Statistika (4ST201) Vytvoříme datový soubor, který obsahuje věk, výšku a pohlaví studentů tohoto semináře. V Excelu

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Statistika (4ST201) Vytvoříme datový soubor, který obsahuje věk, výšku a pohlaví studentů tohoto semináře. V Excelu"

Transkript

1 Statistika (4ST201) 1 Popsisná statistika (1. a 2. cvičení) 1.1 Úvodní příklad Vytvoříme datový soubor, který obsahuje věk, výšku a pohlaví studentů tohoto semináře. V Excelu určete: 1. Vytvořte histogram četností pro věk a výšku. 2. Spočtěte průměr, rozptyl, směrodatnou odchylku, kvantily (medián, dolní a horní kvartil, 95% kvantil) a modus pro věk a výšku. 3. Proveďte rozklad rozptylu výšky podle proměnné pohlaví. 1.2 Domácnosti Data najdete v souboru vypocty.xlsx. 1. List domacnosti. Zadání: U 31 domácností se sleduje 6 znaků: u (měsíční výdaje za potraviny), v (počet členů), w (průměrný věk vydělávajících členů), x (měsíční příjem), y (počet dětí), z (typ domácnosti podle hlavního zdroje příjmu). (a) Tabulky rozdělení četností pro jednotlivé znaky. (b) Histogramy četností. (c) Průměr, rozptyl, směrodatnou odchylku, kvantily, modus. (d) Proveďte rozklad rozptylu měsíčních výdajů za potraviny (proměnná u), kdy třídícím znakem je typ domácnosti podle hlavního příjmu, tj. podle proměnné z. 2. List vek. Spočítejte: aritmetický průměr, směrodatnou odchylka, medián, kvantily. 3. List zahranicni dluh. Spočítejte: tempa růstu, geometrický průměr. 1.3 Jak spočítat kvantil ze souboru hodnot Na n jednotkách jsme naměřili soubor hodnot x 1, x 2,..., x n. Uspořádaný soubor hodnot, t.j. neklesající posloupnost zapíšeme x (1) x (2)... x (n). Výběrový p-tý kvantil (0 < p < 1) definujeme vztahem { x([np]+1) np [np] x p = 1 2 (x (np) + x (np+1) ) np = [np] Výraz [np] znamená celou část čísla np, např. [5, 44] = 5, nebo [π] = 3. (1) Postupů jak určit kvantil je více, např. se může interpolovat mezi dvěma hodnotami. Proto se vám může stát, že různé softwary vám vrátí různé výsledky. Nicméně rozdíly ve výsledku, obzvlášť pro velký počet pozorování, jsou zanedbatelné. 1

2 Příklad, viz soubor vypocty.xls, list vek Máme dvanáct údajů o věku žadatelů o hypotéku. Určete medián, dolní kvartil (25% kvantil) a 97, 5% kvantil. i věk žadatelů věk žadatelů (uspořádaný) Medián: 12 0, 5 = 6, [6] = 6, tedy x 0,5 = 1 2 ( ) = 26, 5 Dolní kvartil: 12 0, 25 = 3, [3] = 3, tedy x 0,25 = 1 2 ( ) = 25 97, 5% kvantil: 12 0, 975 = 11, 7, [11, 7] = 11, tedy x 0,975 = Práce se vzorečky 1. Upravte vzorec rozptylu s 2 x = 1 n n i=1 (x i x) 2 do tzv. výpočetního tvaru s 2 x = x 2 x 2, kde x značí aritmetický průměr, tj. x = 1 n n i=1 x i. 2. Mějme n pozorování x 1, x 2..., x n a jejich rozptyl s 2 x = s 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 1 n n i=1 (x i x) 2 Ukažte, že: (a) přičteme-li ke každému pozorování x 1, x 2,..., x n stejnou konstantu, rozptyl se nezmění, (b) vynásobíme-li každé pozorování x 1, x 2,..., x n stejnou konstantou, rozptyl vzroste druhou mocninou dané konstanty. 3. Celkový rozptyl proměnné x můžeme rozložit podle třídícího znaku, který nabývá k obměn, na vnitroskupinový a meziskupinový rozptyl. Vnitroskuponový rozptyl, s 2, je vážený průměr rozptylů uvnitř skupin a meziskupinový rozptyl, s 2 x, je vážený rozptyl skupinových průměrů od celkového průměru. Vzorečky používají následující notaci: s 2 x = s 2 + s 2 x (2) = k i=1 s2 i n i k i=1 n i + k i=1 (x i x) 2 n i k i=1 n i = k i=1 1 ni n i j=1 (x ij x i ) 2 n k i i=1 k i=1 n + (x i x) 2 n i k i i=1 n i Vyjděte z definice rozptylu a proveďte rozklad rozptylu, tj. upravte celkový rozptyl do 2

3 tvaru (2): s 2 x = 1 n = 1 n = k n i (x ij x) 2 i=1 j=1 k n i (x ij x i + x i x) 2 i=1 j=1 1.5 Další příklady příklad geometrický průměr Inflace v pěti po sobě jdoucích letech postupně byla 20%, 50%, 30%, 20% a 5%. Určete průměrnou inflaci během těchto pěti let. příklad harmonický versus aritmetický průměr Auto urazí vzdálenost 20 km. Prvních 10 km jede rychlostí 60 km/hod. a zbývajících 10 km jede rychlostí 40 km/hod. Určete průměrnou rychlost auta. příklad harmonický versus aritmetický průměr Auto jede 24 minut. Prvních 12 minut jede rychlostí 60 km/hod. a zbývajících 12 minut jede rychlostí 40 km/hod. Určete průměrnou rychlost auta. příklad vážený harmonický průměr Auto jede z města A do města B rychlostí 40 km/hod., z města B do města C rychlostí 50 km/hod., a z města C do města D rychlostí 60 km/hod. Vypočítejte průměrnou rychlost celé trasy, jestliže vzdálenost mezi A a B je 5 km, mezi B a C 3 km a mezi C a D je 5 km. příklad V soukromé firmě je zaměstnáno 60 % mužů. Průměrná měsíční mzda žen je Kč. Určete průměrnou měsíční mzdu mužů, je-li průměrná měsíční mzda v celé firmě Kč. příklad Určete hodnoty tří proměnných, víte-li, že jejich aritmetický průměr je roven 33, jejich geometrický průměr je roven 30 a jejich medián je roven 25. příklad Ve firmě pracuje 20 osob s průměrným platem Kč. zaměstnanec s platem Kč odchází, nově přijatý pracovník dostává nástupní plat Kč. Jak se změní průměrný plat pracovníků ve firmě? příklad vliv konstanty na průměr a rozptyl Z denních měření teplot v měsíci srpnu byla spočten jejich průměr a směrodatná odchylka. Průměrná teplota je rovna 40 C a směrodatná odchylka teplot je 10 C. Převeďte průměrnou teplotu a směrodatnou odchylku teplot do stupňů Fahrenheita. Vztah mezi Celsiovou a Fahrenheitovou stupnicí je dán rovnicí F = 1.8C + 32, kde C jsou stupně Celsia a F jsou stupně Fahrenheita. příklad Tabulka uvádí cenu, hmotnost a odolnost vůči otřesům (ESP) přehrávačů CD MP3. Pro všechny tři sledované proměnné určete jejich aritmetický průměr, rozptyl, výběrový rozptyl, 3

4 směrodatnou odchylku, výběrovou směrodatnou odchylku, variační koeficient, medián, 25% a 75% kvantil. typ přístroje cena (Kč) hmotnost (g) ESP (sek.) Philips EXP Philips EXP Philips EXP Philips EXP Philips EXP Philips EXP Philips EXP Řešení příklad % příklad km/hod. příklad km/hod. příklad , 447 km/hod. příklad Kč. příklad x 1 = 20 x 2 = 25 x 3 = 54. příklad Klesne na Kč. příklad F = 104 F σ F = 5, 69 F příklad cena hmotnost ESP aritmetický průměr 1745,71 183,14 157,14 rozptyl ,20 36, ,98 výběrový rozptyl ,57 42, ,14 směrodatná odchylka 540,41 6,01 49,49 výběrová směrodatná odchylka 583,71 6,49 53,45 variační koeficient 0,31 0,03 0,31 medián % kvantil % kvantil

5 2 Náhodné jevy, Pravděpodobnost (3. a 4. cvičení) 2.1 Kombinatorika (není součástí přednášky, předpokládá se znalost) Permutacemi n prvků rozumíme jejich různá uspořádání. P (n) = n! Permutace s opakováním je uspořádaná n-tice, přičemž mezi vybranými prvky je k skupin, které mají postupně n 1, n 2,..., n k stejných prvků. Musí platit, že n = k i=1 n i. P n 1,...,n k (n) = n! n 1!...n k! Variace k prvků z n je uspořádaná k-tice, v níž se žádný prvek neopakuje. V k (n) = n(n 1)... (n k + 1) = n! (n k)! Variace s opakováním je uspořádaná k-tice z n prvků, v níž se prvky mohou opakovat. (n) = nk V k Kombinace k prvků z n je neuspořádaná k-tice, v níž se žádný prvek neopakuje. C k (n) = ( ) n k = V k (n) k! = n! (n k)!k! Kombinace s opakováním je neuspořádaná k-tice z n prvků, které se v ní mohou opakovat. C k (n) = ( ) n+k 1 k příklad Výbor má 10 členů 6 mužů a 4 ženy. a) Kolik je způsobů, jak zvolit předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře? b) Co když předseda a místopředseda mají být opačného pohlaví? příklad Kolika způsoby může nastoupit m chlapců a n dívek do zástupu tak, aby a) nejdříve stály dívky a pak chlapci, b) mezi žádnými dvěma chlapci nestála dívka? příklad Na večírku je n lidí. Přitukne-li si skleničkou každý s každým, kolik ťuknutí by mohlo být slyšet? příklad Musí mít aspoň dva obyvatelé městečka o 1500 obyvatelích stejné iniciály (jméno a příjmení začínají jedním ze 32 písmen)? 2.2 Pravděpodobnost klasická definice, vlastnosti Klasická definice pravděpodobnosti Nechť Ω je konečná množina stejně pravděpodobných výsledků pokusu. Potom pravděpodobností jevu A Ω nazýváme číslo P (A) = A Ω počet případů příznivých jevu A =. počet všech případů Vlastnosti pravděpodobnosti P ( ) = 0, P (Ω) = 1, P (A) = 1 P (A), P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 5

6 Nezávislost jevů Jevy A 1, A 2,, A n jsou nezávislé, jestliže {i1,i 2,...,i k } {1,2,...,n} P (A i1 A i2... A ik ) = P (A i1 ) P (A i2 ) P (A ik ). příklad Jev A nastane, je-li dané číslo dělitelné 2, jev B, je-li dělitelné 3. Popište jev C = A B a dále jevy A C, A C, a A B. příklad Jaká je pravděpodobnost, že slovem náhodně sestaveným z písmen A, A, A, E, I, K, M, M, T, T bude MATEMATIKA? příklad Ve třídě 20 chlapců a 12 dívek jsou losem určeni 2 mluvčí. Jaká je pravděpodobnost, že obě pohlaví budou zastoupena? příklad P (A) = 0, 3, P (B) = 0, 5, P (A B) = 0, 2. Jsou jevy A a B nezávislé? Jsou neslučitelné? příklad V účtech je chyba. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jeden z nezávislých kontrolorů, nacházejících chybu s pravděpodobností 0, 90 a 0, 95, ji najde? příklad Hazíme obyčejnou hrací kostkou tak dlouho, dokud nepadne číslo 6. Jaká je pravděpodobnost, že budeme muset hodit 1. jedenkrát, 2. právě třikrát, 3. nejméně čtyřikrát, 4. nejvíce šestkrát? příklad Postupně vyndaváme koule z urny se 3 bílými, 5 černými a 4 červenými koulemi. Jaká je pravděpodobnost, že červenou vytáhneme dříve než bílou? 2.3 Podmíněná pravděpodobnost, Celková pravděpodobnost, Bayesův vzorec Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost jevu A podmíněná jevem B: P (A B) = P (A B), je-li P (B) > 0. P (B) 6

7 Úplná pravděpodobnost Pro úplný disjunktní systém B 1, B 2,..., B N, kde P (B i ) > 0 i a P ( N i=1 B i) = 1 platí P (A) = N P (A B i )P (B i ). i=1 Bayesův vzorec Pro úplný disjunktní systém B 1, B 2,..., B N, kde P (B i ) > 0 i a P ( N i=1 B i) = 1 platí P (B k A) = P (A B k)p (B k ) N i=1 P (A B i)p (B i ). příklad podmíněná pravděpodobnost Dvakrát hodíme kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že součet přesáhne 10, víme-li, že na dvou kostkách padla aspoň jedna šestka? příklad podmíněná pravděpodobnost V každé ze tří krabic je šest černých a sedm bílých koulí. Z první krabice se vybere koule a přemístí se do druhé krabice, která se promíchá. Z této druhé krabice se pak náhodně vybere jedna koule a vloží se do třetí krabice, která se též promíchá. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná koule ze třetí krabice bude bílá? příklad úplná pravděpodobnost V první urně je 6 bílých a 2 černé koule, ve druhé jsou 4 bílé a 2 černé koule. Náhodně zvolíme urnu a vytáhneme jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá? příklad úplná pravděpodobnost Jste v televizní soutěži a máte možnost vyhrát auto. Auto je schováno v jedné ze tří zavřených garáží. Pro výhru stačí označit garáž, kde je auto schováno. Označíte garáž v které si myslíte, že je auto. Následně Vám moderátor soutěže otevře jednu z garáží a to takovou, kterou jste neoznačili a která je prázdná. Poté Vám moderátor nabídne změnit Vaše rozhodnutí můžete buďto zůstat u Vámi označené garáže, nebo označit druhou neotevřenou garáž. Změní se Vaše šance na výhru, změníte-li rozhodnutí a označíte druhou garáž? příklad Bayesův vzorec V první zásuvce jsou 2 zlaté mince, ve druhé 1 zlatá a 1 stříbrná, ve třetí 2 stříbrné. Zvolíme náhodně zásuvku a vytáhneme minci. Jaká je pravděpodobnost, že v zásuvce zbude zlatá mince, jestliže jsme vytáhli stříbrnou? příklad Bayesův vzorec Pravděpodobnost, že test na HIV je pozitivní, jestliže pacient je skutečně pozitivní je rovna 0,9 (senzitivita testu). Pravděpodobnost, že test je negativní a pacient je též skutečně negativní, je 0,95 (specificita testu). Ví se, že 2% z celkové populace je HIV pozitivní (incidence nemoci). Jaká je pravděpodobnost, že pacient je HIV pozitivní, byl-li test negativní? 7

8 Výsledky: pravděpodobnost 2.1 Kombinatorika příklad variace, a) 5040, b) 2688 příklad permutace, a) m!n!, b) m!(n + 1)! příklad kombinace, n(n 1) 2 příklad variace s opakováním, Ano (1024) 2.2 Výsledky: pravděpodobnost 1 příklad příklad , 484 příklad a) jsou závislé, b) nejsou neslučitelné příklad , 995 příklad příklad ; 2. ( 5 6 )2 1 6 = 0, 1157; 3. ( 5 6 )3 = 0, 5787; 4. 1 ( 5 6 )6 = 0, = 0, Výsledky: podmíněná a celková pravděpodobnost, Bayesův vzorec 3 příklad = 0, 2727 příklad w...počet bílých koulí v každé krabici b...počet černých koulí v každé krabici W n...vytáhneme bílou kouli z n-té krabice B n...vytáhneme černou kouli z n-té krabice P (W n ) = P (W n W n 1 )P (W n 1 ) + P (W n B n 1 )P (B n 1 ) P (W n W n 1 ) = w+1 P (W n B n 1 ) = P (W 1 ) = P (B 1 ) = w w+b b w+b w+b+1 w w+b+1 17 příklad = 0, 7083 příklad A: změníme rozhodnutí a vyhrajeme auto A: nezměníme rozhodnutí a vyhrajeme auto B: označíme garáž, kde je auto B: označíme garáž, kde není auto (B a B tvoří úplný systém disjunktních jevů.) P (B) = 1 3, P (B) = 2 3 P (A B) = 0, P (A B) = 1 P (A B) = 1, P (A B) = 0 8

9 P (A) = P (A B)P (B) + P (A B)P (B) = = 2 3 P (A) = P (A B)P (B) + P (A B)P (B) = = příklad příklad tp: test pozitivní tn: test negativní pp: pacient pozitivní pn: pacient negativní P (tn pp) = 0, 1 P (tp pp) = 0, 9 P (tn pn) = 0, 95 P (tp pn) = 0, 05 P (pp) = 0, 02 P (pp tn) = 0, 2144% 9

10 3 Náhodná veličina 3.1 Distribuční funkce, hustota, očekávaná hodnota, rozptyl příklad Mějme funkci F (x) = c 9 x 2 pro x > 3 a F (x) = 0 jinde. 1. Pro jakou konstantu c je tato funkce distribuční funkce nějaké náhodné veličiny X? 2. Jaká je pravděpodobnost P (4 < X < 8)? 3. Jak vypadá hustota pravděpodobnosti této náhodné veličiny? 4. Určete očekávanou hodnotu této náhodné veličiny. (Očekávanou nebo také střední hodnotu náhodné veličiny X značíme E[X].) 5. Určete rozptyl této náhodné veličiny. (Rozptyl náhodné veličiny X značíme Var[X], nebo D[X], nebo také σ 2 (X), či σ 2 X.) příklad Pro jakou hodnotu c je pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X? ( ) 3 x P (x) = c pro x = 1, 2, 3,... 4 = 0 jinak, příklad Na základě údajů o prodeji v posledních 4 týdnech bylo spočítáno, že počet zákazníků (náhodná veličina X), kteří během jedné hodiny zakoupí novou polévku, má rozdělení pravděpodobnosti dané tabulkou x P (X = x) 0,15 0,16 0,20 0,18 0,15 0,10 0,06 Vypočítejte 1. P (X 4), 2. P (2 X < 6), 3. P (X > 2), 4. střední hodnotu náhodné veličiny X, 5. směrodatnou odchylku náhodné veličiny X. 10

11 3.2 Alternativní, Binomické, Hypergeometrické a Poissonovo rozdělení příklad Pětkrát hodíme mincí. Pomocí distribuční funkce některého rozdělení vyjádřete pravděpodobnost, že aspoň dvakrát padl líc. Náhodná veličina X nechť udává, kolikrát padl líc. Určete její střední hodnotu E[X] a rozptyl Var[X]. příklad Závod vyrábí v průměru 99,8% kvalitních výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 500 vybranými budou více než 3 zmetky? příklad Korektura pěti set stránek obsahuje 500 tiskových chyb. Určete pravděpodobnost toho, že na náhodně vybrané stránce budou aspoň tři chyby. příklad Informační centrum navštíví v průměru 20 osob za hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že během 15 minut nepřijde do kanceláře nikdo? příklad Výrobky jsou dodávány v sériích po 100 kusech. Výstupní kontrola prohlíží z každé série 5 náhodně vybraných výrobků a přejímá ji, jestliže mezi vybranými výrobky není žádný zmetek. Čemu je rovna pravděpodobnost, že série nebude přijata, jestliže obsahuje 4% zmetků? příklad V nádobě je 10 černých, 6 bílých a 4 modré koule. Náhodně s vracením vybereme 6 koulí. Jaká je pravděpodobnost, že ve výběru budou právě 1. 2 bílé, 3 černé a 1 modrá koule, 2. 2 bílé, 2 černé a 2 modré koule, 3. všechny koule černé? příklad Náhodná veličina X udává kolik šestek padne při dvaceti hodech kostkou. V Excelu modelujte následující: 1. Pravděpodobnostní funkci X. Vytvořte graf pravděpodobnostní funkce. 2. Distribuční funkci X. Vytvořte graf distribuční funkce. 3. Spočtěte očekávanou hodnotu X podle definičního vzorečku E[X] = i x ip (X = x i ). 4. Spočtěte rozptyl X podle definičního vzorečku Var[X] = E[(X E[X]) 2 ]. 5. Aproximujte pravděpodobnostní funkci X pomocí Poissonova rozdělení a v grafu porovnejte pravděpodobnostní funkce. 6. Nechť X nyní udává počet líců při dvaceti hodech mincí. Přepočtěte body výše. 11

12 3.3 Normální rozdělení příklad Délka výrobku v mm má N(68, 3; 0, 04). Jaká je pravděpodobnost, že délka náhodně odebraného výrobku bude mezi 68 a 69mm? příklad Životnost svíčky (v km) má normální rozdělení s průměrem a směrodatnou odchylkou Jaká je pravděpodobnost, že na vzdálenosti 4300 km nebude třeba měnit žádnou ze 4 svíček? příklad Modelujte hustotu, f(x), a distribuční funkci, F (x), normálně rozdělené náhodné veličiny X v Excelu: 1. Vytvořte sloupeček hodnot x od 3.5 do 3.5 s krokem d = 0, Dohledejte vzorec hustoty normálního rozdělení a spočtěte f(x) pro vytvořená x. 3. Určete distribuční funkci F (x), přičemž integrál aproximujte: f(x)dx = i f(x i)d 4. Porovnejte získanou distribuční funkci normovaného normálního rozdělení se statistickými tabulkami. 5. Spočtěte E[X]. 3.4 Centrální limitní věta příklad Zatížení letadla s 64 místy nemá překročit kg. Jaká je pravděpodobnost, že při plném obsazení bude tato hodnota překročena, má-li hmotnost cestujícího střední hodnotu 90 kg a směrodatnou odchylku 10 kg? příklad Jaká je pravděpodobnost, že při 100 hodech kostkou padne šestka nejvýše dvacetkrát? příklad V určité oblasti je 3% nemocných malárií. Jaká je pravděpodobnost, že při kontrole lidí najdeme 2,5% až 3,5% nemocných malárií? Výsledky: náhodná veličina 3.1 Výsledky: distribuční funkce, hustota, očekávaná hodnota, rozptyl příklad c = 1 12

13 2. P (4 < X < 8) = x 3 pro x > 3, 0 pro x < 3 4. E[X] = 6 5. Var[X] = 13

14 příklad c = 1 3 příklad , , ,49 4. E[X] = 2, Var[X] = 1, Výsledky: Alternativní, Binomické, Hypergeometrické a Poissonovo rozdělení příklad Binomické, P (X 2) = ; E[X] = 2, 5; Var[X] = 1, 25 příklad výpočet najdete v listu nahvel 1. Pomocí binomického rozdělení: 0, Aproximace Poissonovým rozdělením: 0, příklad Poissonovo, λ = 1, P (X 3) = 0, 0803 příklad Poissonovo, λ = 5, P (0) = 0, příklad Hypergeometrické, 0, 1881 příklad Multinomické rozdělení Situace je obdobná jako u binomického rozdělení, tedy uvažujeme posloupnost n = 6 nezávislých náhodných pokusů. Ale místo dvou možných výsledků pokusu budeme však připouštět tři možné výsledky (bílá, černá nebo modrá koule). Např. jako π m označíme pravděpodobnost výběru modré koule v jednom pokusu, X m označíme počet pokusů v kterých jsme vybrali modrou kouli. Pravděpodobnostní funkci lze odvodit podobnou úvahou jako pro binomické rozdělení (binomické rozdělení je speciální případ multinomického). 1. P (X b = 2, X c = 3, X m = 1) = 6! ( 6 2!3!1! P (X b = 2, X c = 2, X m = 2) = 6! ( 6 2!2!2! P (X b = 0, X c = 6, X m = 0) = 6! ( 6 0!6!0! 20 ) 2 ( 10 ) 3 ( 4 20 ) 2 ( 10 ) 2 ( ) 1 = 0, ) 2 = 0, 081 ) 0 ( 10 ) 6 ( ) = 0, Výsledky: Normální příklad P (68 < X < 69) = 0, 9331 příklad P = 0, 89 14

15 3.4 Výsledky: Centrální limitní věta příklad , příklad , 81 příklad ,

16 4 Matematická statistika 4.1 Populační průměr příklad Bodový a intervalový odhad populačního průměru V roce 1961 byla u 15 náhodně vybraných chlapců z populace všech desetiletých chlapců zjištěna výška: 130, 140, 136, 141, 139, 133, 149, 151, 139, 136, 138, 142, 127, 139, 147 cm. 1. Na základě náhodného výběru odhadněte průměrnou (očekávanou) výšku populace desetiletých chlapců. 2. Na základě náhodného výběru odhadněte směrodatnou odchylku výšky populace desetiletých chlapců. 3. Určete směrodatnou chybu odhadu (standard error). 4. Sestavte oboustranný 95% interval spolehlivosti pro průměrnou výšku. 5. Sestavte levostranný 95% interval spolehlivosti pro průměrnou výšku. příklad Test hypotézy o populačním průměru V roce 1951 byl proveden výběr celé populace desetiletých chlapců a naměřena průměrná výška 136,1 cm a směrodatná odchylka výšky 6,4 cm. 1. Na 5% hladině významnosti testujte, zda se změnila průměrná výška nové generace (desetiletí chlapci v roce 1961) za předpokladu, že rozptyl výšky se nezměnil (známý rozptyl, použijete σ 2 = 6, 4 2 ). 2. Na 5% hladině významnosti testujte, zda se změnila průměrná výška nové generace za předpokladu, že rozptyl výšky ze změnil (neznámý rozptyl, musíte odhadnout z náhodného výběru). 3. Na 5% hladině významnosti testujte, zda je nová generace vyšší. příklad Normální rozdělení (opakování náhodné veličiny) Víte, že výška desetiletých chlapců je normálně rozdělená náhodná veličina se střední hodnotu 140 cm a směrodatnou odchylkou 6 cm. 1. Určete kolem střední hodnoty symetrický interval, v kterém se bude s 95% pravděpodobností nacházet výška desetiletého chlapce. příklad Test parametru π alternativního rozdělení 1. Agentura Q, která se zabývá výzkumem veřejného mínění, měla za úkol zjistit u obyvatel České republiky míru podpory našeho vstupu do Evropské unie. Agentura provedla šetření u náhodně vybraného vzorku 100 osob, z nichž 42 se vyslovilo pro. (a) Posuďte na 5% hladině významnosti platnost tvrzení, že pro vstup do Unie je právě polovina občanů ČR. 16

17 (b) Posuďte na 5% hladině významnosti platnost tvrzení, že pro vstup do Unie je méně než polovina občanů ČR. 2. Zadavatel výzkumu si objednal nové šetření o 10 krát větším rozsahu, tj. agentura Q provedla šetření u náhodnně vybraného vzorku 1000 osob. Výsledek však v relativním vyjádření dopadl stejně pro vstup do Evropské unie se vyslovilo 420 osob. (a) Posuďte na 5% hladině významnosti platnost tvrzení, že pro vstup do Unie je právě polovina občanů ČR. (b) Posuďte na 5% hladině významnosti platnost tvrzení, že pro vstup do Unie je méně než polovina občanů ČR. 4.2 Možné situace při statistickém testování hypotéz skutečnost rozhodnutí H 0 platí H 0 neplatí zamítnutí H 0 chyba prvního druhu OK α = P (t W H 0 platí) nezamítnutí H 0 OK chyba druhého druhu β = P (t V H 0 neplatí) Chyba I. druhu Chybné zamítnutí platné H 0, P (t W H 0 platí) = α. Chyba II. druhu Nezamítnutí neplatné H 0, P (t V H 0 neplatí) = β. Síla testu Správné zamítnutí neplatné H 0, P (t W H 0 neplatí) = 1 β. P-value Dosažená hladina testu, tj. nejmenší hladina významnosti α, při které bychom ještě hypotézu zamítli. Je-li P-value < α, potom zamítáme H 0. Je-li P-value > α, potom H 0 nezamítáme. Jinými slovy, P-hodnota testu hypotézy je pravděpodobnost, že můžeme získat data, která jsou aspoň stejně nebo více nekonzistentní s nulovou hypotézou než data, která jsme obdrželi. 17

18 5 Test dobré shody, Kontingence, Analýza rozptylu 5.1 χ 2 test dobré shody příklad Při 600 hodech hrací kostkou byly zjištěny následující četnosti jednotlivých stran: 85, 99, 91, 108, 119, 98. Lze na 5% hladině považovat tuto kostku za symetrickou? 5.2 Kontingence příklad Tabulka níže uvádí výsledky šetření pro prodejce alkoholických nápojů. Výrobce by rád věděl, zda jsou typy preferovaného nápoje závislé na pohlaví (zvolte vlastní hladinu významnosti a určete p-value). Pivo Víno Destiláty Koktejly Abstinenti Celkem Muži Ženy Celkem příklad Máme dvě proměnné: pohlaví (žena nebo muž) a vyhraněnost ruky (pravák nebo levák). Dále máme náhodný výběr 100 jedinců s následujícími výsledky: 43 mužů jsou praváci, 9 můžu jsou leváci. 44 žen jsou pravačky, 4 jsou levačky. Testujte zda pohlaví má vliv na vyhraněnost ruky (zvolte vlastní hladinu významnosti a určete p-value). příklad V parlamentu se projednává zajímavý zákon a nás zajímá, zda spolu souvísí souhlas s projednávaným zákonem a postoj voličů k vládní koalici. Proto u namátkou vybraných voličů byly zjištěny následující údaje: zákon ano zákon ne koalice ano 9 5 koalice ne Analýza rozptylu příklad Vraťte se k příkladu 1.1, v sekci 1 popisná statistika. Testujte, zda měsíční výdaje na potraviny závisí na typu domácnosti. Data najdete v souboru vypocty.xls, list domacnosti. Zvolte vlastní hladinu významnosti a určete P-value. příklad 5.3.2a V souboru vypocty.xls, list vyska jsme zaznamenali údaje o výšce a pohlaví studentů tohoto kurzu. Rozhodněte, zda můžeme tvrdit, že pohlaví ovlivňuje očekávanou (průměrnou) výšku. Zvolte vlastní hladinu významnosti a určete P-value. 18

19 příklad 5.3.2b Dvouvýběrový t-test o rovnosti středních hodnot Pomocí párového t-testu posuďte (na stejném datovém souboru jako v předešlém příkladu), zda očekávaná výška závisí na pohlaví. Určete p-value. příklad Soubor vypocty.xls, list ANOVA obsahuje 16 údajů o spotřebě benzinu (l/100km) a přislušném typu benzinu. Rozhodněte, zda typ benzinu ovlivňuje jeho spotřebu (zvolte vlastní hladinu významnosti a určete P-value). 19

20 6 Regrese, Časové řady 6.1 Regrese a Korelace Data najdete v souboru vypocty.xls, list regrese. příklad Lineární regrese Máme údaje o stáří a ceně 10 ojetých aut Škoda. 1. Zkonstruujte a odhadněte regresní model závislosti ceny auta na jeho stáří. 2. Vytvořte řadu reziduí. Spočtěte reziduální, teoretický a celkový součet čtverců. 3. Posuďte kvalitu modelu pomocí F -testu, t-testů a koeficientu determinace. 4. Odhadněte očekávanou cenu auta, které je staré 10 let. příklad Vícenásobná lineární regrese Máme údaje o stáří, počtu najetých km a ceně 20 ojetých aut Škoda. Zkonstruujte regresní model závislosti ceny auta na jeho stáří a počtu najetých km, posuďte jeho kvalitu a použijte jej k odhadu ceny auta starého 6 let, které má najeto 60 tisíc km. příklad Lineární regrese Máme údaje o délce pracovní neschopnosti (ve dnech) a věku 10 zaměstnanců. Vyberte vhodný regresní model závislosti délky pracovní neschopnosti na věku. Uvažujte regresní funkci η = β 0 + β 1 /x (hyperbola) a η = β 0 + β 1 ln x (logaritmická regresní funkce). Dále odhadňete a testujte parametry kvadratické regresní funkce (parabola) η = β 0 + β 1 x + β 2 x 2. příklad Korelační koeficient Na 10 vybraných místech v okolí zdroje znečištění byla měřena hmotnostní koncentrace popílku pomocí dvou různých metod. Naměřené hodnoty jsou v mg/m Ukažte, že výsledky měření různými metodami jsou korelované (určete a testujte korelační koeficient). 2. Dopočtěte korelační koeficient na základě regresní přímky. 6.2 Časové Řady příklad Trendové křivky V tabulce jsou uvedeny hodnoty roční časové řady počtu narozených v Jihomoravském kraji za období 13 let: 20

21 rok t počet narozených Vyrovnejte časovou řadu jednak přímkou a jednak parabolou a posuďte pomocí indexu determinace vhodnosti těchto trendových funkcí. Sestrojte odhad počtu narozených pro další rok. příklad Nelineární trendová křivka Firma zabývající se provozováním internetového portálu zaznamenala za posledních 8 let prudký rozvoj, který dokumentuje tabulka dosaženého zisku před zdaněním (v tis. Kč): rok zisk Vyrovnejte hodnotu zisku vhodnou trendovou funkcí a sestrojte předpověď pro rok 2008 a (Nápověda: Jako vhodná trendová funkce je doporučena exponenciála T t = β 0 β t 1.) příklad Klouzavé průměry V tabulce jsou hodnoty časové řady kurzu akcií ABC, a.s. (v Kč za 1 akcii) během 12 po sobě jdoucích pracovních dnů: den kurz Vyrovnejte tuto řadu jednoduchými klouzavými průměry délky 3, 5 a Vyrovnejte tuto řadu 5-člennými klouzavými průměry 2.řádu. Nápověda: 5-členný klouzavý průměr 2.řádu má váhy 1 35 ( 3, 12, 17, 12, 3). příklad Model CAPM V listu akcie jsou časové řady měsíčních pozorování ceny akcie ČEZ a indexu Pražské burzy PX50. V sekci?? jsme si definovali výnosy, označte rt CEZ logaritmický výnos ČEZu v čase t, a logaritmický výnos PX50 v čase t. Určete následující: r PX t Pro logaritmický výnos akcie ČEZ: 1. Vytvořte graf logaritmického výnosu. 21

22 2. Odhadněte očekávaný výnos: Ê[r t ] = 1 T T r i = r. i=1 3. Odhadněte směrodatnou odchylku výnosu (volatilitu): σ r = Var[r t ] = 1 T (r i r) T Vytvořte 95% interval spolehlivosti pro očekávaný výnos. i=1 5. Testujte hypotézu, zda je očekávaný výnos roven nule. Capital Asset Pricing Model (CAPM) říká za předpokladu nulové bezrizikové úrokové míry následující: E[r i ] = β i E[r m ], kde r i je výnos akcie i, r m je výnos market portfolia a β i = Cov[ri,r m ] Var[r m ] a r m dělená rozptylem r m ). Model zapíšeme jako regresní model (kovariance mezi r i r i t = α i + β i r m t + ε t, t = 1,..., T, kde ε je náhodný šok nekorelovaný s r m (představuje nesystematické, idiosynkratické nebo také diverzifikovatelné riziko). Porovnáním obou rovnic je zřejmé, že CAPM implikuje α i = 0 (testujeme standardním t-testem). α i je také označováno jako Jensenovo α, viz s alpha. 1. Graf logaritmického výnosu ČEZu doplňte o logaritmický výnos PX Odhadněte model CAPM pro ČEZ, kdy jako market portfolio použijete index PX Testujte, zda α je statisticky významný parametr. 4. Odhadněte korelaci mezi log výnosy ČEZu a PX50. 22

23 7 Indexy příklad Řetězové a bazické indexy V tabulce jsou je uvedena spotřeba masa v ČR (v kg na obyvatele). Charakterizujte vývoj spotřeby masa v tomto období pomocí bazických indexů (1989 = 100) a řetězových indexů. rok spotřeba 97,4 83,0 79,4 77,8 79,8 80,6 80,5 81,4 příklad Řetězové a bazické indexy V tabulce je zachycen vývoj sklizní máku v letech Za některé roky známe přímo hodnoty, někde známe řetězové a jinde bazické indexy se základem v roce Dopočítejte chybějící údaje. i x i I i/i 1 I i/b příklad Souhrnné indexy Ceny a prodané množství pěti druhů zboží v březnu (základní období) a červnu (běžné období) roku 2006 jsou uvedeny v následující tabulce. zboží cena množství p 0 p 1 q 0 q 1 A B C D E Určete pomocí souhrnných cenových indexů, jak se změnily ceny v červnu oproti březnu. 2. Určete pomocí souhrnných objemových indexům jak se změnilo množství prodaného zboží v červnu oproti březnu. 23

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve Příklady k procvičení k průběžnému testu: 1) Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 8 tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Doporučené příklady k procvičení k 2. Průběžnému testu

Doporučené příklady k procvičení k 2. Průběžnému testu Doporučené příklady k procvičení k 2. Průběžnému testu - Statistika v příkladech Marek a kol. (2013) - kapitola 2.3, 9 řešené příklady 2.52-2.53, 2.58a,b - kapitola 3.1 o řešené příklady: 3.1, 3.2, 3.4

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě 31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě Motto Statistika nuda je, má však cenné údaje. strana 3 Statistické charakteristiky Charakteristiky polohy jsou kolem ní seskupeny ostatní hodnoty

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

4ST432. Kamil Kladívko. 1 Cena a výnos aktiva, volatilita 2. 1.1 Odhad očekávaného výnosu, interval spolehlivosti, test hypotézy...

4ST432. Kamil Kladívko. 1 Cena a výnos aktiva, volatilita 2. 1.1 Odhad očekávaného výnosu, interval spolehlivosti, test hypotézy... 4ST432 Modely ekonomických a finančních časových řad Kamil Kladívko Zadání úkolů a data najdete v souboru zadani432.xlsx. Výpočty jsou v souboru solution432.xlsx. Obsah 1 Cena a výnos aktiva, volatilita

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení ze 4ST201. Na případné faktické chyby v této prezentaci mě prosím upozorněte. Děkuji Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není v nich obsaženo

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b)

5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b) TEST 3 1. U pacienta je podozření na jednu ze čtyř, navzájem se vylučujících nemocí. Pravděpodobnost výskytu těchto nemocí je 0,1, 0,2, 0,4 a 0,3. Laboratorní zkouška je v případě první nemoci pozitivní

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chb v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tto slid berte pouze jako doplňkový materiál není v nich

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 10

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 10 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 10 regresní analýza - vícenásobná lineární regrese korelační analýza Př. 10.1 Máte zadaný výstup regresní analýzy závislosti závisle proměnné Y na nezávisle proměnné X. Doplňte

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010 Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

otec 165 178 158 170 180 160 170 167 185 165 173 175 syn 162 184 163 170 189 165 177 170 187 176 171 183

otec 165 178 158 170 180 160 170 167 185 165 173 175 syn 162 184 163 170 189 165 177 170 187 176 171 183 Regresní analýza 1. Byla zjištěna výška otců a výška jejich nejstarších synů [v cm]. otec 165 178 158 170 180 160 170 167 185 165 173 175 syn 162 184 163 170 189 165 177 170 187 176 171 183 c) Odhadněte

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

Pracovní list č. 3 Charakteristiky variability

Pracovní list č. 3 Charakteristiky variability 1. Při zjišťování počtu nezletilých dětí ve třiceti vybraných rodinách byly získány tyto výsledky: 1, 1, 0, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2. Uspořádejte

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách ROZKLAD ROZPTYLU ROZKLAD ROZPTYLU Rozptyl se dá rozložit na vnitroskupinový a meziskupinový rozptyl. Celkový rozptyl je potom součet meziskupinového a vnitroskupinového Užívá se k výpočtu rozptylu, jestliže

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Informační technologie a statistika 1

Informační technologie a statistika 1 Informační technologie a statistika 1 přednášející: konzul. hodiny: e-mail: Martin Schindler KAP, tel. 48 535 2836, budova G po dohodě martin.schindler@tul.cz naposledy upraveno: 21. září 2015, 1/33 Požadavek

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Stav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6

Stav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6 1. Příklad Byly sledovány rodinné stavy nevěst a ženichů při uzavírání sňatků a byla vytvořena následující tabulka četností. Stav Svobodný Rozvedený Vdovec Svobodná 37 10 6 Rozvedená 8 12 8 Vdova 5 8 6

Více

Téma 2. Řešené příklady

Téma 2. Řešené příklady Téma. Řešené příklady 1. V tabulce č. 1. jsou uvedeny údaje o spotřebě polotučného sušeného a polotučného tekutého mléka v jednotlivých létech. Tab. 1. (mil. l) \ rok 1998 1999 000 001 00 003 004 005 Polotučné

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání: Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

{ } ( 2) Příklad: Test nezávislosti kategoriálních znaků

{ } ( 2) Příklad: Test nezávislosti kategoriálních znaků Příklad: Test nezávislosti kategoriálních znaků Určete na hladině významnosti 5 % na základě dat zjištěných v rámci dotazníkového šetření ve Šluknově, zda existuje závislost mezi pohlavím respondenta a

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 8

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 8 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 8 analýza závislostí kontingenční tabulky test závislosti v kontingenční tabulce analýza rozptylu regresní analýza lineární regrese Analýza závislostí Budeme ověřovat existenci

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Vypočítejte: 8 3 10 9?? 29.11.2014 Tomáš Karel - 4ST201 2 n n! 8! 87654321 40320 k (n k)! k! (8 3)! 3! (5 4321) 321 1206 56 n n! 10! 109 8 7 6 5 4 3 2 1 10 k (n k)! k! (10 9)!

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

Matematická statistika

Matematická statistika Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické

Více

Časové řady - Cvičení

Časové řady - Cvičení Časové řady - Cvičení Příklad 2: Zobrazte měsíční časovou řadu míry nezaměstnanosti v obci Rybitví za roky 2005-2010. Příslušná data naleznete v souboru cas_rada.xlsx. Řešení: 1. Pro transformaci dat do

Více

III) Podle závislosti na celkovém ekonomickém vývoji či na vývoji v jednotlivé firmě a) systematické tržní, b) nesystematické jedinečné.

III) Podle závislosti na celkovém ekonomickém vývoji či na vývoji v jednotlivé firmě a) systematické tržní, b) nesystematické jedinečné. Měření rizika Podnikatelské riziko představuje možnost, že dosažené výsledky podnikání se budou kladně či záporně odchylovat od předpokládaných výsledků. Toto riziko vzniká např. při zavádění nových výrobků

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2014/15 Cvičení 5: Vícenásobná regrese, multikolinearita LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Jednoduchá

Více

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika?

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika? Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika 2012 2013 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hudecova@karlin.mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

náhodný jev je podmnožinou

náhodný jev je podmnožinou Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ Pravděpodobnost a statistika pro SŠ RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni sediva@kma.zcu.cz 28. března 2012 Počátky teorie pravděpodobnosti

Více

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky: Vzorek 1

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin. Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.

Více