Parciální diferenciální rovnice

Transkript

1 Parciální diferenciální rovnice

2 Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s variačním počtem Co nebude obsahovat... metody integrálních transform. nelineární rovnice* teorie Sobolevových prostorů teorie distribucí numerické řešení PDR Schrödingerova rovnice * - až na výjimky (Burgersova rovnice, variační počet, Kirchhoffova transformace, Eulerovy rovnice,...)

3 Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s variačním počtem Co nebude obsahovat... metody integrálních transform. nelineární rovnice* teorie Sobolevových prostorů teorie distribucí numerické řešení PDR Schrödingerova rovnice * - až na výjimky (Burgersova rovnice, variační počet, Kirchhoffova transformace, Eulerovy rovnice,...) Dle potřeby zopakujeme, resp. probereme teorie funkčních, zejména Fourierových řad úvod do vektorové analýzy úvod do funkcionální analýzy

4 Parciální diferenciální rovnice Známe obyčejné diferenciální rovnice (ODR) F ( x, u(x), u (x),..., u (n) (x) ) = 0 neznámá = funkce jedné proměnné řešení = n-krát spojitě diferencovatelná funkce taková, že rovnost je splněna v každém bodě nějakého intervalu

5 Parciální diferenciální rovnice Parciální diferenciální rovnice (PDR) F ( t, x, y, z, u, u t, u x,..., n u,... ) = 0 x i... x j neznámá = funkce více proměnných (KLASICKÉ) řešení = n-krát spojitě diferencovatelná funkce taková, že rovnost je splněna v každém bodě nějaké oblasti Poznámka: Často jedna výjimečná proměnná - čas PDR obsahuje časovou derivaci - EVOLUČNÍ neobsahuje časovou derivaci - STACIONÁRNÍ

6 PDR jako dynamický systém systém popsán stavovými veličinami ze stav. prostoru x X vývoj stavu systému v čase popsán dynamickým systémem změna x(t) = f (t, vlivy) čas t čas t dim X diskrétní spojitý 1 diferenční obyčejná rovnice diferenciální r. konečná soustava soustava diferenč. r. ODR nekonečná nekoneč. dim PDR diskrétní DS a jejich soustavy

7 Klasifikace rovnic řád rovnice - nejvyšší derivace v rovnici linearita rovnice lineární - lineární vzhledem k neznámé u, př.: xu t y 2 u xy = 3 nelineární semilineární - lineární v nejvyšší derivaci př.: x 3 u xxx + u xu t = 2 kvazilineární - lineární v nejvyšší derivaci, koeficienty mohou záviset na nižších derivacích př.: uu xx u t = u 2 zcela nelineární př.: det( 2 u) f (x, u, u) = 0 (Monge-Ampére)

8 úlohy podobně jako pro ODR obecné řešení, tj. všechna řešení rovnice (málokdy se podaří) partikulární řešení splňující nějaké dodatečné podmínky, např. okrajové, počáteční, chování v nekonečnu atp.

9 Korektní úloha dle Hadamarda existence jednoznačnost spojitá závislost na datech úlohy

10 Notace, značení, úmluvy Parciální derivace budeme značit u x = xu = u x, atp. Je-li v R n jednotkový vektor a x R n, pak i = x i, f v ( f ( x + h v) f ( x) x) = lim, h 0 h spec. pro v = n vektor vnější normály f n = n f ( f f = grad f =,..., f ) x 1 x n f n = f n

11 Divergence a rotace vektorového pole f div f = f = i f i x i, rot f = f Laplaceův operátor, laplacián (stopa Hessovy matice) f = div( f ) = ( )f = i 2 f x 2 i spec. ve 3D div f = 1 f f f 3, rot f = ( ) 2 f 3 3 f 2, 3 f 1 1 f 3, 1 f 2 2 f 1 Platí f = xx f + yy f + zz f rot( f ) = 0, div(rot f ) = 0 rot(rot f ) = (div f ) f