5 Poměr rychlostí autobusu a chodce je stejný jako poměr drah uražených za 1 hodinu: v 1 = s 1

Transkript

1 Řešení úloh 1 kola 7 ročníku fyzikální olympiáy Kategorie C Autoři úloh: J Thomas (1,, 3), J Jírů (4, ), J Šlégr (6) a T Táborský (7) 1a) Označme stranu čtverce na mapě Autobus za 1 hoinu urazí ráhu s Choec za 1 hoinu urazí ráhu s ( ) Poměr rychlostí autobusu a choce je stejný jako poměr rah uražených za 1 hoinu: v 1 s 1 1 v s b) Nejprve určíme místo zastávky Jeho souřanice buou souřanicemi průsečíku přímky y 1 x (trajektorie autobusu) s přímkou y x + 14 (trajektorie choce) Řešením soustavy ostaneme x,6 a y,8 Protože autobus musí o 1:30 h urazit ráhu s a (, 6) + (, 8) 6,6 a za hoinu ujee ráhu s 1, bue mu jíza k zastávce trvat obu t a 6,6 3 0,933 h 6 min, bue tey na zastávce ve 13:6 h Choec musí urazit o 10:00 h z bou ráhu s ch (,6 ) + (,8 4) 1, 34 a za hoinu uje ráhu s, bue mu cesta k zastávce trvat obu t ch 1,34,40 h h 4 min Na zastávku tey orazí ve 1:4 h a bue na 4 autobus čekat 6 minut 4 boy c) Choec uje vzálenost za,7 h, za hoinu tey uje ; cesta k zastávce mu bue trvat t ch 1,34 3,30 h 3 h 18 min Na zastávce tey bue 8 minut pře příjezem autobusu Alternativní řešení části b): Při hleání místa zastávky vyjeme z poobnosti trojúhelníků: H / G Z E Obr R1 F

2 Trojúhelník HZG je poobný trojúhelníku GF E: HZ F G EG HZ Trojúhelník GF E je poobný trojúhelníku F ZE: EZ EZ 4 ráha uražená chocem z bou pak bue a oba jeho chůze t ch H + HZ 4 3 h h h 4 min ráha ujetá autobusem z bou A k zastávce je AB + EZ a oba jeho jízy t a a) Pole pohybového zákona platí: F m v t h 6 min m(v 1 v ) t b 6, N Potřebná brzná ráha je s 1 v 1 + v t b 67, m boy b) Práce výslené síly působící na automobil během zrychlování je rovna přírůstku jeho kinetické energie: ma s 1 m(v 3 v ) v 3 v + a s 0 m s 1 ráhu s projel automobil za obu t 3 v 3 v a,0 s boy c) Rychlost automobilu během zrychlování závisí na čase pole vztahu v v + a t Motor musí vyvinout sílu o velikosti F ma + F o a jeho okamžitý výkon závisí na čase pole vztahu P F v (ma + F o )(v + a t) [ma + ( {v + a t} ) N](v + a t), který použijeme pro výpočet tabulky a sestrojení grafu:

3 W V 3 N: 3 N: W V ) Rychlost automobilu se zmenší na rychlost traktoru za obu t 4 v 3 v T a 3 Za tuto obu ujee automobil ráhu s 3 v 3 + v T s T v T t 4 Platí + s T s 3 + s 0, t 4 a traktor ráhu s 3 s T + s 0 v 3 + v T t 4 v T t 4 + s 0 (v 3 v T ) + s 0 0,6 m a 3 3a) Protože ρ < ρ 1, bue kotouč plovat a h < h 1 bue vnořen pouze ve voě Tíhová síla a vztlaková síla jsou v rovnováze, proto hsρg HSρ 1 g H ρ ρ 1 h 1, cm b) Protože ρ 1 < ρ < ρ, bue kotouč zcela po hlainou voy a částečně vnořen o rtuti Platí hsρg y 1 Sρ 1 g + y Sρ g a také y 1 + y h, ke y 1 je výška kotouče, nacházejícího se ve voě a y je výška kotouče, nacházejícího se ve rtuti Řešením soustavy ostáváme c) y h ρ ρ 1 ρ ρ 1 1,08 cm H h 1 + y 11,1 cm 4 boy

4 4a) Vyjeme z rovnováhy mezi urychlujícími a brzícími silami: Z rovnice plyne m 1 g sin α 1 + m g sin α 1 fm g cos α 1 tg α 1 fm, α 1 16 m 1 + m boy (Výsleek lze též získat po vyřešení části c) z pomínky a x 0) b) Označme r poloměr válce, J moment setrvačnosti válce a ε velikost úhlového zrychlení otáčení válce Táhlo nebue namáháno, jestliže se kažé z těles bue pohybovat samostatně se stejným zrychlením Velikost samostatného zrychlení válce je určena pohybovou rovnicí m 1 a 1 + Jε r m 1g sin α, ke J 1 m 1r, ε a 1 r Z rovnice plyne a 1 3 g sin α Velikost samostatného zrychlení kváru je určena pohybovou rovnicí z níž plyne Z rovnosti a 1 a ostaneme m a m g (sin α f cos α ), a g (sin α f cos α ) tg α 3f, α 0 c) Vyjeme z pohybové rovnice soustavy obou těles: ( m 1 a x + Jε ) + m a x (m 1 + m ) g sin α fm g cos α, r ke Po osazení a úpravě ostaneme J 1 m 1r, ε a x r 4 boy a x (m 1 + m ) sin α fm cos α 3 m g 1 + m Při sklonu α 1 se soustava bue pohybovat rovnoměrně zpomaleným pohybem se zrychlením o souřanici a x 0,66 m s 4 boy

5 a) Uvažujme voorovnou osu otáčení procházející těžištěm ležícího suu a kolmou k rotační ose suu Pak z rovnosti momentů tíhových sil na a pláště suu plyne: ( ) π H 4 h πh h Z rovnosti ostaneme h H 0,36 m + 4H boy b) Práci určíme jako rozíl potenciálních energií suu v rovnovážné poloze vratké a v počáteční poloze: ( ) W 1 mg 4 + h mg ( ) W mg 4 + (H h) mg [ [ 4 + ( H H mg +4H 4 + 4H 4 ( + 4H) ] ) [ ] ( ) 4 + H(+H) +4H 0 J ] 80 J 4 boy c) Su je nutné uchopit v nejvzálenějším boě o osy otáčení při převracení a silou působit kolmo ke spojnici místa uchopení a bou otyku suu s voorovnou polahou (obr R3) Síla má maximální velikost v počáteční poloze, ky je též největší moment tíhové síly Pole momentové věty platí: F + H mg (H h) F h mg Obr R3

6 Úpravou ostaneme F H h + H mg H( + H) ( + 4H) mg 0,47 mg 140 N + H 4 boy 7a) Užitím stavové rovnice a násleným vyjářením teplot ostaneme: 1 stroj T A p 0V 0 10 K stroj T A p 0V 0 41 K T B p 0V 0 41 K T B p 0V 0 41 K T C 6p 0V 0 7 K T C 4p 0V K T 3p 0V K T 4p 0V K 1 bo b) Práci W 1 vykonanou prvním tepelným strojem během jenoho cyklu ostaneme, kyž o vykonané práce během izobarického zahřátí W BC oečteme práci vykonanou vnějšími silami při izobarické kompresi W A Pak platí W 1 W BC W A, ke W BC 4p 0V 0 a W A p 0 V 0 Po osazení ostaneme W 1 W BC W A p 0 V 0,00 kj 1 bo Práci W vykonanou ruhým tepelným strojem během jenoho cyklu ostaneme, kyž o součtu vykonané práce během izobarického zahřátí W B C a izotermické expanze W C oečteme součet práce vykonané vnějšími silami při izobarické kompresi W A a izotermické kompresi W A B Pak platí W W B C + W C W A W A B, ke W B C p 0 V 0, W C T C ln 4V 0 V 0 4p 0 V 0 ln, W A p 0V 0, W A B T A ln V 0 V 0 p 0 V 0 ln Po osazení ostaneme W p 0 V 0 ln 1,39 kj boy c) Celkové oané teplo Q 1 během jenoho cyklu prvnímu tepelnému stroji je áno součtem oaných tepel při izochorickém zvýšení tlaku Q AB a izobarickém zahřátí Q BC Pak platí Q 1 Q AB + Q BC,

7 ke Q AB nc V (T B T A ) n 3 R p 0 V 0 m 3 p 0V 0, Q BC nc p (T C T B ) n R 4p 0 V 0 m 10p nr 0 V 0 Po osazení ostaneme m Q 1 Q AB + Q BC 3 p 0V 0 11, kj boy Celkové oané teplo Q během jenoho cyklu ruhému tepelnému stroji je áno součtem oaných tepel při izobarickém zahřátí Q B C a izotermickém zahřátí Q C Pak platí Q Q B C + Q C, ke Q B C nc p (T C T B ) n R p 0 V 0 m p nr 0 V 0, Q C T C ln 4V 0 m V 0 4p 0 V 0 ln 4p 0 V 0 ln Po osazení ostaneme Q Q B C + Q C p 0V 0 ( + 4 ln ) 7,77 kj boy ) Účinnost lze určit jako poíl vykonané práce a oaného tepla během jenoho cyklu Pro účinnost prvního tepelného stroje platí η 1 W 1 p 0V 0 3 Q 1 p 4 0V 0 3 Pro účinnost ruhého tepelného stroje platí 17,4 % η W Q p 0 V 0 ln p 0 V 0 ( + 4 ln ) ln ( + 4 ln ) Účinnosti tepelných strojů jsou téměř shoné 17,8 % boy