Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 1

Transkript

1 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 1 Příklad 5. Výpočet pomocí Bernoulliho schematu demonstrující existenci systémové výhody určitého druhu. Obsažným názvem je paradox existence zjevného a potenciálního množství na statické množině etalonu. Příklad řeší paradox současné existence dvou různých správných výsledků jednoho fenoménu. Abychom mohli dokázat současnou platnost dvou různých výpočtů a výsledků, které platí současně (oba jsou stejně validní a pravdivé bez relativizace opakováním, nebo jinak), musíme ocejchovat postupy výpočtu. To provedeme v první části za pomocí vysvětlení postupu výpočtu výher loterního modelu 6 ze 49. Použijeme při tom Bernoulliho schema s porovnáním na korekční výpočet s komentářem. Validnost výpočtu potom nezpochybníme, když použijeme ke stanovení 1. části tvrzení paradoxního důkazu modelem 7 ze 49 který je podobný s modelem 6 ze 49. Použijeme obměněné schema a vyjádříme pro tentýž fenomén jiný výsledek. Tím je dán předmět důkazu. V druhé části dokážeme platnost obou různých výsledků. Důkaz znázorníme tabulkou rozpisu v porovnání proti statistickém výčtu - tabulce etalonu. V závěru okomentujeme význam tohoto důkazu a rozvedeme další souvislosti na výpočty pravděpodobnosti. 1. část příkladu 5 (kalibrace výpočtu). Rozložení výher v loterním modelu 6 ze 49. Výhry jsou rozloženy podle kombinatorického schematu. Ten je pevně dán modelem 6/49. Nejprve přepočítáme obsahy k-tic výher na etalonu. 1.) Všech různých prvních cen je To lze vypočítat ze vzorce pro kombinace. Uvedeme, že místo vlastního vzorce použijeme zápis z tabulkového procesoru. Současně je to množství které budeme ve výpočtu používat jako absolutní četnost všech možných. První cena je vylosována 1. 2.) Počet všech pětičísel je dán tím, že každá jednotlivá šestice ze všech možných obsahuje 6 různých pětic. ( Předpokládáme, že nejsou losována dodatková čísla, která posouvají pětice do nižších výherních pořadí) Tedy x6 = všech pětičísel. Ale ta se několikrát opakují. Proto vydělíme tento výsledek ještě počtem všech různých pětic ze 49. Ten je dán vzorcem C(5 ze49) = Dostaneme výsledek opakování každého různého pětičísla : = 44 Výsledkem je opakovaní každé různé pětice 44x na objemu etalonu. Z tohoto počtu je 6 pětičísel vázáno v první ceně. Provedeme tedy nejprve výpočet opakování, a následně výpočet všech potenciálních pětic. Nakonec zkorigujeme výsledek o ty, které jsou vázané ve vyšších cenách. 3.) Počet všech čtyřčísel je dán tím, že každá jednotlivá šestice ze všech možných obsahuje 15 různých čtyřčísel. Tak tedy x15 = všech čtyřčísel. Ale ta se několikrát opakují. Proto vydělíme tento výsledek ještě počtem všech různých čtyřčísel ze 49. Ten je dán vzorcem C(4 ze49) = Potom dostaneme výsledek opakování každého různého čtyřčísla : = 990

2 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 2 Výsledek ukazuje, že každé různé čtyřčíslo se opakuje 990 krát. Pokud je vylosováno šestičíslo, je také vylosováno 15 různých čtyřčísel C(4ze6). Také tento počet je nutné korigovat, protože čtyřčísla jsou vázána jak v první ceně, tak i ve všech pětičíslech. 4.) Počet všech trojčísel je dán tím, že každá šestice ze všech možných obsahuje 20 různých trojic podle vzorce C(3ze6). Celkově tedy x 20 = všech trojic. Ta se samozřejmě také mnohokrát opakují. Všech různých trojic je C(3ze49) = Z toho dostaneme opakování každé různé trojice : = Každé různé trojčíslo se opakuje x. Při vylosování šestičísla je vylosováno 20 různých trojčísel. Tento počet musíme také korigovat o všechny vyšší výhry. 5.) Nyní provedeme souhrn všech předchozích výpočtů a vypočítáme kolik je cen bez korekce. a) podle bodu 1. je jedna první cena při jednom losování z C(6ze49) b) podle bodu 2. je 44 krát opakováno každé různé pětičíslo, kterých je vylosováno 6. Celkem tedy 6 x 44 = 264 různých pětičísel na celku C(6ze49) a v jediném tahu. c) podle bodu 3. je 990 krát opakováno každé různé čtyřčíslo, kterých je vylosováno 15. Celkem tedy 15 x 990 = různých čtyřčísel z celku C(6ze49) v jediném tahu. d) podle bodu 4. je krát opakováno každé různé trojčíslo, kterých je vylosováno 20. Celkem 20 x = různých trojic z celku C(49;6) v jediném tahu. Abychom mohli udělat opravu (korekci) podle obsahů, musíme vědět, že jsou dány další obsahy navzájem mezi k-ticemi takto: 6 : šestice obsahuje 20 trojic, 15 čtyřčísel, 6 pětičísel 5 : pětice obsahuje 10 trojic, 5 čtyřčísel, 4 : čtyřčíslo obsahuje 4 trojice. 1 : - šestičíslo je jenom jedno bez korekce. 6.) Potom jsou obsahy korigovány takto : C(6;6)*C(43;0) = 1 2 : - pětičísla je jich potenciálně 264 z toho je 6 vázáno v šestičísle. Proto jen 258 samostatně. C(6;5)*C(43;1) = : - čtyřčísla je jich potenciálně , ale z toho je vázáno 15 v šestičísle a 258 x 5 = ve všech pětičíslech. Samostatně je jich mínus = samostatně C(6;4)*C(43;2) = : - trojic je potenciálně , ale z toho je 20 v šestici, 258 x 10 v pěticích, a ještě x 4 v čtyřčíslech. Tedy mínus = samostatně C(6;3)*C(43;3) =

3 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 3 7.) Závěr a konstatování Takto vypadá rozložení výher bez dodatkového čísla. S dodatkovým číslem je to tak, že ke každé různé pětici přiřadíme dodatkové (prémiové, nebo jinak nazývané číslo). Tím vznikne 6 (nebo i více podle počtu dodatkových čísel) různých šestičísel, která bývají ustanovena jako 2. výherní pořadí, nebo i nižší ceny. Proto se tento výherní systém vymyká logice předchozího kombinatorického rozkladu. Není to však rozhodující pro dokazování v našem příkladu č. 5. Podstatné je, že kalibrací jsme dokázali v bodě č. 6., že Bernoulliho rozdělení jevu pravděpodobnosti vyjadřuje samostatně se vyskytující k-tice na etalonu, nikoliv všechny potenciální stejného druhu. Známe i zdůvodnění. Některé z potenciálních stejných k-tic < od k losovaných jsou vázány v k-ticích vyššího řádu. Na tom není nic zvláštního mimo definice co vyjadřuje Bernoulliho schema. Dále můžeme pokládat za průkazné porovnání dvou různých metod výpočtu zjevných samostatně se vyskytujících k-tic z celku k. Jedná se o průmět jediného stavu na etalon k z n. Což si můžeme také vysvětlit jako průmět jedné losované na výpis všech různých. Tím vytvoříme předpoklad realizace jinak neexistující skutečnosti etalonu. ( Jednoduše uhodnutí do rozpisu všech možných je teoreticky možný.) Úprava Bernoulliho schematu spočívá v neprovedení naznačeného podílu počtem všech možných. Ovšem Bernoulliho schemata umí vyjádřit také přímo potenciální množství. Hned si to raději ukážeme. Domnívám se totiž, že ne každému bylo zřejmé, co se dá kterým tvarem vyjádřit. Potenciální množství šestic systému 6 ze 49 : C(6 ze 6)*C(0 ze 43) = 1 viz bod č. 1 výpočtu. Potenciální množství pětic systému 6 ze 49 : C(5 ze 5)*C(1 ze 44) = 44 viz bod č. 2 výpočtu. Potenciální množství čtyřčísel systému 6 ze 49 : C(4 ze 4)*C(2 ze 45) = 990 viz bod č. 3 výpočtu. Potenciální množství trojic systému 6 ze 49 : C(3 ze 3)*C(3 ze 46) = viz bod č. 4 výpočtu. Jednoduché že? Potenciálních k-tic s velikostí x je C(k-x z celku n-x). Zatímco zjevné množství stejné k-tice má vyjádření C(x z k)*c(k-x z celku n). Zřejmě takové a podobné použití Bernoulliho schemat nebylo nikdy doceněno. Nebylo asi ani dost jasné co úpravy vyjádří. Podíl mezi těmito dvěma výrazy je velikostním vyjádřením systémové výhody, kterou nazývám první systémovou výhodou rozpisu rozdíl mezi potenciálním a zjevným množstvím. Dostáváme se k vlastnímu předmětu důkazu: 2. část příkladu 5 (Definice předmětu důkazu) Předmětem důkazu je odpověď na dotaz jakou má pravděpodobnost výhry nějaké ceny jeden tip a návazně systém tipů. Když totiž použijeme dotaz na jednu určitou k-tici, odpovídá vyjádření podle Bernoulliho zjevného množství. Jenže není úplně správné se k těm kumulovaným do vyšších tříd stavět odmítavě. Takže preciznějším vyjádřením je poměr všech k-tic, které obsahují nějak akumulované k-tice stejného druhu. Samozřejmě je to součet všech zjevných množství od požadované k-tice výše. Například pro trojice je to součet výsledků z bodů , který je také obsažen v bodu 5. Provedeme součet všech výherních tipů na etalonu: 1 první cena (šestice) samostatných pětic samostatných čtyřčísel trojic = celkem výherních tipů. Tento počet vyjádříme jako pravděpodobnost jediného tipu / 13, = pravděpodobnost 0, Z celkové pravděpodobnosti vypočteme průměrný počet tipů nutných k přiblížení nějaké výhry. 1/p = 53,65 tipů šestic. Výpočet podle bodu 4., tedy 1 samostatné trojice je samozřejmě menší / = pravděpodobnost 0,0178. Což po přepočtu 1/p = 56,5 tipu šestic.

4 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 4 Existuje ještě jiný výpočet potřebných tipů. Všech různých trojic je Jediná šestice pojme 20 trojic. Potom je potřeba / 20 = 921,2 tipů na uhodnutí všech 20 různých vylosovaných. Proto na uhodnutí jedné trojice je potřeba 20 krát méně, tedy 921,2 / 20 = 46,06 tipů šestic. Nyní jsme postaveni před problém určení správného výpočtu. Je to problém hned z několika úhlů pohledu. Poměrně dlouhou dobu jsem se zabýval důkazem existence takového rozpisu, který by zaručoval uhodnutí jediné ceny, tedy k-tice určitého druhu. Dnes jsem přesvědčen, že to lze udělat jen pro určitý poměr losovaných k počtu možných, ale nikoliv pro loterii 6 ze 49. Ale stejně dobře lze podat důkaz o existenci rozpisu s obsahem všech různých k-tic stejného druhu. Problém je také v celočíselné dělitelnosti. Velmi často vychází neceločíselný výsledek, což znamená, že potřebný rozpis je větší. Ale lze takový postavit? Nebo jak velký rozpis zaručí tuto podmínku? Z tohoto důvodu přepočítáme pravděpodobnost jako násobek jednoho tipu. Toto provedeme již zcela účelově pro loterii 6 ze 49 takto: Podle Bernoulliho zjevného množství je to zřejmě horní mez možného: 56,5 tipů x 20 =1130 tipů Podle poměru všech výherních tipů na etalonu je to : 53,65 tipů x 20 = 1073 tipů Podle výpočtu z potenciálů je to : / 20 = 921,2 tipů Logické je, že určitá pojmová relativita mezi prvními dvěma případy je správně vyjádřený paradox a je jen na nás jak se k němu postavíme. Ale pravdivý výraz je ten třetí. Toto je paradox existence 2 správných a nestejných výsledků. Nesystémový tip, má průměrnou pravděpodobnost podle zjevného množství, nebo podle interpretace z celku všech výherních tipů. Systémový tip s obsahem rozpisu všech trojic má pravděpodobnost větší, a v relaci statistických hodnot není zanedbatelná. Takových rozpisů může být postaveno z uvedené množiny doslova mnoho. S tímto paradoxem se musíme pouze smířit. Je to dokazatelné tvrzení. Všechny tři různé výsledky, ale dva kvalitativně různé platí současně. Je to výhoda systému v krystalicky čisté podobě kterou si ukážeme v třetí části tohoto příkladu. Před tím ale musím upozornit, že je nutno použít jinou množinu systému. Je však velmi podobná loternímu modelu 6 ze 49. Jde o 7 z celku 49, tedy rozdělený nadsystém Na této množině se vyskytuje celočíselná dělitelnost pro obsah dvojic. Konkrétně C(2 ze49) / C(2ze7) = část příkladu 5 (Důkaz tvrzení) Podle Bernoulliho zjevného množství je k uhodnutí jedné dvojice celku 49 potřeba podle výrazu C(2 ze 7)*C(4 ze 42) / C(6 ze 49) = 0,168. Což je velikost pravděpodobnosti 1 tipu 7 čísel. Všechny vylosované potom 1/p * 20 = 5,95 * 20 = 118,9 tipů sedmic. S měnícím se k se mění také pravděpodobnost. Když budeme losovat 7 z celku 49, bude pravděpodobnost uhodnutí 1 dvojice větší: C(2 ze 7)*C(5 ze 42) / C(7 ze 49) = 0,208. Z toho plyne potřeba 1/p *35 vylosovaných dvojic = 4,808 *35=168,3 tipů sedmic. Ve finále je podle toho potřeba ale více tipů. Zřetelně se počet potřebných tipů mění. To je dáno nelogicky, ale pravdivě pro jediný tip, kterým dělíme počet vylosovaných dvojic. Při tom systém, respektive nadsystém má možnost pojmout všechny své dvojice do skalárního počtu k-tic. Zřetelně pojednáváme o dvou různých věcech. Přes to obě vyjádření platí současně ať to probíráme

5 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 5 z jakékoliv stránky. Platnost pravděpodobnosti ze zjevného množství jsme ověřovali dvěma různými výpočty. Zbývá dokázat skutečnost existence rozpisu 56 sedmic s obsahem všech dvojic celku 49. Ještě před tím si ale ukážeme jak se mění pravděpodobnost 1 tipu v souvislosti s objemem rozpisu, který je schopný pojmout všechny různé vylosované k-tice. Tabulka příkladu 5 (numerické příklady) popis systémové výhody a paradoxu. Tabulka vývoje pravděpodobnosti uhodnutí jedné dvojice do 1 tipu sedmic a vyjádření potřebného počtu tipů rozpisu uhodnutí všech různých. n1 n2 Z řádku Výpočet podle Bernoulliho schematu zjevných k-tic 7 na 2 Počet druhů Počet 7 Poměr celku 7 42 celkem k n1 = 7p n2 = 42p C(k ze 49) pravděpodobnost 1/p dvojic losovaných rozpisu % rozpis , , , , ,67 0, , , ,31 0, , , ,1 0, , , ,24 0, , , ,98 0, , , ,63 0, ,05E+009 0, , ,26 0, ,22E+009 0, , ,23 0, ,91E+010 0, , ,92 0, ,47E+009 9,23E+010 0, , ,34 0, ,28E+009 2,63E+011 0, , ,24 0, ,11E+010 6,75E+011 0, , ,52 0, ,55E+010 1,58E+012 0, , ,8 0, ,29E+010 3,35E+012 0, , ,87 0, ,87E+010 6,50E+012 0, , ,5 0, ,67E+011 1,16E+013 0, , ,08 0, ,55E+011 1,89E+013 0, , ,53 0, ,54E+011 2,83E+013 0, , ,29 0, ,47E+011 3,90E+013 0, , ,49 0, < rostoucí 21 rostoucí rostoucí různé různé rostoucí rostoucí klesající Pravděpodobnost i velikost potřebného rozpisu se mění podle počtu losovaných. Při tom stačí 56 systémových sedmic. Důležitou zajímavostí je zjištění, že kulminace pravděpodobností je na velikosti k=14, jinak řečeno při k = 2sqrt(n) Tabulka 1: Numerický příklad 5 Popis systémové výhody a paradoxu Paradox už dostává také konkrétnější zdůvodnění. Důležitější je ale zjištění co je příčinou a jak se toho dá využít. Samozřejmě že využitím nemáme na mysli nějakou aplikaci z oblasti hazardu, přestože i to je aplikace. Zjištění je poznáním jak má být velký statistický vzorek. To samo o sobě znamená mnoho, protože velikost vzorku je při aplikované statistice určována individuálně na základě praktických zkušeností, nebo zvyklostí. Takto získáme souměřitelný standard. Důsledkem by mělo být sjednocení statistických metod a to je určitě velké plus. Už by nikdo neměl mít možnost pomocí čísel manipulovat se skutečnostmi. Důsledek lze očekávat zejména v oblasti sociálních věd, nebo také přímo na kvalitě života každého z nás, a to už za to opravdu stojí. Vysvětlení paradoxu je současnost platnosti pravděpodobnosti jediného tipů. Počet tipů rozpisu získaný výpočtem z tohoto zjevného Bernoulliho množství je množinou tipů na systému kombinací příslušné třídy. Rozpis z potenciálů i po zpětném přepočtu na jediný tip má proměnlivou pravděpodobnost. Tak to ale nemůžeme aplikovat doslova. Rozpis je totiž funkčně jediným tipem (tedy správně stavem). Například při losování 12 z celku 49 existuje 66 různých dvojic. Každý tip by musel obsahovat více jak jednu dvojici. To znamená pravděpodobnost větší nežli 100%. A je to skutečnost přímo nepopiratelná. Toto tvrzení si může každý naturalisticky ověřit na tomto rozpisu.

6 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 6 Rozpis s obsahem všech dvojic celku 49 Obsah dvojic je exkluzivní. Dvojice jsou obsaženy úplně všechny bez opakování. C(2 ze 49)=1176 / obsah tipu 21 = 56 tipů. Tabulka 2: Numerický příklad 5 Rozpis dvojic z celku Jak bude vypadat uhodnutí některých 12 losovaných z celku 49? Budou samozřejmě různě uspořádány rámcově podle kombinatorických obsahů, takže teoreticky 66/21 = 3,14 tipu pojme všechny různé, a zbytek by mohl být zcela bez uhodnutých dvojic. Tento extrém však také není možné docílit, což je problematika s námětem pro Teorii rozpisu, takže ji vynecháme. Důležité je že máme záruku uhodnutí všech různých dvojic bez ohledu na to, kolik je jich losováno. Takovou záruku nesystémový počet potřebných tipů na uhodnutí 1, nebo i všech nemá. To můžeme také snadno dokázat rozpisem. Použijeme-li 56 prvních tipů etalonu (výpis všech různých setříděný vzestupně, což je statistická podoba existenčně definovaného etalonu) To si jen naznačíme: všechny sedmice mohou mít prvních 6 číslic stejných. Proto bude 56 x opakováno 15 dvojic podle vyjádření C(2 z 6). Zbytek se bude řešit zbylými čísly celku, tedy 49-6=43, které budou přidány ke stejné šestici. Dostaneme 43 různých sedmic, a změníme poslední číslo původní šestice takto: až 49 celkem 43 tipů = 49*6+15=309 různých až například 22 celkem 13 tipů. Samé opakované dvojice z předchozího řádku. Takže takový rozpis obsahuje pouze 309 z celku 1176 různých dvojic. Ale můžeme také postavit důkaz na jiné záležitosti. Některé dvojice se nemusí vyskytovat z důvodu nevylosování jednic. Výpočet je také jednoduchý. C(7 z 10)=120 >56. Pak může existovat mnoho rozpisů které neuhodnou ani jedinou jednici. Je jich celkem C(10 z 49-10). Těch které uhodnou pouze jedinou jednici (která nemůže sama utvořit dvojici) je C(10 z 49-9) apod. Takže prokazujeme současně existenci rozpisu s vlastností skalárního počtu určitých k-tic. Naproti tomu dokazujeme existenci rozpisu s jinou vlastností, která extrémně umožňuje neuhodnutí žádné k-tice. Oba rozpisy mají při tom stejný počet n-tic ze stejného základu. Závěr příkladu č. 5 Tuto skutečnost je prostě nutné akceptovat. Rozpis jako určitý cílený výběr s dosaženou cílovou vlastností má vyšší pravděpodobnost v přepočtu na pravděpodobnost jediného tipu, nežli výběr nesystémový. Poměr mezi systémovým a nesystémovým tipem je vyjádření velikosti systémové výhody tohoto typu vztažné k danému systému C(k z n). Při tom skutečnost a pravdivost Bernoulliho schemat jsme perfektně dokázali v části prvé tohoto příkladu. Je to možné také naturalisticky ověřit. Pro dnešní techniku není problém vytvořit databázi všech různých kombinací určité třídy a určitého celku možných. Extrahovat uhodnuté a pak sečíst.

7 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 5. Stránka v kapitole 7 Když budeme vysvětlovat tento paradox, tak není dobré používat axiomatické tvrzení, přestože k němu v celém dokazování směřujeme. Můžeme vyjádřit, že paradox je způsoben interakcí systému se svým nadsystémem. Částečně se projevují při tom kombinatoricky skalární poměry obsahů při výpočtu jako deformující skutečnost. Dalším důvodem je existenčně jinak definovaný rozpis proti etalonu. Rozpis jako cílená množina výše popsaného druhu má s výpisem všech možných (etalonem) podobnost holografického typu. Rozpis podle popisu uvedeného shora obsahuje jen n-tice, tedy součásti nadsystému s obsahem všech k- tic určitého druhu, zatímco etalon je v podobě výpisu systémem všech různých k-tic = plnému k nadsystému. Rozpis má více příslušnost k pojmu modifikace, které jsou také obrazem rozpisů. Jejich četnost je různá a podle toho se řídí vnitřní pravděpodobnost. Uvedený rozpis s obsahem všech dvojic je ve své podstatě výběrem z určité modifikace pravidelně rozděleného nadsystému 7x7. To co platí pro celočíselné rozpisy, platí také pro neceločíselné analýzy. Tam však sehrávají úlohu praktické dovednosti konstrukce, a výsledek demonstrace se snadno dík tomu vytratí. Také není správné tvrzení, že pravděpodobnost systémového tipu se váže k určitému jedinému tipu. Kterýkoliv tip může být součástí rozpisu dobrého, nebo špatného. Znamená to, že může existovat dvojice stejně objemných rozpisu se společným (společnými jako stejnými) tipem, nebo tipy. Potom ten samý tip má jinou pravděpodobnost? Tento případ stejného tipu je zde popsán rozpisem dobrým i rozpisem špatným jde o tip Z toho plyne další závěr: Různá pravděpodobnost se přenáší z nadřízeného systému směrem dolů. Souhrny jsou také vyjádřením odlišných kvalit. To právě je dokázáno tímto paradoxem. Poznámka: Také jsme narazili na několik zajímavostí, jejichž význam si můžeme objasnit později. Je to například kulminace pravděpodobnosti v bodě 2 sqrt(n), nebo což je zatím také jakoby zahaleno tajemstvím samotné sqrt(n). Jde o skrytou vlastnost zrcadlové velikosti. Například dvojic je stejně jako pětic z celku 7 a podobně. Když se na Bernoulliho schema pozorně podíváme, tak je jasné, že můžeme tuto vlastnost využívat pro obě podmnožiny nadsystému stejně. Vždyť losované jako k je něco úplně jiného. Výběr k je spíš výjimečně shodný s jednou, nebo více podmnožinami n. Za polovinou n rostoucího k se počet zmenšuje zrcadlově. To má úžasný efekt. Budeme dokazovat, že relativních četností je absolutně stejně bez ohledu na velikost k-tice.