Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.1

Transkript

1 Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle Petr Šimeček Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.1

2 Data z gyroskopu na kyvadle Data: 2 vzorky: RFILE, SIM frekvence 0.1s pozorování Proměnné: čas (resp. mikročas) úhel (problém - diskretizace) gyro (jednotky?) teplota Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.2

3 Data - graf gyro Index Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.3

4 RFILE - závislost úhlu a gyra Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.4

5 Naivní model gyro = β 0 + β 1 duhel + ɛ kde duhel je úhlová rychlost, tj. v našem případě (numericky spočítaná) derivace proměnné úhel. Problémy: závislost na teplotě (+β 2 teplota) diskretizace úhlu (viz dále, modelujeme jako další šum) časový posun - viz obr. Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.5

6 gyro SIM - závislost duhlu a gyra derivace uhlu Analy za reziduı gyroskopu umı ste ne ho na kyvadle p.6

7 Naivní model pro SIM Pokud modelujeme jako gyro = β 0 + β 1 duhel + β 2 teplota + ɛ, potom nám rezidua tohoto modelu silně korelují s proměnnou úhel. Přirozeně tedy můžeme přejít k vylepšenému modelu: gyro = β 0 + β 1 duhel + β 2 teplota + β 3 uhel + ɛ. Odhady koeficientů β jsou nekorelované. Tento model však nemá fyzikální interpretaci. Co je špatně? Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.7

8 Odhady v naivním a vylepšeném modelu > lm(gyro duhel,data=ndata) Call: lm(formula = gyro duhel, data = ndata) Coefficients: (Intercept) duhel Residual standard deviation: > lm(gyro duhel+uhel+t,data=ndata) Call: lm(formula = gyro duhel + uhel + t, data = ndata) Coefficients: (Intercept) duhel uhel t Residual standard deviation: Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.8

9 SIM - rezidua naivního modelu a úhel Rezidua linearniho modelu + LOESS Index Uhel Index Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.9

10 Řešení simulace Zkusme generovat gyro = duhel = 45 cos ( 45 cos ( cas ) ( ) cas ) N(0, 1) kde použité konstanty jsou vhodně zvoleny tak, aby výsledná řada byla podobná té naší. Závislost na teplotě pro tuto chvíli zanedbáváme (předpokládáme, že už jsme provedli korekci). Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.10

11 Simulace - graf sim. gyro Index Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.11

12 y 0 Simulace - závislost duhlu a gyra dx Analy za reziduı gyroskopu umı ste ne ho na kyvadle p.12

13 Simulace odhad směrodatné odchylky rozptylu Z takto nasimulovaných hodnot se pokusme nyní odhadnout rozptyl za pomoci vylepšeného modelu (proměnnou úhel získáme jako vyintegrováním duhel), celý postup 100krát opakujme. Odhad směrodatné odchylky rozptylu (skutečná hodnota 200): Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.13

14 Simulace s diskretizací Předpokládáme, že duhel měříme na stupnici s dílkem 0.9, potom duhel = 0.9konst + R( 0.45, 0.45) gyro =... + ɛ + β 1 R( 0.45, 0.45) Odhady v lineárním modelu "fungují" i když rezidua nejsou normální (za dostatečného počtu dat na základě CLV i testování hypotéz). Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.14

15 Simulace - závislost duhlu a gyra y 0 Simulace s posunem casu a kvantovanim dxp Analy za reziduı gyroskopu umı ste ne ho na kyvadle p.15

16 Simulace s diskretizací - korekce Platí tedy rozptyl rezidui = rozptyl nah. chyby+β 2 1rozptyl R( 0.45, 0.45) Není tedy problém spočítat korekci pro směr. odchylky chyb Výsledek: SD new = SD 2 old ˆβ Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.16

17 Gyro - korekce Diskretizovaný je úhel (nikoli duhel), ve vylepšeném modelu tedy máme 2 efekty diskretizace. Chyba = ɛ + β 2 3R( 0.09, 0.09) + β 2 1S(0.09, 0.1), kde pod S(a,b) máme na mysli rozdělení, jež je pro vznikne transformací z X,Y R( a,a) jako X Y 2b. Příslušná korekce SD new = Výsledek pro SIM gyroskop: SD 2 old ˆβ ˆβ Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.17

18 Návrh řešení pro situaci bez referenčního měření Nutno mít opravdu HODNĚ pozorování odstranit závislost na teplotě (není nutné mít všechna data v paměti) spočítat součty K pozorování (kde K > 1000 perioda) spočítat směr. odchylku těchto součtů SD old směr. odchylka gyroskopu je potom přibližně K SDold Analýza reziduí gyroskopu umístěného na kyvadle p.18