( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky II. Předpoklady: 7312

Transkript

1 .. Vzálenost bou o přímk II Přepokl: Pegogiká poznámk: Průběh hoin honě závisí n tom, jk oolní jsou stuenti v oszování o vzorů, které je nejtěžší částí hoin. Dlším problémem pk mohou být rovnie s bsolutní honotou. Pegogiká poznámk: Násleujíí příkl nvzuje n poslení příkl minulé hoin. Snžím se, b si stuenti ujsnili, o je stejné, o je jink pole toho se zříili. Pegogiká poznámk: Násleujíí příkl počítáme pouze nltikým přístupem (ruhá vrint), konstrukční přístup je uveen pouze pro emonstri. Bo n příme njeme v, v kžé lvii tk vznikne vojie, která se snží ojít k výsleku věm (trošku) různými způsob. Př. : Nji přímku, která je rovnoběžná s přímkou p : + = 0 je o ní vzálen. Dv způsob řešení. Konstrukční přístup: Hlená přímk je rovnoběžná rovnie + = 0 potřebujeme njít bo, přes který přímk prohází hleáme bo vzálený o přímk + = 0 o tkovýh boů je nekonečně mnoho musíme omezit výběr, npříkl bueme hlet pouze bo n ose. Anltiký přístup: Hlená přímk je rovnoběžná rovnie + = 0 hleáme pomínku, kterou přímk splňuje která nám určí prmetr. Hlená přímk je vzálen o přímk + = 0 o je vzálen o libovolného bou přímk + = 0 o. Hleáme bo n příme p : + = 0 : jenu souřnii zvolíme, ruhou opočítáme. Volíme souřnii (u je číslo při opočítávání souřnie se nemusí ělit), nekonečně mnoho možností. = = 0 = P [ ;0], = + = 0 P ;. = [ ] Hlená přímk + = 0 je o nlezeného bou vzálen o. P, přímk + = 0. Bo [ ] ;0 p + bp b + + = / = hleáme čísl, jejihž obrz je o obrzu čísl vzálený o =, = 8. P, přímk + = 0. Bo [ ] ; p + bp b + + = / = hleáme čísl, jejihž obrz je o obrzu čísl vzálený o =, = 8.

2 V rovině eistují ve vzálenosti vě přímk rovnoběžné s přímkou p : + = 0 : q : + = 0, q : 8 = 0. Ke stejnému výsleku bhom ospěli i konstrukčním přístupem. Bo n ose : A. Dosíme o vzore pro vzálenost: p + bp = + b +. = Použijeme + =. Rovnie s bsolutní honotou ělíme n intervl: = 0 =. ; ; 0 = + + = = 8 8 = Dv bo, které splňují pomínk. A [ ] Dosíme o rovnie: + = + = 0 =. + = 0 0 = = = = 8 A Dosíme o rovnie: 8 + = + = 0 = 8. 8 = 0 Pegogiká poznámk: U konstrukčního přístupu velká část žáků potřebuje iskusi o roli bou A v řešení příklu. Je o to, b si uvěomili, že bo A je pouze pomoným ílem k nlezení rovni přímk že si ho můžeme volit libovolně. Ni nám te nebrání si ho zvolit o nejjenoušeji. Př. : N příme + = 0 nji bo, který je o přímk + = 0 vzálen. Souřnie bou A ; n určení vou neznámýh potřebujeme vě rovnie. Bo A leží n příme + = 0 vhovuje její rovnii + = 0. Bo A je o přímk + = 0 vzálen : p + bp b + Z první rovnie + = 0 osíme o ruhé =.

3 ( ) = = + = = / = hleáme čísl vzálená o o v. = = = = A [ ;] = = = ( ) = A [ ; ] Řešením příklu je vojie boů A [ ;] A [ ; ]. Pegogiká poznámk: Nejůležitějším místem příklu je sestvení rovni. Npíšeme pomínk n tbuli slovně, le sestvení rovni musí nejříve provést smosttně žái. Orienti v příklu může zlepšit pojmenování přímek. Žákům to nezkzuji, le ni to z ně neělám. Př. : Sestv soustvu rovni v přehozím příklu, poku si jko hlený bo zvolíme B ;. bo [ ] Souřnie bou B[ ; ] n určení vou neznámýh potřebujeme vě rovnie. Bo B leží n příme + = 0 vhovuje její rovnii + = 0. Bo A je o přímk + = 0 vzálen : p + bp b +. Použití bou B[ ; ] je rhlejší, le vžuje lepší orienti v oszování o rovni. Pegogiká poznámk: Pro některé stuent je přehozí oszení oprvu oříšek, zejmén fkt v první pomíne, k po oszení zůstne rovnie beze změn. Př. : Jsou án vě rovnoběžné přímk + 6 = 0 = 0. Nji přímku, která je s nimi rovnoběžná má o obou stejnou vzálenost. Příkl je možné řešit věm způsob: nltik npoobením konstruke. Anltiké řešení: Hlená přímk je rovnoběžná s přímkou = 0 je popsán rovnií + = 0. Koefiient určíme pomoí libovolného bou n této příme. Zvolíme si npříkl bo s nulovou -ovou souřnií: 0 + = 0 =. Bo je stejně vzálen o přímek = = 0.

4 = = + = + řešíme po intervleh: + 6 = / 0 ( ; + = = 0 K = ; + = + = = ; ) = + = 0 K = Hlenou přímkou je přímk + = 0. Konstrukční řešení: Rovnoběžku, která je osou pásu můžeme vést střeem libovolné úsečk, která má krjní bo n přímkáh + 6 = 0 = 0. Průsečík přímk + 6 = 0 s osou : = 0 Průsečík přímk = 0 s osou : 0 = 0 B. + = = stře úsečk AB: S AB 8. Rovnie rovnoběžk: + = 0, osíme bo Osou pásu je přímk + = 0. S AB = bo [ ] A. = bo 8 : = = Pegogiká poznámk: Stuenti mjí teneni uělt průměr z koefiientů v obou rovniíh, ož je možné pouze v přípě, že jsou obě rovnie postvené n stejném normálovém vektoru. V tkovém přípě, je smozřejmě o řešení nejrhlejší: + ( ) + = 0, = 0 = =. Př. : Nji všehn bo rovin, které mjí stejnou vzálenost o přímek p : + = 0 q : = 0. Z obrázku je zřejmé, že hlené bo tvoří vě přímk os obou úhlů, které přímk svírjí. q p

5 Zkusíme njít tto přímk pomoí pomínk ze zání. X ;. Hleáme bo [ ] + Vzálenost bou X [ ; ] o přímk p : + = 0 :. + Vzálenost bou X [ ; ] o přímk q : = 0 :. + + Obě vzálenosti se rovnjí: = / :. + = musíme ostrnit bsolutní honot. Dvě možnosti: umonění: ( ) ( ) + = - získáme stršné výrz n obou strnáh, ověřování si ušetříme, obě strn bl pře umoněním klné, ostrnění bsolutní honot: výhonější nepřibuou nám ruhé monin. Jk zjistíme, k ostrnit bsolutní honot, výrz uvnitř jsou složité. Jsou jen čtři možnosti, které rovnou vzkoušíme: ob výrz záporné: + = + = = 0 + = ob výrz klné: + = + = + = 0 (stejná přímk jko v přehozím přípě) levý výrz klný, prvý záporný: + = + = + = = 0 levý výrz záporný, prvý klný: + = + = + = + = 0 (stejná přímk jko v přehozím přípě) Množinu všeh boů rovin, které mjí stejnou vzálenost o přímek p : + = 0 q : = 0 tvoří vojie přímek + = 0 + = 0. Př. 6: Petáková: strn 9/vičení 6 strn 9/vičení 66 strn 9/vičení 68 strn 9/vičení Shrnutí: