Regularita PDR zápisky z přednášky doc. J. Staré, ZS 2003/2004

Transkript

1 egularita PD zápisky z přednášky doc. J. Staré, ZS 23/24

2 Obsah. Prostory funkcí a rovnice Technika diferencí Užití Morreyových a Campanatových prostorů Částečná regularita Systémy blízké

3 Značení. L p ()... Lebesgueův prostor p-integrovatelných funkcí p... norma v prostoru L p W k,p ()... Sobolevův prostor funkcí s p-integrovatelnou k-tou derivací W 1,p ()... Sobolevův prostor s nulou na hranici u = u... integrální průměr u přes B(x, ) nebo... koule o středu x a poloměru (x, )... B(x, ) BMO()... funkce s omezenými oscilacemi S(x, ) nebo S... sféra o středu x a poloměru B(x,) u nebo u B(x,) nebo u... integrální průměr u přes B(x, ) L p,λ ()... Morreyův prostor L p,λ ()... Campanatův prostor C k,α ()... funkce s α-hölderovskou k-tou derivací e s... bázový vektor s,h u... diference h 1 [u(x + he s ) u(x)] λ n... Lebesgueova n-rozměrná míra H α... Hausdorffova α-rozměrná míra d H... Hausdorffova dimenze... nosič funkce osc v M... oscilace sup M v inf M v σ(a)... spektrum matice

4 1. Prostory funkcí. Typy rovnic. Obsah kapitoly: základní vlastnosti funkcí ze Sobolevových, Morreyových a Campanatových prostorů (bez důkazu); podmínka elipticity; typy rovnic. Nechť n je omezená a otevřená množina s Lipschitzovskou hranicí. Věta 1.1. (Vnoření pro Sobolevy.) 1. Nechť n > kp. Potom c = c(n, k, p, ) tak, že u L q () c u W k,p (), kde q = np/(n p). 2. Nechť n < kp. Potom c = c(n, k, p, ) tak, že u C h,α () c u W k,p (), kde h = k n/p, α = (k n/p) h. Věta 1.2. (ellichova.) Nechť n > kp a q < np/(n p). Potom vnoření W k,p () L q () je kompaktní. Věta 1.3. (Poincaré.) Nechť je souvislá. 1. c = c(n, p, ) tak, že u u p c u p p pro u W 1,p (). Speciálně pro = B(x, ) je c = c p. 2. c = c(n, p, ) tak, že pro u W 1,p (). u p p c u p p Definice. (Morreyovy a Campanatovy prostory.) 1. Morreyův prostor: L p,λ () = u Lp () : ρ λ 2. Campanatův prostor: L p,λ () = u Lp () : sup x, ρ> sup x,ρ> ρ λ (x,ρ) (x,ρ) u(x) p dx <. u(x) u (x,ρ) p dx <. Poznámka. Místo Lipschitzovských oblastí stačí uvažovat obecnější oblasti typu A, které splňují A B(x, ρ) (x, ρ) B(x, ρ) s vhodným A >. Faktor ρ λ lze pak nahradit výrazem (x, ρ) λ/n. 4

5 Věta 1.4. (Vnoření Morreyových a Campanatových prostorů.) 1. Pro λ < n je L p,λ () = L p,λ (). 2. Pro λ = n je L p,n () = L (), L p,n () = BMO(). 3. Je-li u W 1,p () a u L p,λ (), je u L p,p+λ (). 4. Pro n < λ < n + p je L p,λ () = C,α (), kde α = (λ n)/p. 5. Pro λ > n je L p,λ () = } ; pro λ > n + p je L p,λ () = lin 1 }. Definice. [ovnice s konstantními koeficienty.] (1) div (A u) = ( ) A αβ u j ij =, i = 1,..., N, x β kde ũ = (u 1,..., u N ) : n N jsou neznámé funkce, A αβ ij konstanty. kde Definice. [Podmínka elipticity.] λ ξ 2 (Aξ, ξ) λ 1 ξ 2 Definice. [Lineární rovnice.] (2) (Aξ, ξ) = A αβ ij ξα i ξβ j A αβ ij (x) u j x β (x) Definice. [Kvazilineární rovnice.] (3) } A αβ ( ) u j ij u(x) (x) x β } ξ nn = f α i = f α i Definice. [Nelineární rovnice.] (4) a α ( ) } i u =, i = 1,..., N. 2. Technika diferencí. jsou Obsah kapitoly: lemma o odhadu derivace pomocí diferencí; věta o regularitě nelineární rovnice; věta o regularitě kvazilineární rovnice za předpokladu spojitosti řešení. Lemma 2.1. (O diferencích.) 1. Nechť u W 1,2 (),. Potom s,h u 2 K nezávisle na < h < dist(, ). 2. Nechť u L 2 (),. Nechť s,h u 2 K 5

6 nezávisle na < h < dist(, ). Potom u x s L 2 ( ) ve slabém smyslu. Důkaz. 1. Nejprve odhadujeme (poslední krok je Hölderova nerovnost) s,h u 2 = 1 h ( Tedy pro dané h (Fubiniho věta) s,h u 2 a odtud závěr. 2. Zvol ϕ C ( ). Je 1 u x s (x + the s ) h dt 2 u (x + the s ) dt) 2 u 2 (x + the s ) dt. u 2 (x + the s ) dt dx s,h u } ϕ = u s, h ϕ. u(y) 2 dy Díky slabé kompaktnosti existuje χ L 2 ( ) tak, že s,h u χ v L 2 () pro h. Na druhé straně s, h ϕ ϕ x s v (nejéměně) L 2 ( ). Tedy což je hledaný závěr. χ ϕ = u ϕ, x s Věta 2.1. (egularita nelineární rovnice.) Nechť u W 1,2 nelineární rovnice (4), kde A αβ ij u W 2,2. = aα i z β j je slabé řešení splňují podmínku elipticity. Potom Důkaz. Testujme rovnici funkcí φ = s, h η 2 s,h u }, kde η je nezáporná seřezávací funkce. Máme = a α i ( u) φ i = s,h a α i ( u) } η 2 } s,h u i. }} x } α } I 1 I 2 6

7 Zde I 1 (x) = 1 h = 1 h a α i 1 ( u(x + hes ) ) a α ( ) } i u(x) a α ( [ i u(x) + t u(x + hes ) u(x) ])} dt t = x β s,h u j } 1 a α i z β j ( u(x) + t [ u(x + hes ) u(x) ]) dt } } Ã αβ ij (x) a I 2 = η 2 } η s,h u i + 2η s,h u i. Protože Ãαβ ij splňují podmínku elipticity, máme λ s,h u } 2 η 2 2λ 1 η s,h u} η s,h u 1 2 [LS] + 2λ2 1 λ η 2 L s,h u 2. Tudíž s,h u } 2 η 2 c s,h u 2. Protože u W 1,2, je díky první části lemmatu o diferencích pravá strana omezená nezávisle na h. Odtud díky druhé části lemmatu závěr. Věta 2.2. (egularita kvazilineární rovnice.) Nechť v W 1,2 kvazilineární rovnice (3), kde A αβ ij je slabé řešení C 1 L splňují podmínku elipticity nezávisle na v. Navíc nechť v je spojité. Potom v W 2,2. Důkaz. Zvolme x, >. Buď η nezáporná seřerázavací funkce s nosičem v B(x, ), rovná 1 na B(x, /2). Testujeme rovnici s, h η 2 s,h v }. Máme = A αβ ij (v) v i φ j = x β s,h A αβ ij (v) v } i η 2 } s,h v j. x } α x } β }} I 1 I 2 7

8 Zde I 1 (x) = 1 h [ A αβ ij ( v(x + hes ) ) v i (x + he s ) A αβ ij } (x) 1 A αβ ij t = A αβ ( ij v(x + hes ) ) vi s,h = A αβ ij + v i (x) ( v(x + hes ) ) vi s,h (x) + v i (x) s,h vk (x) } = I 11 (x) + I 12 (x) ( ) v ] i v(x) (x) ( v(x) + t[v(x + hes ) v(x)] )} dt 1 } A αβ ij ( v(x) + t[v(x + hes ) v(x)] ) dt v k a } I 2 = η 2 vj s,h (x) + 2η η s,h v j = I 21 + I 22. x β x β Odhadujeme I 11 I 21 = A αβ ( ij v(x + hes ) ) } vi s,h (x) } λ s,h v 2 η 2, I 11 I 22 = 2 λ 4 I 12 I 2 = c λ 4 Celkem máme (5) A αβ ij (... ) s,h Ã αβ ij } vi } η (x) s,h vi η x β } s,h v 2 η 2 + c η 2 L } vj s,h (x) η 2 x β s,h v 2, [ } v i } vj s,h vk s,h η 2 + 2η η } s,h vj x β x β v s,h v} s,h v} η 2 + s,h v} } η η } s,h v 2 η 2 + c η 2 L + c } s,h v 2 η 2 c 1 + c 2 v 2 s,h v} 2 η 2. 8 s,h v} 2 v 2 s,h v} 2 η 2. ]

9 Zbývá odhadnout člen vpravo, formálně odpovídající v 4. Zvolme testovací funkci ψ = (v v ) s,h v 2 η 2, kde v je průměr v přes B(x, ). Máme = A αβ ij (v) v i ψ j x β = A αβ ij (v) v [ i vj s,h v} } 2 η 2 vk + 2(v v ) s,h v k } s,h η 2 x β x β + 2(v v ) s,h v} ] 2 η η. x β Odsud (6) λ c ω() c ω() v 2 s,h v} 2 η 2 v s,h v} s,h v } η 2 + v s,h v} 2 η η v 2 s,h v} 2 η 2 + s,h v } 2 η 2 + η 2 L 2 ( ) Díky spojitosti v lze zmenšením učinit ω() = osc v B libovolně malé. Potom z (5), (6) plyne } s,h v 2 η 2 c a odsud závěr. 3. Užití Morreyových a Campanatových prostorů Obsah kapitoly: Caccioppoliho lemma; Campanatovo lemma; algebraické lemma; regularita gradientu pro lineární rovnici - v Campanatově prostoru a v prostoru Hölderovských funkcí. Lemma 3.1. (Caccioppoli.) Je-li u W 1,2 ( ) slabé řešení rovnice s konstantními koeficienty (1), pak pro každé q N platí u 2 c 2 u q 2 /2 kde c = c(λ, λ 1 ). Obecněji: vlevo integrál přes B ρ, vpravo faktor ( ρ) 2, a funguje vlastně pro každou eliptickou rci. Důkaz. Buď η nezáporná shlazovací funkce rovná jedné na /2 a nulová vně. Lze žádat η c 1 /. Testovací funkce ϕ = (u q)η 2 dává = A u ϕ = A u u η 2 + A u (u q) η 2η = I 1 + I 2. 9

10 Nyní I 1 λ u 2 η 2 λ I 2 2c 1λ 1 /2 u 2 u η u q λ 2 Odsud závěr s c = 4c 2 1 λ2 1 /λ2. u 2 η 2 + 2c2 1 λ2 1 2 λ u q 2. Lemma 3.2. (Campanato.) Je-li u W 1,2 ( ) slabé řešení rovnice s konstantními koeficienty (1), pak pro každé < ρ < platí ( ρ n (7) u 2 c u ) 2 B ρ ( ρ n+2 (8) u u ρ 2 c ) kde c = c(λ, λ 1, n). B ρ u u 2 Důkaz. Ad (7). Bez újmy na obecnosti ρ /2. Zvol k tak, aby W k,2 L. Potom (9) u 2 κ n ρ n u 2 L (B κ ρ) nρ n u 2 L (/2 ). B ρ Pomocný výpočet (konstanta vnoření pro ): nechť v 2 L (B 1 ) c 1 v 2 W k,2 (B 1 ), v 2 W k,2 (B 1 ) = v 2 L 2 (B 1 ) + k v 2 L 2 (B 1 ). Polož v(y) = u(y), x B 1, u = u(x) W k,2 ( ). Díky substituci x = y (dy = n dx) a vztahu k y v(y) = k [ k xu](y) máme Tedy (záměnou /2 za ) (1) u 2 L (/2 ) c 2 v 2 L (B 1 ) = u 2 L ( ) v 2 L 2 (B 1 ) = n u 2 L 2 ( ) k v 2 L 2 (B 1 ) = 2k n k u 2 L 2 ( ) } n u 2 L 2 (/2 ) + 2k n k u 2 L 2 (/2 ), c 2 = c 1 (2 n + 2 n 2k ). Druhý člen v (1) odhadneme pomocí série nerovností (j =,..., k 1) k j u 2 c 3 (2k) 2 2 k (j+1) u 2 B (1+j/k)/2 B (1+(j+1)/k)/2 1

11 které plynou z obecnějšího Caccioppoliho lemmatu mezi koulemi o poloměrech (1 + j/k)/2 a (1 + (j + 1)/k)/2 díky tomu, že k j u splňuje tutéž rovnici (konstantní koeficienty.) Celkem tedy k u 2 c 4 B 2k u 2, c 4 = c k 3 (2k)2k. L 2 (/2 ) Tato nerovnost spolu s (1), triviálním vnořením L 2 (/2 ) L 2 ( ) a (9) dávají (7) s c = κ n c 2 (1 + c 4 ). Ad (8). Bez újmy na obecnosti ρ /2. Postupným užitím Poincarého nerovnosti, (7) aplikované na u (řeší stejnou rovnici - konstantní koeficienty) a Cacciopoliho nerovnosti s q = u máme u u ρ 2 c 1 ρ 2 u 2 B ρ ( B ρ c 2 ρ 2 ρ ) n u 2 /2 ( ρ ) n+2 c 3 u u 2. Lemma 3.3. (Algebraické.) Nechť ϕ = ϕ(ρ) je nezáporná, neklesající na [, ]; nechť A, B, α, β >, α > β. Pak existuje ɛ > a C > tak, že je-li s vhodným ɛ ɛ [( ρ α ] ϕ(ρ) A + ɛ ϕ() + B ) β < ρ, je ϕ(ρ) Cρ β pro ρ [, ]. Důkaz. Zvolme γ (β, α) a τ (, 1) tak, že 2Aτ α = τ γ. Polož ε = τ α. Potom ϕ(τ) A (τ α + ε) ϕ() + B β τ γ ϕ() + B β ϕ(τ 2 ) τ γ ϕ(τ) + B β τ β τ 2γ ϕ() + B β [ τ γ + τ β]. ϕ(τ k ) τ kγ ϕ() + B β [ τ (k 1)β + τ γ+(k 1)β... τ (k 2)γ+β + τ (k 1)γ] Výraz v poslední hranaté závorce je roven (τ kβ τ kγ )/(τ β τ γ ). Tudíž ϕ(τ k ) c 1 [τ k ] β, c 1 = ϕ() + B β /(τ β τ γ ). Nechť < ρ. Buď k celé takové, že τ k+1 < ρ τ k. Potom ϕ(ρ) ϕ(τ k ) c 1 [τ k ] β c 1 (τ) β [τ k+1 ] β c 2 ρ β, c 2 = c 1 (τ) β. 11

12 Věta 3.1. (egularita lineární rovnice I.) Nechť u W 1,2 lineární rovnice (2), nechť A αβ ij nezávisle na x. Nechť f L 2,λ Potom u L 2,λ. je slabé řešení (x) jsou spojité a splňují podmínku elipticity, kde λ (, n). Důkaz. Nechť. Označ = dist(, ) a pro x definuj u r = u L 2 (B(x,r)). Cílem je ukázat (11) u ρ Cρ λ/2, ρ, kde C = C(, f) nezávisí na x, z čehož zřejmě plyne závěr. Nerovnost (11) se ukáže pomocí algebraického lemmatu. Fixujme ρ,, kde ρ. Lze psát u = v + w, kde u, v řeší rovnice (12) (13) div ( A(x ) v ) = na B(x, ) v = u na B(x, ) div ( A(x ) w ) [ (A(x = div ) A(x) ) ] u + f Odhadujeme w = na B(x, ) u ρ v ρ + w ρ na B(x, ) c 1 ( ρ ) n/2 v + w c 1 ( ρ ) n/2 u + (c 1 + 1) w. Užili jsme trojúhelníkovou nerovnost pro u = v + w, Campanatovo lemma pro v na B(x, ), triviální odhad w ρ w a trojúhelníkovou nerovnost pro v = u w. K odhadu posledního členu testujeme (13) funkcí w: [ (A(x A(x ) w w = ) A(x) ) u + f] w B(x,) B(x,) λ w 2 ω() u + f } w λ w ω() u + c 2 λ/2. Zde ω() = sup x B(x,) A(x) A(x ) }. Užili jsme elipticitu A(x ), hölderovu nerovnost a předpoklad f L 2,λ. Celkem tedy [ ( ρ ) ] n/2 u ρ + λ 1 ω() u + c 2 λ 1 λ/2. Díky spojitosti lze ω() učinit malé dodatečným zmenšením a to stejnoměrně vůči x. Tudíž (11) plyne z algebraického lemmatu pro funkci φ(ρ) = u ρ, α = n/2, β = λ/2. 12

13 Věta 3.2. (egularita lineární rovnice II.) Nechť u W 1,2 je slabé řešení lineární rovnice (2), nechť A(x) C,µ a splňují podmínku elipticity nezávisle na x. Nechť f C,ν. Potom u C,κ, kde κ = minµ, ν}. Důkaz. Nechť. Označ = dist(, ) a pro x definuj u r = u L 2 (B(x,r)), u r = u B(x,r). Cílem je ukázat (14) u ( u) ρ ρ Cρ n 2 +κ, ρ, kde C = C(, f) nezávisí na x. Odsud plyne závěr díky vnoření Campanatových prostorů. Nerovnost (14) se ukáže pomocí algebraického lemmatu. Fixujme ρ,, kde ρ. Lze psát u = v + w, kde u, v řeší rovnice (15) (16) div ( A(x ) v ) = na B(x, ) v = u na B(x, ) div ( A(x ) w ) = div F na B(x, ) w = na B(x, ) kde [ (A(x F = ) A(x) )( ) ( u ( u) + A(x ) A(x) ) ( u) + ( ) ] f (f). Odhadujeme u ( u) ρ ρ v ( v) ρ ρ + w ( w) ρ ρ ( ρ ) n 2 c +1 1 v ( v) + 2 w ( ρ ) n 2 c +1 1 u ( u) + (c 1 + 2) w. Užili jsme postupně trojúhelníkovou nerovnost pro u = v + w, Campanatovo lemma pro v na B(x, ), snadný odhad (Hölderova nerovnost) ( w) ρ ρ w ρ, triviální odhad w ρ w a konečně trojúhelníkovou nerovnost pro v = u w. Testováním (16) funkcí w dostaneme díky elipticitě w c 2 F c 2 µ u ( u) + c 3 µ u + c 4 n 2 +ν - užili jsme A C,µ a f C,ν L 2,n+2ν, odkud f f c 4 n 2 +ν. Celkem tedy (značíme φ(ρ) = u ( u) ρ ρ ) [ ( ρ ) n ] 2 (17) φ(ρ) c c 1 µ φ() + c 2 n 2 +ν + c 2 µ u. 13

14 Zbývá ošetřit poslední člen. Zvol ε (, n/2). Protože f L 2,n 2ε L 2,n 2ε a A(x) jsou spojité, je podle předchozí věty u L 2,n 2ε. Tudíž u c 3 n/2 ε a tedy (18) φ(ρ) [ c 1 ( ρ ) n c 1 µ ] φ() + c 2 n 2 +ν + c 2 n 2 +µ ε. Nyní rozlišme dva případy. Pokud µ > ν(= κ), stačí zvolit ε = µ ν a dostaneme [ ( ρ ) n ] 2 φ(ρ) c c 1 µ φ() + c 2 n 2 +κ. Odsud závěr díky algebraickému lemmatu pro α = n/2 + 1, β = n/2 + κ po případném zmenšení ( ). Pokud ν µ, položme ε = µ/2. Z (18) plyne φ(ρ) [ c 1 ( ρ ) n c 1 µ ] φ() + c 2 n 2 + µ 2 a tedy díky algegraickému lemmatu φ(ρ) cρ n/2+µ/2. Tudíž u L 2,n+µ L, odkud u c n/2. Dosazením do (17) máme φ(ρ) [ c 1 ( ρ ) n c 1 µ ] φ() + c 2 n 2 +κ neboť κ = µ ν. Závěr opět použitím algebraického lemmatu. 4. Částečná regularita. Obsah kapitoly: pokrývací lemma (Vitali); lemma o odhadu Hausdorffovy dimenze; částečná regularita kvazilineární rovnice; Giustiho lemma; nepřímý důkaz částečné regularity. Lemma 4.1. (Pokrývací.) Nechť A n je omezená a r(x) : A (, 1). Pak existuje posloupnost x j } A tak, že jsou B(x j, r(x j )) po dvou disjunktní a A j B(x j, 3r(x j )). Důkaz. V prvním kroku uvažuji pouze koule B(x, r(x)), splňující r(x) [1/2, 1). Díky omezenosti A mezi nimi najdu konečný maximální disjuktní podsystém. V n-tém kroku přidávám disjunktně z koulí splňujících r(x) [2 n 1, 2 n ). Vždy jich přibude nejvýše konečně mnoho. Vybrané koule značím B(x j, r(x j )). Nyní nechť y A je libovolné a y x j pro j. Existuje n, že y [2 n 1, 2 n ). Přitom koule B(y, r(y)) nebyla vybrána v n-tém kroku. Tedy existuje z B(y, r(y)) B(x j, r(x j )), kde x j bylo vybráno nejpozději v n-tém kroku. 14

15 Klíčové pozorování: 2r(x j ) 2 n r(y). Odsud y x j y z + z x j < r(y) + r(x j ) 3r(x j ) a tedy y B(x j, 3r(x j )). Lemma 4.2. (Odhad dimenze.) Nechť f L 1 (), α [, n). Polož E = x : lim sup ρ α f > }. ρ + B(x,ρ) Potom H α (E) =, a tudíž d H (A) α. Důkaz. Vzhledem k σ-subaditivitě H α je H α (E) = sup H α (E K), K kompaktní K H α (E K) = sup H α (F s ), s> F s = x E K : lim sup ρ α f > s } ρ + B(x,ρ) Dokážeme H α (F s ) = pro F s pevné. Zvolme ε (, 1). Protože f = κ n f(x) < lim ρ + ρ n B(x,ρ) pro skoro všechna x, je λ n (E) =. Tedy existuje Q F s otevřená, λ n (Q) < ε. Nyní pro každé x F s najdu r(x) (, ε) tak, že B(x, r(x)) Q a ( ) α r(x) f > s. B(x,r(x)) Dle pokrývacího lemmatu vyberu disjunktní B(x i, r i ) (značím r i = r(x i )) tak, že F s i B(x i, 3r i ). Tedy H α,ε (F s ) (3r i ) α = 3 α ri α = 3α f 3α f. s i i i B(x i,r i ) s Q Pro ε jde levá strana k H α (F s ), pravá k (neboť λ n (Q) < ε) díky absolutní spojitosti integrálu. Věta 4.1. (Částečná regularita kvazilineární rovnice.) Nechť u W 1,2 () je řešení rovnice } (19) div A(u) u = f. Nechť A je stejnoměrně spojitá a eliptická, nechť f L p, kde p > n. Potom existuje Σ taková, že (1) u C,α ( \ Σ), kde α = 1 n/p; (2) d H (Σ) < n 2. 15

16 Důkaz. Zvolme x. Pro = dist(x, ) označme Ã = A(u ). Na B(x, ) lze psát u = v + w, kde u, v řeší (2) (21) div ( Ã v ) = na B(x, ) v = u na B(x, ) div ( Ã w ) ( (Ã ) ) ) = div A(u) u + f w = na B(x, ) na B(x, ) Označme u ρ = u L 2 (B(x,ρ)). Podobně jako ve větě o regularitě lineární rovnice odvodíme pro ρ ( ρ ) n 2 u ρ c 1 u + c 2 w w ( Ã A(u) ) u + f Odhadujeme ( ) f 2 = f /p p f p 2n n c 3 V důkazu budeme dále potřebovat následující hluboký výsledek: z toho, že u W 1,2 řeší rovnici (19), lze odvodit, pro vhodné q > 2 lokálně platí odhad ( ) 1/q ( ) 1/2 (22) u q u 2 B 2 - tzv. reverzní Hölderova nerovnost. Označme ω modul spojitosti A, tj. A(u) A(v) ω( u v 2 ). BÚNO ω je spojitá, neklesající, konkávní a ω(+) =, ω(+ ) = ω <. Odhadujeme ( Ã A(u) ) u 2 = u 2 A(u) A(u ) 2 u q 2/q 2q ω q 2 ( u u 2 ) p. 1 2/q c 2n( 1 q 1 2 B ) u 2 2q q 2 ω 1 ω( u u 2 ) 2 ( ) 1 2/q = c u 2 ω( u u 2 ) B 2 ( )} 1 2/q c u 2 ω u u 2 B /q

17 Použili jsme obyčejnou a reverzní (22) Hölderovu nerovnost, odhad ω ω, = c n a nakonec konkávnost ω. Při značení φ(ρ) = u ρ, β = 1/2 1/q celkem dostaneme [ ( ρ ) ( )] n/2 φ(ρ) c 1 + ω β u u 2 φ(2) + c 2 n 2 (1 2 p ). Chceme použít algebraické lemma. To ale půjde pouze tam, kde je u u malé. Za tímto účelem definujeme Σ := x : lim inf + } u u 2 > B(x,) Pokud x / Σ, je s malým malé též u u 2 - díky spojitosti dokonce na okolí x. Tedy dle Lemmatu 3.3 je φ(ρ) = u ρ cρ n 2 (1 2 p ). Tj. na okolí x je u L n 2n/p a podle Věty 1.4, bodu 3 je u L n+2(1 n/p) ; podle bodu 4 je tedy u C,α, kde α = 1 n/p, c.b.d. Zbývá odhadnout velikost singulární množiny Σ. Z Poincarého (Věta 1.3) a Hölderovy nerovnosti u u 2 c 2 n u 2 c 2 n u q 2/q 1 2/q = c 2 2n/q u q 2/q. Odtud } Σ x : lim inf + q n u q >. B(x,) Protože dle (22) je u L q s nějakým q > 2, je podle Lemmatu 4.2 d H (Σ) n q. Lemma 4.3. (Giusti.) Nechť u W 1,2 () je slabé řešení (19), nechť. Potom pro každé τ (, 1) a M existují ε > a > s následující vlastností: pokud pro x existuje < min, dist(x, )} tak, že (a) U(x, ) := u u B(x,) 2 ε 2, B(x,) (b) u B(x,) M, 17

18 je U(x, τ) 2c τ 2 U(x, ), kde konstanta c závisí pouze na elipticitě A. Důkaz. Sporem: existují τ (, 1), M tak, že lze nalézt posloupnosti ε n, n a body x n tak, že (a) U(x n, n ) = ε 2 a (b) u x n, n M, avšak U(x n, τ n ) > 2c τ 2 U(x n, n ). Jak zvolit c, aby nastal spor, uvidíme za chvíli. Zavedeme pomocné funkce v n (y) = 1 ε n [ u(xn + n y) u B(x,) ], y B(, 1) Pozorujeme, že (23) (24) (v n ) B(,1) = V n (, 1) = B(,1) V n (, τ) > 2c τ 2 v n 2 = 1 kde V n (, ρ) = B(,ρ) v n (v n ) B(,ρ) 2. Funkce v n řeší div A n (y) v n } =, y B(, 1) kde A n (y) = A( n y + x n, ε n v n (y) + u B(xn, n)). Z Caccioppoliho lemmatu 3.1 plyne pro σ (, 1) v n 2 c 1 B(,σ) (1 σ) 2 v n 2 B(,1) kde c 1 závisí jen na elipticitě A n. Tedy z omezenosti v n v L 2 (B(, 1)), viz (23), plyne i omezenost v n v L 2 (B(, 1)). Přechodem k podposloupnosti máme x n x cl ( ), u B(xn, n) u, v n v v L 2 a v n v n v L 2 a také s.v. v B(, 1). Odsud A n (y) A = A(x, u n ) s.v. a v (y) řeší v B(, 1) div A (y) v } = Tedy podle Campanatova lemmatu 3.2 V (, τ) c τ 2 V (, 1) kde c je hledaná konstanta, závisející jen na elipticitě A = A(x, u ). Avšak limitním přechodem plyne z (23), (24) V (, 1) = v 2 1 což je spor. B(,1) V (, τ) 2c τ 2 Věta 4.2. ( Nepřímý důkaz částečné regularity.) Nechť u W 1,2 () je řešení rovnice } div A(x, u) u =. 18

19 Nechť A je spojitá a eliptická. Pak existuje Σ taková, že (1) u C,α ( \ Σ) pro libovolné α (, 1); (2) d H (Σ) < n 2. Důkaz. Položme Σ = Σ 1 Σ 2 Σ 1 := x : sup Σ 2 := <δ } u B(x,) = + x : lim inf + U(x, ) > } kde δ > je pevné, libovolné a U(x, ρ) = B(x,ρ) u u B(x,ρ) 2. Stejně jako v důkaze Věty 4.1 pomocí reverzního Höldera odvodíme odhad d H (Σ 2 ) < n 2. Pro Σ 1 to v sešitě nemám!!!??? Zbývá regularita u mimo Σ. Dokážeme, že pro každé x / Σ existuje okolí U(x) tak, že u C,α (U(x)) pro libovolné α (, 1). Hlavním nástrojem je přitom Giustiho lemma 4.3. Nechť x, α jsou dána. Protože x / Σ 1, existuje M > tak, že sup <δ u < M. Zvolme τ (, 1) tak, aby 2c τ 2 < τ 2α, kde c pochází z Giustiho lemmatu 4.3 (a jak víme, závisí jen na elipticitě A.) Giustiho lemma nám zaručuje existenci jistých ε a >. Protože x / Σ 2, lze najít < tak, že U(x, ) < ε 2. BÚNO < δ, a tedy závěr Giustiho lemmatu dává U(x, τ) 2c τ 2 U(x, ) < τ 2α U(x, ) Speciálně U(x, τ) ε 2 a tedy opakovým užitím závěru Giustiho lemmatu U(x, τ k ) < τ 2kα U(x, ). Konečně ze spojitosti existuje okolí U(x) tak, že (25) U(y, τ k ) < τ 2kα U(y, ) y U(x) Nechť nyní ρ (, ). Cílem je ukázat U(y, ρ) c ρ 2α y U(x) kde c nezávisí na y, ρ. Odtud hledaný závěr u L 2,2α+n = C,α na U(x). Zvolme k celé tak, že τ k+1 < ρ τ k. Počítejme 1 U(y, ρ) = u u B(y, ρ) B(y,ρ) 2 B(y,ρ) 1 u u B(y, ρ) B(y,τ k ) 2 B(y,ρ) 1 B(y, τ k+1 u u ) B(y,τ k ) 2 B(y,τ k ) = τ n U(y, τ k ) τ n 2α 2α U(y, ) }} c Užili jsme toho, že c = u B je minimum funkce c B u c 2 a nerovností (25) a τ k ρ/(τ). Důkaz je hotov. 19 ρ 2α

20 5. Systémy blízké. Obsah kapitoly: dvě věty o Hölderovskosti gradientu pro lineární rovnici blízkou laplaciánu. Věta 5.1. Nechť u W 1,2 řeší rovnici div ( A(x) u) = kde A(x) je symetrická. Jestliže λ (26) > n 2 λ 1 n 1, kde λ i jsou konstanty elipticity a n je dimenze, je u lokálně Hölderovské. Důkaz. Ukážeme, že funkce φ() = λ B(x,) u 2 je s vhodným λ omezená (nezávisle na x a < dist(, ).) Protože φ() je nezáporná a (lokálně) absolutně spojitá, stačí zaručit, že 1 φ () = λ λ 1 u 2 + λ u 2. S Hlavní bod důkazu spočívá v tom, že u 2 odhadneme pomocí S u 2. Za tímto účelem definujeme pomocnou funkci v, kde v = x (27) v = u x S Platí (28) λ u B 2 ( A u, u ) ( A v, v) λ1 v 2 První a třetí nerovnost jsou podmínky elipticity. Druhá nerovnost plyne z toho, že u řeší Euler-Lagrangeovu rovnici funkcionálu ψ (A ψ, ψ), ψ S = u a je zde tedy (jediným díky elipticitě) minimizérem. Dále máme v 2 T v 2 = T u 2 u 2. n 1 n 1 n 1 S S Zde T značí derivace pouze ve směru tečném k S. První nerovnost plyne z teorie potenciálu (v je harmonická), následující rovnost z toho, že u = v na S. Celkem máme slibovaný odhad u 2 λ 1 u 2 λ n 1 S 1 Následující úvahy jsou v pořádku pro skoro všechna. 2 S

21 a tedy φ () λ Díky (26) lze zvolit λ tak, že ( u 2 S λ λ 1 1 λ 1 λ λ n 1 > n 2 n 1 ) λ. n 1 Z první nerovnosti plyne, že φ (), tedy φ je (lokálně) omezená, neboli u L 2,λ. Druhá nerovnost zaručuje λ > n 2, tj. λ = n 2 + ε, ε >. Podle Věty 1.4 bodu 3 je u L n+ε ; podle bodu 5 je u C,ε/2. Věta 5.2. Nechť u W 1,2 kde A(x) je symetrická. Jestliže (29) řeší rovnici div ( A(x) u) = λ λ 1 > n 1 1 n 1 + 1, kde λ i jsou konstanty elipticity a n je dimenze, je u lokálně Hölderovské. Důkaz. Důkaz je příbuzný důkazu předchozí věty. ozdíl spočívá v tom, že zlepšíme odhad (28). ovnici pro u přepíšeme jako (I ) } (3) u = div ΛA u. Konstantu Λ zvolíme tak, aby norma B = I ΛA byla minimální. Matice B je symetrická, tedy B = max λ ; λ σ(b)}. Protože 1 Λλ 1 a 1 Λλ jsou zjevně nejmenší a největší prvek σ(b), je optimální volbou Λ = 2/(λ 1 + λ ) dávající B = (λ 1 λ )/(λ 1 + λ ). Funkce v je opět určena rovnicí (27). ovnici (3) testujeme w = u v W 1,2 ( ): u w ( I ΛA) u w λ 1 λ λ 1 + λ u w 1 ( ) λ1 λ 2 u w 2 2 λ 1 + λ 2 21

22 Dále testujeme funkcí w rovnici (27) a dostaneme v w =. Odtud u w = w 2 B u 2 = v 2 + w 2 Dohromady máme ( ) } λ1 λ 2 1 λ 1 + λ u 2 v 2. To je hledané zlepšení odhadu (28), neboť λ /λ 1 je obecně menší než výraz ve složené závorce vlevo. Nyní podobně jako v důkazu předchozí věty dostaneme ( ) } φ () λ u 2 λ1 λ 2 1 λ 1 1. λ 1 + λ n 1 S K završení důkazu je tedy třeba najít λ tak, že ( ) λ1 λ 2 1 λ λ 1 + λ n 1 > n 2 n 1, což lze právě když platí (29). Poznámky. Podmínky (26), (29) vyjadřují, že λ /λ 1 je blízko 1, tj. matice A je téměř diagonální (laplacián). Podmínka (29) je slabší než (26) Košelev 78 dokázal analogickou větu s ještě slabší podmínkou λ λ 1 > 1 + (n 2)2 n 1 1, 1 + (n 2)2 n která je zároveň optimální - její libovolné porušení umožňuje existenci nespojitého řešení. 22