky pro turbulentní veličiny k ɛ a µ t je obtížné. Určitý návod jak tyto okrajové podmínky nastavit dává [8]. Hodnotu turbulentní kinetické energie k 0 na vstupu do výpočtové oblasti Ω i určíme pomocí vztahu k 0 = 5 (T i U 0 ) kde T i je intenzita turbulence a volí se v rozmezí T i = v této práci T i = U 0 je zvoleno jako střední rychlost proudu v kanálu. Hodnotu rychlosti disipace ɛ 0 na vstupu Ω i vypočítáme podle k0 ɛ 0 = ρ C µ µ t0 kde ρ je hustota tekutiny na vstupu konstanta C µ = 0 09 a µ t0 se volí v rozmezí µ t0 = (0 00) µ zde byla s ohledem na hodnoty turbulentní vazkosti vypočtené modelem Baldwina a Lomaxe stanovena hodnota µ t0 = 0 µ = P a s. Pomocí uvedených vztahů byly tedy stanoveny následující okrajové podmínky na vstupu: k 0 = 5 m s ɛ 0 = m s 3. Tyto hodnoty jsou zároveň využity jako počáteční pro celou výpočtovou oblast. Okrajové hodnoty v uzlech na výstupní hranici Ω o extrapolujeme s prvním řádem přesnosti tedy kopírujeme hodnoty z uzlů sousedících s výstupní hranicí. Na pevné stěně Ω w předepíšeme nulové derivace k a ɛ ve směru normály k obtékané stěně tedy k n = 0 ɛ n = 0. Jinou možností je použít nulové hodnoty k i ɛ nebo nulovou hodnotu k a zvolenou nenulovou hodnotu ɛ [8]. Výpočet je realizován tak že pomocí vztahů (3.40) a (3.4) počítáme hodnoty k a ɛ pouze ve vnitřních uzlech sítě na vstupu předepisujeme stanovené hodnoty k 0 a ɛ 0 a na stěnách a výstupu extrapolujeme s prvním řádem přesnosti. Ve všech uzlech sítě kromě uzlů na stěně pak počítáme µ t podle vztahu (3.43) a na stěně předepisujeme µ t = 0. Časový krok a struktura programu Systém středovaných Navierových-Stokesových rovnic řešíme pomocí čtyřstupňové Rungeovy-Kuttovy metody s časovým krokem t stanoveným nutnou CFL podmínkou stability jak je popsáno v odstavci 3.3. Nastává otázka s jakým časovým krokem řešit rovnice

55 4.4 Implementace modelu turbulence k-ɛ 55 modelu k-ɛ a jak je vhodně provázat se čtyřstupňovou Rungeovou-Kuttovou metodou časové integrace. V této práci byla vyzkoušena následující možnost. Předpokládejme že se nacházíme v n-té časové hladině výpočtu. Známe vektor konzervativních proměnných w n a hodnoty turbulentních veličin k n ɛ n a µ n t v každé buňce (uzlu) sítě. (Důsledkem toho že diskretizaci systému Navierových-Stokesových rovnic provádíme ve středech kontrolních objemů a diskretizaci rovnic modelu k-ɛ v uzlech sítě je samozřejmě nutnost podle potřeby přepočítávat hodnoty z uzlů do středů buněk a naopak.) Podle odstavce 3.3 realizujeme první druhý a třetí krok Rungeovy-Kuttovy metody přičemž používáme stále hodnoty µ n t z n-té časové hladiny. Po třetím kroku Rungeovy-Kuttovy metody uplatníme model turbulence k-ɛ tak že stanovíme lokální časový krok t lok = t například NT = 5 NT a s tímto krokem NT-krát řešíme rovnice (3.40) (3.4) a (3.43) přičemž jako počáteční hodnoty použijeme k n ɛ n a µ n t. Po NT krocích tak získáme nové hodnoty k n+ ɛ n+ a µ n+ t které využijeme ve čtvrtém kroku Rungeovy-Kuttovy metody. Situaci schématicky znázorníme: w n k n ɛ n µ n t }{{} nutná CFL podmínka stability t k = R (w n ij µ n t ) k = R (w n ij + t k µ n t ) k 3 = R (w n ij + t k µ n t ) t lok = t NT k s = k n ɛ s = ɛ n µ s t = µ n t pro i od do NT k s+ = k s + t lok RHS s k ɛ s+ = ɛ s + t lok RHSɛ s µ s+ t = C µ fµ s+ ρ n (ks+ ) ɛ s+ k s = k s+ ɛ s = ɛ s+ µ s t = µ s+ t i = i + k n+ = k s ɛ n+ = ɛ s µ n+ t = µ s t k 4 = R (wij n + t k 3 µ n+ t ) w n+ ij = w n ij + 6 t (k + k + k 3 + k 4 ) {}}{ w n+ k n+ ɛ n+ µ n+ t

56 4.5 Numerické výsledky Numerické výsledky V tomto odstavci jsou prezentovány numerické výsledky získané výpočtem turbulentního proudění stlačitelné vazké tekutiny v úzkém kanálu jehož geometrie je podrobně popsána v sekci 4.. Všechny uvedené výpočty jsou provedeny pomocí metod popsaných v této práci a s okrajovými podmínkami uvedenými v odstavci 4.. Výpočty jsou realizovány na velmi jemné strukturované síti o počtu kontrolních objemů 40 x se zahuštěním v blízkosti stěn. Při simulacích turbulentního proudění je vyžadováno aby pro první uzel sítě u stěny platilo přibližně y + (.3). Je potřeba si uvědomit že získané výsledky jsou pouze středními hodnotami veličin proudového pole nikoliv hodnotami okamžitými. To je důsledkem použité metody pro modelování turbulentního proudění tedy středování systému Navierových-Stokesových rovnic. Jsou prezentovány jednak výsledky při použití algebraického modelu turbulence Baldwina a Lomaxe a jednak výsledky při použití dvourovnicového modelu turbulence k-ɛ s úpravou pro nízká turbulentní Reynoldsova čísla podle Jonese a Laundera. Konvergenci numerických metod v této práci měříme hodnotou rezidua definovaného vztahem ij Ω ij reziduum = ( ρ n+ ij ij Ω ij kde Ω ij je velikost kontrolního objemu Ω ij ρ n ij a ρ n+ ij ρ n ij t ) je střední hodnota hustoty ve středu Obrázek 4.: Konvergence numerické metody při využití modelu Baldwina a Lomaxe (černě) a k-ɛ (červeně)

57 4.5 Numerické výsledky 57 kontrolního objemu Ω ij v časech t n a t n+. Výpočet zastavíme když hodnota rezidua splní podmínku reziduum < ε kde ε je malá předem zvolená hodnota. Při praktických výpočtech považujeme řešení za ustálené pokud reziduum dosáhlo určité hodnoty a dále se již nemění obr. 4.. Průběh konvergence zobrazujeme jako závislost logaritmu rezidua na počtu iterací numerického výpočtu. Na obrázku 4. je znázorněn průběh konvergence pro výpočty s oběma modely turbulence. Při srovnání výsledků jsou vždy hodnoty týkající se modelu Baldwina a Lomaxe zobrazeny černě a hodnoty týkající se modelu k-ɛ červeně. Výpočty jsou díky modelům turbulence a hustotě sítě časově velmi náročné zvláště v případě využití složitějšího modelu turbulence k-ɛ. Z časových důvodů bylo nutné výpočet pomocí modelu k-ɛ ukončit po provedených iterací. Důsledkem toho je že zde uvedené výsledky nejsou ještě zcela dokonvergované. To je vidět především u profilu střední hodnoty složky rychlosti ũ obr Předpokládáme že při pokračování výpočtu dojde k vyhlazení profilu rychlosti a dosažení přibližně stejné maximální hodnoty rychlosti ve středu kanálu jako v případě výpočtu pomocí modelu turbulence Baldwina a Lomaxe obr Obrázky a 4.5 ukazují izočáry střední hodnoty hustoty ρ termodynamické teploty T a Machova čísla Ma = ũ +ṽ kde střední hodnota rychlosti zvuku ā = κ pro oba ā p ρ modely turbulence. Obrázek 4.3: Izočáry střední hodnoty hustoty při využití modelu Baldwina a Lomaxe (nahoře) a k-ɛ (dole)

58 4.5 Numerické výsledky 58 Obrázek 4.4: Izočáry střední hodnoty teploty při využití modelu Baldwina a Lomaxe (nahoře) a k-ɛ (dole) Obrázek 4.5: Izočáry střední hodnoty Machova čísla při využití modelu Baldwina a Lomaxe (nahoře) a k-ɛ (dole)