Experimentální stanovení entropie českého textu

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Experimentální stanovení entropie českého textu"

Transkript

1 Experimentální stanovení entropie českého textu Antonín Novák Tomáš Báča 4. dubna 2012 Abstrakt Práce se zabývá analýzou českého textu. Zkoumali jsme syntaktickou strukturu psaného jazyka pomocí nástrojů teorie informace, zejména entropie. Zjistili jsme, že český jazyk vykazuje velkou redundanci a tím silnou míru vnitřní struktury. Výsledkem práce je stanovení entropie češtiny a konstrukce prediktoru českého textu včetně implementace komunikačního kompresního kanálu založeného na znalosti pravděpodobnostního modelu českých znaků a slov. Motivace V roce 1950 C. E. Shannon [1] publikoval článek pojednávající o možnostech predikce anglického textu. Jeho experimenty byly založeny na myšlence, že anglický jazyk vykazuje velmi silná vnitřní pravidla syntaxe a při znalosti těchto pravidel není úplně náhodné, jaké písmeno či slovo bude následovat po tom, které už známe. Ukazuje se například, že pravděpodobnosti písmen následujících v souvislém anglickém textu po písmenu T nemají rovnoměrné rozdělení. Je to způsobeno např. tím, že v angličtině je nejčastějším slovem člen the tudíž je poměrně pravděpodobné, že po T bude následovat právě H a ne například Q. Tyto a jiné podněty dovedly Shannona k tomu zkoumat míru této vnitřní struktury syntaxe s využitím nástrojů teorie informace. Intuitivně lze očekávat, že méně entropický (později definujeme přesněji) text bude snadnější predikovat, jelikož je méně náhodný tudíž je svázán jistým množstvím pravidel, které jeho syntaktickou strukturu do jisté míry předurčují. Všechny používané logaritmy v této práci jsou dvojkového základu (pokud není uvedeno jinak). Definice Neformálně řečeno, rozumný způsob, jak definovat entropii textu, je nahlížet na konkrétní jazyk jako na informační zdroj ((X n ) n N ) nad abecedou χ, pro který existuje pojem rychlosti entropie (entropie na znak). Tento způsob definice se ukazuje být opodstatněný a přináší své výsledky [1]. Dle [2, s. 173] existuje několik způsobů, jak tuto rychlost entropie najít. Jedním z nich je například metoda stanovení horní a dolní hranice rychlost entropie pomocí sázek na následující písmena obdobně jako při sázkách na koně a výsledky interpretovat pomocí narůstajícího bohatství z případných výher. Tato partie teorie informace nazývána gambling je rozebrána v [2]. My jsme v naší práci postupovali podobně jako C. E. Shannon - výpočtem z definice. Pro to si nejprve musíme přesně zavést několik pojmů. Budeme tedy určovat entropii českého textu - jednou nad abecedou bez mezery a za využití pravděpodobností koncových a počátečních písmen a druhou pro abecedou obsahující mezeru. 1

2 Náhodné veličiny Písmeno Náhodná veličina X reprezentuje písmeno textu. Je to diskrétní náhodná veličina s rozdělením p X nad abecedou χ = {A,...,Ž, }. Písmeno CH, ačkoliv se jedná o dva znaky, uvažujeme jako jeden. Mezera je v abecedě χ přítomna při druhé variantě experimentu odhadování entropie. N-gram Náhodný vektor G N reprezentuje N-gram českého textu (N náhodných veličin X). Je definován pomocí p N, kde p N je pravděpodobnostní rozdělení N-gramu nad množinou všech N- gramů (uspořádaných n-tic písmen) χ N. Například množina 2-gramů (digramů) je χ 2 ={AA,...,ŽŽ} ve variantě abecedy bez mezer. Čeština je náhodný proces ((X n ) n N ) nad abecedou χ, který považujeme za stacio- Čeština nární. Střední podmíněná entropie písmena Střední podmíněná entropie písmena X podmíněná (N-1)-gramem je: H N = H(X G N 1 ) = = p N 1 (y)h(x G N 1 = y) = y χ N 1 = p N (yx)log p N(yx) p N 1 (y) a vyjadřuje průměrné množství informace, kterou se dozvíme při pozorování X při předcházející znalosti předchozích N-1 písmen. Mezní rychlost entropie Mezní rychlost entropie náhodného procesu ((X n ) n N ) je definována jako limita posloupnosti středních podmíněných entropií a tedy platí: Výpočet H((X n ) n N ) = lim N H N (2) Jak jsme již zmínili výše, experiment jsme provedli pro dvě různé abecedy χ - s mezerou a bez mezery. CH bylo považováno za jedno písmeno. Všechna data vycházejí z 700 MB českého textu s diakritikou pocházejícího z české a světové literatury, který byl vhodně zpracován počítačem. (1) Odhady pravděpodobnostních rozdělení X a G N Rozdělení p X Pravděpodobností rozdělení p X odhadneme pomocí relativní četnosti písmen nad zkoumanými daty. Pro ilustraci uvádíme v tabulce 1 prvních osm nejčetnějších písmen. Rozdělení digramu G 2 Podobným způsobem odhadneme pravděpodobnostního rozdělení veličiny G 2. Výsledkem je rozdělení p 2. Na obrázku 1 vidíme, že pravděpodobností rozdělení p 2 není rovnoměrné - z toho je zřejmé, že syntaxe češtiny vykazuje vnitřní strukturu a slova jazyka se negenerují ze všech n-tic písmen rovnoměrně. Důkaz nerovnoměrnosti tohoto rozdělení není pro nás klíčový, proto jej ponecháváme bez důkazu jen pro ilustraci. Abeceda má uspořádání: A-Z, Á-Ž, CH. 2

3 písmeno pst. e o a n l t s i Tabulka 1: Nejčetnější písmena češtiny Obrázek 1: Pravděpodobnostní rozdělení digramů Rozdělení trigramu G 3 Odhad pravděpodobností trigramů p 3 pro případ abecedy χ obsahující mezeru je analogický s odhadem p 2. Pokud mezeru nepovažujeme za znak abecedy, postup stanovení rozdělení se mírně změní. Musíme vzít v úvahu i trigramy, které spojují dvě po sobě jdoucí slova. Například v sousloví hnijící koudel bychom rádi započítali výskyt trigramů cík a íko. Formule popsaná v [1], pomocí které upravíme odhadnuté pravděpodobnosti, vypadá následovně: p 3 (y 1 y 2 y 3 ) = ˆp 3(y 1 y 2 y 3 ) p T (y 1 )p 2 (y 2 y 3 ) p 2(y 1 y 2 )p S (y 3 ) (3) kde p S (y 1 ) je pst. že písmeno y 1 je začínajícím znakem slova, p T (y 3 ) je pst, že y 3 je koncovým znakem slova. Hodnota 5.83 je průměrná délka českého slova délky větší než 3 a vážena výskytem slova v textu je průměrný počet trigramů uvnitř českého slova. ˆp 3 je odhad na základě četnosti trojic písmen uvnitř slova. Tuto úpravu Shannon použil v [1] za předpokladu nezávislosti počátečního písmena jednoho slova a konečného písmena. Výpočtem s takto upraveným pravděpodobnostním rozdělením jsme dostali hodnotu H 3 větší než H 2, což indikuje chybu odhadu rozdělení. Proto soudíme, že tato metoda není pro češtinu 3

4 možná a dále pokračujeme s původními pravděpodobnostmi p relativni cetnost poradi cetnosti Obrázek 2: Sestupně seřazené pravděpodobnosti trigramů v log-log měřítku Četnosti slov 4-gramy a více již nebudeme konstruovat z podobných důvodů jako uvádí Shannon [1] - věrohodnost však takových dat je již daleko nižší než v případě trigramů. Lepším způsobem pro další aproximaci limity posloupnosti H N je použít četnosti slov. V [3] Zipf postuloval, že rovnice (4) platí pro mnoho různých jazyků. p n je relativní četnost n-tého nejčastějšího slova. My jsme pro češtinu určili tvar této rovnice (5). p n = k n (4) p n = { 0.03/n 0.6 n /n n > 10 Na obrázku 3 vidíme v log-log měřítku četnosti nejčastějších českých slov. Modře jsou vyznačena naše data, červeně aproximace k = 0.1 pro angličtinu dle Shannona [1]. Zeleně je naše aproximace (5) pro češtinu. Rychlost entropie Pro stacionární náhodné procesy (a češtinu za něj považujeme) platí věta, že rychlost entropie se rovná mezní rychlosti entropie: 1 H((X n ) n N ) = lim n n H(X 1,..., X n ) = H((X n ) n N ) Pro výpočet mezní rychlosti entropie použijeme vztah (2). Začneme postupně rozepisovat jednotlivé členy posloupnosti. Při prvním přiblížení uvažujeme jen počet písmen v abecedě (bez mezery): H 0 = log χ = 5.39 bits/znak (6) (5) 4

5 10 2 a data aproximace 2. radu aproximace 1. radu 10 3 kde pst. slova v textu dobre zarizení 10 6 nevydrzel 10 7 vtipnou poradi cetnosti slova Obrázek 3: Sestupně seřazené pravděpodobnosti slov v log-log měřítku Ve druhém uvažujeme jejich samotné četnosti: H 1 = x χ p X (x)log(p X (x)) = bits/znak (7) Pro výpočet dalších středních podmíněných entropií si výraz (1) přepíšeme do vhodnější formy: H N = H(X G N 1 ) = Čili bude platit: = = = = p N (yx)log p N(yx) p N 1 (y) p N (yx)[log(p N (yx)) log(p N 1 (y))] p N (yx)log(p N (yx)) p N (yx)log(p N 1 (y)) p N (yx)log(p N (yx)) + p N (yx)log(p N (yx)) + log(p N 1 (y)) p N (yx) } {{ } =p N 1 (y) y χ N 1 log(p N 1 (y))p N 1 (y) (8) 5

6 H 2 = H(X G 1 ) = p 2 (yx)log(p 2 (yx)) + log(p 1 (y))p 1 (y) y χ 1 y χ 1 x χ } {{ } = H 1 = = bits/znak a velmi podobně také pro trigramy: H 3 = H(X G 2 ) = p 3 (yx)log(p 3 (yx)) + log(p 2 (y))p 2 (y) (10) y χ 2 y χ 2 x χ = = bits/znak Při odhadu pravděpodobnostních rozdělení jsme diskutovali, že dále budeme postupovat podle aproximace pomocí četnosti slov rovnicí (5). Aby p n byla pravděpodobnost, musí pro ní platit: (9) p n = 1 (11) n=1 Je zřejmé že suma z rovnice (11) diverguje a tudíž součet nemůže být až do nekonečna. Hodnota n, pro kterou se p n = 1 je Bez jakéhokoliv nároku na lepší odhad entropie slova ji stanovujeme jako: H w = p n log(p n ) = bits/slovo = 2.07 bits/znak (12) n=1 Otázkou zůstává, s jakou hodnotou H N toto číslo ztotožnit. Ačkoliv je průměrná délka českého slova 5.83 znaků, tak entropie slova na znak je nižší než hodnota H Důvodem, který zmiňuje i Shannon v [1], je, že slovo jazyka vykazuje silnější vnitřní strukturu než uspořádaná 6tice písmen, což vyústí v menší entropii bloku písmen poskládaného do slova, jakožto jazykové jednotky se silnou strukturou. Lze soudit, že entropie slova přísluší hodnotě přibližně H 7 či H 8. abeceda H 0 H 1 H 2 H 3 H w 42 p p Tabulka 2: Posloupnost podmíněných entropií Vidíme, že jsou v podstatě zanedbatelné rozdíly mezi abecedou obsahující mezeru a abecedou bez mezery. Pokud češtinu modelujeme 2-Markovským modelem písmen, pak je její entropie rovna přibližně 3.17 bitů na písmeno. Pokud přistoupíme k modelování pomocí N-Markovského řetězce slov (kde N není příliš velké), pak lze očekávat, že entropie bude menší než námi zjištěná hodnota 2.07 bitů na písmeno. Ze znalosti českého jazyka je zřejmé, že věrnějším odhadem bude N-Markovský řetězec slov, kde N není příliš velké. Proto definujeme-li redundanci českého jazyka procentuální poměr entropie na znak mezi nezávislým náhodným zdrojem a N-Markovským řetězcem slov, pak redundance bude přibližně 40%. Výsledky Entropie českého textu Zjistili jsme, že rozdíly v rychlosti entropie procesu nad abecedou obsahující mezeru a and abecedou bez mezery jsou zanedbatelné. Pokud češtinu modelujeme jako N-Markovkský řetězec 6

7 slov, kde N není příliš velké (jednotky), pak je rychlost entropie takového zdroje přibližně: Tabulky četnosti slov a písmen češtiny H(((X n ) n N )) = 2.07 bits/znak (13) Pro výpočet entropie bylo třeba zkonstruovat tabulky četností písmen, digramů, trigramů a četnosti slov. Tyto tabulky jsou součástí práce a uvolňujeme je pod licencí Creative Commons Attribution-NonComercial-ShareAlike 3.0 Unported. Prediktor textu 2-Markovský řetězec znaků Tento popis modeluje češtinu tak, že pravděpodobnost výskytu písmena je podmíněna dvěma předcházejícími. Tento popis přirozeně neposkytuje kvalitní predikci celých slov, avšak slouží dobře na predikci předložek, spojek či obecně kratších stavebních prvků češtiny. Následuje ukázka textu, který takový prediktor dokáže vygenerovat: jed_doostval_st_ja_př_sesi_e_dvalka řejake_sen měo_so_spro a_pjede_v_mustoabyto_a_pe_mne_přie_z_prby_ku_a_d_pako mijí_ ohou_pby_i_skte_žeale_stle_ný_kola_dbyl_veprol_nter_v_e_m_mu 2-Markovský řetězec slov Podobně jako se znaky můžeme zacházet i se slovy. Za pomocí předchozí analýzy jsme byli schopni zkonstruovat prediktor, který maximalizuje pravděpodobnost podmíněnou dvěma předchozími slovy. Jeho výstup pro představu je možné vidět zde: jednoho_dne_se_vrátí_do_své_kanceláře_a_zavřel_oči_a_pak_se_ otočil_a_zamířil_k_němu_a_řekl_jsem_a_on_se_na_něj_a_jeho_hlas _zněl_trochu_drsně_díky_žaludečním_šťávám_a_projít_se_po_něm Komunikační predikční kanál Ve své práci [1] Shannon popsal model komunikačního kanálu založeného na umístění identických prediktorů na vstupu a výstupu. Tento kanál přenáší prázdné kódové slovo, pokud prediktor správně na první pokus určí slovo na vstupu. Toto rozhodování provádí na základě znalosti předchozích znaků zprávy. Pokud se nepodaří správně určit znak napoprvé, tak se pokračuje sestupně přes všechny pravděpodobnosti a odešle se číslo iterace, kdy nastala shoda. Za předpokladu identičnosti prediktorů je pak možno odeslanou zprávu bezchybně rekonstruovat. Prázdné kódové slovo, jenž indikuje správnou predikci, je příhodné kódovat nejkratším možným kódovým slovem (např. nulovým bitem). Ostatní přenášená kódová můžeme kódovat běžným způsobem (např. Huffmanovým kódem). original text reduced text original text comparison comparison predictor predictor Obrázek 4: Shannonův model komunikačního kanálu dle [1] Čím bude lepší predikce, tím méně bitů je třeba přenášet. V extrémních případech lze předpokládat, že z jednoho počátečního písmena budu schopen na druhém konci rekonstruovat celou 7

8 zprávu. Naše implementace využívá 2-Markovského řetězce slov vytvořeného z cca. 200 MB českého textu. Při větší velikosti dat jsme se již potýkali s výkonovými problémy. Lze předpokládat, že lepší implementací by bylo možné dosáhnout lepších výsledků. Naše implementace pracuje jen s celými slovy. Proto když predikce není vůbec možná (z nedostatku dat), tak se odešle celé slovo najednou. Jednou námi navrhovaných změn je začlenění 2-Markovského řetězce znaků do predikce. Pro ilustraci uvádíme zprávu včetně jejího přenosu naší implementací kanálu: vstup: ahoj_tondo_píšu_ti_protože_bych_se_rád_zeptal_jak_se_máš_jakpak_se_má_tvůj_kocour _už_jsem_ho_dlouho_neviděl poslaná zpráva: ahoj_tondo_píšu_ti 1 bych jakpak_se kocour_už_jsem výstup: ahoj_tondo_píšu_ti_protože_bych_se_rád_zeptal_jak_se_máš_jakpak_se_má_tvůj_kocour _už_jsem_ho_dlouho_neviděl Závěr Podařilo se nám ověřit předpoklad, že syntaxe českého jazyka vykazuje vnitřní strukturu, která redukuje jeho entropii. Rychlost entropie češtiny za předpokladu, že je modelována N-Markovským řetězcem slov, kde N je přiměřeně malé (jednotky) je menší než 2.07 bits/znak. Tato poměrně malá míra entropie implikuje větší předurčenost textu a tím jeho snadnější predikovatelnost. Se znalostí pravděpodobnostího rozdělení písmen a slov českého jazyka jsme byli schopni zkonstruovat komunikační kanál popsaný v [1]. Vzhledem k zajímavým výsledkům této práce věříme, že si problematika entropie textů zaslouží další zkoumání. Reference [1] SHANNON, C. E. Prediction and Entropy of Printed English [2] THOMAS M. COVER, JOY A. THOMAS, Elements of Information Theory. 2nd editon, 2006 [3] ZIPF, G. K., Human Behavior and the Principle of Least Effort, Addison-Wesley Press,

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut.

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut. 1/24 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD 2/24 Cíl:

Více

Teorie informace II: obtížnější řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa

Teorie informace II: obtížnější řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa Teorie informace II: obtížnější řešené příklady 204 Tomáš Kroupa. Máme n mincí, z nichž nejvýše jedna je falešná. Pozná se podle toho, že má jinou hmotnost než ostatní mince (ty váží všechny stejně). Mince

Více

1. Základy teorie přenosu informací

1. Základy teorie přenosu informací 1. Základy teorie přenosu informací Úvodem citát o pojmu informace Informace je název pro obsah toho, co se vymění s vnějším světem, když se mu přizpůsobujeme a působíme na něj svým přizpůsobováním. N.

Více

Zadání druhého zápočtového projektu Základy algoritmizace, 2005

Zadání druhého zápočtového projektu Základy algoritmizace, 2005 Zadání druhého zápočtového projektu Základy algoritmizace, 2005 Jiří Dvorský 2 května 2006 Obecné pokyny Celkem je k dispozici 8 zadání příkladů Každý student obdrží jedno zadání Vzhledem k tomu, že odpadly

Více

Uvod Modely n-tic Vyhodnocov an ı Vyhlazov an ı a stahov an ı Rozˇ s ıˇ ren ı model u n-tic Jazykov e modelov an ı Pavel Smrˇ z 27.

Uvod Modely n-tic Vyhodnocov an ı Vyhlazov an ı a stahov an ı Rozˇ s ıˇ ren ı model u n-tic Jazykov e modelov an ı Pavel Smrˇ z 27. Jazykové modelování Pavel Smrž 27. listopadu 2006 Osnova 1 Úvod motivace, základní pojmy 2 Modely n-tic 3 Způsob vyhodnocování 4 Vyhlazování a stahování 5 Rozšíření modelů n-tic 6 Lingvisticky motivované

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Teorie informace 21.9.2014. Obsah. Kybernetika. Radim Farana Podklady pro výuku

Teorie informace 21.9.2014. Obsah. Kybernetika. Radim Farana Podklady pro výuku Teorie Radim Farana Podklady pro výuku Obsah Seznámení s problematikou a obsahem studovaného předmětu. Základní pojmy z Teorie, jednotka, informační obsah zprávy, střední délka zprávy, redundance. Kód.

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

DOE (Design of Experiments)

DOE (Design of Experiments) DOE - DOE () DOE je experimentální strategie, při které najednou studujeme účinky několika faktorů, prostřednictvím jejich testování na různých úrovních. Charakteristika jakosti,y je veličina, pomocí které

Více

Informace v počítači. Výpočetní technika I. Ing. Pavel Haluza ústav informatiky PEF MENDELU v Brně haluza@mendelu.cz

Informace v počítači. Výpočetní technika I. Ing. Pavel Haluza ústav informatiky PEF MENDELU v Brně haluza@mendelu.cz .. Informace v počítači Ing. Pavel Haluza ústav informatiky PEF MENDELU v Brně haluza@mendelu.cz Osnova přednášky Úvod do teorie informace základní pojmy měření množství informace ve zprávě přenos a kódování

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního

Více

Osnova přednášky. Informace v počítači. Interpretace dat. Údaje, data. Úvod do teorie informace. Výpočetní technika I. Ochrana dat

Osnova přednášky. Informace v počítači. Interpretace dat. Údaje, data. Úvod do teorie informace. Výpočetní technika I. Ochrana dat Osnova přednášky 2/44 Informace v počítači Ing Pavel Haluza ústav informatiky PEF MENDELU v Brně haluza@mendelucz základní pojmy měření množství informace ve zprávě přenos a kódování dat parita kontrolní

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle

Více

V kompletním grafu nenastává problém. Každý uzel je soused se zbytkem vrcholů a může s nimi kdykoliv komunikovat.

V kompletním grafu nenastává problém. Každý uzel je soused se zbytkem vrcholů a může s nimi kdykoliv komunikovat. 1 SMĚROVÁNÍ (ROUTING) V kompletním grafu nenastává problém. Každý uzel je soused se zbytkem vrcholů a může s nimi kdykoliv komunikovat. Problém nastává u ostatních grafů: Kritéria dobrého směrování: a)

Více

Příloha č. 3. Obchodních podmínek OTE, a.s. pro elektroenergetiku. Revize 19 srpen 2015

Příloha č. 3. Obchodních podmínek OTE, a.s. pro elektroenergetiku. Revize 19 srpen 2015 Příloha č. 3 Obchodních podmínek OTE, a.s. pro elektroenergetiku Revize 19 srpen 2015 ALGORITMUS VYHODNOCENÍ DENNÍHO TRHU Příloha č. 3 OPE OBSAH 1 POUŽITÉ POJMY... 3 2 ALGORITMUS VYHODNOCENÍ DENNÍHO TRHU...

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 Obsah Předmluva... 15 I. Objektivní pravděpodobnosti 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 1.1 Úvod... 23 1.2 Základy frekvenční interpretace... 24 1.2.1 Pravděpodobnost a hromadné jevy... 24 1.2.2

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Cíle doktorandské práce Seminář 10. 11. 2010 Najít, implementovat, ověřit a do praxe

Více

Základní principy přeměny analogového signálu na digitální

Základní principy přeměny analogového signálu na digitální Základní y přeměny analogového signálu na digitální Pro přenos analogového signálu digitálním systémem, je potřeba analogový signál digitalizovat. Digitalizace je uskutečňována pomocí A/D převodníků. V

Více

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS) KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Počítačové zobrazování fraktálních množin. J. Bednář*, J. Fábera**, B. Fürstová*** *Gymnázium Děčín **SPŠ Hronov ***Gymnázium Plasy

Počítačové zobrazování fraktálních množin. J. Bednář*, J. Fábera**, B. Fürstová*** *Gymnázium Děčín **SPŠ Hronov ***Gymnázium Plasy Počítačové zobrazování fraktálních množin J. Bednář*, J. Fábera**, B. Fürstová*** *Gymnázium Děčín **SPŠ Hronov ***Gymnázium Plasy *jurij.jurjevic@centrum.cz **icarosai@seznam.cz ***barborafurstova7@seznam.cz

Více

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

1 Teorie informace. Za symboly abecedy A budeme považovat smutně realistické frekvence povelů psovi Hafíkovi uvedené v následující tabulce.

1 Teorie informace. Za symboly abecedy A budeme považovat smutně realistické frekvence povelů psovi Hafíkovi uvedené v následující tabulce. 1 Mějme nějakou abecedu A nad konečným počtem symbolů a 1,..., a n. Při používání A ať se každé a i A vyskytuje s frekvencí p ai = p i. Je tedy p i = 1. Předpokládejme, že bychom chtěli zavést jakýsi binární

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Tabulka 1 Rizikové online zážitky v závislosti na místě přístupu k internetu N M SD Min Max. Přístup ve vlastním pokoji 10804 1,61 1,61 0,00 5,00

Tabulka 1 Rizikové online zážitky v závislosti na místě přístupu k internetu N M SD Min Max. Přístup ve vlastním pokoji 10804 1,61 1,61 0,00 5,00 Seminární úkol č. 4 Autoři: Klára Čapková (406803), Markéta Peschková (414906) Zdroj dat: EU Kids Online Survey Popis dat Analyzovaná data pocházejí z výzkumu online chování dětí z 25 evropských zemí.

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

Genetické algoritmy. Vysoká škola ekonomická Praha. Tato prezentace je k dispozici na: http://www.utia.cas.cz/vomlel/

Genetické algoritmy. Vysoká škola ekonomická Praha. Tato prezentace je k dispozici na: http://www.utia.cas.cz/vomlel/ Genetické algoritmy Jiří Vomlel Laboratoř inteligentních systémů Vysoká škola ekonomická Praha Tato prezentace je k dispozici na: http://www.utia.cas.cz/vomlel/ Motivace z Darwinovy teorie evoluce Přírodní

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Automatická segmentace slov s pomocí nástroje Affisix. Michal@Hrusecky.net, Hlavacova@ufal.mff.cuni.cz

Automatická segmentace slov s pomocí nástroje Affisix. Michal@Hrusecky.net, Hlavacova@ufal.mff.cuni.cz Automatická segmentace slov s pomocí nástroje Affisix Michal Hrušecký, Jaroslava Hlaváčová Michal@Hrusecky.net, Hlavacova@ufal.mff.cuni.cz Motivace Při zpracování přirozeného jazyka nikdy nemůžeme mít

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

y n+1 = g(x n, y n ),

y n+1 = g(x n, y n ), Diskrétní dynamické systémy 1. Úvod V následujícím textu budeme studovat chování systému diferenčních rovnic ve tvaru x n+1 = f(x n, y n ), y n+1 = g(x n, y n ), kde f a g jsou dané funkce. Tyto rovnice

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí Matematické přístupy k pojištění automobilů Silvie Kafková 3. 6. září 2013, Podlesí Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3 Motivace Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu:

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu: Čtvrtek 8 prosince Pascal - opakování základů Struktura programu: 1 hlavička obsahuje název programu, použité programové jednotky (knihovny), definice konstant, deklarace proměnných, všechny použité procedury

Více

6. ROČNÍK ŠKOLNÍ SOUTĚŽE V PROGRAMOVÁNÍ 2013

6. ROČNÍK ŠKOLNÍ SOUTĚŽE V PROGRAMOVÁNÍ 2013 6. ROČNÍK ŠKOLNÍ SOUTĚŽE V PROGRAMOVÁNÍ 2013 Pořadí úloh si určujete sami, u každé úlohy je uvedeno její bodové hodnocení. Můžete řešit různé úlohy v různých programovacích jazycích. Každou hotovou úlohu

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Komprese DNA pomocí víceproudé komprese a predikce báz. Jan Jelínek, Radek Miček

Komprese DNA pomocí víceproudé komprese a predikce báz. Jan Jelínek, Radek Miček Komprese DNA pomocí víceproudé komprese a predikce báz Jan Jelínek, Radek Miček Víceproudá komprese angl. Multistream compression (MSC) statistická metoda autoři: Kochánek, Lánský, Uzel, Žemlička lze použít

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Jarníkův algoritmus. Obsah. Popis

Jarníkův algoritmus. Obsah. Popis 1 z 6 28/05/2015 11:44 Jarníkův algoritmus Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Jarníkův algoritmus (v zahraničí známý jako Primův algoritmus) je v teorii grafů algoritmus hledající minimální kostru ohodnoceného

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Bakalářky. Cyril Brom

Bakalářky. Cyril Brom Bakalářky Cyril Brom 1 Typy práce Implementační Implementačně experimentální Teoretický 2 Typický průběh Správně Měsíc předem se domluvím na zápočtech i vedoucí může mít dovolenou Odevzdávám vedoucímu

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

1 Strukturované programování

1 Strukturované programování Projekt OP VK Inovace studijních oborů zajišťovaných katedrami PřF UHK Registrační číslo: CZ.1.07/2.2.00/28.0118 1 Cíl Seznámení s principy strukturovaného programování, s blokovou strukturou programů,

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Funkce, podmíněný příkaz if-else, příkaz cyklu for

Funkce, podmíněný příkaz if-else, příkaz cyklu for Funkce, podmíněný příkaz if-else, příkaz cyklu for Definice funkce Funkce je pojmenovaná část programu, kterou lze dále zavolat v jiné části programu. V Pythonu je definována klíčovým slovem def. Za tímto

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Predikátová logika Motivace Výroková

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Graf I - Závislost magnetické indukce na proudu protékajícím magnetem. naměřené hodnoty kvadratické proložení. B [m T ] I[A]

Graf I - Závislost magnetické indukce na proudu protékajícím magnetem. naměřené hodnoty kvadratické proložení. B [m T ] I[A] Pracovní úkol 1. Proměřte závislost magnetické indukce na proudu magnetu. 2. Pomocí kamery změřte ve směru kolmém k magnetickému poli rozštěpení červené spektrální čáry kadmia pro 8-10 hodnot magnetické

Více

Čtvrtek 3. listopadu. Makra v Excelu. Obecná definice makra: Spouštění makra: Druhy maker, způsoby tvorby a jejich ukládání

Čtvrtek 3. listopadu. Makra v Excelu. Obecná definice makra: Spouštění makra: Druhy maker, způsoby tvorby a jejich ukládání Čtvrtek 3. listopadu Makra v Excelu Obecná definice makra: Podle definice je makro strukturovanou definicí jedné nebo několika akcí, které chceme, aby MS Excel vykonal jako odezvu na nějakou námi definovanou

Více

Z X 5 0 4 H o d n o c e n í v l i v ů n a ž i v o t n í p r o s t ř e d í. Vybrané metody posuzování dopadu záměrů na životní

Z X 5 0 4 H o d n o c e n í v l i v ů n a ž i v o t n í p r o s t ř e d í. Vybrané metody posuzování dopadu záměrů na životní Z X 5 0 4 H o d n o c e n í v l i v ů n a ž i v o t n í p r o s t ř e d í Vybrané metody posuzování dopadu záměrů na životní prostředí. ř Posuzování dopadu (impaktu) posuzované činnosti na životní prostředí

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

CVIČENÍ č. 11 ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ POTRUBÍM

CVIČENÍ č. 11 ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ POTRUBÍM CVIČENÍ č. 11 ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ POTRUBÍM Místní ztráty, Tlakové ztráty Příklad č. 1: Jistá část potrubí rozvodného systému vody se skládá ze dvou paralelně uspořádaných větví. Obě potrubí mají průřez

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Seznam funkcí pro kurz EXCEL I. Jaroslav Nedoma

Seznam funkcí pro kurz EXCEL I. Jaroslav Nedoma Seznam funkcí pro kurz EXCEL I Jaroslav Nedoma 2010 Obsah ÚVOD... 3 SUMA... 4 PRŮMĚR... 6 MIN... 8 MAX... 10 POČET... 12 POČET2... 14 ZAOKROUHLIT... 16 COUNTIF... 18 SVYHLEDAT... 22 2 ÚVOD Autor zpracoval

Více

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení 1. Průběh funkce K zobrazení průběhu analytické funkce jedné proměnné potřebujeme sloupec dat nezávisle proměnné x (argumentu) a sloupec dat s funkcí argumentu y = f(x) vytvořený obvykle pomocí vzorce.

Více

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204 9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč UČENÍ BEZ UČITELE Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/~hlavac 1/22 OBSAH PŘEDNÁŠKY ÚVOD Učení

Více

Signál v čase a jeho spektrum

Signál v čase a jeho spektrum Signál v čase a jeho spektrum Signály v časovém průběhu (tak jak je vidíme na osciloskopu) můžeme dělit na periodické a neperiodické. V obou případech je lze popsat spektrálně určit jaké kmitočty v sobě

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2013/2014 Radim Farana. Obsah. Kybernetika

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2013/2014 Radim Farana. Obsah. Kybernetika 2 Podklady předmětu pro akademický rok 2013/2014 Radim Farana Obsah Základní pojmy z Teorie informace, jednotka informace, informační obsah zprávy, střední délka zprávy, redundance. Přenosový řetězec.

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více