Statistika (4ST201) Vytvoříme datový soubor, který obsahuje věk, výšku a pohlaví studentů tohoto semináře. V Excelu

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Statistika (4ST201) Vytvoříme datový soubor, který obsahuje věk, výšku a pohlaví studentů tohoto semináře. V Excelu"

Transkript

1 Statistika (4ST201) 1 Popsisná statistika (1. a 2. cvičení) 1.1 Úvodní příklad Vytvoříme datový soubor, který obsahuje věk, výšku a pohlaví studentů tohoto semináře. V Excelu určete: 1. Vytvořte histogram četností pro věk a výšku. 2. Spočtěte průměr, rozptyl, směrodatnou odchylku, kvantily (medián, dolní a horní kvartil, 95% kvantil) a modus pro věk a výšku. 3. Proveďte rozklad rozptylu výšky podle proměnné pohlaví. 1.2 Domácnosti Data najdete v souboru vypocty.xlsx. 1. List domacnosti. Zadání: U 31 domácností se sleduje 6 znaků: u (měsíční výdaje za potraviny), v (počet členů), w (průměrný věk vydělávajících členů), x (měsíční příjem), y (počet dětí), z (typ domácnosti podle hlavního zdroje příjmu). (a) Tabulky rozdělení četností pro jednotlivé znaky. (b) Histogramy četností. (c) Průměr, rozptyl, směrodatnou odchylku, kvantily, modus. (d) Proveďte rozklad rozptylu měsíčních výdajů za potraviny (proměnná u), kdy třídícím znakem je typ domácnosti podle hlavního příjmu, tj. podle proměnné z. 2. List vek. Spočítejte: aritmetický průměr, směrodatnou odchylka, medián, kvantily. 3. List zahranicni dluh. Spočítejte: tempa růstu, geometrický průměr. 1.3 Jak spočítat kvantil ze souboru hodnot Na n jednotkách jsme naměřili soubor hodnot x 1, x 2,..., x n. Uspořádaný soubor hodnot, t.j. neklesající posloupnost zapíšeme x (1) x (2)... x (n). Výběrový p-tý kvantil (0 < p < 1) definujeme vztahem { x([np]+1) np [np] x p = 1 2 (x (np) + x (np+1) ) np = [np] Výraz [np] znamená celou část čísla np, např. [5, 44] = 5, nebo [π] = 3. (1) Postupů jak určit kvantil je více, např. se může interpolovat mezi dvěma hodnotami. Proto se vám může stát, že různé softwary vám vrátí různé výsledky. Nicméně rozdíly ve výsledku, obzvlášť pro velký počet pozorování, jsou zanedbatelné. 1

2 Příklad, viz soubor vypocty.xls, list vek Máme dvanáct údajů o věku žadatelů o hypotéku. Určete medián, dolní kvartil (25% kvantil) a 97, 5% kvantil. i věk žadatelů věk žadatelů (uspořádaný) Medián: 12 0, 5 = 6, [6] = 6, tedy x 0,5 = 1 2 ( ) = 26, 5 Dolní kvartil: 12 0, 25 = 3, [3] = 3, tedy x 0,25 = 1 2 ( ) = 25 97, 5% kvantil: 12 0, 975 = 11, 7, [11, 7] = 11, tedy x 0,975 = Práce se vzorečky 1. Upravte vzorec rozptylu s 2 x = 1 n n i=1 (x i x) 2 do tzv. výpočetního tvaru s 2 x = x 2 x 2, kde x značí aritmetický průměr, tj. x = 1 n n i=1 x i. 2. Mějme n pozorování x 1, x 2..., x n a jejich rozptyl s 2 x = s 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 1 n n i=1 (x i x) 2 Ukažte, že: (a) přičteme-li ke každému pozorování x 1, x 2,..., x n stejnou konstantu, rozptyl se nezmění, (b) vynásobíme-li každé pozorování x 1, x 2,..., x n stejnou konstantou, rozptyl vzroste druhou mocninou dané konstanty. 3. Celkový rozptyl proměnné x můžeme rozložit podle třídícího znaku, který nabývá k obměn, na vnitroskupinový a meziskupinový rozptyl. Vnitroskuponový rozptyl, s 2, je vážený průměr rozptylů uvnitř skupin a meziskupinový rozptyl, s 2 x, je vážený rozptyl skupinových průměrů od celkového průměru. Vzorečky používají následující notaci: s 2 x = s 2 + s 2 x (2) = k i=1 s2 i n i k i=1 n i + k i=1 (x i x) 2 n i k i=1 n i = k i=1 1 ni n i j=1 (x ij x i ) 2 n k i i=1 k i=1 n + (x i x) 2 n i k i i=1 n i Vyjděte z definice rozptylu a proveďte rozklad rozptylu, tj. upravte celkový rozptyl do 2

3 tvaru (2): s 2 x = 1 n = 1 n = k n i (x ij x) 2 i=1 j=1 k n i (x ij x i + x i x) 2 i=1 j=1 1.5 Další příklady příklad geometrický průměr Inflace v pěti po sobě jdoucích letech postupně byla 20%, 50%, 30%, 20% a 5%. Určete průměrnou inflaci během těchto pěti let. příklad harmonický versus aritmetický průměr Auto urazí vzdálenost 20 km. Prvních 10 km jede rychlostí 60 km/hod. a zbývajících 10 km jede rychlostí 40 km/hod. Určete průměrnou rychlost auta. příklad harmonický versus aritmetický průměr Auto jede 24 minut. Prvních 12 minut jede rychlostí 60 km/hod. a zbývajících 12 minut jede rychlostí 40 km/hod. Určete průměrnou rychlost auta. příklad vážený harmonický průměr Auto jede z města A do města B rychlostí 40 km/hod., z města B do města C rychlostí 50 km/hod., a z města C do města D rychlostí 60 km/hod. Vypočítejte průměrnou rychlost celé trasy, jestliže vzdálenost mezi A a B je 5 km, mezi B a C 3 km a mezi C a D je 5 km. příklad V soukromé firmě je zaměstnáno 60 % mužů. Průměrná měsíční mzda žen je Kč. Určete průměrnou měsíční mzdu mužů, je-li průměrná měsíční mzda v celé firmě Kč. příklad Určete hodnoty tří proměnných, víte-li, že jejich aritmetický průměr je roven 33, jejich geometrický průměr je roven 30 a jejich medián je roven 25. příklad Ve firmě pracuje 20 osob s průměrným platem Kč. zaměstnanec s platem Kč odchází, nově přijatý pracovník dostává nástupní plat Kč. Jak se změní průměrný plat pracovníků ve firmě? příklad vliv konstanty na průměr a rozptyl Z denních měření teplot v měsíci srpnu byla spočten jejich průměr a směrodatná odchylka. Průměrná teplota je rovna 40 C a směrodatná odchylka teplot je 10 C. Převeďte průměrnou teplotu a směrodatnou odchylku teplot do stupňů Fahrenheita. Vztah mezi Celsiovou a Fahrenheitovou stupnicí je dán rovnicí F = 1.8C + 32, kde C jsou stupně Celsia a F jsou stupně Fahrenheita. příklad Tabulka uvádí cenu, hmotnost a odolnost vůči otřesům (ESP) přehrávačů CD MP3. Pro všechny tři sledované proměnné určete jejich aritmetický průměr, rozptyl, výběrový rozptyl, 3

4 směrodatnou odchylku, výběrovou směrodatnou odchylku, variační koeficient, medián, 25% a 75% kvantil. typ přístroje cena (Kč) hmotnost (g) ESP (sek.) Philips EXP Philips EXP Philips EXP Philips EXP Philips EXP Philips EXP Philips EXP Řešení příklad % příklad km/hod. příklad km/hod. příklad , 447 km/hod. příklad Kč. příklad x 1 = 20 x 2 = 25 x 3 = 54. příklad Klesne na Kč. příklad F = 104 F σ F = 5, 69 F příklad cena hmotnost ESP aritmetický průměr 1745,71 183,14 157,14 rozptyl ,20 36, ,98 výběrový rozptyl ,57 42, ,14 směrodatná odchylka 540,41 6,01 49,49 výběrová směrodatná odchylka 583,71 6,49 53,45 variační koeficient 0,31 0,03 0,31 medián % kvantil % kvantil

5 2 Náhodné jevy, Pravděpodobnost (3. a 4. cvičení) 2.1 Kombinatorika (není součástí přednášky, předpokládá se znalost) Permutacemi n prvků rozumíme jejich různá uspořádání. P (n) = n! Permutace s opakováním je uspořádaná n-tice, přičemž mezi vybranými prvky je k skupin, které mají postupně n 1, n 2,..., n k stejných prvků. Musí platit, že n = k i=1 n i. P n 1,...,n k (n) = n! n 1!...n k! Variace k prvků z n je uspořádaná k-tice, v níž se žádný prvek neopakuje. V k (n) = n(n 1)... (n k + 1) = n! (n k)! Variace s opakováním je uspořádaná k-tice z n prvků, v níž se prvky mohou opakovat. (n) = nk V k Kombinace k prvků z n je neuspořádaná k-tice, v níž se žádný prvek neopakuje. C k (n) = ( ) n k = V k (n) k! = n! (n k)!k! Kombinace s opakováním je neuspořádaná k-tice z n prvků, které se v ní mohou opakovat. C k (n) = ( ) n+k 1 k příklad Výbor má 10 členů 6 mužů a 4 ženy. a) Kolik je způsobů, jak zvolit předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře? b) Co když předseda a místopředseda mají být opačného pohlaví? příklad Kolika způsoby může nastoupit m chlapců a n dívek do zástupu tak, aby a) nejdříve stály dívky a pak chlapci, b) mezi žádnými dvěma chlapci nestála dívka? příklad Na večírku je n lidí. Přitukne-li si skleničkou každý s každým, kolik ťuknutí by mohlo být slyšet? příklad Musí mít aspoň dva obyvatelé městečka o 1500 obyvatelích stejné iniciály (jméno a příjmení začínají jedním ze 32 písmen)? 2.2 Pravděpodobnost klasická definice, vlastnosti Klasická definice pravděpodobnosti Nechť Ω je konečná množina stejně pravděpodobných výsledků pokusu. Potom pravděpodobností jevu A Ω nazýváme číslo P (A) = A Ω počet případů příznivých jevu A =. počet všech případů Vlastnosti pravděpodobnosti P ( ) = 0, P (Ω) = 1, P (A) = 1 P (A), P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 5

6 Nezávislost jevů Jevy A 1, A 2,, A n jsou nezávislé, jestliže {i1,i 2,...,i k } {1,2,...,n} P (A i1 A i2... A ik ) = P (A i1 ) P (A i2 ) P (A ik ). příklad Jev A nastane, je-li dané číslo dělitelné 2, jev B, je-li dělitelné 3. Popište jev C = A B a dále jevy A C, A C, a A B. příklad Jaká je pravděpodobnost, že slovem náhodně sestaveným z písmen A, A, A, E, I, K, M, M, T, T bude MATEMATIKA? příklad Ve třídě 20 chlapců a 12 dívek jsou losem určeni 2 mluvčí. Jaká je pravděpodobnost, že obě pohlaví budou zastoupena? příklad P (A) = 0, 3, P (B) = 0, 5, P (A B) = 0, 2. Jsou jevy A a B nezávislé? Jsou neslučitelné? příklad V účtech je chyba. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jeden z nezávislých kontrolorů, nacházejících chybu s pravděpodobností 0, 90 a 0, 95, ji najde? příklad Hazíme obyčejnou hrací kostkou tak dlouho, dokud nepadne číslo 6. Jaká je pravděpodobnost, že budeme muset hodit 1. jedenkrát, 2. právě třikrát, 3. nejméně čtyřikrát, 4. nejvíce šestkrát? příklad Postupně vyndaváme koule z urny se 3 bílými, 5 černými a 4 červenými koulemi. Jaká je pravděpodobnost, že červenou vytáhneme dříve než bílou? 2.3 Podmíněná pravděpodobnost, Celková pravděpodobnost, Bayesův vzorec Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost jevu A podmíněná jevem B: P (A B) = P (A B), je-li P (B) > 0. P (B) 6

7 Úplná pravděpodobnost Pro úplný disjunktní systém B 1, B 2,..., B N, kde P (B i ) > 0 i a P ( N i=1 B i) = 1 platí P (A) = N P (A B i )P (B i ). i=1 Bayesův vzorec Pro úplný disjunktní systém B 1, B 2,..., B N, kde P (B i ) > 0 i a P ( N i=1 B i) = 1 platí P (B k A) = P (A B k)p (B k ) N i=1 P (A B i)p (B i ). příklad podmíněná pravděpodobnost Dvakrát hodíme kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že součet přesáhne 10, víme-li, že na dvou kostkách padla aspoň jedna šestka? příklad podmíněná pravděpodobnost V každé ze tří krabic je šest černých a sedm bílých koulí. Z první krabice se vybere koule a přemístí se do druhé krabice, která se promíchá. Z této druhé krabice se pak náhodně vybere jedna koule a vloží se do třetí krabice, která se též promíchá. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná koule ze třetí krabice bude bílá? příklad úplná pravděpodobnost V první urně je 6 bílých a 2 černé koule, ve druhé jsou 4 bílé a 2 černé koule. Náhodně zvolíme urnu a vytáhneme jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá? příklad úplná pravděpodobnost Jste v televizní soutěži a máte možnost vyhrát auto. Auto je schováno v jedné ze tří zavřených garáží. Pro výhru stačí označit garáž, kde je auto schováno. Označíte garáž v které si myslíte, že je auto. Následně Vám moderátor soutěže otevře jednu z garáží a to takovou, kterou jste neoznačili a která je prázdná. Poté Vám moderátor nabídne změnit Vaše rozhodnutí můžete buďto zůstat u Vámi označené garáže, nebo označit druhou neotevřenou garáž. Změní se Vaše šance na výhru, změníte-li rozhodnutí a označíte druhou garáž? příklad Bayesův vzorec V první zásuvce jsou 2 zlaté mince, ve druhé 1 zlatá a 1 stříbrná, ve třetí 2 stříbrné. Zvolíme náhodně zásuvku a vytáhneme minci. Jaká je pravděpodobnost, že v zásuvce zbude zlatá mince, jestliže jsme vytáhli stříbrnou? příklad Bayesův vzorec Pravděpodobnost, že test na HIV je pozitivní, jestliže pacient je skutečně pozitivní je rovna 0,9 (senzitivita testu). Pravděpodobnost, že test je negativní a pacient je též skutečně negativní, je 0,95 (specificita testu). Ví se, že 2% z celkové populace je HIV pozitivní (incidence nemoci). Jaká je pravděpodobnost, že pacient je HIV pozitivní, byl-li test negativní? 7

8 Výsledky: pravděpodobnost 2.1 Kombinatorika příklad variace, a) 5040, b) 2688 příklad permutace, a) m!n!, b) m!(n + 1)! příklad kombinace, n(n 1) 2 příklad variace s opakováním, Ano (1024) 2.2 Výsledky: pravděpodobnost 1 příklad příklad , 484 příklad a) jsou závislé, b) nejsou neslučitelné příklad , 995 příklad příklad ; 2. ( 5 6 )2 1 6 = 0, 1157; 3. ( 5 6 )3 = 0, 5787; 4. 1 ( 5 6 )6 = 0, = 0, Výsledky: podmíněná a celková pravděpodobnost, Bayesův vzorec 3 příklad = 0, 2727 příklad w...počet bílých koulí v každé krabici b...počet černých koulí v každé krabici W n...vytáhneme bílou kouli z n-té krabice B n...vytáhneme černou kouli z n-té krabice P (W n ) = P (W n W n 1 )P (W n 1 ) + P (W n B n 1 )P (B n 1 ) P (W n W n 1 ) = w+1 P (W n B n 1 ) = P (W 1 ) = P (B 1 ) = w w+b b w+b w+b+1 w w+b+1 17 příklad = 0, 7083 příklad A: změníme rozhodnutí a vyhrajeme auto A: nezměníme rozhodnutí a vyhrajeme auto B: označíme garáž, kde je auto B: označíme garáž, kde není auto (B a B tvoří úplný systém disjunktních jevů.) P (B) = 1 3, P (B) = 2 3 P (A B) = 0, P (A B) = 1 P (A B) = 1, P (A B) = 0 8

9 P (A) = P (A B)P (B) + P (A B)P (B) = = 2 3 P (A) = P (A B)P (B) + P (A B)P (B) = = příklad příklad tp: test pozitivní tn: test negativní pp: pacient pozitivní pn: pacient negativní P (tn pp) = 0, 1 P (tp pp) = 0, 9 P (tn pn) = 0, 95 P (tp pn) = 0, 05 P (pp) = 0, 02 P (pp tn) = 0, 2144% 9

10 3 Náhodná veličina 3.1 Distribuční funkce, hustota, očekávaná hodnota, rozptyl příklad Mějme funkci F (x) = c 9 x 2 pro x > 3 a F (x) = 0 jinde. 1. Pro jakou konstantu c je tato funkce distribuční funkce nějaké náhodné veličiny X? 2. Jaká je pravděpodobnost P (4 < X < 8)? 3. Jak vypadá hustota pravděpodobnosti této náhodné veličiny? 4. Určete očekávanou hodnotu této náhodné veličiny. (Očekávanou nebo také střední hodnotu náhodné veličiny X značíme E[X].) 5. Určete rozptyl této náhodné veličiny. (Rozptyl náhodné veličiny X značíme Var[X], nebo D[X], nebo také σ 2 (X), či σ 2 X.) příklad Pro jakou hodnotu c je pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X? ( ) 3 x P (x) = c pro x = 1, 2, 3,... 4 = 0 jinak, příklad Na základě údajů o prodeji v posledních 4 týdnech bylo spočítáno, že počet zákazníků (náhodná veličina X), kteří během jedné hodiny zakoupí novou polévku, má rozdělení pravděpodobnosti dané tabulkou x P (X = x) 0,15 0,16 0,20 0,18 0,15 0,10 0,06 Vypočítejte 1. P (X 4), 2. P (2 X < 6), 3. P (X > 2), 4. střední hodnotu náhodné veličiny X, 5. směrodatnou odchylku náhodné veličiny X. 10

11 3.2 Alternativní, Binomické, Hypergeometrické a Poissonovo rozdělení příklad Pětkrát hodíme mincí. Pomocí distribuční funkce některého rozdělení vyjádřete pravděpodobnost, že aspoň dvakrát padl líc. Náhodná veličina X nechť udává, kolikrát padl líc. Určete její střední hodnotu E[X] a rozptyl Var[X]. příklad Závod vyrábí v průměru 99,8% kvalitních výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 500 vybranými budou více než 3 zmetky? příklad Korektura pěti set stránek obsahuje 500 tiskových chyb. Určete pravděpodobnost toho, že na náhodně vybrané stránce budou aspoň tři chyby. příklad Informační centrum navštíví v průměru 20 osob za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že během 15 minut nepřijde do kanceláře nikdo? příklad Výrobky jsou dodávány v sériích po 100 kusech. Výstupní kontrola prohlíží z každé série 5 náhodně vybraných výrobků a přejímá ji, jestliže mezi vybranými výrobky není žádný zmetek. Čemu je rovna pravděpodobnost, že série nebude přijata, jestliže obsahuje 4% zmetků? příklad V nádobě je 10 černých, 6 bílých a 4 modré koule. Náhodně s vracením vybereme 6 koulí. Jaká je pravděpodobnost, že ve výběru budou právě 1. 2 bílé, 3 černé a 1 modrá koule, 2. 2 bílé, 2 černé a 2 modré koule, 3. všechny koule černé? příklad Náhodná veličina X udává kolik šestek padne při dvaceti hodech kostkou. V Excelu modelujte následující: 1. Pravděpodobnostní funkci X. Vytvořte graf pravděpodobnostní funkce. 2. Distribuční funkci X. Vytvořte graf distribuční funkce. 3. Spočtěte očekávanou hodnotu X podle definičního vzorečku E[X] = i x ip (X = x i ). 4. Spočtěte rozptyl X podle definičního vzorečku Var[X] = E[(X E[X]) 2 ]. 5. Aproximujte pravděpodobnostní funkci X pomocí Poissonova rozdělení a v grafu porovnejte pravděpodobnostní funkce. 6. Nechť X nyní udává počet líců při dvaceti hodech mincí. Přepočtěte body výše. 11

12 3.3 Normální rozdělení příklad Délka výrobku v mm má N(68, 3; 0, 04). Jaká je pravděpodobnost, že délka náhodně odebraného výrobku bude mezi 68 a 69mm? příklad Životnost svíčky (v km) má normální rozdělení s průměrem a směrodatnou odchylkou Jaká je pravděpodobnost, že na vzdálenosti 4300 km nebude třeba měnit žádnou ze 4 svíček? příklad Modelujte hustotu, f(x), a distribuční funkci, F (x), normálně rozdělené náhodné veličiny X v Excelu: 1. Vytvořte sloupeček hodnot x od 3.5 do 3.5 s krokem d = 0, Dohledejte vzorec hustoty normálního rozdělení a spočtěte f(x) pro vytvořená x. 3. Určete distribuční funkci F (x), přičemž integrál aproximujte: f(x)dx = i f(x i)d 4. Porovnejte získanou distribuční funkci normovaného normálního rozdělení se statistickými tabulkami. 5. Spočtěte E[X]. 3.4 Centrální limitní věta příklad Zatížení letadla s 64 místy nemá překročit kg. Jaká je pravděpodobnost, že při plném obsazení bude tato hodnota překročena, má-li hmotnost cestujícího střední hodnotu 90 kg a směrodatnou odchylku 10 kg? příklad Jaká je pravděpodobnost, že při 100 hodech kostkou padne šestka nejvýše dvacetkrát? příklad V určité oblasti je 3% nemocných malárií. Jaká je pravděpodobnost, že při kontrole lidí najdeme 2,5% až 3,5% nemocných malárií? Výsledky: náhodná veličina 3.1 Výsledky: distribuční funkce, hustota, očekávaná hodnota, rozptyl příklad c = 1 12

13 2. P (4 < X < 8) = x 3 pro x > 3, 0 pro x < 3 4. E[X] = 6 5. Var[X] = 13

14 příklad c = 1 3 příklad , , ,49 4. E[X] = 2, Var[X] = 1, Výsledky: Alternativní, Binomické, Hypergeometrické a Poissonovo rozdělení příklad Binomické, P (X 2) = ; E[X] = 2, 5; Var[X] = 1, 25 příklad výpočet najdete v listu nahvel 1. Pomocí binomického rozdělení: 0, Aproximace Poissonovým rozdělením: 0, příklad Poissonovo, λ = 1, P (X 3) = 0, 0803 příklad Poissonovo, λ = 5, P (0) = 0, příklad Hypergeometrické, 0, 1881 příklad Multinomické rozdělení Situace je obdobná jako u binomického rozdělení, tedy uvažujeme posloupnost n = 6 nezávislých náhodných pokusů. Ale místo dvou možných výsledků pokusu budeme však připouštět tři možné výsledky (bílá, černá nebo modrá koule). Např. jako π m označíme pravděpodobnost výběru modré koule v jednom pokusu, X m označíme počet pokusů v kterých jsme vybrali modrou kouli. Pravděpodobnostní funkci lze odvodit podobnou úvahou jako pro binomické rozdělení (binomické rozdělení je speciální případ multinomického). 1. P (X b = 2, X c = 3, X m = 1) = 6! ( 6 2!3!1! P (X b = 2, X c = 2, X m = 2) = 6! ( 6 2!2!2! P (X b = 0, X c = 6, X m = 0) = 6! ( 6 0!6!0! 20 ) 2 ( 10 ) 3 ( 4 20 ) 2 ( 10 ) 2 ( ) 1 = 0, ) 2 = 0, 081 ) 0 ( 10 ) 6 ( ) = 0, Výsledky: Normální příklad P (68 < X < 69) = 0, 9331 příklad P = 0, 89 14

15 3.4 Výsledky: Centrální limitní věta příklad , příklad , 81 příklad ,

16 4 Matematická statistika 4.1 Populační průměr příklad Bodový a intervalový odhad populačního průměru V roce 1961 byla u 15 náhodně vybraných chlapců z populace všech desetiletých chlapců zjištěna výška: 130, 140, 136, 141, 139, 133, 149, 151, 139, 136, 138, 142, 127, 139, 147 cm. 1. Na základě náhodného výběru odhadněte průměrnou (očekávanou) výšku populace desetiletých chlapců. 2. Na základě náhodného výběru odhadněte směrodatnou odchylku výšky populace desetiletých chlapců. 3. Určete směrodatnou chybu odhadu (standard error). 4. Sestavte oboustranný 95% interval spolehlivosti pro průměrnou výšku. 5. Sestavte levostranný 95% interval spolehlivosti pro průměrnou výšku. příklad Test hypotézy o populačním průměru V roce 1951 byl proveden výběr celé populace desetiletých chlapců a naměřena průměrná výška 136,1 cm a směrodatná odchylka výšky 6,4 cm. 1. Na 5% hladině významnosti testujte, zda se změnila průměrná výška nové generace (desetiletí chlapci v roce 1961) za předpokladu, že rozptyl výšky se nezměnil (známý rozptyl, použijete σ 2 = 6, 4 2 ). 2. Na 5% hladině významnosti testujte, zda se změnila průměrná výška nové generace za předpokladu, že rozptyl výšky ze změnil (neznámý rozptyl, musíte odhadnout z náhodného výběru). 3. Na 5% hladině významnosti testujte, zda je nová generace vyšší. příklad Normální rozdělení (opakování náhodné veličiny) Víte, že výška desetiletých chlapců je normálně rozdělená náhodná veličina se střední hodnotu 140 cm a směrodatnou odchylkou 6 cm. 1. Určete kolem střední hodnoty symetrický interval, v kterém se bude s 95% pravděpodobností nacházet výška desetiletého chlapce. příklad Test parametru π alternativního rozdělení 1. Agentura Q, která se zabývá výzkumem veřejného mínění, měla za úkol zjistit u obyvatel České republiky míru podpory našeho vstupu do Evropské unie. Agentura provedla šetření u náhodně vybraného vzorku 100 osob, z nichž 42 se vyslovilo pro. (a) Posuďte na 5% hladině významnosti platnost tvrzení, že pro vstup do Unie je právě polovina občanů ČR. 16

17 (b) Posuďte na 5% hladině významnosti platnost tvrzení, že pro vstup do Unie je méně než polovina občanů ČR. 2. Zadavatel výzkumu si objednal nové šetření o 10 krát větším rozsahu, tj. agentura Q provedla šetření u náhodnně vybraného vzorku 1000 osob. Výsledek však v relativním vyjádření dopadl stejně pro vstup do Evropské unie se vyslovilo 420 osob. (a) Posuďte na 5% hladině významnosti platnost tvrzení, že pro vstup do Unie je právě polovina občanů ČR. (b) Posuďte na 5% hladině významnosti platnost tvrzení, že pro vstup do Unie je méně než polovina občanů ČR. 4.2 Možné situace při statistickém testování hypotéz skutečnost rozhodnutí H 0 platí H 0 neplatí zamítnutí H 0 chyba prvního druhu OK α = P (t W H 0 platí) nezamítnutí H 0 OK chyba druhého druhu β = P (t V H 0 neplatí) Chyba I. druhu Chybné zamítnutí platné H 0, P (t W H 0 platí) = α. Chyba II. druhu Nezamítnutí neplatné H 0, P (t V H 0 neplatí) = β. Síla testu Správné zamítnutí neplatné H 0, P (t W H 0 neplatí) = 1 β. P-value Dosažená hladina testu, tj. nejmenší hladina významnosti α, při které bychom ještě hypotézu zamítli. Je-li P-value < α, potom zamítáme H 0. Je-li P-value > α, potom H 0 nezamítáme. Jinými slovy, P-hodnota testu hypotézy je pravděpodobnost, že můžeme získat data, která jsou aspoň stejně nebo více nekonzistentní s nulovou hypotézou než data, která jsme obdrželi. 17

18 5 Test dobré shody, Kontingence, Analýza rozptylu 5.1 χ 2 test dobré shody příklad Při 600 hodech hrací kostkou byly zjištěny následující četnosti jednotlivých stran: 85, 99, 91, 108, 119, 98. Lze na 5% hladině považovat tuto kostku za symetrickou? 5.2 Kontingence příklad Tabulka níže uvádí výsledky šetření pro prodejce alkoholických nápojů. Výrobce by rád věděl, zda jsou typy preferovaného nápoje závislé na pohlaví (zvolte vlastní hladinu významnosti a určete p-value). Pivo Víno Destiláty Koktejly Abstinenti Celkem Muži Ženy Celkem příklad Máme dvě proměnné: pohlaví (žena nebo muž) a vyhraněnost ruky (pravák nebo levák). Dále máme náhodný výběr 100 jedinců s následujícími výsledky: 43 mužů jsou praváci, 9 můžu jsou leváci. 44 žen jsou pravačky, 4 jsou levačky. Testujte zda pohlaví má vliv na vyhraněnost ruky (zvolte vlastní hladinu významnosti a určete p-value). příklad V parlamentu se projednává zajímavý zákon a nás zajímá, zda spolu souvísí souhlas s projednávaným zákonem a postoj voličů k vládní koalici. Proto u namátkou vybraných voličů byly zjištěny následující údaje: zákon ano zákon ne koalice ano 9 5 koalice ne Analýza rozptylu příklad Vraťte se k příkladu 1.1, v sekci 1 popisná statistika. Testujte, zda měsíční výdaje na potraviny závisí na typu domácnosti. Data najdete v souboru vypocty.xls, list domacnosti. Zvolte vlastní hladinu významnosti a určete P-value. příklad 5.3.2a V souboru vypocty.xls, list vyska jsme zaznamenali údaje o výšce a pohlaví studentů tohoto kurzu. Rozhodněte, zda můžeme tvrdit, že pohlaví ovlivňuje očekávanou (průměrnou) výšku. Zvolte vlastní hladinu významnosti a určete P-value. 18

19 příklad 5.3.2b Dvouvýběrový t-test o rovnosti středních hodnot Pomocí párového t-testu posuďte (na stejném datovém souboru jako v předešlém příkladu), zda očekávaná výška závisí na pohlaví. Určete p-value. příklad Soubor vypocty.xls, list ANOVA obsahuje 16 údajů o spotřebě benzinu (l/100km) a přislušném typu benzinu. Rozhodněte, zda typ benzinu ovlivňuje jeho spotřebu (zvolte vlastní hladinu významnosti a určete P-value). 19

20 6 Regrese, Časové řady 6.1 Regrese a Korelace Data najdete v souboru vypocty.xls, list regrese. příklad Lineární regrese Máme údaje o stáří a ceně 10 ojetých aut Škoda. 1. Zkonstruujte a odhadněte regresní model závislosti ceny auta na jeho stáří. 2. Vytvořte řadu reziduí. Spočtěte reziduální, teoretický a celkový součet čtverců. 3. Posuďte kvalitu modelu pomocí F -testu, t-testů a koeficientu determinace. 4. Odhadněte očekávanou cenu auta, které je staré 10 let. příklad Vícenásobná lineární regrese Máme údaje o stáří, počtu najetých km a ceně 20 ojetých aut Škoda. Zkonstruujte regresní model závislosti ceny auta na jeho stáří a počtu najetých km, posuďte jeho kvalitu a použijte jej k odhadu ceny auta starého 6 let, které má najeto 60 tisíc km. příklad Lineární regrese Máme údaje o délce pracovní neschopnosti (ve dnech) a věku 10 zaměstnanců. Vyberte vhodný regresní model závislosti délky pracovní neschopnosti na věku. Uvažujte regresní funkci η = β 0 + β 1 /x (hyperbola) a η = β 0 + β 1 ln x (logaritmická regresní funkce). Dále odhadňete a testujte parametry kvadratické regresní funkce (parabola) η = β 0 + β 1 x + β 2 x 2. příklad Korelační koeficient Na 10 vybraných místech v okolí zdroje znečištění byla měřena hmotnostní koncentrace popílku pomocí dvou různých metod. Naměřené hodnoty jsou v mg/m Ukažte, že výsledky měření různými metodami jsou korelované (určete a testujte korelační koeficient). 2. Dopočtěte korelační koeficient na základě regresní přímky. 6.2 Časové Řady příklad Trendové křivky V tabulce jsou uvedeny hodnoty roční časové řady počtu narozených v Jihomoravském kraji za období 13 let: 20

21 rok t počet narozených Vyrovnejte časovou řadu jednak přímkou a jednak parabolou a posuďte pomocí indexu determinace vhodnosti těchto trendových funkcí. Sestrojte odhad počtu narozených pro další rok. příklad Nelineární trendová křivka Firma zabývající se provozováním internetového portálu zaznamenala za posledních 8 let prudký rozvoj, který dokumentuje tabulka dosaženého zisku před zdaněním (v tis. Kč): rok zisk Vyrovnejte hodnotu zisku vhodnou trendovou funkcí a sestrojte předpověď pro rok 2008 a (Nápověda: Jako vhodná trendová funkce je doporučena exponenciála T t = β 0 β t 1.) příklad Klouzavé průměry V tabulce jsou hodnoty časové řady kurzu akcií ABC, a.s. (v Kč za 1 akcii) během 12 po sobě jdoucích pracovních dnů: den kurz Vyrovnejte tuto řadu jednoduchými klouzavými průměry délky 3, 5 a Vyrovnejte tuto řadu 5-člennými klouzavými průměry 2.řádu. Nápověda: 5-členný klouzavý průměr 2.řádu má váhy 1 35 ( 3, 12, 17, 12, 3). příklad Model CAPM V listu akcie jsou časové řady měsíčních pozorování ceny akcie ČEZ a indexu Pražské burzy PX50. V sekci?? jsme si definovali výnosy, označte rt CEZ logaritmický výnos ČEZu v čase t, a logaritmický výnos PX50 v čase t. Určete následující: r PX t Pro logaritmický výnos akcie ČEZ: 1. Vytvořte graf logaritmického výnosu. 21

22 2. Odhadněte očekávaný výnos: Ê[r t ] = 1 T T r i = r. i=1 3. Odhadněte směrodatnou odchylku výnosu (volatilitu): σ r = Var[r t ] = 1 T (r i r) T Vytvořte 95% interval spolehlivosti pro očekávaný výnos. i=1 5. Testujte hypotézu, zda je očekávaný výnos roven nule. Capital Asset Pricing Model (CAPM) říká za předpokladu nulové bezrizikové úrokové míry následující: E[r i ] = β i E[r m ], kde r i je výnos akcie i, r m je výnos market portfolia a β i = Cov[ri,r m ] Var[r m ] a r m dělená rozptylem r m ). Model zapíšeme jako regresní model (kovariance mezi r i r i t = α i + β i r m t + ε t, t = 1,..., T, kde ε je náhodný šok nekorelovaný s r m (představuje nesystematické, idiosynkratické nebo také diverzifikovatelné riziko). Porovnáním obou rovnic je zřejmé, že CAPM implikuje α i = 0 (testujeme standardním t-testem). α i je také označováno jako Jensenovo α, viz s alpha. 1. Graf logaritmického výnosu ČEZu doplňte o logaritmický výnos PX Odhadněte model CAPM pro ČEZ, kdy jako market portfolio použijete index PX Testujte, zda α je statisticky významný parametr. 4. Odhadněte korelaci mezi log výnosy ČEZu a PX50. 22

23 7 Indexy příklad Řetězové a bazické indexy V tabulce jsou je uvedena spotřeba masa v ČR (v kg na obyvatele). Charakterizujte vývoj spotřeby masa v tomto období pomocí bazických indexů (1989 = 100) a řetězových indexů. rok spotřeba 97,4 83,0 79,4 77,8 79,8 80,6 80,5 81,4 příklad Řetězové a bazické indexy V tabulce je zachycen vývoj sklizní máku v letech Za některé roky známe přímo hodnoty, někde známe řetězové a jinde bazické indexy se základem v roce Dopočítejte chybějící údaje. i x i I i/i 1 I i/b příklad Souhrnné indexy Ceny a prodané množství pěti druhů zboží v březnu (základní období) a červnu (běžné období) roku 2006 jsou uvedeny v následující tabulce. zboží cena množství p 0 p 1 q 0 q 1 A B C D E Určete pomocí souhrnných cenových indexů, jak se změnily ceny v červnu oproti březnu. 2. Určete pomocí souhrnných objemových indexům jak se změnilo množství prodaného zboží v červnu oproti březnu. 23

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve Příklady k procvičení k průběžnému testu: 1) Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 8 tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Doporučené příklady k procvičení k 2. Průběžnému testu

Doporučené příklady k procvičení k 2. Průběžnému testu Doporučené příklady k procvičení k 2. Průběžnému testu - Statistika v příkladech Marek a kol. (2013) - kapitola 2.3, 9 řešené příklady 2.52-2.53, 2.58a,b - kapitola 3.1 o řešené příklady: 3.1, 3.2, 3.4

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A AKM - 1-2 CVIČENÍ Opakování maticové algebry Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A 1 1 ( A ) = ( A ) ( A ) = A ( A + B) = A + B 1 1 1 ( AB) = B A, kde A je řádu mxn a B nxk Čtvercová matice

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě 31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě Motto Statistika nuda je, má však cenné údaje. strana 3 Statistické charakteristiky Charakteristiky polohy jsou kolem ní seskupeny ostatní hodnoty

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b)

5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b) TEST 3 1. U pacienta je podozření na jednu ze čtyř, navzájem se vylučujících nemocí. Pravděpodobnost výskytu těchto nemocí je 0,1, 0,2, 0,4 a 0,3. Laboratorní zkouška je v případě první nemoci pozitivní

Více

Cvičící Kuba Kubina Kubinčák Body u závěrečného testu

Cvičící Kuba Kubina Kubinčák Body u závěrečného testu 1. Příklad U 12 studentů jsme sledovali počet dosažených bodů na závěrečném testu (od 0 do 60). Vždy 4 z těchto studentů chodili k jednomu ze 3 cvičících panu Kubovi, panu Kubinovi, nebo panu Kubinčákovi.

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení ze 4ST201. Na případné faktické chyby v této prezentaci mě prosím upozorněte. Děkuji Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není v nich obsaženo

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

(motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination.

(motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination. Neparametricke testy (motto: An unsophisticated forecaster uses statistics as a drunken man uses lamp-posts - for support rather than for illumination. Andrew Lang) 1. Příklad V následující tabulce jsou

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů)

Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů) VYBRANÉ TESTY NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ TESTY DOBRÉ SHODY Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení test dobré shody Očekávané četnosti, alespoň 80% očekávaných četností >5 ( ) (p

Více

1. Klasická pravděpodobnost

1. Klasická pravděpodobnost Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chb v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tto slid berte pouze jako doplňkový materiál není v nich

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů?

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů? 0. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinatorika ) V restauraci mají na jídelním lístku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, druhy moučníku. K pití si lze objednat kávu, limonádu

Více

4ST432. Kamil Kladívko. 1 Cena a výnos aktiva, volatilita 2. 1.1 Odhad očekávaného výnosu, interval spolehlivosti, test hypotézy...

4ST432. Kamil Kladívko. 1 Cena a výnos aktiva, volatilita 2. 1.1 Odhad očekávaného výnosu, interval spolehlivosti, test hypotézy... 4ST432 Modely ekonomických a finančních časových řad Kamil Kladívko Zadání úkolů a data najdete v souboru zadani432.xlsx. Výpočty jsou v souboru solution432.xlsx. Obsah 1 Cena a výnos aktiva, volatilita

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK

ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK ANALÝZA DAT V R 3. POPISNÉ STATISTIKY, NÁHODNÁ VELIČINA Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK www.biostatisticka.cz POPISNÉ STATISTIKY - OPAKOVÁNÍ jedna kvalitativní

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách

13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách 13 Regrese 13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Přitom je třeba vyřešit jednak volbu funkcí k vystižení dané závislosti a dále stanovení konkrétních

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2013/2014 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015) III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Otázky k měření centrální tendence. 1. Je dáno rozložení, ve kterém průměr = medián. Co musí být pravdivé o tvaru tohoto rozložení?

Otázky k měření centrální tendence. 1. Je dáno rozložení, ve kterém průměr = medián. Co musí být pravdivé o tvaru tohoto rozložení? Otázky k měření centrální tendence 1. Je dáno rozložení, ve kterém průměr = medián. Co musí být pravdivé o tvaru tohoto rozložení? 2. Určete průměr, medián a modus u prvních čtyř rozložení (sad dat): a.

Více

Sever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty

Sever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty Neparametrické testy (motto: Hypotézy jsou lešením, které se staví před budovu a pak se strhává, je-li budova postavena. Jsou nutné pro vědeckou práci, avšak skutečný vědec nepokládá hypotézy za předmětnou

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

PARAMETRICKÉ TESTY. 1) Měření Etalonu. Dataset - mereni_etalonu.sta - 9 měření etalonu srovnáváme s PŘEDPOKLÁDANOU HODNOTOU 10.

PARAMETRICKÉ TESTY. 1) Měření Etalonu. Dataset - mereni_etalonu.sta - 9 měření etalonu srovnáváme s PŘEDPOKLÁDANOU HODNOTOU 10. PARAMETRICKÉ TESTY Testujeme rovnost průměru - předpokladem normální rozdělení I) Jednovýběrový t-test 1) Měření Etalonu. Dataset - mereni_etalonu.sta - 9 měření etalonu srovnáváme s PŘEDPOKLÁDANOU HODNOTOU

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 10

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 10 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 10 regresní analýza - vícenásobná lineární regrese korelační analýza Př. 10.1 Máte zadaný výstup regresní analýzy závislosti závisle proměnné Y na nezávisle proměnné X. Doplňte

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

5 Parametrické testy hypotéz

5 Parametrické testy hypotéz 5 Parametrické testy hypotéz 5.1 Pojem parametrického testu (Skripta str. 95-96) Na základě výběru srovnáváme dvě tvrzení o hodnotě určitého parametru θ rozdělení f(x, θ). První tvrzení (které většinou

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Popisná statistika. Statistika pro sociology

Popisná statistika. Statistika pro sociology Popisná statistika Jitka Kühnová Statistika pro sociology 24. září 2014 Jitka Kühnová (GSTAT) Popisná statistika 24. září 2014 1 / 31 Outline 1 Základní pojmy 2 Typy statistických dat 3 Výběrové charakteristiky

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

Klasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost

Klasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost 1. Házíme čtyřmi šestistěnnými hracími kostkami. Určete, jaká je pravděpodobnost, že (a) součet čísel na kostkách bude sudé číslo a zároveň součin

Více

Tomáš Karel LS 2013/2014

Tomáš Karel LS 2013/2014 Tomáš Karel LS 2013/2014 Vypočítejte: 8 3 10 9?? 1.12.2014 Tomáš Karel - 4ST201 2 n n! 8! 87654321 40320 k (n k)! k! (8 3)! 3! (5 4321) 321 1206 56 n n! 10! 109 8 7 6 5 4 3 2 1 10 k (n k)! k! (10 9)! 9!

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných 8. Regresní a korelační analýza Problém: hledání, zkoumání a hodnocení souvislostí, závislostí mezi dvěma a více statistickými znaky (veličinami). Typy závislostí: pevné a volné Pevná závislost každé hodnotě

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více