Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat."

Transkript

1 6..0 Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. Power Analysis and Interval Estimation Analýza síly testu Odhad velikosti vzorku Pokročilé techniky pro odhad intervalu spolehlivosti Rozdělení pravděpodobnosti STATISTICA: Analýza síly testu STATISTICA: Odhad velikosti vzorku Pro danou velikost výběru, pravděpodobnost α a typické parametry konkrétního testu spočte sílu testu. Pro požadovanou sílu testu, pravděpodobnost α a typické parametry konkrétního testu spočte minimální rozsah výběru. Vytvoří grafy závislosti síly testu na a)velikosti výběru b)velikosti efektu c)hodnotě α Vytvoří grafy závislosti velikosti vzorku na a)minimální požadované hodnotě síly testu b)velikosti efektu c)hodnotě α 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 4

2 6..0 STATISTICA: Odhad intervalu spolehlivosti Pro daný rozsah výběru, zvolenou spolehlivost -α a hodnotu příslušné statistiky získané na základě výběru, vypočte (-α)% interval spolehlivostipro odhadovaný parametr. STATISTICA: Rozdělení pravděpodobnosti Doplňuje pravděpodobnostní kalkulátor o necentrální rozdělení t, F a chí-kvadrát, a také o binomické rozdělení. Umožňuje výpočet teoretických hodnot korelačního koeficientu a koeficientu determinace pro zadaný rozsah výběru a pozorovanou hodnotu parametru a zvolenou pravděpodobnost Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 6 Kde hledat informace? Kde hledat informace? Jacob Cohen Statistical power analysis for the behavioral sciences P. D. Ellis The EssentialGuide to Effect Sizes: StatisticalPower, Meta-Analysis, and the Interpretation of Research Result Christopher L. Aberson Applied Power Analysis for the Behavioral Sciences Učebnice STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 7

3 6..0 Kde hledat informace? Co nás dnes čeká? Úvod do analýzy síly testu T-testy ANOVA jednoduchého a dvojného třídění Nápověda STATISTICA Pearsonův korelační koeficient Testy homogenity (χ, McNemarův) Koeficient determinace R Zobecněná rozdělení F, χ a t Motivace Statistické šetření Pro konečnou populaci (=soubor jednotek) chceme ověřit pravdivost nějaké hypotézy (výroku, tvrzení). Šetření lze zpravidla podrobit jen část populace kvůli faktu, že populace je značně rozsáhlá, měření jsou časově a finančně náročná, jednotky nemají zájem na účasti ve výzkumu Analýza síly testu ve STATISTICA 3

4 6..0 Náhodný výběr (Random sampling) Velikost vzorku (Sample size) Na základě analýzy vybraných jednotek, chceme vyslovit závěr pro celou populaci. Výběr by měl být reprezentativní, náhodný (stanovení výběrového plánu existuje více typů náhodných výběrů). dostatečně rozsáhlý pro dosažení dostatečné spolehlivosti odvozených závěrů. Příliš malý vzorek Příliš rozsáhlý vzorek Nedostatečná přesnost. Nespolehlivé závěry. Plýtvání časem a dalšími zdroji výměnou za často pouze minimální zpřesnění Analýza síly testu ve STATISTICA 4 Testování hypotéz Co je síla testu? Test: Pravidlo, které na základě výsledků zjištěných z náhodného výběru předepisuje rozhodnutí o zamítnutí nebo nezamítnutí nulové hypotézy týkající se celé populace z níž výběr pochází. Závěry jsou platné vždy jen s určitou pravděpodobností Analýza síly testu ve STATISTICA 5 4

5 6..0 Testová hypotéza Nulová hypotéza H 0 : Parametr θ je z množiny Θ H. Průměr je roven dvěma. (Průměr je menší/větší nebo roven dvěma.) Alternativní hypotéza H : Parametr θ je z množiny Θ A. Oboustranná Průměr není roven dvěma. Jednostranná a) Průměr je větší než dvě. b) Průměr je menší než dvě. Závěr: Zamítnutí či nezamítnutí testové hypotézy H 0 (ve prospěch alternativy) na základě testové statistiky spočtené z dat. Chyba prvního druhu Hypotézu zamítneme, ačkoli platí. Pravděpodobnost chyby.druhu omezujeme hodnotou α (nejčastěji α =0.05), které říkáme hladina významnosti testu (significance level). p-hodnota (p-value) pravděpodobnost, že získáme stejné nebo extrémnější testové kritérium než je vypočítané, za předpokladu, že ve skutečnosti platí nulová hypotéza. Chyba druhého druhu Hypotézu nezamítneme, ačkoli neplatí. Pravděpodobnost chyby.druhu označujeme β. Síla testu (Power): Pravděpodobnost, že správně zamítneme hypotézu, která ve skutečnosti neplatí, -β. Minimalizovatchybu druhého druhu znamená maximalizacisíly testu. Je-li k dispozici více různých statistických testů pro testování stanovené hypotézy se stejnou hladinou chyby prvního druhu, volíme ten z nich, který má největší sílu. Vtah mezi chybami. a. druhu a silou testu Ve většině případů snižování chyby jednoho druhu vede ke zvyšování chyby druhého druhu a naopak. Vzájemný vztah je ovlivněn velikostí výběru a velikostí efektu. Velikost výběru Pravděpodobnost chyby I.druhu Velikost efektu Pravděpodobnost chyby II.druhu 5

6 6..0 Praktická versus statistická významnost Test Statisticky významný (dle p-hodnoty) Statisticky nevýznamný (dle p-hodnoty) Prakticky důležitý rozsah výběru OK rozsah výběru příliš malý Prakticky nedůležitý rozsah výběru příliš velký rozsah výběru OK Apriorní analýza síly testu Faktory ovlivňující sílu testu Odchylka (velikost efektu, ES effect size) čím větší ES, tím je síla testu vyšší. Variabilita(směrodatná odchylka) základního souboru. Čím je menší variabilita, tím je vyšší síla testu.variabilitu odhadujeme na základě náhodného výběru. Rozsah n výběru. Čím větší je rozsah souboru, tím vyšší je síla testu. Velikost chyby.druhu α Čím je vyšší α, tím je nižší β a tedy tím je vyšší síla testu. Typ statistického testu Některé testy mají přirozeně větší sílu testu než jiné alternativní testy. Určení velikosti výběru Určení síly testu Apriorní analýza (před provedením pokusu) Aposteriorní analýza (po provedení pokusu) Zjišťujeme Známe (zadáváme) Zjišťujeme Známe (zadáváme) Potřebnou velikost výběru n. Hladinu významnosti testu pro chybu prvního druhu α. Požadovanou sílu testu -β. Velikost efektu, kterou potřebujeme detekovat. Skutečnou sílu testu. Hladinuvýznamnosti testu pro chybu prvního druhu α. Velikost výběru n. Velikost efektu, kterou potřebujeme detekovat. 6

7 6..0 Síla testu Sílu testu -β je třeba zkoumat pro všechny možné hodnoty parametru θ z množiny Θ A. Jde vlastně o analýzu silofunkce -β(θ). Apriorní Typy analýzy síly testu Může zajistit, že neplýtváme časem a zdroji na výzkum, který má jen malou naději na prokázání signifikantního efektu a také zabrání zahrnutí zbytečně mnoha jednotek. Post hoc Pomáhá správně interpretovat výsledky testování, kde nevyšel průkazný efekt (nedošlo k zamítnutí nulové hypotézy). Konkrétní aplikace Test o proporci znaku v populaci 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 8 7

8 6..0 Ilustrační příklad: volební preference Otázka: Má politická strana mezi voliči většinu? Opora analýzy: anketa náhodného vzorku 00 lidí (odpověď ANO-NE). π... skutečné procento voličů p...odhad hodnoty π Nulová hypotéza: π 0.5 Alternativa: π > 0.5 Testové pravidlo: zamítá H 0 pro p (tzv. reject-support přístup) Ilustrační příklad: volební preference Počet voličů strany se řídí binomickým rozdělením n X k k ( ) n P( = ) = π π k k Pokud ve vzorku n=00 napočítáme více něž k=58 voličů strany, zamítáme nulovou hypotézu a prohlásíme, že strana má většinu hlasů. Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení (normální aproximace) H : π π 0 0 H : π > π 0 Kritický obor W α Testová statistika U = p π π π ) 0 ( 0 n má za platnosti nulové hypotézy asymptoticky normální rozdělení N(0, ). = { U u α} 0 U = Ilustrační příklad: volební preference p π 0 π ( 0 π 0) n u 0.95 =.645 p=0.58 π 0.5 p = min. 645 π ( 0,) Analýza síly testu ve STATISTICA 3 8

9 6..0 Situace A: π=0.5 Ve skutečnosti nulová hypotéza platí. Pravděpodobnost, že ji zamítneme, je rovna hodnotě 00 * 00 k 00 k α = 0.5 ( 0.5) = k= 59 k Chyba prvního druhu má tedy pravděpodobnost nebo menší, vyhovuje podmínce 5 %. Pozn.Hraniční hodnota pro testové kritérium p=0.58 je nejnižší možná, která zaručuje pravděpodobnost chyby prvního druhu menší než 5 %. Situace B: π=0.55 Ve skutečnosti nulová hypotéza neplatí. Pravděpodobnost, že ji zamítneme, je rovna hodnotě k β = k= k 00 k ( 0. ) = 0.4. Síla testu je tedy velmi malá. Naše, byť správná, domněnka, že politickou stranu preferuje většina voličů, bude potvrzena pouze ve 4. % případů analýz náhodného výběru. Tento test je proto nevhodný pro zodpovězení otázky ze zadání. Ilustrační příklad: volební preference Jaká je vhodná velikost vzorku N abychom dosáhli rozumně veliké síly testu při zachování nízké hladiny testu v této situaci? STATISTICA předpokládá v podobných případech použití spíše χ testu než přesného binomického testu. Chí-kvadrát test dobré shody H :, 0 π i = π i0 i =, K, k H : non H 0 Kritický obor W α Testová statistika G = ( ni n i nππ i= i0 má za platnosti nulové hypotézy asymptoticky chí-kvadrát rozdělení s (k-) stupni volnosti. nπ 5 i0 = { G χ α } k ) Analýza síly testu ve STATISTICA 36 9

10 6..0 Ilustrační příklad: volební preference Ilustrační příklad: volební preference Aproximace normálním rozdělením Pro velká N a hodnoty α, které nejsou blízké 0 nebo, lze binomické rozdělení aproximovat normálním rozdělením Bi( N, π ) N( π, π ( π ) N) ). Volba t-statistika používá pro výpočet přesné hodnoty pravděpodobnosti zamítnutí H 0 binomické rozdělení. Volba Přibližný používá normální aproximaci binomického rozdělení a počítá přibližnou hodnotu pravděpodobnosti zamítnutí H 0. Aproximace normálním rozdělením Testová statistika pro testování hypotézy H 0 : π=π 0 je rovna p π 0 Z =. π ( 0 π 0) N U malých vzorků se uplatňuje oprava na spojitost: ( p + C) π Z C = N π 0( π 0) C = N 0.5 N pro p π pro p < π 0 0 0

11 6..0 Ilustrační příklad: volební preference Ilustrační příklad: volební preference Ilustrační příklad: volební preference Ilustrační příklad: volební preference Stanovili jsme rozsah výběru pro detekci efektu 0.05, je tento rozsah výběru dostatečný i pro efekt jiné velikosti? V praxi neprovádíme výpočet síly testu pouze pro jedinou hodnotu efektu, ale zabýváme se rozsahem výběru pro různě velké efekty... Vypočtená velikost vzorku je 607, dosažená síla testubude přesně a pravděpodobnost chyby prvního druhu bude Při této velikosti vzorku jsme schopni detekovat efekt 0.55.

12 6..0 Ilustrační příklad: volební preference Síla testu v závislosti na velikosti efektu při pevném rozsahu výběru. Ilustrační příklad: volební preference Síla testu v závislosti na rozsahu výběru pro několik velikostí efektu. Jednovýběrový t-test T-testy 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA 47

13 6..0 Test hypotézy o střední hodnotě H 0 : µ = µ 0 H : µ µ 0 Kritický obor W α = { T t α } x µ T = 0 Testová statistika sn n má za platnosti nulové hypotézy Studentovo t-rozdělení s (n-) stupni volnosti. Obecně má testová statistika necentrální t rozdělení s (n-) stupni volnostia parametrem necentrality δ=n / E S, kde E S µ µ 0 =. σ Index BMI BMI je podíl váhy[kg] a druhé mocniny výšky[m]. Hodnocení BMI: 0-5 optimum 6-30 mírná nadváha 3-35 obezita.stupně obezita.stupně Trpí v průměru populace nadváhou nebo obezitou? Jaká je síla testu, je-li skutečná průměrná hodnota BMI v populaci rovna 5.3 a populační směrodatná odchylka BMI je 4.? 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA 49 BMI Index BMI index - síla testu H H 0 : X 5 : X > 5 Vaha.sta 3

14 6..0 BMI index síla testu BMI index velikost výběru Jak velký výběr zaručí sílu testu 0.8 i pro malý efekt? (E s =0.) BMI optimální rozsah výběru Dvouvýběrový t-test 4

15 6..0 Test hypotézy o shodě středních hodnot dvou nezávislých výběrů H H : µ = µ 0 µ : µ Testová statistika T = x x má za platnosti nulové hypotézy Studentovo t-rozdělení s (n +n -) stupni volnosti. s s + n n Příklad: t-test, nezávislé vzorky Plánované rozsahy skupin jsou 5 pro každý výběr. Populační směrodatná odchylka u obou skupin nechť je 5. Nechť skupina je kontrolní, a lze předpokládat, že populační průměr sledované charakteristiky je roven 00. Kritický obor W α = { T t α } Obecně má testová statistika necentrální t rozdělení s (n-) stupni volnostia parametrem necentrality µ δ=(n n /(n +n )) / E S, kde µ E S =. σ Populační průměr u skupiny je předmětem experimentu, nicméně z hlediska prováděného experimentu nebude provedené ošetření u této skupiny shledáno efektivním, pokud nezvýší populační průměr alespoň na hodnotu Analýza síly testu ve STATISTICA 57 Příklad: t-test, nezávislé vzorky Mí, Mí populační průměry pro první a druhou skupinu N, N rozsahy vzorků pro první a druhou skupinu Sigma populační směrodatná odchylka (shodné rozptyly skupin) Příklad: t-test, nezávislé vzorky V praxi většinou neznáme populační průměry skupin ani hodnotu jejich společné populační směrodatné odchylky. Velikost síly testu závisí na tzv. velikosti efektu (effect size) E s µ µ = σ Informace o konkrétních hodnotách populačních charakteristik lze převést na velikost tohoto efektu. 5

16 6..0 Velikost efektu E s µ µ = σ V literatuře (např. Cohen, 983: Statistical Power AnalysisfortheBehavioral Sciences) jsou pro tento test doporučována následující pravidla: Es Příklad: t-test, nezávislé vzorky µ µ = σ Při zachování N, N a α je síla testu stejná, pokud se nezmění velikost efektu.. Malý efekt. Středně velký efekt 3. Velký efekt E s E s E s = 0. = 0.5 = 0.8 Příklad: t-test, nezávislé vzorky V našem příkladě je dosažená síla rovna 0.8. Obvyklá nejmenší akceptovaná hodnota je kolem 0.8. Pro detekci středně velkého efektu na hladině α=5 % je tedy velikost skupin 5 nedostatečná. Grafická analýza velikosti síly testu Diagramy síly testu: Síla vs. N Minimální potřebná velikost skupin pro dosažení síly testu alespoň 0.8 je přibližně 64. 6

17 6..0 Grafická analýza velikosti síly testu Diagramy síly testu: Síla vs. α Grafická analýza velikosti síly testu Diagramy síly testu: Síla vs. Es (středně velký efekt) Síla testu roste s rostoucí chybou prvního druhu. Malá změna αsílu zvýší jen minimálně, navíc již používáme největší přípustnou hodnotu pro chybu prvního druhu. Minimální potřebná velikost skupin pro dosažení síly testu alespoň 0.8 je přibližně 64. Grafická analýza velikosti síly testu Výpočet velikosti vzorku Diagramy síly testu: Síla vs. Es (středně velký efekt) Vykreslíme i graf pro N=N=35. Zvýšením rozsahu skupin o 0 získáme test se silou vyšší o 0.0 až

18 6..0 Výpočet velikosti vzorku Výpočet velikosti vzorku Výpočet velikosti vzorku Jednofaktorová ANOVA 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA 7 8

19 6..0 Jednofaktorová ANOVA H µ = µ = K = µ k H : i, j : µ µ 0 : i j Porovnáváme průměrnou úroveň spojité veličiny u k skupin. Celkovou variabilitu zkoumané proměnné rozdělíme na meziskupinovou a vnitroskupinovou. s T = sa + se Testová statistika n k sa má za platnosti nulové hypotézy centrální F F = k s rozdělení s k- a n-k stupni volnosti. e Za platnosti alternativní hypotézy, má testová statistika necentrální F rozdělení s parametrem necentrality δ. Jednofaktorová ANOVA síla testu Síla testu: pravděpodobnost oprávněného zamítnutí nulové hypotézy P( F F α ( k, n k)) = Fδ ( F α ( k, n k)). Jednofaktorová ANOVA Jednofaktorová ANOVA Zajímá nás efekt nového léku, který je vylepšenou verzí léku testovaného před dvěma lety. Jakou sílu testu požadovat? Jaká velikost vzorku je potřeba pro dosažení této síly? 9

20 6..0 i Jednofaktorová ANOVA Y = µ + α + e j ij Pevné efekty porovnáváme ošetření, které jsme pozorovali v experimentu. Náhodné efekty konkrétní ošetření dosažená v experimentu (hodnoty faktorové proměnné) jsou náhodným výběrem z nějaké větší množiny možných hodnot. RMSSE (Root Mean Square Standardized Effect) RMSSE = J j= α j σ J f = J j= α j σ J Jednofaktorová ANOVA RMSSE nemění se, pokud ke všem skupinovým průměrům přičteme stejnou konstantu. Nicméně je těžké určit hodnoty efektu představující malý, střední a velký rozdíl porovnávaných populačních průměrů. Jednofaktorová ANOVA Jednofaktorová ANOVA 0

21 6..0 Jednofaktorová ANOVA Jednofaktorová ANOVA RMSSE a f jsou invariantní vůči lineární transformaci skupinových průměrů. Průměrný efekt je v obou případech 0., ale RMSSE se podstatně liší. Jednofaktorová ANOVA Cohen doporučení f=0. malý efekt f=0.5 středně velký efekt f=0.40 velký efekt - Pouze hrubé vodítko. Je třeba zkoumat nějaký širší rozsah hodnot RMSSE, resp. f. StatSoft doporučení pro RMSSE RMSSE=0.5 malý efekt RMSSE=0.3 středně velký efekt RMSSE=0.5 velký efekt RMSSE = J f J Pro 4 sk. je odpovídající RMSSE rovno 0,886. Výpočet síly testu

22 6..0 Výpočet síly testu Grafická analýza síly testu ANOVA Nejstrmější nárůst síly testu pro N mezi 5 a 50. Síla testu je příliš malá, zvětšíme počáteční N na 5 a konečné na 00. Velký efekt Velký efekt

23 6..0 Model s interakcí Dvoufaktorová ANOVA Odezva se pro hodnoty faktorů liší jen posunutím. Odezva se pro hodnoty faktorů liší i jinak než posunutím 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA 89 kvalitativní znaky: k kategorií prvního faktoru l kategorií druhého faktoru H 0A : α = α = =α k H 0B : β = β = = β l H 0AB : γ = γ = = γ kl F A Model dvojného třídění T n kl s = k Y = µ + α + β + λ + e jgp řádkové efekty sloupcové efekty interakce s = s + s + s + s A j B n kl s g AB A B AB F B = F AB = se l se ( k )( l ) se jg e jgp n kl s Síla testu Předpoklad stejně velkých skupin o rozsahu N. Další parametry: počet kategorií obou faktorů RMSSE pro řádky RMSSE pro sloupce RMSSE pro interakci Steiger and Fouladi(997) 3

24 6..0 RMSSE pro řádky RMSSE pro sloupce RMSSE pro interakci Síla testu RMSSE RMSSE RMSSE α β γ = = = k i= l j= αi σ k β j σ l k l γ ij i= j= σ ( k )( l ) Parametr necentrality a RMSSE Fstatistiky pro test řádkového, sloupcového efektu a efektu interakcí mají obecně necentrální Frozdělení. Parametr necentrality δ úzce souvisí s RMSSE, např. F statistika pro řádkový efekt má necentrálnífrozdělení s k- a kl(n-)stupni volnosti a parametr necentrality je dán předpisem: k αi δα = nl i= σ = nl ( k )( RMSSEα ) Síla testu Síla testu 4

25 6..0 Pearsonův korelační koeficient Test nulovosti korelace ρ X, Y = cov ( X, Y ) var X var Y = E( X E X )( Y E Y ) var X var Y - 0 Silná negativní závislost Y = -k X Silná pozitivní závislost Y = k X Mezi veličinami není lineární závislost 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA 97 Pearsonův korelační koeficient Pearsonův korelační koeficient ρ X, Y = cov ( X, Y ) var X var Y = E( X E X )( Y E Y ) var X var Y Nezávisí na jednotkách ρ ρ X, Y = sign( ac ) ax + b, cy + d - 0 Silná negativní závislost Y = -k X Silná pozitivní závislost Y = k X Mezi veličinami není lineární závislost Výběrový korelační koeficient r = X, Y S S XY X S Y S S X XY = n = n n i = n i = ( X X ) i ( X X )( Y Y ) i i 5

26 6..0 Test nulovosti korelace H 0 : ρ=0 proti H : ρ >0 r T = n r Jestliže je (X, Y) výběr z dvourozměrného norm. rozdělení a ρ=0, potom má testová statistika T t-rozdělenís n- stupni volnosti. Příklad Jaká je síla testu nulovosti korelace pro rozsah výběru 45, pokud skutečná korelace dosahuje hodnoty 0.30? V případě, že je síla testu příliš malá, jaká velikost výběru zaručí sílu 0.90? Síla testu Síla testu t-statistika:přesný výpočet, pomalý, ale pro rozsahy vzorků typické pro výzkumné práce je dostatečný. Fisherovo Z (uprav.): metoda užívající Fisherovu transformaci s upravenými vzorci pro výpočet průměru a rozptylu (Fouladi, 99). Fisher Z (původ.): používá tradiční aproximaci založenou na Fisherově transformaci. Předpokladá, že Fisherova aproximace r je v průměru rovna skutečné hodnotě ρ a rozptyl Fisherovy transformace r je roven (N-3) /. 6

27 6..0 FisherovaZ-transformace R. A. Fisher postup pro testování nulovosti korelačního koeficientu + r Z = ln r Test významnosti korelace 0..0 S rostoucím rozsahem výběru n se rozdělení náhodné veličiny Z blíží normálnímu rozdělení: N ln + ρ ρ + ; ρ ( n ) N n 3 ln + ρ ; ρ n 3 Za platnosti nulové hypotézy (nulovost korelačního koeficientu) má Z rozdělení N(0; /(n-3)) a veličina U má přibližně rozdělení N(0,) n 3 + r U = ln r Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 06 Síla testu Výpočet vhodného rozsahu výběru Dosažená síla testu je 0.575, tato hodnota je nedostatečná Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 08 7

28 6..0 Výpočet vhodného rozsahu výběru Přesný interval spolehlivosti pro korelační koeficient Vhodná velikost výběru je místo Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 0 Přesný interval spolehlivosti pro korelační koeficient Přesný interval spolehlivosti pro korelační koeficient Závěr: Za předpokladu, že skutečná hodnota korelace v populaci je 0.30 jsme stanovili rozsah výběru N=, který zaručí sílu testu (hladina testu α=5 %). Pokud je v tomto výběru hodnota pozorovaného korelačního koeficientu 0.0, jsme schopni kromě testu nulovosti korelace (p=0.0343) stanovit i 95% interval spolehlivosti pro odhad korelačního koeficientu, který nám poskytne přesnější informaci než uvedená p-hodnota. Můžeme porovnat vhodnost rozsahu výběru i podle šířky získaného intervalu spolehlivosti Analýza síly testu ve STATISTICA 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA 8

29 6..0 Přesný interval spolehlivosti pro korelační koeficient Použijeme-li přesný výpočet intervalu spolehlivosti, bude takto získaný interval spolehlivosti pro korelační koeficient obsahovat nulu právě tehdy, když (oboustranný) test nulovosti korelace zamítne nulovou hypotézu. Pearsonův korelační koeficient Interval spolehlivosti asymptotický interval spolehlivosti C L, U α u( ) = exp Z ± n 3 C C L L C, + C U U Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 4 Test pro konkrétní nenulovou hodnotu korelace Příklad Chceme testovat hypotézu, že populační korelační koeficient je roven 0.6 proti oboustranné alternativě. H 0 : ρ=a=0.60 proti H : ρ-a = ρ-0.6 >0 Pro experiment jsme použili výběr o rozsahu N=00 a hodnota výběrového korelačního koeficientu byla 0.7. Jaká je síla testu, je-li skutečná hodnota korelace v populaci 0.45? 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA 6 9

30 6..0 Pravděpodobnostní kalkulátor STATISTICA Pravděpodobnostní kalkulátor STATISTICA Pro výpočet kritických hodnot r pro oboustranný test na hladině α=0.05 spočteme r pro hodnoty kum. p. 0.05a 0.975: Kritické hodnoty jsou tedy a Pro oboustranný test, kdy pozorovaná hodnota korelace je 0.7, spočteme p-hodnotu testu: *P(T>0.7) =* = Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 8 Výpočet síly testu Výpočet síly testu Předpokládáme, že skutečná hodnota korelace je 0.60, spočteme kritické hodnoty testu: Kritické hodnoty jsou a Ponecháme vždy kritickou hodnotu jako hodnotu pozorovaného r a hodnotu Ró nastavíme na Pravděpodobnost, že výběrová korelace bude nižší než dolní kritická hodnota, je za předpokladu ρ=0.45 rovna Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 0 30

31 6..0 Pravděpodobnost, že výběrová korelace bude za předpokladu ρ=0.45 vyšší než horní kritická hodnota, je rovna Výpočet síly testu Výpočet síly testu Je-li hodnota populační korelace 0.60 a výběrová korelace dosahuje hodnoty 0.45, pak pravděpodobnost, že zamítneme nulovou hypotézu, která neplatí, (tedy síla testu) je rovna součtu obou získaných podmíněných pravděpodobností: P( r < ) + P( r > ) = = = = Analýza síly testu ve STATISTICA 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA Příklad Test pro porovnání dvou korelací Zajímá nás síla testu, zda korelace mezi váhou a výškou je přibližně stejná ve čtvrté i osmé třídě ZŠ. Předpokládáme, že hodnoty populačních korelačních koeficientů jsou rovny ρ =0.45, ρ =0.8. Rozsahy výběrů, které máme k dispozici jsou N =50, N =60, výběrové korelace jsou r =0.67, r = Analýza síly testu ve STATISTICA 4 3

32 6..0 Testy rovnosti korelačních koeficientů k nezávislých výběrů z dvojrozměrných normálních rozdělení H 0 : ρ =ρ =...=ρ k + ri Zí = ln k=: ri Za platnosti H 0 má Z -Z má přibližně N(0, /(n -3)+/(n -3)) Výsledky pro oboustranný test k>=3: U = Z Z + n 3 n 3 U α u Q = k ( n i 3 ) ( Z i b ) i = k b = ( n i 3 ) Z Q χ i k ( α ) n 3 k i = 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA 6 Síla testu Síla testu 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 8 3

33 6..0 Síla testu v závislosti na ρ Jaké jsou vhodné rozsahy vzorků pro dosažení síly testu alespoň 0.70? Pozn. Přípustné rozmezí pro požadovanou sílu testu je Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 30 Rozsah výběru McNemarův test 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA 3 33

34 6..0 McNemarův test Neparametrický test pro dvě závislé nominální veličiny (čtvercová kontingenční tabulka x). Testujeme, zda jsou marginální četnosti stejné (test homogenity): Test A pozitivní Test A negativní Sloupcové součty Test B pozitivní Test B negativní Řádkové součty a b a+b c d c+d a+c b+d McNemarův test H 0 : p b =p c proti H : p b -p c >0 Nulová hypotéza říká, že marginální pravděpodobnosti pro obě veličiny jsou shodné, tedy p a + p b =p a + p c a p c + p d =p b +p d. Testová statistika χ =( b-c -) /(b+c) Test B pozitivní Test B negativní Řádkové součty Test A pozitivní a b a+b Test A negativní c d c+d Sloupcové součty a+c b+d 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 34 McNemarův test Příklad: McNemarův test Porovnání dvou dichotomických proměnných (např. počet studentů, kteří zvládli testy základních matematických schopností na začátku semestru a na jeho konci). Jaký je vhodný rozsah výběru pro McNemarův test, který chceme použít pro testování zda spolu souvisí kouření a pití alkoholu, chceme-li sílu testu alespoň 0.80? Máme-li k dispozici výběr celkem 50 jedinců, jakou můžeme očekávat sílu testu? 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 36 34

35 6..0 Rozsah výběru Rozsah výběru Delta Hodnota mezi 0 a, je rovna rozdílu relativních četností (b-c)/n. H 0 :δ=0. Éta (Nuisance parameter) udává celkový součet četností (b+c)/n. Alfa Hladina testu, default je Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 38 Rozsah výběru Síla testu 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 40 35

36 6..0 McNemarův test síla testu Koeficient determinace R 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA 4 Regresní analýza Lineární regrese modeluje závislost spojité proměnné pomocí spojitých nezávisle proměnných. Model je zpravidla hodnocen na základě p-hodnot testů nulovosti regresních koeficientů a tzv. koeficientu determinace (druhá mocnina vícenásobného korelačního koeficientu), který udává procento variability závisle proměnné vystižené daným modelem. Regresní analýza Podrobnější informaci o kvalitě modelu lze získat z intervalu spolehlivosti pro hodnotu populačního koeficientu determinace P Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 44 36

37 6..0 Předpokládejme, že jsme vytvořili model vícenásobné regrese s 5 nezávisle proměnnými pro výběr o velikosti N=04 a získali jsme koeficient determinace R =0.30. Příklad: regrese Příklad: regrese Interval spolehlivosti pro P Dolní hranice je hodnota odhadu dolní meze intervalu spolehlivosti pro jednostrannou hypotézu. Hranice pro sílu testu jsou post-hoc odhadem intervalu spolehlivosti pro sílu testu, požadované síle pak odpovídá odhad pro potřebný rozsah vzorku. Koeficient determinace sice vyšel signifikantní, ale jeho interval spolehlivosti je poměrně široký a obsahuje i hodnoty blízké nule, proto lze očekávat, že i síla testu bude dosahovat velkých nebo malých hodnot Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 46 Testy o koeficientu determinace Koeficient deterninace kritické hodnoty Zajímavým testem je test hypotézy H 0 : P a. Cíle: Kritické hodnoty pro testy libovolných hypotéz o P p-hodnota pro pozorované R Stanovení síly testu pro testování hypotézy pro konkrétní alternativu, že P =0.30. Kritická hodnota pro jednostrannou hypotézu je Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 48 37

38 6..0 Koeficient determinace p-hodnota Zobecněná rozdělení 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA 49 Necentrální χ -rozdělení Náhodné veličiny X i nechť jsou nezávislé a mají normální rozdělení N(µ i,σ i ). Potom náhodná veličina k i= X i σ i má necentrální χ dané počtem stupňů volnosti k a parametrem necentrality δ, definovaným často jako k µ i δ = i=. σ i Hustota pravděpodobnosti Příklad: Necentrální chí-kvadrát Chí-kvadrát test dobré shody Chí-kvadrát test nezávislosti pro kontingenční tabulky Chí-kvadrát test homogenity Testové statistiky mají při splnění H 0 chí-kvadrát rozdělení s ν stupni volnosti Pokud H0 neplatí, mají testové statistiky necentrální chí-kvadrát rozdělení se stejným počtem stupňů volnosti ν a s parametrem necentrality δ, který závisí na tvaru uvažované alternativní hypotézy 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 5 38

39 6..0 Příklad: Necentrální chí-kvadrát Uvažujme chí-kvadrát test dobré shody s nulovou hypotézou a alternativou H H : 0 p i = pi0 : i : p i p 0. i k x 0 Testová statistika i npi G k = má asymptoticky chíkvadrát rozdělení s k- stupni i= npi 0 volnosti. Příklad: Necentrální chí-kvadrát Pro výpočet síly testu P( G k > χ k, α potřebujeme parametr necentrality δ = n ) k ( pi pi0 ), i= i0 kde p i jsou hodnoty pravděpodobností dané konkrétní specifikovanou alternativou. p Nulovou hypotézu zamítáme, když G > k χk, α Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 54 Příklad: Necentrální chí-kvadrát Příklad: Necentrální chí-kvadrát Uvažujme konkrétně test hypotézy H 0 : pi = pi0 =, i =, K,6 6 Jestliže ve skutečnosti platí, že p 6 =/4, a všechny ostatní pravděpodobnosti jsou homogenní. A) najděte sílu testu pro tuto alternativu, pro hladinu spolehlivosti α=0.05 a rozsah výběru n=0. B) Najděte také minimální n, tak aby dosažená síla testu pro danou alternativu byla alespoň Jestliže je p 6 =/4 a zbylé pravděpodobnosti jsou stejné, platí p i =3/0, pro i=,, 5. Parametr necentrality je tedy roven 6 δ = n ( p p ) i= i = n n = 0 i i0 = p Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 56 39

40 6..0 Příklad: Necentrální chí-kvadrát P( Gk > χk, ) = P( Gk >.07) = Χk, α δ (.07) Nulovou hypotézu zamítáme pro hodnotu testové statistiky větší než 95% kvantil chí-kvadrát rozdělení s 5 stupni volnosti:.07. Síla testu je tedy Příklad: Necentrální chí-kvadrát Při změně velikosti rozsahu výběru se změní i parametr necentrality. Spočteme tedy nejprve jeho novou hodnotu pro sílu testu -p=0.90 Nová hodnota parametru necentrality je rovna 6.5, protože platí n δ =, 0 dostáváme minimální rozsah výběru 0 δ = = Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 58 Příklad: Chí-kvadrát test nezávislosti H 0 : π ij = π i. π. j, i =, K, r, j =, K, s H : non H 0 Testová statistikag = Kritický obor W α k = i.. j má za platnosti nulové hypotézy asymptoticky chí-kvadrát rozdělení s (k-) stupni volnosti. nπ 5 i0 = { G χ α } rs ( n nπ π ij nπ π i.. j ) Necentrální t-rozdělení Parametr necentrality delta(v případě jednovýběrového testu je roven populačnímu průměru, v případě dvouvýběrového rozdílu populačních průměrů). Nechť je Znáhodná veličina s rozdělenímn(0,)a Vnáhodná veličina s rozdělením χ s νstupni volnosti, pak má T necentrální t- rozdělení s parametrem necentrality δ a ν stupni volnosti. Z + δ T = V ν 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 60 40

41 6..0 Necentrální F-rozdělení Má-li náhodná veličina X necentrální χ s parametrem necentrality δ a ν stupni volnosti a Y je náhodná veličina s χ rozdělením s ν stupni volnosti, pak statistika X / ν F = Y / ν má necentrální F rozdělení s ν a ν stupni volnosti a parametrem necentrality δ. Příklad: Vyvážená jednofaktorová ANOVA Uvažujme test hypotézy H 0 : µ = µ = µ 3 při skutečných hodnotách µ =59, µ =66a µ 3 =4a dále σ=, α=0.05a n =n =n 3 =4. Testová statistika je porovnávána s 95% kvantilem F-rozdělení s a 9 stupni volnosti, tj. s hodnotou Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 6 Příklad: Vyvážená jednofaktorová ANOVA Příklad: Vyvážená jednofaktorová ANOVA Při µ =59, µ =66 a µ 3 =4 a σ=, n =n =n 3 =4 je parametr necentrality roven P( F > F (; )) = P( F > 4.56) = F(; 9; δ = 8.463) δ = n k j= ( µ j µ ) k σ = 3 j= = ( µ j ) 3 44 = Síla testu je Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 64 4

42 6..0 Příklad: Vyvážená jednofaktorová ANOVA Pro srovnání f = 3 j= µ j µ σ 3 RMSSE = = j= j= µ j µ σ = 3 µ j σ =.085 Příklad: Nevyvážená ANOVA V případě nevyvážené analýzy rozptylu (tj. rozsahy skupin se liší) je třeba pro výpočet parametru necentrality použít vzorec: k n j δ = n j= n ( µ µ ) j σ váhy jednotlivých skupin 0..0 Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 66 Příklad: Nevyvážená ANOVA Testujeme hypotézu Příklad: Nevyvážená ANOVA Testovou statistiku porovnáváme s hodnotou kvantilu F 0.95 (; 47)=3.95. H : µ = µ =. 3 0 µ Určete sílu testu, jsou-li skutečné hodnoty µ =3, µ =7 a µ 3 =8 a dále σ=4, n =0, n =0, n 3 = Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 68 4

43 6..0 µ Příklad: Nevyvážená ANOVA 3 = j= n µ = j n j 50 ( ) = 6. 6 Parametr necentrality k n ( ) j µ j µ δ = n = j= n σ = = = = 0.75 Příklad: Nevyvážená ANOVA Jaký je minimální rozsah výběru, jestliže požadovaná síla je 0.9? Váhy jednotlivých skupin zachováme. Výsledná síla testu je Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 70 Příklad: Nevyvážená ANOVA Spočteme delta: Ze vztahu 0.5n = δ = 3.5 vyjádříme n, n=6.78. Aby rozsahy skupin byly celá čísla, vezmeme nejbližší vyšší násobek pěti, tedy n=65. Nevyvážená ANOVA Návrh experimentu Jednotlivé skupiny mají nějaké konkrétní relativní četnosti n i v rámci celé populace n Výběr Náhodně vybereme n jednotekz celé populace (relativní četnosti jsou zachovány) Vybereme vždy n i =n/k jednotek v každé skupině (relativní četnosti zachovány nejsou) Výsledek Předpokládejme, že v populaci je skupina malého rozsahu, n i =p, která má extrémní hodnoty (tj. průměr sledované charakteristiky je významně vyšší než v ostatních skupinách). V prvním případě bude f, resp. RMSSEmenší než ve druhém případě, a tedy ve druhém případě získáme větší sílu testu Analýza síly testu ve STATISTICA Analýza síly testu ve STATISTICA 7 43

44 6..0 Děkuji za pozornost Analýza síly testu ve STATISTICA 73 44

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D.

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Program Statistica Base 9 Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. OBSAH KURZU obsluha jednotlivých nástrojů, funkce pro import dat z jiných aplikací, práce s popisnou statistikou, vytváření grafů, analýza dat, výstupní

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz Nulová a alternativní hypotéza většina statistických analýz zahrnuje různá porovnání, hledání vztahů, efektů Tvrzení, že efekt je nulový,

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová Navrhování experimentů a jejich analýza Eva Jarošová Obsah Základní techniky Vyhodnocení výsledků Experimenty s jedním zkoumaným faktorem Faktoriální experimenty úplné 2 N dílčí 2 N-p Experimenty pro studium

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

Testy pro porovnání vlastností dvou skupin

Testy pro porovnání vlastností dvou skupin Testy pro porovnání vlastností dvou skupin Petr Pošík Části dokumentu jsou převzaty (i doslovně) z Mirko Navara: Pravděpodobnost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Projekt z předmětu Statistika

Projekt z předmětu Statistika Projekt z předmětu Téma: Typologie hráče české nejvyšší hokejové soutěže VŠB-TU Ostrava:Fakulta Elektrotechniky a informatiky jaro 2011 Martin Dočkal doc068 dockal.martin@gmail.com 1 Obsah 2 Zadání...

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat. Jiří Šafr

Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat. Jiří Šafr Kurz SPSS: Jednoduchá analýza dat Jiří Šafr vytvořeno 29. 6. 2009 Dva základní typy statistiky 1. Popisná statistika: metody pro zjišťování a sumarizaci informací grfy, tabulky, popisné chrakteristiky

Více

Cronbachův koeficient α nová adaptovaná metoda uvedení vlastností položkové analýzy deskriptivní induktivní parametrické

Cronbachův koeficient α nová adaptovaná metoda uvedení vlastností položkové analýzy deskriptivní induktivní parametrické Československá psychologie 0009-062X Metodologické požadavky na výzkumné studie METODOLOGICKÉ POŽADAVKY NA VÝZKUMNÉ STUDIE Výzkumné studie mají přinášet nová konkrétní zjištění získaná specifickými výzkumnými

Více

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests), : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests),   : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij Testy dobré shody Máme dvě veličiny a předpokládáme, že jsou nezávislé (platí nulová hypotéza nezávislosti). Často chceme naopak prokázat jejich závislost. K tomu slouží: TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Statistika (MD30P03Z, MD30P03U) ak. rok 007/008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara (naposledy upraveno. listopadu 007) 1(4) Mann-Whitney párový Wilcoxon párový znaménkový

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

Obsah. 3 Testy 31 3.1 z test... 32 3.2 z test 2... 33 3.3 t test... 34 3.4 t test 2s... 35

Obsah. 3 Testy 31 3.1 z test... 32 3.2 z test 2... 33 3.3 t test... 34 3.4 t test 2s... 35 Obsah 1 Popisná statistika 4 1.1 bas stat........................................ 5 1.2 mean.......................................... 6 1.3 meansq........................................ 7 1.4 sumsq.........................................

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

5 ANALÝZA ROZPTYLU. Počet sloupců, K = 7 Počet dat, N = 70 Celkový průměr = 3.9846

5 ANALÝZA ROZPTYLU. Počet sloupců, K = 7 Počet dat, N = 70 Celkový průměr = 3.9846 1 5 ANALÝZA ROZPTYLU Vzorová úloha 5.1 Zkrácený postup jednofaktorové analýzy rozptylu Na úloze B5.02 Porovnání nové metody v sedmi laboratořích ukážeme postup 16 jednofaktorové analýzy rozptylu. Kirchhoefer

Více

Přednáška 10. Analýza závislosti

Přednáška 10. Analýza závislosti Přednáška 10 Analýza závislosti Analýza závislosti dvou kategoriálních proměnných Analýza závislosti v kontingečních tabulkách Analýza závislosti v asociačních tabulkách Simpsonův paradox Analýza závislosti

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 76

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 76 1 / 76 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které

Více

ADDS cvičení 7. Pavlína Kuráňová

ADDS cvičení 7. Pavlína Kuráňová ADDS cvičení 7 Pavlína Kuráňová Analyzujte závislost věku obyvatel na místě kde nejčastěji tráví dovolenou. (dotazník dovolená, sloupce Jaký je Váš věk a Kde nejčastěji trávíte dovolenou) Analyzujte závislost

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy.

Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy. Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy. Z pastí na daném území byla odhadnuta abundance několika druhů: myšice lesní 250, myšice křovinná 200, hraboš polní 150,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

META-ANALÝZA Z POHLEDU STATISTIKA. Medicína založená na důkazu - Modul 3B

META-ANALÝZA Z POHLEDU STATISTIKA. Medicína založená na důkazu - Modul 3B META-ANALÝZA Z POHLEDU STATISTIKA Medicína založená na důkazu - Modul 3B OBSAH: Úvodní definice... 2 Ověření homogenity pomocí Q statistiky... 3 Testování homogenity studií pomocí I 2 indexu... 6 Výpočet

Více

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta. Statistika II

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta. Statistika II Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta Statistika II distanční studijní opora Marie Budíková Brno 2006 Tento projekt byl realizován za finanční podpory Evropské unie v rámci programu SOCRATES

Více

Vícerozměrné statistické metody

Vícerozměrné statistické metody Vícerozměrné statistické metody Smysl a cíle vícerozměrné analýzy dat a modelování, vztah jednorozměrných a vícerozměrných statistických metod Jiří Jarkovský, Simona Littnerová Průběh výuky 13 přednášek

Více

Třídění statistických dat

Třídění statistických dat 2.1 Třídění statistických dat Všechny muže ve městě rozdělíme na 2 skupiny: A) muži, kteří chodí k holiči B) muži, kteří se holí sami Do které skupiny zařadíme holiče? prof. Raymond M. Smullyan, Dr. Math.

Více

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008)

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Ing. Vratislav Horálek, DrSc., předseda TNK 4 při ČNI 1 Terminologické normy [1] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika Slovník

Více

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Zvířata zařazená do hodnocení V modelu plemene H jsou hodnoceny krávy s podílem krve H nebo 75% a výše. V modelu plemene C jsou hodnoceny krávy s podílem krve

Více

ZOBECNĚNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL. METODA ZOBECNĚNÝCH NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ

ZOBECNĚNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL. METODA ZOBECNĚNÝCH NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ ZOBECNĚNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL. METODA ZOBECNĚNÝCH NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ V následujícím textu se podíváme na to, co dělat, když jsou porušeny některé GM předpoklady. Nejprve si připomeňme, o jaké předpoklady

Více

Statistika v příkladech

Statistika v příkladech Verlag Dashöfer Statistika v příkladech Praktické aplikace řešené v MS Ecel Ukázkové tety z připravované učebnice Doc. Ing. Jan Kožíšek, CSc. Ing. Barbora Stieberová, Ph.D. Praha 0 Obsah Obsah. Předmluva

Více

A 4 9 18 24 26 B 1 5 10 11 16 C 2 3 8 13 15 17 19 22 23 25 D 6 7 12 14 20 21

A 4 9 18 24 26 B 1 5 10 11 16 C 2 3 8 13 15 17 19 22 23 25 D 6 7 12 14 20 21 Příklad 1 Soutěž o nelepší akost výrobků obeslali čtyři výrobci A, B, C, D celkem 26 výrobky. Porota sestavila toto pořadí (uveden pouze původ výrobku od nelepšího k nehoršímu): Pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8

Více

IBM SPSS Complex Samples

IBM SPSS Complex Samples IBM Software IBM SPSS Complex Samples Analyzujte výsledky komplexních výběrových šetření korektním způsobem Korektní zpracování výzkumů založených na komplexních výběrových plánech není snadné. Statistické

Více

Biostatistika a matematické metody epidemiologie - stručné studijní texty

Biostatistika a matematické metody epidemiologie - stručné studijní texty Biostatistika a matematické metody epidemiologie - stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Pokud data zadáme přes "Commands" okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18.

Pokud data zadáme přes Commands okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18. Regresní analýza; transformace dat Pro řešení vztahů mezi proměnnými kontinuálního typu používáme korelační a regresní analýzy. Korelace se používá pokud nelze určit "kauzalitu". Regresní analýza je určena

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Z metodologie známe dělení proměnných do několika skupin. Nejčastěji se užívá dělení dle S. Stevense. Nicméně nám postačí dělení jednodušší:

Z metodologie známe dělení proměnných do několika skupin. Nejčastěji se užívá dělení dle S. Stevense. Nicméně nám postačí dělení jednodušší: Slovo úvodem Ne všechno, co si řekneme v tomto kurzu, je pravda. Není to proto, že by mým záměrem bylo před posluchači něco tajit nebo je uvádět ve zmatek. Problematika testování statistických hypotéz

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F vypracoval: Jaroslav Nušl dne: 17.6.24 email: nusl@cvut.org Semestrální práce z předmětu Matematika 6F Zádání: Cílem semestrální práce z matematiky 6F bylo zkoumání hudebního signálu. Pluginem ve Winampu

Více

STATISTIKA LS 2013. Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D.

STATISTIKA LS 2013. Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. STATISTIKA LS 2013 Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Cvičící: Ing. Ondřej Grunt RNDr. Pavel Jahoda, Ph.D. Ing. Kateřina Janurová Mgr. Tereza

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky STATISTIKA V SPSS Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček 2014 Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček STATISTIKA V SPSS 1. vydání

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika MS710P05 Zdeněk Hlávka (Šárka Hudecová, Michal Kulich) Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hlavka@karlin.mff.cuni.cz

Více

ANALÝZA KATEGORIZOVANÝCH DAT V SOCIOLOGII

ANALÝZA KATEGORIZOVANÝCH DAT V SOCIOLOGII ANALÝZA KATEGORIZOVANÝCH DAT V SOCIOLOGII Tomáš Katrňák Fakulta sociálních studií Masarykova univerzita Brno SOCIOLOGIE A STATISTIKA nadindividuální společenské struktury podmiňují lidské chování (Durkheim)

Více

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky STATISTICA ÚVOD DO ZPRACOVÁNÍ DAT. Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky STATISTICA ÚVOD DO ZPRACOVÁNÍ DAT. Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky STATISTICA ÚVOD DO ZPRACOVÁNÍ DAT Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček 2013 Jana Borůvková, Petra Horáčková, Miroslav Hanáček STATISTICA

Více

IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY

IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY Vážení studenti, úkolem dnešního cviení je nauit se analyzovat data kvantitativní povahy. K tomuto budeme opt používat program Excel 2007 MS Office. 1. Jak mžeme analyzovat kvantitativní

Více

STATISTIKA V EXCELU. Obecně o funkcích

STATISTIKA V EXCELU. Obecně o funkcích STATISTIKA V EXCELU Po přehledu statistického software je nutné zmínit, že pro většinu statistických výpočtů, které provádíme v sociologii statistický software ani nepotřebujeme. Většinu toho, co jsme

Více

Ukazka knihy z internetoveho knihkupectvi www.kosmas.cz

Ukazka knihy z internetoveho knihkupectvi www.kosmas.cz Ukazka knihy z internetoveho knihkupectvi www.kosmas.cz RNDr. Marie Budíková, Dr., Mgr. Maria Králová, Ph.D., Doc. RNDr. Bohumil Maroš, CSc. Průvodce základními statistickými metodami Vydala Grada Publishing,

Více

STATISTIKA V EXCELU. Obecně o funkcích

STATISTIKA V EXCELU. Obecně o funkcích STATISTIKA V EXCELU Po přehledu statistického software je nutné zmínit, že pro většinu statistických výpočtů, které provádíme v sociologii statistický software ani nepotřebujeme. Většinu toho, co jsme

Více

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2 Statistika jako obor Statistika Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů hromadného charakteru. Tím se myslí to, že zkoumaný jev musí příslušet určité části velkého množství objektů (lidí,

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Statistika (4ST201) Vytvoříme datový soubor, který obsahuje věk, výšku a pohlaví studentů tohoto semináře. V Excelu

Statistika (4ST201) Vytvoříme datový soubor, který obsahuje věk, výšku a pohlaví studentů tohoto semináře. V Excelu Statistika (4ST201) 1 Popsisná statistika (1. a 2. cvičení) 1.1 Úvodní příklad Vytvoříme datový soubor, který obsahuje věk, výšku a pohlaví studentů tohoto semináře. V Excelu určete: 1. Vytvořte histogram

Více