4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných

Transkript

1 Dvojné integrály ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský součin ab echť ab cd je uzavřený interval z cd. a n a x x x b resp. c y0 y1... ym d jsou dělení intervalů ab resp. cd. Pak množinu nazveme dělením intervalu a číslo normou dělení D. D x x y y ; i 1... n j 1... m i1 i j1 j i i 1 j j 1 (D) max x x y y ; i 1... n j 1... m echť D xi 1 xi yj 1 yj ; i 1... n j 1... m a i j; i 1... n j 1... m je dělení uzavřeného intervalu z množina uspořádaných dvojic reálných čísel takových že i xi 1 xi a j yj 1 yj. Dále nechť je f omezená funkce na intervalu 1. Pak součet n m S( fd ) f( )( x x )( y y ) i1 j1 i j i i 1 j j 1 nazveme Riemannovou integrální sumou funkce f pro dělení D a množinu čísel. echť D je posloupnost dělení intervalu jejichž norma konverguje k nule ( ) ( ) a posloupnost množin dvojic čísel i j ; i 1... n j 1... m lim (D ) 0 z předcházející definice přiřazených dělením D. Funkce f ( x ) nechť je definována a omezená na intervalu. Existuje-li pro všechny takové posloupnosti jejich společná limita lim S( f D ) 1 Tj. existuje takové nezáporné číslo K že pro každou dvojici xy z intervalu platí f ( xy ) Viz Apendix A. K.

2 - 6 - ntegrální počet funkcí více proměnných nazveme tuto limitu dvojným Riemannovým integrálem funkce f ( x ) na intervalu. Samotnou funkci pak nazveme integrovatelnou na intervalu. Pro dvojné integrály na intervalu ab cd používáme obvykle označení d b f ( x y ) dxdy 1 nebo c a f ( x y) dxdy. Věta (Fubiniova) echť je funkce f ( xy ) integrovatelná na intervalu ab cd. Pak platí f ( x y) dxdy f ( x y) dy dx f ( x y) dx dy d b b d d b. c a a c c a Podle Fubiniovy věty můžeme tedy dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu počítat jako dvojici integrálů jednoduchých přičemž na pořadí integrace nezáleží. Musíme ovšem zaručit že hledaný dvojný integrál existuje což je možné například pro spojité integrandy. ntegrály na pravé straně rovnosti nazýváme zpravidla dvojnásobnými. Dvojné a dvojnásobné integrály na obecnějších množinách echť M je podmnožina nějakého dvojrozměrného intervalu ab cd. a tomto intervalu definujme funkci hxy ( ) 1 pro [ xy ] M hxy ( ) 0 pro [ xy ] M. Pokud existuje hxydxdy ( ) nazveme množinu M (Riemannovsky) měřitelnou a odpovídající dvojný integrál mírou (plošným obsahem) této množiny. Všimněte si že míra intervalu ab cd je podle očekávání ( cd)( b a). Věta Množiny 1 x y ; a x b ( x) y ( x) x y y x y c y d ; ( ) ( ) kde a jsou spojité funkce na intervalech ab a cd jsou měřitelné. 1 V námi používané konvenci odpovídá vnitřní integrál vnitřnímu diferenciálu a vnější integrál diferenciálu vnějšímu.

3 Dvojné integrály echť M ( je uzavřený interval z ) je měřitelná množina a funkce f ( xy ) je na ní definována. a intervalu definujme novou funkci Pokud existuje f ( x y) dxdy pro pro f ( xy ) f( xy ) f( x y) 0 xy M xy M. řekneme že funkce f je na množině M Riemannovsky integrovatelná a odpovídající integrál nazveme dvojným Riemannovým integrálem funkce f na množině M. Pro dvojné integrály na obecných měřitelných množinách budeme ve shodě s výše uvedeným značením používat symbol f ( x y) dxdy M. Věta (Fubiniova) echť 1 a jsou výše zavedené měřitelné množiny a f ( xy ) nechť je integrovatelná funkce na těchto množinách. Pak platí b ( x) f ( x y) dxdy f ( x y) dy dx d ( y) f ( x y) dxdy f ( x y) dxdy c y 1 a ( x). ( ) v případě obecnějších množin 1 a je tedy možno dvojné integrály počítat pomocí integrálů jednoduchých pokud ovšem víme že příslušný dvojný integrál existuje. To je opět zaručeno například pro spojité funkce. 4. Substituce ve dvojných integrálech Podobně jako u jednorozměrných integrálů rozumíme i nyní pod substitucí náhradu jedněch integračních proměnných např. x a y proměnnými jinými např. u a v: Předpokládáme přitom že x ( u v) y ( u v). A na jinou měřitel- funkce a zobrazují vzájemně jednoznačně nějakou měřitelnou množinu nou množinu B funkce a mají na množině A spojité první derivace tzv. Jacobiho determinant substituce 1 tato definice je v zájmu zachování jednoduchosti výkladu velmi zjednodušená. Podrobnější informaci může zájemce opět najít ve specializované literatuře. Všechny věty které nesou v této i další kapitole označení Fubiniova jsou speciálními variantami jediné obecné věty o rozkladu vícerozměrných integrálů na integrály násobné. V matematické literatuře je tato věta obvykle nazývána větou Fubiniovou a proto jsme takové označení zachovali bez jakéhokoliv dalšího rozlišení i pro speciální formulace jak je uvádíme v tomto skriptu.

4 ntegrální počet funkcí více proměnných je na množině A nenulový 1. ( xy ) u v det ( uv ) u v Věta (o substituci) Jsou-li splněny podmínky předcházející poznámky a funkce f ( xy ) je integrovatelná na množině B platí ( ) ( ) ( ) B ( xy ) f x y dxdy f u v u v dudv ( uv ). A Pomocí věty o substituci se často podaří počítaný integrál významně zjednodušit. Převedením do nových proměnných je možno významně zjednodušit jak integrovanou funkci tak i množinu na které integraci provádíme. ezřídka je možno dosáhnout toho aby nová množina A byla dvojrozměrným intervalem. Blíže si to ukážeme na příkladě integrace v polárních souřadnicích. ntegrace v polárních souřadnicích Souřadnice r 0 a 0 které souvisejí s kartézskými souřadnicemi x a y prostřednictvím vztahů x rcos y rsin nazýváme souřadnicemi polárními. Věta echť je funkce ( ) f xy integrovatelná na kruhu K K x y ; x y r 0 r0 r0 f ( x y) dxdy f( r ) rdrd f ( r ) rdr d. Pak platí. kde f( r ) f rcos rsin Věta o polární substituci ve dvojném integrálu na kruhu je speciálním důsledkem výše uvedené obecné věty o substituci ve dvojných integrálech. Pokuste se sami formulovat podobnou větu pro integraci na mezikruží 4 či na kruhové výseči 5. 1 Předpoklad nenulovosti Jacobiho determinantu je možno poněkud zeslabit čehož využijeme například při přechodu od kartézských k polárním souřadnicím. Svislé čáry označují v integrálu na pravé straně absolutní hodnotu. Dokažte že kruh K je množinou typu 1 i. 4 1 xy r0 x y r1 K ; 5 0 K xy ; 0 x y r

5 Substituce ve dvojných integrálech Příklad Vypočítejte integrál 1 x y e dxdy. Přímé použití Fubiniovy věty pro integraci na dvojrozměrném intervalu dává x y x y x e dxdy e e dx dy e dx. Přechod do polárních souřadnic a následné použití Fubiniovy věty vede k x y r r r e dxdy e rdrd e rdrd e rdr a po provedení zbývající integrace dále k z r 1 1 e rdr e dz e dz rdr r z z x y e dxdy. Porovnáním obou výsledků získáváme velmi užitečný vzorec (s širokým použitím např. ve fyzice) x e dx. Tento výsledek nelze získat přímo z definice nevlastního integrálu protože neurčitý integrál x e dx není možno vyjádřit pomocí elementárních funkcí. 1 íže pracujeme se zadaným integrálem jako by se jednalo o integrál přes omezený interval z. Čtenář nám jistě tuto velkorysost v zájmu zachování jednoduchosti výkladu promine a uvěří že uvedený postup je korektní.

6 ntegrální počet funkcí více proměnných 4. Trojné a trojnásobné integrály Trojné a trojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z ab cd eg. rozumíme kartézský součin echť ab cd eg je uzavřený interval z a x x x b a n c y0 y1... ym d a e z0 z1... zm g jsou dělení intervalů ab cd a eg. Pak množinu D x x y y z z ; i 1... n j 1... m k 1... p i1 i j1 j k1 k nazveme dělením intervalu a číslo (D) max x x y y z z ; i 1... n j 1... m z 1... p i i1 j j1 k k1 normou dělení D. je dělení uza- echť D xi 1 xi yj 1 yj zk 1 zk ; i 1... n j 1... m k 1... p vřeného intervalu z a i j k; i 1... n j 1... m k 1... p množina uspořádaných trojic reálných čísel takových že i xi 1 xi j yj 1 yj a k zk 1 zk. Dále nechť je f omezená funkce na intervalu 1. Pak součet n m p S( fd ) f( )( x x )( y y )( z z ) i1 j1 k1 i j k i i 1 j j 1 k k 1 nazveme Riemannovou integrální sumou funkce f pro dělení D a množinu čísel. echť D je posloupnost dělení intervalu jejichž norma konverguje k nule ( ) ( ) ( ) a posloupnost množin trojic čísel i j k lim (D ) 0 z předcházející definice přiřazených dělením D. Funkce f ( x ) nechť je definována a omezená na intervalu. Existuje-li pro všechny takové posloupnosti jejich společná limita lim S( f D ) 1 Tj. existuje takové nezáporné číslo K že pro každou trojici xyz z intervalu platí f ( xyz ) Viz Apendix A. K.

7 Trojné integrály nazveme tuto limitu trojným Riemannovým integrálem funkce f ( x ) na intervalu. Samotnou funkci pak nazveme integrovatelnou na intervalu. Pro trojné integrály na intervalu ab cd eg používáme obvykle označení g d b f ( xyzdxdydz ) 1 nebo e c a f ( x y z) dxdydz. Věta (Fubiniova) echť je funkce f ( xyz ) integrovatelná na intervalu ab cd eg. Pak platí g f ( x y z) dxdydz f ( x y z) dz dydx g d b b d. e c a a c e Podle Fubiniovy věty můžeme tedy trojný integrál na trojrozměrném intervalu počítat jako trojici integrálů jednoduchých přičemž podobně jako u integrálů dvojných nezáleží na pořadí integrace. Musíme ovšem zaručit že hledaný trojný integrál existuje což je možné například pro spojité integrandy. ntegrály na pravé straně rovnosti nazýváme zpravidla trojnásobnými. Trojné a trojnásobné integrály na obecnějších množinách echť M je podmnožinou nějakého trojrozměrného intervalu ab cd eg. a tomto intervalu definujme funkci hxyz ( ) 1 pro [ xyz ] M hxyz ( ) 0 pro [ xyz ] M. Pokud existuje h( x y z) dxdydz nazveme množinu M (Riemannovsky) měřitelnou a odpovídající trojný integrál mírou (objemem) této množiny. Všimněte si že míra intervalu ab cd eg je podle očekávání ( g e)( cd)( b a). echť M ( je uzavřený interval z ) je měřitelná množina a funkce f ( xyz ) je na ni definována. a intervalu definujme novou funkci pro pro f ( xyz ) f( xyz ) f( x y z) 0 xyz M xyz M. 1 V námi používané konvenci odpovídá vnitřní integrál vnitřnímu diferenciálu a podobně vnější integrál diferenciálu vnějšímu. Je to obdobné jako u integrálů dvojných.

8 ntegrální počet funkcí více proměnných Pokud existuje f ( x y z) dxdydz řekneme že funkce f je na množině M Riemannovsky integrovatelná a odpovídající integrál nazveme trojným Riemannovým integrálem funkce f na množině M. Pro trojné integrály na obecných měřitelných množinách budeme ve shodě s výše uvedeným značením používat symbol f ( xyzdxdydz ) M. 4.4 Substituce v trojných integrálech Podobně jako v případě dvojných integrálů předpokládáme že přechod od integračních proměnných x y a z k novým proměnným u v a w x ( u v w) y ( u v w) z ( uvw ) splňuje následující podmínky: A na jinou mě- funkce a zobrazují vzájemně jednoznačně nějakou měřitelnou množinu řitelnou množinu B funkce a mají na množině A spojité první derivace Jacobiho determinant substituce u v w ( xyz ) det u v w ( uvw ) u v w je na množině A nenulový 1. Věta (o substituci) Jsou-li splněny podmínky předcházející poznámky a funkce f ( xyz ) je integrovatelná na B platí ( ) ( ) ( ) ( ) B ( xyz ) f x y z dxdydz f u v w u v w u v w dudvdw ( uvw ). A Pomocí věty o substituci se často podaří převést integraci na obecné měřitelné množině na jednodušší integraci na trojrozměrném intervalu. íže si ukážeme konkrétní použití této věty při přechodu od kartézských k válcovým a kulovým souřadnicím. ntegrace ve válcových (cylindrických) souřadnicích Souřadnice r 0 0 prostřednictvím vztahů a nazýváme souřadnicemi válcovými. z které souvisejí s kartézskými souřadnicemi x rcos y rsin z z 1 v případě trojných integrálů je možno předpoklad nenulovosti Jacobiho determinantu poněkud zeslabit. Svislé čáry označují v integrálu na pravé straně absolutní hodnotu. Kartézská souřadnice z je totožná s cylindrickou. Užíváme proto pro ně stejné označení.

9 Substituce v trojných integrálech Věta echť je funkce ( ) Pak platí f xyz integrovatelná na válci C C ; 0 0 x yz x y r zh. h r0 h r 0 f ( x y z) dxdydz f( r z) rdrddz f ( r z) rdr ddz. kde f ( r z) f rcos rsin z ntegrace v kulových (sférických) souřadnicích Souřadnice r 0 0 a 0 které souvisejí s kartézskými souřadnicemi prostřednictvím vztahů x rcossin y rsinsin z rcos nazýváme souřadnicemi kulovými. Věta echť je funkce ( ) platí f xyz integrovatelná na kouli S x yz ; x y z r 0. Pak r0 r 0 f ( x y z) dxdydz f( r )sin r drdd f ( r ) r dr dsind S kde f( r ) f rcossin rsinsin rcos