Matematika pro ekonomiku

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika pro ekonomiku"

Transkript

1 Pojistná matematika

2 1 I. POJISTNÁ MATEMATIKA

3 Pojistná matematika 2 Základní odvětví: životní pojištění, do něhož spadá výplata předem sjednané částky v případě smrti nebo dožití se určitého věku; neživotní pojištění, do něhož spadají ostatní události, jejichž společným rysem je, že vyplácená částka - náhrada škody, která v souvislosti s touto událostí vznikla - není předem známa. Úkoly pojišt ovny: stanovit výši ceny za pojištění, tzv. pojistné, stavovit si tzv. technickou rezervu, tj. částku, kterou musí mít k dispozici na události, které jsou nahlášeny se zpožděním, vyplácet pojistné plnění.

4 Výpočet pojistného 3 Hlavní údaj: souhrnná výše škod, za něž musí být vyplaceno pojistné plnění - náhodná veličina S Odhadneme rozdělení této náhodné veličiny včetně jejích parametrů Základ pro výpočet pojistného: střední hodnota ES - tzv. ryzí (nebo také netto) pojistné Bezpečnostní přirážka - ochrana proti nepříznivému průběhu + správní náklady Brutto pojistné = netto pojistné + bezpečnostní přirážka = to, co je skutečně klientem zaplaceno

5 Výpočet bezpečnostní přirážky 4 Nejběžnější způsoby stanovení brutto pojistného BP (pro všechny pojištěnce dohromady) jsou: 1 princip střední hodnoty: BP = (1 + a)es, kde a > 0; 2 princip směrodatné odchylky: BP = ES + a var S, kde a > 0; 3 princip rozptylu: BP = ES + a var S, kde a > 0. Výhody a nevýhody metod: Druhá a třetí metoda mají nevýhodu, že je nutné počítat kromě střední hodnoty navíc rozptyl. Druhá a třetí metoda jsou však přesnější, nebot berou v úvahu i velikost fluktuací rizika. Poznámka Má-li pojišt ovna n klientů, je pak základní pojistné pro jednoho klienta BP/n.

6 5 I. POJISTNÁ MATEMATIKA a) neživotní pojištění

7 Modelování celkové výše škod 6 Souhrn pojistných smluv daného typu pojištění se nazývá pojistný kmen nebo také pojistné portfolio. Předpokládejme, že pojistný kmen je homogenní, tzn. že škody, které mohou nastat na jednotlivých smlouvách, jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny X i. Počet škodních událostí je pak také náhodná veličina N. Celkový úhrn škod je tudíž náhodná veličina S = N X i. i=1

8 Modelování celkové výše škod 7 Jelikož je náhodná veličina S = daná součtem náhodného počtu náhodných veličin, říkáme, že má složené rozdělení. Pro složená rozdělení platí N i=1 X i ES = ENEX 1 a var S = ENvar X 1 + var N(EX 1 ) 2.

9 Rozdělení výší jednotlivých škod 8 Požadavky: nezáporné hodnoty spojitost pravděpodobnost extrémně velkých hodnot minimální Nejjednodušší model: exponenciální rozdělení

10 Rozdělení výší jednotlivých škod 9 Weibullovo rozdělení s distribuční funkcí a hustotou F (x) = 1 e αx k, x 0, k > 0, α > 0 f (x) = αkx k 1 e αx k, které je k tou odmocninou exponenciálního rozdělení Exp(α).

11 Rozdělení výší jednotlivých škod 10 Paretovo (také logaritmicko-exponenciální) rozdělení s distribuční funkcí ( x ) α F (x) = 1, x a, α > 0, a > 0 a a hustotou f (x) = αa α x α 1, které vzniklo transformací X = ae Y, kde Y má exponenciální rozdělení Exp(α).

12 Rozdělení výší jednotlivých škod 11 Logaritmicko-normální rozdělení s hustotou 1 f (x) = e (logx µ)2 /2σ 2, x > 0, 2πσx které vzniklo transformací X = e Y, kde Y má normální rozdělení N(µ, σ 2 ).

13 Rozdělení počtu škod 12 Předpoklady: portfolio obsahuje n smluv, pravděpodobnost škodní události na jedné smlouvě je p, střední počet škod je np = λ. Počet škod má binomické rozdělení Bi(n, p). Rozsah pojistného kmene bývá hodně velký a pravděpodobnost škodní události hodně malá P(N = k) = n(n 1)... (n k + 1) p k (1 λ λ k k! n )n k n,p 0 k! e λ, používá se Poissonovo rozdělení (jednodušší výpočty).

14 Technické rezervy 13 Slouží k zabezpečení prostředků potřebných k úhradě závazků pojišt ovny v následujících obdobích. Několik druhů, např. vyrovnávací rezerva - sloužící k vyrovnávání výkyvů v nákladech na pojistná plnění způsobená nepříznivými vlivy, rezerva na nezasloužené pojistné - souvisí s prováděním účetnictví na konci roku, tj. v době, kdy je ještě smlouva platná a tudíž na ní ještě může vzniknout pojistná událost rezerva na prémie a slevy, atd. nejdůležitější: rezerva na pojistná plnění (nebo též škodní rezerva) - udržuje prostředky k výplatě pojistného plnění pojistných událostí, které jsou nahlášeny v pozdějším období než se staly.

15 Rezervy na pojistná plnění - trojúhelníková schémata 14 Označme X j,s celkovou výši škod, které vznikly v roce j a byly uhrazeny do konce roku j + s (s = zpoždění). Předpokládejme, že jsme v roce t. Data, která máme k dispozici, můžeme seřadit do tzv. kumulativního trojúhelníku: s... t 2 t 1 1 X 1,0 X 1,1... X 1,s... X 1,t 2 X 1,t 1 2 X 2,0 X 2,1... X 2,s... X 2,t 2. t 1 X t 1,0 X t 1,1 t X t,0 Poznámka Někdy se místo škod, které vznikly v roce j a byly urazeny do konce roku j + s, pracuje s hodnotami Y j,s škod, které vznikly v roce j a byly urazeny právě v roce j + s. Pak mluvíme o nekumulativním trojúhelníku.

16 Rezervy na pojistná plnění - trojúhelníková schémata 15 Cílem je nalézt hodnotu ˆX j,, která je odhadem celkové výše škod vzniklých v roce j. Rezervou na pojistná plnění je pak hodnota ˆX j, X j,t j. Poznámka Samozřejmě se předpokládá, že po nějakém konečném počtu let jsou již všechna pojistná plnění pro daný rok vyplacena. Za tuto dobu je považován právě čas t, proto metody odhadu ˆX j, spočívají v doplnění kumulativního trojúhelníku na čtverec.

17 Metoda chain-ladder 16 Tato metoda předpokládá, že sloupce jsou si úměrné, tj. že X j,s+1. = cs X j,s, s = 0,..., t 2, j = 1,..., t s 1. Odhadem parametru c s je hodnota ĉ s = t s 1 j=1 X j,s+1 t s 1. j=1 X j,s Trojúhelník na čtverec pak tedy doplníme pomocí vztahu ˆX j,r = X j,t j ĉ t j ĉ r 1 a pro odhad konečné celkové výše plnění tak dostáváme ˆX j, = ˆX j,t 1 a výše rezervy je tudíž ˆX j,t 1 X j,t j.

18 Zobecnění metody chain-ladder 17 Předpokládejme, že tzv. vývojové faktory d j,s = X j,s+1 /X j,s, s = 0,..., t 2, j = 1,..., t 1, závisejí na řádkovém indexu j, tj. máme s... t 2 1 d 1,0 d 1,1... d 1,s... d 1,t 2. t 1 a následně počítáme ˆd s = d t 1,0 t s 1 j=1 ω j,s d j,s t s 1 j=1 ω j,s, s = 0,..., t 2, kde ω j,s jsou váhy pro d j,s (větší váhy pro novější hodnoty). Pak opět ˆX j,r = X j,t j ˆdt j ˆd r 1. Poznámka Klasickou metodu chain-ladder získáme, pokud voĺıme ω j,s = X j,s.

19 Londýnský řetězec 18 Tato metoda stejně jako klasická metoda chain ladder předpokládá, že sloupce na sobě závisejí bez ohledu na řádek, tentokrát vztahem X j,s+1. = as + c s X j,s, s = 0,..., t 2, j = 1,..., t s 1. Parametry a s a c s se určí tzv. metodou nejmenších čtverců, tj. minimalizací výrazu (X j,s+1 a s c s X j,s ) 2, s = 0,..., t 3, (1) t s 1 j=1 (pro s = t 2 pak voĺıme a t 2 = 0 a c t 2 = X 1,t 1 /X 1,t 2 ).

20 Londýnský řetězec 19 Řešením minimalizace je â s = t s 1 t s 1 j=1 X j,s+1 j=1 Xj,s 2 t s 1 t s 1 j=1 X j,s j=1 X j,s+1 X j,s (t s 1) t s 1 j=1 Xj,s 2 ( t s 1 j=1 X j,s ) 2 ĉ s = (t s 1) t s 1 j=1 X j,s+1 X j,s t s 1 t s 1 j=1 X j,s+1 j=1 X j,s (t s 1) t s 1 j=1 Xj,s 2 ( t s 1. j=1 X j,s ) 2 Na čtverec pak doplňujeme postupně počítáním ˆX j,s+1 = â s + ĉ s ˆX j,s, s = t j,..., t 2, j = 2,..., t, kde ˆX j,t j = X j,t j je známá hodnota na diagonále.

21 20 I. POJISTNÁ MATEMATIKA b) životní pojištění

22 Životní pojištění 21 Společné prvky životního a neživotního pojištění: Výše pojistného plnění je náhodná veličina, ozn. Z. Výše netto pojistného se tedy počítá jako NP = EZ. Brutto pojistné = netto pojistné + bezpečnostní přirážka. Povinnost tvorby rezerv, (způsob výpočtu je však odlišný). Odlišné prvky životního a neživotního pojištění: Uzavírá na delší dobu diskontní faktor v = i, kde i je technická úroková míra. EZ se nepočítá ze známých rozdělení úmrtnostních tabulek. Pojistné se většinou neplatí jednorázově, nýbrž na splátky po dobu několika let. Tímto rozdělením splátek se však nebudeme zabývat a pojistné, které budeme počítat, tj. EZ, budeme nazývat jednorázovým netto pojistným.

23 Modelování úmrtnosti 22 Označme T 0 náhodnou veličinu popisující délku života právě narozeného jedince a obecněji pak T x náhodnou veličinu popisující zbývající délku života jedince ve věku x. Kromě již známé distribuční funkce F x (t) = P(T x t) se v životním pojištění pracuje s tzv. funkcí přežití S x (t) = P(T x > t) = 1 F x (t).

24 Modelování úmrtnosti 23 Hodnoty F x a S x jsou pro celočíselné hodnoty x a t viz v úmrtnostní tabulky: q x = F x (1) = P(T x 1) pravděpodobnost, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře před dosažením věku x + 1; p x = S x (1) = P(T x > 1) pravděpodobnost, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + 1; tq x = F x (t) = P(T x t) pravděpodobnost, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře před dosažením věku x + t; tp x = S x (t) = P(T x > t) pravděpodobnost, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + t.

25 Modelování úmrtnosti 24 Základí vztahy mezi těmito pravděpodobnostmi: a P(T x > k) = k p x = p x p x+1 p x+k 1 P(k T x < k + 1) = k+1 q x k q x = k p x q x+k. Hodnoty k p x a k q x se získají jednoduchým způsobem. Označme v nějaké populaci l 0 počet nově narozených jedinců a l x počet jedinců, kteří se dožili věku x. Pak kp x = l x+k l x a kq x = l x l x+k l x.

26 Modelování úmrtnosti 25 Dalším užitečným značením je d x = l x l x+1 počet lidí, kteří zemřeli ve věku x. Toho se využívá zejména pro výpočet pravděpodobnosti, že pojištěný ve věku x zemře v (k + 1) ním roce pojištění, která se počítá jako kp x q x+k = d x+k l x. Poznámka Při volbě populace, z níž hodnoty odhadujeme, je třeba brát v úvahu spoustu vlivů jako např. změnu způsobu života, války apod. Tímto problémem se zabývá sociologie a demografie.

27 Komutační čísla - motivace 26 Příklad: Jaké je (jednorázové) netto pojistné pro pojištění, které sjedná 40-letý muž, kde pojišt ovna vyplatí 1 mil. Kč, pokud pojištěný do 5 let zemře (vyplácí se na konci roku, kdy zemře), a pokud nezemře, pojištění zanikne bez náhrady. Řešení: Zemře-li pojištěný v k tém roce pojištění, dotane 1 mil. Kč. Vezmeme-li v úvahu ztrátu hodnoty peněz, má částka, kterou dostane, současnou hodnotu 10 6 v k. Pravděpobnost, že pojištěný v k tém roce pojištění zemře, je k p 40 q 40+k. Střední (současná) hodnota toho, co musí pojišt ovna vyplatit, je tudíž 10 6 ( 4 k=0 v k+1 k p 40 q 40+k ) = 10 6 d40v + d 41 v d 44 v 5 l 40.

28 Komutační čísla 27 komutační čísla nultého řádu: D x = l x v x (diskontovaný počet dožívajících se věku x) C x = d x v x+1 (diskontovaný počet zemřelých ve věku x) komutační čísla prvního řádu: N x = D x+j = D x + D x+1 + D x M x = j=0 C x+j = C x + C x+1 + C x j=0 komutační čísla druhého řádu: S x = N x+j = N x + N x+1 + N x R x = j=0 M x+j = M x + M x+1 + M x j=0

29 Komutační čísla - pokračování motivace 28 Zpět k příkladu: 10 6 d40v + d 41 v d 44 v 5 l 40 = 10 6 d40v 41 + d 41 v d 44 v 45 l 40 v 40 = 10 6 C40 + C C 44 D 40 = 10 6 M40 M 45 D 40, přičemž hodnoty M 40, M 45 a D 40 najdeme v úmrtnostních tabukách.

30 Druhy životní pojištění 29 Základním dělením životního pojištění je dělení na kapitálové pojištění - jednorázová výplata částky v případě úmrtí nebo dožití se daného věku důchodové pojištění - pravidelné výplaty částek v případě dožití se daného věku Oba tyto druhy pak mají spoustu typů, z nichž si zde uvedeme ty nejběžnější. Poznámka Jelikož pro střední hodnotu platí E(aZ) = aez, budeme vždy, pokud nebude řečeno jinak, počítat jednorázové netto pojistné (JNP) pro výplatu jednotkové částky. Pokud by pojištění bylo sjednáno na částku c, bylo by výsledné JNP obyčejným c násobkem námi vypočteného JNP.

31 Kapitálová životní pojištění 30 Pojištění pro případ dožití spočívá ve výplatě předem sjednané částky na konci roku n, pokud se osoba pojištěná ve věku x dožije věku x + n, jinak pojištění zaniká bez náhrady. Pro (jednorázové) netto pojistné platí JNP = EZ = n p x v n = D x+n D x.

32 Kapitálová životní pojištění 31 Pojištění pro případ smrti spočívá ve výplatě předem sjednané částky na konci roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře, jinak pojištění zaniká bez náhrady. Pro (jednorázové) netto pojistné platí JNP = EZ = k=0. k p x q x+k v k+1 = M x D x.

33 Kapitálová životní pojištění 32 Dočasné pojištění pro případ smrti spočívá ve výplatě předem sjednané částky na konci roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře, pokud k tomuto úmrtí dojde během n let, jinak pojištění zaniká bez náhrady. Pro (jednorázové) netto pojistné platí n 1 JNP = EZ =. k p x q x+k v k+1 = M x M x+n. D x k=0

34 Kapitálová životní pojištění 33 Smíšené pojištění spočívá ve výplatě předem sjednané částky a na konci roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře, pokud k tomuto úmrtí dojde během n let, jinak vyplatí částku b. Pro (jednorázové) netto pojistné platí n 1 JNP = EZ = a. k p x q x+k v k+1 +b np x v n = a(m x M x+n ) + bd x+n. D x k=0

35 Důchodová životní pojištění 34 Pojištění doživotního důchodu spočívá v pravidelné výplatě předem sjednaných částek vždy na začátku roku, pokud osoba pojištěná ve věku x žije. Pro (jednorázové) netto pojistné platí JNP = EZ = k=0. k p x v k = N x D x.

36 Důchodová životní pojištění 35 Pojištění odloženého doživotního důchodu spočívá v pravidelné výplatě předem sjednaných částek vždy na začátku roku, pokud osoba pojištěná ve věku x žije, avšak tyto výplaty začnou až po j letech od uzavření tohoto pojištění. Pro (jednorázové) netto pojistné platí JNP = EZ = k=j. k p x v k = N x+j D x.

37 Důchodová životní pojištění 36 Pojištění dočasného doživotního důchodu spočívá v pravidelné výplatě předem sjednaných částek vždy na začátku roku, pokud osoba pojištěná ve věku x žije a neuplynulo ještě n let od začátku pojištění. Pro (jednorázové) netto pojistné platí n 1 JNP = EZ =. k p x v k = N x N x+n. D x k=0

38 37 II. SHLUKOVÁ ANALÝZA DAT

39 Shluková analýza dat 38 Cíl: zařadit objekty z nějakého souboru objektů do skupin (shluků) tak, aby si objekty v jedné skupině byly podobnější než objekty z různých skupin. Metod pro toto zařazení je spousta, stejně tak struktur shluků může bý více (kromě rozdělení do několika skupin můžeme řadit do vzájemně vnořených podskupin apod.).

40 Vstupní data 39 Soubor objektů, které dostaneme, je tvořen n prvky (objekty), které se mají shlukovat. U každého z nich pak pozorujeme m různých znaků (proměnných). To znamená, že vstupní údaje můžeme seřadit do matice rozměru n m. Její prvky pak budeme značit x il, i = 1,..., n, l = 1,..., m.

41 Typy proměnných 40 Rozlišujeme proměnné 1 poměrové - u jejich hodnot můžeme určit, o kolik i kolikrát je jedna hodnota větší než druhá (např. věk, cena,...), 2 intervalové - u jejich hodnot můžeme určit, o kolik, ne však už kolikrát, je jedna hodnota větší než druhá (např. teplota,...), 3 ordinální - u jejich hodnot můžeme určit pořadí hodnot (např. základní, střední a vysoká škola,...), 4 nominální - u jejich hodnot můžeme určit pouze, zda jsou stejné nebo různé (např. barva očí,...). Prvních dva typy - lze pracovat přímo s jejich hodnotami. Ordinální proměnné - např. hodnoty jejich pořadí. Nominální proměnné - speciální přístup.

42 Typy proměnných 41 Pro nominální proměnné lze pak použít metodu rozdělení proměnné na více binárních (tj. nabývajících hodnot 0 nebo 1) proměnných, kde 1 znamená, že objekt splňuje danou vlastnost, 0 opak. Např. příslušnost k univerzitě (ČVUT, UK nebo VŠE) lze zapsat takto: Univerzita X 1 X 2 X 3 ČVUT UK VŠE Poznámka Analogicky lze pracovat i se zbylými typy proměnných. Proměnné ordinální lze pak pomocí binárních proměnných zapsat i takto: Vzdělání X 1 X 2 základní 0 0 střední 1 0 vysokoškolské 1 1

43 Normování hodnot proměnných 42 Požadavek: naměřené znaky by měly mít podobně velké a rozptýlené hodnoty třeba hodnoty vhodně vynormovat. Převedení na proměnné binární moc proměnných na vstupu. Jiné způsoby: vydělení směrodatnou odchylkou proměnné l: z il = x il s l, vydělení variančním rozpětím R l = max i (x il ) min i (x il ): z il = x il R l, převedení na hodnoty z intervalu < 0, 1 >: z il = x il min i (x il ) R l, převedení na hodnoty z intervalu < 0, 1 >, jejichž součet je roven 1: z il = x il n i=1 x. il

44 Měření podobnosti 43 Objekt i vyjádřit jako číselný vektor x i o složkách x il, l = 1,..., m (popř. po znormování z i o složkách z il, l = 1,..., m). Dva objekty pak můžeme považovat za podobnější než jiné dva, pokud jsou si v m dimenzionálním prostoru bĺıž. Obecně se vzdáleností mysĺı funkce D ij dvou prvků i a j, která splňuje následující: 1 D ij 0, 2 D ii = 0, 3 D ij = D ji Poznámka Občas se vyžaduje ještě čtvrtá vlastnost D ij + D jk D ik. Pak se mluví místo o vzdálenosti o metrice.

45 Měření podobnosti 44 Nejčastěji používanými vzdálenostmi jsou: eukleidovská: D ij = D(x i, x j ) = m (x il x jl ) 2, městských bloků (manhattanská): l=1 D ij = D(x i, x j ) = m x il x jl, l=1 maximová (Čebyševova): D ij = D(x i, x j ) = max x il x jl. l

46 Metody shlukové analýzy 45 Většinou se v literatuře uvádí dělení těchto metod na dvě základní skupiny podle toho, co má být výsledkem shlukování, a to: metody rozkladu (nehierarchické) - výsledkem je rozdělení souboru do k shluků, kde počet shluků je předem daný, metody hierarchické - výsledkem je posloupnost do sebe vnořených skupin objektů.

47 Metody rozkladu 46 Metody rozkladu lze dále rozdělit, a to na: metody jednoznačného přiřazení - výsledkem je jednoznačná příslušnost každého objektu do nějakého shluku, fuzzy shluková analýza - výsledkem jsou míry příslušnosti u ip každého objektu i do p tého shluku, pro které platí 1 0 u ip 1, 2 k p=1 u ip = 1.

48 Metody rozkladu 47 Metoda k průměrů 1 Na začátku se vybere k počátečních centroidů (např. prvních k objektů v souboru). 2 Pro každý prvek souboru se spočte jeho vzdálenost k jednotlivým centroidům a prvek se přiřadí do shluku k centroidu, ke kterému má nejbĺıž. 3 Po přiřazení všech prvků se spočte nový centroid shluku (např. bod v prostoru, jehož souřadnicemi jsou průměry hodnot jednotlivých proměnných) a celá procedura se opakuje. 4 Končí se ve chvíli, kdy už se žádný prvek během celé procedury nikam nepřesune.

49 Metody rozkladu 48 Metoda k medoidů Jedná se o metodu podobnou metodě k průměrů s tím rozdílem, že místo centroidu, což může být libovolný bod v prostoru, se prvky přiřazují medoidu, což je konkrétní objekt ze shluku. Ten se určí tak, aby součet vzdáleností od tohoto objektu byl minimální.

50 Hierarchické metody 49 Hierarchické metody lze stejně jako nehierarchické metody dále dělit podle toho, zda shlukujeme podle jedné či podle více proměnných, na metody 1 monotetické - shluky se vytvářejí postupně podle jednotlivých proměnných 2 polytetické - v každém kroku jsou uvažovány všechny proměnné najednou podle toho, zda shluky postupně rozkládáme nebo slučujeme, na metody 1 aglomerativní - na počátku je každý objekt samostatným shlukem a postupně dochází ke spojování shluků 2 divizivní - na počátku je celý soubor jedním shlukem a postupně dochází k dělení shluků

51 Hierarchické metody 50 Monotetické shlukování Výhodnější pro divizivní přístup. Všechny proměnné musí být binární. Postupně děĺıme shluky na dva podshluky podle hodnoty 0 nebo 1. Problém: nejednoznačnost rozkladu (možností výběru první proměnné m, druhé m 1 atd.) Řešení: kritérium výběru proměnných: 1 Uvažujme kontingenční tabulku k té a l té proměnné k \ l a kl b kl 1 c kl d kl 2 Pro každou dvojici se spočte koeficient q kl = a kl d kl b kl c kl. 3 Za proměnnou, podle které budeme shluky dělit, je proměnná s nejvyšší hodnotou q l = k l q kl, k = 1, 2,..., m.

52 Hierarchické metody 51 Polytetické shlukování Na počátku každý prvek samostatný shluk. V každém kroku sloučení dvou shluků, které jsou si nejpodobnější. Vzdálenost mezi g tým shlukem a sjednocením shluků h a h určuje např. metoda průměrné vazby: n h D g<h,h > = n h + n h D gh + n h D gh, n h + n h kde n h a n h jsou počty prvků ve shlucích h, resp. h, mediánová metoda: metoda nejbližšího souseda: atd. D g<h,h > = 1 2 D gh D gh 1 4 D hh, D g<h,h > = 1 2 (D gh + D gh D gh D gh ),

Výpočet pojistného v životním pojištění. Adam Krajíček

Výpočet pojistného v životním pojištění. Adam Krajíček Výpočet pojistného v životním pojištění Adam Krajíček Dělení životního pojištění pojištění riziková - jedná se o pojištění, u kterých se předem neví, zda dojde k pojistné události a následně výplatě pojistného

Více

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Shluková analýza

AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Shluková analýza AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Shluková analýza Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Shluková analýza Cílem shlukové analýzy je nalézt v datech podmnožiny

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

POJIŠŤOVNICTVÍ. Mezi složky současného pojišťovnictví patří. ekonomie a finance, pojistné právo pojistná matematika.

POJIŠŤOVNICTVÍ. Mezi složky současného pojišťovnictví patří. ekonomie a finance, pojistné právo pojistná matematika. POJIŠŤOVNICTVÍ Pojištění se historicky považuje za formu přesunu rizika negativních dopadů nahodilostí, z ekonomického nebo jiného subjektu na speciální instituce- pojišťovnu. Jde o zvláštní odvětví ekonomiky

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Důchodové pojištění, jeho produktové modifikace a srovnání s životním pojištěním

Důchodové pojištění, jeho produktové modifikace a srovnání s životním pojištěním Ekonomicko-správní fakulta MU v Brně Seminární práce z předmětu: Pojišťovnictví JS 2005/2006 Téma: Důchodové pojištění, jeho produktové modifikace a srovnání s životním pojištěním Vypracoval: Marcela Dubová,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E Pojistná matematika 2 KMA/POM2E RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D. pracovna 5.052 tel. 585 63 4027 e-mail: ondrej.pavlacka@upol.cz web: http://aix-slx.upol.cz/~pavlacka (informace + podkladové materiály) Konzultační

Více

Tomáš Cipra: Pojistná matematika: teorie a praxe. Ekopress, Praha 2006 (411 stran, ISBN: 80-86929-11-6, druhé aktualizované vydání) 1. ÚVOD...

Tomáš Cipra: Pojistná matematika: teorie a praxe. Ekopress, Praha 2006 (411 stran, ISBN: 80-86929-11-6, druhé aktualizované vydání) 1. ÚVOD... Tomáš Cipra: Pojistná matematika: teorie a praxe. Ekopress, Praha 2006 (411 stran, ISBN: 80-86929-11-6, druhé aktualizované vydání) OBSAH I. POJIŠŤOVNICTVÍ A FINANCE 1. ÚVOD... 13 2. POJIŠTĚNÍ JAKO OCHRANA

Více

Popisná statistika. Statistika pro sociology

Popisná statistika. Statistika pro sociology Popisná statistika Jitka Kühnová Statistika pro sociology 24. září 2014 Jitka Kühnová (GSTAT) Popisná statistika 24. září 2014 1 / 31 Outline 1 Základní pojmy 2 Typy statistických dat 3 Výběrové charakteristiky

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

OBSAH ČÁST I.: P O JIŠ Ť O V N IC T V Í A FINANCE 1. K A PIT O L A Ú V O D K A PITO LA

OBSAH ČÁST I.: P O JIŠ Ť O V N IC T V Í A FINANCE 1. K A PIT O L A Ú V O D K A PITO LA OBSAH ČÁST I.: P O JIŠ Ť O V N IC T V Í A FINANCE 1. K A PIT O L A Ú V O D...13 2. K A PITO LA P O JIŠ T Ě N Í JA K O O CHRANA P R O T I R IZ IK Ů M... 15 2.1 Pojistné riziko... 15 2.2 Základní pojmy a

Více

Pojištění důchodu navazující na důchodové spoření (Profesionalismus v praxi) 8. 3. 2013 Dagmar Slavíková

Pojištění důchodu navazující na důchodové spoření (Profesionalismus v praxi) 8. 3. 2013 Dagmar Slavíková Pojištění důchodu navazující na důchodové spoření (Profesionalismus v praxi) 8. 3. 2013 Dagmar Slavíková Obsah Úvod Vývoj produktu I. fáze II. fáze III. fáze IV. fáze? Diskuze Kde pracují pojistní matematici?

Více

Vícerozměrné statistické metody

Vícerozměrné statistické metody Vícerozměrné statistické metody Vícerozměrné statistické rozdělení a testy, operace s vektory a maticemi Jiří Jarkovský, Simona Littnerová FSTA: Pokročilé statistické metody Vícerozměrné statistické rozdělení

Více

Rozdělení náhodné veličiny

Rozdělení náhodné veličiny Rozdělení náhodné veličiny Náhodná proměnná může mít - diskrétní rozdělení (nabývá jen určitých číselných hodnot) - spojité rozdělení (nabývá libovolných hodnot z určitého intervalu) Fyzikální veličiny

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

6 Ordinální informace o kritériích

6 Ordinální informace o kritériích 6 Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důležitosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků

Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků Mgr. Marcela Martinů 13. května 2016 5/13/2016 0 Obsah 1. Úvod a. Motivace a cíle b. Základní metody 2. Rozšířená

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Ω = 6 6 3 = 1 36 = 0.0277,

Ω = 6 6 3 = 1 36 = 0.0277, Příklad : Házíme třemi kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude roven 5? Jev A značí příznivé možnosti: {,, 3}; {,, }; {, 3, }; {,, }; {,, }; {3,, }; P (A) = A Ω = 6 6 3 = 36 = 0.077, kde. značí

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

Číselné charakteristiky

Číselné charakteristiky . Číselné charakteristiky statistických dat Průměrný statistik se během svého života ožení s 1,75 ženami, které se ho snaží vytáhnout večer do společnosti,5 x týdně, ale pouze s 50% úspěchem. W. F. Miksch

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Vše, co jste chtěli vědět o KŽP, ale nikdo Vám neřekl

Vše, co jste chtěli vědět o KŽP, ale nikdo Vám neřekl Martin Podávka, pro www.penize.cz prosinec 2004 Vše, co jste chtěli vědět o KŽP, ale nikdo Vám neřekl 1) Kapitálové životní pojištění 2) Druhy KŽP 3) Rezerva a odbytné u KŽP 4) Podíl na zisku u KŽP 5)

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného)

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) 1 Obecný popis metody Particle Image Velocimetry, nebo-li zkráceně PIV, je měřící

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

BĚŽNĚ PLACENÁ KAPITÁLOVÁ POJIŠTĚNÍ

BĚŽNĚ PLACENÁ KAPITÁLOVÁ POJIŠTĚNÍ BĚŽNĚ PLACENÁ KAPITÁLOVÁ POJIŠTĚNÍ Allianz pojišťovna a.s.... 2 Credit Suisse Life&Pension a.s... 3 Česká pojišťovna a.s..... 4 ČSOB pojišťovna a.s... 5 ING organizační složka... 6 Generali pojišťovna...

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí Matematické přístupy k pojištění automobilů Silvie Kafková 3. 6. září 2013, Podlesí Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3 Motivace Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Obsah. Statistika Zpracování informací ze statistického šetření Charakteristiky úrovně, variability a koncentrace kvantitativního znaku

Obsah. Statistika Zpracování informací ze statistického šetření Charakteristiky úrovně, variability a koncentrace kvantitativního znaku Obsah Statistika Zpracování informací ze statistického šetření Charakteristiky úrovně, variability a koncentrace kvantitativního znaku Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v

Více

Finanční rozbor současného penzijního připojištění se státním příspěvkem, srovnání s bankovním účtem

Finanční rozbor současného penzijního připojištění se státním příspěvkem, srovnání s bankovním účtem Finanční rozbor současného penzijního připojištění se státním příspěvkem, srovnání s bankovním účtem Studie z předmětu KMA/MAB, LS 2009/2010, A09N0169P Finanční informatika a statistika tomi.rosi@seznam.cz

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Odborná směrnice č. 3

Odborná směrnice č. 3 Odborná směrnice č. 3 Test postačitelnosti technických rezerv životních pojištění Právní normy: Zákon č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví, ve znění pozdějších předpisů (dále jen zákon o pojišťovnictví )

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni BAYESOVSKÉ ODHADY V NĚKTERÝCH MODELECH Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Slunce Řidiči IQ Regrese Přežití Obvyklý model Pozorování X = (X 1,..., X

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e

Více

1 Analytické metody durace a konvexita aktiva (dluhopisu) $)*

1 Analytické metody durace a konvexita aktiva (dluhopisu) $)* Modely analýzy a syntézy plánů MAF/KIV) Přednáška 10 itlivostní analýza 1 Analytické metody durace a konvexita aktiva dluhopisu) Budeme uvažovat následující tvar cenové rovnice =, 1) kde jsou současná

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců

AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců AVDAT Geometrie metody nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model klasický lineární regresní model odhad parametrů MNČ y = Xβ + ε, ε

Více

Profilování vzorků heroinu s využitím vícerozměrné statistické analýzy

Profilování vzorků heroinu s využitím vícerozměrné statistické analýzy Profilování vzorků heroinu s využitím vícerozměrné statistické analýzy Autor práce : RNDr. Ivo Beroun,CSc. Vedoucí práce: prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. PROFILOVÁNÍ Profilování = klasifikace a rozlišování

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

Výrobní produkce divizí Ice Cream Po lo ha plane t Rozložený výse ový 3D graf Bublinový graf Histogram t s tn e ídy

Výrobní produkce divizí Ice Cream Po lo ha plane t Rozložený výse ový 3D graf Bublinový graf Histogram t s tn e ídy Výrobní produkce divizí Ice Cream Polo ha planet Rozložený výsečový 3D graf Bublinový graf Ice Cream 1 15% Ice Cream 2 12% Ice Cream 3 18% Ice Cream 4 20% Statistika 40 30 20 Ice Cream 6 19% Ice Cream

Více

Vše, co jste chtěli vědět o KŽP, ale nikdo Vám neřekl

Vše, co jste chtěli vědět o KŽP, ale nikdo Vám neřekl Martin Podávka, pro www.penize.cz prosinec 2004 Vše, co jste chtěli vědět o KŽP, ale nikdo Vám neřekl 1) Kapitálové životní pojištění 2) Druhy KŽP 3) Rezerva a odbytné u KŽP 4) Podíl na zisku u KŽP 5)

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Základní provize v systému MLM ZetClub

Základní provize v systému MLM ZetClub Základní provize v systému MLM ZetClub Každý prodejce může pod sebou zaregistrovat dalšího prodejce, ten zas dalšího atd. Každý prodejce, tedy může být buď zaregistrován přímo pod firmou, nebo má nad sebou

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

PŘEHLED POPLATKŮ A PARAMETRŮ PRODUKTU FLEXI ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ

PŘEHLED POPLATKŮ A PARAMETRŮ PRODUKTU FLEXI ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ PŘEHLED POPLATKŮ A PARAMETRŮ PRODUKTU FLEXI ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ platný od 1. 1. 2016 pro smlouvy sjednané od 1. 1. 2009 NÁKLADY SPOJENÉ S PŘIJETÍM DO POJIŠTĚNÍ a žádostí o změnu sepsání nabídky / žádosti

Více

3.1.1. Výpočet vnitřní hodnoty obligace (dluhopisu)

3.1.1. Výpočet vnitřní hodnoty obligace (dluhopisu) Využití poměrových ukazatelů pro fundamentální analýzu cenných papírů Principem této analýzy je stanovení, zda je cenný papír na kapitálovém trhu podhodnocen, správně oceněn, nebo nadhodnocen. Analýza

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Shluková analýza. Jiří Militky. Analýza experimentálních dat V. Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se.

Shluková analýza. Jiří Militky. Analýza experimentálních dat V. Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Shluková analýza Jiří Militky Analýza experimentálních dat V Klasifikace objektů Rozdělení objektů do shluků dle jejich podobnosti

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Predikce roční spotřeby zemního plynu po ceníkových pásmech

Predikce roční spotřeby zemního plynu po ceníkových pásmech Predikce roční spotřeby zemního plynu po ceníkových pásmech Ondřej Konár, Marek Brabec, Ivan Kasanický, Marek Malý, Emil Pelikán Ústav informatiky AV ČR, v.v.i. ROBUST 2014 Jetřichovice 20. ledna 2014

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč UČENÍ BEZ UČITELE Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/~hlavac 1/22 OBSAH PŘEDNÁŠKY ÚVOD Učení

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Tomáš Cipra: Finanční a pojistné vzorce. Grada Publishing, Praha 2006 (374 stran, ISBN: 80-247- 1633-X) 1. ÚVOD... 17

Tomáš Cipra: Finanční a pojistné vzorce. Grada Publishing, Praha 2006 (374 stran, ISBN: 80-247- 1633-X) 1. ÚVOD... 17 Tomáš Cipra: Finanční a pojistné vzorce. Grada Publishing, Praha 2006 (374 stran, ISBN: 80-247- 1633-X) OBSAH SEZNAM NĚKTERÝCH SYMBOLŮ.... 13 1. ÚVOD.... 17 I. FINANČNÍ VZORCE.... 19 2. JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více