Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 1. Příklad 2. Modifikace M systému k=6p.
|
|
- Oldřich Čermák
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 1 Příklad 2. Výpočet pomocí rozšířeného Bernoulliho schematu. Příklad řeší výpočtem rozložení prvků losovaných k do nepravidelně rozděleného počtu všech možných n celku. Volíme podobně jako v příkladu č.1 často používaný model loterní hry 6 losovaných z celku 49. Pro účel demonstrace rozdělíme 49 na 3 nestejné skupinky, které znázorňují členění systému. Členění reprezentuje různé vlastnosti. Každá podmnožina představuje například navzájem vylučující se varianty. Určujeme n 1 = 3p, n 2 = 14p, n 3 = 32p, Nejprve provedeme výpočet, a pak provedeme statistické vyhodnocení jednotlivých k-tic, pro k (0, 1,..6). Na závěr provedeme srovnání a vysvětlení některých pojmů. Řešení: Oproti prvnímu příkladu máme ztížené zadání. Zatímco všechny modifikace k v 1. příkladu mohly existovat v modifikacích n, nyní tomu tak není. Musíme proto na M K nahlížet jako na množinu kvalitativně různou od množiny M N. Množina všech možných se stává nadsystémem, což je pojem, který je objasněn v kapitolách vzorových řešení. Zatímco v prvém příkladu jsme záležitost asociovali jako : 7(7p c m n ) _ M N při: M K (6x 1 ) 4 M N-K (43x 0 ) v rámci existující současnosti, je tento příklad dán takto: (n 1 u 3p N ) 4 (n 2 u 14p N ) 4 (n 3 u 32p N ) _ M N u 49p 0 naproti tomu existuje množina M K s 11-ti podobami (modifikacemi k) Proto M K 3 M N variantnost asociace je veliká, například také M K 5 M N, nebo M K ` M N Poněkud obtížnější je představa sjednocení prvků při interakci, tedy představa, že se prázdný prvek stane plným prvkem ale je to dáno bez komentáře takto: (p 0 + p 1 )(dt) 1 w (p 0 * p 1 )(dt) 0 = 1 Zatímco M N je konstantní s jedinou podobou modifikace, má M K modifikací hned 11. Ne všechny modifikace k je možné variačně kombinovat s nadsystémem. Tam, kde je počet podmnožin k větší než počet podmnožin n, nebo 1 podmnožina k větší od podmnožiny n, dochází k vyloučení v predikci (totální vyloučení existence). Každá modifikace pak má váhu 1 celá. Můžeme proto váhu základního výpočtu zanedbat. Pro úplnost si ukážeme modifikace M K. Pojem množina k 2. příklad Modifikace M systému k=6p. 6 1.M =1n Pro n2, n3 (>6) M =2n Pro n2, n3 (>6) M =2n Pro n2, n3 (>6) M =3n Pro n2, n3 (>6) M =2n bez vyloučení M =3n bez vyloučení M =4n M =3n bez vyloučení M =4n M =5n M =6n Celkem 11 modifikací M Celkem 6 druhů n (1, 2,..6) Tabulka 1: Numerické výpočty příklad 2 Pojem množina k Z toho plyne vyloučení. Například pro (n 1 u 3p N ) < 6p k, proto existuje jen možnost interakce mezi (n 2 u 14p N ) a (n 3 u 32p N ) > 6p k. Pro první M systému k. Vyloučeny jsou také modifikace č. 7., 9., 10. a 11. Počet jejich podmnožin je větší než počet podmnožin nadsystému. Přes to platí stejný výpočet jako v příkladu prvním.
2 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 2 Výpočtem dokazujeme zejména platnost kvantifikací různě uspořádaných systémů. Mimo toho dokazujeme výroky o vyloučení stavu množiny. Modifikace systému k nemají plnou kombinaci v systému n, a přes to dávají zbylé správný výsledek po kvantifikaci. Je to také důkaz, že vyloučením jediného prvku systému k zanikne logická existence celého stavu množiny. Názorné řešení ukazuje tabulka. Postup je podrobně rozebrán v prvém numerickém příkladu. Proto zde již nevyjadřujeme součin mezi kvantifikovanými podmnožinami a váhu zanedbáváme, protože je rovna 1 celá pro každou modifikaci. Váha základního výpočtu sehrává úlohu až když má nadsystém alespoň 2 stejné podmnožiny. Toto se v řešeném příkladu neobjevuje. Tabulka zadání a řešení příkladu číslo 2 (numerické příklady) Obraz a popis podmnožin Výpočet Pořadové číslo n1 n2 n3 Pořadí M Symbolické a numerické vyjádření Výsledek a existence typ M Vzorec výpočtu s vahou = 1. Kvantifikace řádku 6 1.M =1n Vyloučeno velikostí podmnožiny M =1n C(0 z 3) C(6 ze 14) C(0 z 32) M =1n C(0 z 3) C(0 ze 14) C(6 z 32) M =2n Vyloučeno velikostí podmnožiny M =2n Vyloučeno velikostí podmnožiny M =2n C(1 z 3) C(5 ze 14) C(0 z 32) M =2n C(0 z 3) C(5 ze 14) C(1 z 32) M =2n C(1 z 3) C(0 ze 14) C(5 z 32) M =2n C(0 z 3) C(1 ze 14) C(5 z 32) M =2n Vyloučeno velikostí podmnožiny M =2n Vyloučeno velikostí podmnožiny M =2n C(2 z 3) C(4 ze 14) C(0 z 32) M =2n C(0 z 3) C(4 ze 14) C(2 z 32) M =2n C(2 z 3) C(0 ze 14) C(4 z 32) M =2n C(0 z 3) C(2 ze 14) C(4 z 32) M =3n Vyloučeno velikostí podmnožiny M =3n C(1 z 3) C(4 ze 14) C(1 z 32) M =3n C(1 z 3) C(1 ze 14) C(4 z 32) M =2n C(3 z 3) C(3 ze 14) C(0 z 32) M =2n C(3 z 3) C(0 ze 14) C(3 z 32) M =2n C(0 z 3) C(3 ze 14) C(3 z 32) M =3n C(3 z 3) C(2 ze 14) C(1 z 32) M =3n C(3 z 3) C(1 ze 14) C(2 z 32) M =3n C(2 z 3) C(3 ze 14) C(1 z 32) M =3n C(1 z 3) C(3 ze 14) C(2 z 32) M =3n C(2 z 3) C(1 ze 14) C(3 z 32) M =3n C(1 z 3) C(2 ze 14) C(3 z 32) M =4n Vyloučeno počtem podmnožin M =3n C(2 z 3) C(2 ze 14) C(2 z 32) M =4n Vyloučeno počtem podmnožin 10.M =5n Vyloučeno počtem podmnožin 11.M =6n Vyloučeno počtem podmnožin Celkem 22 existujících modifikací systému k v n, dává po kvantifikaci počet kombinací 6. třídy z celku Tabulka 2: Numerické výpočty příklad 2 Tabulka zadání a řešení 2. příkladu Součet kvantifikace všech existujících modifikací je roven počtu kombinací 6. třídy ze 49. Nyní již zbývá zpracovat speciální rozbory. Mimo rámec příkladu číslo 1 zde můžeme také vyjádřit pravděpodobnost jednotlivé k-tice v určité n-tici. To příklad první dost názorně neumožňoval vzhledem ke stejným velikostem podmnožin M N. Z prvého příkladu už známe skutečnost, že každý jednotlivý sloupec (podmnožiny n) dává součet stejný jako celý systém, protože nutně existuje v každém stavu nějaký tvar podmnožiny.
3 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 3 Mimo rozboru podle podmnožiny nadsystému se nabízí také možnost vyhodnotit pravděpodobnost uhodnutí určitého druhu k-tice bez ohledu na podmnožinu nadsystému. Tento rozbor je srovnatelný s rozborem příkladu číslo 1 (numerické příklady), což si také uděláme. Účelem je dokázat, že počet k-tic stejného druhu se liší podle rozdělení nadsystému. Toto poznání nám dává jedinečnou možnost nahlédnout hluboko do podstaty Bernoulliho schematu výpočtu. Abychom toto poznání uměli akceptovat v plném rozsahu, byl zpracován ještě příklad 3. a také 4. se všemi podmnožinami menšími, nežli 6p. Tabulka speciálního rozboru příkladu číslo 2 (numerické příklady) Obraz, popis a kvantifikace podmnožin Váha k - tic Výpočet Pořadové n1 n2 n3 Pořadí M Základní Součet k-tic z řádku M Vynásobení váhy a základního výpočtu číslo typ M výpočet 0p 1p 2p 3p 4p 5p 6p 0p 1p 2p 3p 4p 5p 6p M =1n M =1n M =2n M =2n M =2n M =2n M =2n M =2n M =2n M =2n M =3n M =3n M =2n M =2n M =2n M =3n M =3n M =3n M =3n M =3n M =3n M =3n Celkem 22 existujících M Součet sloupců Součet podílů sloupců (součet sloupce / ) = 3 (Σn) 0,7868 0,6429 0,4408 0,4223 0,3923 0,2498 0,0650 Jednotlivé podíly sloupců jsou absolutními velikostmi pravděpodobností (s váhou) k-tic bez ohledu na příslušnost k n-tici. Definičně jsou nesoučasné. Relativní četnost jako vyjádření pravděpodobnost k-tice/3 je pravděpodobností v systému ale zase s váhou na to pozor. Výsledky výpočtu slouží zejména ke kontrole která se pohybuje ve striktních rozměrech bez varianty. Tabulka 3: Numerické výpočty příklad 2 Speciální rozbor Poznámka k tabulce: Teprve po zpracování speciálního rozboru můžeme vyjádřit správně pravděpodobnosti podle potřeby buď podle sloupce, nebo podle váhy výskytu a podobně. Celkově budeme hovořit o objektu s tělesech pravděpodobnosti v souvislosti s operacemi v SPP. Pravděpodobnost v systému je zase záležitostí porovnávání mezi různě definovanými systémy, zejména v rozdělení nadsystému. Je to otázka etalonu. Pro reálnou předpověď je nutné použít nevážené pravděpodobnosti. Tato pravděpodobnost nezatížená váhou má logickou existenční podstatu a je podložena existenčním výrokem, nebo lépe vyjádřeno odpovědí na dotaz: Existuje v daném čase modifikace s podobou XYZ? Pak je v celku jedno kolikrát se opakuje například prázdná podmnožina. Když se budeme tázat na konkrétní n-tici a k-tici, tak to pochopíme ještě lépe. Bez vážených pravděpodobností se zase nedopracujeme ke kontrole výpočtu, který má nesmírnou analytickou hodnotu. Umožňuje totiž poměřovat i zdánlivě nesouměřitelné systémy. To si ukážeme hned v následujícím příkladu, kde například systém neumožní vytvořit k=6, a přes to půjde o kombinace 6. tří-
4 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 4 dy z celku 49. To už by nyní mělo být zřejmé. Jedna část tohoto námi prověřovaného nadsystému ( ) taková je, a přes to je výsledek správně, což je kontrolováno perfektním účetnickým způsobem, tedy bezchybně s tolerancí +/- 0 na řádu milionů variant. Poslední součástí důkazů tohoto příkladu je porovnání pravděpodobností stejných k-tic různě rozdělených nadsystémů. To provedeme pomocí speciálních rozborů na úrovni systémových pravděpodobností. Příklad první byl formován 7 shodnými podmnožinami nadsystému, zatímco příklad druhý byl utvořen třemi nestejnými podmnožinami. Navíc měl mnoho vyloučených variant kombinace mezi modifikacemi k a n. To je velice zásadní poznatek. Praktická šetření vychází téměř výlučně z analýz referenčních systémů prvků nebo podmnožin. Analýza najde jako součet prvky a podmnožiny, které naznačují, že se nemohly sloučit do maximální velikosti. Nyní už víme proč. Byl zřejmě rozčleněn nadsystém. Toto dříve nebylo možné vyjádřit. Tabulka porovnání různě rozdělených nadsystémů modelu kombinací 6 ze 49 Výsledek speciálního rozboru 1. příklad Σ řádek , , , , , , , Σ řádek 7 Výsledek speciálního rozboru 2. příklad Σ řádek ,7868 0,6429 0,4408 0,4223 0,3923 0,2498 0,0650 Σ řádek 3 Kontrolou zjistíme zda je možné porovnat výpočty 1. příklad / 7 = Kombinace 6. třídy ze příklad / 3 = Kombinace 6. třídy ze 49 Kontrolou potvrzujeme, že jednotlivé součty sloupců můžeme vydělit počtem podmnožin. Výsledky speciálního rozboru 1. příkladu vydělené počtem podmnožin = Σ řádek , , , , , , , Σ řádek 1 Výsledky speciálního rozboru 2. příkladu vydělené počtem podmnožin = , , , , , , Σ řádek ,26 0,21 0,15 0,14 0,13 0,08 0,02 Σ řádek 0,99 Bilance jednotlivých příkladů navzájem o rozdíl počtu k-tic sloupcem daného druhu < 1. příklad o rozdíl < 2. příklad o rozdíl Tabulka 4: Numerické výpočty příklad 2 Porovnání různě rozdělených nadsystémů Porovnávací tabulka asi může zůstat bez většího komentáře. Jenom asi tolik, že 2. příklad obsahuje neceločíselné podíly, a bilanční rozdíl už je zaokrouhlen. Taktéž celková systémová pravděpodobnost 2. příkladu dává dík tomuto součet přibližně 1 celá. To je záměrně. Mohl jsem zvolit některý model celočíselně dělitelný. Předpokládám však, že mnou uváděné příklady budou prověřovány na různých příkladech, takže tou nejsnadnější kontrolou by bylo přepočítání právě uváděných případů rozložení nadsystémů. Chci tím ukázat mimo jiné, že nejde o hru celočíselných násobků. V rámci absolutních hodnot to vypadá opravdu hrozivě. Součet rozdílů v absolutních hodnotách činí Je to 69% počtu všech možných. Jiné je to už s relací vnitřních systémových pravděpodobností. Častěji se vyskytuje nula na systému 1. příkladu, zatímco šestice je zase častější ve druhém příkladu.
5 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 5 Oba příklady (tedy 1. a 2.) jsou souměřitelné pouze na úrovni vnitřních systémových pravděpodobností, které jsou určitým typem relativní hodnoty. Na dalším příkladu si ukážeme už také systém, který nemá všechny k-tice a přes to jde o kombinace stejného typu. Přišel vhodný čas zamyslet se nad tím, co to jsou vlastně kombinace, kombinatorický model, kombinování a nebo kombinatorický princip. To je samozřejmě už problematika více filozofická, a je proto rozvedena v rámci Komentáře vzorových příkladů řešení.
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 1. Stránka v kapitole 1
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 1. Stránka v kapitole 1 Příklad 1. Výpočet pomocí rozšířeného Bernoulliho schematu. Příklad řeší výpočtem rozložení prvků losovaných
VíceKomentáře Schema 2 Vlastní provedení. Příklad 2.
Příklad 2. Popíšeme předpoklady výpočtu pravděpodobnost výsledků hodu několika kostkami. Příklad prvého schematu ukázal, že rostoucím počtem mincí se mění relativní četnosti jednotlivých tvarů. Nyní tuto
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 1
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 1 Příklad 5. Výpočet pomocí Bernoulliho schematu demonstrující existenci systémové výhody určitého druhu. Obsažným
VíceKombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy
VíceKomplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice
VíceVyšetřování pravděpodobnosti na systémech
Základy teorie pravděpodobnosti. Kapitola: Pravděpodobnost systémů Strana v kapitole 1 Vyšetřování pravděpodobnosti na systémech Hovoříme li o Teorii pravděpodobnosti, měli bychom se pravděpodobnosti jako
VíceDůkaz, který si vyžádaly teorie SUSY a GUT.
Gravitace: SUSY a GUT Petr Neudek 1 Důkaz, který si vyžádaly teorie SUSY a GUT. V souvislosti s rozvojem kosmologie došli vědci k poznání, že vesmír se pravděpodobně zrodil tak jak popisuje teorie velkého
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceKOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)
KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto
VíceKombinatorický předpis
Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě
VíceMann-Whitney U-test. Znaménkový test. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek
10. Neparametrické y Mann-Whitney U- Wilcoxonův Znaménkový Shrnutí statistických ů Typ srovnání Nulová hypotéza Parametrický Neparametrický 1 skupina dat vs. etalon Střední hodnota je rovna hodnotě etalonu.
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceStatistika. pro žáky 8. ročníku. úterý, 26. března 13
Statistika pro žáky 8. ročníku Co je to statistika? Statistika je věda, která se snaží zkoumat reálná data a přibližuje nám zkoumaný jev a zákonitosti s ním spojené. Co nám statistika přináší? Co nám statistika
VíceKapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.
1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VícePopisná statistika kvantitativní veličiny
StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali
VíceKlauzurní část školního kola kategorie A se koná
56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin
VíceMatematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 4. Stránka v kapitole 1. Příklad 4.
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 4. Stránka v kapitole 1 Příklad 4. Výpočet pomocí Bernoulliho schematu. Příklad řeší výpočtem rozložení prvků losovaných k do n celku.
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceStatistika pro geografy
Statistika pro geografy 2. Popisná statistika Mgr. David Fiedor 23. února 2015 Osnova 1 2 3 Pojmy - Bodové rozdělení četností Absolutní četnost Absolutní četností hodnoty x j znaku x rozumíme počet statistických
Více6. blok část C Množinové operátory
6. blok část C Množinové operátory Studijní cíl Tento blok je věnován problematice množinových operátorů a práce s množinovými operátory v jazyce SQL. Čtenáři se seznámí s operátory, UNION, a INTERSECT.
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VícePojem a úkoly statistiky
Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby
Víceřešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky
řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující
VíceGravitace : Komentáře Petr Neudek 1. Cesta k průměru.
Gravitace : Komentáře Petr Neudek 1 Cesta k průměru. Jedná se o určité zamyšlení nad tím, co je to průměr, nebo střední hodnota. Obecně je problematika brána z mnoha pohledů, a lze narazit v každé kapitole
VíceKategorická data METODOLOGICKÝ PROSEMINÁŘ II TÝDEN 7 4. DUBNA dubna 2018 Lukáš Hájek, Karel Höfer Metodologický proseminář II 1
Kategorická data METODOLOGICKÝ PROSEMINÁŘ II TÝDEN 7 4. DUBNA 2018 4. dubna 2018 Lukáš Hájek, Karel Höfer Metodologický proseminář II 1 Typy proměnných nominální (nominal) o dvou hodnotách lze říci pouze
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceSTATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY
STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceJednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.
Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceCvičení 5 - Inverzní matice
Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,
VíceEXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření. Jan Krystek
EXPERIMENTÁLNÍ MECHANIKA 2 Přednáška 5 - Chyby a nejistoty měření Jan Krystek 9. května 2019 CHYBY A NEJISTOTY MĚŘENÍ Každé měření je zatíženo určitou nepřesností způsobenou nejrůznějšími negativními vlivy,
VíceMoravské gymnázium Brno s.r.o.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti Kapitola: Pascalův trojúhelník. Stránka v kapitole 1
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Pascalův trojúhelník. Stránka v kapitole 1 Upravený Pascalův trojúhelník. Pascalův trojúhelník zná snad každý. Přes to si ho opíšeme kvůli rozpomenutí se. Je to
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
VíceSTATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem
STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem 1) Otevření datového souboru Program Statistika.cz otevíráme z ikony Start, nabídka Programy, podnabídka Statistika Cz 6. Ze dvou nabídnutých možností vybereme
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceDaňové příjmy obcí v roce 2007 zaznamenaly nárůst
Daňové příjmy obcí v roce 2007 zaznamenaly nárůst K 1. 1. letošního roku nabyla účinnosti tolik diskutovaná novela zákona o rozpočtovém určení daní, která zásadně změnila způsob výpočtu konkrétního podílu
VíceLogaritmy a věty o logaritmech
Variace 1 Logaritmy a věty o logaritmech Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Logaritmy Definice
VíceStupnice geomagnetické aktivity
AKADEMIE VĚD ČESKÉ REPUBLIKY Geofyzikální ústav Stupnice geomagnetické aktivity Petr Kubašta Rozbor a zhodnocení předpovědí geomagnetické aktivity Praha, 2011 Abstrakt Tento článek poskytuje kvantitativní
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceDatabázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model
Databázové systémy Tomáš Skopal - relační model * relační kalkuly Osnova přednášky relační kalkuly doménový n-ticový Relační kalkuly využití aparátu predikátové logiky 1. řádu pro dotazování rozšíření
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VícePůvodní nalezení vztahu který ukazoval na rovnost středních hodnot MOD = MED.
TP TG stabilita množstvím: Mod=Med_původní Petr Neudek 1 Původní nalezení vztahu který ukazoval na rovnost středních hodnot MOD = MED. Modus Medián, nebo také Modus = Modulo, a Medián = Modulo vznikl při
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
Více7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky
0 Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek vyjádření části celku část snědla jsem kousky celek a pizza byla rozdělena na kousky Pojem zlomek Vyjádření zlomku Základní tvar: čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceZÁKLADY STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ ÚDAJŮ 5. hodina , zapsala Veronika Vinklátová Revize zápisu Martin Holub,
ZÁKLADY STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ ÚDAJŮ 5. hodina - 22. 3. 2018, zapsala Revize zápisu Martin Holub, 27. 3. 2018 I. Frekvenční tabulky opakování z minulé hodiny Frekvenční tabulka je nejzákladnější nástroj
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceŠkály podle informace v datech:
Škály podle informace v datech: Různé typy dat znamenají různou informaci, resp. různé množství informace Data nominální Rovná se? x 1 = x 2 Data ordinální Větší, menší? x 1 < x 2 Data intervalová O kolik?
Více1.5.7 Znaky dělitelnosti
1.5.7 Znaky dělitelnosti Předpoklady: 010506 Pedagogická poznámka: Příklad 1 je dořešení zadání z minulé hodiny. Je třeba se u něj nezdržovat. Př. 1: Na základní škole ses učil pravidla, podle kterých
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Více4. Kombinatorika a matice
4 Kombinatorika a matice 4 Princip inkluze a exkluze Předpokládejme, že chceme znát počet přirozených čísel menších než sto, která jsou dělitelná dvěma nebo třemi Označme N k množinu přirozených čísel
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceDeterminant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
VíceÚvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot formule tabulkovou metodou
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 4. Zjištění průběhu pravdivostních hodnot
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceRozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly
Rozšiřování a krácení zlomků Rozšiřování vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly rozšířený zlomek vznikl tak, že jsme čitatel i jmenovatel původního zlomku vynásobili číslem rozšířený
VíceLINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je
VícePosouzení přesnosti měření
Přesnost měření Posouzení přesnosti měření Hodnotu kvantitativně popsaného parametru jakéhokoliv objektu zjistíme jedině měřením. Reálné měření má vždy omezenou přesnost V minulosti sloužila k posouzení
VíceKombinatorický strom
Základy teorie pravděpodobnosti. Kapitola: Kombinatorický strom Strana v kapitole 1 Kombinatorický strom Kombinatorickým stromem rozumíme uspořádání kombinatorických pojmů. Účelem je vytvořit jednoznačnou
VíceCvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VíceANALÝZA DAT V R 2. POPISNÉ STATISTIKY. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK.
ANALÝZA DAT V R 2. POPISNÉ STATISTIKY Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK www.biostatisticka.cz CO SE SKRÝVÁ V DATECH data sbíráme proto, abychom porozuměli
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceMěření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny
Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=2 V tomto experimentu vycházíme z pojetí klasického pokusu s pružinovým oscilátorem. Z periody kmitů se obvykle
Více3 Množiny, Relace a Funkce
3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli
Vícekombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková
Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková 1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. Kolik možností oznámkování mohla
Více[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
Více10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda
@112 10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda Jedna z metod, která se používá při řešení soustavy lineárních rovnic, se nazývá substituční. Nejlépe si metodu ukážeme na příkladech. Příklad:
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceHodnocení kvality logistických procesů
Téma 5. Hodnocení kvality logistických procesů Kvalitu logistických procesů nelze vyjádřit absolutně (nelze ji měřit přímo), nýbrž relativně porovnáním Hodnoty těchto znaků někdo buď předem stanovil (norma,
VíceZákladní statistické charakteristiky
Základní statistické charakteristiky Základní statistické charakteristiky slouží pro vzájemné porovnávání statistických souborů charakteristiky = čísla, pomocí kterých porovnáváme Základní statistické
VíceMnohorozměrná statistická data
Mnohorozměrná statistická data Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Mnohorozměrná
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2017/2018
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2017/2018 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceÚvod do teorie informace
PEF MZLU v Brně 24. září 2007 Úvod Výměna informací s okolím nám umožňuje udržovat vlastní existenci. Proces zpracování informací je trvalý, nepřetržitý, ale ovlivnitelný. Zabezpečení informací je spojeno
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceJednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
Více