Povídání o matematice

Transkript

1 Povídání o matematice Matematika je vdní obor, který nás, aniž si to uvdomujeme, doprovází celým životem,. Ve škole pro mnohé patila k neoblíbeným pedmtm, ale v praktickém život se bez ní neobejdeme, nkdo ji potebuje víc, nkomu staí jen kupecké poty. Charakteristickou vlastností matematiky je draz na absolutní pesnost metod a nezpochybnitelnost výsledk, vyznauje se nejvyšší mírou abstrakce a pesnosti a matematický dkaz je nejspolehlivjší známý zpsob, jak ovovat pravdivost tvrzení. Tyto vlastnosti odlišují matematiku od všech ostatních vdních disciplín. Obecn známá je elementární matematika, která se zabývá operacemi s ísly a ešením praktických úloh. Ve nkterých dalších oborech (fyzice, informatice, chemii, ekonomii a pod) se využívají výsledky aplikované matematiky která je také tmito obory zptn ovlivována. Tzv. istá matematika se zabývá pouze vysoce abstraktními pojmy Hlavní klasické disciplíny matematiky aritmetika, algebra, geometrie a matematická analyza -.se vyvinuly z praktických lidských poteb a zabývají se základními oblastmi zájmu matematiky kvantitou (nejstarší oblast, již v pravku se objevuje pojem pirozeného ísla), strukturou (množiny, funkce apod.), prostorem (geometrie) a zmnou (matematická analyza apod.). První matematické pojmy byly prostedkem pro pochopení nkterých fakt, zaínají u prvních pokus pravkého lovka spoítat úlovek, vyjadovaly poty rzných objekt a jejich porovnávání. Dlouhou dobu se poítání pedmt omezovalo na množství dvou, tí, pozdji až pti kus. Další íslovky znamenající neurit mnoho, vznikaly postupn a

2 pomalu. Poítání na prstech, po pti a po deseti, se vyvinulo až na jistém stupni spoleenského vývoje. Djiny matematiky zaínají již u starovkých civilizací, vývoj znalostí závisel na daných podmínkách a potebách. Protože neexistoval vzájemný penos informací, docházelo se ke stejným závrm nezávisle na sob v rzném období a odlišnými metodami. Matematika starovkého Egypta se vznikala spolen s rozvojem civilizace od 4. tisíciletí p.n.l.. Egypané umli sítat a odítat, násobit (pevádli to na opakované sítání), dlit, poítat se zlomky i ešit nkteré složitjší aritmetické a geometrické úkoly (nap. trojlenku a rovnice o jedné neznámé). Své znalosti užívali pevážn k praktickým úelm. Zárodkem geometrie se staly práce s vymování pozemk (jejich hranice byly každoron narušovány povodnmi Nilu a bylo nutno je obnovovat). Umli vytyovat pravý úhel (pomocí provaz o délkách 3, 4 a 5 jednotek) pro urení ostrých úhl mli tabulky (dnes bychom ekli, že znali funkci kotangens ) a znali konstantu () pro stanovení obsahu a obvodu kruhu (s odchylkou mén než 1 %). Vtšinu našich znalostí o egyptské matematice poskytl t,zv. Rhindv papyrus (z období ped rokem 1650 ped n. l) a asi o dv století starší Moskevský papyrus. Jejich zápis ísel je jeden z nejstarších, používali desítkový poetní systém a nepoziní iselnou soustavu (nezáleží na poadí, v jakém jsou znaky uspoádány) a neznali nulu. V Mezopotamii bylo nalezeno velké množství tabulek z období 2200 až 1800 p. n. l., které ukazují na pokroilý stupe znalostí algebry a geometrie. Matematika té doby byla schopna plnit požadavky tehdejší civilizace a znala dležité algoritmy pro ešení rzných úloh. Našly se

3 tabulky druhých mocnin ísel (ty se používaly pro násobení) a pevrácených hodnot ísel (pro dlení). Pracovali s pirozenými ísly a s kladnými šedesátinnými zlomky, neznali nulu ani ísla záporná a iracionální. V algebe ešili úlohy, které dnes vedou na lineární a kvadratické rovnice, na soustavy dvou rovnic o dvou neznámých a na výpoet procent a úrok. Jedna z tabulek dokazuje, že umli ešit pravoúhlý trojúhelník. Matematika Babylóan se zejm rozvinula dále než egyptská. Dvodem mohl být m.j. ekonomický vývoj (kižovatka obchodních cest) a požadavky na složité technické výpoty (regulace ek Tigridu a Eufratu byla komplikovanjší než u Nilu). Jejich astronomické tabulky svdí o vynikajících poetních znalostech. Používali poziní systém se základem 60 a tato jejich soustava se dodnes zachovala pro mení asu a úhl (rozdlení kruhu na 360 stup, dne na 24 hodin a následn na minuty a vteiny). Dlouho se udrželo i poítání množství na tucty a kopy. Indická matematika byla ve své dob na vysoké úrovni, mla symboly pro prvních devt íslic, a vytvoila si píznivé podmínky pro vznik desítkové poziní soustavy, která zpsobila velký skok ve vývoji matematiky. Dalším významným objevem pozdjších indických matematik bylo zavedení pojmu nula. Ovládali poítání se zlomky, umocování, trojlenku a další operace. Pro vytýení pravého úhlu nepoužívali trojúhelník o stranách 3, 4 a 5, ale se stranami 5, 12 a 13. Rozsáhlé znalosti matematiky byly i v ín, bohužel kolem roku 220 p. n. l., bylo mnoho vdeckých spis na píkaz tehdejšího císae spáleno. V souboru knih o matematice (z roku 152 p. n. l.) je uvedeno na 250 úloh s ešením (na. p. lineárních rovnic o tech a více neznámých), v jiné knize z 1. stol.n.l. se vyskytuje pojem záporného ísla a v 5. stol. n.l. je uvádna hodnotu Ludolfova ísla () s velkou pesností. Byly

4 vynalezeny i pedchdci dnešních poítacích stroj. Lze konstatovat, že až do 14. století n.l. byla ína v oblasti matematiky nejrozvinutjší zemí svta. Na vývoj znalostí matematiky v Evrop mlo nejvtší vliv antické ecko. V jeho spoleenských podmínkách a vlivem praktických podnt (obchod, astronomie, moeplavba) se zaalo rozvíjet logické uvažování a to umožnilo vznik matematických teorií s logickým zpsobem dokazování platnosti jednotlivých vt a následn i vznik matematických pojm a operací s nimi. Snaha po uspoádání poznatk a poteba prokázání jejich platnosti matematickým dkazem vedla k vytvoení teorie a systému výkladu matematiky,. Ani ekové neznali nulu, pro íslice používali nejdíve písmena abecedy, pozdji vytvoili soustavu z nkolika vybraných písmen,. Významným filosofem a matematikem byl Pythagoras ze Samu ( 6. stol. p.n.l.). Domníval se, že vše lze pevézt na íselný princip a íslm piazoval rzné vlastnosti. Vnoval velkou pozornost geometrii a jeho vtu o pravoúhlém trojúhelníku si snad pamatuje každý. Škola, kterou založil byla pístupná mužm i ženám. Dležitým centrem ecké vdy se stala Alexandrie, kde vznikla knihovna a ada vdeckých ústav. Tam psobil i Euklides (3. stol. p.n.l.), osobnost, která dovedla geometrii k vrcholu klasické dokonalosti. Jeho významným dílem jsou tináctidílné Základy ( Stoicheia ) založené na systému ústedních axiom geometrie. Tento spis spojil starší matematické teoretické výsledky v systematický celek a stal se dílem, které je již více než dva tisíce let podkladem pro uebnice matematiky a geometrie. Dalším významným uencem antiky byl Archimedes ze Syrakus (3. stol. p.n.l.), který objevil mnoho zákon matematiky a fyziky. Vnoval se

5 metodám výpotu ploch a objem tles. Pro výpoet obvodu a obsahu kruhu vypoetl mením obvodu devadesátišestiúhelník opsaných a vepsaných kružnici konstantu (dnes oznaujeme jako Ludolfovo íslo ) s pesností na 0,06 %..Jiný matematik té doby Apollonius z Pergy je pvodcem knih o kuželosekách. ímané do matematiky nové objevy nepinesli, ale ta se dále rozvíjela hlavn zásluhou eckých matematik (na p. Hipparchos se stal zakladatelem trigonometrie). Jejich íslice (které pevzali a upravili z eckých) jsou dosud užívány jako ímské ( I, V, X, L, C, D. M). Ve stedovku vývoj neevropské matematiky (arabské, indické, ínské) znan pedstihl evropskou. K úpadku zájmu o vdu v tehdejším kesanském svt pisplo m.j i to, že v 6. stol. n. l. byly uzaveny v ecku a v Egypt poslední filozofické školy (byly nositely pohanských nauk) a pozdji pi vpádu Arab byla spálena i Alexandrijská knihovna. K velkému rozkvtu matematiky došlo v Indii po pátém století n.l. Indití matematici zavádjí a používají ve svých výpotech sinus a kosinus, eší úlohy o pravoúhlých trojúhelnících, zabývají se ešením neuritých rovnic prvního a druhého stupn, poítají se zlomky a iracionálními ísly. Pro ovení výsledk poetních úkon se užívá devítková zkouška. Na indickou matematiku navázala arabská. Ta z ní pevzala desítkový poziní systém, zápis ísel a algoritmy pro písemné poítání, ale erpala i z dalších zdroj. Od ek použila abstraktní geometrii a myšlenku axiomatické výstavby matematiky, z mezopotámské a egyptské numericky nároné výpoty a hlavn draz na užití matematiky v praktickém život. Byly shromažovány a do arabštiny pekládány staré ecké, novoperské a sanskrtské rukopisy, zejména díla Euklidova, Archimedova a Ptolemaiova (zvlášt jeho astronomická uebnice

6 Megale syntaxis). Nejvtšího rozkvtu dosáhla arabská matematika v 9. století. Významný matematik té doby ibn Musa al- Chwarizmi ve svém spisu (dochoval se jen jeho peklad do latiny) De numero indorum popisuje indické íslice, desítkovou poziní soustavu a íselné algoritmy základních poetních operaci provádných v této soustav. Arabská oblast byla zprostedkovatelkou penosu informací mezi orientem a Evropou. V Evrop v té dob se matematika (stejn jako ostatní vdy) nerozvíjela, i když i zde se objevily nkteré výsledky. Podstatný pokrok pinesla až možnost pístupu k vdeckým poznatkm dosaženými v arabském svt (jeho vzdlanostní pevaha v té dob byla znaná). Podílely se na a tom již kížové výpravy, ale nejvtší význam mlo dobytí Toleda (1085). Spisy uložené v toledských knihovnách otevely cestu k rozsáhlému ddictví antických text, které bylo možno pekládat do latiny (ta byla tehdy mezinárodním vdeckým jazykem). Toledská pekladatelská škola se ve 12. a 13. století stala nejvýznamnjším evropským pekladatelským centrem z arabštiny a znanou mrou se podílela na seznámení se s díly antické vdy i s novými výsledky vdy arabské V té dob se také do Evropy dostává indická soustava íslic vetn nuly (arabské íslice). Dležitým krokem byl vznik univerzit ( první vznikla v Bologni v roce 1088), jejich. velkým pínosem bylo objevení významu matematiky pro další vdní obory. Matematika se jako souást sedmi svobodných umní stává samostatným vdním oborem. V dob vrcholící scholastiky již pekonali evropští vzdlanci úrove antiky a arabského svta v oblasti matematiky (bylo nap. nalezeno ešení kubických rovnic a zaala se používat písmena pro oznaení promnných veliin). Významným

7 matematikem na poátku 13.stol byl Leonardo z Pisy (Fibonacci). Ten zavedl poítání se zápornými ísly a je autorem knihy Liber abaci. Abakus bylo poitadlo výrazn usnadující základní poetní úkony s ímskými i arabskými íslicemi. První systematický výklad o trigonometrii se objevuje v 15. století K šíení matematických znalostí velmi pispl vynalez knihtisku (Gutenberg 1436). Sedmnácté a osmnácté století pedstavuje období velkého rozkvtu evropské matematiky. I dalších pírodních vd ( fyzika, astronomie a pod.). Zasloužili se o to zejména - John Napier (Neper) objevem logaritm posílil matematiku jako poetní vdu - René Descartes zavedl algebraické metody do geometrie, to umožnilo analyticky popsat dráhu pohybujícího se bodu a tak ešit problémy mechaniky, jeho kartézská soustava souadnic objevila zpsob, jak analyticky ( prostednictvím ísel a rovnic) zkoumat geometrické útvary. - Blaise Pascalse jako první se zaal matematicky zabývat teorií pravdpodobnosti - Isaac Newton propojil matematiku, fyziku a astronomii, matematickou analýzu vytvoil jako nástroj pro své fyzikální výpoty,. - Wilhelm Leibnitz je spolutvrcem matematické analýzy (nezávisle na sob s Newtonem), rozpracoval výpoetní metody, které se staly nástrojem pro další aplikace, a jeho pojetí a zápis dnes používáme

8 - Leonard Euler - nejvýkonnjší matematik 18. století, v ad oblastí matematiky je jeho podání tém konené ( trigonometrie), vytvoil symboliku algebry a infinitezimálního potu, - Pier Simon Laplace pracoval na teorie pravdpodobnosti a nebeské mechaniky, jeho transformace se stala exaktním podkladem operátorového potu. - Gaspard Monge zakladatel deskriptivni geometrie, která pispla k rozvoji technickych vd, a vedle nich i mnoho dalších.. Na konci 18. století již byla matematika (spolu s fyzikou) pipravena k ešení technických problém, které pinesla prmyslová revoluce, ale její vývoj se tím neukonil. A ím hloubji se rozšiovaly znalosti, tím více vznikaly nové otázky, nevyešené rozpory a paradoxy. Minulé století pineslo novou etapu vývoje matematiky istou matematiku, vyznaující se vysokým stupnm abstrakce a generalizace. Jejím cílem je vystavt matematiku na neotesitelných logických základech. Pedmtem zkoumání se staly abstraktní kvantitativní vztahy a teorie, které byly logicky správné ale neodpovídaly žádné známé situaci z reálného svta a nemly zatím praktické uplatnní. Matematické úvahy se rozšíily na vícerozmrné prostory a matematika se stává vdou o strukturách rzných druh. Revoluní zmnou v chápání užitenosti matematiky se staly poítae. S jejich pomocí proniká matematika do stále vtšího potu obor lidské innosti, ale s každým novým výsledkem vystupují další otázky pro matematiku budoucnosti. Vypracoval: ing. Jií Valenta