Karta předmětu prezenční studium

Transkript

1 Karta předmětu prezenční studium Název předmětu: Číslo předmětu: Garantující institut: Garant předmětu: Numerické metody a statistika (NMS) Katedra matematiky a deskriptivní geometrie doc. RNDr. Radek Kučera, Ph.D. Kredity: 6 Povinnost: povině volitelný Úroveň studia: pregraduální Jazyk výuky: čeština Ročník: 1 Semestr: letní Odkaz na web: Určeno pro fakulty: HGF Určeno pro typ studia: Způsob zakončení: Zápočet a zkouška Rozsah výuky: 2+2 Prerekvizity: Korekvizity: Vyskytuje se v prerekvizitách: Předmět nemá žádné prerekvizity. nemá ne Výstupy z učení - student prokazuje znalosti: numerických metod řešení statistických metod pro analýzu dat algoritmů a programovacích prostředků - student umí: bakalářské rozeznat úlohy, které lze řešit numerickými postupy, a umět vybrat vhodnou numerickou metodu řešení; posoudit, zda vypočítané řešení je dostatečně přesné, případně určit příčiny, které neumožňují dosáhnout dané přesnosti; - student je schopen: volit a využít vhodné statistické metody pro analýzu dat; navrhnout algoritmický postup řešení úlohy a vybrat vhodný programovací prostředek. Metody výuky (zastoupení jednotlivých metod je třeba kvantifikovat v %) přednášky - 35 %

2 cvičení - 35 % Samostatná práce - 30 % Anotace V rámci přednášek a cvičení budou probrány základní numerické metody matematické analýzy a lineární algebry a některé statistické metody. Z oblasti metod matematické analýzy se jedná zejména o řešení nelineárních rovnic a jejich soustav, interpolaci a aproximaci dat, numerický výpočet integrálu, numerické derivování a řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Mezi probírané metody lineární algebry patří přímé a iterační metody řešení soustav lineárních rovnic, efektivní výpočty inverzních matic a determinantů a některé metody pro výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů. Pozornost je věnována také posouzení vlivu chyb, které mohou podstatně ovlivnit výsledky numerických výpočtů. Z oblasti statistiky bude ukázáno zpracování statistického souboru s jedním a více argumenty, odhady parametrů a testování hypotéz. Povinná literatura Kučera, R.: Numerické metody, Skriptum VŠB-TU Ostrava, (na 2. Otipka, P., Šmajstrla, V.: Pravděpodobnost a statistika. Skriptum VŠB-TU Ostrava, (na Doporučená literatura 1. Kubíček, M., Dubcová, M., Janovská, D.: Numerické metody a algoritmy. 2. vyd., VŠCHT Praha Dalík, J.: Matematika. Numerické metody. Skriptum VUT, Brno Vitásek, E.: Numerické metody. SNTL, Praha Nauka o Zemi pro technické obory ( Nároky na zabezpečení výuky Dataprojektor Metody průběžné kontroly znalostí během semestru Znalostí v průběhu semestru jsou kontrolovány pomocí vypracování samostatných úkolů na cvičeních. Osnova přednášek 1) Obsah předmětu, problematika chyb, podmíněnost a stabilita výpočtů. 2) Řešení nelineárních rovnic, separace kořenů, nejjednodušší metody. 3) Newtonova metoda a metoda prosté iterace. 4) Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic, Gaussova eliminace a LU-rozklad. 5) Vlastní čísla a vlastní vektory, jejich numerický výpočet.

3 6) Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 7) Interpolace pomocí polynomů. 8) Interpolace pomocí splajnů. Aproximace metodou nejmenších čtverců. 9) Numerické derivování a integrování, základní vzorce. 10) Extrapolace při výpočtu integrálu. Gaussovy integrační vzorce. 11) Jednokrokové metody pro řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice. 12) Vícekrokové metody. 13) Statistický souboru s jedním a více argumenty, určení empirických charakteristik. 14) Odhady parametrů a testování hypotéz. Osnova cvičení - Otázky ke zkoušce 1) Uveďte příklady diskrétní a spojité úlohy. Co je to řád diskretizace? 2) Jak se definují chyba absolutní, relativní a jejích odhady? Jak se chyby přenášejí při provádění aritmetických operací? 3) Čím je charakteristický stabilní a nestabilní výpočet? Co vyjadřuje číslo podmíněnosti úlohy? 4) Odvoďte počítačové epsilon. Jakou má přibližně hodnotu? 5) Uveďte postupy separace kořenů u nelineárních rovnic. 6) Metoda půlení intervalu: vzorec, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 7) Metoda regula falsi: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 8) Newtonova metoda: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 9) Odvození řádu Newtonovy metody pomocí Taylorova rozvoje, věta o globální konvergenci. 10) Metoda prosté iterace, Browerova věta o pevném bodě. 11) Analýza konvergence metody prosté iterace pomocí kontrakce. 12) Gaussova eliminační metoda, její fáze a pracnost. 13) LU-rozklad, bez permutační matice, s permutační maticí. 14) Použití LU-rozkladu při řešení lineárních soustav, k výpočtu inverzní matice a determinantu. 15) Maticové normy a číslo podmíněnosti matice. Věta o řešení porušené soustavy lineárních rovnic. Příklad špatně podmíněné matice. Jak ovlivňuje špatná podmíněnost výpočet? 16) Vlastní čísla a vlastní vektory matic. Definice a výpočet. 17) Iterační metody pro řešení soustav lineárních rovnic, Jacobiova a Gauss-Seidelova. Maticový zápis metod.

4 18) Konvergence obecné iterační metody, odvození podmínek. (poslední přednáška) 19) Interpolační polynomy. Vysvětlete tři způsoby sestavení. Věta o existenci jediného řešení. 20) Chyba při interpolaci polynomem. Uveďte příklad, kdy má interpolační polynom špatné aproximační vlastnosti. 21) Interpolační splajny. (poslední přednáška) 22) Aproximace metodou nejmenších čtverců. Odvození normální soustavy lineárních rovnic. Věta o existenci jediného řešení. 23) Odvození jednoduchých a složených Newton-Cotesových vzorců pro numerický výpočet integrálu. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců. 24) Jak se odvodí chyba při numerické integraci u jednoduchých a složených integračních pravidel? 25) Výpočet integrálu se zadanou přesností: dvojný přepočet, Richardsonova extrapolace. 26) Odvození vzorců numerické derivace. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců. 27) Formulace Cauchyovy úlohy. Kdy existuje řešení? Vysvětlete pomocí obrázku, jak vypadá výpočet přibližného řešení pomocí u Eulerovy metody. 28) Jednokrokové metody.co je lokální a globální chyba a jaký mají vztah k řádu metody? 29) Vícekrokové metody. V čem je jejich přínos oproti metodám jednokrokovým? Příklady explicitních a implicitních vzorců. 30) Sestavte algoritmus prediktor-korektor. 31) Zpracování statistického souboru s jedním a více argumenty. 32) Určení empirických charakteristik statistického souboru. 33) Odhady parametrů a testování hypotéz. 34. Regresní analýza. Podmínky absolvování předmětu Název úlohy Typ úlohy Max. počet bodů (akt. za podúlohy) Min. počet bodů Zápočet a zkouška Zápočet a zkouška 100 (100) 51 Zápočet Zápočet 20 (20) 5 Zkouška Zkouška 80 (80) 30 Písemná Ústní zkouška 20 5

5 Údaje o předmětu v cizím jazyce Annotation At the lectures and exercises, basic numerical methods of mathematical analysis and linear algebra and some statistical methods will be discussed. With respect to methods of mathematical analysis, this mainly includes solving nonlinear equations and systems of nonlinear equations, data interpolation and approximation, numerical calculation of integrals, numerical differentiation and solving initial value problems for ordinary differential equations and their systems. The methods of linear algebra that are discussed include direct and iterative methods of solving systems of linear equations, efficient calculation of inverse matrices and determinants, and some methods for calculating eigenvalues and eigenvectors. Attention is also given to assessing the impact of errors, which may substantially affect the results of numerical calculations. With respect to statistics, the statistical processing of a statistical set with one or more arguments, parameter estimation and hypothesis testing will be demonstrated. Outline of lectures 1) The content of the course, the issue of errors, conditionality and stability of calculations. 2) Solving nonlinear equations, isolation of roots, the simplest methods. 3) The Newton method and the method of simple fixed-point iteration. 4) Direct methods for solving systems of linear equations, Gaussian elimination and LUdecomposition. 5) Eigenvalues and eigenvectors, their numerical calculation. 6) Iterative methods for solving systems of linear equations. 7) Polynomial interpolation. 8) Spline interpolation. Approximation using the method of least squares. 9) Numerical differentiation and integration, basic formulas. 10) Extrapolation in calculating integrals. Gaussian integration formulas. 11) One-step methods for solving initial value problems for ordinary differential equations. 12) Multiple step methods. 13) Statistical set with one or more arguments, determining the empirical characteristics. 14) Parameter estimation and hypothesis testing. Outline of exercises - Exam Questions topics 1) Give examples of a discrete and continuous task. What is the order of discretisation?

6 2) What is the definition of absolute error, relative error and their estimates? How are errors transfer when performing arithmetic operations? 3) What is characteristic of a stable and an unstable calculation? What does the condition number express? 4) Derive the computer epsilon. What is its approximate value? 5) Describe the process for isolating roots for nonlinear equations. 6) The bisection method: the formula, explain the process of calculation shown in the figure, the termination criterion. 7) The false-proposition method: derive the formula, explain the process of calculation shown in the figure, the termination criterion. 8) The Newton method: derive the formula, explain the process of calculation shown in the figure, the termination criterion. 9) Deriving the order of the Newton method using the Taylor expansion, the globalconvergence theorem. 10) The method of simple fixed-point iteration, the Brouwer fixed-point theorem. 11) Analysing the convergence of simple fixed-point iteration using contraction. 12) Gaussian elimination, its phases and laboriousness. 13) LU-decomposition, without a permutation matrix, with a permutation matrix. 14) Using LU-decomposition in solving linear systems, to calculate the inverse matrix and the determinant. 15) Matrix norms and condition number. The theorem on the solution to a disturbed system of linear equations. An example of an ill-conditioned matrix. How does ill-conditioning affect the calculation? 16) Eigenvalues and eigenvectors of matrices. Definition and calculation. 17) Iterative methods for solving systems of linear equations, Jacobi s and Gauss-Seidel methods. Matrix notation of the methods. 18) Convergence of the general iterative method, deriving the conditions. (the last lecture) 19) Interpolation polynomials. Explain three ways of constructing interpolation polynomials. The theorem on the existence of a single solution. 20) Error in polynomial interpolation. Give an example of a situation where the interpolation polynomial has poor approximation properties. 21) Interpolation splines. (the last lecture) 22) Approximation using the method of least squares. Deriving a normal system of linear equations. The theorem on the existence of a single solution. 23) Deriving simple and composite Newton-Cotes formulas for numerical integration. Draw pictures explaining the meaning of formulas.

7 24) How can the error in numerical integration be derived for simple and composite integration rules? 25) Integral calculation with a given accuracy: double recalculation, the Richardson extrapolation. 26) Deriving the formulas for numerical differentiation. Draw pictures explaining the meaning of formulas. 27) Formulating the Cauchy problem. When is there a solution? Use a picture to explain the calculation of an approximate solution for Euler s method. 28) One-step methods. What is local and global error and how do they relate to the order of the method? 29) Multiple step methods. What are their benefits as compared to one-step methods? Examples of explicit and implicit formulas. 30) Build a predictor-corrector algorithm. 31) Processing a statistical set with one or more arguments. 32) Determining the empirical characteristics of a statistical set. 33) Parameter estimation and hypothesis testing. 34. Regression analysis.