1 Logika, množiny, zobrazení a číselné obory
|
|
- Matěj Luděk Mašek
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 Logika, množiny, zobrazení a číselné obory 1.1 Výroková a predikátová logika Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o němž má smysl říci, že platí (je pravdivé) nebo že neplatí (je nepravdivé). Definice. Negací A výrokuarozumíme výrok: Není pravda, že platía. A A Definice. Konjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: PlatíA ib. Definice. Disjunkcí A B výroků A a B nazveme výrok: Definice. Implikací A B nazýváme výrok: A. PlatíAneboB. Jestliže platí výroka, potom platí výrokb. Výroku A v implikaci se říká premisa, výrok B se nazývá závěr. Výrok A je postačující podmínkou pro platnost B a B je nutnou podmínkou pro platnost Definice. Ekvivalencí A B nazýváme výrok: VýrokAplatí tehdy a jen tehdy, když platí výrokb. (Platnost výroku)aje nutnou a postačující podmínkou (platnosti výroku)b. Výrokovou formou budeme nazývat výraz A B A B A B A B A B A(x 1,x 2,...x m ), z něhož vznikne výrok dosazením prvkůx 1 M 1,x 2 M 2,...,x m M m z daných množin M 1,...,M m.
2 Definice. Nyní necht A(x), x M, je výroková forma. Výrok Pro všechna x M platía(x). zapisujeme ve tvaru: x M : A(x). Symbol nazýváme obecným (velkým) kvantifikátorem. Definice. Nyní necht A(x), x M, je výroková forma. Výrok Existujex M, pro které platía(x). zapisujeme ve tvaru: x M : A(x). Symbol nazýváme existenčním (malým) kvantifikátorem. Konec 1. přednášky, Množiny a množinové operace Definice. Řekneme, že množinaaje částí množiny B (nebo A je podmnožinou B), jestliže každý prvek množiny A je rovněž prvkem množiny B. Tomuto vztahu říkáme inkluze a značíme A B. Dvě množiny jsou si rovny (A = B), jestliže mají stejné prvky. Prázdnou množinou nazveme množinu, která neobsahuje žádný prvek. Označíme ji symbolem. Definice. Sjednocením množin A a B nazveme množinu vytvořenou všemi prvky, které patří alespoň do jedné z množinači B. Sjednocení množinaab značíme symbolema B. Je-li A systém množin, pak jeho sjednocení A definujeme jako množinu všech prvkůa, pro které existuje A A takové, že a A. Definice. Průnikem dvou množin A a B nazveme množinu všech prvků, které náležejí současně do A i do B. Průnik množina a B značíme symbolem A B. Mají-li dvě množiny prázdný průnik, řekneme o nich, že jsou disjunktní. Je-li A neprázdný systém množin, pak jeho průnik A definujeme jako množinu všech prvkůa, které pro každéa A splňujía A. Definice. Rozdílem množinaab (značímea\b) nazveme množinu prvků, které patří do množinyaanepatří do množinyb. Kartézským součinem množina 1,...,A n nazveme množinu všech uspořádanýchn-tic A 1 A 2 A n = {[a 1,a 2,...,a n ]; a 1 A 1,...,a n A n }.
3 Věta 1.1 (de Morganova pravidla). Necht X je množina a A je neprázdný systém množin. Pak platí X \ A = {X \A; A A} a dále X \ A = {X \A; A A}. 1.3 Zobrazení Definice. Necht A a B jsou množiny. Binární relací mezi prvky množin A a B rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu A B. Necht R A B je binární relace. Místo zápisu[a,b] R někdy píšemearb. Pokud A = B říkáme, žerje relace na A. Definice. Necht A a B jsou množiny a necht R A B je binární relace. Pak relaci R 1 B A definovanou předpisem nazýváme inverzní relací k relaci R. [x,y] R 1 [y,x] R Definice. Necht A a B jsou množiny. Binární relaci F A B nazýváme zobrazením (někdy též funkcí) z množinyado množinyb, jestliže platí x A y 1,y 2 B: ( ([x,y 1 ] F [x,y 2 ] F) y 1 = y 2 ). Definičním oborem zobrazení F nazýváme množinu D(F) = {x A; y B: [x,y] F}. Oborem hodnot zobrazení F nazýváme množinu R(F) = {y B; x A: [x,y] F}. Poznámka. Necht F je zobrazení z množiny A do množiny B. Pro každé x D(F) existuje právě jedno y takové, že [x,y] F. Takové y značíme F(x). Grafem zobrazení F rozumíme množinu{[x,f(x)]; x D(F)}. Označení. Necht A a B jsou množiny. Pak symbolem F : A B značíme fakt, že F je zobrazení z množinyado množinyb, A je definičním oboremf, obor hodnotf je podmnožinou množinyb. Definice. Necht A, B jsou neprázdné množiny a f: A B.
4 Obrazem množinyx A při zobrazení f se nazývá množina f(x) = {y B; x X: f(x) = y} = {f(x); x X}. Vzorem množinyy B při zobrazení f nazveme množinu f 1 (Y) = {x A; f(x) Y}. Definice. Necht AaB jsou množiny af: A B je zobrazení. (a) Řekneme, žef je prosté (injektivní), jestliže (b) Řekneme, žef je na (surjektivní), jestliže x,y A: (f(x) = f(y) x = y). y B x A: f(x) = y. (c) Řekneme, žef je bijekce (vzájemně jednoznačné), jestliže je zároveň prosté a na. Konec 2. přednášky, Definice. Necht A a B jsou množiny, f: A B je zobrazení a C A. Pak zobrazení g: C B definované předpisem g(x) = f(x) pro x C nazýváme restrikcí (zúžením nebo parcializací) zobrazení f na množinuc. Zobrazení g označujeme symbolemf C. Definice. Necht f ag jsou zobrazení. Pak zobrazeníg f je definováno předpisem(g f)(x) = g ( f(x) ) pro všechnax D(f) taková, žef(x) D(g). Zobrazeníg f nazýváme složeným zobrazením (složením zobrazení)f ag, přičemžg nazýváme vnějším zobrazením af nazýváme vnitřním zobrazením. Definice. Necht A a B jsou množiny a f: A B je prosté zobrazení. Pak inverzní zobrazení k f je definováno jako inverzní relace k f. Inverzní zobrazení k f značímef Mohutnost množin Definice. Říkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost a píšeme A B, jestliže existuje bijekceanab. Říkáme, že množina A má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny B a píšemea B, jestliže existuje prosté zobrazení A do B. SymbolA B značí situaci, kdya B a neplatía B.
5 Definice. Řekneme, že množina X je konečná, pokud je bud prázdná, nebo existuje n N takové, že X má stejnou mohutnost jako množina {1,...,n}. Řekneme, že množina X je nekonečná, pokud není konečná. Řekneme, že množina X je spočetná, jestliže je konečná nebo má stejnou mohutnost jakon. Nekonečná množina, která není spočetná, se nazývá nespočetná. Poznámka. Pro počet prvků konečné množiny X používáme často značení X. Dvě konečné množinyx, Y mají stejnou mohutnost právě tehdy, když X = Y. Věta 1.2 (Cantor Bernstein). Necht A,B jsou množiny takové, že A B a zároveň B A. PakAaB mají stejnou mohutnost. Definice. Necht X je množina. Potom potenční množinou množiny X rozumíme množinu P(X) všech podmnožin množiny X. Věta 1.3 (Cantor). Necht X je množina. Pak X P(X). Věta 1.4 (vlastnosti spočetných množin). (a) Podmnožina spočetné množiny je spočetná. (b) Necht zobrazení f: A N je prosté. Potom je množina A spočetná. (c) Sjednocení spočetně mnoha spočetných množin je spočetné. (d) Obraz spočetné množiny je spočetná množina. (e) Každá nekonečná množina obsahuje nekonečnou spočetnou podmnožinu. 1.5 Reálná čísla Množinu reálných čísel R lze popsat jako množinu, na níž jsou definovány operace sčítání a násobení, které budeme značit obvyklým způsobem, a relace uspořádání ( ), přičemž jsou splněny následující tři skupiny vlastností. I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení III. Axiom suprema I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah x,y,z R : x+(y +z) = (x+y)+z (asociativita sčítání), x,y R : x+y = y +x (komutativita sčítání), w R x R : w +x = x (prvek w je určen jednoznačně, značíme ho 0 a říkáme mu nulový prvek),
6 x R z R : x + z = 0 (z je tzv. opačné číslo k číslu x, je určeno jednoznačně a značíme ho x), x,y,z R : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení), x,y R : x y = y x(komutativita násobení), v R\{0} x R : v x = x (prvek v je určen jednoznačně, značíme ho 1 a říkáme mu jednotkový prvek), x R\{0} y R : x y = 1 (prvek y je určen jednoznačně a značíme ho x 1 nebo 1 x ), x,y,z R : (x+y) z = x z +y z (distributivita). II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení x,y,z R : (x y y z) x z (tranzitivita), x,y R : (x y y x) x = y (slabá antisymetrie), x,y R : x y y x, x,y,z R : x y x+z y +z, x,y R : (0 x 0 y) 0 x y. Označení. Označení x y znamená totéž co y x. Symbolem x < y budeme značit situaci, kdy x y, alex y (tzv. ostrá nerovnost). Reálná čísla, pro něžx > 0 (resp. x < 0), budeme nazývat kladnými (resp. zápornými). Reálná čísla, pro něž x 0 (resp. x 0), budeme nazývat nezápornými (resp. nekladnými). Definice. Konec 3. přednášky, Řekneme, že množina M R je omezená zdola, jestliže existuje číslo a R takové, že pro každéx M platíx a. Takové čísloase nazývá dolní závorou množinym. Analogicky definujeme pojmy množina omezená shora a horní závora. Řekneme, že množinam R je omezená, je-li omezená shora i zdola.
7 Definice. Necht M R. Číslo G R splňující x M : x G, G R,G < G x M : x > G, nazýváme supremem množinym. Poznámka. Necht M R. Má-li množina M supremum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej supm. Definice. Necht M R. Řekneme, že a je největší prvek (maximum) množiny M, jestliže a M a a je horní závorou množiny M. Analogicky definujeme nejmenší prvek (minimum) M. Maximum a minimum jsou určeny jednoznačně (pokud existují) a značíme je max M a minm. III. Axiom suprema Každá neprázdná shora omezená podmnožinarmá supremum. Věta 1.5. Existuje čtveřice (R,+,, ) splňující podmínky I III, přičemž je těmito podmínkami určena jednoznačně v následujícím smyslu. Pokud čtveřice( R,,, ) splňuje mutatis mutandis podmínky I III, pak existuje bijekceϕ:r R taková, že pro každéx,y R platí ϕ(x+y) = ϕ(x) ϕ(y), ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y), x y ϕ(x) ϕ(y). Definice. Necht M R. Číslo g R splňující x M : x g, g R, g > g x M : x < g, nazýváme infimem množinym. Poznámka. Necht M R. Má-li množina M infimum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej infm. Věta 1.6. Necht M R je neprázdná zdola omezená množina. Pak existuje infimum množiny M. Věta 1.7. Pro každér R existuje právě jedno číslok Z takové, žek r < k +1. Konec 4. přednášky, Věta 1.8. Ke každému x R existujen N splňujícíx < n. Věta 1.9. Pro každé n N a x R, x 0, existuje právě jedno y R, y 0, splňující y n = x. Věta Necht a,b R,a < b. Pak existujeq Q takové, žea < q < b.
8 1.6 Komplexní čísla Množinu komplexních čísel C definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic(a, b), kde a,b R, přičemž pro komplexní čísla x = (a,b), y = (c,d) definujeme operace sčítání a násobení takto x+y = (a+c,b+d), x y = (ac bd,ad+bc). Necht x = (a,b) C. Prvek a nazýváme reálnou částí x, prvek b nazýváme imaginární částí x. Absolutní hodnotou komplexního čísla x rozumíme a 2 +b 2. Dále definujeme 0 = (0,0), 1 = (1,0) (sic!) a i = (0,1). Komplexně sdruženým číslem k x rozumíme číslo x = (a, b); symbol x značí číslo ( a, b) a symbol 1/x značí pro x 0 (jednoznačně určené) číslo splňujícíx 1 x = 1.
9 2 Limita posloupnosti 2.1 Úvod Definice. Zobrazení přiřazující každému přirozenému číslunreálné čísloa n nazýváme posloupnost reálných čísel. Značíme{a n } n=1. Čísloa n nazvemen-tým členem této posloupnosti. Definice. Řekneme, že posloupnost{a n } je shora omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je shora omezená, zdola omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je zdola omezená, omezená, jestliže množina všech členů této posloupnosti je omezená. Definice. Řekneme, že posloupnost{a n } je neklesající, je-lia n a n+1 pro každé n N, rostoucí, je-lia n < a n+1 pro každén N, nerostoucí, je-lia n a n+1 pro každén N, klesající, je-li a n > a n+1 pro každén N. Posloupnost{a n } je monotónní, pokud splňuje některou z výše uvedených podmínek. Posloupnost{a n } je ryze monotónní, pokud je rostoucí či klesající. 2.2 Konvergence posloupnosti Definice. Řekneme, že posloupnost{a n } má limitu rovnou reálnému číslua, jestliže platí ε R,ε > 0 n 0 N n N,n n 0 : a n A < ε. Konec 5. přednášky, Věta 2.1 (jednoznačnost limity). Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Definice. Má-li posloupnost {a n } limitu rovnou číslu A R, pak píšeme lim n a n = A nebo jenom lima n = A. Řekneme, že posloupnost {a n } je konvergentní, pokud existuje A R takové, želima n = A. Věta 2.2. Necht K R, K > 0, A R. Jestliže posloupnost{a n } splňuje podmínku potomlima n = A. ε R,ε > 0 n 0 N n N,n n 0 : a n A < Kε.
10 Konec 6. přednášky, Věta 2.3. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Definice. Necht {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Jestliže{n k } k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak {a nk } k=1 se nazývá vybranou posloupností z{a n} n=1. Věta 2.4. Necht {a nk } k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti{a n} n=1. Jestliže platílim n a n = A R, pak takélim k a nk = A. Věta 2.5 (limita a aritmetické operace). Necht lima n = A R alimb n = B R. Potom platí: (a) lim(a n +b n ) = A+B, (b) lim(a n b n ) = A B, (c) je-lib 0 a b n 0 pro všechnan N, jelim(a n /b n ) = A/B. Věta 2.6. Necht lima n = 0 a necht posloupnost{b n } je omezená. Potomlima n b n = 0. Konec 7. přednášky, Věta 2.7. Necht lima n = A R. Potomlim a n = A. Věta 2.8 (limita a uspořádání). Necht lima n = A R a limb n = B R. (a) Necht existujen 0 N takové, že pro každé přirozenén n 0 jea n b n. PotomA B. (b) Necht A < B. Potom existujen 0 N takové, že pro každé přirozenén n 0 jea n < b n. Věta 2.9 (o dvou strážnících). Necht {a n }, {b n } jsou dvě konvergentní posloupnosti a {c n } je posloupnost splňující: (a) n 0 N n N,n n 0 : a n c n b n, (b) lima n = limb n. Potom existujelimc n a platílimc n = lima n. 2.3 Nevlastní limita posloupnosti Definice. Řekneme, že posloupnost{a n } má limitu, jestliže L R n 0 N n N,n n 0 : a n L. Řekneme, že posloupnost{a n } má limitu, jestliže K R n 0 N n N,n n 0 : a n K.
11 Konec 8. přednášky, Věta 2.10 (jednoznačnost limity podruhé). Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu vr. Věta 2.11 (aritmetika limit podruhé). Necht lima n = A R alimb n = B R. Potom platí: (i) lim(a n +b n ) = A+B, pokud je pravá strana definována, (ii) lim(a n b n ) = A B, pokud je pravá strana definována, (iii) lima n /b n = A/B, pokud je pravá strana definována. Věta Necht lima n = A R, A > 0, limb n = 0 a existuje n 0 N, že pro každé n N, n n 0, platíb n > 0. Paklima n /b n =. Definice. Necht M R. ČísloG R splňující x M : x G, G R,G < G x M: x > G, nazýváme supremem množinym. Infimum množinym definujeme analogicky. Konec 9. přednášky, Hlubší věty o limitě posloupnosti Věta Každá monotónní posloupnost má limitu. Věta 2.14 (Cantorův princip vložených intervalů). Necht {I n } n=1 intervalů splňující: je posloupnost uzavřených n N : I n+1 I n, lim n délkai n = 0. Potom n=1 I n je jednobodová množina. Věta 2.15 (Bolzanova-Weierstrassova věta). Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Konec 10. přednášky,
12 Definice. Necht {a n } je posloupnost reálných čísel. Pak definujeme lim n sup{a k ; k n}, jestliže je {a n } shora omezená, lim supa n = n, jestliže není {a n } shora omezená. Tuto hodnotu nazýváme limes superior posloupnosti {a n }. Obdobně definujeme limes inferior posloupnosti {a n } předpisem lim n inf{a k ; k n}, jestliže je{a n } lim inf a zdola omezená, n = n, jestliže není {a n } zdola omezená. Věta 2.16 (o vztahu limity, limes superior a limes inferior). Necht {a n } je posloupnost reálných čísel aa R. Potomlima n = A právě tehdy, když limsupa n = liminfa n = A. Věta Necht {a n },{b n } jsou posloupnosti reálných čísel,n 0 N a platía n b n pro každé n N,n n 0. Pak platí liminfa n liminfb n a limsupa n limsupb n. Definice. Necht {a n } je posloupnost reálných čísel a A R. Řekneme, že A je hromadná hodnota posloupnosti {a n }, jestliže existuje vybraná posloupnost {a nk } k=1 taková, že platí lim k a nk = A. Množinu všech hromadných hodnot posloupnosti{a n } značímeh({a n }). Věta 2.18 (o vztahu limes superior, limes inferior a hromadných hodnot). Necht {a n } je posloupnost reálných čísel. Potomlimsupa n aliminfa n jsou hromadnými hodnotami posloupnosti{a n } a pro každou hromadnou hodnotuaposloupnosti{a n } platíliminfa n A limsupa n. Konec 11. přednášky, Důsledek Necht {a n } je posloupnost reálných čísel a necht A R. Je-li lima n = A, pakh({a n }) = {A}. Definice. Necht {a n } je posloupnost reálných čísel. Řekneme, že {a n } splňuje Bolzanovu Cauchyovu podmínku, jestliže ε R,ε > 0 n 0 N m,n N,n n 0,m n 0 : a n a m < ε. Věta Posloupnost{a n } má vlastní limitu právě tehdy, když splňuje Bolzanovu Cauchyovu podmínku. Věta 2.21 (Borelova věta). Necht I je uzavřený interval a S je množina otevřených intervalů taková, žei S. Potom existuje konečná množinas 0 S taková, žei S 0.
13 3 Číselné řady 3.1 Základní pojmy Definice. Necht {a n } je posloupnost. Pro m N položme s m = a 1 +a 2 + +a m. Číslo s m nazvemem-tým částečným součtem řady n=1 a n. Prvek a n budeme nazývat n-tým členem řady n=1 a n. Součtem nekonečné řady n=1 a n nazveme limitu posloupnosti {s m }, pokud tato limita existuje. Součet řady budeme značit symbolem n=1 a n. Řekneme, že řada konverguje, je-li její součet reálné číslo. V opačném případě řekneme, že řada diverguje. Konec 12. přednášky, Věta 3.1 (nutná podmínka konvergence řady). Jestliže řada n=1 a n konverguje, pak lima n = 0. Věta 3.2. (i) Necht α R, α 0. Potom n=1 a n konverguje, právě když n=1 αa n konverguje. (ii) Necht n=1 a n a n=1 b n jsou konvergentní řady. Potom n=1 (a n +b n ) konverguje. (iii) Řada n=1 a n konverguje, právě když platí 3.2 Řady s nezápornými členy ε R,ε > 0 n 0 N n N,n n 0 m N,m > n: m j=n+1 a j < ε. Věta 3.3 (srovnávací kritérium). Necht n 0 N. Dále necht n=1 a n a n=1 b n jsou dvě řady splňující0 a n b n pro každén N,n n 0. (i) Je-li n=1 b n konvergentní, je rovněž n=1 a n konvergentní. (ii) Je-li n=1 a n divergentní, je rovněž n=1 b n divergentní. Věta 3.4 (limitní srovnávací kritérium). Necht n=1 a n a n=1 b n jsou řady s nezápornými členy a lim n a n /b n = c R. (i) Necht c (0, ). Potom n=1 a n konverguje, právě když konverguje n=1 b n. (ii) Necht c = 0. Pak konverguje-li n=1 b n, konverguje i n=1 a n. (iii) Necht c =. Pak konverguje-li n=1 a n, konverguje i n=1 b n.
14 Konec 13. přednášky, Věta 3.5 (Cauchyovo odmocninové kritérium). Necht n=1 a n je řada s nezápornými členy. Potom platí: (i) Existuje-liq (0,1) takové, že potom n=1 a n konverguje. n 0 N n N,n n 0 : n a n < q, (ii) Je-lilimsup n a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní. (iii) Je-lilim n a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní. (iv) Je-lilimsup n a n > 1, pak neplatílima n = 0 a n=1 a n je divergentní. (v) Je-lilim n a n > 1, pak neplatílima n = 0 a n=1 a n je divergentní. Věta 3.6 (d Alembertovo podílové kritérium). Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. (i) Existuje-liq (0,1) takové, že n 0 N n N,n n 0 : a n+1 a n < q, potom n=1 a n konverguje. (ii) Je-lilimsup a n+1 a n (iii) Je-lilim a n+1 a n (iv) Je-lilim a n+1 a n < 1, pak je n=1 a n konvergentní. < 1, pak je n=1 a n konvergentní. > 1, pak neplatílima n = 0 a n=1 a n je divergentní. Věta 3.7 (Raabeovo kritérium). Necht n=1 a n je řada s kladnými členy. (i) Je-lilimn ( a n a n+1 1 ) > 1, pak je n=1 a n konvergentní. (ii) Je-lilimn ( a n a n+1 1 ) < 1, pak je n=1 a n divergentní. Věta 3.8. Necht α R. Řada n=1 1/nα konverguje právě tehdy, když α > 1. Věta 3.9 (kondenzační kritérium). Necht {a n } je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel. Pak řada n=1 a n konverguje právě tehdy, když konverguje řada n=0 2n a 2 n.
15 3.3 Řady s obecnými členy Lemma 3.10 (Abelova parciální sumace). Necht m N a a 1,...,a m, b 1,...,b m jsou reálná čísla. (a) Necht n N, n m, a σ k = k j=n a j, k = n,...,m. Pak platí m a j b j = j=n m 1 j=n σ j (b j b j+1 )+σ m b m. (b) Označmes k = k j=1 a j,k = 0,...,m. Pak pro každén N, n m, platí m a j b j = s n 1 b n + j=n m 1 j=n s j (b j b j+1 )+s m b m. Konec 14. přednášky, Věta 3.11 (Abelovo-Dirichletovo kritérium). Necht {a n } a {b n } jsou posloupnosti, přičemž {b n } je monotónní. Necht je navíc splněna alespoň jedna z následujících dvou podmínek: (A) posloupnost{b n } je omezená a řada n=1 a n konverguje, (D) limb n = 0 a posloupnost částečných součtů řady n=1 a n je omezená. Pak řada n=1 a nb n konverguje. Věta 3.12 (Leibniz). Necht {a n } n=1 je monotónní posloupnost, která konverguje k 0. Pak řada řada n=1 ( 1)n a n konverguje. 3.4 Absolutní konvergence Definice. Řekneme, že řada n=1 a n je absolutně konvergentní, jestliže je řada n=1 a n konvergentní. Je-li řada n=1 a n konvergentní, ale není absolutně konvergentní, říkáme, že je neabsolutně konvergentní. Věta Je-li řada n=1 a n absolutně konvergentní, je rovněž konvergentní.
16 4 Limita a spojitost funkce 4.1 Základní pojmy Definice. Funkce f jedné reálné proměnné (dále jen funkce) je zobrazení f: M R, kde M je podmnožinou množiny reálných čísel. Definice. Funkce f: J R je rostoucí na intervalu J, jestliže pro každou dvojici x 1,x 2 J, x 1 < x 2, platí nerovnostf(x 1 ) < f(x 2 ). Analogicky definujeme funkci klesající (neklesající, nerostoucí) na intervaluj. Definice. Monotónní funkcí (resp. ryze monotónní funkcí) na intervalu J rozumíme funkci, která je neklesající nebo nerostoucí (resp. rostoucí nebo klesající) naj. Definice. Necht f je funkce a M D f. Řekneme, že funkcef je lichá, jestliže pro každé x D f platí x D f af( x) = f(x), sudá, jestliže pro každéx D f platí x D f af( x) = f(x), periodická s periodoua R, a > 0, jestliže pro každéx D f platíx+a D f, x a D f af(x+a) = f(x a) = f(x), shora omezená na M, jestliže existuje číslo K R takové, že pro všechna x M je f(x) K, zdola omezená na M, jestliže existuje číslo K R takové, že pro všechna x M je f(x) K, omezená na M, jestliže existuje číslo K R takové, že pro všechna x M je f(x) K, konstantní nam, jestliže pro všechnax,y M platíf(x) = f(y). 4.2 Limita funkce Definice. Necht c R a ε > 0. Potom definujeme okolí bodu c jako B(c,ε) = (c ε,c+ε), prstencové okolí bodu c jakop(c,ε) = (c ε,c+ε)\{c}, Okolí a prstencové okolí bodu (resp. ) definujeme takto: P(,ε) = B(,ε) = (1/ε, ), P(,ε) = B(,ε) = (, 1/ε).
17 Definice. Řekneme, že čísloa R je limitou funkce f v bodě c R, jestliže ε R,ε > 0 δ R,δ > 0 x P(c,δ): f(x) B(A,ε). To označujeme symbolem lim x c f(x) = A. Definice. Necht c R aε R,ε > 0. Potom definujeme pravé okolí boducjako B + (c,ε) = [c,c+ε), levé okolí bodu c jakob (c,ε) = (c ε,c], pravé prstencové okolí bodu c jakop + (c,ε) = (c,c+ε), levé prstencové okolí bodu c jako P (c,ε) = (c ε,c). Definice. Dále definujeme levé okolí bodu jakob (,ε) = (1/ε, ), pravé okolí bodu jakob + (,ε) = (, 1/ε), levé prstencové okolí bodu jakop (,ε) = B (,ε), pravé prstencové okolí bodu jakop + (,ε) = B + (,ε). Definice. Necht A R, c R { }. Řekneme, že funkce f má v bodě c limitu zprava rovnoua(značíme lim f(x) = A), jestliže x c+ ε R,ε > 0 δ R,δ > 0 x P + (c,δ): f(x) B(A,ε). Analogicky definujeme pojem limity zleva v bodě c R { }. Pro limitu zleva funkce f v boděcužíváme symbol lim x c f(x). Definice. Řekneme, že funkcef je spojitá v bodě c, jestliže lim x c f(x) = f(c). Konec 15. přednášky, Definice. Necht c R. Řekneme, že funkcef je v boděcspojitá zprava (resp. zleva), jestliže lim x c+ f(x) = f(c) (resp. lim x c f(x) = f(c)). Definice. Necht J R je nedegenerovaný interval (neboli obsahuje nekonečně mnoho bodů). Funkcef: J R je spojitá na intervaluj, jestliže platí: f je spojitá zprava v levém krajním bodě intervaluj, pokud tento bod patří do J, f je spojitá zleva v pravém krajním bodě intervaluj, pokud tento bod patří do J, f je spojitá v každém vnitřním boděj.
18 4.3 Věty o limitách Věta 4.1. Funkcef má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Věta 4.2. Necht funkcef má vlastní limitu v boděc R. Pak existujeδ > 0 takové, žef je na P(c,δ) omezená. Věta 4.3 (aritmetika limit). Necht c R. Necht lim x c f(x) = A R alim x c g(x) = B R. Potom platí: (i) lim x c (f(x)+g(x)) = A+B, pokud je výraza+b definován, (ii) lim x c f(x)g(x) = AB, pokud je výrazab definován, (iii) lim x c f(x)/g(x) = A/B, pokud je výraza/b definován. Konec 16. přednášky, Věta 4.4. Necht c R. Necht lim x c g(x) = 0, lim x c f(x) = A R a A > 0. Jestliže existujeη > 0 takové, že funkceg je kladná nap(c,η), paklim x c (f(x)/g(x)) =. Věta 4.5 (limita funkce a uspořádání). Mějmec R. (i) Necht limf(x) > lim g(x). x c x c Pak existuje prstencové okolí P(c,δ) takové, že platí x P(c,δ) : f(x) > g(x). (ii) Necht existuje prstencové okolíp(c,δ) takové, že platí x P(c,δ) : f(x) g(x). Necht existujílim x c f(x) a lim x c g(x). Potom platí limf(x) lim g(x). x c x c (iii) (o dvou strážnících) Necht na nějakém prstencovém okolíp(c,δ) platí f(x) h(x) g(x). Necht lim x c f(x) = lim x c g(x). Potom existuje rovněžlim x c h(x) a všechny tři limity jsou si rovny. Věta 4.6. Necht c,d,a R, lim x c g(x) = D,lim y D f(y) = A a je splněna alespoň jedna z podmínek
19 (P) η R,η > 0 x P(c,η) : g(x) D, (S) f je spojitá vd. Potomlim x c f ( g(x) ) = A. Konec 17. přednášky, Věta 4.7 (Heine). Necht c R, A R a funkce f je definována na prstencovém okolí bodu c. Pak jsou výroky (i) a (ii) ekvivalentní. (i) Platílim x c f(x) = A. (ii) Pro každou posloupnost {x n } splňující x n D(f), x n c pro všechna n N a lim n x n = c, platílim n f(x n ) = A. Věta 4.8 (limita monotónní funkce). Necht a,b R, a < b, a funkce f je monotónní na intervalu(a,b). Potom existujílim x a+ f(x) a lim x b f(x), přičemž platí: (a) Je-li f na(a, b) neklesající, pak lim f(x) = inff ( (a,b) ) a x a + (b) Je-li f na(a, b) nerostoucí, pak lim f(x) = supf ( (a,b) ) a x a + Konec 18. přednášky, lim x b f(x) = supf ( (a,b) ). lim f(x) = inff ( (a,b) ). x b 4.4 Funkce spojité na intervalu Věta 4.9 (Bolzano). Necht funkce f je spojitá na intervalu [a,b] a předpokládejme, že f(a) < f(b). Potom pro každéc (f(a),f(b)) existujeξ (a,b) takové, že platíf(ξ) = C. Lemma Necht M R a platí PakM je interval. x,y M z R : x < z < y z M. Věta 4.11 (zobrazení intervalu spojitou funkcí). Necht J je nedegenerovaný interval. Necht funkcef: J R je spojitá naj. Potom jef(j) interval. Věta Necht f je spojitá funkce na intervalu[a,b]. Potom jef na [a,b] omezená.
20 Definice. Necht M R, x M a funkce f je definována alespoň na M (tj. M D f ). Řekneme, žef nabývá v boděxmaxima (resp. minima) na M, jestliže platí y M: f(y) f(x) (resp. y M: f(y) f(x)). Bodxpak nazýváme bodem maxima (resp. minima) funkcef na množiněm. Symbolmax M f (resp.min M f) označuje největší (resp. nejmenší) hodnotu, které funkcef na množiněm nabývá (pokud taková hodnota existuje). Definice. Necht M R,x M a funkcef je definována alespoň nam (tj.m D f ).Řekneme, že funkcef má v boděx lokální maximum vzhledem k M, jestliže existuje δ > 0 takové, že pro každé y P(x,δ) M: f(y) f(x), lokální minimum vzhledem k M, jestliže existuje δ > 0 takové, že pro každé y P(x,δ) M: f(y) f(x), Věta Necht f je spojitá funkce na intervalu [a,b], kde a,b R,a < b. Potom funkce f nabývá na[a,b] své největší hodnoty (maxima) a své nejmenší hodnoty (minima). Věta 4.14 (o inverzní funkci). Necht f spojitá a rostoucí (klesající) funkce na intervalu J. Potom funkcef 1 je spojitá a rostoucí (klesající) na intervaluf(j). Konec 19. přednášky,
21 5 Derivace a elementární funkce 5.1 Definice a základní vztahy Definice. Necht f je reálná funkce aa R. Pak derivací funkce f v bodě a budeme rozumět f f(a+h) f(a) (a) = lim ; h 0 h derivací funkce f v bodě a zprava budeme rozumět f + (a) = lim h 0+ f(a+h) f(a) ; h analogicky definujeme derivaci funkce f v bodě a zleva. Věta 5.1. Necht funkcef má v boděa R vlastní derivaci. Potom je funkcef v boděaspojitá. Věta 5.2 (aritmetika derivací). Necht a R a funkce f a g jsou definované na nějakém okolí bodua. Necht existujíf (a) R a g (a) R. (a) Pak platí (f +g) (a) = f (a)+g (a), je-li výraz na pravé straně definován. (b) Je-li alespoň jedna z funkcíf, g spojitá v boděa, pak je-li výraz na pravé straně definován. (fg) (a) = f (a)g(a)+f(a)g (a), (c) Je-li funkceg spojitá v boděaanavícg(a) 0, pak je-li výraz na pravé straně definován. ( ) f (a) = f (a)g(a) f(a)g (a), g g(a) 2 Věta 5.3 (derivace složené funkce). Necht funkce g je spojitá v bodě a R a má v tomto bodě derivaci. Necht funkcef má derivaci v boděg(a). Pak je-li výraz na pravé straně definován. (f g) (a) = f (g(a))g (a),
22 Věta 5.4 (derivace inverzní funkce). Necht I je nedegenerovaný interval a necht a je vnitřním bodem I. Necht f je spojitá a ryze monotónní funkce na I. Označmeb = f(a). Pak platí následující tvrzení. (a) Má-lif v boděanenulovou derivaci, pak ( f 1 ) (b) = 1 f (a). (b) Je-lif (a) = 0 a f je rostoucí na I, pak ( f 1) (b) =. (c) Je-lif (a) = 0 a f je klesající na I, pak ( f 1) (b) =. Věta 5.5 (nutná podmínka lokálního extrému). Necht f je reálná funkce. Jestliže a je bodem lokálního extrému funkcef, potom bud f (a) neexistuje nebof (a) = Věty o střední hodnotě Věta 5.6 (Rolle). Necht funkcef má následující vlastnosti: (i) je spojitá na intervalu[a,b], (ii) má derivaci (vlastní či nevlastní) v každém bodě otevřeného intervalu(a,b), (iii) platí, žef(a) = f(b). Potom existujeξ (a,b) takové, že platíf (ξ) = 0. Věta 5.7 (Lagrange). Necht funkce f je spojitá na intervalu [a, b] a má derivaci (vlastní či nevlastní) v každém bodě intervalu(a,b). Potom existujeξ (a,b) takové, že platí f (ξ) = f(b) f(a). b a Věta 5.8 (Cauchy). Necht funkce f, g jsou spojité na intervalu[a,b] a takové, že f má derivaci (vlastní či nevlastní) v každém bodě intervalu(a,b) ag má v každém bodě intervalu(a,b) vlastní a nenulovou derivaci. Potom existujeξ (a,b) takové, že platí f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a). Konec 21. přednášky,
23 Věta 5.9 (vztah derivace a monotonie). Necht J R je nedegenerovaný interval. Necht f je spojitá na J a v každém vnitřním bodě J (množinu vnitřních bodů intervalu J označme jako intj) má derivaci. (i) Je-lif (x) > 0 pro všechna x intj, pakf je rostoucí na J. (ii) Je-lif (x) < 0 pro všechna x intj, pakf je klesající na J. (iii) Je-lif (x) 0 pro všechnax intj, pakf je neklesající naj. (iv) Je-lif (x) 0 pro všechnax intj, pakf je nerostoucí naj. Věta 5.10 (l Hospitalovo pravidlo). (i) Necht a R { },lim x a+ f(x) = lim x a+ g(x) = f 0,f ag mají na jistém pravém prstencovém okolí boduavlastní derivaci a existujelim (x) x a+. g (x) Pak f(x) lim x a+ g(x) = lim f (x) x a+ g (x). (ii) Necht a R { },lim x a+ g(x) = +,f ag mají na jistém pravém prstencovém okolí boduavlastní derivaci a existujelim x a+ f (x) g (x). Pak f(x) lim x a+ g(x) = lim f (x) x a+ g (x). Věta Necht f je spojitá zprava v bodě a R a existuje lim x a+ f (x). Potom existuje f +(a) a platí rovnost f + (a) = lim x a+ f (x). Definice. Necht n N, a R a f má vlastní n-tou derivaci na okolí bodu a. Pak (n+1)-ní derivací funkcef v boděabudeme rozumět 5.3 Konvexní a konkávní funkce f (n+1) f (n) (a+h) f (n) (a) (a) = lim. h 0 h Definice. Necht f má vlastní derivaci v boděa R. Označme T a = {[x,y] R 2 ; y = f(a)+f (a)(x a)}. Řekneme, že bod [x,f(x)] leží pod tečnou T a, jestliže f(x) < f(a)+f (a) (x a). Platí-li opačná nerovnost, řekneme, že bod[x,f(x)] leží nad tečnou T a.
24 Definice. Necht f (a) R. Řekneme, žeaje inflexním bodem funkcef, jestliže existujeδ > 0 takové, že platí (i) x (a δ,a) : [x,f(x)] leží pod tečnou T a, (ii) x (a,a+δ) : [x,f(x)] leží nad tečnout a nebo (i) x (a δ,a) : [x,f(x)] leží nad tečnout a, (ii) x (a,a+δ) : [x,f(x)] leží pod tečnou T a. Věta 5.12 (nutná podmínka pro inflexi). Necht a R je inflexní bod funkce f. Potom f (a) neexistuje nebo je rovna nule. Věta 5.13 (postačující podmínka pro inflexi). Necht funkce f má spojitou první derivaci na intervalu(a, b) a z (a, b). Necht platí: x (a,z) : f (x) > 0, x (z,b) : f (x) < 0. Potomz je inflexním bodem funkcef. Definice. Řekneme, že funkcef: I R je konvexní na intervalu I, jestliže x 1,x 2 I λ [0,1]: f(λx 1 +(1 λ)x 2 ) λf(x 1 )+(1 λ)f(x 2 ). Řekneme, že funkcef: I R je ryze konvexní na intervalu I, jestliže x 1,x 2 I,x 1 x 2 λ (0,1): f(λx 1 +(1 λ)x 2 ) < λf(x 1 )+(1 λ)f(x 2 ). Lemma Funkcef je na intervalui konvexní, právě když x 1,x 2,x 3 I,x 1 < x 2 < x 3 : f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 3) f(x 2 ) x 3 x 2. Věta Necht f je konvexní na intervalu J a necht a intj. Pak existují f + (a) R, (a) R. f Věta Necht f je konvexní na otevřeném intervaluj. Pakf je spojitá naj. Věta Necht f: (a,b) R,a < b. (i) Jestližef (x) > 0 pro každéx (a,b), pakf je ryze konvexní na(a,b). (ii) Jestližef (x) < 0 pro každéx (a,b), pakf je ryze konkávní na (a,b). (iii) Jestližef (x) 0 pro každéx (a,b), pakf je konvexní na(a,b). (iv) Jestližef (x) 0 pro každéx (a,b), pakf je konkávní na (a,b).
25 5.4 Průběh funkce Věta Necht f (a) = 0, f (a) > 0 (resp. f (a) < 0). Potom f má v a lokální minimum (resp. lokální maximum). Definice. Řekneme, že funkce x ax+b, a,b R, je asymptotou funkce f v + (resp. v ), jestliže lim (f(x) ax b) = 0, (resp. lim x + (f(x) ax b) = 0). x Věta Funkcef má v asymptotux ax+b, a,b R, právě když f(x) lim x + x = a R, lim (f(x) ax) = b R. x + Vyšetření průběhu funkce 1. Určíme definiční obor a obor spojitosti funkce. 2. Zjistíme symetrie funkce: lichost, sudost, periodicita. 3. Dopočítáme limity v krajních bodech definičního oboru. 4. Spočteme první derivaci, určíme intervaly monotonie a nalezneme lokální a globální extrémy. Určíme obor hodnot. 5. Spočteme druhou derivaci a určíme intervaly, kde funkce f je konvexní nebo konkávní. Určíme inflexní body. 6. Vypočteme asymptoty funkce. 7. Načrtneme graf funkce.
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VícePožadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
VíceI. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VíceAplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS 2012-13 Milan Pokorný MÚ MFF UK Sylabus = obsah (plán) přednášky 1. Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 2. Funkce jedné reálné
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceDefinice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí
1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá
Více1. Úvod Výroková logika Množiny a množinové operace
1. Úvod 1.1. Výroková logika Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že platí (je pravdivé) nebo že neplatí (je nepravdivé). Definice. Negací A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, že platí A. Konjukcí
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceDoporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV)
Přednáška Matematika I v prvním semestru 2013-2014 Spojení na přednášejícího a konzultace Petr Holický, Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematické analýzy Sokolovská 83, 2. patro e-mail: holicky@karlin.mff.cuni.cz
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceMatematická analýza. L. Pick a J. Spurný
Matematická analýza L. Pick a J. Spurný 25. května 200 Obsah Matematická analýza a 5 Výroky, důkazové techniky a množiny.................................... 5. Výroková a predikátová logika....................................
Více1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
VíceMatematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné)
Matematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné) 0. Úvod a opakování (značení, operace s množinami apod.) 1. Reálná čísla a jejich vlastnosti Uspořádané těleso Komutativní
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE LUBOŠ PICK Popis předmětu Jde o první část čtyřsemestrálního základního kursu matematické analýzy.
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VícePosloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
VícePosloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VícePřehled probrané látky
Přehled probrané látky 1. přednáška 5.10.2004. Organizační pokyny. Motivace - řetězovka, brachystochrona, analýza v The Art of Computer Programming D. Knutha. Co probereme v ZS: R, posloupnosti a řady,
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VícePřednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce
Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =
VíceSpojitost a limita funkce
Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více17. ledna porad te se s kolegou nebo doporučenou literaturou. Pomocí vodorovných čar jsou
Stručné poznámky z MA pro I ZS 2008/9 Robert Šámal 17. ledna 2009 Tento text se vztahuje k předmětu NMAI054, paralelka Y. Vznikl (vzniká) úpravou textu z loňska od Stanislava Hencla (děkuji!). Najdete
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Vícea = a 0.a 1 a 2 a 3...
Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceAplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
Vícemnožinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
VíceRNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni.
KMA/ZM1 Přednášky RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni sediva@kma.zcu.cz Obsah 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty.............. 4
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VíceMatematická analýza I
Matematická analýza I Zápisky z přednášek Stanislava Hencla na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 2. ledna 206 http://www.karlin.mff.cuni.cz/~hencl/ http://www.adliska.com Obsah Úvod 3.
VíceSpojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení.
funkce je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. Je důležité vědět, kdy se malá změna nějakého měření projeví málo na konečném výsledku. Zpřesňuje-li se měření, měl
VíceZobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VícePoužití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital
V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Více, f g jsou elementární funkce.
Průběh funkce použité definice a věty Definice. Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce je spojitá na
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/21 Matematická analýza ve Vesmíru. proměnné - p. 2/21 Definice. Funkcí (přesněji:
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
VíceNekonečné číselné řady. January 21, 2015
Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Více1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
VícePrincip rozšíření a operace s fuzzy čísly
Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
Více