ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY. Michal Friesl

Transkript

1 Robust 14, Jetřichovice ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

2 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Úvod Analýzníkům při zkoumání jejich problémů vycházejí rozdělení, překvapeni, že v diskrétním i spojitém případě některé výsledky stejné Obsah Časová škála a rovnice Transportní rovnice Difuzní rovnice Zainteresovaní kolegové: Antonín Slavík (MFF UK) Petr Stehlík, Jonáš Volek (FAV ZČU)

3 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Časová škála Množina T časových okamžiků libovolná uzavřená T R T = R T = Z Funkce zrnitosti µ t = vzdálenost od t k dalšímu µ t = čas t zprava spojitý µ t > čas t zprava diskrétní obecná t µ t t + µ t Zobecněná derivace u(t + µ t ) u(t) (diference) u t (t) = µ t u(t + h) u(t) lim (derivace) h + h

4 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Uvažujme funkci u : T X R Dynamická rovnice kde X je diskrétní stavový prostor, X = Z popř. X = N u(t) :=(u(t, x), x X ) = (u x (t)) x X : T l (X) Pro lineární omezený operátor A : l (X) l (X) zkoumáme omezená řešení rovnice (soustavy rovnic pro každé x jedna) u t (t) = A u(t), s počáteční podmínkou u(t ) = u. t T Řešením (předp. I + Aµ t pro každé t T invertibilní) hodnoty zobecněné exponenciely e A,t u(t) = ( e A,t (t) ) (u )

5 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Prostor T X (čas spojitý)

6 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Prostor T X (čas diskrétní)

7 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Prostor T X (čas obecný)

8 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Funkce u(t, x) na T X

9 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Při pevném t chápeme u(t) = (u x (t)) jako prvek l

10 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Při pevném t chápeme u(t) = (u x (t)) jako prvek l

11 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Při pevném t chápeme u(t) = (u x (t)) jako prvek l

12 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Při pevném t chápeme u(t) = (u x (t)) jako prvek l

13 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Obrázek x 1 t 4 Hodnoty u(t) v čase t určují derivaci u t v čase t

14 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Transportní rovnice Příklady rovnic u t = ku x neboli u t x = k(u x u x 1 ) Difuzní rovnice u t = (u x ) x neboli u t x = u x+1 u x + u x 1 Či obecněji u t x = bu x + au x 1 V tomto příspěvku rovnice u t x = au x 1 + bu x + cu x+1 na nezáporné časové škále T, ), min T =, sup T =, předp. počet diskrétních bodů na omezených intervalech konečný s počáteční podmínkou v čase

15 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Cílem vyšetřit u omezených řešení Zkoumané vlastnosti zachování znaménka u() = u(t) princip maxima u() K = u(t) K A vlastnosti integrálů zachování prostorového integrálu x u x (t) = x u x () časové integrály T u x(t) t konečnost, stejné pro všechna x Stačí při počáteční podmínce { 1, x = u(, x) =, x = (při ostatních přenásobením/nakombinováním)

16 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Funkce u(t, x) na T X

17 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Prostorový integrál (součet)

18 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Prostorový integrál (součet)

19 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Prostorový integrál (součet)

20 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Prostorový integrál (součet)

21 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Funkce u(t, x) na T X

22 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Časový integrál

23 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Časový integrál

24 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Zkoumané vlastnosti x 1 t 4 Časový integrál

25 Robust 14, Jetřichovice ÚVOD Cílem vyšetřit u omezených řešení Zkoumané vlastnosti zachování znaménka u() = u(t) princip maxima u() K = u(t) K A vlastnosti integrálů zachování prostorového integrálu x u x (t) = x u x () časové integrály T u x(t) t konečnost, stejné pro všechna x Stačí při počáteční podmínce { 1, x = u(, x) =, x = (při ostatních přenásobením/nakombinováním)

26 Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Transportní rovnice u t x = k(u x u x 1 ) (k > ) Rozepsáno pro bod t diskrétní: u x (t + µ t ) u x (t) µ t = k ( u x (t) u x 1 (t) ) u x (t + µ t ) = (1 kµ t ) u x (t) + kµ t u x 1 (t) Pro bod t spojitý: u x(t) = ku x (t) + ku x 1 (t) Předpokládáme kµ t < 1 t

27 Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Pro T = {, 1,,... } a k 1 S jednotkovým diskrétní časem u x (t + 1) = (1 k)u x (t) + ku x 1 (t) Tedy soustava u(t + 1) = P T u(t) diferenčních rovnic pro pravděpodobnosti homogenního markovského řetězce (X, X 1,... ) s diskrétním časem a maticí pravděpodobností přechodu P = (Bernoulliův proces) 1 k k 1 k k Řešením: u x (t) = ( t x )kx (1 k) t x 1 k x 1 x x + 1 k

28 Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Vlastnosti Zachování znaménka a prostorový integrál (u x (t)) x X tvoří pro každé t rozdělení automaticky u x (t) 1 automaticky x u x (t) = 1 Princip maxima pravděpodobnosti přechodu p xy (t) po t krocích závisí jen na x y u x (t) = k u x k () p x k,x (t) sup }{{} x u x () 1 Časové integrály = p x,x+k (t) t u x (t) je očekávaná doba strávená řetězcem ve stavu x každý stav navštíven jednou, doba τ setrvání geometricky rozdělená t u x (t) = E I Xt =x = E τ = 1/k, tedy konečné a x stejné

29 Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Se spojitým časem Pro T = R u x(t) = ku x + ku x 1 Tedy soustava u (t) = Q T u(t) Kolmogorovových prospektivních rovnic pro pravděpodobnosti homogenního markovského řetězce (X t, t ) se spojitým časem a s maticí intenzit přechodu (Poissonův proces) Q = Řešením: u x (t) = e kt (kt)x x! k k k k......

30 Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Vlastnosti Zachování znaménka a prostorový integrál (u x (t)) x X tvoří pro každé t rozdělení automaticky u x (t) 1 automaticky x u x (t) = 1 Princip maxima pravděpodobnosti přechodu p xy (t) pro interval délky t závisí na x y u x (t) = k u x k () p x k,x (t) sup }{{} x u x () 1 Časové integrály = p x,x+k (t) u x (t) dt je očekávaná doba strávená řetězcem ve stavu x každý stav navštíven jednou, doba τ setrvání exponenciálně rozdělená u x (t) dt = E I Xt =x dt = E τ = 1/k, tedy konečné a x stejné

31 Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Obecný čas Pro obecný okamžik t s µ = µ t (všechna µ t < 1/k) t spojitý (µ t = ): t diskrétní (µ t > ): u x(t) = ku x (t) + ku x+1 (t) u x (t + µ t ) = (1 kµ t )u x (t) + kµ t u x+1 (t) Tedy rovnice pro markovský řetězec se smíšeným časem ve vnořeném řetězci přechod x x + 1 s pravděpodobností 1 a doba čekání na výstup ze stavu: - ve spojitých časech s intenzitou k - v diskrétních s pravděpodobností kµ t Vlastnosti znaménko, prostorový integrál, princip maxima zůstávají časový integrál s menším zamyšlením...

32 Robust 14, Jetřichovice TRANSPORTNÍ Doba ve stavu Jsme-li na začátku intervalu ve stavu, do střední doby interval přispěje: je-li spojitý délky s: s e kt dt + e ks (následující) je-li diskrétní délky µ: µ + (1 kµ) (následující) tj. diskrétní délky µ stejně jako spojitý délky s µ = 1 k ln(1 kµ) kdt kµ s µ kdt 1 kµ kdt s s µ Místo diskrétních intervalů vložíme do T spojité (s µ > µ) řešení u se změní (na Poissonův proces), ale střední doby stejné časový integrál na struktuře časové škály T nezávisí

33 Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Rovnice difuzního typu Předpokládáme u t x = au x+1 + bu x + cu x 1 a, c, u diskrétních bodů navíc bµ t < 1 Speciální případy transportní rovnice a =, b = c difuzní rovnice a = c = 1, b = Postup nejprve pravděpodobnostní případ a + b + c = obecný případ převedením na pravděpodobnostní, předvedeme pro T = {, 1,,... } a T =, )

34 Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Pravděpodobnostní případ Pro T = {, 1,,... } a b 1, resp. T =, ), a a + b + c = t diskrétní: t spojitý: u x (t + 1) = au x 1 (t) + (1 + b)u x (t) + cu x+1 (t) u x(t) = au x 1 (t) + bu x (t) + cu x+1 (t) Tedy rovnice pro pravděpodobnosti markovského 1 + b c a řetězce s maticí pravděpodobností resp. s maticí intenzit. x 1 x x P = c 1+b a c 1+b a, Q = c b a.. c b a Z vlastností rozepišme snad jen časové integrály...

35 Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Časové integrály Vnořeným řetězcem známá náhodná procházka a c a+c odpovídá T = {, 1,,... } a a = a+c, 1 + b =, c = a = c: stavy trvalé nulové, t u x(t) = a > c: stavy přechodné, do x vždy a t u x(t) = (a c ) 1, do x < s pravděpodobností ( c a ) x a t u x(t) = ( c a ) x (a c ) 1 Původní řetězec při návštěvě stavu v něm setrvá po dobu průměrně 1/( b), tedy při a = c zůstává u x (t) t =, { při a > c: u x (t) t = 1 b 1 u a c x, x(t) = (c/a) x t a c x < Podobně jako v případě transportní rovnice se nahlédne, že stejný výsledek platí i pro ostatní časové škály.

36 Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Obecný diskrétní případ Jednotkový čas T = {, 1,,... } a a, c >, b < 1 libovolné a + (1 + b) + c + d = 1 tj. d = (a + b + c) Dosazením: rovnici splňuje funkce u(t) = (1 d) t ũ(t) kde ũ je řešením pravděpodobnostní rovnice s ã = a 1 d, 1 + b = 1 + b 1 d, c = c 1 d. V případě d > (a + (1 + b) + c < 1) můžeme interpretovat jako řetězec s dodatečným absorpčním stavem.

37 Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ T =, ), a, c >, b libovolné Dosazením: rovnici splňuje funkce Obecný spojitý případ a + b + c + d = u(t) = e dt ũ(t) kde ũ je řešením pravděpodobnostní rovnice s ã = a, c = c, b = (a + c). V případě d > (a + b + c < ) můžeme interpretovat jako řetězec s přidaným absorpčním stavem vlastnosti platí, dokonce lépe u x (t) e dt, x u x (t) = e dt V případě d < v nerovnostech e dt kdy bude u x (t) dt <, můžeme spočítat...

38 Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Časové integrály Pro řetězec ( X t ) z pravděpodobnostní rovnice s ã, b, c označme T n = okamžik n-té změny stavu; T = τ n = doba strávená ve stavu po n-té změně stavu, T n = n 1 τ k Integrál poskládáme z příspěvků jednotlivých přechodů (vnořeného řetězce) u x (t) t = D(, t)ũ x (t) t = E D(, t)i Xt =x t ( Tn+1 ) = E D(, t) t u x(n) = n T } n I n u x(n) {{} n I n kde D(t 1, t ) = (1 d) t t 1 resp. e d(t t 1 ) označuje diskontní faktor a I n je střední diskontovaná doba strávená řetězcem ( X t ) po n-té změně stavu do příští změny

39 Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Výpočet D n Příspěvek n-tého přechodu {}}{{}}{ I n = E ( τn ) T n+1 T n D(, t) t = E D(, T n ) E D(T n, t) t T n D n je střední diskontní faktor do n-té změny stavu, D n = (D 1 ) n e n je střední diskontovaná doba do opuštění stavu (diskontovaná k okamžiku vstupu do stavu), e n = e 1 V diskrétním resp. spojitém případě (předp. b > ) E 1 = E(1 d) T i = E 1 = E e dt i = 1 (1 d) k ( b)(1 + b) k 1 = b d b e dt b e bt dt = b = a + c b + d b e n = a + c b e 1 = E τ 1 (1 d) k resp. E τ e dt dt, tedy e 1 = 1 d (1 D 1) = 1 b

40 Robust 14, Jetřichovice DIFUZNÍ Výsledek V případě T = {, 1,,... } i T =, ) stejné hodnoty (tak by vyšlo i pro jiné časové škály), v řadě pro časový integrál u x (t) t = n I n u x(n) je n-tý člen při n I n u x(n) = e 1 u x(n) D n 1 1 = 1 b 1 konst ( 4a c ) n( b d n b a součet konečný právě když 4ac < b ( ) n n+x (a ) n+x (c ) n x ) n 1 = konst ( a + c ) n b n ( 4ac b ) n

41 Robust 14, Jetřichovice Shrnutí Použití výsledků z markovských řetězců v pravděpodobnostním případě automatické vlastnosti transformací i nepravděpodobnostní případ časové integrály nezávisí na konkrétní časové škále nezabývali jsme se a, c < ani t < Analogicky pro náhodnou procházku s více možnostmi kroků než 1,, 1 ve vícerozměrných prostorech (místo X mít X, X 3 ) Nelineární případ? rovnice u t(t) = A u(t) s nelineárním operátorem A

42 Robust 14, Jetřichovice ROVNICE NA ČASOVÝCH ŠKÁLÁCH A NÁHODNÉ PROCESY Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni friesl/rob14.html