7.3.2 Parametrické vyjádření přímky II

Transkript

1 7 Paraetriké vyjádření příky II Předpoklady Pedagogiká poznáka V podstatě pro elou hodinu platí že příklady by neěly působit žáků větší probléy Pokud se probléy objeví (stává se to často) je třeba se neustále vraet k rovnii X = A + tu a význau jednotlivýh členů v ní Př 1 Jsou dány body A[ ;] a [ ; 1] na příe AB bod C [ 6;]? Urči y-ovou souřadnii bodu [ 1;? ] příe AB Na paraetriké vyjádření příky potřebujee A ; bod [ ] sěrový vektor = = B A = ( ; ) B Najdi paraetriké vyjádření příky AB Leží u AB x = + t y = t Dosadíe bod C 6 = + t = t Vypočtee z obou rovni paraetr t = t 6 = + t = t t = 1 = t t = = Hodnoty paraetru t se liší Bod C neleží na příe AB D tak aby ležel na Dosadíe bod D 1 = + t y = t Soustava dvou rovni o dvou neznáýh Z první vypočtee t a dosadíe do druhé 1 = + t y = t = = 0 = t t = D 1;0 Bod D á souřadnie [ ] Pedagogiká poznáka Pokud á někdo s předhozí příklade probléy (a á k dispozii vlastní sešit) je třeba ho trestat Př Je dán trojúhelník ABC; A[ ;] B[ ; 1] C [ ;5] Urči paraetriké vyjádření příky na které leží a) strana AB b) výška v ) osa strany AB d) těžnie t a e) střední příčka SABS AC a) strana AB A ; Bod [ ] 1

2 sěrový vektor = B A = ( 6; ) = ( ; ) b) výška v Bod C [ ;5] sěrový vektor výšky AB u x = + t y = t; v je kolý na sěrový vektor příky AB = ( ;) Paraetriké vyjádření příky na které leží výška v ) osa strany AB x = + y = 5 + t; u Je kolá na stranu AB prohází její střede S Bod S v je kolý na sěrový vektor příky AB = ( ;) sěrový vektor výšky Paraetriké vyjádření osy strany AB d) těžnie t a Příka určená body [ ;] A [ ;] S Bod A[ ;] sěrový vektor S A ( 5; 1) BC BC x = 1+ y = 1+ t; = = ( 5; 1) u Paraetriké vyjádření příky na které leží těžnie t e) střední příčka SABS AC Příka určená body S S AC [ 0;] Bod S sěrový vektor S S = ( 1; ) = ( 1; ) AC AB u x = + 5t y = t; Paraetriké vyjádření příky na které leží střední příčka SABS AC u x = 1 t y = 1+ t; Př Najdi souřadnie alespoň tří bodů které leží na příe p {[ 1 t; t] ; t R} Paraetriké vyjádření příky p {[ 1 t; t] ; t R} = + = + představuje dvě rovnie x = 1 do který ůžee za paraetr dosadit libovolné reálné číslo a títo dosazení y = + t získáe souřadnie bodu na příe Dosazujee x = 1 = 1 0 = 1 t = 0 t = 1 y = + t = + 0 = x = 1 = 1 1 = 1 y = + t = + 1 = bod A [ 1; ] (souřadnie byly viditelné ihned) bod B[ 1; ]

3 t = 1 t = ( ) ( ) x = 1 = 1 1 = y = + t = + 1 = x = 1 = 1 = 5 y = + t = + = 6 bod C [ ; ] bod D[ 5; 6] Pokud určené body vynesee do soustavy souřadni zjistíe že opravdu leží na příe y D[-5; 6] A[1;] B[-1; ] C[; ] x Př Jakou společnou vlastnost ají body ležíí na ose x? Jaká je společná vlastnost bodů x = + 5 t; na ose y? Urči průsečíky příky q se souřadnýi osai y = + t; Body na ose x [ 0; 0 ] [ 1; 0 ] [ ; 0] souřadnii nulovou ůžee je psát jako [ ] Body na ose y [ 0; 0 ] [ 0;1 ] [ 0; ] [ ] souřadnii nulovou ůžee je psát jako Y [ 0; y ] 15; 0 všehny body na ose x ají y-ovou X x ; 0 0; π všehny body na ose y ají x-ovou Hledáe průsečík příky q s osou x bod který leží na příe a á tvar X [ x ; 0] Dosadíe do rovnie příky paraetru t 0 = + t / = / t = Dosadíe do první rovnie 19 X ; 0 x = + 5t 0 = + z druhé rovnie ůžee vypočítat hodnotu x = + 5t = + 5 = = průsečík

4 Hledáe průsečík příky q s osou y bod který leží na příe a á tvar Y [ 0; y ] Dosadíe do rovnie příky 0 = + 5 t z první rovnie ůžee vypočítat hodnotu y = + paraetru t 0 = + 5 t / + 5t = / 5 t = Dosadíe do druhé rovnie y = + = + = + = průsečík 0; Y 5 Př 5 Jsou dány příky p = {[ t; + t] ; } q X [ 1; 1] t ( 6; ) = + a x = + t; r Zakresli tyto příky do kartézské soustavy souřadni y = 1 t; U všeh příek ůžee postupovat stejně určíe souřadnie dvou bodů a ty pak využijee k zakreslení příky do soustavy souřadni {[ ; ]; } p = t + t t = 0 t = 1 q X [ 1; 1] t ( 6; ) x = t = 0 = y = + = + 0 = bod A [ ; ] (souřadnie byly viditelné ihned) x = t = 1 = 1 y = + = + 1 = 0 = + bod B[ 1; 0] x = 1+ 6t = = 1 t = 0 y = 1 t = 1 0 = 1 bod E [ 1; 1] (souřadnie byly viditelné ihned) x = 1+ 6t = = 7 t = 1 y = 1 t = 1 1 = bod F [ 7; ] x = + t; r y = 1 t; x = + = + 0 = t = 0 t = 1 y = 1 t = 1 0 = 1 x = + = + 1 = 1 y = 1 t = 1 1 = 0 Získané body zakreslíe do soustavy souřadni bod K [ ;1] (souřadnie byly viditelné ihned) bod L[ 1; 0]

5 -6 - K[-; 1] - y B=L[-1; 0] E[1; -1] - - A[; -] 6 x F[7; -] Všehny body leží na jedné příe platí p q r Př 6 Vysvětli výsledek předhozího příkladu Tři různá paraetriká vyjádření představovala stejnou příku Napíšee si počáteční body a sěrové vektory všeh vyjádření ; u = ; p A[ ] ( ) q E [ 1; 1] v = ( 6; ) r K [ ;1] = ( ; 1) w Všehny sěrové vektory ají stejný sěr (jsou si navzáje násobky u = -w v = w ) představují stejný sěr Počáteční body příek q a r leží na příe p Paraetriké vyjádření příky není jednoznačné jako startovní bod ůžee použít libovolný bod příky (nekonečně noho ožností) jako sěrový vektor ůžee použít i libovolný násobek libovolného sěrového vektoru Veli často se sěrový vektor získaný pooí zadanýh bodů zjednodušuje kráení tak aby paraetriké vyjádření příky bylo o nejjednodušší Př 7 Najdi paraetriké vyjádření příky AB; A[ ;] [ ; 1] tak aby obsahoval o nejenší hodnoty Bod A[ ;] sěrový vektor = B A = ( 5; 5) = ( 1; 1) AB u x = + t y = t; Př 8 Najdi paraetriké vyjádření příky AB; A [ ;] B[ 1;0 ] B Sěrový vektor zvol Sěrový vektor zvol tak aby obsahoval o nejenší hodnoty a iniu zápornýh souřadni Bod A [ ;] sěrový vektor = B A = ( ; ) = ( ;1) AB u 5

6 x = + y = + t; Pedagogiká poznáka Následujíí příklad je doáí úkol pro žáky kteří ěli probléy s příklade číslo Př 9 Je dán trojúhelník KLM; K [ 1; ] L [ 5;6] [ ; ] M Urči paraetriké vyjádření příky na které leží a) strana LM b) výška v ) osa strany KL d) těžnie t l e) střední příčka SKLS a) strana LM L 5;6 Bod [ ] sěrový vektor = M L = ( 8; 8) = ( 1;1) Paraetriké vyjádření příky LM b) výška v Bod M [ ; ] LM u x = 5 + t y = 6 + t; sěrový vektor výšky v je kolý na sěrový vektor příky KL K ( 6; ) ( ;1) ( 1; ) KL = L = u = u = v Paraetriké vyjádření příky na které leží výška v ) osa strany KL Je kolá na stranu KL prohází její střede KL [ ;5] Bod S [ ;5] KL S x = + t y = + t; sěrový vektor osy strany KL je kolý na sěrový vektor příky KL (a rovnoběžný se sěrový vektore výšky v ) u = ( 1; ) x = + t Paraetriké vyjádření osy strany KL y = 5 t; d) těžnie t l Příka určená body [ 5;6] L [ ;1] S Bod L [ 5;6] sěrový vektor S L ( 7;5) = = ( 7;5) u Paraetriké vyjádření příky na které leží těžnie t l e) střední příčka SKLS Příka určená body S KL [ ;5] [ ;1] Bod S [ ;5] KL S x = 5 + 7t y = t; 6

7 sěrový vektor S S = ( ;) = ( 1;1) příky LM) KL u (rovnoběžný se sěrový vektore Paraetriké vyjádření příky na které leží střední příčka SKLS Př 10 Petáková strana 106/vičení a) ) strana 106/vičení a) ) x = + t y = 5 + t; Shrnutí Oezení hodnot paraetru ůžee vyjádřit i části příky 7