Kapitola VIII. CHYBĚJÍCÍ A ODLEHLÉ HODNOTY. Luděk Dohnal. Chybějící a odlehlé hodnoty 43

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola VIII. CHYBĚJÍCÍ A ODLEHLÉ HODNOTY. Luděk Dohnal. Chybějící a odlehlé hodnoty 43"

Transkript

1 Chybějící a odlehlé hodnoty 43 Kapitola VIII. CHYBĚJÍCÍ A ODLEHLÉ HODNOTY. Luděk Dohnal Většinou se předpokládá, že data jsou pěkná, např. normálně rozdělená, neobsahují anomální hodnoty a žádný výsledek nechybí. Ve skutečnosti potřebujeme často zpracovávat nepěkná data, např. taková, která obsahují opisovačské chyby, nepředpokládaně extrémní výsledky anebo je jejich rozdělení sešikmené. O tom, jak pracovat s takovými daty, pojednává tento článek (14). 1. Chyby při opisování Chyby při opisování dat mohou být běžně korigovány, jestliže se provádí zavedená a dobře fungující kontrola jakosti před tím, než se provádí statistické zpracování. Data mohou být např. zadána nezávisle na sobě (dva různí pracovníci na dvou různých počítačích) dvakrát a zkontrolována elektronickým porovnáním dvou takto vzniklých datových souborů. Existuje též řada testů na odlehlé hodnoty (viz níže), které mohou být použity k detekci anomálních hodnot před tím, než budou data dále statisticky zpracována. Tyto testy však nemohou odstranit potřebu zajišťovat dobrou kontrolu jakosti. Spíš je třeba je chápat jako dodatečnou kontrolu jakosti.. Chybějící data Ať naplánujeme měření sebelépe, vždycky se stane, že něco nevyjde a důsledkem bývá chybějící údaj. Řada statistických postupů v případě chybějících dat selhává buď zčásti nebo úplně. Vždycky je samozřejmě nejlepším řešením experiment opakovat a získat úplnou sadu dat. Někdy to ale není proveditelné, zvláště když měření je třeba provést v předem daných časových relacích nebo když cena opakovaného měření je neúnosně velká. Pro takové případy je potřebné mít po ruce alternativní řešení. Současné statistické programové balíky poskytují pro řešení problému chybějících dat alespoň jednu ze tří metod:.1. Vyloučení neúplně popsaných objektů (casewise deletion) Ze statistického zpracování se vyloučí data od všech objektů, u nichž chybí byť jen jediný údaj (casewise deletion). Např. při kalibraci pro stanovení kovů pomocí AAS se používá řada standardních roztoků (kalibrátorů), které jsou pro nás ve statistickém smyslu objekty. Z nich každý obsahuje několik kovů o různých koncentracích - viz tab. 1. Jednotlivé kovy jsou ve statistickém smyslu proměnné, jednotlivé jejich koncentrace jsou hodnotami těchto proměnných pro daný objekt (kalibrátor). U některých kalibrátorů chybí údaj o koncentraci hliníku. Při aplikaci výše uvedeného postupu budou vyloučena VŠECHNA kalibrační data získaná s použitím těch kalibrátorů, pro něž není koncentrace hliníku uvedena. Naznačený postup je při práci s neúplnými daty dost častý, avšak nezaručuje korektní řešení. Obzvlášť při zpracování vícerozměrných datových sad se může přihodit, pokud jsou chybějící hodnoty rozloženy náhodně vzhledem k objektům i k proměnným, že skončíme vyloučením převážné většiny naměřených hodnot. Tabulka VIII.1 Vyloučení neúplně popsaných objektů (casewise deletion) kalibrátor kalibrátor kalibrátor kalibrátor Casewise deletion. Bude provedena statistická analysa pouze redukované sady dat. kalibrátor kalibrátor Vyloučení pouze neúplných párů (pairwise deletion) Tento způsob můžeme použít jako alternativu předchozího postupu v případech, když se parametry, např. korelační koeficienty, počítají postupně pomocí jednotlivých párů proměnných. Např. při zjišťování výtěžnosti analytického postupu (recovery) můžeme zkoumat, jak výtěžnost souvisí s dobou trvání extrakce, teplotou, velikostí částic, polaritou rozpouštědla atd. Jestliže nám chybí jedno měření polarity rozpouštědla (viz tab. ), pak použitím metody vyloučení neúplných párů (pairwise deletion) bude pro výpočet korelačního koeficientu v již uvedeném příkladu zrušena pouze

2 Štatistické metódy pre klinickú epidemiológiu a laboratórnu prax 44 dvojice polarita/výtěžnost pro vzorek 1. Výpočty hodnot ostatních korelačních koeficientů, t.j. výtěžnost vs. doba trvání extrakce a výtěžnost vs. velikost částic, tím nebudou ovlivněny. Tabulka VIII. Vyloučení neúplných párů (pairwise deletion), r - korelační koeficient, n - počet datových párů v korelaci výtěžnost extrakční velikost index (%) čas částic polarity (min.) (mm) rozpoušt. vzorek vzorek vzorek vzorek Pairwise deletion. Statistickou analysu ovlivnila pouze jedna vyloučená dvojice hodnot pro výpočet korelace výtěžnost vs polarita výtěžnost vs výtěžnost vs výtěžnost vs extrakční čas velikost částic index polarity r n (4) (4) (3) I vylučování neúplných párů může vést k vážným problémům. Např. jestliže existuje, byť skryté, systematické rozložení chybějících dat (jinak řečeno, pokud chybějící data nejsou rozmístěna v matici výsledků náhodně), může vést tento postup k vychýlení (bias) vypočítaných korelačních koeficientů. Jednotlivé korelační koeficienty jsou totiž spočítány pomocí údajů z různých podmnožin objektů a tedy obecně pomocí sad údajů (proměnných) různé délky (n)..3. Nahrazení chybějící hodnoty střední hodnotou (mean substitution) Při tomto postupu jsou všechny chybějící hodnoty v každé proměnné nahrazeny střední hodnotou této proměnné (viz tab. 3). Datová sada se nyní jeví jako kompletní, ovšem za cenu značných nevýhod. Variabilita datové sady je uměle snížena. Snížení je přímo úměrné počtu chybějících bodů. To vede k podhodnocení rozptylu resp. směrodatné odchylky. Náhrada střední hodnotou může rovněž významně ovlivnit hodnoty některých dalších statistik, jako např. statistik lineární regrese (3), zvláště tehdy, jestliže korelace je silná. Tabulka VIII.3 Nahrazení chybějící hodnoty střední (průměrnou) hodnotou (mean substitution) kalibrátor kalibrátor kalibrátor kalibrátor Mean substitution. Statistická analysa byla provedena s pseudo kompletními daty bez ohledu na to, jak velká je chyba při nahrazení. chybějících hodnot průměry. kalibrátor kalibrátor kalibrátor kalibrátor Na obr. VIII.1 je uveden příklad ilustrující použití všech tří postupů při výpočtu matice korelačních koeficientů. Korelační koeficienty (3) r jsou počítány pro každý možný pár 5 proměnných označených A až E. Povšimněte si, jak se hodnota r může zvětšovat, zmenšovat nebo dokonce změnit znaménko v závislosti na tom, který postup byl použit k ošetření chybějících údajů (viz korelační koeficienty proměnných A vs B) Dopočítané hodnoty (imputation) Tento postup zpracování neúplných dat (4, 5) se používá stále častěji. Nebývá ale součástí statistických programů. Typický způsob dopočítání je lineární interpolace. Obecněji vzato jsou dopočítané hodnoty vlastně predikcí (předpovědí), která je založena na zpracování souboru dat stejných vlastností, který je kompletní (žádné údaje nechybějí). Pro každou chybějící hodnotu je vypočteno celkem m možných hodnot a m takto vzniklých kompletních datových sad se analysuje postupně zvoleným statistickým postupem. Ze vzniklých m pomocných výsledků se vytvoří pool, z něhož určíme konečný výsledek a jeho statistickou nejistotu. Tento postup funguje dobře, pokud chybějící data mají náhodné rozdělení a pokud model použitý pro predikci dopočítaných hodnot je rozumný.

3 Chybějící a odlehlé hodnoty Extrémní hodnoty, nepravidelně roztroušené (stragglers) a odlehlé hodnoty (outliers) Extrémní hodnoty jsou definovány jako hodnoty, které se nacházejí tak daleko od všech ostatních hodnot daného souboru, že vzniká podezření, že by mohly být z jiného základního souboru anebo že jsou důsledkem (hrubé) chyby měření (6). Extrémní hodnoty někdy rozdělujeme na tzv. nepravidelně roztroušené (stragglers), tedy hodnoty, které jsou detekovány na hladině spolehlivosti 95% až 99%, a na tzv. odlehlé hodnoty (outliers), které jsou detekovány na hladině spolehlivosti větší než 99%. Extrémní hodnoty svádějí k tomu, aby byly odstraněny ze souboru dat. Je rozšířená domněnka, že mají špatný vliv na vypočtené statistiky. Např. že falešně zvyšují hodnotu směrodatné odchylky jako míry rozptylu dat nebo že mohou způsobit vychýlení (bias) počítaného průměru. Existuje zlaté pravidlo, které říká, že ze sady dat se nikdy nemá vyloučit nějaká hodnota pouze ze statistických důvodů. Mezi tyto statistické důvody patří i testy na odlehlé hodnoty. Testy na odlehlé hodnoty vám řeknou, na základě nějakých jednoduchých předpokladů, kde máte s největší pravděpodobností technickou chybu (chyby). Neřeknou vám však, že ten či onen výsledek (bod) je "špatný". I když je hodnota silně vybočující, může se jednat o (byť částečnou) správnou informaci (1). Takovou hodnotu lze označit jako "špatnou" a vyloučit pouze na základě dostatečných odborných zkušeností anebo jestliže se podaří aspoň zčásti zjistit její příčinu. A nyní jak testovat data na odlehlé hodnoty. Pokud máme dobré důvody domnívat se, že data mají "normální" (gaussovské) rozdělení, pak máme k disposici řadu postupů pro zjišťování odlehlých hodnot. Tyto testy (někdy též nazývané Q-testy) objektivním způsobem identifikují extrémní hodnoty (7). Zda data mají "normální" rozdělení zjišťujeme pomocí: a] dřívějších zkušeností s podobnými daty b] testů normality, např. test Kolmogorov-Smirnov- Lillefors, test Shapiro-Wilk, test šikmosti, test špičatosti (7, 8) atd. c] diagnostických grafů zkonstruovaných z dat a hodnot z nich vypočítaných, např. frekvenční histogram, rozptylový graf, krabicový graf (1, 7) atd. Je třeba upozornit, že testy použité ke kontrole normality obvykle vyžadují dostatečné množství dat. Doporučené minimum je 10 až 15 hodnot (v závislosti na použitém testu). Už z toho je zřejmé, že v analytické praxi často buď nebude praktické či dokonce možné tyto testy použít anebo nám výsledky testů neřeknou nic smysluplného. Pokud si nejsme jisti, že data mají normální rozdělení, pak je třeba při jejich zpracování použít robustní statistiky a/nebo neparametrické (na rozdělení nezávislé) testy. Nyní budou blíže popsány testy na odlehlé hodnoty. Další podrobnosti naleznete v literatuře (9-1). 5. Testy na odlehlé hodnoty V analytické chemii je spíše výjimkou, když máme větší počet paralelních stanovení (replikátů). A malé sady dat často vykazují náhodné seskupování hodnot a v důsledku toho se objevují odlehlé hodnoty. Z uvedených důvodů je třeba testy na odlehlé hodnoty používat obezřetně. Dál musí být samozřejmostí, že body, které tyto testy označí jako odlehlé, můžeme vyloučit pouze tehdy, zjistíme-li příčinu jejich odlišného chování. Většina testů na odlehlé hodnoty je založena na nějaké míře relativní vzdálenosti podezřelého bodu od střední hodnoty. Tato míra nám pak říká, zda extrémní hodnota je dílem náhody nebo nikoliv. Většina testů hledá jednu extrémní hodnotu (obrázek VIII.3a), ale někdy se přihodí, že v souboru dat je odlehlých hodnot několik. Ty pak mohou být určeny jedním ze dvou způsobů: 1) Iterativním (postupně opakovaným) použitím testu na odlehlé hodnoty. ) Použitím testů, které pátrají po dvojicích extrémních hodnot, t.j. po odlehlých hodnotách, které maskují jedna druhou (obrázky VIII.3b a VIII.3c). Mělo by být pravidlem, že pokud identifikujeme více než 0% dat jako odlehlé hodnoty, potom je třeba intensivně zkoumat správnost předpokladu o jejich rozdělení a/nebo zda se vůbec jedná o správné a správně změřené údaje. Testy, které jsou vhodné pro jednotlivé případy znázorněné na obrázku VIII.3, jsou tyto: 3a - Grubbs 1 a Dixon, 3b - Grubbs, 3c - Grubbs 3 (7). Pokud by hodnoty testů G 1, G, G 3 byly větší než tabelované kritické hodnoty (viz tab. VIII.4), potom by bylo na dané hladině spolehlivosti nepravděpodobné, že extrémní hodnota (hodnoty) je dílem náhody. Vypočítáme hodnoty všech tří testů podle Grubbse. Data uspořádáme vzestupně a výpočet provedeme pomocí vzorců uvedených na obrázku VIII., kde s je směrodatná odchylka pro celou sadu dat, x i je jedna hodnota podezřelá z odlehlosti, t.j. hodnota nejvíc vzdálená od průměru, je absolutní (prostá) hodnota, x je průměr, n je počet dat, x n a x 1 jsou nejvíce extrémní hodnoty, s n- je směrodatná odchylka pro sadu dat, z níž byla vyloučena dvojice hodnot podezřelých z odlehlosti (t.j. dvojice hodnot nejvíce vzdálených od průměru). 5.1 Příklad výpočtu Grubbsových testů 13 replikátů x i bylo seřazeno vzestupně n = 13, x = , s = 0,498, s 0, 13 n = [1]

4 Štatistické metódy pre klinickú epidemiológiu a laboratórnu prax 46 = 49,484 48,479 =, 0 G1 0,498 = 49,484 47,876 = 3, 3 G 0,498 = 10x0,13 1 = 0, 587 G3 1x0,498 [] [3] [4] Kritické hodnoty Grubbsových testů pro n = 13 jsou: G 1 =.331 a.607, G = 4.00 a 4.4, G 3 = a pro hladiny spolehlivosti 95% a 99%. Ve všech případech jsou výsledky testů menší než příslušné kritické hodnoty. Můžeme udělat závěr, že data neobsahují odlehlé hodnoty. Tabulka VIII..4 Tabulka kritických hodnot Grubbsových testů (7) 95% hladina spolehl. 99% hladina spolehlivosti n G 1 G G 3 G 1 G G Úskalí testů na odlehlé hodnoty Obrázek VIII.4 ukazuje tři případy, kdy testy na odlehlé hodnoty mohou mylně svádět ke konstatování, že se jedná o extrémní hodnoty. Obrázek VIII.4a ukazuje situaci obvyklou při chemických analysách. Příčinou je limitovaná přesnost měření (chyba zaokrouhlení). K tomu dochází typicky tehndy, když je nepřesnost měření menší než chyba zaokrouhlení při odečítání výsledku. Pokud jsou všechny výsledky mimo jednoho zaokrouhleny na totéž číslo a ten jeden na číslo jiné, potom je vždy tento "jinam zaokrouhlený" výsledek označen testy jako odlehlý. Na obrázku VIII.4b je situace, kdy příčinou existence dvou bodů označených "outlier" může být, že rozdělení výsledků má mnohem delší konce než rozdělení gaussovské (normální). Takovýto typ rozdělení je při některých typech chemických analýz velmi častý, např. při stanovování residuí pesticidů. Jestliže existuje skupina několika málo výsledků, které jsou všechny odlehlé jako na obrázku 4c, může být její existence dílem náhody. Také je v tomto případě možné, že "odlehlá" skupina je blíž "pravé" hodnotě a skutečně odlehlé (tedy horší) výsledky jsou v "hlavní skupině". Tato situace se vyskytuje častěji, než jsme ochotni si připustit. Například když je v popisu analytického postupu napsáno "Výsledek je průměrem nejlepších dvou ze tří stanovení". 7. Odlehlé hodnoty rozptylu Jestliže máme data z různých skupin (např. jestliže porovnáváme metody stanovení pomocí mezilaboratorní porovnávací zkoušky), mohou se odlehlé hodnoty vyskytnout v rámci jednotlivých skupin, ale rovněž průměrné hodnoty jednotlivých skupin mohou být navzájem odlehlé. Jiný "typ" odlehlé hodnoty se vyskytne, jestliže "šířka" dat v jedné takové skupině je neobvykle malá resp. velká oproti "šířkám" dat v ostatních skupinách (viz obrázek VIII.5). V takových případech se tedy testují dva "typy" odlehlosti. 1) Grubbsovy testy se použijí k detekcí odlehlých hodnot uvnitř skupin a k detekci odlehlých středních hodnot jednotlivých skupin. ) Cochranův test se použije k detekci odlehlého rozptylu. (Rozptyl je mírou "šířky" dat a dá se vypočítat jako druhá mocnina směrodatné odchylky (1).) Cochranův test spočívá v dělení podezřelého rozptylu (variance) součtem rozptylů všech skupin. ( ) C = podezř s n g s1 i= 1 [5]

5 Chybějící a odlehlé hodnoty 47 n = g i=1 g n 1 [6] kde g je počet skupin a n i je počet replikátů v i-té skupině. Jestliže poměr vypočítaný v rovnici [5] přesáhne kritickou hodnotu získanou ze statistických tabulek (7), pak "šířka" dat v podezřelé skupině je extrémní. Cochranův test předpokládá, že počet replikátů uvnitř skupin je stejný nebo aspoň podobný (plus minus 1). Dál předpokládá, že data nejsou zaokrouhlena a že počet replikátů je dostatečný pro výpočet přiměřeného odhadu rozptylu (variance). Cochranův test není možno použít iterativně. Mohlo by to vést ke značnému množství "odlehlých" dat Příklad výpočtu Cochranova testu Byla provedena mezilaboratorní porovnávací zkouška, které se zúčastnilo 13 laboratoří, které provedly dohromady 85 stanovení obsahu bavlny v látce z kombinované příze bavlna-polyester. Směrodatné odchylky stanovení v jednotlivých laboratořích: = 6,54 7 [7] n = 13 0,609 0,0 + 0, ,46 + 0,198 0,371 = = 0,5 0,474 [8] C = n Kritická hodnota Cochranova testu pro n = 7 a g = 13 je 0.3 na 95% hladině spolehlivosti (7). Poněvadž výsledek testu je větší než kritická hodnota, vyslovíme závěr, že nejvyšší směrodatná odchylka replikátů jedné laboratoře (0.609) je mezi odchylkami replikátů těchto 13 laboratoří odlehlá. Výsledky z této laboratoře je třeba podrobněji prověřit. Při mezilaboratorních porovnáváních bývá běžnou praxí, že se na odlehlost netestuje opačný extrém, t.j. nejmenší směrodatná odchylka replikátů jedné laboratoře. Nezkoumá se tedy při neobvykle dobré přesnosti laboratoře, zda jde o odlehlou směrodatnou odchylku. 7. Závěrem Data vždy kontrolujte se zřetelem na chyby opisování. Jako dodatečná kontrola jakosti mohou při vyhledávání chyb tohoto typu posloužit testy na odlehlé hodnoty. Vyřaďte extrémní hodnoty pouze za předpokladu, že byly zjištěny technické příčiny jejich vzniku. = Chybějících dat se snažte vyvarovat, mohou být příčinou špatné interpretace výsledných statistik. Pokud se to nezdaří, měla by se situace řešit pomocí dalších měření. Testy na odlehlé hodnoty předpokládají, že znáte rozdělení (distribuci) dat. Platnost tohoto předpokladu by měla být prověřena dříve, než přistoupíte k použití těchto testů. Pomocí robustních statistik se vyhnete nutnosti použít testy na odlehlé hodnoty. Použití robustních statistik totiž výrazně zmenšuje vliv extrémních hodnot na výsledek. Pokud jsou vaše vědomosti o rozdělení (distribuci) dat omezené, měli byste použít neparametrické metody. LITERATURA 1. Burke, S.: Statistics in context: Exploring and summarising the results of measurements, VAM Bulletin, 16, 0-, Spring 1997, český překlad L.Dohnal, Průzkum a sumarizace výsledků měření, Fons, 1998, č. 4, s Burke, S.: Statistics in context: Significance testing, VAM Bulletin, 17, 18-1, Autumn 1997, český překlad L.Dohnal, Testování statistické významnosti, Fons, 1999, č. 1, s Burke, S. Statistics in context: Regression & calibration, VAM Bulletin, 18, 18-1, Spring 1998, český překlad L.Dohnal, Regrese a kalibrace, Fons, 1999, č., s Schafer, J.L.: Monographs on Statistics and Applied Probability 7 - Analysis of Incomplete Multivariate Data, Chapman & Hall, London ISBN (1997) 5. Little, R.J.A., Rubin, D.B.: Statistical analysis with missing data. John Wiley & Sons, New York ISBN (1987) 6. ISO Statistics - Vocabulary and Symbols. Part 1: Probability and general statistics terms, section.64. Geneva (1993) 7. Farrant, T.J.: Practical statistics for the analytical scientist: A bench guide. The Royal Society of Chemistry, Cambridge ISBN (1997) 8. Kruskal, W.H., Tanur, J.M.: International Encyclopaedia of Statistics. Collier Macmillian Publishers, New York ISBN (1978) 9. Analytical Methods Committee, Analyst 114, (1989) 10. Hoaglin, D.C., Mosteller, F., Tukey, J.W.: Understanding Robust and Exploratory Data Analysis. John Wiley & Sons, New York ISBN (1983) 11. Hollander, M., Wolf, D.A.: Non-parametric statistical methods. John Wiley & Sons, New York ISBN X (1973) 1. Daniel, W.W.: Applied non-parametric statistics. Houghton Mifflin, Boston ISBN (1978) 13. Burke, S.: Statistical Refresher Analysis of Variance, Scientific Data Management (1), (1998)

6 Štatistické metódy pre klinickú epidemiológiu a laboratórnu prax Burke, S.: Missing values, outliers, robust statistics and non-parametric methods. VAM bulletin (Valid Analytical Measurement), publication of Laboratory of the Government Chemist, Queens Road, Teddington, Middlesex TW11 0LY in support of the National Measurement System, issue No. 19, Autumn 1998 Obrázek VIII.1 Ovlivnění matice korelačních koeficientů chybějícími daty - převzato z práce (14). Obrázek VIII. Grubbsovy testy. Obrázek VIII.3 Odlehlé hodnoty (outliers) a maskování - převzato z práce (14). Pokračovanie na s. 4

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Kapitola VII. ANALYSA ROZPTYLU ANOVA.

Kapitola VII. ANALYSA ROZPTYLU ANOVA. Analysa rozptylu ANOVA. 37 Kapitola VII. ANALYSA ROZPTYLU ANOVA. Luděk Dohnal Tato kapitola rozšiřuje téma testování statistické významnosti tím, že popisuje způsob současného porovnání více než dvou sad

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

Kapitola V. REGRESE A KALIBRACE.

Kapitola V. REGRESE A KALIBRACE. Regrese a kalibrace 27 Kapitola V. REGRESE A KALIBRACE. Luděk Dohnal Volný překlad práce (8). 1. Úvod Kalibrace je nutná k docílení konsistence měření. Obvykle je její součástí zjišťování závislosti mezi

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT STATISTICKÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT Seminární práce 1 Brno, 2002 Ing. Pavel

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Nejistota měř. ěření, návaznost a kontrola kvality. Miroslav Janošík

Nejistota měř. ěření, návaznost a kontrola kvality. Miroslav Janošík Nejistota měř ěření, návaznost a kontrola kvality Miroslav Janošík Obsah Referenční materiály Návaznost referenčních materiálů Nejistota Kontrola kvality Westgardova pravidla Unity Referenční materiál

Více

Statistické zpracování výsledků

Statistické zpracování výsledků Statistické zpracování výsledků Výpočet se skládá ze dvou částí. Vztažná hodnota a také hodnota směrodatné odchylky jednotlivých porovnání se určuje z výsledků dodaných účastníky MPZ. V první části je

Více

Úvod do analýzy rozptylu

Úvod do analýzy rozptylu Úvod do analýzy rozptylu Párovým t-testem se podařilo prokázat, že úprava režimu stravování a fyzické aktivity ve vybrané škole měla vliv na zlepšené hodnoty HDLcholesterolu u školáků. Pro otestování jsme

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

u Pacova Metoda pro validaci koncentrace přízemního ozónu kontinuálně měřené na Atmosférické 1 / 23sta

u Pacova Metoda pro validaci koncentrace přízemního ozónu kontinuálně měřené na Atmosférické 1 / 23sta koncentrace přízemního ozónu kontinuálně měřené na Atmosférické stanici Křešín u Pacova Metoda pro validaci koncentrace přízemního ozónu kontinuálně měřené na Atmosférické 1 / 23sta Obsah Měření Kvalita

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, Pardubice UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Nám. Čs. Legií 565, 532 10 Pardubice 10. licenční studium chemometrie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT Semestrální práce KALIBRACE

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Kalibrace a limity její přesnosti

Kalibrace a limity její přesnosti Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie Statistické zpracování dat Kalibrace a limity její přesnosti Zdravotní ústav se sídlem v Ostravě

Více

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291 Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012 Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Statistika věda o získávání znalostí z empirických dat empirická

Více

Statistické testování hypotéz II

Statistické testování hypotéz II PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 9 Statistické testování hypotéz II Přehled testů, rozdíly průměrů, velikost účinku, síla testu Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení

Více

Úloha E301 Čistota vody v řece testem BSK 5 ( Statistická analýza jednorozměrných dat )

Úloha E301 Čistota vody v řece testem BSK 5 ( Statistická analýza jednorozměrných dat ) Úloha E301 Čistota vody v řece testem BSK 5 ( Statistická analýza jednorozměrných dat ) Zadání : Čistota vody v řece byla denně sledována v průběhu 10 dní dle biologické spotřeby kyslíku BSK 5. Jsou v

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Predikce Multikolinearita Cvičení 4 Zuzana Dlouhá Aplikace EM predikce obecně ekonomické prognózování, předpověď, předvídání hlavním cílem je odhad hodnot vysvětlované proměnné

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Validace sérologických testů výrobcem. Vidia spol. s r.o. Ing. František Konečný IV/2012

Validace sérologických testů výrobcem. Vidia spol. s r.o. Ing. František Konečný IV/2012 Validace sérologických testů výrobcem Vidia spol. s r.o. Ing. František Konečný IV/2012 Legislativa Zákon č. 123/2000 Sb. o zdravotnických prostředcích ve znění pozdějších předpisů Nařízení vlády č. 453/2004

Více

Národní informační středisko pro podporu jakosti

Národní informační středisko pro podporu jakosti Národní informační středisko pro podporu jakosti STATISTICKÉ METODY V LABORATOŘÍCH Ing. Vratislav Horálek, DrSc. Ing. Jan Král 2 A.Základní a terminologické normy 1 ČSN 01 0115:1996 Mezinárodní slovník

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

2.2 Kalibrace a limity její p esnosti

2.2 Kalibrace a limity její p esnosti UNIVERZITA PARDUBICE Òkolní rok 000/001 Fakulta chemicko-technologická, Katedra analytické chemie LICEN NÍ STUDIUM STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT PÌI MANAGEMENTU JAKOSTI P EDM T:. Kalibrace a limity její p

Více

Zobecněná analýza rozptylu, více faktorů a proměnných

Zobecněná analýza rozptylu, více faktorů a proměnných Zobecněná analýza rozptylu, více faktorů a proměnných Menu: QCExpert Anova Více faktorů Zobecněná analýza rozptylu (ANalysis Of VAriance, ANOVA) umožňuje posoudit do jaké míry ovlivňují kvalitativní proměnné

Více

Chyby spektrometrických metod

Chyby spektrometrických metod Chyby spektrometrických metod Náhodné Soustavné Hrubé Správnost výsledku Přesnost výsledku Reprodukovatelnost Opakovatelnost Charakteristiky stanovení 1. Citlivost metody - směrnice kalibrační křivky 2.

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Rozdělení náhodné veličiny

Rozdělení náhodné veličiny Rozdělení náhodné veličiny Náhodná proměnná může mít - diskrétní rozdělení (nabývá jen určitých číselných hodnot) - spojité rozdělení (nabývá libovolných hodnot z určitého intervalu) Fyzikální veličiny

Více

KALIBRACE. Definice kalibrace: mezinárodní metrologický slovník (VIM 3)

KALIBRACE. Definice kalibrace: mezinárodní metrologický slovník (VIM 3) KALIBRACE Chemometrie I, David MILDE Definice kalibrace: mezinárodní metrologický slovník (VIM 3) Činnost, která za specifikovaných podmínek v prvním kroku stanoví vztah mezi hodnotami veličiny s nejistotami

Více

Obecné zásady interpretace výsledků - chemické ukazatele

Obecné zásady interpretace výsledků - chemické ukazatele Obecné zásady interpretace výsledků - chemické ukazatele Ivana Pomykačová Konzultační den SZÚ Hodnocení rozborů vody Výsledek měření souvisí s: Vzorkování, odběr vzorku Pravdivost, přesnost, správnost

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

Zpracování a vyhodnocování analytických dat

Zpracování a vyhodnocování analytických dat Zpracování a vyhodnocování analytických dat naměřená data Zpracování a statistická analýza dat analytické výsledky Naměř ěřená data jedna hodnota 5,00 mg (bod 1D) navážka, odměřený objem řada dat 15,8;

Více

Referenční hodnoty v praxi

Referenční hodnoty v praxi Referenční hodnoty v praxi Luděk Dohnal 1, Petr Schneiderka 2 1 Referenční laboratoř pro klinickou biochemii MZ ČR při ÚKBLD 1.LF UK a VFN, Praha, ludek.dohnal@lf1.cuni.cz 2 Oddělení klinické biochemie

Více

Použitý rezistor (jmenovitá hodnota): R1 = 270 kω je přesný metalizovaný rezistor s přesností ± 0,1%.

Použitý rezistor (jmenovitá hodnota): R1 = 270 kω je přesný metalizovaný rezistor s přesností ± 0,1%. Laboratorní úloha Snímač teploty R je zapojený podle schema na Obr. 1. Snímač je termistor typ B57164K [] se jmenovitým odporem pro teplotu 5 C R 5 00 Ω ± 10 %. Závislost odporu termistoru na teplotě je

Více

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů.

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Měřicí aparatura 1 / 34 Fyzikální veličiny Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Můžeme je dělit: Podle rozměrů: Bezrozměrné (index lomu, poměry) S rozměrem fyzikální veličiny velikost

Více

Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat

Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Semestrální práce Licenční studium GALILEO Interaktivní statistická analýza

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Využití metody bootstrapping při analýze dat II.část Doc. Ing. Olga TŮMOVÁ, CSc. Obsah Klasické procedury a statistické SW - metody výpočtů konfidenčních

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

NEJISTOTA MĚŘENÍ. David MILDE, 2014 DEFINICE

NEJISTOTA MĚŘENÍ. David MILDE, 2014 DEFINICE NEJISTOTA MĚŘENÍ David MILDE, 014 DEFINICE Nejistota měření: nezáporný parametr charakterizující rozptýlení hodnot veličiny přiřazených k měřené veličině na základě použité informace. POZNÁMKA 1 Nejistota

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI SEMESTRÁLNÍ PRÁCE

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI SEMESTRÁLNÍ PRÁCE TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Ekonomická fakulta Studentská 2 461 17 Liberec 1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE STATISTICKÝ ROZBOR DAT Z DOTAZNÍKOVÝCH ŠETŘENÍ Gabriela Dlasková, Veronika Bukovinská Sára Kroupová, Dagmar

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2013/2014 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

LEKCE 5 STATISTICKÁ INFERENCE ANEB ZOBECŇOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Z VÝBĚROVÉHO NA ZÁKLADNÍ SOUBOR

LEKCE 5 STATISTICKÁ INFERENCE ANEB ZOBECŇOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Z VÝBĚROVÉHO NA ZÁKLADNÍ SOUBOR LEKCE 5 STATISTICKÁ INFERENCE ANEB ZOBECŇOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Z VÝBĚROVÉHO NA ZÁKLADNÍ SOUBOR Ve většině případů pracujeme s výběrovým souborem a výběrové výsledky zobecňujeme na základní soubor. Smysluplné

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Hodnotící zpráva o mezilaboratorních analýzách stanovení obsahu popela, veškeré síry, spalného tepla a prchavé hořlaviny v tuhých palivech v roce 2012

Hodnotící zpráva o mezilaboratorních analýzách stanovení obsahu popela, veškeré síry, spalného tepla a prchavé hořlaviny v tuhých palivech v roce 2012 CENTRUM TECHNICKÉ NORMALIZACE Poradenství, kontrola a řízení jakosti tuhých paliv Ing. Pavel Tyle - TEKO, Výletní 353, 142 00 Praha 4 Soudní znalec v oboru tuhých paliv Officially appointed expert by Ministry

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2009/2010 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

Základní terminologické pojmy (Mezinárodní metrologický slovník VIM3)

Základní terminologické pojmy (Mezinárodní metrologický slovník VIM3) Základní terminologické pojmy (Mezinárodní metrologický slovník VIM3) Přesnost a správnost v metrologii V běžné řeči zaměnitelné pojmy. V metrologii a chemii ne! Anglický termín Measurement trueness Measurement

Více

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008)

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Ing. Vratislav Horálek, DrSc., předseda TNK 4 při ČNI 1 Terminologické normy [1] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika Slovník

Více

STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů

STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů 1) Test na homoskedasticitu Nalezneme jej v několika submenu. Omezme se na submenu Základní statistiky a tabulky základního menu Statistika. V něm

Více

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz Nulová a alternativní hypotéza většina statistických analýz zahrnuje různá porovnání, hledání vztahů, efektů Tvrzení, že efekt je nulový,

Více

Základní statistické charakteristiky

Základní statistické charakteristiky Základní statistické charakteristiky Základní statistické charakteristiky slouží pro vzájemné porovnávání statistických souborů charakteristiky = čísla, pomocí kterých porovnáváme Základní statistické

Více

Číselné charakteristiky

Číselné charakteristiky . Číselné charakteristiky statistických dat Průměrný statistik se během svého života ožení s 1,75 ženami, které se ho snaží vytáhnout večer do společnosti,5 x týdně, ale pouze s 50% úspěchem. W. F. Miksch

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU

MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU MODEL TVÁŘECÍHO PROCESU Zkouška tlakem na válcových vzorcích 2 Vyhodnocení tlakové zkoušky Síla F způsobí změnu výšky H a průměru D válce. V každém okamžiku při stlačování je přetvárný odpor definován

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Otázky k měření centrální tendence. 1. Je dáno rozložení, ve kterém průměr = medián. Co musí být pravdivé o tvaru tohoto rozložení?

Otázky k měření centrální tendence. 1. Je dáno rozložení, ve kterém průměr = medián. Co musí být pravdivé o tvaru tohoto rozložení? Otázky k měření centrální tendence 1. Je dáno rozložení, ve kterém průměr = medián. Co musí být pravdivé o tvaru tohoto rozložení? 2. Určete průměr, medián a modus u prvních čtyř rozložení (sad dat): a.

Více

Úloha 1: Lineární kalibrace

Úloha 1: Lineární kalibrace Úloha 1: Lineární kalibrace U pacientů s podezřením na rakovinu prostaty byl metodou GC/MS měřen obsah sarkosinu v moči. Pro kvantitativní stanovení bylo nutné změřit řadu kalibračních roztoků o různé

Více

Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj.

Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj. Uvedeme obecný postup statistického testování:. Formulace nulové H 0a alternativní hpotéz H A.. Volba hladin významnosti α.. Volba testační statistik např... Určení kritického oboru testové charakteristik.

Více

Výsledky základní statistické charakteristiky

Výsledky základní statistické charakteristiky Výsledky základní statistické charakteristiky (viz - Vyhláška č. 343/2002 Sb. o průběhu přijímacího řízení na vysokých školách a Vyhláška 276/2004 Sb. kterou se mění vyhláška č. 343/2002 Sb., o postupu

Více

Obecné, centrální a normované momenty

Obecné, centrální a normované momenty Obecné, centrální a normované momenty Obsah kapitoly 4. Elementární statistické zpracování - parametrizace vhodnými empirickými parametry Studijní cíle Naučit se počítat centrální a normované momenty pomocí

Více

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Kalibrace a limity její přesnosti Precheza a.s. Přerov 2005 Ing. Miroslav Štrajt 1. Zadání Úloha 1. Lineární kalibrace: u přímkové

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

S E M E S T R Á L N Í

S E M E S T R Á L N Í Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie S E M E S T R Á L N Í P R Á C E Licenční studium Statistické zpracování dat při managementu jakosti Předmět Statistická analýza

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 11 Z GEODÉZIE 1 (Hodnocení přesnosti měření a vytyčování) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 11 Z GEODÉZIE 1 (Hodnocení přesnosti měření a vytyčování) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 11 Z GEODÉZIE 1 (Hodnocení přesnosti měření a vytyčování) 1 ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc Ing Jaromír Procházka CSc s využitím přednášky doc Ing Martina

Více

Experimentáln. lní toků ve VK EMO. XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký. www.vf.

Experimentáln. lní toků ve VK EMO. XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký. www.vf. Experimentáln lní měření průtok toků ve VK EMO XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký Systém měření průtoku EMO Měření ve ventilačním komíně

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Regulační diagramy (RD)

Regulační diagramy (RD) Regulační diagramy (RD) Control Charts Patří k základním nástrojům vnitřní QC laboratoře či výrobního procesu (grafická pomůcka). Pomocí RD lze dlouhodobě sledovat stabilitu (chemického) měřícího systému.

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více