Metod mreže za PDJ paraboličnog tipa
|
|
- Aleš Beneš
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Metod mreže za PDJ paraboličnog tipa Jednačine provodjenja toplote = 1D Difuziona jednačina: u t = u a x, Mešoviti problem jednačine provodjenja toplote: u t = u a + f(x, t), 0 x l, t 0 x (P) u(0, t) = p(t), u(l, t) = q(t), t > 0 granični uslovi u(x, 0) = g(x), 0 < x < l početni uslov Blac-Scholes PDJ: σ s U(s, t) U(s, t) U(s, t) + rs + ru(s, t) = 0 s s t Mešoviti problem jednačine Blac-Scholes: (BS) σ s U(s, t) U(s, t) U(s, t) + rs + ru(s, t) = 0, 0 s <, 0 t T s s t lim U(s, t) = r 1 (t), lim U(s, t) = r (t), 0 t T granični uslovi s 0 s U(s, T ) = h(s), s > 0 početni uslov Smenom x = log s + (r σ τ r(t y(x, τ) = e σ ) U )(T t), τ = σ (T t) ( r x ( e σ 1)τ, T τ ) σ jednačina Blac-Scholes se transformiše u jednačinu provod enja toplote. y(x, τ) τ = y (x, τ) x Numeričim metodama mešovite probleme rešavamo na D = {(x, t) : 0 x l, 0 t T }, D = {(s, t) : 0 s S, 0 t T } Numeriči metodi: Esplicitni diferencni metod Implicitni diferencni metod Θ metod Cran-Nicolsonov metod 1
2 Kora 1. - onstrucija mreže: čvorovi mreže (x i, t j ) prostorna disretizacija: x i = ih, i = 0, 1,,..., N + 1 vremensa disretizacija: t j = j, j = 0, 1,,..., M Slia 1: Mreža jednačine provodjenja toplote oraci mreže h = l N, = T M - poznate vrednosti u(x i, t j ) = u ij iz početnih i graničnih uslova: u(0, t) = p(t) = u 0,j = p(t j ) = p j, j = 0, 1,,..., M u(l, t) = q(t) = u N+1,j = q(t j ) = q j, j = 0, 1,,..., M u(x, 0) = g(x) = u i,0 = g(x i ) = g i, i = 0, 1,,..., N - približne vrednosti u i,j u(x i, t j ) oje treba odrediti Esplicitni metod Kora. - aprosimacija jednačine: Za aprosimaciju parcijalnog izvoda u t oristimo operator prednje razlie tj. aprosimaciju u t (x i, t j ) = u(x i, t j+1 ) u(x i, t j ) 1 u tt(x i, η j ), t j < η j < t j+1 do za aprosimaciju parcijalnog izvoda u xx oristimo operator centralne razlie tj. aprosimaciju (1) u xx (x i, t j ) = u(x i+1, t j ) u(x i, t j ) + u(x i 1, t j ) h Zamenom u PDJ dobija se x i 1 < ξ i < x i+1 1 h 4 u x 4 (ξ i, t j ), u(x i, t j+1 ) u(x i, t j ) = a u(x i+1, t j ) u(x i, t j ) + u(x i 1, t j ) h + f i,j + τ ij
3 gde je f(x i, t j ) = f i,j, τ ij = 1 4 u h x (ξ i, t 4 j ) 1 u tt(x i, η j ) = o(h ) + o() Odbacivanjem τ ij, dobija se diferencna aprosimacija jednačine provodjenja toplote () u i,j+1 u j i = a uj i+1 uj i + uj i 1 h + f j i. Ao označimo λ = a, dobija se h diferencna šema esplicitnog metoda: (3) u j+1 i = λ u j i+1 + (1 λ)uj i + λ uj i 1 f j i za { i = 0, 1,,..., N 1 j = 0, 1,,..., M 1 Slia : Grafiči priaz čvorova oji učestvuju u esplicitnoj diferencnoj šemi Diferencnu jednačinu (3) možemo zapisati u matričnom obliu: u j+1 = A u j f j za j = 0, 1,,..., M 1 gde je u 0 = g i (4) A = 1 λ λ λ 1 λ λ λ 1 λ λ λ λ λ 1 λ (5) u j = u 1,j u,j., f j = f 1,j f,j., g = g 1 g.. u N,j f N,j g N 3
4 Implicitni metod Kora. - aprosimacija jednačine: Ao za aprosimaciju parcijalnog izvoda u t oristimo operator zadnje razlie tj. aprosimaciju u t (x i, t j ) = u(x i, t j ) u(x i, t j 1 ) a (1) za aprosimaciju parcijalnog izvoda u xx, dobija se 1 u tt(x i, η j ), t j < η j < t j+1 (6) u j i u i,j 1 = a uj i+1 uj i + uj i 1 h + f j i. diferencna šema implicitnog metoda: (7) u j 1 i = λ u j i+1 + (1 + λ)uj i λ uj i 1 f j i za { i = 1,,..., N 1 j = 1,,..., M Slia 3: Grafiči priaz čvorova oji učestvuju u implicitnoj diferencnoj šemi Diferencnu jednačinu (7) možemo zapisati u matričnom obliu: Bu j = u j 1 f j za j = 1,,..., M gde je u 0 = g, u j, f j dato sa (5) i 1 + λ λ λ 1 + λ λ λ 1 + λ λ (8) B = λ λ λ 1 + λ 4
5 Stabilnost i analiza greše esplicitnog i implicitnog metoda Primer 1. u t = u x, 0 < x < 1, t > 0 (P 1 ) u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = g 1 (x) = sin π x, 0 < x < 1 Furijeovom metodom dobija se rešenje (9) u(x, t) = A n e (nπ)t sin(nπt), A n = n=1 1 0 g 1 (x) sin(nπx)dx Ao je g 1 (x) = sin π x, iz (9) se dobija tačno rešenje u(x, t) = e 4πt sin(πx) mešovitog problema (P 1 ) priazano na Slici 4. Slia 4: Tačno rešenje mešovitog problema (P 1 ) i (P ) Primer. u t = u x, 0 < x < 1, t > 0 (P ) u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = g (x), 0 < x < 1 gde je g (x) = Rešenje problema (P ) dato je sa (9) gde je A n = nπ { 0, 1 4 x 3 4 1, 0 x < 1 4, 3 4 < x 1 ( ( nπ cos 4 5 ) ( )) 3nπ cos 4
6 i priazano je na Slici 4. Za primenu esplicitnog metoda za rešavanje problema (P 1 ) nea je T = 0.1 i uzećemo N = 0, M {5, 10, 0}. Prema tome, (i) N = 0, M = 5, h = 1, = 0.0 λ = (ii) N = 0, M = 10, h = 1, = 0.01 λ = (iii) N = 0, M = 0, h = 1, = λ =. 1 Odgovarajuća numeriča rešenja za t = 0.0, t = 0.04, t = 0.1 priazana su na Slici 5. Za t = 0.0, t = 0.04 približne vrednosti su očeivane, pri čemu su za veće vrednosti M sve tačnije. Medjutim, za t = 0.1 postoji problem. Štaviše, upravo za M = 0, gde je u prethodnom slučaju metod bio najtačniji, za t = 0.1 približne vrednosti su sa veliom grešom oja oscilira. Dale, za t = 0.1 i M = 0 (λ =.), metod je nestabilan. Slia 5: Rešenje mešovitog problema (P 1 ) primenom esplicitnog metoda 6
7 Von Neumann metod ispitivanja stabilnosti Analitiča rešenja mešovitih problema linearnih PDJ drugog reda se Furijeovim metodom dobijaju preo periodičnih funcija cos x i sin x u svaom vremensom trenutu: u(x) = sin(κx) + i cos(κx) = e i κ x, κ = π l = π Nh. Ova f-ja u disretnim čvorovima mreže x i = ih je oblia u(x i ) = e i κ x i = e i κ i h. S druge strane, u analitičom rešenje jednačine provodjenja toplote vremensa funcija je esponencijalna e κt.u disretnom slučaju esponencijalna funcija je aprosimirana sa G(κ) j, gde je G(κ) = e K(κ). Dale, rešenje u disretnom slučaju možemo tražiti u obliu (10) u j i = G(κ)j e i κ x i. Zamenom u () za f(x, t) 0 (f j i Dale, G(κ) j+1 e iκ x i G(κ) j e iκ x i = 0) dobija se G(κ) 1 = a G(κ)j e iκ x i+1 G(κ) j e iκ x i + G(κ) j e iκ x i 1 h = a G(κ) j h ( e iκ (x i +h) e iκ x i + e iκ(x i h) ) = a G(κ) j h e iκ x i ( e iκ h + e iκh) = a G(κ) j h e iκ x i ( cos(κ h) ). = a (cos(κ h) 1) h G(κ) = 1 + a h (cos(κ h) 1) = 1 + λ (cos(κ h) 1) tz. fator rasta. Osnovno pitanje je ao se G(κ) j menja u zavisnosti od vremensog indesa j. Da bi metod bio stabilan, G(κ) j mora ostati ograničeno ada j raste bez obzira na vrednost κ. Uslov stabilnosti G(κ) 1 za svao κ. U suprotnom, G(κ) j ada j. Dale, tražimo masimalne moguće vrednosti za G(κ) tao da je G(κ) 1. cos(κ h) = 1 G(κ) = 1 κ max = π h κ max h = π cos(κ h) = 1 λ 1 (11) λ 1 uslov stabilnosti esplicitnog metoda: h a M a T h. 7
8 Za implicitni metod, zamenom (10) u (6),za f(x, t) 0 (f j i = 0) imamo G(κ) j e iκ x i G(κ) j 1 e iκ x i 1 G(κ) 1 = a G(κ)j e iκ x i+1 G(κ) j e iκ x i + G(κ) j e iκ x i 1 h = a h (cos(κ h) 1) G(κ) = 1 1 λ (cos(κ h) 1) G(κ) 1 za svao κ implicitni metod je bezuslovno stabilan Za dati primer primene esplicitnog metoda za rešavanje problema (P 1 ), gde je T = 0.1 i N = 0, da bi bio zadovoljen uslov stabilnosti (11) mora biti M > 88.. Da bi potvrdili oretnost zaljuča na Slici 6 priazana su numeriča i tačna rešenja za M = 90. Slia 6: Rešenje mešovitog problema (P 1 ) primenom esplicitnog metoda ada je ispunjen uslov stabilnosti (za λ = 0.49) Za primenu esplicitnog metoda za rešavanje problema (P ), nea je N = 6, tao da je uslov stabilnosti ispunjen za M > Numeriča rešenja za t = 0.1 priazana su na Slici 7 redom za M = 144 (λ = 0.506), M = 145 (λ = 0.503) i M = 146 (λ = 0.499). Za primenu implicitnog metoda na mešoviti problem (P 1 ), za N = 0 i T = 0.1, numeriča rešenja za t = 0.0, t = 0.04 i t = 0.1 priazana su na Slici 8-(a). Primetimo da što je M veće, približna rešenja se na sva tri vremensa nivoa sve više približavaju tačnom rešenju. Za primenu implicitnog metoda na mešoviti problem (P ), za N = 30 i T = 0.1, numeriča rešenja za t = 0.0, t = 0.04 i t = 0.1 priazana su na Slici 8-(b). Primetimo da što je M veće, približna rešenja se na sva tri vremensa nivoa svi više približavaju tačnom rešenju. Kao i od primene esplicitnog metoda (videti Sliu 7) približna rešenja se na sva tri vremensa nivoa približavaju tačnom rešenju sa povećanjem M. Medjutim, za razliu od esplicitnog metoda, od primene implicitnog metoda rešenja tačnost se postiže za mnogo manji broj oraa M. 8
9 Slia 7: Rešenje mešovitog problema (P ) za t = 0.1 primenom esplicitnog metoda za λ = 0.506, λ = i λ = Slia 8: Rešenje mešovitog problema (P 1 ) i (P ) primenom implicitnog metoda za t = 0.0, t = 0.04 i t = 0.1 9
10 Θ metod Analizom numeričih rešenja problema (P 1 ) sa Slie 5 i Slie 8-(a), vidimo da riva tačnog rešenja leži izmedju rivih oje su dobijene primenom esplicitnog i implicitnog metoda. Ova činjenica prirodno nameće problem onstrucije metoda oji je ombinacija esplicitnog i implicitnog metoda. Iz () i (6) imamo esplicitni metod: u j+1 i u j i = H i,j gde je implicitni metod: u j+1 i u j i = H i,j+1 H i,j = λ(u j i+1 uj i + uj i 1 ) f j i. za 0 θ 1 u j+1 i u j i = θ(u j+1 i u j i ) + (1 θ)(uj+1 i u j i ) = θh i,j + (1 θ)h i,j+1 (1) Θ metod: u j+1 i u j i = (1 θ) [ λu j+1 i+1 λuj+1 i + λu j+1 i 1 f ] j+1 i + θ [ λu j i+1 λuj i + λuj i 1 f ] j i, 0 θ 1 θ = 1 esplicitni metod θ = 0 implicitni metod Stabilnost Θ metoda: Za stabilnost metoda, zamenom (10) u (1) za f j i = 0, dobija se (G(κ) 1)G(κ) j e iκ x i = (1 θ)λ G(κ) j+1 e iκ x i ( cos(κ h) ) + θλ G(κ) j e iκ x i ( cos(κ h) ) (13) G(κ) = 1 (1 θ)λ (cos(κ h) 1) 1 + θλ (cos(κ h) 1) cos(κ h) = 1 κ = 0 G(κ) = 1 cos(κ h) = 1 κ max = π ( π ) h G = h 1 + 4(1 θ)λ 1 4θλ ( π G 1 κ; h) ( π G 1 λ(θ 1) h) 1 ao je 0 θ 1 Θ metod je bezuslovno stabilan ao je 1 < θ 1 Θ metod je stabilan za λ 1 (θ 1) 10
11 Prema tome, vrednost θ = 1/ je granična izmedju bezuslovne stabilnosti i uslovne stabilnosti. Ova vrednost je upravo arateristična za Cran-Nicolsonov metod i daje najmanju uupnu disretizacionu grešu od svih Θ metoda. Cran-Nicolsonov metod 1 = Θ metod Cran-Nicolsonov metod diferencna šema Cran-Nicolsonov metoda: λ u j+1 i+1 (1 + λ) uj+1 i + λ u j+1 i 1 = λ uj i+1 (1 λ)uj i λ uj i 1 + (f j i + f i,j+1) { i = 1,,..., N 1 za j = 0, 1,,..., M 1 ili u matričnom obliu (B + I)u j+1 = (A + I)u j (f j+1 + f j ) za j = 0, 1,,..., M 1 gde su matrice A i B definisane, redom, sa (4) i (8). Slia 9: Grafiči priaz čvorova oji učestvuju u Cran-Nicolsonovoj diferencnoj šemi Stabilnost metode Cran-Nicolson: Za stabilnost metoda iz (13) za θ = 1/ dobija se fator rasta u obliu 1 λ (cos(κ h) 1) G(κ) = 1 + λ (cos(κ h) 1) Dale, uslov stabilnosti G(κ) 1 je ispunjen za svao κ, pa je Cran-Nicolsonov metod bezuslovno stabilan. Za primenu Cran-Nicolsonovog metoda na mešoviti problem (P 1 ), za T = 0.1, N = 0 i M {5, 0}, numeriča rešenja za t = 0.0, t = 0.04 i t = 0.1 priazana su na Slici 10-(a). Primećujemo da su numeriča rešenja dobijena metodom Cran-Nicolsonova mnogo tačnija nego numeriča rešenja dobijena eplicitnom i implicitnom metodom (videti Sliu 5 i Sliu 4-(a)). Na Slici 10 za M = 0 tačno i numeričo rešenje se jedva razliuju!! Za primenu Cran-Nicolsonovog metoda na mešoviti problem (P ), za T = 0.1, N = 30 i M {5, 10, 0}, numeriča rešenja za t = 0.0, t = 0.04 i t = 0.1 priazana su na Slici 10- (b). Očigledno, postoji problem u oolini tačaa a = 1/4 i b = 3/4 u ojima početna funcija 11
12 Slia 10: Rešenje mešovitog problema (P 1 ) i (P ) primenom Cran-Nicolsonovog metoda za t = 0.0, t = 0.04 i t = 0.1 ima preid prve vrste. Sa povećanjem M problem je manje izražen, a taod e sa povećanjem vremena soovi približnog rešenja su manji. L stabilnost Fator rasta Cran-Nicolsonov metode moženo priazati u obliu: G(ν) = 1 ν κ h, ν = ν(κ) = λ sin 1 + ν Kao G(ν) 1 ada ν, to znači da G(ν) j opada sa povećanjem j, ali veoma sporo ao ν(κ) raste. Ova daje objašnjenje šta se desilo u primeni Cran-Nicolsonov metode na Slici 10. Naime, brzina opadanja približnog rešenja sa soovima dobijenog Cran-Nicolsonovim metodom očigledno je nedovoljna i soovi ostaju mnogo duže nego što bi trebalo. Da bi ovo detaljnije objasnili postoje dva aspeta problema oji utiču na njegovo nastajanje. Prvo, Furijeov red onvergira u tačama preida funcije g(x), ali jao sporo, što znači da sabirci sa veliim λ n = nπ/l utiču na vrednost rešenja. Ao je κ = λ n imamo κh = nπ h l = π n n + 1 biće sin (κ h/) 1. Drugo, da bi dobili dobru aprosimaciju u tačama preida neophodno je uzeti mali ora h, što dovodi do veliih vrednosti λ izuzev ao je vremensi ora jao mali. Zajedno ove dve pojave dovode do veliih vrednosti ν(κ), što za posledicu ima da je opadanje približnog rešenja sporije u oolini tačaa preida nego što bi trebalo. Ovo taodje objašnjava i zašto problem manje izražen sa povećanjem M na Slici 10. 1
13 Zašto od primene implicitnog metoda nema ovavih problema? Kod implicitnog metoda fator rasta u funciji od ν(κ) je oblia G(ν) = ν, tao da G(ν) opada monotono a nuli ada ν. Kao rezultat imamo da ča iao je ν velio, soovi u približnom rešenju ne zadržavaju se dugo u oolini tačaa preida. Zapravo, što je ν veće, fator G(ν) j u približnom rešenju opada sve brže sa vremenom. Ovavo ponašanje približnog rešenja od neih metoda dovodi do uvodjenja jačeg uslova stabilnosti oja se naziva L-stabilnost: Ao je NM stabilan i ao G(ν) j 0 ada ν, ažemo da je L-stabilan. Cran-Nicolsonov metod nije L-stabilan, ali implicitni metod jeste. Hopscotch metod Za primenu implicitnog i Cran-Nicolsonovog metoda na svaom vremensom nivou t = t j, j = 1,,..., M treba rešiti odgovarajući sistem jednačina za izračunavanje u j i, i = 1,,..., N. Da bi se izbeglo rešavanje sistema često se u primenama oristi Hopscotch metod oji je ao i Cran-Nicolsonov metod ombinacija esplicitnog i implicitnog metoda. Naime, na svaom vremensom nivou t = t j najpre se izračunaju približne vrednosti u esplicitnim čvorovima (Slia 11) oje zatim omogućavaju diretno izračunavanje približnih vrednosti u implicitnim čvorovima. esplicitni čvorovi implicitnim čvorovi Slia 11: Hopscotch metod 13
14 Wolfram Demonstrations Project Numerical Solution of Some Fractional Diffusion Equations: Θ metod za λ = 1 θ (λ = 0 - implicitni, λ = 1 - esplicitni, λ = 1/ - Cran-Nicolsonov) za PDJ: gde je D 1 γ f(t) = 1 t Γ(γ) 0 u t = u D1 γ x, 0 < x < l, t > 0 f(s) (t s) 1 γ ds. Za γ = 1 dobija se jednačina provodjenja toplote. Vremensi ora t i broj vremensih oraa n se može izabrati Prostorni ora je fisiran x = 1 i broj oraa N x = 10 Početni uslov je u(x, 0) = 4x, x x, < x x, 1 < x x, 3 4 < x 1 double tent 14
Diferencne jednačine. Gospava B. Dor dević i Snežana S. Dor dević
Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacyu/mii Matematika i informatika 1 (1-2) (2008), 15-28 Diferencne jednačine Gospava B Dor dević i Snežana S Dor dević U matematici
VíceLiteratura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceIT Arhitektura Globalno Belma Ohranović IT Auditor
IT Arhitektura Globalno Belma Ohranović IT Auditor System Landscape Landscape view Šta možemo revidirati? Pitanja? Šta možemo provjeriti za system landscape? Koje zahtjeve možemo pokriti? Šta možemo revidirati?
VíceŽ Í É Ý Í Ú ú Ó š ů š ú š Č ú š š ů ž ž ž ů ž ž Í ú ú ú ů ú š š ž ž š Í ž ž š ů ů ž ž ů š ž ů ž š š ů š š ů š ů ž š ů š ž ú ů š ž š ž ž ž ž š ň š ů ů ů Í ž š ů š š ů ž ů š Í ů š š ž ú ú Í š Í ň š ů Í ž
VíceSIC1602A20. Komunikační protokol
SIC1602A20 Komunikační protokol SIC1602A20 Mechanické parametry Rozměr displeje 80 x 36 mm Montážní otvory 75 x 31 mm, průměr 2.5mm Distanční sloupky s vnitřním závitem M2.5, možno využít 4mm hloubky Konektor
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceZend Framework Object Relation Model. Dr Nenad Kojić Marko M Spasojević inž. spec
Zend Framework Object Relation Model Dr Nenad Kojić Marko M Spasojević inž. spec Uvod Kako obezbediti vezu izmeñu koda i podataka Uvek je bio problem pronaći zajednički jezik izmeñu dva pristupa u opisivanju
Více24. Parciální diferenciální rovnice
24. Parciální diferenciální rovnice Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2011/12 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla) Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x)
VíceŠ ÍŠ Ť ž Ť Ý č ď č š Ť č č č š č Ť š š Ť Í šč š č č č č Ď č Ť č š š ť Š Ť Ť Š č č č ž Š č č š Ť Ť ž Ť ť Ť č š š Ť ť Ť ť č č Ť ž š Ť š Ť Ť š Ť š Ť Ť ť Č š Ť č š Ť č Ť ť č č š Ť ť Ý Ť š ď š Í Ť Í ť Ť ť š
VícePříklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka
Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní
Víceé č í é ě í ž ý Ú á í ž ý í ý Á Í ÁŘ É Á áš í ý á ář é í á í ž ý í Ř ú á á č ý š á í š í řá ě č á í í é ář é á é á í í ó á í é č á ú ě ý á í ý žň á í í é ó ó é í á ěř í č í á ů ř ě é ář é á í ář é á á
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INTELIGENTNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INTELLIGENT SYSTEMS VLIV PŘESNOSTI
VíceLiteratura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA Dnešní látka: Metoda sítí pro D úlohy. Poissonova rovnice. Vlnová rovnice. Rovnice vedení tepla. Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 3, ČVUT, Praha,. Text přednášky
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Vícek n ( k) n k F n N n C F n F n C F F q n N C F n k 0 C [n, k] [n, k] q C [n, k] k n C C (n k) n C u C u T = T. [n, k] C (n k) n T = k (n k). F n N u = (u 1,..., u n ) v = (v 1,..., v n ) F n d(u, v) u
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceLiteratura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:
VícePříklady pro cvičení 22. dubna 2015
Úvod Předběžná verze (015) 1 1 Normy vektorů a matic, vlastnosti matic Příklad 1.1 Pro dané vektory x = ( 1; ; 1) T, y = (; 3; 1) T určete x =? x =? x 1 =? y =? y =? y 1 =? Příklad 1. Je dán vektor x =
Více❷ s é 2s é í t é Pr 3 t str í. á rá. t r t í str t r 3. 2 r á rs ý í rá á 2 í P
❷ s é 2s é í t é Pr 3 t str í Úst 2 t t t r 2 2 á rá t r t í str t r 3 tí t 2 2 r á rs ý í rá á 2 í P ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE I. OSOBNÍ A STUDIJNÍ ÚDAJE Příjmení: Hurský Jméno: Tomáš Fakulta/ústav: Fakulta
Víceč Í Ř É á á é á á á á á í í í á č á á Á Ř É Á á é á í š í ěš č ě čá č éý ě Č ÍÚ í á í é í é ěš í í á í í é í č í é ěš ě íž á ě á é č ě á č ÍÚ Í Í í ť á í é í í č í Č á ě á í í á É Ž Á Á Í Ě Í ž ě í ě á
VíceCvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí (
Cvičení 11 1. Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí ( σxx τ xy τ xy σ yy ) (a) Najděte vyjádření tenzoru napětí v soustavě souřadnic pootočené v rovině xy o
VíceZápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A
skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost
VíceKatedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus
Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16
Víceó Č ř Č Ž ú ř ř ř Ž ř ř ů ů Š ř ů ň ů ř Í ů ř š Ž ř ž ž šš ž ú ó ů ú š ů ů š š ů ů ž ž ú ú ů š ů ř š ř š ž ú ú ů ň ů ř ů ř ř ř ř ř ů ú ř š ř ů ř ň ř ú ž ň ú Í É Š š Í š ú š š Č ř ž ú ú ď ř Ú Í Ý Ý ů Ž
VíceZkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny
VíceINFORMAČNÍ LIST VÝROBKU
INFORMAČNÍ LIST VÝROBKU Informace v informačním listu výrobku byly uvedeny v souladu s s Delegovaným nařízením Komise (EU) č. 65/2014 doplňujícím směrnici Evropského parlamentu a Rady 2010/30/EU ve vztahu
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 207 Studijní program: Fyzika Studijní obory: FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Nechť (a) Spočtěte lim n x n. (b)
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceLiteratura: O. Zindulka: Matematika 3 (kapitola 4, kapitola 5)
Předmět: MA03 Opakování: formulace okrajové úlohy (OÚ), skalární součin funkcí, ortogonalita funkcí Nová látka: vlastní čísla a vlastní funkce OÚ ortogonalita vlastních funkcí řešitelnost OÚ Literatura:
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
Více0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému
2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka
VíceFunkcionální řady. January 13, 2016
Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine
Více2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.
Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n
VíceMatematické modelování elmg. polí 3. kap.: Elmg. vlnění
Matematické modelování elmg. polí 3. kap.: Elmg. vlnění Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/ Text byl
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Fyzikální geodézie 3/7 Výpočet lokálního geoidu pro body
VíceTENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
VícePřednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení
VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat
VíceDiferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
VíceKatedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus
Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte
VíceVzorové řešení zkouškové písemky
Vzorové řešení zkouškové písemk Funkce komplexní proměnné a integrální transformace doc. RNDr. Marek Lampart, Ph.D. 4. prosince 7 Obecná pravidla čas: 9 minut počet zadaných příkladů: 6 hodnocení: každý
VícePARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Základní pojmy Řešení rovnice je hledání neznámé, která po dosazení do této rovnice vytvoří rovnost. V případě ODR byla neznámou funkce jedné proměnné obvykle ji označujeme
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
Více11.Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic
1 11Numerické řešení parciálníc diferenciálníc rovnic Metoda sítí(finite difference metod) Připomeňme definici derivace funkce jedné proměnné Je-li bod x vnitřním bodem definičnío oborufunkce f,pakderivacefunkce
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceDefinition: Faktor potiskivanja srednje vrednosti signala predstaljva odnos diferencijalnog pojačanja i pojačanja srednje vrednosti signala
Definition: Faktor potiskivanja srednje vrednosti signala predstaljva odnos diferencijalnog pojačanja i pojačanja srednje vrednosti signala Faktor potiskivanja srednje vrednosti signala Definicija: Faktor
Víceě Ý úř á é á ě úř ú á é ě á Ú é Í á é á ě ř Íú ň á á é á ě á á ě úř é á é úř úř ř š á ú á á ř á š ř á á ř ř ž žá ň á Č á Í á é á ě á Í á ř á á á á áš ě š ú ě ú ú ř řá ů Í é ě ň ň á á ú Úš ř á Ú ť ř á ú
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
Více1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
VíceAnizotropní interakce v pevných látkách (CSA, DC, MAS, dipolární dekaplink)
() Auhor: jiri brus Anioropní inerakce v pevných lákách (CSA, DC, MAS, dipolární dekaplink) Anioropie chemického posunu a MAR 1958 Lowe, I.J. Free Inducion Decays in Roaing Solids, Phys. Rev. Le. (1959);
Víceγ α β E k r r ρ ρ 0 θ θ G Θ G U( r, t) w(z) w 0 ω z R z U( r, t) 1 c 2 2 U( r, t) t 2 = 0, U( r, t) U( r, t) = E( r, t) U( r, t) = u( r)e iωt. u( r) + k 2 u( r) = 0, k = ω/c u( r) = A exp( i k r), k
VíceUniverzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce
Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceMediji za prenos podataka
Mrežni hardware v.as.mr. Samir Lemeš slemes@mf.unze.ba Univerzitet u Zenici - 2008 Mrežni hardware Brzina prenosa podataka Mrežna oprema Struktuirano kabliranje Optički kablovi Bežične mreže 1 UTP (Unshielded
VíceÝČ Í Č Í Á Č Á Á š Ř Ý É Ú Ý Á Ř Á Í Á Ý Á É ŤŤ Á Í Á Á Č Š ďí Í Ý Í ó ú Č ó Í Ý Ž Ž Í Í Í Í Ž Ó ň ň Ó Í ú ú Í š Í š Ó úš Ž Á Č š Ť š š Ú Í Ý Ú Š Š š Ú Ť ó Áš Ó Ž ÁŤ ó Í š Ó š Š Í Ď š ÓŽ Í Ž Ó ň Í Í š
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VíceZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Bakalářská práce Vícebodové okrajové úlohy s asymetrickými nelinearitami a tlumením Plzeň 01 Iveta Looseová Čestné prohlášení
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceProstorové konstrukce. neznámé parametry: u, v w. (prvky se středostranovými uzly)
Konečné prvk pro řešení 3D úloh Prostorové konstrukce neznámé parametr: u, v w volba různého počtu uzlů a neznámých v uzlech možnost zakřivených hran prvků (prvk se středostranovými uzl) Opakování: Geometrické
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Víceó Šú ž ó ó ó É Ž É Š Ž Š ú ů ó š Š Š Ž ó Š Ž ú ů Š Ž ň š ů É Ž š Ž ó Ž ů ň š š ů š Ú ů Š Ž ž ó Ž ů ú É Ú š É Ť ú ů Š Ž Š š Ť É Š Š Ž Ž Š Š ť ť ť Ž É Š Š Š Ž š Š Ž Ž Ů Š š Ž Ý Ý Š Ž Š Ž Ť Ž É Ý Š Š Ž š
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VíceŠ Ž ů Č á ž ř á ň á ř ž ů Č žá á ž č á ž ř á ž ž ř ž ď á ř ž ž á á ů ž á č á řč á ř ž ů á á ž ď á ř á ň á á á á á č ř ď á ř á á ž ů ř á á ř á á ž á č Č á á ů ř Ž Č čá Č ř á á ř Č ň ž ř ř č Ř Ž á ž á ř
Víceť Á ČÍ Á ť ť Í Á Í Í ú ť Ů Ů ú ť Ě Ů Ž ť ť Ů Ů Ů Á ť Í Ó Á Ý ň Č Ě Ó Ž ň ť ú ň ť Ě Í Í Í Á Ý ť Í Á Ž Ů ť Ů Ž Ě ť ť ú ť ť ť Ž Ě Ě ť Ů Ů Ě Ů Ě Ž ť Ě Ě Ě Ó Í Ď Ó ť Ě Ě Í Ý Ě Ů Ó Ů ť ť ť É Ž Š Š Š Ž Č Š Š
VíceNové směry v oceňování derivátů: Opce se stochastickou volatilitou
Nové směry v oceňování derivátů: Opce se stochastickou volatilitou Jiří Málek Abstrakt V první části e uveden vztah (4) pro obecný derivát záviseící na dvou (neobchodovatelných) instrumentech. Tento vztah
VíceO 2O U < OE 1 I " P U U W U -4 U 4 U O 4 ^ ^ &.. U / E U - 1$ U U - 1 U - `\ U 1 & 1 U - ^ &.. 1 U 14 U M $ U & P O U
& @ O2O U < OE 1 I " P U U W U -4 U 4 U O 4 U @^^&..U / E U -1$ U U - 1 U -`\ U 1 &1 U - O @1^^&..1 U 14 U -1@B @M $ U WD-@D &1@P O U U O JG '! # I =F # I O = O N! ='3Z. M 3? N I ae O V2 =F V M AF?% I.a
VíceDefiniční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.
vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.
VíceĚ Š é žď ř ř ž ň ů é é ď ó ď ř š Č ř ů š É š ú ž ř ř ž ň ů ú é é ú š š é ú ž é ů ď ú š š ú ň ů é ř é ž é ž ř ď ž ř é š ř š ť ž ř ů ď ď ř š ď ž ř ů ř ř é ř ů žď ř ř ř ň É ó é šť žď ř ř ú ň ú é é ž ú ň é
VíceApriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
VíceStabilizace Galerkin Least Squares pro
Fakulta strojní ČVUT Ústav technické matematiky Stabilizace Galerkin Least Squares pro MKP na řešení proudění o vyšších Reynoldsových číslech Ing. Jakub Šístek Doc. RNDr. Pavel Burda, CSc. RNDr. Jaroslav
VíceÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE
ÚVO O MOELOVÁNÍ V MECHNICE MECHNIK KOMPOZITNÍCH MTERIÁLŮ 2 Přednáška č. 7 Robert Zemčík 1 Zebry normální Zebry zdeformované 2 Zebry normální Zebry zdeformované 3 Zebry normální 4 Zebry zdeformované protažené?
VíceTepelná vodivost pevných látek
Tepelná vodivost pevných látek Přenos tepla vedení mřížková část tepelné vodivosti Dvouatomový lineární řetězec přiblížení např. NaCl (1) u -1 (A) u s-1 (B) u (A) u s (B) u s+1 (B) u +1 (A) Např. = příčné
VíceVzdálenosti a východ Slunce
Vzdálenosti a východ Slunce Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Vzdálenosti a východ Slunce Aplikace matem. pro učitele 1 / 8 Osnova Zdeněk Halas (KDM
VíceJiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015
Kartografie 1 - přednáška 2 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Kartografické zobrazení kartografické zobrazení vzájemné přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních
Více2 ab. ), (ii) (1, 2, 3), (iii) ( 3α+8,α+12,6α 16
Řešení úloh... Hroch dostane 80 mg prvního a 80 mg druhého přípravku.. V hospodě je 0 čtyřmístných šestimístných a osmimístné stoly.. i) pro ab právě jedno řešení: x = 5b ab y = a+5 ab pro a = 5 ab = nekonečně
VíceČ Č É Č Č ů ť ú šť Ž š ů Č Č Š š ž Š ň š ž š ů Č ů š ó ž ó ň ó ó ó É š ů Ž ú š ů ú š ž Ž š ú ů ů š š š ů ů ů Č ú ů ů šť ž ů š ů ž ž ú š Ž š ž ú ů š ů ň ů ů š ů š ž ů ů ů ů š š ď ó ď š ů ú ú ú ů ů ž ů ů
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VícePlán instalace. Sušička s tepelným čerpadlem. . Plan instalacije. Sušilica s toplinskom pumpom PT 8337 WP. hr - HR cs - CZ 08.
Plán instalace Sušička s tepelným čerpadlem. Plan instalacije Sušilica s toplinskom pumpom PT 8337 WP hr - HR cs - CZ 08.11 09 236 910 / 01 Obavezno pročitajte upute za uporabu i ugradnju prije postavljanja
VícePOSLOUPNOSTI. 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2
POSLOUPNOSTI 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2 n+1n, d) a n = n! n n 2. 2. Najděte předpis pro n-tý člen
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
VíceNosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)
Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek
Víceó ÝšÉč ó Áč š ó š č ň ž š ó ř č č ř č š č ř č ř ř Ť ó š Ž Ú č č š ž ř ó ř ž Ž Ó žň Ť Ž č č Ý š ž ž ř č š š Ž ř Ž Ú ú ž ř ž č ž č š ř ž ú ó ř š ů ž č ó ú ž ž Á ň š ř ů ú Ž č ř ů Ž č ž ř ů ó Ú É ž š č ř
Víceš ř č éč é ú ř ě ě ě ý ř ř ý č ě ř ě é ř č ř Ž é ů é ě é ě ě é ě ř é ý ý ť č ď ý ů ůč ě č é Ž é ř ú Ž ý ú ě é ý ý ú ů ý ž ě Ž ř ěď é ě é č ě šč é ě ď č č č š ř ř ě é ě š ů ř č š ě é é ř ě ď ň ř č ý ě Ž
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceNumerická matematika. Úvodní informace. Viz Kontakt: Petr Sváček, KN:D 201
Numerická matematika Úvodní informace Viz http://mat.fs.cvut.cz Kontakt: Petr Sváček, KN:D 201 Soustavy rovnic, souvislost s praxí Těleso nahradíme diskrétními body, hledáme neznámé fyzikální veličiny
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 207 Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Studijní program: Studijní obory: Varianta A Matematika MMUI Navrhněte deterministický konečný
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta A tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (5 bod ) Nech f (x), g(x) L 1 () a f (x) dx = A, x f (x) dx = µ, Vypo ítejte, emu se rovná z( f g)(z) dz. g(x)
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské stuium 05 Stuijní program: Stuijní obor: Řešení příklaů pečlivě oůvoněte. Příkla (5 boů) Spočtěte ke M {(y, x) R ; x 0, x + y a}. Příkla (5 boů) Nalezněte supremum
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceA constitutive model for non-reacting binary mixtures
A constitutive model for non-reacting binary mixtures Ondřej Souček ondrej.soucek@mff.cuni.cz Joint work with Vít Průša Mathematical Institute Charles University 31 March 2012 Ondřej Souček Charles University)
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
Více1 Parciální diferenciální rovnice prvního řádu
1 Parciální iferenciální rovnice prvního řáu 11 Lineární homogenní parciální iferenciální rovnice ve vou nezávisle proměnných ax, y + bx, y0 1 Řešenímjefunkce uux, y Hleáme vrstevnice funkce u Nechť mají
Více