NĚKTERÁ POUŽITÍ INTEGRÁLU GEOMETRICKÉ APLIKACE

Transkript

1 NĚKTERÁ POUŽITÍ INTEGRÁLU V této kpitole budou ukázány jednoduché plikce integrálu. Důležitější než výsledné vzorce jsou všk postupy, které k nim vedou. GEOMETRICKÉ APLIKACE OBSAH NĚKTERÝCH ROVINNÝCH OBRAZCŮ Měření obecných podmnožin Euklidovských prostorů je obtížné ( v některých přípdech nemožné). Touto situcí přesným mtemtickým přístupem se zbývá teorie míry (viz kpitolu 30). Některé ne zcel přesné části této kpitoly budou upřesněny i v kpitolách o funkcích více proměnných. Zde bude pojednáno o měření jednodušších speciálních množin, které všk jsou zákldem pro většinu přípdů objevujících se v prxi. Pro,,velikost" některých podmnožin R n se používá různých termínů, npř. délk pro intervly v R, obsh pro geometrické obrzce v R 2, objem pro těles v R 3. Zčíná se měřením podmnožin R. Mírou intervlu I n přímce s koncovými body, b je jeho délk b bez ohledu n to, zd je to intervl otevřený, uzvřený nebo polootevřený (tj, hrnice tu nehrje žádnou roli). Stejný vzorec lze použít i pro bod (degenerovný intervl [, ]), což znmená, že mír bodu (přesněji mír jednobodové množiny) je 0. V Poznámkách je návod, jk určit míru některých složitějších množin reálných čísel. Množin se rozřeže rovnoběžnými řezy n úzké proužky, které se djí při jejich velmi mlé šířce povžovt z obdélníky lze tedy spočítt jejich obsh. Sečtením ploch těchto obdélníků se dostne zhrub obsh obrzce. Rozřezáním množiny n proužky sečtením obshů obdélníků proximujících jednotlivé řezy se dostne zhrub mír množiny A. Pokud se bude šířk obdélníků zužovt, bude výsledné číslo míru lépe vyjdřovt. V limitě, tj. pro nekonečně mlou šířku obdélníků, se dostne hledná mír. Oznčí-li se A(t) mír průniku množiny A s kolmicí n osu x v bodě t, pk se může A(x) povžovt z míru množiny A, pokud vše použité rozumně existuje. Pro pochopení stčí se omezit n jednodušší množiny určené křivkmi, jko npř. množiny bodů ležící mezi grfy dvou funkcí nebo vnitřky uzvřených křivek. Nvíc jen tkové, že použité řezy jsou intervly body (možná někdy jejich sjednocení). Je-li 0 pro x [, b], je podle předchozího postupu obshem množiny {(x, y); x [, b], 0 y } integrál, což je v souldu s dřívějším popisem Newtonov integrálu. Obsh množiny bodů ležících mezi grfy dvou spojitých funkcí f, g n intervlu [, b] je P = g(x). Protože nebyl uveden žádná definice obshu rovinného obrzce, lze poslední rovnost chápt jko definici obshu uvedených množin. Pro množinu určenou prmetricky zdnou křivkou (x = ϕ(t), y = ψ(t) pro t (, b)) se použije předchozí vzorec P = y (= ) dostne se P = ψ(t)ϕ (t) dt. 1

2 Vzorec P = ψ(t)ϕ (t) dt vyjdřuje míru množiny bodů ležících mezi křivkou intervlem n ose x, který obshuje průmět křivky. Absolutní hodnotou odstrníme možné záporné znménko. Je-li grfem jednoduchá uzvřená křivk (pro přesnou definici viz kpitolu 22), udává vzorec obsh vnitřku této křivky. P = ψ(t)ϕ (t) dt U polárně zdných křivek (r = ρ(t) pro t (α, β)) je proměnnou úhel hodnotou vzdálenost bodu od počátku. Při velmi mlé změně dt úhlu t změn r vyplní,,křivý" trojúhelník s vrcholem v počátku, úhlem při vrcholu rovným dt výškou z počátku n protilehlou strnu rovnou r. Velikost protilehlé strny je, pro velmi mlý úhel dt, rovn r dt. Obsh vzniklého trojúhelník je tedy roven (1/2) r r dt. Součet všech těchto obshů, tj. integrál P = 1 β ρ 2 (t) dt, pro 0 α < β 2π, 2 α určuje míru množiny bodů ležících mezi křivkou přímkmi procházejícími počátkem svírjícími s kldnou částí osy x úhly α, β, resp. Mír množiny A by smozřejmě neměl záviset od jejího posunutí nebo otočení. Nezávislost předchozího přístupu n posunutí se ukáže sndno (viz Otázky). Pro otočení je to složitější. Speciálním přípdem otočení (o 90 o ) je postup, kdy se vezme projekce A n osu y použijí se míry B(u) řezů rovnoběžných s osou x, tj. průniku A s kolmicí n osu y v bodě u. To znmená, že integrál by se měl rovnt integrálu P y = B(u)du c P x = A(t)dt Poznámky 1 Příkldy 1 Otázky 1 Cvičení 1 OBJEM NĚKTERÝCH TĚLES Následující popis je opět vhodný pro velmi obecné podmnožiny R 3, le je lépe mít n mysli jen geometrická těles. Necht A je podmnožin prostoru R 3, jejíž průmět n osu x leží v intervlu (, b). Necht pro kždé t (, b) je A(t) mír průniku množiny A s rovinou kolmou n osu x v bodě t. Pk mír množiny A je V = A(x). 2

3 Podobně jko u rovinných obrzců je i v prostoru někdy vhodnější použít místo osy x jinou osu. Fubiniov vět opět tvrdí, že se pro hezké množiny dostne stejný výsledek. Je-li A rotční těleso, je počítání objemu jednodušší, protože je sndné spočítt plochu příslušných řezů (tj. kruhů). Necht těleso A vzniklo rotcí grfu funkce f n intervlu (, b) kolem osy x. Pk jeho objem je dán vzorcem V = π y 2 = π f 2 (x). Je-li grf funkce zdán prmetricky (x = ϕ(t), y = ψ(t), t (, b)), dostne se doszením z x, y do vzorce prmetrický tvr V = π y 2 = π f 2 (x). V = π ψ 2 (t)ϕ (t) dt. Má-li rotční těleso,,díru", tj, vznikne rotcí okolo osy x plochy ležící mezi grfy funkcí g f, odečte se od objemu pro funkci f objem pro funkci g: V = π (f 2 (x) g 2 (x)). Uvedenému postupu pro získání předešlých vzorců se říká metod disků nebo mezikruží je odvozen z postupu pro objem obecných těles. Pro rotční těles lze zvolit i jiný postup, tzv. metodu válců, kdy těleso chápeme jko sjednocení tenkých válců s osou stejnou jko je rotční os těles. Necht těleso A vzniklo rotcí grfu funkce f n intervlu (, b) kolem osy x. Pk jeho objem je dán vzorcem 2π y p(y) dy, 0 kde d je mximum funkce f n (, b) p(t) je délk průniku přímky y = t s množinou {(x, y); 0 y }. Poznámky 2 Příkldy 2 Otázky 2 Cvičení 2 DÉLKA ROVINNÝCH KŘIVEK Délk L nějké křivky (čáry) z bodu A do bodu B se zjistí sečtením jejích velmi mlých úseků ds, které je možné povžovt z úsečky, tj. B L = ds. A Úsečk ds je přeponou prvoúhlého trojúhelník se strnmi dy. Tedy je ds = 2 + dy 2 = 1 + ( dy ) 2. Podle zdání křivky (jko funkce, prmetricky, polárně) se z y nebo x dosdí příslušné funkce dostne se 3

4 b 1. L = 1 + f 2 (x), je-li y =, x (, b); 2. L = ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt, je-li x = ϕ(t), y = ψ(t), t (, b); β 3. L = ρ 2 (t) + ρ 2 (t) dt, je-li r = ρ(t), t (α, β). α Poznámky 3 Příkldy 3 Cvičení 3 POVRCH ROTAČNÍCH TĚLES Podobně jko se odvodil obsh z délky nebo objem z obshu, dá se odvodit povrch těles z délky křivky. Pro šířku ds se použijí výrzy z předchozí části o délce křivek dostne se: b S = L(x) ds = L(x) 2 + dy 2 = L(x) 1 + ( dy ) 2. Jestliže těleso A vzniklo rotcí grfu funkce f n intervlu (, b) kolem osy x, pk je jeho povrch dán vzorcem 2π 1 + f 2 (x), Je-li grf funkce zdán prmetricky (x = ϕ(t), y = ψ(t), t (, b)), použije se vzorec 2π ψ(t) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt. V přípdě polárně zdné křivky (r = ρ(t), t (α, β)): Poznámky 4 Příkldy 4 Cvičení 4 β 2π ρ(t) sin(t) ρ 2 (t) + ρ 2 (t) dt. α FYZIKÁLNÍ APLIKACE V této kpitole bude uvedeno jen několik zákldních plikcí v mechnice. V pozdějších kpitolách budou při různých příležitostech uvedeny dlší plikce integrálu ve fyzice. POHYB Jestliže se bod pohybuje po přímce (npř. po ose x) znčí-li s(t) souřdnici bodu v čse t, je s (t) okmžitá rychlost v(t) v čse t v (t) = s (t) okmžité zrychlení v čse t. Je-li tedy dán závislost rychlosti n čse funkcí v(t), není v(t) dt = s(b) s() ujetá vzdálenost, le změn polohy pohybujícího se bodu. 4

5 Ujetá délk cesty od okmžiku t = do okmžiku t = b se spočte integrálem v(t) dt. TĚŽIŠTĚ Zhrub řečeno, soustředí-li se do těžiště těles hmotnost celého těles, pk (tíhové) momenty (vzhledem k nějkým osám) těžiště celého těles se rovnjí. Podobně jko u výpočtu velikosti množin je i u zjišt ování těžiště vhodné zčít u jednodimenzionálních objektů (tj. drátů) postupně zvyšovt dimenzi. Vzhledem k pozdějšímu sndnějšímu přístupu pomocí integrálu funkcí více proměnných plošných integrálů bude zvyšování dimenze ukončeno u rovinných desek. Nejjednodušší je přípd, kdy drát je rovný pk ho lze umístit n kldnou osu x s jedním koncem do počátku druhým do bodu d, kde d je délk drátu. Hustot h je funkce definovná n intervlu [0, d]. Těžiště zřejmě bude ležet n ose x, řekněme v bodě T. Podle úvodního vysvětlení musí být moment drátu roven momentu těžiště, což je T.M (počítá se moment vzhledem k počátku). Moment drátu se spočítá podobně jko hmotnost,,sečtením" momentů všech bodů tedy se rovná 0xh(x). Odtud vyplývá vzorec pro těžiště: T = 0xh(x). 0h(x) Necht je nyní drát zhnutý, npř. je grfem funkce y = n intervlu (, b). V bodě (x, ) má drát hustotu h(x). Hmotnost M drátu se opět spočte,,sečtením" hmotností jednotlivých dílků ds je tedy rovn h(x) ds = h(x) 1 + f 2 (x). Necht má těžiště souřdnice (T x, T y ) má hmotnost M. Jeho momenty vzhledem k osám x, y budou momenty drátu vzhledem k těmto osám. Moment M x drátu vzhledem k ose x je součet momentů jednotlivých dílků, tj. yh(x) ds = h(x) 1 + f 2 (x). Moment M y vzhledem k ose y je roven xh(x) 1 + f 2 (x). Porovnáním momentů M x M y se dostnou vzorce T x = xh(x) 1 + f 2 (x) b h(x) 1 + f 2 (x), T y = h(x) 1 + f 2 (x) h(x). 1 + f 2 (x) Necht je nyní h = 1; pk je hmotnost drátu rovn jeho délce L. Vynásobíte-li vzorec pro T y jmenovtelem dále číslem 2π, dostnete 2πT y.l = S, kde S je povrch rotčního těles vzniklého rotcí drátu okolo osy x. Uvedená rovnost říká, že tento povrch je rovný ploše válcové plochy o poloměru T y výšce L. Tomuto vzorci se někdy říká Guldinovo prvidlo pro rotční plochy: VĚTA. Ploch rotčního těles vytvořeného rotcí rovinné křivky C kolem přímky p je rovn násobku délky křivky C obvodu kružnice o poloměru rovném vzdálenosti těžiště křivky C od p. Tenkou rovnou desku (npř. plech) je možné pokládt z množinu v rovině, n kterém je definován funkce h(x, y) udávjící hustotu v bodě (x, y). 5

6 Při výpočtu těžiště desky lze postupovt stejně jko u výpočtu těžiště drátu. Ztím všk není definován integrál přes množiny v rovině tk je nutné postup rozdělit. Výpočet hmotnosti je podobný výpočtu plochy. Uděljí se řezy desky kolmé npř. n osu x zjistí se jejich hmotnosti ty se pk,,sečtou". Je-li desk npř. množinou bodů ležících mezi grfy dvou funkcí ({(x, y); x (, b), g(x) y }) hustot je dán funkcí h(x, y), pk hmotnost M je rovn ( M = g(x) ) h(x, y) dy. Stejným způsobem se určí momenty desky vzhledem k osám x, y: určí se moment vzhledem k ose x řezu desky kolmého n osu x tyto momenty se,,sečtou". Dostne se ( ) M x = yh(x, y) dy. g(x) podobně se vypočte M y. Pro těžiště se tedy získjí vzorce ) ( g(x) xh(x, y) dy b ) ( g(x) T x = ), T y = ( yh(x, y) dy g(x) h(x, y) dy b ) ( g(x) h(x, y) dy. Necht je nyní h = 1; pk je hmotnost desky rovn jeho obshu P. Podobně jko u drátu se úprvou vzorce pro T y dostává 2πT y.p = 2π (f 2 (x) g 2 (x))/2 = V kde V je objem rotčního těles vzniklého rotcí plechu okolo osy x. Podobně jko u plochy rotčního těles je tedy i objem počítán jko by byl zákldní ploch, která rotuje, soustředěn do těžiště to obíhlo kolem osy x. Tomuto vzorci se někdy říká Guldinovo prvidlo pro rotční objemy: VĚTA. Objem rotčního těles vytvořeného rotcí rovinné množiny A kolem přímky p, neprotínjící množinu A, je rovn násobku obshu množiny A délky kružnice o poloměru rovném vzdálenosti těžiště množiny A od p. SÍLA, PRÁCE Klsický vzorec W = F d vypočítává práci W vykonnou působením síly F po dráze délky d (síl působí ve směru dráhy). Necht ve směru osy x působí síl velikosti F (x) v bodě x. Její práce n úseku je rovn (n tk mlém úseku lze povžovt sílu z konstntní). W = F (x). Je-li desk ponořen kolmo do kpliny, působí n mlý dílek desky hydrosttická síl hx (z jedné strny desky), kde h je hustot kpliny x je vzdálenost dílku od hldiny kpliny. Je-li l(x) délk množiny bodů desky, které jsou všechny vzdálené x od hldiny, je hydrosttická síl působící n tuto množinu rovn hxl(x) celková hydrosttická síl působící n jednu strnu desky je tedy hxl(x), kde, b jsou nejmenší, resp. největší, vzdálenosti bodů desky od hldiny. Mění-li se hustot kpliny s hloubkou, místo h se píše h(x). Příkldy 5 Cvičení 5 6