Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo."

Richard Vopička
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé -tice prvů, de je přirozené číslo Věta (pravidlo součinu): Počet všech uspořádaných -tic (dvojic, trojic,), jejichž první člen lze vybrat n způsoby, druhý člen po výběru prvního členu n 2 způsoby atd až -tý člen po výběru všech předcházejících členů n způsoby, je roven n n2 n Přílad: Při cestě z Ostravy do Tábora (přes Prahu) lze použít tyto dopravní prostředy: Ostrava - Praha: autobus, vla, letadlo, auto Praha - Tábor: autobus, vla, auto Kolia možnými způsoby se dostaneme z Ostravy do Tábora? Věta (pravidlo součtu): Mějme onečné množiny A, A 2,, A, teré mají po řadě n, n 2,, n prvů Jsou-li aždé dvě množiny navzájem disjuntní, tzn neobsahují žádný společný prve, pa počet prvů množiny AÈ A2ÈK A je roven n + n2+k n Přílad: Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel, v jejichž deadicém zápisu se aždá číslice vysytuje nejvýše jednou Kombinatoria tedy zoumá supiny (podmnožiny) prvů vybraných z jisté záladní množiny Nejdříve si ujasníme s jaými výběry se v praxi můžeme setat Prvním ritériem je uspořádanost výběru:

atd až -tý člen po výběru všech předcházejících členů n způsoby, je roven n n2 n Přílad: Při cestě z Ostravy do Tábora (přes Prahu) lze použít tyto dopravní prostředy: Ostrava - Praha: autobus, vla,

2 Uspořádaný výběr (variace) - záleží na pořadí prvů Neuspořádaný výběr (ombinace) - nezáleží na pořadí prvů Druhým ritériem je, zda se prvy po výběru do původní množiny vracejí či nioliv Podle toho výběry rozlišujeme na: Výběry s opaováním - vybraný prve se vrací do původní množiny Výběry bez opaování - vybraný prve se nevrací do původní množiny ) VARIACE bez opaování Definice: -členná variace z n prvů ( 0 < n ) je uspořádaná -tice sestavená ta, že aždý prve se v ní vysytuje nejvýše jednou Značíme ji (n) - variační číslo V Věta : Počet variací V (n) V ( n) = n ) 2) + ) = )! Přílad: Členové správní rady hoejového lubu volí prezidenta, viceprezidenta a revizora účtů lubu Určete, oli existuje způsobů, ja mohou být tyto funce obsazeny, víme-li, že členů rady je 8, do funcí lze volit pouze členy správní rady a žádný člen nemůže zastávat více než jednu funci 2

z n prvů ( 0 < n ) je uspořádaná -tice sestavená ta, že aždý prve se v ní vysytuje nejvýše jednou Značíme ji (n) - variační číslo V Věta : Počet variací V (n) V ( n) = n ) 2) + ) = )!

3 2) PERMUTACE bez opaování Permutace je zvláštní případ variace, de = n To znamená, že ze zadaných prvů postupně vybereme všechny Definice: Permutace z n prvů je uspořádaná n-tice sestavená ta, že aždý prve se v ní vysytuje právě jednou Značíme ji P (n) Věta : Počet permutací P (n) P( n) = Vn ( n) = = = n)! 0! Přílad: Kolia způsoby lze seřadit 8 sprinterů na startovní čáru? 3) VARIACE s opaováním Definice: -členná variace s opaováním z n prvů je uspořádaná -tice sestavená ta, že aždý prve se v ní vysytuje nejvýše -rát Značíme ji V Věta : Počet variací s opaováním V V ) = ( n n Přílad: Určete, oli čtyřciferných přirozených čísel lze sestavit z cifer,2,3 a oli jich je menších než

Přílad: Kolia způsoby lze seřadit 8 sprinterů na startovní čáru?

4 4) PERMUTACE s opaováním Definice: Permutace s opaováním je uspořádaná n-tice z různých prvů, v níž se aždý prve ni -rát opauje ( i =,, ) Značíme ji P n,, n Věta : Počet permutací s opaováním P n,, n = n! n! n! 2 Přílad: Určete, olia způsoby je možné srovnat do řady 2 šedé, 3 modré a 4 černé osty 5) KOMBINACE bez opaování Definice: -členná ombinace z n prvů ( n ) je neuspořádaná -tice sestavená ta, že aždý prve se v ní vysytuje nejvýše jednou Značíme ji (n) - ombinační číslo C Věta : Počet ombinací C (n) æ nö C ( n) = ç = èø )!! ænö ænö æn ö Platí: ç = ç =, ç = n è0ø ènø èø æ nö æ n ö a ç = ç èø èn- ø Přílad: Na výtah, do něhož můžou nastoupit nejvýše 2 osoby, čeá 6 osob a) Koli je možností, ja vybrat 2 osoby, teří pojedou? b) Koli je možností, ja vybrat 4 osoby, teré nepojedou? 4

n! n! 2 Přílad: Určete, olia způsoby je možné srovnat do řady 2 šedé, 3 modré a 4 černé osty 5) KOMBINACE bez opaování Definice: -členná ombinace z n prvů ( n ) je neuspořádaná -tice sestavená ta,

5 6) KOMBINACE s opaováním Definice: -členná ombinace s opaováním z n prvů je neuspořádaná -tice sestavená ta, že aždý prve se v ní vysytuje nejvýše -rát Značíme ji C Věta : Počet ombinací C æn+ -ö ( n+ -)! C ( n) = ç = è ø )!! Přílad: V curárně prodávají čtyři druhy záusů,kolia způsoby lze naoupit 8 záusů 5

Značíme ji C Věta : Počet ombinací C æn+ -ö ( n+ -)! C ( n) = ç = è ø )!

Podobné dokumenty

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.

Základním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo. přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme