Statika 1. Úvod & Soustavy sil. Miroslav Vokáč 22. února ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč.

Transkript

1 1. přednáška Úvod & Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury 22. února 2016

2 Konzultační hodiny Ing. Miroslav Vokáč, Ph.D. Kloknerův ústav, ČVUT v Praze Šolínova Praha 6 - Dejvice Konzultační hodiny: Pondělí hod. v místnosti T9:508 Tel.: miroslav.vokac@cvut.cz URL:

3 Organizace výuky Podmínky k udělení klasifikovaného zápočtu: 1. Docházka na cvičení min. 80 %. 2. Každý student navštěvuje cvičení, kde je zapsán v KOSu. Přesun není možný. 3. Odevzdané a správně vypracované domácí úkoly. 4. Termín pro odevzdání domácího cvičení je 14 dní od jeho zadání, viz také harmonogram na Pozdní odevzdání znamená práci navíc trestný úkol. 5. Úspěšně napsaná zápočtová písemka (žádný příklad není hodnocen F). 6. V klasifikovaném zápočtu se hodnotí jednak výsledek zápočtové písemky a jednak práce během semestru (např. domácí úkoly). 7. Uzavření klasifikace v letním semestru 2015/2016 je

4 Organizace výuky Zápočtová písemka: 1. Momenty setrvačnosti. 2. Vnitřní síly na staticky určité soustavě. Pomůcky k zápočtové písemce: 1. Kalkulačka, čisté listy papíru, psací potřeby. 2. Výpis důležitých vzorců libovolného zpracování (psaný text, tiskárna PC, Xerox,...). Omezen je formát papíru na 1 list A4.

5 Organizace výuky Statistika výsledků klasifikace STATIKA I:

6 Doporučená literatura Radmila Vondrová. Statika I. Příklady. Praha : ČVUT, ISBN Czesaná Božena, Hejnová Olga. Teoretická mechanika - příklady. Praha : ČVUT, ISBN Dvořák Jiří. Stavební mechanika. Praha : SOBOTÁLES, ISBN Tadeusz Kolendowicz. Stavební mechanika pro architekty. Přeložil doc. Ing. Jiří Muk, CSc. Praha : SNTL, s.

7 Statika jako vědní obor Původ názvu statika je v řeckém slově statikós, které znamená zastavující. Po stavebních konstrukcích vyžadujeme, aby se nepřemist ovaly (neposouvaly, nepřeklápěly). Podle 1. Newtonova zákona (zákona setrvačnosti) setrvává těleso v klidu nebo rovnoměrném pohybu, jestliže na těleso působí rovnovážná soustava sil. Statika jako klasická vědní teorie (založená na axiomech, definicích a větách) řeší rovnováhu sil působících na tělesa a vzájemnou interakci těchto těles, která jsou v klidu. Stavební mechanika jako moderní vědní disciplína zahrnuje i vyšetřování stavu napětí v konstrukci, výpočet deformací a další oblasti pružnosti a pevnosti.

8 Síla je vektor y tuhé těleso působiště paprsek α A[x A,y A ] F systém souřadnic xy [0,0] x Každá síla působící na tuhé těleso musí být jednoznačně zadána: Velikostí síly Směrem síly Působištěm síly bod, kde se přenáší účinek síly na těleso

9 Axiomy statiky 1. Axiom o rovnováze sil Dvě síly F 1 a F 2 opačného směru ( F 1 = F 2 ) působící na tuhém tělese na stejném paprsku jsou v rovnováze. F 1 F 2

10 Axiomy statiky 2. Axiom o rovnoběžníku sil Účinek dvou sil F1 a F 2, které mají působiště ve stejném bodě, se rovná účinku výslednice F R, jejíž vektor je tvořen úhlopříčkou rovnoběžníku sil. F 2 FR F 1 Z axiomu o rovnoběžníku sil plyne: Nezáleží na pořadí při sčítání vektorů sil. Každou sílu F lze rozložit do dvou sil, jejichž paprsky se protínají na paprsku síly F.

11 Důsledky 1. axiomu statiky a 1. Newtonova zákona Z axiomu o rovnováze sil a zákona setrvačnosti plyne: F F F F F Přidám-li, nebo uberu-li, rovnovážnou soustavu působících sil na tuhé těleso, pohybový stav tělesa se nezmění. Mohu nejprve jednu rovnovážnou soustavu sil přidat, a potom jinou rovnovážnou soustavu odebrat. Posunu-li působiště síly po jejím paprsku, účinek síly na tuhé těleso se nezmění.

12 Rozdělení soustav sil Podle prostoru: y Rovinné soustavy - v souřadném systému xy Prostorové soustavy - v souřadném systému xyz F 1 z F N F 1 F N F 3 F 3 F 2 x x y F 2 Rovinná soustava sil Prostorová soustava sil

13 Rozdělení soustav sil Speciální soustavy, které mají vlastní název: Svazek sil (rovinný nebo prostorový) - paprsky všech sil se protínají v jednom bodě. Dvojice sil - dvě síly stejné velikosti opačného směru, které leží na rovnoběžných paprscích. y y F 2 F N F 1 F 1 = F 2 F2 F 1 x x Dvojice sil

14 y F 2 F N F 1 x je taková rovinná soustava, kde se všechny síly protínají v jediném bodě. Do průsečíku paprsků umist ujeme počátek souřadného systému. Hledaná výslednice nebo rovnovážná síla také prochází počátkem souřadného systému.

15 Pro každou sílu F i v rovinném svazku sil platí: +α y F iy β α F i F ix x F i = (F ix ; F iy ) F i = F i = Fix 2 + F iy 2 F ix = F i cosα F iy = F i sinα = F i cosβ cos 2 α+cos 2 β = 1 e i = (cosα; cosβ) F i = F i e i V rovině je vhodné vyjadřovat směr síly pomocí úhlu α, který má kladný směr od osy x proti směru hodinových ručiček.

16 a základní úlohy statiky 1. Výslednice F R je definována podmínkou ekvivalence: F R = F i i F Rx = i F ix F Ry = i F iy 2. Rovnovážná síla A je definována podmínkou rovnováhy: A+ F i = 0 i A x + i F ix = 0 A y + i F iy = 0 3. Rozklad síly A+ B = F A x + B x = A cosα A + B cosα B = F x A y + B y = A sinα A + B sinα B = F y Úloha musí být zadána tak, aby v soustavě rovnic byly 2 nezávislé neznámé.

17 Stanovení velikosti a směru výslednice ze složek F Rx a F Ry U svazku sil se všechny síly protínají v jednom bodě, kterým prochází i výslednice F R. Její velikost je F R = FRx 2 + F Ry 2 Směr se určí např. pomocí ϕ = arctg F Ry F Rx y +α R F R ϕ < 0 ϕ > 0 ϕ +ϕ α R = π +ϕ α R = ϕ ϕ > 0 +ϕ ϕ ϕ < 0 α R = π +ϕ α R = 2π +ϕ x Obor hodnot funkce arctg(x) je jen v intervalu π 2 ; π 2, proto se kvadrant určí ze znamének složek F Rx a F Ry. U rovnovážné síly se postupuje analogicky.

18 F N F 1 x z y F 2 je taková soustava, kde se všechny síly protínají v jediném bodě. Do průsečíku paprsků umist ujeme počátek souřadného systému. Hledaná výslednice nebo rovnovážná síla také prochází počátkem souřadného systému. Matematické vztahy používané ve 2D se jen rozšíří o třetí rozměr na 3D.

19 x Pro každou sílu F i v prostorovém svazku sil platí: F ix z F iz α γ β F i F iy y F i = (F ix ; F iy ; F iz ) F i = F i = Fix 2 + F iy 2 + F iz 2 F ix = F i cosα F iy = F i cosβ F iz = F i cosγ cos 2 α+cos 2 β + cos 2 γ = 1 e i = (cosα; cosβ; cosγ) F i = F i e i Ve 3D se směr síly určuje směrovými kosíny, tj. směrovým vektorem. Jen 2 úhly jsou nezávislé, třetí se určí z podmínky cos 2 α+cos 2 β + cos 2 γ = 1. Pokud používáme kosíny, potom nezávisí na směru, kterým je úhel měřen.

20 a základní úlohy statiky 1. Výslednice F R = F i i F Rx = i F ix F Ry = i F iy F Rz = i F iz Velikost F R = FRx 2 + F Ry 2 + F Rz 2 Složky směrového vektoru výslednice F R : cosα = F Rx F R cosβ = F Ry F R cosγ = F Rz F R

21 a základní úlohy statiky 2. Rovnovážná síla A+ F i = 0 i A x + i A y + i A z + i F ix = 0 F iy = 0 F iz = 0 Velikost rovnovážné síly a její směr se určí analogicky jako u výslednice.

22 a základní úlohy statiky 3. Rozklad síly A+ B + C = F A x + B x + C x = A cosα A + B cosα B + C cosα C = F x A y + B y + C y = A cosβ A + B cosβ B + C cosβ C = F y A z + B z + C z = A cosγ A + B cosγ B + C cosγ C = F z Úloha musí být zadána tak, aby v soustavě rovnic byly 3 nezávislé neznámé. Úhly α, β a γ jsou na sobě závislé (cos 2 α+cos 2 β + cos 2 γ = 1).

23 y F 1 F N F 2 F 3 x Velikost a směr výslednice (nebo rovnovážné síly) lze určit jako u svazku sil. Není ale předem známo, kterým bodem výslednice prochází, jako u svazku sil. Působiště se určí z momentové podmínky.

24 Moment síly k bodu y d F M 0 = F.d 0 x Ve 2D lze moment k bodu definovat jako součin velikosti síly a vzdálenosti paprsku od bodu: M 0 = Fd Základní jednotka: N m Odvozené jednotky: kn m, MN m, N mm,... Znaménko závisí na působišti a orientaci síly! Snadnější je počítat moment jako součet momentů od složek F x a F y.

25 Moment síly k bodu y F y +α y F [x F,y F ] F F x M A A[x A,y A ] M 0 0[0, 0] x F x 1. Moment síly k počátku systému souřadnic 0[0; 0] M 0 = F y x F F x y F = F(x F sinα y F cosα) 2. Moment síly k bodu A[x A ; y A ] M A = F y (x F x A ) F x (y F y A ) M A = F [(x F x A ) sinα (y F y A ) cosα]

26 a základní úlohy statiky 1. Výslednice F R = F i i F Rx = i F ix F Ry = i F iy M 0,R = i M 0,Fi Ze složek F Rx a F Ry se určí velikost F R a směr α R výslednice jako u rovinného svazku sil. Momentovou podmínkou je dána rovnice paprsku výslednice: F Ry x R F Rx y R = M 0,R Působiště F R získám tak, že jednu souřadnici (např. x R ) v rovnici přímky zvolím a druhou dopočtu. Pokud F Rx = F Ry = 0, ale M 0,R 0, potom je výslednicí (nebo rovnovážnou silou) dvojice sil.

27 a základní úlohy statiky 2. Rovnovážná síla A+ F i = 0 i A x + i A y + i M 0,A + i F ix = 0 F iy = 0 M 0,Fi = 0 Ze složek A x a A y se určí velikost A a směr α A jako u rovinného svazku sil. Momentovou podmínkou je dána rovnice paprsku: A y x A A x y A = M 0,A

28 a základní úlohy statiky 3. Rozklad síly A+ B = F A x + B x = F x A y + B x = F y M 0,A + M 0,B = M 0,F Úloha musí být zadána tak, aby v soustavě rovnic byly 3 nezávislé neznámé. Např. u síly A je znám paprsek a u síly B jen bod, kterým prochází.

29 Dvojice sil y M A = Fd F d A F F Rx = i F ix = 0 M 0 = Fd 0 Moment M = Fd je stejný k libovolnému bodu roviny. Znaménko momentu je podle orientace sil. x F Ry = F iy = 0 i M 0,R = M 0,Fi 0 i

30 V praxi se pro součtové podmínky rovnováhy používají značky: : : Pro momentovou podmínku např. k bodu b se používá značka: b : Příklad: : F 1y + F 2y + +A y + B y = 0 : F 1x + F 2x + +A x + B x = 0 b : Mb,F1 + M b,f2 + +M b,a + M b,b = 0 Součtovou podmínku rovnováhy : nebo : mohu nahradit momentovou podmínkou, která nebyla v soustavě rovnic použita. V tomto případě k libovolnému bodu roviny mimo bod b.

31 z F N FR M R F 1 x F 2 V prostoru jsou 3 podmínky součtové ve směru os x, y, z a 3 podmínky momentové kolem os x, y, z. Výslednice (nebo rovnovážná síla) nemusí být tvořena jednou silou, proto se vyjadřuje jako bivektor, tj. dvojice vektorů s působištěm v počátku [0; 0; 0]: F R = (F Rx ; F Ry ; F Rz ) a M R = (M x,r ; M y,r ; M z,r ) F 3 y

32 F Moment síly k osám souřadného systému x, y, z Moment je obecně definován jako vektorový součin M 0 = r F. x M x 0 z M z r = (x F ;y F ;z F ) M 0 = r F M y y Složky vektoru M 0 : M x,f = F z.y F F y.z F M y,f = F x.z F F z.x F M z,f = F y.x F F x.y F (viz 2D) Pravidlo pravé ruky: Palec pravé ruky ve směru momentového vektoru, prsty ukazují kladný směr otáčení momentu.

33 Pravidlo pravé ruky Jestliže palec pravé ruky je ve směru momentového vektoru, potom prsty ukazují kladný směr otáčení momentu.

34 a základní úlohy statiky 1. Výslednice F R = F i i F Rx = i F ix F Ry = i F iy F Rz = i F iz M x,r = i M x,fi M y,r = i M y,fi M z,r = i M z,fi

35 a základní úlohy statiky 2. Rovnovážná síla A+ i F i = 0 A x + i F ix = 0. M x,a + i M x,fi = 0.

36 Co je to svazek sil? Jakou soustavu nazýváme dvojice sil? Jak definujeme výslednici soustavy sil? Jak definujeme rovnovážnou sílu soustavy sil? Jak definujeme podmínku rovnováhy?

37 Konec přednášky Děkuji za pozornost. Vysázeno systémem L A T E X. Obrázky vytvořeny v systému.