3.3.4 Thaletova věta. Předpoklady:

Transkript

1 3.3.4 Thaletova věta Předpolady: Př. : Narýsuj ružnici ( ;5cm) a její průměr. Na ružnici narýsuj libovolný bod různý od bodů, (bod zvol jina než soused v lavici). Narýsuj trojúhelní. Má nějaou speciální vlastnost? Změř ji. ez ohledu na to, de jsme si na ružnici zvolili bod, je úhel pravý. Př. : oaž vlastnost, terou jsme objevili v předchozím příladě. Jaou vlastnost doazujeme: Poud je úseča průměrem ružnice a bod leží na ružnici, je úhel pravý předpoládáme, že bod leží na ružnici s průměrem a od tohoto předpoladu se musíme dostat tomu, že úhel je pravý. Nareslíme si obráze: β Pravý úhel je zřejmě důsledem toho, že bod leží na ružnici zusíme využít speciální vlastnosti bodů na ružnici jejich stejnou vzdálenost od středu do obrázu přidáme úseču.

2 β Trojúhelní i úhel jsme rozdělili na dvě části. Vyznačíme do obrázu poloměry ružnice. r r r β o nového jsme se dozvěděli o trojúhelnících na obrázu? Oba mají dvě shodné strany oba jsou rovnoramenné. Proti shodným stranám leží shodné úhly platí = a β =. Použijeme pravidlo, pro úhly v trojúhelníu: + β + = 80. hceme pravidlo pro úhel zbavíme se úhlů a β : + + = 80. Platí: + = + = 80. = 80 / : = 90. Tímto jsme doázali, že poud vrchol leží na ružnici, je úhel pravoúhlý. Pedagogicá poznáma: Pravděpodobnost, že by nědo z žáů doázal Thaletovu větu ze zadání je malá, soro stejně malá je pravděpodobnost, že větší část třídy bude něco mít z toho, že důaz předvedete u tabule. Já důaz u tabule dělám, ale na riticých místech dávám žáům čas, aby se sami pohnuli dál. Jde o následující oamžiy: z čeho vycházíme a am se musíme dostat, v obrázu musíme využít, že bod je na ružnici, zareslíme do obrázu úsečy. amostatné doončení důazu od poslední rady není vzácné (i dyž samozřejmě

3 není ta vybroušené jao v řešení). Př. 3: Narýsuj ružnici ( ;6cm) a úseču, terá je jejím průměrem. Najdi mimo ružnici bod ta, aby trojúhelní byl pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu. Zdá se, že nají taový bod není možné. Poud bude bod vně ružnice, bude úhel menší než 90, poud bude uvnitř bude větší než 90. Zusíme se o tom přesvědčit důazem. Vycházíme z: od leží mimo ružnici. oazujeme: Úhel není pravý. Nejdříve rozebereme polohu bodu mimo ružnici. Průsečí úsečy s ružnicí označíme zísáme dva trojúhelníy a. 3

4 Úhel je pravý (doázali jsme v předchozím příladu) úhel je pravý (dohromady s úhlem dají 80 ) úhel nemůže být pravý, protože v trojúhelníu by byly dva pravé úhly. Nyní zjistíme, jaá je situace, dyž bod leží uvnitř ruhu. Prodloužíme úseču ta, aby se protnula s ružnicí a vznil bod. Zísáváme trojúhelníy a. 4

5 Úhel je pravý (doázali jsme v předchozím příladu) úhel je menší než 90 (zbývající úhly v pravoúhlém trojúhelníu jsou menší) úhel je větší než 90 (součet úhlů a je 80 ). Pedagogicá poznáma: Žáci začnou sami protestovat, že najít bod mimo ružnici nejde, protože jsme si už v předchozím příladu doázali. Upozorním je, že to není pravda, že jsme doázali, že poud je bod na ružnici, ta je u něj pravý úhel je, ale to rozhodně neznamená, že u bodu, terý na ružnici není, by pravý úhel být nemohl (uvádím přílad ze třídou - sutečnost, že všichni žáci přítomní v této třídě jsou ze seundy, neznamená, že aždý, žá mimo tuto třídu není ze seundy (aždou hodinu nědo chybí)). Poud si myslí, že bod neexistuje, musí to doázat (a mohou lidně využít předchozí větu), čímž plynule přejdeme důazu. Žáů, teří dovedou důaz do once od oamžiu, dy doreslím do obrázu bod, je docela dost. Thaletova věta: Pro libovolný trojúhelní platí: je-li trojúhelní pravoúhlý s přeponou, pa vrchol leží na ružnici s průměrem, leží-li vrchol na ružnici s průměrem, je pravoúhlý trojúhelní s přeponou. Kružnici nad průměrem říáme Thaletova ružnice (zráceně Thaletova). Př. 4: opočítej vyznačené úhly. 63 β 48 30' 57 4' a) b) c) 5

6 63 7 Úhel je pravý (Thaletova věta) + β = 90 β = 90 = = ' 48 30' Neoznačený úhel je pravý (Thaletova věta) = 90 = = 4 30.? 57 4' Veliost neoznačeného úhlu neznáme (protilehlá strana není průměr ružnice, proto neplatí Thaletova věta) nejde určit veliost úhlu (maximálně můžeme napsat výraz = ? ). Pedagogicá poznáma: Hned na počátu řešení následujícího příladu je třeba žáy upozornit, že není možné tečnu hledat posouváním pravíta (přestože je to uvedeno v zadání). Není příliš pravděpodobné, že by přílad nědo vyřešil, proto velmi brzo začínám postrávat od tabule. Př. 5: Je dána ružnice ( ; 3 cm) a bod, = 8cm. Narýsuj tečny ružnice jdoucí bodem. Tečnu není možné rýsovat posouváním pravíta, je nutné ji najít jao spojnici dvou bodů. Tečnu máme najít jao spojnici dvou bodů, máme pouze jeden bod (bod ) nareslíme si obráze situace, terou máme zísat. 6

7 t t Pro onstruci obou tečen máme zatím jediný bod bod. Jaý další bod bychom mohli použít? Zřejmě tečný bod, ve terém se tečny dotýají ružnice. Čím se tyto body vyznačují? T t t T Zdá se, že tečna t je olmá na úseču T. Ja by se to dalo využit nalezení bodu T? Vrcholy pravých úhlů leží na Thaletově ružnici sestrojíme Thaletovu ružnici nad průměrem (tím zajistíme pravý úhel T ) a tečné body najdeme jao průsečíy této ružnice s ružnicí. 7

8 T t t T Pedagogicá poznáma: Od oamžiu, dy rozhodnete, že je nutné tečny sestrojit jao spojnice dvou bodů a nabídnete tečné body na ružnici se vždy najde nědo onstruci postrčí o další ro. Př. 6: epiš postup onstruce tečny ružnice ( ; r ) z bodu, terý leží mimo ružnici. Najdeme střed úsečy. estrojíme Thaletovu ružnici nad průměrem - tedy ružnici ( ; ) Průsečíy ružnic a l jsou tečné body T a T. Tečny t a t prochází bodem a body T a T. l. Tečna ružnice je olmá na přímu, terá spojuje střed ružnice s jejím tečným bodem. Ke onstruci tečny z bodu e ružnici využíváme Thaletovu ružnici nad průměrem. hrnutí: Trojúhelní sestrojený nad průměrem ružnice své opsané ružnice je pravoúhlý. 8