Z AVÁ D ù N Í EN : N AVRHOVÁNÍ

Transkript

1 Z AVÁ D ù N Í EN : N AVRHOVÁNÍ B E T O N O V C H K O N S T R U K C Í D O P R A X E E Z N Í S T A V Y P O R U E N Í P I N A Á H Á N Í O H Y B E S P Í P A D N O U N O R Á L O V O U S I L O U, Ú â I N K Y D R U H É H O Á D U I N T R O D U C T I O N O E N T O P R A C T I C E U L T I A T E L I I T S T A T E S: B E N D I N G W I T H O R W I T H O U T A X I A L O R C E, S E C O N D O R D E R E E C T S SERIÁL EN 199 J AROSLAV P ROCHÁZKA Pfiíspûvek je pokraãováním ãástí uvefiejnûn ch v pfiedchozích ãíslech tohoto ãasopisu [8], [13]. V této ãásti je upozornûno na vy etfiování betonov ch vyztuïen ch prûfiezû namáhan ch ohybem s pfiípadnou normálovou silou a tíhl ch tlaãen ch prvkû. This paper follows the introductory parts published in the previous numbers of this journal [8], [13]. In this part attention is drawn to investigation of reinforced concrete cross sections subjected to bending with or without normal force and slender compression members. P RÒ EZY NAÁHANÉ OHYBE S P ÍPADNOU NORÁLOVOU SILOU V eobecnû V dal ím bude pojednáno o prûfiezech v tzv. bezporuchov ch oblastech B (viz [13]), tj. prûfiezech, u nichï lze pfiibliïnû pfiedpokládat zachování jejich rovinnosti pfied a po zatíïení. Poruchové oblasti D musí b t vy etfiovány napfi. s pouïitím analogick ch pfiíhradov ch modelû. Pfii urãování únosnosti Ïelezobetonov ch a pfiedpjat ch prûfiezû se vychází ze stejn ch pfiedpokladû jaké jsou uvedeny v ENV i âsn (aï na hodnoty mezních pfietvofiení), a to: zachovává se rovinnost prûfiezû, pomûrné pfietvofiení soudrïné betonáfiské i pfiedpínací v ztuïe v tahu i v tlaku je rovno pomûrnému pfietvofiení v pfiilehlém betonu, pevnost betonu v tahu se zanedbává napûtí v tlaãeném betonu se urãí z návrhového pracovního diagramu (obr. b, c, event. d viz [8]), napûtí v betonáfiské, popfi. pfiedpínací v ztuïi se urãí z návrhov ch pracovních diagramû (obr. 4, 6 viz [8]), pfii urãení napûtí v pfiedpínací v ztuïi se pfiihlíïí k jejímu poãáteãnímu pomûrnému pfietvofiení. Vmezních stavech únosnosti je omezeno pomûrné pfietvofiení: betonu v tlaku hodnotami ε cu nebo ε cu3 (Tab. 1 viz [8]) v závislosti na tvaru pou- Ïitého pracovního diagramu betonu (obr. b, c viz [8]) betonáfiské, popfi. pfiedpínací v ztuïe hodnotami ε ud u bilineárních pracovních diagramû se stoupající vûtví (obr. 4, 6 viz [8]), v pfiípadû vodorovné vûtve lze pfiedpokládat ε ud. U Ïelezobetonov ch prûfiezû namáhan ch centrick m zatíïením se uvaïuje pomûrné pfietvofiení betonu v tlaku ε c nebo ε c3 (Tab. 1 viz [8]) v závislosti na tvaru pouïitého pracovního diagramu betonu. oïné oblasti pomûrn ch pfietvofiení jsou uvedeny na obr. 14. U Ïelezobetonov ch prûfiezû namáhan ch ohybem je nutné, v pfiípadech kdy byla pouïita redistribuce momentû, omezit pomûr x u /d, tj. pomûr v ky tlaãené oblasti x u k úãinné v ce prûfiezu d, v závislosti na pouïité mífie redistribuce [13], pfii ãemï pomûr x u /d nesmí b t vût í neï 0,45 u betonû tfiídy C50/60 a niï ích a 0,35 u betonû tfiídy C55/67 a vy ích. Uveden m poïadavkem je sledováno zaji tûní poïadovaného plastického pfietvo- Obr. 14 oïná rozdûlení pomûrn ch pfietvofiení v mezním stavu únosnosti ig. 14 Possible strain distribution in the ultimate limit strain Obr. 15 Interakãní diagramy Rd a NRd nesoumûrnû a soumûrnû vyztuïen ch obdélníkov ch prûfiezû ig. 15 Interactive diagrams Rd a NRd of non-symmetrically and symmetrically reinforced rectangular cross-sections 40 B ETON TECHNOLOGIE KONSTRUKCE SANACE 3/003

2 fiení oblasti pfiilehlé k vy etfiovanému prûfiezu pfied jejím poru ením. U Ïelezobetonov ch prûfiezû namáhan ch tlakem s pfiípadn m ohybem je tfieba uvaïovat minimální v stfiednost e 0, kde e 0 je vût í z hodnot h/30 a 0 mm, pfiiãemï h je v ka prûfiezu. U nesoumûrnû vyztuïen ch prûfiezû se tato v stfiednost uvaïuje od pûsobi tû normálové síly na mezi únosnosti pfii pomûrném pfietvofiení betonu v tlaku ε c nebo ε c3 po celém prûfiezu (obr. 15). V Y ET OVÁNÍ TÍHL CH TLAâEN CH KONSTRUKCÍ Obr. 16 ZtuÏující a ztuïené prvky a systémy ig. 16 Bracing and braced elements and systems Základní pojmy Pfii vy etfiování tíhl ch tlaãen ch konstrukcí je dûleïité definování a vymezení tíhl ch konstrukcí. V EN jsou upfiesnûny nejdûleïitûj í základní pojmy dále uvedené. ZtuÏující a ztuïené prvky a systémy. Konstrukãní prvky a subsystémy, u kter ch se pfii vy etfiování a návrhu pfiedpokládá Ïe pfiispívající k celkové vodorovné stabilitû konstrukce, jsou ztuïující (bracing), ostatní jsou ztuïené (braced) obr. 16. Termíny konstrukce posuvná a neposuvná konstrukce s posuvn mi a neposuvn mi styãníky, pouïívan mi v ENV byly opu tûny, neboè jsou matoucí. KaÏdá konstrukce je více nebo ménû posuvná; konstrukce klasifikovaná jako posuvná mûïe b t stejnû tuhá jako neposuvná konstrukce. Proto tyto termíny byly v EN nahrazeny termíny konstrukce neztuïená a ztuïená (unbraced and braced). Vzpûr je termín pouïívan pfii poru ení vyvolaném nestabilitou prvku nebo konstrukce pfii jejich perfektnû dostfiedném tlakovém zatíïení, bez jakéhokoliv pfiíãného zatíïení. Toto je ãistû hypotetick pfiípad poru ení, protoïe takto definovan vzpûr nevystihuje mezní stav reálné konstrukce, a to vzhledem k imperfekcím, pfiípadnému pfiíãnému zatíïení apod. Pojem je zaveden pouze z dûvodu, Ïe jmenovité (nominální) vzpûrné bfiemeno mûïe b t v ak pouïito jako parametr v nûkter ch zjednodu en ch metodách vy etfiování úãinkû druhého fiádu.vzhledem k tomu, Ïe vzpûr pfiedstavuje hypotetick pfiípad poru ení, není tento vzpûr v textu normy pouïíván, vyjma pfiípadu jmenovitého vzpûrného bfiemene. Vzpûrné bfiemeno je tlakové zatíïení pfii kterém vzniká vyboãení; pro osamûlé lineárnû pruïné prvky je synonymem Eulerova bfiemene. Úãinná délka je délka pouïívaná pro popis tvaru prûhybové kfiivky; lze ji definovat téï jako vzpûrnou délku, tj. vzdálenost mezi koncov mi body kloubovû ulo- Ïeného sloupu zatíïeného konstantní dostfiednû pûsobící tlakovou silou, mající stejn pfiíãn prûfiez a vzpûrné bfiemeno jako skuteãn prvek. Osamûlé prvky jsou samostatné izolované prvky, nebo ãásti konstrukce, které pro úãely návrhu lze povaïovat za osamûlé. Úãinky prvního fiádu vy etfiujeme na nedeformované konstrukci, av ak pfii zahrnutí geometrické imperfekce. Tyto imperfekce jsou interpretovány jako odchylky ve tvaru sklonûní stfiednice nebo pfiídavnou v stfiedností e i. Úãinky druhého fiádu jsou pfiídavné úãinky zatíïení vyvolané deformací konstrukce. Jmenovit (nominální) moment druhého fiádu je moment druhého fiádu pouïívan v nûkter ch zjednodu en ch metodách pro stanovení celkového momentu pro návrh pfiíãného prûfiezu v mezním stavu únosností. ÛÏe b t definován jako rozdíl mezi mezním momentem únosnosti a odpovídajícím momentem prvního fiádu. Pokud je mezní bfiemeno vyvoláno nestabilitou pfied dosaïením mezní únosnosti pfiíãného prûfiezu, pak nominální moment druhého fiádu je vût í neï moment druhého fiádu odpovídající ztrátû stability. Úãinky druhého fiádu U tíhl ch tlaãen ch prvkû (napfi. sloupû, stûn, pilot, obloukû, skofiepin) a konstrukcí je nutno respektovat rovnováhu na pfietvofieném prvku, popfi. konstrukci. Prakticky to znamená, Ïe je tfieba pfiihlíïet k úãinkûm prvního i druhého fiádu. Pfietvofiení je tfieba vy etfiovat pfii uvaïování pfiíslu n ch úãinkû trhlin, nelineárních vlastností materiálû a dotvarování. Dovoluje se v ak i uvaïovat lineární vlastnosti materiálû a poãítat s hodnotami redukovan ch tuhostí. Tam, kde je to v znamné, je v ak nutno pfii vy etfiování zahrnout úãinek ohebnosti pfiipojen ch prvkû a základû (interakce základová pûda konstrukce). Norma pfiipou tí zanedbat úãinky druhého fiádu, pokud jsou men í neï 10 % odpovídajících úãinkû prvního fiádu. Toto je obecné konstatování, zjednodu ující kriteria pro praktické navrhování jsou uvedena dále. Zjednodu ená kriteria pro zanedbání úãinkû druhého fiádu osamûlé sloupy U osamûl ch prvkû lze zanedbat úãinek druhého fiádu, pokud tíhlost λ je men í neï hodnota λ lim daná vztahem λ lim 0ABC n (30) kde A 1/(1 + 0, φ ef ), neznáme-li φ ef, lze uvaïovat A 0,7; B (1 + ω) 1/ ; neznáme-li ω, lze uvaïovat B 1,1; C 1,7 r m, neznáme-li r m, lze uvaïovat C 0,7; φ e je úãinn souãinitel dotvarování, viz vztah (38); ω A s f yd /(A c f cd ) je mechanick stupeà vyztuïení; A s je prûfiezová plocha celkové podélné v ztuïe; A c je prûfiezová plocha betonového prûfiezu; n N /(A c f cd ) je pomûrná normálová síla; r m 01 / 0 ; 01, 0 jsou koncové ohybové momenty prvního fiádu; pfiiãemï 01 0, pokud 01 a 0 vyvozují tah na stejné stranû, je r m kladné (C 1,7), jinak je r m záporné (C > 1,7), hodnota r m 1,0 (tj. C 0,7) má b t uvaïována v pfiípadech: ztuïen ch prvkû s momenty prvního B ETON TECHNOLOGIE KONSTRUKCE SANACE 3/003 41

3 fiádu pfieváïnû vyvozen mi imperfekcemi nebo pfiíãn m zatíïením, neztuïen ch prvkû. tíhlost u osamûl ch prvkû se stanoví ze vztahu λ λ 0 / i (31) kde λ 0 je úãinná délka a i je polomûr setrvaãnosti betonového prûfiezu neporu eného trhlinami. Pfiíklady úãinné délky pro osamûlé prvky s konstantním pfiíãn m prûfiezem jsou uvedeny na obr. 17. U tlaãen ch prvkû pravideln ch rámû lze tíhlostní kriterium (vztah (31) kontrolovat pomocí úãinné délky stanovené pro ztuïené prvky (obr. 17f) ze vztahu l 0 k1 k 05, l , + k 045, + k 1 (3) pro neztuïené prvky (obr. 17g) ze vztahu k1 k l0 l max ; k, 1 k1 k 1+ 1 (33) 1+ k k kde k 1, k jsou pomûrné ohebnosti omezující pootoãení v koncích 1 a prutu, k (Θ / ).(EI / l); Θ je pootoãení upnut ch prvkû vyvozené ohybov m momentem (obr. 17f, g); EI je ohybová tuhost tlaãeného prvku; L je svûtlá vzdálenost tlaãeného prvku mezi koncov mi upnutími. Pokud pfiipojen tlaãen prvek (sloup) ve styãníku pfiispívá k pootoãení pfii vyboãení, pak má b t místo EI / l ve vztahu pro k pouïito (EI / l) a + (EI / l) b ; kde a a b pfiedstavují tlaãen prvek (sloup) nad a pod styãníkem. Tuhosti upnut ch prvkû by mûly zahrnovat úãinek trhlin, pokud není prokázáno, Ïe v mezním stavu únosnosti nejsou tyto prvky poru eny trhlinami. U osamûl ch prvkû s mûnící se normálovou silou a/nebo pfiíãn m prûfiezem, lze ve vztahu (31) stanovit úãinnou délku pomocí vzpûrného bfiemene N B (vypoãteného napfi. numerickou metodou) l 0 π (EI / N B ) 1/ (34) kde EI je reprezentativní ohybová tuhost a N B vzpûrné bfiemeno vyjádfiené pomocí EI. Zjednodu ená kriteria pro zanedbání úãinkû druhého fiádu budovy U budov se ztuïujícími prvky lze úãinek druhého fiádu zanedbat, pokud je splnûna nerovnost V, 01, VB, VBB, 01, 1 + VBB, VBS, (35) kde V,B je celkové vzpûrné bfiemeno zahrnující celkov ohyb a smyk, V,BB je celkové vzpûrné bfiemeno pro prost ohyb a V,BS je celkové vzpûrné bfiemeno pro prost smyk. Celkové vzpûrné bfiemeno pro prost ohyb V,BB lze stanovit ze vztahu V,BB ξ EI / L (35a) kde ξ je souãinitel závisl na podlaïí, promûnû tuhosti, nepoddajnosti vetknutí do základu a rozdûlení zatíïení, EI je souãet ohybov ch tuhostí ztuïujících prvkû v uva- Ïovaném smûru, zahrnující pfiípadn vliv trhlin a L je celková v ka budovy nad úrovní vetknutí. Pokud nejsou k dispozici pfiesnûj í údaje pro urãení tuhostí, lze pro ztuïující prvky s trhlinami pouïít vztah EI 0,4 E cd I c (35b) kde E cd je návrhová hodnota modulu pruïnosti (E cd E cm / γ ce, kde γ ce 1,), I c je moment setrvaãnosti ztuïujícího prvku neporu eného trhlinami. Pokud ztuïující systém má po v ce konstantní tuhost a celkové svislé zatíïení narûstá stejnû po podlaïích, lze ξ stanovit ze vztahu ns 1 ξ 78, n + 16, 1+ 0, 7k s (35c) kde n s je poãet podlaïí a k pomûrná poddajnost momentu ve vetknutí do základu. Pomûrnou poddajnost momentu ve vetknutí do základu lze stanovit ze vztahu k (Θ / ).(EI / L ) (35d) kde Θ je pootoãení vyvozené ohybov m momentem, EI je ohybová tuhost tlaãeného prvku a L je celková v ka ztuïujícího prvku. Celkové vzpûrné bfiemeno pro prost smyk V,BS lze stanovit ze vztahu V,BS S (35e) kde S je celková smyková tuhost ztuïujících prvkû; lze ji stanovit jako vodorovnou sílu pfii úhlu zkosení γ 1,0 (obr. 18). Celková smyková deformace ztuïujících prvkû je obvykle ovlivàována místními ohybov mi deformacemi (obr. 18); proto pokud nepoãítáme pfiesnûji, trhliny mohou b t pfii v poãtu S uvaïovány stejn m zpûsobem jako pfii v poãtu EI (vztah (35b)). U budov se ztuïujícími prvky bez Obr. 17 Pfiíklady rûzn ch zpûsobû vyboãení a odpovídajících úãinn ch délek ig. 17 Examples of various buckling forms and appropriate effective lengths Obr. 18 Definice celkov ch ohybov ch a smykov ch deformací(1/r a γ) a odpovídajících tuhostí (EI a S) ig. 18 Definition of global bending and shear deformation (1/r and γ) and the corresponding stiffnesses (EI a S) 4 B ETON TECHNOLOGIE KONSTRUKCE SANACE 3/003

4 v znamn ch smykov ch deformací (smykové stûny pouze s pfiípadn mi velmi mal mi otvory) lze zanedbat úãinky druhého fiádu, pokud V, 0,1 V,BB (36) kde V, je celkové svislé zatíïení ztuïen ch i ztuïujících prvkû, V,BB je jmenovité celkové vzpûrné bfiemeno pro ohyb vztahy (35a) aï (35d). V pfiípadû, Ïe jsou splnûny následující podmínky: konstrukce není torznû nestabilní, tj. je pfiimûfienû symetrická, smykové deformace jsou zanedbatelné (ve ztuïujícím systému sestávajícím pfieváïnû ze smykov ch stûn nejsou velké otvory), ztuïující prvky jsou tuze vetknuté v základech, tj. jejich pootoãení v základech jsou zanedbatelná. tuhost ztuïujících prvkû je pfiibliïnû konstantní po jejich v ce, celkové svislé zatíïení vzrûstá stejnû po jednotliv ch podlaïích, lze vztah (35) pfievést na vztah ns EcdIc V, 031, (37) ns + 16, L kde V, je celkové svislé zatíïení na ztu- Ïené a ztuïující prvky, n s je poãet podlaïí, L je celková v ka budovy nad úrovní vetknutí, E cd je návrhová hodnota modulu pruïnosti betonu (E cd E cm / γ ce, kde γ ce 1,) a I c je moment setrvaãnosti (prûfiezu neporu eného trhlinami) ztuïujícího prvku. Poznámka: Pfii pouïití vztahû (36a) aï (36d) a uvaïování tuhého vetnutí do základu (k 0), obdrïíme konstantu 0,31 ve vztahu (37) jako souãin 0,1.0,4.7,8. Konstanta 0,31 mûïe b t nahrazena hodnotou 0,6, pokud je ovûfieno, Ïe ztuïující prvky nejsou v mezním stavu únosnosti poru eny trhlinami. Úãinek dotvarování Pfii vy etfiování druhého fiádu je tfieba uva- Ïovat úãinek dotvarování. Vliv trvání zatí- Ïení mûïe b t uvaïován zjednodu en m zpûsobem pomocí úãinného souãinitele dotvarování ϕ ef, kter spolu s návrhov m zatíïením poskytne deformaci z dotvarování (kfiivost) odpovídající kvazi- permanentnímu zatíïení (obr. 19). Úãinn souãinitel dotvarování ϕ ef lze odvodit, pfiedpokládáme-li Ïe pfiírûstek kfiivosti od dotvarování, stanoven pomocí souãinitele dotvarování ϕ a kvazi-permanentní hodnoty ohybového momentu Eqp (SP), je rovn kfiivosti stanovené pomocí tohoto úãinného souãinitele dotvarování ϕ ef a návrhového ohybového momentu pfii uvaïované návrhové kombinaci zatí- Ïení (SÚ), tedy Eqp ϕ ϕef ϕef ϕ EI EI E Eqp Abychom nemuseli provádût iteraci a ovûfiovat stabilitu pfii kvazi-permanentním zatíïení s ϕ (, t0), mûïeme pfii stanovení ϕ ef vycházet z ohybov ch momentû prvního fiádu, tedy stanovit ϕ ef ze vztahu ϕ ef ϕ (, t0) 0Eqp / 0 (38) kde ϕ (, t0) je koneãn souãinitel dotvarování, 0Eqp je ohybov moment prvního fiádu vyvozen kvazi-permanentním zatí- Ïením (mezní stav pouïitelnosti) a 0 je návrhov ohybov moment prvního fiádu vyvozen uvaïovanou kombinací zatíïení (mezní stav únosnosti). Pfii pouïití momentû prvního fiádu obdr- Ïíme ponûkud konzervativní hodnotu ϕ ef, proto není tfieba provádût iteraci. Pokud se pomûr 0Eqp / 0 v prvku mûní, lze ho stanovit v prûfiezu s nejvût ím ohybov m momentem. Úãinek dotvarování lze zanedbat, tj. poloïit ϕ ef 0, pokud jsou splnûny následující tfii podmínky: ϕ (, t0) λ 75 0 / N h kde 0 je ohybov moment prvního fiádu a h je v ka prûfiezu v odpovídajícím smûru. etody vy etfiování úãinkû druhého fiádu Dále jsou uvedeny tfii základní metody v poãtu úãinkû druhého fiádu: 1) Obecná metoda zaloïená na nelineárních v poãtech druhého fiádu. ) Zjednodu ená metoda v poãtu druhého fiádu zaloïená na jmenovit ch tuhostech. 3) Zjednodu ená metoda zaloïená na jmenovité kfiivosti. Jmenovité momenty druhého fiádu stanovené pomocí zjednodu en ch metod uveden ch ad ) a 3) jsou nûkdy vût í neï by odpovídaly ztrátû stability. Toto je zaji tûno tím, Ïe celkov moment je kompatibilní s únosností pfiíãného prûfiezu. etoda uvedená ad ) mûïe b t pouïita pro osamûlé prvky i celé konstrukce, pokud jsou vhodnû urãeny hodnoty tuhostí. etoda uvedená ad 3) je vhodná pro izolované prvky. Nicménû, s realistick mi pfiedpoklady t kajícími se rozdûlení kfiivosti, mûïe b t pouïita také pro konstrukce. Obecná metoda je zaloïena na nelineárním vy etfiování zahrnujícím geometrickou nelinearitu, tj. úãinky druhého fiádu. Aplikují se zde obecné zásady platné pro nelineární vy etfiování, tj.:musí b t splnûny podmínky rovnováhy a kompatibility pfietvofiení za pfiedpokladu dostaãujícího nelineárního chování pouïit ch materiálû. V mezních stavech únosnosti musí b t ovûfiena schopnost pfienesení nepruïn ch deformací v místních kritick ch prûfiezech pfii uvaïování pfiíslu n ch nejistot. U konstrukcí zatíïen ch pfieváïnû staticky, lze úãinek pfiedchozího zatûïování obecnû zanedbat a lze pfiedpokládat monotónní nárûst intensity zatíïení. Pfii nelineárních v poãtech musí b t pouïity pracovní diagramy betonu a v ztuïe pro v poãet úãinkû zatíïení pfii uva- Ïování úãinku dotvarování betonu. Pfii pouïití pracovních diagramû vycházejících z návrhov ch hodnot, obdrïíme z v poãtu pfiímo mezní zatíïení. Pfii pouïití pracovního diagramu betonu definovaného v oblasti 0 e c e c1 vztahem (viz [8]) σc kη η 1+ k η, f cd ( ) kde η ε c / ε c1 a k 11, E, a dosadíme za f cd f cm / γ c, E cd E cm / γ ce ; hodnoty ε c1, E cm a f cm jsou uvedeny v Tab. 1 viz [8], γ c viz [8]. Hodnota γ ce bude uvedena v Národní pfiíloze, doporuãená hodnota je 1,. cd ε f c1 Obr. 19 Deformace z dotvarování stanovená pomocí souãinitele dotvarování ϕ ig. 19 Creep deformation based on creep coefficient ϕ cd B ETON TECHNOLOGIE KONSTRUKCE SANACE 3/003 43

5 Pokud nejsou k dispozici pfiesnûj í modely, dotvarování mûïe b t uvaïováno vynásobením v ech hodnot pfietvofiení v pracovním diagramu betonu souãinitelem (1 + ϕ ef ), kde ϕ ef je úãinn souãinitel dotvarování podle vztahu (38). Pfiízniv úãinek tahového zpevnûní betonu mûïe b t uvaïován, pro zjednodu ení v poãtu mûïe b t i zanedbán. Obvykle se pfiedpokládá splnûní podmínek rovnováhy a kompatibility pfietvofiení v jistém poãtu pfiíãn ch prûfiezû. Zjednodu enû lze stanovit kfiivost pouze v kritickém pfiíãném prûfiezu (prûfiezech) a pfiedpokládat pfiíslu nou zmûnu kfiivosti mezi tûmito prûfiezy, tj. podobnou momentu prvního fiádu, nebo jin zjednodu en prûbûh. Zjednodu ené metody v poãtu druhého fiádu zaloïené na jmenovit ch tuhostech vycházejí z jmenovit ch hodnot ohybov ch tuhostí zohledàujících úãinky trhlin pfii pfiihlédnutí k vlivu materiálové nelinearity a dotvarování betonu. Takto stanovené hodnoty jmenovit ch ohybov ch tuhostí se téï uplatàují u pfiipojen ch prvkû zahrnut ch do v poãtu, tj. u trámû, desek nebo základû. Kde je to v znamné, má b t uvaïována interakce konstrukce s podloïím. Jmenovitá tuhost má b t definována takov m zpûsobem, aby celkové ohybové momenty a pfiíslu né normálové síly vypl vající z v poãtu mohly b t pouïity pro návrh prûfiezû v mezním stavu únosnosti. Pro stanovení jmenovit ch tuhostí tíhl ch tlaãen ch prvkû s libovoln m pfiíãn m prûfiezem lze pouïít následující vztah EI K c E cd I c + K s E s I s (39) kde E cd je návrhová hodnota modulu pruïnosti betonu, (E cd E cm / γ ce ), I c je moment setrvaãnosti betonového prûfiezu, E s je návrhová hodnota modulu pruïnosti v ztuïe, I s je moment setrvaãnosti v ztuïe vztaïen k tûïi ti betonového prûfiezu, K c je opravn souãinitel zohledàující úãinky trhlin, dotvarování betonu atd., a K s je opravn souãinitel zohledàující pfiíspûvek v ztuïe. Za pfiedpokladu, Ïe ρ 0,0 lze uvaïovat: K s 1,0 (39a) K c k 1.k / (1 + ϕ ef ) (39b) kde ρ je geometrick stupeà vyztuïení ρ A s /A c, A s je celková plocha v ztuïe, A c je prûfiezová plocha betonového prûfiezu, ϕ ef je úãinn souãinitel dotvarování, k 1 je souãinitel závisející na charakteristické pevnosti betonu f cd, k 1 (f ck /0) 1/, k souãinitel závisející na pomûrné normálové síle n N /(A c f cd ) a na tíhlosti λ, k n λ / 170 0,0, pokud není známa hodnota λ, lze uvaïovat k n 0,30 0,0. Zjednodu enû, za pfiedpokladu Ïe ρ 0,01, lze ve vztahu (39) uvaïovat: K s 0, (39c) K c 0,3 / (1 + 0,5 ϕ ef ). (39d) Vztahy (39c) a (39d) mohou b t pouïity v prvním pfiiblíïení nebo pfii zjednodu- eném v poãtu nevyïadujícím iteraci, ale musí b t zkontrolována platnost nerovnosti ρ 0,01. PouÏití vztahu (39a) je ãasto vhodnûj í neï pouïití vztahu (39c), ale zde je nutná iterace, neboè do v poãtu zahrnujeme i v ztuï. U staticky neurãit ch konstrukcí je tfieba uvaïovat nepfiízniv úãinek trhlin v pfiipojen ch prvcích. Uvedené vztahy (36), (36a) aï (36d) pro v poãet tuhostí nelze tedy u tûchto prvkû pouïít. Úãinek trhlin a vliv tahového ztuïení lze uvaïovat napfi. jako pfii v poãtu pfietvofiení. Zjednodu- enû lze uvaïovat tuhosti pro prûfiezy poru ené trhlinami a zavést úãinn modul pruïnosti E cd,ef E cd / (1 + ϕ ef ), (40) kde lze pouïít hodnotu ϕ ef stejnou jako u sloupû. Praktické metody v poãtu úãinkû druhého fiádu stanoví celkov návrhov moment (tj. vãetnû momentu druhého fiádu), jako zvût en ohybov moment získan z lineárního vy etfiování, ze vztahu β ( NB N) 1 (41) kde 0 je ohybov moment prvního fiádu, β je souãinitel závisl na rozdûlení momentû prvního a druhého fiádu, N je návrhová hodnota normálové síly, N B je vzpûrné bfiemeno stanovené na základû jmenovité tuhosti. Pro osamûlé prvky s konstantním pfiíãn m prûfiezem a zatíïením lze pfiedpokládat, Ïe rozdûlení momentû druhého fiádu má tvar sinusoidy, pak β π / c 0, (41a) kde c 0 je souãinitel závisl na rozdûlení momentû prvního fiádu, napfi. pro konstantní moment prvního fiádu je c 0 8, pro parabolické je c 0 9,6 a pro symetrické trojúhelníkové je c 0 1. U prvkû bez pfiíãného zatíïení mohou b t rozdílné koncové ohybové momenty 01 a 0 nahrazeny ekvivalentním konstantním momentem prvního fiádu 0e. Souhlasnû s pfiedpokladem konstantního ohybového momentu prvního fiádu pak pouïijeme c 0 8. Ekvivalentní ohybov moment prvního fiádu 0e stanovíme ze vztahu 0e 0, ,4 01 0,4 0, (41b) kde 01 a 0 by mûly mít stejné znaménko pokud vyvolávají tah na jedné stranû prvku, jinak mají znaménko záporné, dále musí platit Tam kde vztahy (41a) nebo (41b) nelze pouïít, nebo pfii globálním v poãtu nûkter ch konstrukcí (napfi. konstrukcí ztu- Ïen ch smykov mi stûnami, kde hlavním úãinkem zatíïení je ohybov moment ve ztuïujících stûnách), lze uvaïovat β 1. Vztah (41) lze pak psát ve tvaru (4) Dal í praktická metoda je zaloïena na lineárních v poãtech druhého fiádu. Celkové úãinky druhého fiádu mohou b t získány pfii v poãtu konstrukce zatíïené fiktivními vodorovn mi sílami H,, které stanovíme pouïitím vztahu H, 0 1 N N B H, 0 1 V, VB, (43) kde H,0 je vodorovná síla prvního fiádu vyvozená vûtrem, imperfekcemi atd., V, je celkové svislé zatíïení na ztuïující a ztu- Ïené prvky, V,B je celkové jmenovité vzpûrné bfiemeno vztah (35)., popfi. (35a) pokud nejsou v znamné smykové deformace. V tomto pfiípadû jmenovité hodnoty tuhostí musí zahrnovat vliv dotvarování. Pokud celkové jmenovité vzpûrné bfiemeno V,B není definováno, lze pouïít vztah 44 B ETON TECHNOLOGIE KONSTRUKCE SANACE 3/003

6 H, H, 0 1 H, 1 H, 0 (44) kde H,1 je fiktivní vodorovná síla dávající stejné ohybové momenty jako svislé zatí- Ïení N V, pûsobící na deformované konstrukci, vypoãtená s pfiihlédnutím k jmenovit m tuhostem. V raz (44) vypl vá z postupn ch numerick ch v poãtû, kde úãinky svislého zatí- Ïení a deformaãních pfiírûstkû, vyjádfien ch ekvivalentními vodorovn mi silami, jsou sãítány v postupn ch krocích. PfiírÛstky budou tvofiit geometrickou fiadu po nûkolika krocích. Pfiedpokládáme-li, Ïe toto vznikne jiï v prvním kroku (coï je analogické pfiedpokladu β 1 ve vztahu (41)), pak souãet mûïe b t vyjádfien vztahem (44). Tento pfiedpoklad vyïaduje, aby hodnoty tuhostí, reprezentující koneãn stav deformací, byly stejné ve v ech krocích (poznamenejme, Ïe toto je také základní pfiedpoklad v poãtu zaloïeného na jmenovit ch tuhostech). V ostatních pfiípadech, napfi. pokud jsou pfiedpokládány prûfiezy neporu ené trhlinami v prvním kroku a trhliny se objeví v dal ích krocích, nebo pokud rozdûlení ekvivalentních vodorovn ch sil se podstatnû mûní v prvních krocích, pak musí v poãet obsahovat více krokû, dokud nezískáme geometrickou fiadu. V pfiípadû dvou dal ích krokû obdrïíme vztah H, H, 0 + H, 1+ 1 H, H, 3 H, Obr. 0 Kfiivost 1/r 0 ig. 0 Curvature 1/r 0 1/r 0 0,45d etody v poãtu úãinkû druhého fiádu zaloïené na jmenovité kfiivosti Tyto metody jsou vhodné zejména pro osamûlé prvky s konstantní normálovou silou a se známou úãinnou délkou l 0. etody poskytují jmenovit moment druhého fiádu zaloïen na prûhybu, kter se stanoví z úãinné délky a stanovené maximální kfiivosti. V sledn návrhov moment se pouïije pro návrh prûfiezu namáhaného normálovou silou a tímto ohybov m momentem. Návrhov moment lze stanovit ze vztahu 0 + (45) kde 0 je ohybov moment prvního fiádu zahrnující úãinky imperfekcí a je jmenovit ohybov moment. fiádu. aximální hodnota je závislá na prûbûhu momentû 0 a po délce prutu; pro lze uvaïovat parabolick nebo sinusov prûbûh. U staticky neurãit ch prvkû 0 je stanoveno pro skuteãné okrajové podmínky, zatímco závisí na okrajov ch podmínkách úãinné délky. Pokud se hodnoty koncov ch momentû 01 a 0 li í, mohou b t nahrazeny ekvivalentním koncov m ohybov m momentem prvního fiádu 0e urãeného ze vztahu (41b). Jmenovit moment druhého fiádu se stanoví ze vtahu 0 N e (46) kde N je návrhová hodnota normálové síly, e je prûhyb (1/r) l 0 / c, (1/r) je kfiivost, l 0 je úãinná délka a c je souãinitel závisl na rozdûlení kfiivosti. Pro konstantní pfiíãn prûfiez prvku se pouïívá c 10 ( π ). Pokud moment prvního fiádu je konstantní, mûïe b t uva- Ïována niï í hodnota (c 8 je dolní limit odpovídající konstantnímu celkovému momentu). Hodnota π odpovídá sinusovému rozdûlení kfiivosti, konstantnímu rozdûlení kfiivosti odpovídá hodnota 8. Je tfieba poznamenat, Ïe hodnota c závisí na rozdûlení celkové kfiivosti po úãinné délce prvku, kdeïto c 0 ve vztahu (41a) závisí na Obr. 1 Stanovení opravného souãinitele K r ig. 1 Determination of the coefficient K r n 1/r 1/r 0 n bal n n u rozdûlení kfiivosti odpovídající pouze momentu prvního fiádu. UprvkÛ s konstantním symetrick m prûfiezem (vãetnû v ztuïe) lze stanovit kfiivost ze vztahu 1/r K r K ϕ 1/r 0 (47) kde K r je opravn souãinitel závisl na normálové síle, K ϕ je souãinitel zohledàující dotvarování, 1/r 0 ε yd / (0,45 d) (obr. 0), ε yd f yd / E s a d je úãinná v ka. Pokud v ztuï není soustfiedûna u protilehl ch okrajû, ale ãásteãnû je rozdûlena ivrovinû rovnobûïné s ohybem, pak d je dáno vztahem d 0,5 h + i s, (48) kde i s je polomûr setrvaãnosti plochy ve - keré v ztuïe. Opravn souãinitel K r (viz obr. 1) mûïe b t urãen ze vztahu K r ( n u n ) / ( n u n bal ) 1 (49) kde n N / ( A c f cd ) je pomûrná normálová síla; N je návrhová hodnota normálové síly; n u 1 + ω; n bal je hodnota n pfii maximální momentové únosnosti; lze uvaïovat n bal 0,4, ω A s f yd / ( A c f yd ); A s je plocha ve keré v ztuïe a A c je plocha betonového prûfiezu. Úãinek dotvarování lze vyjádfiit pomocí souãinitele K ϕ 1 + β ef ϕ ef 1 (50) kde β ef je úãinn souãinitel dotvarování, β 0,35 + f ck / 00 λ / 150 a λ je tíhlost. Tento pfiíspûvek byl vypracován za podpory v zkumného zámûru S Literatura [13] Zavádûní EN 199: Navrhování betonov ch konstrukcí do praxe Trvanlivost, anal za konstrukce; Beton TKS, roãník 3, ã. /003, str [14] Bo Westerberg: Supporting Document for Section and Annex D of EN 199-1, Document CEN/TC 50/SC Prof. Ing. Jaroslav Procházka, CSc. Katedra betonov ch konstrukcí a mostû Sv âvut v Praze Thákurova 7, Praha 6 tel.: ; fax: proch@beton.fsv.cvut.cz B ETON TECHNOLOGIE KONSTRUKCE SANACE 3/003 45