Odhady polohy mzdového rozdělení pomocí vybraných robustních odhadových funkcí
|
|
- Oldřich Němeček
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Odhady polohy mzdového rozdělení pomocí vybraných robustních odhadových funkcí 1. Úvod Odhady polohy rozdělení náhodné proměnné patří k základním statistickým otázkám. Aritmetický v mnoha případech není zcela vhodnou volbou k odhadu polohy, protože není příliš odolný vůči působení odlehlých pozorování náhodné proměnné. Pro správné řešení tohoto problému za podmínek nesplnění předpokladu normality rozdělení náhodné proměnné je výhodné použití tzv. robustních estimátorů polohy. Mzdy a jejich rozdělení představují důležitý ekonomický fenomén, který se bezprostředně dotýká veškerého ekonomicky aktivního obyvatelstva. Proto je správné stanovení polohy mzdového rozdělení velmi důležitý statistický a zároveň i citlivý společenský problém. Obecná úroveň mzdy je častým argumentem různých ekonomických komentářů, které vysvětlují příjmy domácností resp. zaměstnanecké populace. Na nou mzdu se často obracíme v diskusích o příjmech a životní úrovni obyvatelstva. Srovnáváme také její velikost mezi jednotlivými státy. Od obecné mzdové hladiny odvozujeme rovněž né náklady práce a další důležité ekonomické veličiny, jako je např. životní minimum, minimální mzda apod. Jaké jsou zdroje informací o mzdách zaměstnanců? Ke zkoumání mzdové úrovně jsou k dispozici údaje pocházející z Českého statistického úřadu jde o tzv. statistické výkaznictví a šetření diferenciace mezd zaměstnanců a z Informačního systému o ném výdělku (dále ISPV) jako rezortního zjišťování pod gescí MPSV. Uvedeným zdrojům také odpovídá různé pojetí obecné mzdové úrovně. Zatímco ve statistickém výkaznictví se jako obecná úroveň mzdy považuje mzda počítaná jako aritmetický, v šetření diferenciace mezd zaměstnanců a v rezortním zjišťování MPSV, (tj. ISPV) je uznávána jako reprezentativní úroveň mzda mediánová, tedy mzda prostřední. V článku je provedeno posouzení vybraných odhadových funkcí, které se používají k odhadu polohy rozdělení. Jedná se o funkce odhadu více či méně odolné (robustní) vůči extrémním, resp. odlehlým hodnotám. Hlavním kriteriem pro výběr funkcí odhadu byla jejich praktická použitelnost a rozumná interpretovatelnost. Do příspěvku byl tedy vybrán výběrový medián jako nejrobustnější funkce odhadu mzdového rozdělení, aritmetický jako funkce nejméně odolná vůči odlehlým hodnotám a různé varianty funkcí odhadu mezi uvedenými extrémními případy. Pro posuzované funkce odhadu však obecně platí, že se jedná o lineární formy s koeficienty představujícími systém vah. Při odhadování polohy rozdělení mezd se jako váhové systémy nejčastěji uplatňují pouze takové systémy, které potlačují význam krajních hodnot mezd (zejména nejvyšších). Proto systémy vah, které jsou rozebírány v tomto příspěvku, buď zcela nebo částečně omezují vliv krajních pozorování a relativně zvyšují význam skupiny střední příjmové skupiny. Uvedený teoretický rozbor je náplní kapitoly 2. V kapitole 3 jsou zaznamenány výsledky experimentálních odhadů polohy reálného mzdového rozdělení za použití výše uvedených odhadových funkcí. Jedná se o rozdělení nesymetrické, kde skupina mezd vysokopříjmových zaměstnanců způsobuje vysokou variabilitu výsledné né mzdy. Pro účely tohoto příspěvky byly použity údaje o mzdách z Informačního systému o ném výdělku. 1
2 2. Vybrané funkce odhadu polohy rozdělení mezd 2.1. Problém robustnosti odhadu polohy rozdělení Problém citlivosti odhadové funkce na přítomnost odlehlých, resp. extrémních hodnot, tj. datových bodů, které se odchylují od rozložení hlavní části datové množiny [1], vedl k zavedení robustních měr polohy. Robustnost funkce odhadu je měřena jako hodnota bodu zvratu odhadu. Bod zvratu odhadu [2] informuje o tom, jak velký podíl pozorování v souboru lze libovolně zaměnit, aniž by došlo k úplnému selhání odhadu. Například aritmetický má hodnotu bodu zvratu asymptoticky rovnou 0 %, zatímco medián jako odhad polohy je velmi robustní s hodnotou bodu zvratu odpovídající 50 % [1] Robustní míry odhadu polohy Podle [1] se odhady parametrů polohy rozdělení obecně dělí do několika rozdílných tříd odhadů, a to na třídu maximálně věrohodných odhadů, tzv. M-odhady, na třídu R-odhadů, které jsou založeny na odhadech z pořadových testů, a na třídu L-odhadů, které představují lineární funkce pořádkových statistik. V oblasti mzdových rozdělení jsou nejpoužívanějšími odhadovými funkcemi jsou lineární kombinace pořádkových statistik, tedy třída L-odhadů. Podle [2] se L-odhady parametru rozdělení se nazývá libovolná statistika ve tvaru n (), (1) ˆL = w X n i i i=1 kde X (1) X (2) X (n) jsou pořádkové statistiky odpovídající náhodnému výběru X 1,, X n a w i, i = 1, 2,, n; je funkce vah, pro kterou platí: n wi = 1. (2) i=1 Hodnoty váhové funkce jsou téměř vždy nezáporné a volí se zpravidla tak, aby se omezil nebo potlačil vliv odlehlých nebo extrémních pozorování na odhadovanou hodnotu. V praxi se pro krajní pořádkové statistiky používají menší hodnoty vah než pro pořádkové statistiky ležící uprostřed uspořádané množiny dat. Mezi hlavní výhody L-odhadů podle [2] patří jednoduchost výpočtu a rozumná interpretovatelnost výsledných odhadů. Vhodnou volbou váhové funkce (2) ve statistice (1) lze konstruovat odhadové funkce, které se vyznačují různou robustností vůči odlehlým pozorováním. K typickým zástupcům odhadové funkce ve tvaru (1) patří zejména aritmetický, medián, useknutý, winsorizovaný a nově navržené míry polohy - useknutý L-[4] a tanh [5]. Systémy vah u vybraných funkcí odhadu polohy jsou znázorněny v Grafu Aritmetický Aritmetický je nejrozšířenější statistickou mírou a nejznámější odhadovou funkcí parametru polohy pro mzdová rozdělení. Hodnoty váhové funkce (2) jsou pro všechny vybrané prvky stejné tj. pro všechny w i platí, že 1 w i = = konst. (3) n Dosazením váhové funkce (3) do (1) vzniká odhadová funkce aritmetického u ve tvaru 2
3 1 ˆL = A n X() i n. (4) i=1 Aritmetický nepatří k robustním funkcím odhadu, neboť i jeden odlehlý bod v datech může způsobit odhad polohy nekonečně malý nebo nekonečně velký. Hodnota bodu zvratu je rovna 0 % Výběrový medián náleží do třídy L-odhadů parametru polohy rozdělení (1). Odhadová funkce výběrového mediánu však není založena na všech pořádkových statistikách výběrového souboru, nýbrž pouze na několika vybraných pořádkových statistikách. Tomu odpovídají hodnoty váhové funkce (2), které jsou nenulové pouze pro vybrané pořádkové statistiky tj. pro které platí, že w = 1, je-li velikost výběrového souboru n liché číslo a (5) n+1 2 w = w = 0.5, je-li velikost výběrového souboru n sudé číslo. (6) n n Výběrový medián náleží k velmi robustním funkcím odhadu, neboť ani jedno odlehlé nebo extrémní pozorování nemůže ovlivnit medián jako odhad polohy. Nevýhoda výběrového mediánu jako míry polohy spočívá v jeho přílišné robustnosti, neboť se při odhadu neuvažuje velká část vzorku dat. Hodnota bodu zvratu je rovna 50 % Useknutý Useknutý opět náleží do třídy L-odhadů parametru polohy rozdělení (1) a odpovídá aritmetickému u hodnot datového vzorku, z něhož bylo odstraněno p nejvyšších a p nejnižších pozorování. Příslušná odhadová funkce useknutého u není lineární kombinací všech pořádkových statistikách výběrového souboru, nýbrž pouze n-2p vybraných pořádkových statistik (n je rozsah výběrového souboru a p je počet odstraněných pozorování). Odpovídající hodnoty váhové funkce (2), které jsou (podobně jako u mediánu) nenulové pouze pro vybrané pořádkové statistiky, jsou 1 pro p+1 i n-p w i = n-2 p. (7) 0 jinak Aplikace useknutých ů snižuje vliv extrémních datových hodnot na výsledek odhadování polohy. Na rozdíl od mediánu však tato odhadová funkce do míry polohy zahrnuje podstatnou část napozorovaných dat. Hodnota bodu zvratu je rovna p % Winsorizovaný Winsorizovaný opět náleží do třídy L-odhadů parametru polohy rozdělení (1) a je podobný useknutému u. Na rozdíl od useknutého u, kdy jsou data na obou koncích rozdělení jednoduše uřezána, winsorizovaný tyto uřezaná data nahrazuje k nim nejbližším pozorováním. Odhadová funkce (2) winsorizovaného u odpovídá váhové funkci useknutého u s výjimkou toho, že každé odřezané pozorování je 3
4 nahrazeno nejbližším neodřezaným. Odpovídající hodnoty váhové funkce, které jsou (stejně jako u useknutého u) nenulové pouze pro vybrané pořádkové statistiky, jsou 0 pro i p nebo i n-( p-1) p+1 w i = i = p + 1 nebo i = n - p. (8) n 1 pro p+2 i n-( p+1) n Použití winsorizovaných ů snižuje ztrátu informace v důsledku zanedbání odlehlých datových hodnot na výsledek odhadu nahrazením odstraněných pozorování. Stejně jako useknutý tato odhadová funkce do míry polohy zahrnuje podstatnou část napozorovaných dat. Stupeň useknutí se volí na základě tvaru rozdělení. Hodnota bodu zvratu je rovna p % Useknutý L- Zobecněním L-momentů [3] byly v [4] navrženy useknuté L-momenty. Useknuté L- momenty mohou být odhadnuty z výběrového souboru jako lineární kombinace pořádkových statistik ve tvaru ( i - 1 ) ( n - i p p ) w i = n ( 2 p+1) 0 jinak pro p+1 i n-p i i! p p! i-p!. (9), kde ( ) = ( ) Stejně jako v případě useknutých ů zanedbáním konců mzdového rozdělení se snižuje vliv extrémních a odlehlých pozorování na výsledný odhad polohy rozdělení. Hlavním rozdílem odlišujícím funkci odhadu useknutého u (7) od funkce odhadu useknutého L- u (9) je skutečnost, že useknutý L- využívá nerovnoměrný systém vah s nejvyššími vahami pro pozorování blízko mediánu. Hodnota bodu zvratu je rovna p % Tanh Nově navrženou[5] mírou pro odhad polohy rozdělení je tanh (tangens hyperbolický). Váhový systém je počítán s využitím funkce tangens hyperbolický následujícím způsobem n n+1 tanh[ k i] - s pro i, resp. i, je-li n sudé, resp. liché w 2 2 i = (10) n n+1 -tanh k ( i - n - 1) - s pro i >, resp. i >, je-li n sudé, resp. liché 2 2 kde k je faktor řídící sklon váhové funkce pro extrémní a odlehlá pozorování a s determinuje vertikální zdvih. Oba parametry váhového systému faktor sklonu k a faktor vertikálního posuvu s jsou zpravidla optimalizovány [5] k dosažení nejlepší možné hodnoty vybraného měřitelného ukazatele u zjišťovaných veličin, např. minimalizace vychýlení odhadovaného parametru nebo minimalizace jeho rozptylu. Po dosazení váhového systému (10) do funkce L-odhadu (1) získáme funkci odhadu polohy rozdělení ve tvaru tanh (tangens hyperbolický). Tanh je počítán s využitím funkce tangens hyperbolický následujícím způsobem 4
5 n n+1, resp. 2 2 X () ( ) tanh k i - s + i n n+1 i= +1, resp. + 1 i=1 2 2 TH n n+1 n, resp. 2 2 ˆL = ( ) tanh k i - s n n+1 i= +1, resp. + 1 i=1 2 2 n { } X -tanh k i - n s () i ( ) {-tanh k ( i - n - 1) - s}. (11) Podobně jako u useknutého L-u se jedná o symetrický váhový systém, kdy je nejvyšších vah dosahováno v oblasti prostředních pozorování. Míru robustnosti lze nastavovat parametry sklonu a vertikálního posunu. Limitní hodnota bodu zvratu je rovna 0 %. 3. Výsledky praktického experimentu odhadování polohy rozdělení mezd 3.1. Popis základního souboru Základní soubor vybraný k provedení praktického odhadování polohy mzdového rozdělení obsahuje reálné hodnoty zaměstnaneckých výdělků. Jedná se o soubor velmi nesymetrický vyznačující se těžkým koncem v oblasti vyšších výdělků. Toto je způsobeno početně nevelkou skupinou vysokopříjmových zaměstnanců, která však má velký vliv na tvar celého rozdělení mezd a jeho základní charakteristiky. Vykazovaný vysoký koeficient špičatosti mzdového rozdělení je důsledkem nesymetrie rozdělení mezd, protože více než 60 % napozorovaných výdělků má hodnotu menší, než je ná hrubá měsíční mzda. Nejdůležitější charakteristiky základního souboru jsou uvedeny v příloze (viz Tabulka 1 - Charakteristiky základního souboru). Empirické rozdělení relativních četností hrubých měsíčních mezd je znázorněno v příloze (viz Graf 2 Empirické rozdělení relativní četnosti měsíčních mezd v základním souboru) Experimentální odhadování polohy mzdového rozdělení Pro experimentální odhadování polohy mzdového rozdělení byly vybrány odhadové funkce s váhovými systémy, o kterých bylo pojednáno v kap. 2. Vybrané funkce odhadu polohy rozdělení mezd. V prováděných výběrech byla zjišťovány výběrová rozdělení charakteristik, které se využívají k odhadu polohy rozdělení. Jedná se tedy o aritmetický a y vážené výše uvedenými váhovými systémy, včetně výběrového mediánu. Ke srovnání vlivu velikosti výběru (tzv. malé do 30 hodnot a velké - při 30 a více vybíraných hodnotách), byly velikosti výběrových souborů stanoveny na 10 a 50. Velikost výběrového souboru pro velké výběry tj. 50 vybíraných prvků byla zvolena z ohledem na překonání vlivu velmi nesymetrického základního rozdělení výdělků. Při praktickém odhadování polohy mzdového rozdělení bylo provedeno náhodných výběrů. Robustnost vážených ů byla sledována pomocí aplikovaných váhových systémů. Useknutí, resp. winsorizace u useknutých, resp. winsorizovaných odhadových funkcí byla nastavena na podíl 10 % a 25 % relativně vzhledem k celkové velikosti výběrových souborů. Jako estimátor nejodolnější vůči odlehlým, resp. extrémním mzdovým hodnotám se použil výběrový medián. Hlavním zástupcem nerobustních funkcí odhadu polohy s velkou citlivostí na odchylky v datech byl aritmetický s rovnoměrným váhovým systémem. Pro získání názornější představy o váhových systémech aplikovaných u výše uvedených odhadových funkcí je znázorněn jejich průběh v příloze graficky (viz Graf 1 Systémy vah u funkcí odhadu polohy rozdělení). Volba parametrů sklonu a vertikálního posunu u tanh u vychází ze [5], přičemž jejich hodnota se experimentálně zvolila tak, aby se snížil vliv 10 %, resp. 25 % 5
6 krajních hodnot výběrového souboru. V realizaci tohoto experimentu byl vertikální posun tanh u nastaven na nulu a jeho robustnost byla řízena parametrem sklonu. Výsledkem každého uskutečněného náhodného výběru je tabulka v příloze (viz Tabulka 2. až Tabulka 5), která obsahuje údaje o počtu provedených výběrů, velikosti výběrových souborů a nejdůležitějších výběrových statistikách za odhady polohy mzdového rozdělení. Tyto výběrové charakteristiky jsou vyčísleny samostatně za příslušnou odhadovou funkci. K doplnění informací o výběrovém rozdělení jednotlivých odhadů jsou v příloze připojeny i grafické průběhy výběrových rozdělení sledovaných odhadů (viz Graf 3, 4, 5 a 6). Vliv změny useknutí na výběrové rozdělení odhadovaného je zaznamenán v Grafu 7 pro výběrové soubory o velikosti 50 pozorování. V Grafu 7 je zachyceno průběh výběrového rozdělení odhadu polohy odhadované pomocí winsorizovaného u, kdy míra winsorizace činí 10 % a 25 %. Podobný obsah vyjadřuje Graf 8. Rozdíl spočívá s předchozím grafem spočívá pouze v tom, že jde o odhady z výběrových souborů o velikosti 10 pozorování a odhady polohy mzdového rozdělení jsou založeny na useknutém u. Míra useknutí je stejná jako v případě Grafu Vyhodnocení a závěr Na závěr tohoto příspěvku o odhadech polohy mzdového rozdělení pomocí vybraných robustních odhadových funkcí bude provedeno stručné vyhodnocení. Hodnocení výše popsaných odhadových funkcí bude vycházet z výsledků realizovaného výběrového experimentu. Kriteriem ke vzájemnému porovnání kvality jednotlivých funkcí odhadu je tzv. relativní efektivita. Podle [6] se relativní efektivitou dvou nevychýlených odhadů rozumí poměr jejich rozptylů, tj. var ( θˆ 1) η =, kde θ ˆ 1, θ ˆ 2 (12) var ( θˆ 2 ) jsou nevychýlené odhady. Poměr (12) vychází [6] z Cramerova-Raova pravidla o nejnižší hranici rozptylu. Vztah (12) vyjadřuje velikost rozptylu jednoho odhadu relativně vzhledem k velikosti rozptylu odhadu druhého. Ke správnému posouzení výběrových rozdělení vzniklých použitím vybraných odhadových funkcí dobře poslouží Tabulka 7 Celkové srovnání odhadů polohy a jejich relativní efektivita vzhledem k funkci odhadu aritmetického u (rozptyl aritmetického u je referenční hodnotou, tj. rovná se 100) uvedená v příloze příspěvku. V této tabulce jsou soustředěny veškeré údaje pro jednotlivé systémy odhadu polohy mzdového rozdělení. Jak již vyplývá z názvu dotčené tabulky, rozptyly jednotlivých středních hodnot odhadnutých ů jsou vztaženy k rozptylu střední hodnoty aritmetického u. Jako další pomocné kriterium kvality lze brát do úvahy také variační koeficienty středních hodnot jednotlivých odhadů. Při vzájemném srovnání příslušných odhadových funkcí je třeba mít také na paměti, že se prováděly výběry malé, tj. s výběrovými soubory o 10 pozorováních a výběry velké, kde velikost jednotlivých výběrových souborů dosahovala 50 napozorovaných mzdových hodnot. Ve skupině výběrů s velikostí výběrových souborů 50 prvků na základě kriteria (12) dosáhla nejlepších výsledků funkce odhadu pro tanh. Relativní efektivita tohoto odhadu byla zjištěna na úrovni 57,4 % při uřezání krajních hodnot o 10 % a 52,1 % při uřezání krajních hodnot o 25 %. Podobné výsledky byly zaznamenány u odhadu useknutého u. Relativní efektivita uřezaného u se dostala na hodnotu 52,2 % při uřezání 6
7 krajních hodnot o 10% a na 54,4 % při uřezání krajních hodnot o 25 %. Naopak nejhorší výsledek v relativní efektivitě odhadu byl dosažen odhadovou funkcí mediánovou, přičemž tato relativní efektivita se pohybovala v rozmezí 65,7 % až 67,9 % vzhledem k variabilitě aritmetického u. Obdobné tendence v hodnocené kvalitě odhadových funkcí se projevily i z hlediska velikosti variačních koeficientů. I na základě tohoto měřítka nejhůře dopadl odhad polohy zjišťovaný mediánovou funkcí odhadu. Nejlépe obstály odhadové funkce useknutého u a tangens hyperbolického u. Hodnotí-li se skupina výběrů malých, tj., kde velikost výběrových souborů činila toliko 10 pozorování, je třeba si uvědomit, že výběrová rozdělení budou do značné míry ovlivněna vlastnostmi základního rozdělení. Ve srovnání s předchozími výběry se u nich limitní vlastnosti projevují méně. V této skupině výběrů s velikostí výběrových souborů 10 prvků na základě kriteria (12) byly nejlepší výsledky zaznamenány u funkce odhadu pro useknutý L-. Relativní efektivita tohoto odhadu byla zjištěna na úrovni 55,6 % při uřezání krajních hodnot o 10% a 59,5 % při uřezání krajních hodnot o 25 %. Podobné výsledky byly vykázány u odhadu useknutého u. Relativní efektivita useknutého u se dostala na hodnotu 58,1 % při uřezání krajních hodnot o 10% a na 58,5 % při uřezání krajních hodnot o 25 %. Naopak nejhorší výsledek v relativní efektivitě odhadu byl dosažen odhadovou funkcí tangens hyperbolického u, přičemž tato relativní efektivita se pohybovala ve výši 71,9 % při 10 % uřezání krajních hodnot a 63,9 % při 25 % uřezání krajních hodnot. Nízkou relativní efektivitu vykázal mediánový odhad, a to až 67,7 % vzhledem k variabilitě aritmetického u. Velikosti variačních koeficientů v hodnocené kvalitě odhadových funkcí zaujaly podobné poměry. I na základě tohoto měřítka nejhůře dopadly odhady polohy zjišťované mediánovou funkcí odhadu a tangens hyperbolického u. Nejlépe obstály odhadové funkce useknutého u a useknutého L-u. V uskutečněných experimentálních výběrech byly zjištěny následující skutečnosti. V případě malých výběrů jsou nejvhodnějšími funkcemi odhadu polohy rozdělení funkce useknutého u a useknutého L-u, a to i v případě mzdového rozdělení s vysokou špičatostí a těžkým koncem. V případě realizace velkých výběrů se jeví nejvhodnějšími odhadovými funkcemi hyperbolický a useknutý. ová funkce odhadu byla vyhodnocena jako relativně nejméně efektivní, což bylo potvrzeno i nejvyššími hodnotami variačních koeficientů odhadů výběrových mediánů. Rozdělení mezd je zcela reálně vykazováno jako nesymetrické, silně špičaté, protože v něm převažují mzdy podné. Šikmost mzdového rozdělení je zvyšována i přítomností malé skupiny výdělků, u kterých jsou zjišťovány extrémní hodnoty (jedná se o mzdy manažerů a špičkových zaměstnanců). Za takových podmínek není určení polohy mzdového rozdělení jednoduchým úkolem. Velmi také záleží na vhodné volbě odhadové funkce. Na základě zjištění, které byly získány při tvorbě tohoto příspěvku se jako nejvhodnější funkcí odhadu polohy jeví tangens hyperbolický a useknuté y u velkých výběrů a useknutý L- u výběrů malých. Odhadování ů neváženým aritmetickým em není vzhledem k vysoké variabilitě a tvaru mzdového rozdělení vhodným řešením. Naopak ani použití mediánu jako nejrobustnější funkce odhadu polohy neposkytuje dobré odhady. Přílišná robustnost mediánu způsobuje příliš velké useknutí mzdových hodnot ve výběru, při současné vysoké variabilitě odhadů. Tyto vlastnosti mediánového u se byly vykázány nejen vysokými hodnotami rozptylu, ale i variačního koeficientu. Pro zvýšení kvality odhadů je možné použít např. useknuté y s nesymetrickým useknutím, odhadové funkce s adaptivní robustností a tak podobně. 7
8 5. Literatura [1] HAMPEL, F.-R. - RONCHETTI, E. M. - ROUSSEEUW, P. J. - STAHEL, W.: Robastnost v statistike: Podchod na osnove funkcii vlijanija. Moskva, Mir ISBN [2] BARTOŠOVÁ, J.: Robustní metody odhadů. In: Vědecký seminář doktorandů FIS, únor ISBN [3] HOSKING J. L-moments: Analysis and estimation of distributions using linear combinations of order statistics. Journal of Royal Statistical Society B52, , [4] ELAMIR, E. SEHEULT A. - H: Trimmed L-moments. In: Computational Statistics & Data Analysis 43, , 2003 [5] LEONOVICZ, Z. - KARVANEN, J. - SHISHKIN, S. - L.: Trimmed estimators for robust averaging of event-related potentials. Journal of Neuroscience Methods, Volume 142, Issue 1, pages 17-26, 2005 [6] LEBANON, G.: Relative Effciency, Efficiency, and the Fisher Information. Purdue University. Dept of Statistics, /efficiency.pdf Summary The Wage Distribution Location Estimating with the Assistance of Some Choosen Robust Estimating Functions The article points out some estimates of sample chracteristics. It refers to the fact that the good location estimates may do only with the good estimating fuctions. This article deals with some choosen location estimation function with or without a certain robustness. There are illustrated robust characteristics of several commonly used L-estimates. It describes some types of symmetrical estimators, namely arithmetic mean, median, α-trimmed mean, α- winsored mean, α-trimmed L-mean and tanh mean. This article was written for wage distribution location estimating. Every reviewed estimator was subjugated some theoretical analysis and it was determined a breakdown point for each reviwed robust estimator. Finally it was accomplished a sample experiment, which offered some practical comparing estimator s performances. This random sampling went off with for times on samples of the lenght 10 and/or 50. The α-trimming for trimmed means reached the trim level 10 % and/or 25 %. Adjusted results of this random sampling finger on the using a too robustless location estimator (arithmetic mean) or too robustness location estimator (median). An optimal loaction estimator is a fuction with some weight system, which a shape of own curve correspond the wage distribution shape. It may be some trimmed mean with non-sysmmetrical trimming, some estimating function with a sofisticated weighted systém (e. g. with a shape has the normal curve form) a may be some adaptive robust estimator. The estimator s quality was compared with a relative efficiency criterion. The best of the analysed group of estimators as resulting from the practical random sample experiment was won the α-trimmed mean and the tanh mean in the large-sample case and the α-trimmed mean and the α-trimmed L-mean. 8
9 6. Příloha Základní statistika Hrubá měsíční mzda Počet pozorování Průměr Rozptyl Směrodatná odchylka Variační koeficient 0,497 Koeficient šikmosti 6,421 Koeficient špičatosti 119,224 Rozpětí Minimální hodnota decil kvartil medián kvartil decil Maximální hodnota Tabulka 1. Charakteristiky základního souboru Počet provedených výběrů Velikost výběrového souboru 50 Funkce odhadu polohy Aritmetický Useknutý 10% Winsorizovaný 10% Useknutý L- 10% Tanh 10% Průměr Rozptyl Směrodatná odchylka Variační koeficient 0,070 0,064 0,054 0,055 0,058 0,056 Koeficient šikmosti 0,911 0,292 0,176 0,209 0,191 0,255 Koeficient špičatosti 5,178 3,087 3,032 3,025 2,989 3,112 Rozpětí Minimální hodnota decil kvartil medián kvartil decil Maximální hodnota Tabulka 2. Odhady polohy (5 000 výběrů, velikost výběrových souborů 50) 9
10 Počet provedených výběrů Velikost výběrového souboru 10 Funkce odhadu polohy Aritmetický Useknutý 10% Winsorizovaný 10% Useknutý L- 10% Tanh 10% Průměr Rozptyl Směrodatná odchylka Variační koeficient 0,153 0,133 0,123 0,127 0,121 0,133 Koeficient šikmosti 2,013 0,512 0,598 0,893 0,479 1,068 Koeficient špičatosti 18,968 3,430 4,142 6,674 3,446 8,006 Rozpětí Minimální hodnota decil kvartil medián kvartil decil Maximální hodnota Tabulka 3. Odhady polohy (5 000 výběrů, velikost výběrových souborů 10) Počet provedených výběrů Velikost výběrového souboru 50 Funkce odhadu polohy Aritmetický Useknutý 25% Winsorizovaný 25% Useknutý L- 25% Tanh 25% Průměr Rozptyl Směrodatná odchylka Variační koeficient 0,071 0,063 0,057 0,056 0,060 0,054 Koeficient šikmosti 0,897 0,386 0,293 0,250 0,360 0,177 Koeficient špičatosti 5,335 3,335 3,179 3,118 3,289 2,989 Rozpětí Minimální hodnota decil kvartil medián kvartil decil Maximální hodnota Tabulka 4. Odhady polohy (5 000 výběrů, velikost výběrových souborů 50) 10
11 Počet provedených výběrů Velikost výběrového souboru 10 Funkce odhadu polohy Aritmetický Useknutý 25% Winsorizovaný 25% Useknutý L- 25% Tanh 25% Průměr Rozptyl Směrodatná odchylka Variační koeficient 0,152 0,136 0,125 0,125 0,127 0,127 Koeficient šikmosti 1,729 0,585 0,555 0,562 0,560 0,697 Koeficient špičatosti 11,647 4,022 4,170 4,226 4,115 4,617 Rozpětí Minimální hodnota decil kvartil medián kvartil decil Maximální hodnota Tabulka 5. Odhady polohy (5 000 výběrů, velikost výběrových souborů 10) Počet provedených výběrů Velikost výběrového souboru 50 Funkce odhadu polohy Useknutý 10% Useknutý 25% Winsorizovaný 10% Winsorizovaný 25% Useknutý L- 10% Useknutý L- 25% Průměr Rozptyl Směrodatná odchylka Variační koeficient 0,123 0,057 0,055 0,056 0,058 0,060 Koeficient šikmosti 0,598 0,293 0,209 0,250 0,191 0,360 Koeficient špičatosti 4,142 3,179 3,025 3,118 2,989 3,289 Rozpětí Minimální hodnota decil kvartil medián kvartil decil Maximální hodnota Tabulka 6. Srovnání odhadů polohy (5 000 výběrů, velikost výběrových souborů 50) 11
12 Aritmetický Useknutý Winsorizovaný Useknutý L- Tanh Velikost výběrového souboru Useknutí (winsorizace) v % Průměr Rozptyl Variační koeficient 0,153 0,133 0,123 0,127 0,121 0,133 Relativní efektivita odhadu 100,0 63,0 58,1 63,6 55,6 71,9 Velikost výběrového souboru Useknutí (winsorizace) v % Průměr Rozptyl Variační koeficient 0,070 0,064 0,054 0,055 0,058 0,056 Relativní efektivita odhadu 100,0 67,9 52,2 55,7 55,9 57,4 Velikost výběrového souboru Useknutí (winsorizace) v % Průměr Rozptyl Variační koeficient 0,152 0,136 0,125 0,125 0,127 0,127 Relativní efektivita odhadu 100,0 67,7 58,5 59,9 59,5 63,9 Velikost výběrového souboru Useknutí (winsorizace) v % Průměr Rozptyl Variační koeficient 0,071 0,063 0,057 0,056 0,060 0,054 Relativní efektivita odhadu 100,0 65,7 54,4 54,9 59,3 52,1 Tabulka 7. Celkové srovnání odhadů polohy a jejich relativní efektivita vzhledem k funkci odhadu aritmetického u (rozptyl aritmetického u = 100) 12
13 0,50 Váha Systém vah u funkcí odhadu polohy rozdělení 0,40 0,30 Aritmetický Useknutý Winsorizovaný Useknutý L- Tanh 0,20 0,10 0, Graf 1 Systémy vah u funkcí odhadu polohy rozdělení 0,30 Relativní četnost 0,25 Rozdělení relativní četnosti mezd v základním souboru 0,20 0,15 0,10 0,05 Hrubá měsíční mzda [Kč/měs] 0, Graf 2 Empirické rozdělení relativní četnosti měsíčních mezd v základním souboru 13
14 0,055 0,050 0,045 0,040 0,035 0,030 Relativní četnost Rozdělení relativních četností hrubé měsíční mzdy (5 000 výběrů o velikosti n = 50) Aritmetický Useknutý 25 % Winsorizovaný 25 % Useknutý L- 25 % Tanh 25 % 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 Mzda [Kč/měs] 0, Graf 3 Empirické rozdělení relativní četnosti měsíčních mezd (výběrový soubor 50 vzorků) 0,050 0,045 0,040 0,035 0,030 0,025 Relativní četnost Rozdělení relativních četností hrubé měsíční mzdy (5 000 výběrů o velikosti n = 50) Aritmetický Useknutý 10 % Winsorizovaný 10 % Useknutý L- 10 % Tanh 10 % 0,020 0,015 0,010 0,005 Mzda [Kč/měs] 0, Graf 4 Empirické rozdělení relativní četnosti měsíčních mezd (výběrový soubor 50 vzorků) 14
15 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 Relativní četnost Rozdělení relativních četností hrubé měsíční mzdy (5 000 výběrů o velikosti n = 10) Aritmetický Useknutý 10 % Winsorizovaný 10 % Useknutý L- 10 % Tanh 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 Mzda [Kč/měs] Graf 5 Empirické rozdělení relativní četnosti měsíčních mezd (výběrový soubor 10 vzorků) 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 Relativní četnost Rozdělení relativních četností hrubé měsíční mzdy (5 000 výběrů o velikosti n = 10) Aritmetický Useknutý 25 % Winsorizovaný 25 % Useknutý L- 25 % Tanh Průměr 25 % 0,03 0,02 0,01 Mzda [Kč/měs] 0, Graf 6 Empirické rozdělení relativní četnosti měsíčních mezd (výběrový soubor 10 vzorků) 15
16 0,040 0,035 Relativní četnost Rozdělení relativních četností hrubé měsíční mzdy (odhady polohy winsorizovaným em) 0,030 Winsorizovaný 10 % Winsorizovaný 25 % 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 Mzda [Kč/měs] 0, Graf 7 Změny v rozdělení relativní četnosti měsíčních mezd při změně useknutí (50 vzorků) 0,035 0,030 0,025 Relativní četnost Rozdělení relativních četností hrubé měsíční mzdy (odhady polohy useknutým em) Useknutý 10 % Useknutý 25 % 0,020 0,015 0,010 0,005 Mzda [Kč/měs] 0, Graf 8 Změny v rozdělení relativní četnosti měsíčních mezd při změně useknutí (10 vzorků) 16
Uni- and multi-dimensional parametric tests for comparison of sample results
Uni- and multi-dimensional parametric tests for comparison of sample results Jedno- a více-rozměrné parametrické testy k porovnání výsledků Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Katedra analytické chemie, Universita
VíceKarta předmětu prezenční studium
Karta předmětu prezenční studium Název předmětu: Číslo předmětu: 545-0250 Garantující institut: Garant předmětu: Ekonomická statistika Institut ekonomiky a systémů řízení RNDr. Radmila Sousedíková, Ph.D.
VíceTEPELNÁ ZÁTĚŽ, TEPLOTNÍ REKORDY A SDĚLOVACÍ PROSTŘEDKY
Rožnovský, J., Litschmann, T. (ed.): XIV. Česko-slovenská bioklimatologická konference, Lednice na Moravě 2.-4. září 2002, ISBN 80-85813-99-8, s. 242-253 TEPELNÁ ZÁTĚŽ, TEPLOTNÍ REKORDY A SDĚLOVACÍ PROSTŘEDKY
VíceACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ
ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.
VíceStatistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead Barevná srdíčka kolegyně
VíceANALÝZA STRUKTURY A DIFERENCIACE MEZD ZAMĚSTNANCŮ EMPLOEE STRUCTURE ANALYSIS AND WAGE DIFFERENTIATION ANALYSIS
ANALÝZA STRUKTURY A DIFERENCIACE MEZD ZAMĚSTNANCŮ EMPLOEE STRUCTURE ANALYSIS AND WAGE DIFFERENTIATION ANALYSIS Pavel Tomšík, Stanislava Bartošová Abstrakt Příspěvek se zabývá analýzou struktury zaměstnanců
VíceZápočtová práce STATISTIKA I
Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru
VícePSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Výběr od deskripce k indukci Deskripce dat, odhad parametrů Usuzování = inference = indukce Počítá se s náhodným
VíceZpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi.
SEMINÁRNÍ PRÁCE Zadání: Data: Statistické metody: Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi. Minimálně 6 proměnných o 30 pozorováních (z toho 2 proměnné
VíceKlasifikační metody pro genetická data: regularizace a robustnost
Odd medicínské informatiky a biostatistiky Ústav informatiky AV ČR, vvi Práce vznikla za finanční podpory Nadačního fondu Neuron na podporu vědy Klasifikační metody pro genetická data Regularizovaná klasifikační
VíceHODNOCENÍ INOVAČNÍCH VÝSTUPŮ NA REGIONÁLNÍ ÚROVNI
HODNOCENÍ INOVAČNÍCH VÝSTUPŮ NA REGIONÁLNÍ ÚROVNI Vladimír ŽÍTEK Katedra regionální ekonomie a správy, Ekonomicko-správní fakulta, Masarykova Univerzita, Lipová 41a, 602 00 Brno zitek@econ.muni.cz Abstrakt
VíceNávrh a implementace algoritmů pro adaptivní řízení průmyslových robotů
Návrh a implementace algoritmů pro adaptivní řízení průmyslových robotů Design and implementation of algorithms for adaptive control of stationary robots Marcel Vytečka 1, Karel Zídek 2 Abstrakt Článek
VíceVybrané mzdové charakteristiky v krajích ČR členěné podle věku a pohlaví v roce 2008
Vybrané mzdové charakteristiky v krajích ČR členěné podle věku a pohlaví v roce 2008 Luboš Marek, Michal Vrabec Souhrn: V tomto příspěvku jsme se zaměřili na zkoumání rozdílů u běžných charakteristik mzdových
VíceMETODIKA ANALÝZY ODMĚŇOVÁNÍ ZAMĚSTNANCŮ ZPRACOVATELSKÉHO PODNIKU METHODOLOGY OF EMPLOYEE REWARDING ANALYSIS IN A PRODUCER ENTERPRISE
METODIKA ANALÝZY ODMĚŇOVÁNÍ ZAMĚSTNANCŮ ZPRACOVATELSKÉHO PODNIKU METHODOLOGY OF EMPLOYEE REWARDING ANALYSIS IN A PRODUCER ENTERPRISE Pavel Tomšík, Stanislava Lišková Anotace: Příspěvek se zabývá vytvořením
VíceStatistika. Diskrétní data. Spojitá data. Charakteristiky polohy. Charakteristiky variability
I Přednáška Statistika Diskrétní data Spojitá data Charakteristiky polohy Charakteristiky variability Statistika deskriptivní statistika ˆ induktivní statistika populace (základní soubor) ˆ výběr parametry
VíceSemestrální projekt. do předmětu Statistika. Vypracoval: Adam Mlejnek 2-36. Oponenti: Patrik Novotný 2-36. Jakub Nováček 2-36. Click here to buy 2
Semestrální projekt do předmětu Statistika Vypracoval: Adam Mlejnek 2-36 Oponenti: Patrik Novotný 2-36 Jakub Nováček 2-36 Úvod Pro vypracování projektu do předmětu statistika jsem si zvolil průzkum kvality
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VícePřednáška 5. Výběrová šetření, Exploratorní analýza
Přednáška 5 Výběrová šetření, Exploratorní analýza Pravděpodobnost vs. statistika Výběrová šetření aneb jak získat výběrový soubor Exploratorní statistika aneb jak popsat výběrový soubor Typy proměnných
VíceEFFECT OF MALTING BARLEY STEEPING TECHNOLOGY ON WATER CONTENT
EFFECT OF MALTING BARLEY STEEPING TECHNOLOGY ON WATER CONTENT Homola L., Hřivna L. Department of Food Technology, Faculty of Agronomy, Mendel University of Agriculture and Forestry in Brno, Zemedelska
VíceStabilita v procesním průmyslu
Konference ANSYS 2009 Stabilita v procesním průmyslu Tomáš Létal VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV PROCESNÍHO A EKOLOGICKÉHO INŽENÝRSTVÍ, Adresa: Technická 2896/2, 616 69
VíceÚKOL 2 1886 22 5,77 5,00 5 2,531,003,056 -,869,113
ÚKOL 2 Jméno a příjmení: UČO: Imatrik. ročník: Úkol 2.1: V souboru EVS99_cvicny.sav zjistěte, zdali rozložení názoru na to, kdo by měl být odpovědný za zajištění bydlení (proměnná q54h), je normální. Řešte
VíceMetodologie pro Informační studia a knihovnictví 2
Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Modul 5: Popis nekategorizovaných dat Co se dozvíte v tomto modulu? Kdy používat modus, průměr a medián. Co je to směrodatná odchylka. Jak popsat distribuci
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická
Více4. MZDY Úplné náklady práce Výkaznictví ČSÚ Strukturální mzdová statistika
4. MZDY Pod souhrnným výrazem mzda budeme v dalším textu rozumět také plat v nepodnikatelské sféře, budeme hovořit vždy o hrubých částkách, tedy před snížením o pojistné na všeobecné zdravotní pojištění
VíceVliv barometrického tlaku na úroveň hladiny vody v pozorovacích vrtech
Vliv barometrického tlaku na úroveň hladiny vody v pozorovacích vrtech JAN KAŠPÁREK Klíčová slova: pozorovací vrt barometrický tlak podzemní voda SOUHRN Příspěvek se zabývá vlivem změn barometrického tlaku
VíceKlasická a robustní ortogonální regrese mezi složkami kompozice
Klasická a robustní ortogonální regrese mezi složkami kompozice K. Hrůzová, V. Todorov, K. Hron, P. Filzmoser 13. září 2016 Kompoziční data kladná reálná čísla nesoucí pouze relativní informaci, x = (x
VíceV praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více
9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme
VíceHledání závislostí technologických a nákladových charakteristik při tavení oceli na elektrických obloukových pecích
Hledání závislostí technologických a nákladových charakteristik při tavení oceli na elektrických obloukových pecích Firková, L. 1), Kafka, V. 2), Figala, V. 3), Herzán, M. 4), Nykodýmová, V. 5) 1) VŠB
VíceMetodologie pro Informační studia a knihovnictví 2
Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Modul V: Nekategorizovaná data Metodologie pro ISK 2, jaro 2014. Ladislava Z. Suchá Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Modul 5: Popis
VíceTesty nezávislosti kardinálních veličin
Testy nezávislosti kardinálních veličin Komentované řešení pomocí programu R Ústav matematiky Fakulta chemicko inženýrská Vysoká škola chemicko-technologická v Praze Načtení vstupních dat Vstupní data
VícePOPISNÁ STATISTIKA Komentované řešení pomocí programu Statistica
POPISNÁ STATISTIKA Komentované řešení pomocí programu Statistica Program Statistica I Statistica je velmi podobná Excelu. Na základní úrovni je to klikací program určený ke statistickému zpracování dat.
VíceFJFJ Cvičení 1. Lukáš Frýd
FJFJ Cvičení 1 Lukáš Frýd WAGE1.RAW https://sites.google.com/site/ekonometrievse/4ek214/tyden-03 DATA log wage = β 0 + β 1 educ + β 2 exper + β 3 tenure + ε Jak vypadá výběrová regresní funkce? Interpretace
VíceEvropské výběrové šetření o zdravotním stavu v ČR - EHIS CR Index tělesné hmotnosti, fyzická aktivita, spotřeba ovoce a zeleniny
Aktuální informace Ústavu zdravotnických informací a statistiky České republiky Praha 22. 12. 2010 70 Evropské výběrové šetření o zdravotním stavu v ČR - EHIS CR Index tělesné hmotnosti, fyzická aktivita,
VíceZefektivnění zadávání znaků na mobilním telefonu bez T9
Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Number: 2011 13 2 Zefektivnění zadávání znaků na mobilním telefonu bez T9 More effective letter typing on mobile phone without using T9 Jan Beneš xbenes32@stud.feec.vutbr.cz
VíceÚstav matematiky Fakulta chemicko inženýrská Vysoká škola chemicko-technologická v Praze
Komentované řešení pomocí programu R Ústav matematiky Fakulta chemicko inženýrská Vysoká škola chemicko-technologická v Praze Popis vstupních dat Vstupní data pro úlohu (A) se nacházejí v souboru "glukoza.csv".
VíceMetodologie pro ISK II
Metodologie pro ISK II Všechny hodnoty z daného intervalu Zjišťujeme: Centrální míry Variabilitu Šikmost, špičatost Percentily (decily, kvantily ) Zobrazení: histogram MODUS je hodnota, která se v datech
VíceRadiova meteoricka detekc nı stanice RMDS01A
Radiova meteoricka detekc nı stanice RMDS01A Jakub Ka kona, kaklik@mlab.cz 15. u nora 2014 Abstrakt Konstrukce za kladnı ho softwarove definovane ho pr ijı macı ho syste mu pro detekci meteoru. 1 Obsah
VíceSTATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY
STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceZáklady popisné statistiky. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek
Základy popisné statistiky Anotace Realitu můžeme popisovat různými typy dat, každý z nich se specifickými vlastnostmi, výhodami, nevýhodami a vlastní sadou využitelných statistických metod -od binárních
VíceKOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA. Charakteristiky variability. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M4r0120
KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Charakteristiky variability Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M4r0120 CHARAKTERISTIKY VARIABILITY Charakteristika variability se určuje pouze u kvantitativních znaků.
VíceOrganizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika?
Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika 2012 2013 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hudecova@karlin.mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/
VíceKlepnutím lze upravit styl předlohy. nadpisů. nadpisů.
1/ 13 Klepnutím lze upravit styl předlohy Klepnutím lze upravit styl předlohy www.splab.cz Soft biometric traits in de identification process Hair Jiri Prinosil Jiri Mekyska Zdenek Smekal 2/ 13 Klepnutím
VíceTeorie časových řad Test 2 Varianta A HODNOCENÍ (max. 45 bodů z 50 možných)
Teorie časových řad Test 2 Varianta A HODNOCENÍ (max. 45 bodů z 50 možných) 1. SPECIFIKACE (12 bodů): (1) Graf průběhu proměnných (1) Obě řady se chovají stejně, lze předpokládat jejich lineární vztah
VíceIII. Sociální stratifikace rodin respondentů ve věku 25-44 let a jejich dětí do 15 let
III. Sociální stratifikace respondentů ve věku 25-44 let a jejich dětí do 15 let Propojení údajů ze standardní části výběrového šetření o velikosti y, ekonomické aktivitě respondentů a jejich postavení
VíceVyhodnocení cenového vývoje drahých kovů na světových burzách v období let 2005 2010
Vyhodnocení cenového vývoje drahých kovů na světových burzách v období let 2005 2010 Martin Maršík, Jitka Papáčková Vysoká škola technická a ekonomická Abstrakt V předloženém článku autoři rozebírají vývoj
VíceCharakteristika datového souboru
Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 8 Statistický soubor s jedním argumentem Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola
VíceMODELOVÁNÍ CENOVÉ ELASTICITY POPTÁVKY PO VJEZDU NA AUTOBUSOVÉ NÁDRAŽÍ MODELLING OF PRICE DEMAND ELASTICITY FOR ENTRY TO BUS TERMINAL
MODELOVÁNÍ CENOVÉ ELASTICITY POPTÁVKY PO VJEZDU NA AUTOBUSOVÉ NÁDRAŽÍ MODELLING OF PRICE DEMAND ELASTICITY FOR ENTRY TO BUS TERMINAL Martina Lánská 1 Anotace: Článek se zabývá modelováním cenové elasticity
VícePrávní formy podnikání v ČR
Bankovní institut vysoká škola Praha Právní formy podnikání v ČR Bakalářská práce Prokeš Václav Leden, 2009 Bankovní institut vysoká škola Praha Katedra Bankovnictví Právní formy podnikání v ČR Bakalářská
Více2D A 3D SNÍMACÍ SYSTÉMY PRŮMĚRU A DÉLKY KULATINY ROZDÍLY VE VLASTNOSTECH A VÝSLEDCÍCH MĚŘENÍ
TRIESKOVÉ A BEZTRIESKOVÉ OBRÁBANIE DREVA 2006 12. - 14. 10. 2006 159 2D A 3D SNÍMACÍ SYSTÉMY PRŮMĚRU A DÉLKY KULATINY ROZDÍLY VE VLASTNOSTECH A VÝSLEDCÍCH MĚŘENÍ Karel Janák Abstract Different methods
VíceVliv přímořské léčby na atopický ekzém
Vliv přímořské léčby na atopický ekzém The influence of thalassotherapy on atopic eczema JAROSLAVA ŠIMONÍČKOVÁ, GABRIELA POLÁKOVÁ, VÍT PETRŮ Centrum alergologie a klinické imunologie, Nemocnice Na Homolce,
VíceSYSTÉM TECHNICKO-EKONOMICKÉ ANALÝZY VÝROBY TEKUTÉHO KOVU - CESTA KE SNIŽOVÁNÍ NÁKLADŮ
SYSTÉM TECHNICKO-EKONOMICKÉ ANALÝZY VÝROBY TEKUTÉHO KOVU - CESTA KE SNIŽOVÁNÍ NÁKLADŮ FIGALA V. a), KAFKA V. b) a) VŠB-TU Ostrava, FMMI, katedra slévárenství, 17. listopadu 15, 708 33 b) RACIO&RACIO, Vnitřní
Více5EN306 Aplikované kvantitativní metody I
5EN306 Aplikované kvantitativní metody I Přednáška 5 Zuzana Dlouhá Předmět a struktura kurzu 1. Úvod: struktura empirických výzkumů 2. Tvorba ekonomických modelů: teorie 3. Data: zdroje a typy dat, význam
VíceRegresní a korelační analýza
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)
Víceveličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.
Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího
VíceMatematická statistika
Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické
VíceANALÝZA VYUŢÍVÁNÍ SLUŢEB PRACOVNÍ REHABILITACE U OSOB S DUŠEVNÍM ONEMOCNĚNÍM
ANALÝZA VYUŢÍVÁNÍ SLUŢEB PRACOVNÍ REHABILITACE U OSOB S DUŠEVNÍM ONEMOCNĚNÍM THE ANALYSIS OF OCCUPATIONAL REHABILITATION SERVICES USAGE BY PEOPLE WITH MENTAL HEALTH DISORDERS RŮŽIČKOVÁ Pavlína Abstrakt
VícePorovnání předpovídané zátěže se zátěží skutečnou (podle modelu III-C BMP ČHMÚ) Martin Novák 1,2
Porovnání předpovídané zátěže se zátěží skutečnou (podle modelu III-C BMP ČHMÚ) Martin Novák 1,2 1 ČHMÚ, pobočka Ústí n.l., PS 2, 400 11 Ústí n.l., novakm@chmi.cz 2 PřF UK Praha, KFGG, Albertov 6, 128
VíceMetody zpracování fyzikálních měření
etody zpracování fyzikálních měření Jakub Čížek katedra fyziky nízkých teplot Tel: 9 788 jakub.cizek@mff.cuni.cz http://physics.mff.cuni.cz/kfnt/vyuka/metody/obsah.html Doporučená literatura: D.S. Silva,
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY
zhanel@fsps.muni.cz ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY 1. URČENÍ TYPU ŠKÁLY (nominální, ordinální, metrické) a) nominální + ordinální neparametrické stat. metody b) metrické
VíceEvropské výběrové šetření o zdravotním stavu v ČR - EHIS CR Náklady na zdravotní péči
Aktuální informace Ústavu zdravotnických informací a statistiky České republiky Praha 13. 9. 21 56 Evropské výběrové šetření o zdravotním stavu v ČR - EHIS CR Náklady na zdravotní péči European Health
VíceFoster Bohemia s.r.o. Laboratoř měření imisí Immission Measurement Laboratory. Mezi Rolemi 54/10, 158 00 Praha 5, Jinonice, Česká republika
Foster Bohemia s.r.o. Laboratoř měření imisí Immission Measurement Laboratory Mezi Rolemi 54/1, 15 Praha 5, Jinonice, Česká republika 1 Identifikace metodou: Identification by the method: Objekt: Building:
Více4 TABULKY ZÁKLADNÍCH STATISTICKÝCH CHARAKTE- RISTIK TÌLESNÝCH ROZMÌRÙ TABLES OF BASIC STATISTICAL CHARACTERISTICS OF BODY PARAMETERS
4 TABULKY ZÁKLADNÍCH STATISTICKÝCH CHARAKTE- RISTIK TÌLESNÝCH ROZMÌRÙ TABLES OF BASIC STATISTICAL CHARACTERISTICS OF BODY PARAMETERS Tables of frequencies, means and standard deviations for particular
VíceAnalýza dat na PC I.
CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Lékařská a Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Analýza dat na PC I. Popisná analýza v programu Statistica IBA výuka Základní popisná statistika Popisná statistika
VíceNáhodná proměnná. Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1. , x 2. ; x 2. spojité (<x 1
Náhodná proměnná Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1, x 2,,x n ) spojité () Poznámky: 1. Fyzikální veličiny jsou zpravidla spojité, ale změřené hodnoty jsou diskrétní. 2. Pokud
VíceEva Fišerová a Karel Hron. Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci.
Ortogonální regrese pro 3-složkové kompoziční data využitím lineárních modelů Eva Fišerová a Karel Hron Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci
VíceGymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11
Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně
VíceAnalýza výsledků testu čtenářské gramotnosti v PRO23 2010/11
Analýza výsledků testu čtenářské gramotnosti v PRO23 2010/11 Zpracoval: www.scio.cz, s.r.o. (15. 2. 2012) Datové podklady: výsledky a dotazníky z PRO23, test čtenářské gramotnosti, www.scio.cz, s.r.o.
VíceMSI LS 2006/2007 Ing. Pavla Hošková, Ph.D., 2. test
c 2007 Kompost 1 MSI LS 2006/2007 Ing. Pavla Hošková, Ph.D., 2. test Jestliže při testování výsledek (hodnota testového kritéria) padne do kritického oboru: a) musíme nově formulovat nulovou hypotézu,
VíceTECHNICKÁ NORMALIZACE V OBLASTI PROSTOROVÝCH INFORMACÍ
TECHNICKÁ NORMALIZACE V OBLASTI PROSTOROVÝCH INFORMACÍ Ing. Jiří Kratochvíl ředitel Odboru technické normalizace Úřad pro technickou normalizaci, metrologii a státní zkušebnictví kratochvil@unmz.cz http://cs-cz.facebook.com/normy.unmz
VíceThe target was to verify hypothesis that different types of seeding machines, tires and tire pressure affect density and reduced bulk density.
INFLUENCE OF TRACTOR AND SEEDING MACHINE WEIGHT AND TIRE PRESSURE ON SOIL CHARACTERISTICS VLIV HMOTNOSTI TRAKTORU A SECÍHO STROJE A TLAKU V PNEUMATIKÁCH NA PŮDNÍ VLASTNOSTI Svoboda M., Červinka J. Department
VíceMonitorování vývoje meteo situace nad ČR pomocí GPS meteorologie
Monitorování vývoje meteo situace nad ČR pomocí GPS meteorologie Bc. Michal Kačmařík Instutut geoinformatiky, Hornicko-geologická fakulta, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, 17. listopadu
VíceZNALOSTI A DOVEDNOSTI ČESKÝCH ŽEN V OBLASTI INFORMAČNÍ BEZPEČNOSTI - VÝSLEDKY STATISTICKÉ ANALÝZY
ZNALOSTI A DOVEDNOSTI ČESKÝCH ŽEN V OBLASTI INFORMAČNÍ BEZPEČNOSTI - VÝSLEDKY STATISTICKÉ ANALÝZY Knowledge and skills of Czech women in the field of information security - the results of statistical analysis
VícePRŮCHOD POVODNĚ V ČERVNU 2013 VLTAVSKOU KASKÁDOU
PRŮCHOD POVODNĚ V ČERVNU 2013 VLTAVSKOU KASKÁDOU VLTAVA RIVER CASCADE DURING THE FLOOD IN JUNE 2013 Tomáš Kendík, Karel Březina Abstrakt: Povodňová situace, kterou bylo zasaženo území povodí Vltavy na
VíceVyužití a zneužití statistických metod v medicíně
Využití a zneužití statistických metod v medicíně Martin Hynek Gennet, Centre for Fetal Medicine, Prague EuroMISE Centre, First Faculty of Medicine of Charles University in Prague Statistika Existují tři
VíceACOUSTIC EMISSION SIGNAL USED FOR EVALUATION OF FAILURES FROM SCRATCH INDENTATION
AKUSTICKÁ EMISE VYUŽÍVANÁ PŘI HODNOCENÍ PORUŠENÍ Z VRYPOVÉ INDENTACE ACOUSTIC EMISSION SIGNAL USED FOR EVALUATION OF FAILURES FROM SCRATCH INDENTATION Petr Jiřík, Ivo Štěpánek Západočeská univerzita v
VíceFoster Bohemia s.r.o. Laboratoř měření imisí Immission Measurement Laboratory. Mezi Rolemi 54/10, Praha 5, Jinonice, Česká republika
Foster ohemia s.r.o. Laboratoř měření imisí Immission Measurement Laboratory Mezi Rolemi 54/1, 8 Praha 5, Jinonice, Česká republika 1 Identifikace metodou: Identification by the method: Objekt: uilding:
VíceStatistika. Program R. popisná (deskriptivní) statistika popis konkrétních dat. induktivní (konfirmatorní) statistika. popisná statistika
Statistika Cvičení z matematické statistiky na PřF Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy léto 2012 Základní dělení popisná (deskriptivní)
VíceVŠB Technická univerzita Ostrava
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky JMÉNO STUDENTKY/STUDENTA: OSOBNÍ ČÍSLO: JMÉNO CVIČÍCÍ/CVIČÍCÍHO: PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Domácí úkoly Zadání 21 DATUM ODEVZDÁNÍ
VíceGymnázium, Brno, Slovanské nám. 7 WORKBOOK. Mathematics. Teacher: Student:
WORKBOOK Subject: Teacher: Student: Mathematics.... School year:../ Conic section The conic sections are the nondegenerate curves generated by the intersections of a plane with one or two nappes of a cone.
VíceObsah. Statistika Zpracování informací ze statistického šetření Charakteristiky úrovně, variability a koncentrace kvantitativního znaku
Obsah Statistika Zpracování informací ze statistického šetření Charakteristiky úrovně, variability a koncentrace kvantitativního znaku Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v
VíceFoster Bohemia s.r.o. Laboratoř měření imisí Immission Measurement Laboratory. Mezi Rolemi 54/10, Praha 5, Jinonice, Česká republika
Foster ohemia s.r.o. Laboratoř měření imisí Immission Measurement Laboratory Mezi Rolemi 54/1, 158 Praha 5, Jinonice, Česká republika 1 Identifikace metodou: Identification by the method: Objekt: uilding:
VíceÚJMA NA ŽIVOTNÍM PROSTŘEDÍ POŠKOZENÍM LESA
Rožnovský, J., Litschmann, T. (ed.): XIV. Česko-slovenská bioklimatologická konference, Lednice na Moravě 2.-4. září 2002, ISBN 80-85813-99-8, s. 442-447 ÚJMA NA ŽIVOTNÍM PROSTŘEDÍ POŠKOZENÍM LESA Filip
VíceENVItech Bohemia s.r.o. Vyhodnocení kvality ovzduší v Otrokovicích v roce 2015
ENVItech Bohemia s.r.o. Vyhodnocení kvality ovzduší v Otrokovicích v roce 215 215 Obsah 1 Úvod... 2 2 Imisní limity... 3 3 Vyhodnocení kvality ovzduší v Otrokovicích... 4 3.1 Suspendované částice PM 1,
VíceRobust 2010 31. ledna 5. února 2010, Králíky
Modelování rozdělení ročních příjmů českých domácností J. Bartošová 1 M. Forbelská 2 1 Katedra managementu informací Fakulta managementu v Jindřichově Hradci Vysoká škola ekonomická v Praze 2 Ústav matematiky
VíceAnalýza vývoje příjmů a výdajů domácností ČR v roce 2015 a predikce na další období. (textová část)
I. Analýza vývoje příjmů a výdajů domácností ČR v roce 2015 a predikce na další období (textová část) Obsah strana Metodika a zdroje použitých dat... 1 A. Základní charakteristika příjmové a výdajové situace
Víceinternetový recenzovaný časopis 2010 Vol. 2 No. 3 ISSN 1803-8220 Internetový recenzovaný časopis vydává Univerzita Karlova v Praze,
www.acpo.cz internetový recenzovaný časopis 21 Vol. 2 No. 3 ISSN 183-822 BERNARD, Josef KOSTELECKÝ, Tomáš. 21. Části obcí s vlastní samosprávou a bez ní: Vliv administrativního statusu části obce na její
VíceZVÝŠENÍ KONKURENCESCHOPNOSTI SPALOVACÍHO MOTORU NA STLAČENÝ ZEMNÍ PLYN COMPETITIVENESS INCREASE OF THE CNG ENGINE
ZVÝŠENÍ KONKURENCESCHOPNOSTI SPALOVACÍHO MOTORU NA STLAČENÝ ZEMNÍ PLYN COMPETITIVENESS INCREASE OF THE CNG ENGINE David Svída 1 Anotace: V současné době ve vozidlech převládá trend výkonných maloobjemových
VíceČíselné charakteristiky
. Číselné charakteristiky statistických dat Průměrný statistik se během svého života ožení s 1,75 ženami, které se ho snaží vytáhnout večer do společnosti,5 x týdně, ale pouze s 50% úspěchem. W. F. Miksch
VíceMetodika. Zájmová území
Sociálně-ekonomické charakteristiky obcí a vybraná velkoplošná chráněná území v ČR Karel Matějka IDS, Na Komořsku 2175/2a, 143 00 Praha 4 matejka@infodatasys.cz V rámci projektu GA ČR P404/11/0354 Protected
Více4.2.4.2 Fixed management model s mûfienou heterogenitou
4.2.4.2 Fixed management model s mûfienou heterogenitou Odvození fixed management modelu s měřenou heterogenitou je založeno na tom, že managament, jak tento nepozorovaný fixní vstup nazývají Álvarez et
VícePro bodový odhad při základním krigování by soustava rovnic v maticovém tvaru vypadala následovně:
KRIGING Krigování (kriging) označujeme interpolační metody, které využívají geostacionární metody odhadu. Těchto metod je celá řada, zde jsou některé příklady. Pro krigování se používá tzv. Lokální odhad.
VíceJust write down your most recent and important education. Remember that sometimes less is more some people may be considered overqualified.
CURRICULUM VITAE - EDUCATION Jindřich Bláha Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Bc. Jindřich Bláha. Dostupné z Metodického
VíceČESKÁ TECHNICKÁ NORMA
ČESKÁ TECHNICKÁ NORMA ICS 13.060.01 2003 Jakost vod - Kalibrace a hodnocení analytických metod a odhad jejich charakteristik - Část 2: Kalibrační strategie v případě nelineárních kalibračních funkcí druhého
VíceThe Over-Head Cam (OHC) Valve Train Computer Model
The Over-Head Cam (OHC) Valve Train Computer Model Radek Tichanek, David Fremut Robert Cihak Josef Bozek Research Center of Engine and Content Introduction Work Objectives Model Description Cam Design
VíceAnalýza a vyhodnocení. zdravotního stavu. obyvatel. města TŘEBÍČ. Zdravá Vysočina, o.s. ve spolupráci se Státním zdravotním ústavem
Analýza a vyhodnocení zdravotního stavu obyvatel města TŘEBÍČ Zdravá Vysočina, o.s. ve spolupráci se Státním zdravotním ústavem MUDr. Stanislav Wasserbauer Hana Pokorná Jihlava, září 2012 Obsah: 1 Úvod...4
VíceProf. Ing. Miloš Konečný, DrSc. Nedostatky ve výzkumu a vývoji. Klíčové problémy. Tyto nedostatky vznikají v následujících podmínkách:
Podnik je konkurenčně schopný, když může novými výrobky a službami s vysokou hodnotou pro zákazníky dobýt vedoucí pozice v oboru a na trhu. Prof. Ing. Miloš Konečný, DrSc. Brno University of Technology
VíceN_MF_B Mezinárodní finance_a Devizový kurs. zákon jedné ceny parita kupní síly, parita úrokové míry, Fisherovy vztahy.
N_MF_B Mezinárodní finance_a Devizový kurs zákon jedné ceny parita kupní síly, parita úrokové míry, Fisherovy vztahy. Devizový kurs definice Je cena měnové jednotky jedné země vyjádřená v měnových jednotkách
Více