Parciální derivace. Derivace. Obyčejná derivace. Aplikace parciálních derivací - základní myšlenky. Parciální derivace

Transkript

1 Parciální derivace Derivace Derivace je matematický prostředek, který umožňuje sledovat, měřit a porovnávat ryclosti změn fyzikálníc veličin Přirozeně se tak objevuje při formulaci a popisu téměř všec dynamicky probíajícíc fyzikálníc jevů (Fyzikální popis světa tak je prezentovaný středoškolskou fyzikou je častou pouze jakousi aproximací ve které jevy probíají konstantní ryclostí - například bez derivací umíme studovat pouze rovnoměrný nebo rovnoměrně zryclený poyb) Poznámka Všude v následujícím textu budeme předpokládat, že funkce a derivace které zde vystupují jsou dostatečně ladké a rovnosti platí na dostatečně pěknýc množinác V praktickýc aplikacíc bývají tyto předpoklady zpravidla triviálně splněny, proto je pro úsporu místa nebudeme vypisovat Zájemce najde poučení v odborné literatuře Obyčejná derivace Derivace funkce y = f(x) je definována vztaem f (x) = lim f(x + ) f(x) Jedná se o veličinu udávající, jak rycle se mění funkční odnoty funkce při změnác vstupníc dat Alternativní označení je df dx Derivace f (x) je směrnice tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě [x, f(x)] Lineární aproximací funkce y = f(x) v bodě x 0 je f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Slovy: funkční odnota teď (v x) je funkční odnota před cvílí (v x 0 ) plus celková změna, která je součinem ryclosti změny (f (x 0 )) a času, za který se změna udála (x x 0 ) Parciální derivace Pro funkce dvou proměnnýc rozlišujeme parciální derivace podle jednotlivýc proměnnýc (x, y) (x, y) = lim f(x +, y) f(x, y) = lim f(x, y + ) f(x, y) Obrázek 1: Parciální derivace funkce f v bodě [2, 2] jsou derivace křivek vzniklýc na řezec rovinami x = 2 a y = 2 Jedná se o stejnou veličinu jako u obyčejné derivace, ale vždy jenom vzledem k jedné proměnné Parciální derivace f tedy udává, jak rycle se mění f při změnác veličiny x V definici a při výpočtu parciální derivace podle x je proměnná y konstantní Geometricky to je možno interpretovat tak, že studujeme křivku, která vznikne na řezu grafu funkce z = f(x, y) rovinou y = konst Alternativní označení: f x(x, y), f y(x, y) Aplikace parciálníc derivací - základní myšlenky Parciální derivace je ryclost změny funkce f(x, y) při změnác veličiny x Pokud se veličina x změní o x, funkční odnota se změní o přibližně x Pokud je veličina x známa s cybou x, veličina f je vypočítána s cybou x Pokud je u celková vnitřní energie v jednotkovém objemu tělesa (ustota tepelné energie), je u t ryclost, s jakou se tato energie mění v čase Pokud ke změně docází pomocí vedení tepla, je tato derivace rovna tepelnému toku přes ranice Pokud docází ke generování tepla v tělese (cemická reakce, elektrický proud), je tato derivace rovna tepelnému výkonu zdroje V obecném případě se oba faktory sčítají, což vede k odvození rovnice vedení tepla ze zákona zacování Jednotkou derivace je jednotka veličiny f dělená jednotkou veličiny x Analogická tvrzení jako pro veličinu x platí pro veličinu y

2 Ve fyzice často pracujeme s funkcemi, které mají spojité parciální derivace Takové funkce se nazývají ladké funkce Aplikace parciálníc derivací - příklad Příklad: Brzdná dráa L (v metrec) auta o motnosti m (v kilogramec) brzdícío z ryclosti v (v kilometrec za odinu) je dána vzorcem L = kmv 2, kde k = (m od 2 )/(kg km 2 ) Pro m = 1100 kg a v = 100 km/od je brzdná dráa 3795 m Parciální derivace podle m je L m = kv2 a pro zadané odnoty vycází L m = 00345m/kg Každý kilogram motnosti nad 1100 kg auta jedoucío ryclostí 100 km/od prodlouží brzdnou dráu o cca 35 cm Parciální derivace podle v je L v = 2kmv a pro zadané odnoty vycází L v = 0759 m/(km/od) = od Každý kilometr za odinu nad 100 km/od u auta vážícío 1100 kg prodlouží brzdnou dráu o cca 76 cm Zjednodušený vzorec pro brzdnou dráu auta s motností blízkou 1100 kg a ryclostí blízkou 100 km/od je L (m 1100) (v 100), kde motnost a ryclost se dosazují v kilogramec a metrec a brzdná dráa vycází v metrec Z parciální derivace podle v víme, že změna ryclosti o v změní brzdnou dráu přibližně o L 2kmv v Nabízí se otázka, proč s touto přibližnou informací pracovat, když změnu umíme určit i přesně, L = km(v + v) 2 k mv 2 = 2kmv v + k m( v) 2 Překvapivě, přibližný vzorec založený na derivacíc je vždy jednodušší, než přesný výpočet změny Tento efekt je možné vidět u drué mocniny, je výraznější u vyššíc mocnin a stane se fatálním u obecnýc neceločíslenýc mocnin nebo obecnějšíc funkcí Pokud náš výpočet vstupuje do komplexnějšíc inženýrskýc modelů, staly by se neřešitelnými Že s derivací jde jenom o aproximaxci vůbec nevadí, protože zapojením důmyslnýc matematickýc postupů zapracovanýc přímo v definici (limita) srážíme cybu na nulu Zákon šíření cyb (cyba nepřímo měřené veličiny) V praxi často měříme nepřímo veličinu f tak, že měříme veličiny x 1, x 2,, x n a odnotu veličiny f určíme pomocí vzorce f(x 1, x 2,, x n ) Měření každé z veličin je zatíženo cybou Je-li cyba veličiny x i rovna x i, způsobí tato odcylka to, že cyba veličiny f bude (v souladu se vzorcem pro lineární aproximaci) přibližně f x i i Celkovou cybu veličiny f můžeme určit sečtením cyb způsobenýc jednotlivými veličinami x i Častěji se však používá následující vzorec f(x 1, x 2, x n ) označovaný zákon šíření cyb Zákon šíření cyb - příklad ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 x 1 + x x n 1 2 n Kanadský empirický vzorec pro pocitovou teplotu v zimě (wind-cill factor) je W (T, v) = T 1137v T v 016, kde T je teplota (ve stupníc Celsia) a v je ryclost větru (v km/od) Teplota byla změřena 110 C s cybou 02 C a ryclost 26 km/od s cybou 5 km/od S využítím zákona šíření cyb určíme, jaký vliv mají nepřesnosti v měření na nepřesnost vypočítané veličiny Dosazením do vzorce dostáváme W ( 11, 26) = C Derivováním dostáváme T (T, v) = v016, v (T, v) = v T v 084 a po dosazení ( 11, 26) = 1289, T v ( 11, 26) = 0163 C od/km Za dané teploty a ryclosti větru způsobí nárůst teploty o jeden stupeň nárůst pocitové teploty přibližně o 13 stupně Podobně, zesílení větru o jeden kilometr za odinu způsobí snížení pocitové teploty přibližně o 016 stupně Ze zákona šíření cyb dostáváme pro cybu pocitové teploty (dosazováno bez jednotek) W = ( ) 2 + ( ) 2 = 085 C Pocitová teplota je tedy W = 202 C ± 09 C

3 Gradient Gradient je definován pro skalární funkce Gradient funkce dvou proměnnýc f(x, y): grad f = Gradient funkce tří proměnnýc f(x, y, z): grad f = (, ) (,, ) z Formálně většinou zapisujeme gradient f, kde vystupuje operátor nabla definovaný vztaem ( =,, ) z nebo = (, ) (v závislosti na počtu proměnnýc funkce f) Násobení cápeme jako parciální derivaci Gradient je v každém bodě kolmý k vrstevnici Gradient v přírodě a přírodníc zákonec s funkcí f přitom V jednorozměrném případě je gradient totéž co derivace Přesto se někdy z tradičníc důvodů respektujícíc zvyklosti oboru nemluví o derivaci, ale o gradientu Například mluvíme o gradientu teploty při studiu tepelně izolačníc vlastností izolačníc materiálů Pokud máme na mysli vrstvu z jednoo materiálu (a ne například sendvičovou stěnu), je rozložení teploty lineární a dokonce v tomto případě pojmem gradient vlastně označujeme směrnici přímky S gradientem souvisí majáková navigace při migraci živočiců Ti sledují určitý cemický podnět a poybují se ve směru největšío růstu tooto podnětu (tj ve směru gradientu) Například žralok ve vodě takto sleduje koncentraci krve Pokud je mezi žralokem a zdrojem krve proud, kerý krev unáší, nepopluje žralok rovnou čarou ke zdroji krve, ale koncentrace krve o povede po delší trase Pokud se zajímáme nejenom o směr, ale i velikost gradientu, pomůže to k posouzení jak rycle se mění veličina v prostoru (gradient je velký, jsou-li vrstevnice nausto) Síla ( F ) působící na těleso v silovém poli ve kterém je možno zavést potenciální energii (V ) je gradientem potenciální energie vynásobeným faktorem 1 (záporně vzatý gradient) F = V Pro jednorozměrnou úlou a těleso v potenciálové jámě (tj v rovnovážném stavu, kdy je minimum potenciální energie) můžeme potenciál v okolí minima aproximovat pomocí Taylorova rozvoje V (x) V V (0)x 2 + (souřadnice volíme tak, že toto minimum je pro x = 0) a je-li xv (0) V (0), potom F = V = V (0)x = kx To znamená, že síla je úměrná výcylce, stejně jako u tělesa na pružině Podobně ve vícerozměnrném případě V omogenním tíovém poli s osou z svisle naoru je gravitační potenciál (potenciální energie tělesa o jednotkové motnosti) dán vztaem φ(x, y, z) = gz a gradient je konstantní vektor φ = (0, 0, g) Proto je práce přímo úměrná potenciálu a má smysl práci (změnu potenciální energie) považovat jenom za jiné vyjádření výškovéo rozdílu (změnu souřadnice z) Dokonce je to možné interpretovat jako změnu jednotek Při proudění vody v půdě nebo v rostlinác raje roli celá řada různýc příspěvků k potenciální energii, jako gravitace, vnější tlak, osmóza, kapilarita Pro poodlnou práci někdy všecny tyto faktory přepočítáváme na odpovídající rozdíl výšek vodnío sloupce, čímž je dána piezometrická ladina Je to vlastně celková potenciální energie přepočtená na výšku vodnío sloupce Většina proudění v přírodě je způsobena gradientem veličiny, která je ybatelnou silou tooto proudění Například vítr vznikne rozdílem v prostorovém rozložení tlaku (nenulovým gradientem) Často je intenzita proudění úměrná tomuto gradientu (Fickův zákon) Například ustota toku j při difúzi vody ve dřevě je dána vztaem j = D c, kde c je koncentrace vody a D je difúzní konstanta Lineární aproximace funkce Lineární aproximací funkce z = f(x, y) v bodě (x 0, y 0 ) je f(x, y) f(x 0, y 0 ) + (x 0, y 0 ) nebo (pomocí gradientu) (x x 0 ) + (x 0, y 0 ) (y y 0 ) f(x, y) f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ) Tečná rovina ke grafu funkce z = f(x, y) vedená bodem [x 0, y 0, z 0 ], kde z 0 = f(x 0, y 0 ) má rovnici z = z 0 + (x 0, y 0 ) nebo (pomocí gradientu) (x x 0 ) + (x 0, y 0 ) (y y 0 ), z = z 0 + f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 )

4 Lineární aproximace funkce - příklad Kanadský empirický vzorec pro pocitovou teplotu v zimě (wind-cill factor) je W (T, v) = T 1137v T v 016, kde T je teplota (ve stupníc Celsia) a v je ryclost větru (v km/od) Teplota byla změřena 110 C s cybou 02 C a ryclost 26 km/od s cybou 5 km/od S využítím zákona šíření cyb určíme, jaký vliv mají nepřesnosti v měření na nepřesnost vypočítané veličiny Na předcozíc slidec jsme vypočítali W ( 11, 26) = C ( 11, 26) = 1289, T v ( 11, 26) = 0163 C od/km Za dané teploty a ryclosti větru způsobí nárůst teploty o jeden stupeň nárůst pocitové teploty přibližně o 13 stupně Podobně, zesílení větru o jeden kilometr za odinu způsobí snížení pocitové teploty přibližně o 016 stupně Přibližný vzorec pro pocitovou teplotu platný pro teploty blízké 110 C a ryclosti větru blízké 26 km/od je Tečna k vrstevnici W (T + 11) 0163(v 26) Pro z = 0 = z 0 dostáváme z tečné roviny následující: Necť f(x 0, y 0 ) = 0 Tečna k vrstevnici funkce f(x, y) na úrovni nula, tj ke křivce 0 = f(x, y), vedená bodem [x 0, y 0 ] má rovnici 0 = f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ) Implicitně definovaná funkce Mějme funkci f(x, y) dvou proměnnýc a její vstevnici na úrovni C f(x, y) = C (1) Tato rovnice za jistýc okolností může definovat y jako funkci proměnné x Věta o implicitní funkci: Uvažujme funkci f(x, y) dvou proměnnýc, splňující v nějakém bodě (x 0, y 0 ) podmínku f(x 0, y 0 ) = 0 a mající v okolí bodu (x 0, y 0 ) spojité parciální derivace Rovnice f(x, y) = 0 vrstevnice na úrovni 0 popisuje křivku procázející bodem (x 0, y 0 ) Platí-li (x 0, y 0 ) 0, je rovnicí f(x, y) = 0 v okolí bodu (x 0, y 0 ) implicitně určena právě jedna spojitá funkce y = g(x) (tj vrstevnice je v okolí bodu (x 0, y 0 ) grafem nějaké spojité funkce g) Funkce g z předcozío bodu má v x 0 derivaci (x 0,y 0) g (x 0 ) = (x 0,y 0) Lokální extrémy funkce více proměnnýc Podobně jako pro funkce jedné proměnné definujeme i pro funkce více proměnnýc lokální extrémy následovně: funkce má v daném bodě lokální minimum, pokud v nějakém okolí tooto bodu neexistuje bod s menší funkční odnotou a podobně, funkce má v bodě lokální maximum, pokud v okolí tooto bodu neexistuje bod s vyšší funkční odnotou Věta (Fermatova nutná podmínka pro lokální extrémy): Jestliže funkce více proměnnýc má v nějakém bodě svůj lokální extrém, pak každá parciální derivace, která v tomto bodě existuje, je nulová V bodě lokálnío extrému ladké funkce je tedy nulový gradient Složené funkce Derivace složené funkce f(x, y), kde x = x(u, v), y = y(u, v) je u = u + ( u = f u, ) u Derivace složené funkce f(x, y, z), kde x = x(t), y = y(t), z = z(t) (derivace podél křivky): df dt = dx dt + dy dt + ( dz dx z dt = f dt, dy dt, dz ) dt Je-li křivkou vrstevnice, je f konstantní podél křivky, derivace je nulová, protože funkční odnoty se nemění Skalární součin ( je nulový ) a gradient f je kolmý na dx tečný vektor k vrstevnici, tj na vektor dt, dy dt, dz dt

5 Druá derivace Druá derivace je derivace první derivace U funkce dvou proměnnýc připadají v úvau čtyři kombinace f, f, f, f Věta (Scwarzova) Jsou-li smíšené derivace ladké na otevřené množině, jsou zde stejné, tj platí = Vzledem k této větě existují jenom tři drué parciální derivace Je tedy bezpečné psát 2 2 f, 2 f, 2 2 f, nebo Totální diferenciál f xx, f xy, f yy Totálním diferenciálem funkce z = f(x, y) v bodě (x 0, y 0 ) nazýváme výraz df = f(x 0, y 0 ) (dx, dy) = (x 0, y 0 ) Máme-li vektorové pole F (x, y) = (M(x, y), N(x, y)), dx + (x 0, y 0 ) dy Laplaceův operátor Laplaceův operátor, je definován v kartézskýc souřadnicíc a trojrozměrném prostoru vztaem f = 2 () 2 f + 2 () 2 f + 2 (z) 2 f V prostorec jiné dimenze postupujeme analogicky, jenom vynecáme nebo přidáme derivace podle dalšíc proměnnýc Označení symbolem je stejné jako změna funkce f a je nutné tyto dva významy symbolu nezaměňovat Cceme-li se vynout nedorozumění, je možno pro označení Laplaceova operátoru používat 2 namísto Laplaceův operátor vystupuje v problémec týkajícíc se elektrickéo nebo gravitačnío potenciálu, difuze, nebo kmitů a šíření vln Vlnová rovnice popisující vlnění resp cvění je rovnice 1 c 2 2 u t 2 = 2 u Například u kmitání struny nebo membrány je v odovození této rovnice i lineární aproximace sin x x Vedení tepla v prostředí bez zdrojů nebo spotřebičů tepla je popsáno rovnicí u t = D 2 u Při ustáleném vedení tepla je derivace podle času nulová a takové vedení tepla je popsáno rovnicí 0 = 2 u Stejná rovnice popisuje proudění obecně Například proudění podzemní vody propustnými vrstvami půdy resp máme-li výraz M(x, y)dx + N(x, y)dy, může nastat otázka, zda k tomuto výrazu existuje totální diferenciál, tj zda existuje skalární funkce f, jejímž gradientem je vektorové pole F Toto je důležitá otázka ve fyzice, protože umožňuje rozodnout, ke kterému silovém poli je možno zavést potenciální energii Funkce f se v tomto kontextu nazývá skalární potenciál vektorovéo pole nebo kmenová funkce diferenciálu Věta (platí za předpokladu dostatečně ladkýc funkcí na otevřené množině): Vektor F (x, y) = (M(x, y), N(x, y)) je gradientem nějaké funkce f(x, y) právě tedy když platí M(x, y) = N(x, y)