Kapitola VIII. CHYBĚJÍCÍ A ODLEHLÉ HODNOTY. Luděk Dohnal. Chybějící a odlehlé hodnoty 43

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola VIII. CHYBĚJÍCÍ A ODLEHLÉ HODNOTY. Luděk Dohnal. Chybějící a odlehlé hodnoty 43"

Transkript

1 Chybějící a odlehlé hodnoty 43 Kapitola VIII. CHYBĚJÍCÍ A ODLEHLÉ HODNOTY. Luděk Dohnal Většinou se předpokládá, že data jsou pěkná, např. normálně rozdělená, neobsahují anomální hodnoty a žádný výsledek nechybí. Ve skutečnosti potřebujeme často zpracovávat nepěkná data, např. taková, která obsahují opisovačské chyby, nepředpokládaně extrémní výsledky anebo je jejich rozdělení sešikmené. O tom, jak pracovat s takovými daty, pojednává tento článek (14). 1. Chyby při opisování Chyby při opisování dat mohou být běžně korigovány, jestliže se provádí zavedená a dobře fungující kontrola jakosti před tím, než se provádí statistické zpracování. Data mohou být např. zadána nezávisle na sobě (dva různí pracovníci na dvou různých počítačích) dvakrát a zkontrolována elektronickým porovnáním dvou takto vzniklých datových souborů. Existuje též řada testů na odlehlé hodnoty (viz níže), které mohou být použity k detekci anomálních hodnot před tím, než budou data dále statisticky zpracována. Tyto testy však nemohou odstranit potřebu zajišťovat dobrou kontrolu jakosti. Spíš je třeba je chápat jako dodatečnou kontrolu jakosti.. Chybějící data Ať naplánujeme měření sebelépe, vždycky se stane, že něco nevyjde a důsledkem bývá chybějící údaj. Řada statistických postupů v případě chybějících dat selhává buď zčásti nebo úplně. Vždycky je samozřejmě nejlepším řešením experiment opakovat a získat úplnou sadu dat. Někdy to ale není proveditelné, zvláště když měření je třeba provést v předem daných časových relacích nebo když cena opakovaného měření je neúnosně velká. Pro takové případy je potřebné mít po ruce alternativní řešení. Současné statistické programové balíky poskytují pro řešení problému chybějících dat alespoň jednu ze tří metod:.1. Vyloučení neúplně popsaných objektů (casewise deletion) Ze statistického zpracování se vyloučí data od všech objektů, u nichž chybí byť jen jediný údaj (casewise deletion). Např. při kalibraci pro stanovení kovů pomocí AAS se používá řada standardních roztoků (kalibrátorů), které jsou pro nás ve statistickém smyslu objekty. Z nich každý obsahuje několik kovů o různých koncentracích - viz tab. 1. Jednotlivé kovy jsou ve statistickém smyslu proměnné, jednotlivé jejich koncentrace jsou hodnotami těchto proměnných pro daný objekt (kalibrátor). U některých kalibrátorů chybí údaj o koncentraci hliníku. Při aplikaci výše uvedeného postupu budou vyloučena VŠECHNA kalibrační data získaná s použitím těch kalibrátorů, pro něž není koncentrace hliníku uvedena. Naznačený postup je při práci s neúplnými daty dost častý, avšak nezaručuje korektní řešení. Obzvlášť při zpracování vícerozměrných datových sad se může přihodit, pokud jsou chybějící hodnoty rozloženy náhodně vzhledem k objektům i k proměnným, že skončíme vyloučením převážné většiny naměřených hodnot. Tabulka VIII.1 Vyloučení neúplně popsaných objektů (casewise deletion) kalibrátor kalibrátor kalibrátor kalibrátor Casewise deletion. Bude provedena statistická analysa pouze redukované sady dat. kalibrátor kalibrátor Vyloučení pouze neúplných párů (pairwise deletion) Tento způsob můžeme použít jako alternativu předchozího postupu v případech, když se parametry, např. korelační koeficienty, počítají postupně pomocí jednotlivých párů proměnných. Např. při zjišťování výtěžnosti analytického postupu (recovery) můžeme zkoumat, jak výtěžnost souvisí s dobou trvání extrakce, teplotou, velikostí částic, polaritou rozpouštědla atd. Jestliže nám chybí jedno měření polarity rozpouštědla (viz tab. ), pak použitím metody vyloučení neúplných párů (pairwise deletion) bude pro výpočet korelačního koeficientu v již uvedeném příkladu zrušena pouze

2 Štatistické metódy pre klinickú epidemiológiu a laboratórnu prax 44 dvojice polarita/výtěžnost pro vzorek 1. Výpočty hodnot ostatních korelačních koeficientů, t.j. výtěžnost vs. doba trvání extrakce a výtěžnost vs. velikost částic, tím nebudou ovlivněny. Tabulka VIII. Vyloučení neúplných párů (pairwise deletion), r - korelační koeficient, n - počet datových párů v korelaci výtěžnost extrakční velikost index (%) čas částic polarity (min.) (mm) rozpoušt. vzorek vzorek vzorek vzorek Pairwise deletion. Statistickou analysu ovlivnila pouze jedna vyloučená dvojice hodnot pro výpočet korelace výtěžnost vs polarita výtěžnost vs výtěžnost vs výtěžnost vs extrakční čas velikost částic index polarity r n (4) (4) (3) I vylučování neúplných párů může vést k vážným problémům. Např. jestliže existuje, byť skryté, systematické rozložení chybějících dat (jinak řečeno, pokud chybějící data nejsou rozmístěna v matici výsledků náhodně), může vést tento postup k vychýlení (bias) vypočítaných korelačních koeficientů. Jednotlivé korelační koeficienty jsou totiž spočítány pomocí údajů z různých podmnožin objektů a tedy obecně pomocí sad údajů (proměnných) různé délky (n)..3. Nahrazení chybějící hodnoty střední hodnotou (mean substitution) Při tomto postupu jsou všechny chybějící hodnoty v každé proměnné nahrazeny střední hodnotou této proměnné (viz tab. 3). Datová sada se nyní jeví jako kompletní, ovšem za cenu značných nevýhod. Variabilita datové sady je uměle snížena. Snížení je přímo úměrné počtu chybějících bodů. To vede k podhodnocení rozptylu resp. směrodatné odchylky. Náhrada střední hodnotou může rovněž významně ovlivnit hodnoty některých dalších statistik, jako např. statistik lineární regrese (3), zvláště tehdy, jestliže korelace je silná. Tabulka VIII.3 Nahrazení chybějící hodnoty střední (průměrnou) hodnotou (mean substitution) kalibrátor kalibrátor kalibrátor kalibrátor Mean substitution. Statistická analysa byla provedena s pseudo kompletními daty bez ohledu na to, jak velká je chyba při nahrazení. chybějících hodnot průměry. kalibrátor kalibrátor kalibrátor kalibrátor Na obr. VIII.1 je uveden příklad ilustrující použití všech tří postupů při výpočtu matice korelačních koeficientů. Korelační koeficienty (3) r jsou počítány pro každý možný pár 5 proměnných označených A až E. Povšimněte si, jak se hodnota r může zvětšovat, zmenšovat nebo dokonce změnit znaménko v závislosti na tom, který postup byl použit k ošetření chybějících údajů (viz korelační koeficienty proměnných A vs B) Dopočítané hodnoty (imputation) Tento postup zpracování neúplných dat (4, 5) se používá stále častěji. Nebývá ale součástí statistických programů. Typický způsob dopočítání je lineární interpolace. Obecněji vzato jsou dopočítané hodnoty vlastně predikcí (předpovědí), která je založena na zpracování souboru dat stejných vlastností, který je kompletní (žádné údaje nechybějí). Pro každou chybějící hodnotu je vypočteno celkem m možných hodnot a m takto vzniklých kompletních datových sad se analysuje postupně zvoleným statistickým postupem. Ze vzniklých m pomocných výsledků se vytvoří pool, z něhož určíme konečný výsledek a jeho statistickou nejistotu. Tento postup funguje dobře, pokud chybějící data mají náhodné rozdělení a pokud model použitý pro predikci dopočítaných hodnot je rozumný.

3 Chybějící a odlehlé hodnoty Extrémní hodnoty, nepravidelně roztroušené (stragglers) a odlehlé hodnoty (outliers) Extrémní hodnoty jsou definovány jako hodnoty, které se nacházejí tak daleko od všech ostatních hodnot daného souboru, že vzniká podezření, že by mohly být z jiného základního souboru anebo že jsou důsledkem (hrubé) chyby měření (6). Extrémní hodnoty někdy rozdělujeme na tzv. nepravidelně roztroušené (stragglers), tedy hodnoty, které jsou detekovány na hladině spolehlivosti 95% až 99%, a na tzv. odlehlé hodnoty (outliers), které jsou detekovány na hladině spolehlivosti větší než 99%. Extrémní hodnoty svádějí k tomu, aby byly odstraněny ze souboru dat. Je rozšířená domněnka, že mají špatný vliv na vypočtené statistiky. Např. že falešně zvyšují hodnotu směrodatné odchylky jako míry rozptylu dat nebo že mohou způsobit vychýlení (bias) počítaného průměru. Existuje zlaté pravidlo, které říká, že ze sady dat se nikdy nemá vyloučit nějaká hodnota pouze ze statistických důvodů. Mezi tyto statistické důvody patří i testy na odlehlé hodnoty. Testy na odlehlé hodnoty vám řeknou, na základě nějakých jednoduchých předpokladů, kde máte s největší pravděpodobností technickou chybu (chyby). Neřeknou vám však, že ten či onen výsledek (bod) je "špatný". I když je hodnota silně vybočující, může se jednat o (byť částečnou) správnou informaci (1). Takovou hodnotu lze označit jako "špatnou" a vyloučit pouze na základě dostatečných odborných zkušeností anebo jestliže se podaří aspoň zčásti zjistit její příčinu. A nyní jak testovat data na odlehlé hodnoty. Pokud máme dobré důvody domnívat se, že data mají "normální" (gaussovské) rozdělení, pak máme k disposici řadu postupů pro zjišťování odlehlých hodnot. Tyto testy (někdy též nazývané Q-testy) objektivním způsobem identifikují extrémní hodnoty (7). Zda data mají "normální" rozdělení zjišťujeme pomocí: a] dřívějších zkušeností s podobnými daty b] testů normality, např. test Kolmogorov-Smirnov- Lillefors, test Shapiro-Wilk, test šikmosti, test špičatosti (7, 8) atd. c] diagnostických grafů zkonstruovaných z dat a hodnot z nich vypočítaných, např. frekvenční histogram, rozptylový graf, krabicový graf (1, 7) atd. Je třeba upozornit, že testy použité ke kontrole normality obvykle vyžadují dostatečné množství dat. Doporučené minimum je 10 až 15 hodnot (v závislosti na použitém testu). Už z toho je zřejmé, že v analytické praxi často buď nebude praktické či dokonce možné tyto testy použít anebo nám výsledky testů neřeknou nic smysluplného. Pokud si nejsme jisti, že data mají normální rozdělení, pak je třeba při jejich zpracování použít robustní statistiky a/nebo neparametrické (na rozdělení nezávislé) testy. Nyní budou blíže popsány testy na odlehlé hodnoty. Další podrobnosti naleznete v literatuře (9-1). 5. Testy na odlehlé hodnoty V analytické chemii je spíše výjimkou, když máme větší počet paralelních stanovení (replikátů). A malé sady dat často vykazují náhodné seskupování hodnot a v důsledku toho se objevují odlehlé hodnoty. Z uvedených důvodů je třeba testy na odlehlé hodnoty používat obezřetně. Dál musí být samozřejmostí, že body, které tyto testy označí jako odlehlé, můžeme vyloučit pouze tehdy, zjistíme-li příčinu jejich odlišného chování. Většina testů na odlehlé hodnoty je založena na nějaké míře relativní vzdálenosti podezřelého bodu od střední hodnoty. Tato míra nám pak říká, zda extrémní hodnota je dílem náhody nebo nikoliv. Většina testů hledá jednu extrémní hodnotu (obrázek VIII.3a), ale někdy se přihodí, že v souboru dat je odlehlých hodnot několik. Ty pak mohou být určeny jedním ze dvou způsobů: 1) Iterativním (postupně opakovaným) použitím testu na odlehlé hodnoty. ) Použitím testů, které pátrají po dvojicích extrémních hodnot, t.j. po odlehlých hodnotách, které maskují jedna druhou (obrázky VIII.3b a VIII.3c). Mělo by být pravidlem, že pokud identifikujeme více než 0% dat jako odlehlé hodnoty, potom je třeba intensivně zkoumat správnost předpokladu o jejich rozdělení a/nebo zda se vůbec jedná o správné a správně změřené údaje. Testy, které jsou vhodné pro jednotlivé případy znázorněné na obrázku VIII.3, jsou tyto: 3a - Grubbs 1 a Dixon, 3b - Grubbs, 3c - Grubbs 3 (7). Pokud by hodnoty testů G 1, G, G 3 byly větší než tabelované kritické hodnoty (viz tab. VIII.4), potom by bylo na dané hladině spolehlivosti nepravděpodobné, že extrémní hodnota (hodnoty) je dílem náhody. Vypočítáme hodnoty všech tří testů podle Grubbse. Data uspořádáme vzestupně a výpočet provedeme pomocí vzorců uvedených na obrázku VIII., kde s je směrodatná odchylka pro celou sadu dat, x i je jedna hodnota podezřelá z odlehlosti, t.j. hodnota nejvíc vzdálená od průměru, je absolutní (prostá) hodnota, x je průměr, n je počet dat, x n a x 1 jsou nejvíce extrémní hodnoty, s n- je směrodatná odchylka pro sadu dat, z níž byla vyloučena dvojice hodnot podezřelých z odlehlosti (t.j. dvojice hodnot nejvíce vzdálených od průměru). 5.1 Příklad výpočtu Grubbsových testů 13 replikátů x i bylo seřazeno vzestupně n = 13, x = , s = 0,498, s 0, 13 n = [1]

4 Štatistické metódy pre klinickú epidemiológiu a laboratórnu prax 46 = 49,484 48,479 =, 0 G1 0,498 = 49,484 47,876 = 3, 3 G 0,498 = 10x0,13 1 = 0, 587 G3 1x0,498 [] [3] [4] Kritické hodnoty Grubbsových testů pro n = 13 jsou: G 1 =.331 a.607, G = 4.00 a 4.4, G 3 = a pro hladiny spolehlivosti 95% a 99%. Ve všech případech jsou výsledky testů menší než příslušné kritické hodnoty. Můžeme udělat závěr, že data neobsahují odlehlé hodnoty. Tabulka VIII..4 Tabulka kritických hodnot Grubbsových testů (7) 95% hladina spolehl. 99% hladina spolehlivosti n G 1 G G 3 G 1 G G Úskalí testů na odlehlé hodnoty Obrázek VIII.4 ukazuje tři případy, kdy testy na odlehlé hodnoty mohou mylně svádět ke konstatování, že se jedná o extrémní hodnoty. Obrázek VIII.4a ukazuje situaci obvyklou při chemických analysách. Příčinou je limitovaná přesnost měření (chyba zaokrouhlení). K tomu dochází typicky tehndy, když je nepřesnost měření menší než chyba zaokrouhlení při odečítání výsledku. Pokud jsou všechny výsledky mimo jednoho zaokrouhleny na totéž číslo a ten jeden na číslo jiné, potom je vždy tento "jinam zaokrouhlený" výsledek označen testy jako odlehlý. Na obrázku VIII.4b je situace, kdy příčinou existence dvou bodů označených "outlier" může být, že rozdělení výsledků má mnohem delší konce než rozdělení gaussovské (normální). Takovýto typ rozdělení je při některých typech chemických analýz velmi častý, např. při stanovování residuí pesticidů. Jestliže existuje skupina několika málo výsledků, které jsou všechny odlehlé jako na obrázku 4c, může být její existence dílem náhody. Také je v tomto případě možné, že "odlehlá" skupina je blíž "pravé" hodnotě a skutečně odlehlé (tedy horší) výsledky jsou v "hlavní skupině". Tato situace se vyskytuje častěji, než jsme ochotni si připustit. Například když je v popisu analytického postupu napsáno "Výsledek je průměrem nejlepších dvou ze tří stanovení". 7. Odlehlé hodnoty rozptylu Jestliže máme data z různých skupin (např. jestliže porovnáváme metody stanovení pomocí mezilaboratorní porovnávací zkoušky), mohou se odlehlé hodnoty vyskytnout v rámci jednotlivých skupin, ale rovněž průměrné hodnoty jednotlivých skupin mohou být navzájem odlehlé. Jiný "typ" odlehlé hodnoty se vyskytne, jestliže "šířka" dat v jedné takové skupině je neobvykle malá resp. velká oproti "šířkám" dat v ostatních skupinách (viz obrázek VIII.5). V takových případech se tedy testují dva "typy" odlehlosti. 1) Grubbsovy testy se použijí k detekcí odlehlých hodnot uvnitř skupin a k detekci odlehlých středních hodnot jednotlivých skupin. ) Cochranův test se použije k detekci odlehlého rozptylu. (Rozptyl je mírou "šířky" dat a dá se vypočítat jako druhá mocnina směrodatné odchylky (1).) Cochranův test spočívá v dělení podezřelého rozptylu (variance) součtem rozptylů všech skupin. ( ) C = podezř s n g s1 i= 1 [5]

5 Chybějící a odlehlé hodnoty 47 n = g i=1 g n 1 [6] kde g je počet skupin a n i je počet replikátů v i-té skupině. Jestliže poměr vypočítaný v rovnici [5] přesáhne kritickou hodnotu získanou ze statistických tabulek (7), pak "šířka" dat v podezřelé skupině je extrémní. Cochranův test předpokládá, že počet replikátů uvnitř skupin je stejný nebo aspoň podobný (plus minus 1). Dál předpokládá, že data nejsou zaokrouhlena a že počet replikátů je dostatečný pro výpočet přiměřeného odhadu rozptylu (variance). Cochranův test není možno použít iterativně. Mohlo by to vést ke značnému množství "odlehlých" dat Příklad výpočtu Cochranova testu Byla provedena mezilaboratorní porovnávací zkouška, které se zúčastnilo 13 laboratoří, které provedly dohromady 85 stanovení obsahu bavlny v látce z kombinované příze bavlna-polyester. Směrodatné odchylky stanovení v jednotlivých laboratořích: = 6,54 7 [7] n = 13 0,609 0,0 + 0, ,46 + 0,198 0,371 = = 0,5 0,474 [8] C = n Kritická hodnota Cochranova testu pro n = 7 a g = 13 je 0.3 na 95% hladině spolehlivosti (7). Poněvadž výsledek testu je větší než kritická hodnota, vyslovíme závěr, že nejvyšší směrodatná odchylka replikátů jedné laboratoře (0.609) je mezi odchylkami replikátů těchto 13 laboratoří odlehlá. Výsledky z této laboratoře je třeba podrobněji prověřit. Při mezilaboratorních porovnáváních bývá běžnou praxí, že se na odlehlost netestuje opačný extrém, t.j. nejmenší směrodatná odchylka replikátů jedné laboratoře. Nezkoumá se tedy při neobvykle dobré přesnosti laboratoře, zda jde o odlehlou směrodatnou odchylku. 7. Závěrem Data vždy kontrolujte se zřetelem na chyby opisování. Jako dodatečná kontrola jakosti mohou při vyhledávání chyb tohoto typu posloužit testy na odlehlé hodnoty. Vyřaďte extrémní hodnoty pouze za předpokladu, že byly zjištěny technické příčiny jejich vzniku. = Chybějících dat se snažte vyvarovat, mohou být příčinou špatné interpretace výsledných statistik. Pokud se to nezdaří, měla by se situace řešit pomocí dalších měření. Testy na odlehlé hodnoty předpokládají, že znáte rozdělení (distribuci) dat. Platnost tohoto předpokladu by měla být prověřena dříve, než přistoupíte k použití těchto testů. Pomocí robustních statistik se vyhnete nutnosti použít testy na odlehlé hodnoty. Použití robustních statistik totiž výrazně zmenšuje vliv extrémních hodnot na výsledek. Pokud jsou vaše vědomosti o rozdělení (distribuci) dat omezené, měli byste použít neparametrické metody. LITERATURA 1. Burke, S.: Statistics in context: Exploring and summarising the results of measurements, VAM Bulletin, 16, 0-, Spring 1997, český překlad L.Dohnal, Průzkum a sumarizace výsledků měření, Fons, 1998, č. 4, s Burke, S.: Statistics in context: Significance testing, VAM Bulletin, 17, 18-1, Autumn 1997, český překlad L.Dohnal, Testování statistické významnosti, Fons, 1999, č. 1, s Burke, S. Statistics in context: Regression & calibration, VAM Bulletin, 18, 18-1, Spring 1998, český překlad L.Dohnal, Regrese a kalibrace, Fons, 1999, č., s Schafer, J.L.: Monographs on Statistics and Applied Probability 7 - Analysis of Incomplete Multivariate Data, Chapman & Hall, London ISBN (1997) 5. Little, R.J.A., Rubin, D.B.: Statistical analysis with missing data. John Wiley & Sons, New York ISBN (1987) 6. ISO Statistics - Vocabulary and Symbols. Part 1: Probability and general statistics terms, section.64. Geneva (1993) 7. Farrant, T.J.: Practical statistics for the analytical scientist: A bench guide. The Royal Society of Chemistry, Cambridge ISBN (1997) 8. Kruskal, W.H., Tanur, J.M.: International Encyclopaedia of Statistics. Collier Macmillian Publishers, New York ISBN (1978) 9. Analytical Methods Committee, Analyst 114, (1989) 10. Hoaglin, D.C., Mosteller, F., Tukey, J.W.: Understanding Robust and Exploratory Data Analysis. John Wiley & Sons, New York ISBN (1983) 11. Hollander, M., Wolf, D.A.: Non-parametric statistical methods. John Wiley & Sons, New York ISBN X (1973) 1. Daniel, W.W.: Applied non-parametric statistics. Houghton Mifflin, Boston ISBN (1978) 13. Burke, S.: Statistical Refresher Analysis of Variance, Scientific Data Management (1), (1998)

6 Štatistické metódy pre klinickú epidemiológiu a laboratórnu prax Burke, S.: Missing values, outliers, robust statistics and non-parametric methods. VAM bulletin (Valid Analytical Measurement), publication of Laboratory of the Government Chemist, Queens Road, Teddington, Middlesex TW11 0LY in support of the National Measurement System, issue No. 19, Autumn 1998 Obrázek VIII.1 Ovlivnění matice korelačních koeficientů chybějícími daty - převzato z práce (14). Obrázek VIII. Grubbsovy testy. Obrázek VIII.3 Odlehlé hodnoty (outliers) a maskování - převzato z práce (14). Pokračovanie na s. 4

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Kapitola VII. ANALYSA ROZPTYLU ANOVA.

Kapitola VII. ANALYSA ROZPTYLU ANOVA. Analysa rozptylu ANOVA. 37 Kapitola VII. ANALYSA ROZPTYLU ANOVA. Luděk Dohnal Tato kapitola rozšiřuje téma testování statistické významnosti tím, že popisuje způsob současného porovnání více než dvou sad

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Kapitola V. REGRESE A KALIBRACE.

Kapitola V. REGRESE A KALIBRACE. Regrese a kalibrace 27 Kapitola V. REGRESE A KALIBRACE. Luděk Dohnal Volný překlad práce (8). 1. Úvod Kalibrace je nutná k docílení konsistence měření. Obvykle je její součástí zjišťování závislosti mezi

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT STATISTICKÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT Seminární práce 1 Brno, 2002 Ing. Pavel

Více

Nejistota měř. ěření, návaznost a kontrola kvality. Miroslav Janošík

Nejistota měř. ěření, návaznost a kontrola kvality. Miroslav Janošík Nejistota měř ěření, návaznost a kontrola kvality Miroslav Janošík Obsah Referenční materiály Návaznost referenčních materiálů Nejistota Kontrola kvality Westgardova pravidla Unity Referenční materiál

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

u Pacova Metoda pro validaci koncentrace přízemního ozónu kontinuálně měřené na Atmosférické 1 / 23sta

u Pacova Metoda pro validaci koncentrace přízemního ozónu kontinuálně měřené na Atmosférické 1 / 23sta koncentrace přízemního ozónu kontinuálně měřené na Atmosférické stanici Křešín u Pacova Metoda pro validaci koncentrace přízemního ozónu kontinuálně měřené na Atmosférické 1 / 23sta Obsah Měření Kvalita

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291 Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

Kalibrace a limity její přesnosti

Kalibrace a limity její přesnosti Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie Statistické zpracování dat Kalibrace a limity její přesnosti Zdravotní ústav se sídlem v Ostravě

Více

Statistické testování hypotéz II

Statistické testování hypotéz II PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 9 Statistické testování hypotéz II Přehled testů, rozdíly průměrů, velikost účinku, síla testu Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

KALIBRACE. Definice kalibrace: mezinárodní metrologický slovník (VIM 3)

KALIBRACE. Definice kalibrace: mezinárodní metrologický slovník (VIM 3) KALIBRACE Chemometrie I, David MILDE Definice kalibrace: mezinárodní metrologický slovník (VIM 3) Činnost, která za specifikovaných podmínek v prvním kroku stanoví vztah mezi hodnotami veličiny s nejistotami

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Chyby spektrometrických metod

Chyby spektrometrických metod Chyby spektrometrických metod Náhodné Soustavné Hrubé Správnost výsledku Přesnost výsledku Reprodukovatelnost Opakovatelnost Charakteristiky stanovení 1. Citlivost metody - směrnice kalibrační křivky 2.

Více

Validace sérologických testů výrobcem. Vidia spol. s r.o. Ing. František Konečný IV/2012

Validace sérologických testů výrobcem. Vidia spol. s r.o. Ing. František Konečný IV/2012 Validace sérologických testů výrobcem Vidia spol. s r.o. Ing. František Konečný IV/2012 Legislativa Zákon č. 123/2000 Sb. o zdravotnických prostředcích ve znění pozdějších předpisů Nařízení vlády č. 453/2004

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Obecné zásady interpretace výsledků - chemické ukazatele

Obecné zásady interpretace výsledků - chemické ukazatele Obecné zásady interpretace výsledků - chemické ukazatele Ivana Pomykačová Konzultační den SZÚ Hodnocení rozborů vody Výsledek měření souvisí s: Vzorkování, odběr vzorku Pravdivost, přesnost, správnost

Více

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

Zpracování a vyhodnocování analytických dat

Zpracování a vyhodnocování analytických dat Zpracování a vyhodnocování analytických dat naměřená data Zpracování a statistická analýza dat analytické výsledky Naměř ěřená data jedna hodnota 5,00 mg (bod 1D) navážka, odměřený objem řada dat 15,8;

Více

Referenční hodnoty v praxi

Referenční hodnoty v praxi Referenční hodnoty v praxi Luděk Dohnal 1, Petr Schneiderka 2 1 Referenční laboratoř pro klinickou biochemii MZ ČR při ÚKBLD 1.LF UK a VFN, Praha, ludek.dohnal@lf1.cuni.cz 2 Oddělení klinické biochemie

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Zobecněná analýza rozptylu, více faktorů a proměnných

Zobecněná analýza rozptylu, více faktorů a proměnných Zobecněná analýza rozptylu, více faktorů a proměnných Menu: QCExpert Anova Více faktorů Zobecněná analýza rozptylu (ANalysis Of VAriance, ANOVA) umožňuje posoudit do jaké míry ovlivňují kvalitativní proměnné

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008)

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Ing. Vratislav Horálek, DrSc., předseda TNK 4 při ČNI 1 Terminologické normy [1] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika Slovník

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů

STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů 1) Test na homoskedasticitu Nalezneme jej v několika submenu. Omezme se na submenu Základní statistiky a tabulky základního menu Statistika. V něm

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ část 3, díl 8, kapitola 4, str. 1 3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT Vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku zkoušky Výsledek zkoušky se vyjadřuje v

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární

Více

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz Nulová a alternativní hypotéza většina statistických analýz zahrnuje různá porovnání, hledání vztahů, efektů Tvrzení, že efekt je nulový,

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Experimentáln. lní toků ve VK EMO. XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký. www.vf.

Experimentáln. lní toků ve VK EMO. XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký. www.vf. Experimentáln lní měření průtok toků ve VK EMO XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký Systém měření průtoku EMO Měření ve ventilačním komíně

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

Výsledky základní statistické charakteristiky

Výsledky základní statistické charakteristiky Výsledky základní statistické charakteristiky (viz - Vyhláška č. 343/2002 Sb. o průběhu přijímacího řízení na vysokých školách a Vyhláška 276/2004 Sb. kterou se mění vyhláška č. 343/2002 Sb., o postupu

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Tabulka 1 Příklad dat pro kalibraci

Tabulka 1 Příklad dat pro kalibraci Kalibrace Menu: QCExpert Kalibrace Modul Kalibrace je určen především pro analytické laboratoře a metrologická pracoviště. Nabízí kalibrační modely pro lineární a nelineární kalibrační závislosti s možností

Více

Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2

Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Modul 5: Popis nekategorizovaných dat Co se dozvíte v tomto modulu? Kdy používat modus, průměr a medián. Co je to směrodatná odchylka. Jak popsat distribuci

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Resolution, Accuracy, Precision, Trueness

Resolution, Accuracy, Precision, Trueness Věra Fišerová 26.11.2013 Resolution, Accuracy, Precision, Trueness Při skenování se používá mnoho pojmů.. Shodnost měření, rozlišení, pravdivost měření, přesnost, opakovatelnost, nejistota měření, chyba

Více

NÁVOD K POUŽITÍ VÁPNÍK 600 KATALOGOVÉ ČÍSLO 207

NÁVOD K POUŽITÍ VÁPNÍK 600 KATALOGOVÉ ČÍSLO 207 NÁVOD K POUŽITÍ VÁPNÍK 600 KATALOGOVÉ ČÍSLO 207 POUŽITÍ Souprava Vápník 600 se používá ke kvantitativnímu stanovení koncentrace vápenatých iontů v séru a moči. SOUHRN V lidském organismu je vázána převážná

Více

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání: Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále

Více

Cvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 3 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme základní statistiky, typy proměnných a začali analýzu kvalitativních dat Tyhle termíny by měly být známé: Histogram, krabicový graf

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě 31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě Motto Statistika nuda je, má však cenné údaje. strana 3 Statistické charakteristiky Charakteristiky polohy jsou kolem ní seskupeny ostatní hodnoty

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 1. Solver Program Solver slouží pro vyhodnocení experimentálně naměřených dat. Základem

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

Kalibrace odporového teploměru a termočlánku

Kalibrace odporového teploměru a termočlánku Kalibrace odporového teploměru a termočlánku Jakub Michálek 10. dubna 2009 Teorie Pro označení veličin viz text [1] s výjimkou, že teplotní rozdíl značím T, protože značku t už mám vyhrazenu pro čas. Ze

Více

Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu

Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu Obsah 1. Úvod 2. Oblast působnosti 3. Definice 3.1 Definice uvedené ve směrnici 3.2 Obecné definice 3.2.1 Nejistoty způsobené postupem

Více

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Statistika B (151-0303) Marek Pomp ZS 2014 marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Cvičení: Pavlína Kuráňová & Marek Pomp Podmínky pro úspěšné ukončení zápočet 45 bodů, min. 23 bodů, dvě zápočtové

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Sedm základních nástrojů řízení kvality Doc. RNDr. Jiří Šimek,

Více

VYUŽITÍ A VALIDACE AUTOMATICKÉHO FOTOMETRU V ANALÝZE VOD

VYUŽITÍ A VALIDACE AUTOMATICKÉHO FOTOMETRU V ANALÝZE VOD Citace Kantorová J., Kohutová J., Chmelová M., Němcová V.: Využití a validace automatického fotometru v analýze vod. Sborník konference Pitná voda 2008, s. 349-352. W&ET Team, Č. Budějovice 2008. ISBN

Více

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Podkladové údaje Korelační matice Odhad lineárního regresního modelu (LRM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná

Více

Mezilaboratorní porovnávání - Nové mikrobiologické metody k analýzám koupacích vod

Mezilaboratorní porovnávání - Nové mikrobiologické metody k analýzám koupacích vod Mezilaboratorní porovnávání - Nové mikrobiologické metody k analýzám koupacích vod Ve dnech 17.-18.9. 2012 probíhalo mezilaboratorní porovnávání nových mikrobiologických metod k mikrobiologickým analýzám

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

O MOŽNOSTI ADJUSTACE IMISNÍCH KONCENTRACÍ NA METEOROLOGICKÉ PODMÍNKY. RNDr. Josef Keder, CSc.

O MOŽNOSTI ADJUSTACE IMISNÍCH KONCENTRACÍ NA METEOROLOGICKÉ PODMÍNKY. RNDr. Josef Keder, CSc. O MOŽNOSTI ADJUSTACE IMISNÍCH KONCENTRACÍ NA METEOROLOGICKÉ PODMÍNKY RNDr. Josef Keder, CSc. Zadání úlohy V souladu s požadavkem zadavatele (MŽP) bude zpracována metodika, umožňující oprostit průměrné

Více

INFLUENCE OF SPEED RADAR SIGN ON VELOCITY CHANGE IN THE SELECTED LOCATION

INFLUENCE OF SPEED RADAR SIGN ON VELOCITY CHANGE IN THE SELECTED LOCATION VLIV INFORMATIVNÍ TABULE NA ZMĚNU RYCHLOSTI VE VYBRANÉ LOKALITĚ INFLUENCE OF SPEED RADAR SIGN ON VELOCITY CHANGE IN THE SELECTED LOCATION Martin Lindovský 1 Anotace: Článek popisuje měření prováděné na

Více

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Výchozí stav Sebehodnocení práce s MS Excel studujícími oboru

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Mirek Kubera žák diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení, volí

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2014/15 Cvičení 5: Vícenásobná regrese, multikolinearita LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Jednoduchá

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika?

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika? Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika 2012 2013 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hudecova@karlin.mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/

Více

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000. Čas (s) Model časového průběhu sorpce vyplývá z 2. Fickova zákona a je popsán následující rovnicí

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000. Čas (s) Model časového průběhu sorpce vyplývá z 2. Fickova zákona a je popsán následující rovnicí Program Sorpce1.m psaný v prostředí Matlabu slouží k vyhlazování naměřených sorpčních křivek a výpočtu difuzních koeficientů. Kromě standardního Matlabu vyžaduje ještě Matlab Signal Processing Toolbox

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Popis metod CLIDATA-GIS. Martin Stříž

Popis metod CLIDATA-GIS. Martin Stříž Popis metod CLIDATA-GIS Martin Stříž Říjen 2008 Obsah 1CLIDATA-SIMPLE...3 2CLIDATA-DEM...3 2.1Metodika výpočtu...3 2.1.1Výpočet regresních koeficientů...3 2.1.2 nalezených koeficientu...5 2.1.3Výpočet

Více

Obsah. Statistika Zpracování informací ze statistického šetření Charakteristiky úrovně, variability a koncentrace kvantitativního znaku

Obsah. Statistika Zpracování informací ze statistického šetření Charakteristiky úrovně, variability a koncentrace kvantitativního znaku Obsah Statistika Zpracování informací ze statistického šetření Charakteristiky úrovně, variability a koncentrace kvantitativního znaku Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více