Kapitola VIII. CHYBĚJÍCÍ A ODLEHLÉ HODNOTY. Luděk Dohnal. Chybějící a odlehlé hodnoty 43

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola VIII. CHYBĚJÍCÍ A ODLEHLÉ HODNOTY. Luděk Dohnal. Chybějící a odlehlé hodnoty 43"

Transkript

1 Chybějící a odlehlé hodnoty 43 Kapitola VIII. CHYBĚJÍCÍ A ODLEHLÉ HODNOTY. Luděk Dohnal Většinou se předpokládá, že data jsou pěkná, např. normálně rozdělená, neobsahují anomální hodnoty a žádný výsledek nechybí. Ve skutečnosti potřebujeme často zpracovávat nepěkná data, např. taková, která obsahují opisovačské chyby, nepředpokládaně extrémní výsledky anebo je jejich rozdělení sešikmené. O tom, jak pracovat s takovými daty, pojednává tento článek (14). 1. Chyby při opisování Chyby při opisování dat mohou být běžně korigovány, jestliže se provádí zavedená a dobře fungující kontrola jakosti před tím, než se provádí statistické zpracování. Data mohou být např. zadána nezávisle na sobě (dva různí pracovníci na dvou různých počítačích) dvakrát a zkontrolována elektronickým porovnáním dvou takto vzniklých datových souborů. Existuje též řada testů na odlehlé hodnoty (viz níže), které mohou být použity k detekci anomálních hodnot před tím, než budou data dále statisticky zpracována. Tyto testy však nemohou odstranit potřebu zajišťovat dobrou kontrolu jakosti. Spíš je třeba je chápat jako dodatečnou kontrolu jakosti.. Chybějící data Ať naplánujeme měření sebelépe, vždycky se stane, že něco nevyjde a důsledkem bývá chybějící údaj. Řada statistických postupů v případě chybějících dat selhává buď zčásti nebo úplně. Vždycky je samozřejmě nejlepším řešením experiment opakovat a získat úplnou sadu dat. Někdy to ale není proveditelné, zvláště když měření je třeba provést v předem daných časových relacích nebo když cena opakovaného měření je neúnosně velká. Pro takové případy je potřebné mít po ruce alternativní řešení. Současné statistické programové balíky poskytují pro řešení problému chybějících dat alespoň jednu ze tří metod:.1. Vyloučení neúplně popsaných objektů (casewise deletion) Ze statistického zpracování se vyloučí data od všech objektů, u nichž chybí byť jen jediný údaj (casewise deletion). Např. při kalibraci pro stanovení kovů pomocí AAS se používá řada standardních roztoků (kalibrátorů), které jsou pro nás ve statistickém smyslu objekty. Z nich každý obsahuje několik kovů o různých koncentracích - viz tab. 1. Jednotlivé kovy jsou ve statistickém smyslu proměnné, jednotlivé jejich koncentrace jsou hodnotami těchto proměnných pro daný objekt (kalibrátor). U některých kalibrátorů chybí údaj o koncentraci hliníku. Při aplikaci výše uvedeného postupu budou vyloučena VŠECHNA kalibrační data získaná s použitím těch kalibrátorů, pro něž není koncentrace hliníku uvedena. Naznačený postup je při práci s neúplnými daty dost častý, avšak nezaručuje korektní řešení. Obzvlášť při zpracování vícerozměrných datových sad se může přihodit, pokud jsou chybějící hodnoty rozloženy náhodně vzhledem k objektům i k proměnným, že skončíme vyloučením převážné většiny naměřených hodnot. Tabulka VIII.1 Vyloučení neúplně popsaných objektů (casewise deletion) kalibrátor kalibrátor kalibrátor kalibrátor Casewise deletion. Bude provedena statistická analysa pouze redukované sady dat. kalibrátor kalibrátor Vyloučení pouze neúplných párů (pairwise deletion) Tento způsob můžeme použít jako alternativu předchozího postupu v případech, když se parametry, např. korelační koeficienty, počítají postupně pomocí jednotlivých párů proměnných. Např. při zjišťování výtěžnosti analytického postupu (recovery) můžeme zkoumat, jak výtěžnost souvisí s dobou trvání extrakce, teplotou, velikostí částic, polaritou rozpouštědla atd. Jestliže nám chybí jedno měření polarity rozpouštědla (viz tab. ), pak použitím metody vyloučení neúplných párů (pairwise deletion) bude pro výpočet korelačního koeficientu v již uvedeném příkladu zrušena pouze

2 Štatistické metódy pre klinickú epidemiológiu a laboratórnu prax 44 dvojice polarita/výtěžnost pro vzorek 1. Výpočty hodnot ostatních korelačních koeficientů, t.j. výtěžnost vs. doba trvání extrakce a výtěžnost vs. velikost částic, tím nebudou ovlivněny. Tabulka VIII. Vyloučení neúplných párů (pairwise deletion), r - korelační koeficient, n - počet datových párů v korelaci výtěžnost extrakční velikost index (%) čas částic polarity (min.) (mm) rozpoušt. vzorek vzorek vzorek vzorek Pairwise deletion. Statistickou analysu ovlivnila pouze jedna vyloučená dvojice hodnot pro výpočet korelace výtěžnost vs polarita výtěžnost vs výtěžnost vs výtěžnost vs extrakční čas velikost částic index polarity r n (4) (4) (3) I vylučování neúplných párů může vést k vážným problémům. Např. jestliže existuje, byť skryté, systematické rozložení chybějících dat (jinak řečeno, pokud chybějící data nejsou rozmístěna v matici výsledků náhodně), může vést tento postup k vychýlení (bias) vypočítaných korelačních koeficientů. Jednotlivé korelační koeficienty jsou totiž spočítány pomocí údajů z různých podmnožin objektů a tedy obecně pomocí sad údajů (proměnných) různé délky (n)..3. Nahrazení chybějící hodnoty střední hodnotou (mean substitution) Při tomto postupu jsou všechny chybějící hodnoty v každé proměnné nahrazeny střední hodnotou této proměnné (viz tab. 3). Datová sada se nyní jeví jako kompletní, ovšem za cenu značných nevýhod. Variabilita datové sady je uměle snížena. Snížení je přímo úměrné počtu chybějících bodů. To vede k podhodnocení rozptylu resp. směrodatné odchylky. Náhrada střední hodnotou může rovněž významně ovlivnit hodnoty některých dalších statistik, jako např. statistik lineární regrese (3), zvláště tehdy, jestliže korelace je silná. Tabulka VIII.3 Nahrazení chybějící hodnoty střední (průměrnou) hodnotou (mean substitution) kalibrátor kalibrátor kalibrátor kalibrátor Mean substitution. Statistická analysa byla provedena s pseudo kompletními daty bez ohledu na to, jak velká je chyba při nahrazení. chybějících hodnot průměry. kalibrátor kalibrátor kalibrátor kalibrátor Na obr. VIII.1 je uveden příklad ilustrující použití všech tří postupů při výpočtu matice korelačních koeficientů. Korelační koeficienty (3) r jsou počítány pro každý možný pár 5 proměnných označených A až E. Povšimněte si, jak se hodnota r může zvětšovat, zmenšovat nebo dokonce změnit znaménko v závislosti na tom, který postup byl použit k ošetření chybějících údajů (viz korelační koeficienty proměnných A vs B) Dopočítané hodnoty (imputation) Tento postup zpracování neúplných dat (4, 5) se používá stále častěji. Nebývá ale součástí statistických programů. Typický způsob dopočítání je lineární interpolace. Obecněji vzato jsou dopočítané hodnoty vlastně predikcí (předpovědí), která je založena na zpracování souboru dat stejných vlastností, který je kompletní (žádné údaje nechybějí). Pro každou chybějící hodnotu je vypočteno celkem m možných hodnot a m takto vzniklých kompletních datových sad se analysuje postupně zvoleným statistickým postupem. Ze vzniklých m pomocných výsledků se vytvoří pool, z něhož určíme konečný výsledek a jeho statistickou nejistotu. Tento postup funguje dobře, pokud chybějící data mají náhodné rozdělení a pokud model použitý pro predikci dopočítaných hodnot je rozumný.

3 Chybějící a odlehlé hodnoty Extrémní hodnoty, nepravidelně roztroušené (stragglers) a odlehlé hodnoty (outliers) Extrémní hodnoty jsou definovány jako hodnoty, které se nacházejí tak daleko od všech ostatních hodnot daného souboru, že vzniká podezření, že by mohly být z jiného základního souboru anebo že jsou důsledkem (hrubé) chyby měření (6). Extrémní hodnoty někdy rozdělujeme na tzv. nepravidelně roztroušené (stragglers), tedy hodnoty, které jsou detekovány na hladině spolehlivosti 95% až 99%, a na tzv. odlehlé hodnoty (outliers), které jsou detekovány na hladině spolehlivosti větší než 99%. Extrémní hodnoty svádějí k tomu, aby byly odstraněny ze souboru dat. Je rozšířená domněnka, že mají špatný vliv na vypočtené statistiky. Např. že falešně zvyšují hodnotu směrodatné odchylky jako míry rozptylu dat nebo že mohou způsobit vychýlení (bias) počítaného průměru. Existuje zlaté pravidlo, které říká, že ze sady dat se nikdy nemá vyloučit nějaká hodnota pouze ze statistických důvodů. Mezi tyto statistické důvody patří i testy na odlehlé hodnoty. Testy na odlehlé hodnoty vám řeknou, na základě nějakých jednoduchých předpokladů, kde máte s největší pravděpodobností technickou chybu (chyby). Neřeknou vám však, že ten či onen výsledek (bod) je "špatný". I když je hodnota silně vybočující, může se jednat o (byť částečnou) správnou informaci (1). Takovou hodnotu lze označit jako "špatnou" a vyloučit pouze na základě dostatečných odborných zkušeností anebo jestliže se podaří aspoň zčásti zjistit její příčinu. A nyní jak testovat data na odlehlé hodnoty. Pokud máme dobré důvody domnívat se, že data mají "normální" (gaussovské) rozdělení, pak máme k disposici řadu postupů pro zjišťování odlehlých hodnot. Tyto testy (někdy též nazývané Q-testy) objektivním způsobem identifikují extrémní hodnoty (7). Zda data mají "normální" rozdělení zjišťujeme pomocí: a] dřívějších zkušeností s podobnými daty b] testů normality, např. test Kolmogorov-Smirnov- Lillefors, test Shapiro-Wilk, test šikmosti, test špičatosti (7, 8) atd. c] diagnostických grafů zkonstruovaných z dat a hodnot z nich vypočítaných, např. frekvenční histogram, rozptylový graf, krabicový graf (1, 7) atd. Je třeba upozornit, že testy použité ke kontrole normality obvykle vyžadují dostatečné množství dat. Doporučené minimum je 10 až 15 hodnot (v závislosti na použitém testu). Už z toho je zřejmé, že v analytické praxi často buď nebude praktické či dokonce možné tyto testy použít anebo nám výsledky testů neřeknou nic smysluplného. Pokud si nejsme jisti, že data mají normální rozdělení, pak je třeba při jejich zpracování použít robustní statistiky a/nebo neparametrické (na rozdělení nezávislé) testy. Nyní budou blíže popsány testy na odlehlé hodnoty. Další podrobnosti naleznete v literatuře (9-1). 5. Testy na odlehlé hodnoty V analytické chemii je spíše výjimkou, když máme větší počet paralelních stanovení (replikátů). A malé sady dat často vykazují náhodné seskupování hodnot a v důsledku toho se objevují odlehlé hodnoty. Z uvedených důvodů je třeba testy na odlehlé hodnoty používat obezřetně. Dál musí být samozřejmostí, že body, které tyto testy označí jako odlehlé, můžeme vyloučit pouze tehdy, zjistíme-li příčinu jejich odlišného chování. Většina testů na odlehlé hodnoty je založena na nějaké míře relativní vzdálenosti podezřelého bodu od střední hodnoty. Tato míra nám pak říká, zda extrémní hodnota je dílem náhody nebo nikoliv. Většina testů hledá jednu extrémní hodnotu (obrázek VIII.3a), ale někdy se přihodí, že v souboru dat je odlehlých hodnot několik. Ty pak mohou být určeny jedním ze dvou způsobů: 1) Iterativním (postupně opakovaným) použitím testu na odlehlé hodnoty. ) Použitím testů, které pátrají po dvojicích extrémních hodnot, t.j. po odlehlých hodnotách, které maskují jedna druhou (obrázky VIII.3b a VIII.3c). Mělo by být pravidlem, že pokud identifikujeme více než 0% dat jako odlehlé hodnoty, potom je třeba intensivně zkoumat správnost předpokladu o jejich rozdělení a/nebo zda se vůbec jedná o správné a správně změřené údaje. Testy, které jsou vhodné pro jednotlivé případy znázorněné na obrázku VIII.3, jsou tyto: 3a - Grubbs 1 a Dixon, 3b - Grubbs, 3c - Grubbs 3 (7). Pokud by hodnoty testů G 1, G, G 3 byly větší než tabelované kritické hodnoty (viz tab. VIII.4), potom by bylo na dané hladině spolehlivosti nepravděpodobné, že extrémní hodnota (hodnoty) je dílem náhody. Vypočítáme hodnoty všech tří testů podle Grubbse. Data uspořádáme vzestupně a výpočet provedeme pomocí vzorců uvedených na obrázku VIII., kde s je směrodatná odchylka pro celou sadu dat, x i je jedna hodnota podezřelá z odlehlosti, t.j. hodnota nejvíc vzdálená od průměru, je absolutní (prostá) hodnota, x je průměr, n je počet dat, x n a x 1 jsou nejvíce extrémní hodnoty, s n- je směrodatná odchylka pro sadu dat, z níž byla vyloučena dvojice hodnot podezřelých z odlehlosti (t.j. dvojice hodnot nejvíce vzdálených od průměru). 5.1 Příklad výpočtu Grubbsových testů 13 replikátů x i bylo seřazeno vzestupně n = 13, x = , s = 0,498, s 0, 13 n = [1]

4 Štatistické metódy pre klinickú epidemiológiu a laboratórnu prax 46 = 49,484 48,479 =, 0 G1 0,498 = 49,484 47,876 = 3, 3 G 0,498 = 10x0,13 1 = 0, 587 G3 1x0,498 [] [3] [4] Kritické hodnoty Grubbsových testů pro n = 13 jsou: G 1 =.331 a.607, G = 4.00 a 4.4, G 3 = a pro hladiny spolehlivosti 95% a 99%. Ve všech případech jsou výsledky testů menší než příslušné kritické hodnoty. Můžeme udělat závěr, že data neobsahují odlehlé hodnoty. Tabulka VIII..4 Tabulka kritických hodnot Grubbsových testů (7) 95% hladina spolehl. 99% hladina spolehlivosti n G 1 G G 3 G 1 G G Úskalí testů na odlehlé hodnoty Obrázek VIII.4 ukazuje tři případy, kdy testy na odlehlé hodnoty mohou mylně svádět ke konstatování, že se jedná o extrémní hodnoty. Obrázek VIII.4a ukazuje situaci obvyklou při chemických analysách. Příčinou je limitovaná přesnost měření (chyba zaokrouhlení). K tomu dochází typicky tehndy, když je nepřesnost měření menší než chyba zaokrouhlení při odečítání výsledku. Pokud jsou všechny výsledky mimo jednoho zaokrouhleny na totéž číslo a ten jeden na číslo jiné, potom je vždy tento "jinam zaokrouhlený" výsledek označen testy jako odlehlý. Na obrázku VIII.4b je situace, kdy příčinou existence dvou bodů označených "outlier" může být, že rozdělení výsledků má mnohem delší konce než rozdělení gaussovské (normální). Takovýto typ rozdělení je při některých typech chemických analýz velmi častý, např. při stanovování residuí pesticidů. Jestliže existuje skupina několika málo výsledků, které jsou všechny odlehlé jako na obrázku 4c, může být její existence dílem náhody. Také je v tomto případě možné, že "odlehlá" skupina je blíž "pravé" hodnotě a skutečně odlehlé (tedy horší) výsledky jsou v "hlavní skupině". Tato situace se vyskytuje častěji, než jsme ochotni si připustit. Například když je v popisu analytického postupu napsáno "Výsledek je průměrem nejlepších dvou ze tří stanovení". 7. Odlehlé hodnoty rozptylu Jestliže máme data z různých skupin (např. jestliže porovnáváme metody stanovení pomocí mezilaboratorní porovnávací zkoušky), mohou se odlehlé hodnoty vyskytnout v rámci jednotlivých skupin, ale rovněž průměrné hodnoty jednotlivých skupin mohou být navzájem odlehlé. Jiný "typ" odlehlé hodnoty se vyskytne, jestliže "šířka" dat v jedné takové skupině je neobvykle malá resp. velká oproti "šířkám" dat v ostatních skupinách (viz obrázek VIII.5). V takových případech se tedy testují dva "typy" odlehlosti. 1) Grubbsovy testy se použijí k detekcí odlehlých hodnot uvnitř skupin a k detekci odlehlých středních hodnot jednotlivých skupin. ) Cochranův test se použije k detekci odlehlého rozptylu. (Rozptyl je mírou "šířky" dat a dá se vypočítat jako druhá mocnina směrodatné odchylky (1).) Cochranův test spočívá v dělení podezřelého rozptylu (variance) součtem rozptylů všech skupin. ( ) C = podezř s n g s1 i= 1 [5]

5 Chybějící a odlehlé hodnoty 47 n = g i=1 g n 1 [6] kde g je počet skupin a n i je počet replikátů v i-té skupině. Jestliže poměr vypočítaný v rovnici [5] přesáhne kritickou hodnotu získanou ze statistických tabulek (7), pak "šířka" dat v podezřelé skupině je extrémní. Cochranův test předpokládá, že počet replikátů uvnitř skupin je stejný nebo aspoň podobný (plus minus 1). Dál předpokládá, že data nejsou zaokrouhlena a že počet replikátů je dostatečný pro výpočet přiměřeného odhadu rozptylu (variance). Cochranův test není možno použít iterativně. Mohlo by to vést ke značnému množství "odlehlých" dat Příklad výpočtu Cochranova testu Byla provedena mezilaboratorní porovnávací zkouška, které se zúčastnilo 13 laboratoří, které provedly dohromady 85 stanovení obsahu bavlny v látce z kombinované příze bavlna-polyester. Směrodatné odchylky stanovení v jednotlivých laboratořích: = 6,54 7 [7] n = 13 0,609 0,0 + 0, ,46 + 0,198 0,371 = = 0,5 0,474 [8] C = n Kritická hodnota Cochranova testu pro n = 7 a g = 13 je 0.3 na 95% hladině spolehlivosti (7). Poněvadž výsledek testu je větší než kritická hodnota, vyslovíme závěr, že nejvyšší směrodatná odchylka replikátů jedné laboratoře (0.609) je mezi odchylkami replikátů těchto 13 laboratoří odlehlá. Výsledky z této laboratoře je třeba podrobněji prověřit. Při mezilaboratorních porovnáváních bývá běžnou praxí, že se na odlehlost netestuje opačný extrém, t.j. nejmenší směrodatná odchylka replikátů jedné laboratoře. Nezkoumá se tedy při neobvykle dobré přesnosti laboratoře, zda jde o odlehlou směrodatnou odchylku. 7. Závěrem Data vždy kontrolujte se zřetelem na chyby opisování. Jako dodatečná kontrola jakosti mohou při vyhledávání chyb tohoto typu posloužit testy na odlehlé hodnoty. Vyřaďte extrémní hodnoty pouze za předpokladu, že byly zjištěny technické příčiny jejich vzniku. = Chybějících dat se snažte vyvarovat, mohou být příčinou špatné interpretace výsledných statistik. Pokud se to nezdaří, měla by se situace řešit pomocí dalších měření. Testy na odlehlé hodnoty předpokládají, že znáte rozdělení (distribuci) dat. Platnost tohoto předpokladu by měla být prověřena dříve, než přistoupíte k použití těchto testů. Pomocí robustních statistik se vyhnete nutnosti použít testy na odlehlé hodnoty. Použití robustních statistik totiž výrazně zmenšuje vliv extrémních hodnot na výsledek. Pokud jsou vaše vědomosti o rozdělení (distribuci) dat omezené, měli byste použít neparametrické metody. LITERATURA 1. Burke, S.: Statistics in context: Exploring and summarising the results of measurements, VAM Bulletin, 16, 0-, Spring 1997, český překlad L.Dohnal, Průzkum a sumarizace výsledků měření, Fons, 1998, č. 4, s Burke, S.: Statistics in context: Significance testing, VAM Bulletin, 17, 18-1, Autumn 1997, český překlad L.Dohnal, Testování statistické významnosti, Fons, 1999, č. 1, s Burke, S. Statistics in context: Regression & calibration, VAM Bulletin, 18, 18-1, Spring 1998, český překlad L.Dohnal, Regrese a kalibrace, Fons, 1999, č., s Schafer, J.L.: Monographs on Statistics and Applied Probability 7 - Analysis of Incomplete Multivariate Data, Chapman & Hall, London ISBN (1997) 5. Little, R.J.A., Rubin, D.B.: Statistical analysis with missing data. John Wiley & Sons, New York ISBN (1987) 6. ISO Statistics - Vocabulary and Symbols. Part 1: Probability and general statistics terms, section.64. Geneva (1993) 7. Farrant, T.J.: Practical statistics for the analytical scientist: A bench guide. The Royal Society of Chemistry, Cambridge ISBN (1997) 8. Kruskal, W.H., Tanur, J.M.: International Encyclopaedia of Statistics. Collier Macmillian Publishers, New York ISBN (1978) 9. Analytical Methods Committee, Analyst 114, (1989) 10. Hoaglin, D.C., Mosteller, F., Tukey, J.W.: Understanding Robust and Exploratory Data Analysis. John Wiley & Sons, New York ISBN (1983) 11. Hollander, M., Wolf, D.A.: Non-parametric statistical methods. John Wiley & Sons, New York ISBN X (1973) 1. Daniel, W.W.: Applied non-parametric statistics. Houghton Mifflin, Boston ISBN (1978) 13. Burke, S.: Statistical Refresher Analysis of Variance, Scientific Data Management (1), (1998)

6 Štatistické metódy pre klinickú epidemiológiu a laboratórnu prax Burke, S.: Missing values, outliers, robust statistics and non-parametric methods. VAM bulletin (Valid Analytical Measurement), publication of Laboratory of the Government Chemist, Queens Road, Teddington, Middlesex TW11 0LY in support of the National Measurement System, issue No. 19, Autumn 1998 Obrázek VIII.1 Ovlivnění matice korelačních koeficientů chybějícími daty - převzato z práce (14). Obrázek VIII. Grubbsovy testy. Obrázek VIII.3 Odlehlé hodnoty (outliers) a maskování - převzato z práce (14). Pokračovanie na s. 4

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Nejistota měř. ěření, návaznost a kontrola kvality. Miroslav Janošík

Nejistota měř. ěření, návaznost a kontrola kvality. Miroslav Janošík Nejistota měř ěření, návaznost a kontrola kvality Miroslav Janošík Obsah Referenční materiály Návaznost referenčních materiálů Nejistota Kontrola kvality Westgardova pravidla Unity Referenční materiál

Více

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291 Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Chyby spektrometrických metod

Chyby spektrometrických metod Chyby spektrometrických metod Náhodné Soustavné Hrubé Správnost výsledku Přesnost výsledku Reprodukovatelnost Opakovatelnost Charakteristiky stanovení 1. Citlivost metody - směrnice kalibrační křivky 2.

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz Nulová a alternativní hypotéza většina statistických analýz zahrnuje různá porovnání, hledání vztahů, efektů Tvrzení, že efekt je nulový,

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Obecné zásady interpretace výsledků - chemické ukazatele

Obecné zásady interpretace výsledků - chemické ukazatele Obecné zásady interpretace výsledků - chemické ukazatele Ivana Pomykačová Konzultační den SZÚ Hodnocení rozborů vody Výsledek měření souvisí s: Vzorkování, odběr vzorku Pravdivost, přesnost, správnost

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu

Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu Obsah 1. Úvod 2. Oblast působnosti 3. Definice 3.1 Definice uvedené ve směrnici 3.2 Obecné definice 3.2.1 Nejistoty způsobené postupem

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008)

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Ing. Vratislav Horálek, DrSc., předseda TNK 4 při ČNI 1 Terminologické normy [1] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika Slovník

Více

Kvalita v laboratorní a kontrolní praxi

Kvalita v laboratorní a kontrolní praxi Kvalita v laboratorní a kontrolní praxi Část 3: Chyby a hodnocení výsledků měření Vladimír Kocourek Praha, únor 2015 Zkoušení (analýza) v laboratoři Výroba Výzkum a vývoj (R&D) Obchodování (dodávání) Ochrana

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Úvod. Struktura respondentů

Úvod. Struktura respondentů Výsledky pilotního průzkumu postojů studentů Policejní akademie ČR v Praze k problematice zálohování dat Ing. Bc. Marek Čandík, Ph.D. JUDr. Štěpán Kalamár, Ph.D. The results of the pilot survey of students

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D.

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Program Statistica Base 9 Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. OBSAH KURZU obsluha jednotlivých nástrojů, funkce pro import dat z jiných aplikací, práce s popisnou statistikou, vytváření grafů, analýza dat, výstupní

Více

Technický rozbor tuhého paliva statistické zpracování obsahu vlhkosti a popela v tuhém palivu

Technický rozbor tuhého paliva statistické zpracování obsahu vlhkosti a popela v tuhém palivu Technický rozbor tuhého paliva statistické zpracování obsahu vlhkosti a popela v tuhém palivu Teoretický úvod Základním rozborem tuhých paliv se rozumí stanovení obsahu vody (W = water), popela (A = ash)

Více

Experimentáln. lní toků ve VK EMO. XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký. www.vf.

Experimentáln. lní toků ve VK EMO. XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký. www.vf. Experimentáln lní měření průtok toků ve VK EMO XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký Systém měření průtoku EMO Měření ve ventilačním komíně

Více

1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou.

1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou. 1 Pracovní úkoly 1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou. 2. Sestrojte graf této závislosti. 2 Teoretický úvod 2.1 Povrchové napětí

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Výsledky základní statistické charakteristiky

Výsledky základní statistické charakteristiky Výsledky základní statistické charakteristiky (viz - Vyhláška č. 343/2002 Sb. o průběhu přijímacího řízení na vysokých školách a Vyhláška 276/2004 Sb. kterou se mění vyhláška č. 343/2002 Sb., o postupu

Více

Posouzení linearity kalibraèní závislosti

Posouzení linearity kalibraèní závislosti Posouzení linearity kalibraèní závislosti Ludìk Dohnal Referenèní laboratoø pro klinickou biochemii,úkbld 1.LF UK a VFN, Karlovo nám. 32, 12111 Praha 2, ludek.dohnal@lf1.cuni.cz Paul Faigl FCDD, University

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Úvod. Postup praktického testování

Úvod. Postup praktického testování Testování vzorků kalů odebraných v rámci Doškolovacího semináře Manažerů vzorkování odpadů 21. 10. 2014 v ČOV Liberec, akciové společnosti Severočeské vodovody a kanalizace Úvod Společnost Forsapi, s.r.o.

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Třídění statistických dat

Třídění statistických dat 2.1 Třídění statistických dat Všechny muže ve městě rozdělíme na 2 skupiny: A) muži, kteří chodí k holiči B) muži, kteří se holí sami Do které skupiny zařadíme holiče? prof. Raymond M. Smullyan, Dr. Math.

Více

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12 Obsah Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11 Typografická konvence použitá v knize 12 1 Vybraná témata z Excelu pro techniky 13 Vzorce a funkce pro techniky 14 Vytvoření jednoduchého vzorce

Více

Vícerozměrné metody. PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 12. Schematický úvod

Vícerozměrné metody. PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 12. Schematický úvod PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 12 Vícerozměrné metody Schematický úvod Co je na slově statistika tak divného, že jeho vyslovení tak často způsobuje napjaté ticho? William Kruskal

Více

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie 12. licenční studium PYTHAGORAS Statistické zpracování dat 3.1 Matematické principy vícerozměrných metod statistické analýzy

Více

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000. Čas (s) Model časového průběhu sorpce vyplývá z 2. Fickova zákona a je popsán následující rovnicí

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000. Čas (s) Model časového průběhu sorpce vyplývá z 2. Fickova zákona a je popsán následující rovnicí Program Sorpce1.m psaný v prostředí Matlabu slouží k vyhlazování naměřených sorpčních křivek a výpočtu difuzních koeficientů. Kromě standardního Matlabu vyžaduje ještě Matlab Signal Processing Toolbox

Více

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Výchozí stav Sebehodnocení práce s MS Excel studujícími oboru

Více

Nové pojetí referenčních materiálů

Nové pojetí referenčních materiálů Nové pojetí referenčních materiálů Zbyněk Plzák Ústav anorganické chemie AV ČR 250 68 Řež plzak@iic.cas.cz 1 Nové pojetí referenčních nové definice výběr a použití RM materiálů co představuje návaznost

Více

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová Navrhování experimentů a jejich analýza Eva Jarošová Obsah Základní techniky Vyhodnocení výsledků Experimenty s jedním zkoumaným faktorem Faktoriální experimenty úplné 2 N dílčí 2 N-p Experimenty pro studium

Více

Filozofie validace. Je validace potřebná? Mezinárodní doporučení pro provádění validací ve forenzně genetických laboratořích

Filozofie validace. Je validace potřebná? Mezinárodní doporučení pro provádění validací ve forenzně genetických laboratořích INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Vzdělávání v oblasti forenzní genetiky reg. č. CZ.1.07/2.3.00/09.0080 Mezinárodní doporučení pro provádění validací ve forenzně genetických laboratořích INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat. Jiří Šafr

Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat. Jiří Šafr Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat Jiří Šafr vytvořeno 29. 6. 2009 Dva základní typy statistiky 1. Popisná statistika: metody pro zjišťování a sumarizaci informací grfy, tabulky, popisné chrakteristiky

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika MS710P05 Zdeněk Hlávka (Šárka Hudecová, Michal Kulich) Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hlavka@karlin.mff.cuni.cz

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Mirek Kubera žák diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení, volí

Více

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR Vlastimil Kratochvíl * Příspěvek obsahuje popis vlastností některých postupů, využitelných pro transformaci souřadnic mezi geodetickými systémy

Více

Cronbachův koeficient α nová adaptovaná metoda uvedení vlastností položkové analýzy deskriptivní induktivní parametrické

Cronbachův koeficient α nová adaptovaná metoda uvedení vlastností položkové analýzy deskriptivní induktivní parametrické Československá psychologie 0009-062X Metodologické požadavky na výzkumné studie METODOLOGICKÉ POŽADAVKY NA VÝZKUMNÉ STUDIE Výzkumné studie mají přinášet nová konkrétní zjištění získaná specifickými výzkumnými

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

MEZIREGIONÁLNÍ PŘEPRAVA NA ŽELEZNICI V ČR INTERREGINAL RAILWAY TRANSPORT IN CZECH REPUBLIC

MEZIREGIONÁLNÍ PŘEPRAVA NA ŽELEZNICI V ČR INTERREGINAL RAILWAY TRANSPORT IN CZECH REPUBLIC MEZIREGIONÁLNÍ PŘEPRAVA NA ŽELEZNICI V ČR INTERREGINAL RAILWAY TRANSPORT IN CZECH REPUBLIC Kateřina Pojkarová 1 Anotace:Článek se věnuje železniční přepravě mezi kraji v České republice, se zaměřením na

Více

ČMI - 2004. Ing. Filip Vysloužil, Ph.D., ús. FM ČMI, Praha. Úvod

ČMI - 2004. Ing. Filip Vysloužil, Ph.D., ús. FM ČMI, Praha. Úvod CO JE? Ing. Filip Vysloužil, Ph.D., ús. FM ČMI, Praha Úvod Metrologie v chemii (MiC) Současným celosvětovým trendem je zavádění metrologických pravidel do chemických analýz - chemických měření. Důvodem

Více

CITLIVOSTNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO VERIFIKACI CFD MODELU A OPTIMALIZACI KONKRÉTNÍHO PRVKU

CITLIVOSTNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO VERIFIKACI CFD MODELU A OPTIMALIZACI KONKRÉTNÍHO PRVKU Simulace budov a techniky prostředí 2006 4. konference IBPSA-CZ Praha, 7. listopadu 2006 CITLIVOSTNÍ ANALÝZA JAKO NÁSTROJ PRO VERIFIKACI CFD MODELU A OPTIMALIZACI KONKRÉTNÍHO PRVKU Ondřej Hojer 1, Jiří

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 1. Solver Program Solver slouží pro vyhodnocení experimentálně naměřených dat. Základem

Více

PowerOPTI Řízení účinnosti tepelného cyklu

PowerOPTI Řízení účinnosti tepelného cyklu PowerOPTI Řízení účinnosti tepelného cyklu VIZE Zvýšit konkurenceschopnost provozovatelů elektráren a tepláren. Základní funkce: Spolehlivé hodnocení a řízení účinnosti tepelného cyklu, včasná diagnostika

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Směrnice IVD, EHK a akreditace

Směrnice IVD, EHK a akreditace Směrnice IVD, EHK a akreditace B.Friedecký, J.Kratochvíla * Praha 14. 2. 2006 Seminář CZEDMA Výkon a způsobilost EHK Výkon laboratoří - schopnost produkovat výsledky, vyhovující zamýšlenému použití, tedy

Více

ADDS cvičení 7. Pavlína Kuráňová

ADDS cvičení 7. Pavlína Kuráňová ADDS cvičení 7 Pavlína Kuráňová Analyzujte závislost věku obyvatel na místě kde nejčastěji tráví dovolenou. (dotazník dovolená, sloupce Jaký je Váš věk a Kde nejčastěji trávíte dovolenou) Analyzujte závislost

Více

META-ANALÝZA Z POHLEDU STATISTIKA. Medicína založená na důkazu - Modul 3B

META-ANALÝZA Z POHLEDU STATISTIKA. Medicína založená na důkazu - Modul 3B META-ANALÝZA Z POHLEDU STATISTIKA Medicína založená na důkazu - Modul 3B OBSAH: Úvodní definice... 2 Ověření homogenity pomocí Q statistiky... 3 Testování homogenity studií pomocí I 2 indexu... 6 Výpočet

Více

Pracovní list č. 3 Charakteristiky variability

Pracovní list č. 3 Charakteristiky variability 1. Při zjišťování počtu nezletilých dětí ve třiceti vybraných rodinách byly získány tyto výsledky: 1, 1, 0, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2. Uspořádejte

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku Pracoval: Jakub Michálek stud. skup. 15 dne: 20. března 2009 Odevzdal dne: Možný

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

Skrytá tvář laboratorních metod? J. Havlasová, Interimun s.r.o.

Skrytá tvář laboratorních metod? J. Havlasová, Interimun s.r.o. Skrytá tvář laboratorních metod? J. Havlasová, Interimun s.r.o. Vlastnosti charakterizující laboratorní metodu: 1. z hlediska analytického přesnost/ správnost ( nejistota měření ) analytická citlivost

Více

Vícerozměrné statistické metody

Vícerozměrné statistické metody Vícerozměrné statistické metody Smysl a cíle vícerozměrné analýzy dat a modelování, vztah jednorozměrných a vícerozměrných statistických metod Jiří Jarkovský, Simona Littnerová Průběh výuky 13 přednášek

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách ROZKLAD ROZPTYLU ROZKLAD ROZPTYLU Rozptyl se dá rozložit na vnitroskupinový a meziskupinový rozptyl. Celkový rozptyl je potom součet meziskupinového a vnitroskupinového Užívá se k výpočtu rozptylu, jestliže

Více

Srovnávací měření techniků a měřicích zařízení, květen 2014. Stručná zpráva

Srovnávací měření techniků a měřicích zařízení, květen 2014. Stručná zpráva Srovnávací měření techniků a měřicích zařízení, květen 2014 Stručná zpráva Vypracoval: Jiří Novák 13.8.2014 Asociace Blower Door CZ Obsah Obsah... 1 Cíl... 2 Místo a termín konání... 2 Účastníci... 2

Více

Střední průmyslová škola, Karviná. Protokol o zkoušce

Střední průmyslová škola, Karviná. Protokol o zkoušce č.1 Stanovení dusičnanů ve vodách fotometricky Předpokládaná koncentrace 5 20 mg/l navážka KNO 3 (g) Příprava kalibračního standardu Kalibrace slepý vzorek kalibrační roztok 1 kalibrační roztok 2 kalibrační

Více

Ing. Radovan Nečas Mgr. Miroslav Hroza

Ing. Radovan Nečas Mgr. Miroslav Hroza Výzkumný ústav stavebních hmot, a.s. Hněvkovského, č.p. 30, or. 65, 617 00 BRNO zapsaná v OR u krajského soudu v Brně, oddíl B, vložka 3470 Aktivační energie rozkladu vápenců a její souvislost s ostatními

Více

EXPLORATORNÍ ANALÝZA DAT. 7. cvičení

EXPLORATORNÍ ANALÝZA DAT. 7. cvičení EXPLORATORNÍ ANALÝZA DAT 7. cvičení Teorie pravděpodobnosti x Statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje zákonitosti týkající se náhodných jevů, používá se k modelování náhodností a neurčitostí, které

Více

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úloha č. 1a Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úkoly měření: 1. Seznámení se s měřicími přístroji posuvné měřítko, mikrometr, laboratorní váhy. 2. Opakovaně (10x) změřte rozměry dvou zadaných

Více

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Zvířata zařazená do hodnocení V modelu plemene H jsou hodnoceny krávy s podílem krve H nebo 75% a výše. V modelu plemene C jsou hodnoceny krávy s podílem krve

Více