Pružnost a pevnost I

Transkript

1 Stránka 1 teoretické otázk 2007 Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1 OBSAH: 1. Tenzor napětí 2. Věta o sdruženosti smkových napětí 3. Saint Venantův princip 4. Tenzor deformace (přetvoření) 5. Geometrická reprezentace tenzoru deformace (přetvoření) 6. Hookův zákon 7. Práce síl při deformaci tělesa 8. Věta o superpozici 9. Věta o vzájemnosti prácí Bettiho věta 10. Věta Castiglianova 11. Výsledné vnitřní účink prutů (VVÚ) 12. Prostý krut 13. Prostý tlak a tah 14. Prostý ohb 15. Tlakové namáhání prutu ze skutečného materiálu 16. Hlavní souřadnicový sstém 17. Zvláštní tp napjatosti trojosá (prostorová) napjatost 18. Zvláštní tp napjatosti dvojosá (rovinná) napjatost 19. Zvláštní tp napjatosti jednoosá (přímková) napjatost 20. Zvláštní tp napjatosti nulová napjatost 21. Grafické znázornění napjatosti

2 Stránka 2 1. Tenzor napětí σ τ τ z = τ σ τ z τ τ σ z z z σ i (i =,, z) jsou normálová napětí τ ij (i, j =,, z; i j) jsou smková napětí Napjatost v bodě tělesa je jednoznačně čena tenzorem napětí. 2. Věta o sdruženosti smkových napětí Smková napětí působící ve vzajemně kolmých elementarních řezech kolmo k jejich průsečnici jsou stejně veliká a orientovaná buď k průsečnici, nebo od ní. 3. Saint Venantův princip Nahradíme-li v čité oblasti tělesa jednu silovou soustavu jinou, statick ekvivalentní soustavou, pak napjatost tělesa je pro obě zatiženi praktick stejná s vjimkou blízkého okolí oblasti náhrad, jehož rozměr δ jsou srovnatelné s rozměr této oblasti. 4. Tenzor deformace (přetvoření) γ γ z ε 2 2 γ γ z = ε 2 2 γ γ z z εz 2 2 ε i (i =,, z) jsou délková přetvoření γ (i, j =,, z; i j) jsou úhlová přetvoření ij Deformace v bodě tělesa je poměrná deformace elementárního prvku tělesa, který tento bod tělesa obsahuje. Je popsána tenzorem přetvoření. 5. Geometrická reprezentace tenzoru deformace (přetvoření) Deformace elementární krchle je dána poměrnými změnami délek tří jejich hran a tří uhlů mezi jejími stěnami.

3 Stránka 3 6. Hookův zákon Závislost mezi napětím σ a přetvořením ε je u oceli lineární, dostáváme tak materiál lineárně pružný, jehož vlastnosti popisuje Hookův zákon. - Závislost mezi napětím σ a přetvořením v podélném směru: σ = E ε E Yongův modul pružnosti v tahu - Délková přetvoření lze čit ze vztahu: ε = ε = µ ε µ součinitel příčné kontrakce (Poissonovo číslo) z - Smková napjatost v rovině: τ = G γ G modul pružnosti ve smku: E G = 2 1 +µ - Obecný Hookův zákon: Popisuje lineární závislost každé složk tenzoru napětí na všech složkách tenzoru přetvoření. 7. Práce síl při deformaci tělesa Každá síla, jejíž působiště se posunuje, koná práci: uf u K FK 2 2 cuf F 1 K K F = F = F F = = = K FK c 2 A Fdu cu du Fu Integrál si lze geometrick představit jako plochu pod křivkou v grafu F = F (u F ) a při lineární závislosti sil a posuvu odpovídá obsahu znázorněného trojúhelníka. 8. Věta o superpozici Napjatost a deformace tělesa zatíženého silovou soustavou je v lineární pružnosti rovna součtu napjatostí a deformací způsobených jednotlivými silami této soustav. 9. Věta o vzájemnosti prácí Bettiho věta Při působeni F1 a F 2 na lineárně pružné těleso platí, že práce sil F1 na složkách deformace vvolaných silou F 2 je rovna práci sil F 2 na složkách deformace vvolaných silou F1. F1 u12 = F2 u21

4 Stránka Věta Castiglianova Působi-li na lineárně pružné těleso (soustavu) silová soustava, pak posuv u J působiště sil F J po její nositelce je dán parcialní derivací celkové energie napjatosti tělesa (soustav) podle této síl. W uj = FJ u Úhel natočení ϕ J přímk spojené s působištěm silové dvojice M J v rovině jejiho působení je dán parcialní derivaci celkové energie napjatosti tělesa (soustav) podle této dvojice. W ϕj = M 11. Výsledné vnitřní účink prutů (VVÚ) J Schwedlerova věta: dn d = q N dt d = q T dmo d = T q T spojité zatížení, T( ) posouvající síl 12. Prostý krut Tenzor napětí v krutu: 0 τ 0 τ ϕ = τϕ = τ τσ = τ 0 0 τ jsou smková napětí Tenzor deformace: γ γ = γ ϕ = γ = ρϑ γ úhlové přetvoření 13. Prostý tlak a tah V prutu vzniká trojosý stav deformace, tenzor deformace: ε = 0 ε ε z V prutu vzniká jednoosá napjatost, tenzor napětí: σ =

5 Stránka Prostý ohb V každém bodě prutu vzniká obecný trojosý stav deformace, popsaný tenzorem deformace: U prostého ohbu vzniká v bodech prutu jednoosá napjatost, která ale na rozdíl od prostého tahu není homogenní, tenzor jednoosé napjatosti: ε = 0 ε ε z σ = Proměnnost ohbového momentu podél střednice maimální smkové napětí v obdélníkovém a kruhovém průřezu: 3 2 T S τ = ma ma τ = 4 T 3 S 15. Tlakové namáhání prutu ze skutečného materiálu Závislost tlakového napětí σ kr v bodě rozdvojení rovnováh na štíhlosti prutu λ je hperbolou vššího stupně (Eulerova hperbola). 16. Hlavní souřadnicový sstém Tenzor napětí v hlavním souřadnicovém sstému: σ = 0 σ σ 3 Hlavní napětí je normálové napětí v takové rovině, v niž jsou smková napětí rovna u u nule (tj. obecné napětí v řezu je kolmé k tomuto řezu ( f ρ = σ ρ )).

6 Stránka Zvláštní tp napjatosti trojosá (prostorová) napjatost 1) Obecná: σ1 σ2 σ3 0 2) Polorovnoměrná: a) σ = σ 0, σ 0 b) σ = σ 0, σ ) Rovnoměrná: σ1 = σ2 = σ3 = σ 18. Zvláštní tp napjatosti dvojosá (rovinná) napjatost 1) Obecná: a) σ = 0, σ σ b) σ = 0, σ σ c) σ = 0, σ σ 0 2) Rovnoměrná: a) σ = 0, σ = σ b) σ = 0, σ = σ 0 3) Prutová: Je dána normálovou a smkovou složkou napětí v příčném průřezu prutu. σ = σ 0, τ = τ 0 4) Smková: Je zvláštním případem prutové napjatosti pro σ = 0. Pak pro hlavní napětí platí: σ = σ = τ, σ =

7 Stránka Zvláštní tp napjatosti jednoosá (přímková) napjatost a) tahová σ > 0, σ = σ = 0 b) tlaková σ < 0, σ = σ = Zvláštní tp napjatosti nulová napjatost σ1 = σ2 = σ3 = Grafické znázornění napjatosti Nazývá se Mohrova kružnice napjatosti prostého tahu ( σ > 0 ) resp. tlaku ( σ < 0 ).