MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE

Transkript

1 VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ MILOSLAV ŠVEC MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE MODUL KARTOGRAFICKÁ ZKRESLENÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

2 Matematická kartografie Modul Miloslav Švec, Brno (14) -

3 Obsah OBSAH 1 Úvod Cíle Požadované znalosti Doba potebná ke studiu Klíová slova...5 Kartografická zkreslení Délkové zkreslení a podmínka konformity...8. Hlavní smry, afinita mezi obrazem a originálem, elipsa zkreslení Zkreslení azimutu a úhlu Zkreslení plošné P Výpoet zkreslení pi známých hlavních paprscích a, b Zkreslení geodetické kivosti v konformním zobrazení Závr Shrnutí Studijní prameny Seznam použité literatury Seznam doplkové studijní literatury Odkazy na další studijní zdroje a prameny (14) -

4

5 Úvod 1 Úvod 1.1 Cíle Matematická kartografie patí k základním teroretickým pedmtm studijních program geodézie a kartografie. Vytváí pedpoklady pro zvládnutí obecných a praktických úloh jak obecné geodézie, tak pedevším obecné kartografie. Moduly pedmtu jsou koncipovány jako ucelené celky. Pesto na sebe teoreticky navazují. Opora Matematická kartografie je tvoena tmito moduly: Referenní plochy a souadnicové systémy Kartografická zkreslení Kartografické zobrazení Jednoduchá zobrazení Nepravá azimutální zobrazení 1. Požadované znalosti Pedmt vyžaduje dobré matematické základy. Jedná se o zvládnutí základ matematické analýzy, pedevším diferenciálního potu jedné a více promnných, integrálního potu, základ diferenciálních rovnic a nkterých partií deskriptivní a diferenciální geometrie. 1.3 Doba potebná ke studiu Pedmt je vyuován jako povinný v prvním roníku navazujícího magisterského studijního programu Geodézie a kartografie v rozsahu hodiny pednášky a 1 hodiny cviení za týden, tedy celkem 39 hodin za semestr. Jako u každého teoretického pedmtu se pedpokládá alespo stelná asová zátž pi samostudiu. 1.4 Klíová slova Matematická kartografie, referenní plocha, zobrazení, mapa, elipsoid, souadnicové soustavy - 5 (14) -

6

7 - 7 (14) - Závr

8 Matematická kartografie Modul Kartografická zkreslení Kartografické zobrazení Kartografické zobrazení Projekce Zobrazovací rovnice kartografické zobrazení x mat. zobrazení vzájemné piazení polohy bod dvou rzných referenních ploch speciální typ zobrazení vzniklého promítáním jednoznaný vztah mezi souadnicemi bod na obou referenních plochách Píklad zobrazovací rovnice pi zobrazení elipsoidu do roviny ( ϕ, λ), y g( ϕ, λ) X f, f, g spojité, nezávislé, diferencovatelné funkce jednojednoznané Pól je singulární bod nemusí tuto podmínku splovat kivka Referenní plochy mají rznou kivost zkreslení V kartografii je referenní plochou originálu elipsoid nebo koule, referenní plochou obrazu rovina (zobrazuje se i rotaní elipsoid na kouli). Zkreslení délkové m Zkreslení úhlové Zkreslení plošné P - pomr délkových element v obraze a originálu - rozdíl velikosti smrníku (úhlu) v obraze a originálu - pomr plošných element v obraze a originálu.1 Délkové zkreslení a podmínka konformity P A ds D d λ S P d +X ds P d dx P dy J O +Y - 8 (14) -

9 Závr Délkové zkreslení m A elementu ds o azimutu A m ds dx + dy A ds M dϕ + N cos ϕ dλ d λ ( f + g ) + ( f + g ) + ( f f + g g ) ϕ ϕ λ λ ϕ λ dϕ m A d λ M + N cos ϕ dϕ tg A PD DPd N cosϕ d λ M dϕ d λ dϕ ϕ d λ λ dϕ ma ( f g g ) f g ϕ + ϕ f g f cos λ + λ ϕ λ + ϕ λ A + sin A + sin Acos A M N cos ϕ MN cosϕ Pro A 0 o dostaneme zkreslení m p v poledníkovém elementu, pro A 90 o zkreslení m r v elementu rovnobžkovém mp fϕ + g ϕ fλ + gλ, mr M N cosϕ p Celkem ma ( f + g g ) fϕ λ ϕ λ MN cosϕ mp cos A + mr sin A + p sin Acos A Podmínka konformního (stejnoúhlého) zobrazení m m, p 0 m m p r A p m r. Hlavní smry, afinita mezi obrazem a originálem, elipsa zkreslení d Hlavní paprsky (hlavní smry) m A 0 d A nebo d m A d A 0. tg Aε p m p m r - 9 (14) -

10 Matematická kartografie Modul o Existují odtud dva úhly A ε, A A 90 1 ε + ε a délková zkreslení v tchto 1 navzájem kolmých smrech jsou extremální. Diferencováním obecných zobrazovacích rovnic dostaneme d X f dϕ + f d λ, dy g dϕ + ϕ λ ϕ gλ d λ To je definice afinního zobrazení, mezi originálem a obrazem existuje afinní vztah. V daném bod existuje jediná dvojice vzájemn kolmých paprsk, jejichž obrazy jsou rovnž kolmé hlavní paprsky Délková zkreslení a, b urují v tchto bodech elipsu zkreslení (Tissotova indikatrix) V konformním zobrazení je Tissotova indikatrix kružnice.3 Zkreslení azimutu a úhlu S +X µ p A d λ A s ds D P µ obr. meridianu J Protože úhel je rozdíl dvou azimut, staí se zabývat zkreslením azimutu (14) -

11 Závr Platí o tg( 180 A ) tg( µ µ ) tg µ tg µ p dy d X gϕ fϕ p gϕ N cosϕ cos A + fϕ N cosϕ cos A + tg µ p tg µ 1 + tg µ p tg µ gλ M sin A fλ M sin A Odtud uríme A, rozdíl (A A) je zkreslení v azimutu Pro úhel obrazu meridiánu a rovnobžky platí tgθ fλgϕ fϕgλ fϕfλ + gϕgλ +X µ p obr. rovnobžky θ P µ r obr. meridianu Pro zkreslení úhlu mezi poledníkem a rovnobžkou platí 90 o. Tedy tgθ O +Y fϕfλ + gϕgλ fλgϕ fϕgλ itatel je roven parametru p, který je pro konformní zobrazení roven nule. Zkreslení úhlu mezi poledníkem a rovnobžkou je rovno nule, 90 o geografická sí zachovává v konformním zobrazení ortogonalitu i v obraze.4 Zkreslení plošné P Podle obrázku je P 1 d p d r śinθ 1 d p d r mpmr sinθ fϕgλ fλgϕ MN cosϕ - 11 (14) -

12 Matematická kartografie Modul elipsoid rovina P 1 +X P 1 dp dp 90 o P dr meridián P rovnobžka P θ dr P +Y Stejnoploché (ekvivalentní) zobrazení: P 1 fϕgλ fλgϕ MN cosϕ To je obecná podmínka ekvivalentního zobrazení..5 Výpoet zkreslení pi známých hlavních paprscích a, b ξ ξ ξ α η dρ P 1 ξ α η ds P 1 P η P η ξ + η d ρ ξ a d ρ + η b d ρ 1-1 (14) -

13 Závr Zkreslení délkové Zkreslení úhlové Zkreslení plošné α m a cos α + a tgα tgα b P a b b sin α.6 Zkreslení geodetické kivosti v konformním zobrazení Geodetická kivost γ Oznaení kivost pravoúhlého prmtu kivky do tené roviny plochy v daném bod γ - geodetická kivost na referenní ploše Γ - geodetická kivost obrazu kivky d 90 o ds c 90 o dt dt a 90 o δ ds 90 o b Pro konformní zobrazení platí Pro geodetické kivky (γ 0) 1 Γ γ + m 1 Γ m m t 1 m m t 1 m m T Zkreslení geodetické kivky je závislé na délkovém zkreslení v daném bod a na zmn délkového zkreslení ve smru kolmém na geodetickou kivku. Isometrické kivky spojnice bod stejného délkového zkreslení, umožují posoudit zkreslení geodetické kivosti - 13 (14) -

14 Matematická kartografie Modul 3 Závr 3.1 Shrnutí Kartografické zkreslení je základní charakteristikou každého kartografického zobrazení. Modul uvádí pehled metod výpotu kartografických zkreslení pro jednotlivé typy zobrazení. Popisuje záklední úlohu matematické kartografie a uvádí základní typy referenních ploch a souadnicových systém. 3. Studijní prameny 3..1 Seznam použité literatury [1] Hojovec, V. a kol. Kartografie, GPK Praha Seznam doplkové studijní literatury [] Daniš, M., Valko, J. Matematická kartografia, SVŠT Bratislava 1987 [3] Srnka, E. Matematická kartografie, VAAZ, Brno 1977 [4] Böhm, J. Matematická kartografie, VŠT, Brno Odkazy na další studijní zdroje a prameny [5] [6] [7] [8] (14) -