x = a a 2. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "x = a a 2. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice."

Transkript

1 1. Lineární rovnice, lineární rovnice s parametrem, soustavy lineárních rovnic Základní typy algebraických rovnic. Vysvětlete význam zkoušky. Princip řešení rovnic s parametrem, diskuse řešení, přípustnost parametru. Ukažte základní metody řešení soustavy lineárních rovnic a související pojmy, např. matice soustavy a Gaussova eliminační metoda. 1. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R: p=0 nedefin. P nemá řeš., P - = R, ostatní = 1/(p-) p = p. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R: p + + p + p p (p = p p=± nedefin., P nemá řeš., ostatní -6p /(p-). Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R: p + 6p + p = 0 p=0 všechna reál. čísla, -1/ 1, 1/ -1, (-1/, 0) (0, 1/) nemá řeš., ostatní = -p± (9p -1) 4. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem a R: 1 = a a + a = a a 5. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem a R: 1 a = 0 nepřípustná hodnota, ostatní = a/(a 1) 6. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem a R: řešení, a = ± = 1/(a-) V: = 1/(a ) a = a V: a = ± 1 nemá řeš. + 4) 9 V: a = - R, a = nemá 7. Řešte v R zvolenou metodou soustavy rovnic: a) y + z = 0 5y z = - 7 -y + z = 16 V:,, 1 b) y + z = 0 + y z = + y + z = 1 V:,, 5 c) y + 4z = 8 + 5y z = 10 7 y + 7z = 15 V: nemá řešení 8. Řešte v R soustavu rovnic: 1/( + ) + 10/(y + 5) = 1 /( + ) - 5/(y + 5) = -1 V: 1; 10. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice. 1. Je dán bod A a dvě soustředné kružnice k(s; cm) a l(s; cm). Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby B k, C l.. Je dán čtverec vhodné velikosti. Na jedné straně je dán bod A (v žádné speciální poloze). Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby zbývající vrcholy B, C ležely na obvodu čtverce.. Je dán bod A, přímka p a kružnice k. Sestrojte všechny pravoúhlé rovnoramenné ABC se základnou BC, pro které platí B k, C p. 4. Jsou dány dvě různé kružnice k, l a bod S. Sestrojte všechny obdélníky ABCD se středem S, pro které platí AB =. BC, B k, C l. 5. Je dán bod C, přímka p a kružnice k(s; 4 cm), S,p = 5 cm, přitom body C, S leží v téže polorovině s hraniční přímkou p. Sestrojte všechny pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky ABC ( <ACB = 90 ) tak, aby A p, B k.

2 . Užití určitého integrálu objem rotačního tělesa Definujte funkci, derivaci spojité funkce a primitivní funkci. Primitivní funkce a určitý integrál, Newton- Leibnitzova věta. 1. Vypočítejte objem rotačního paraboloidu o poloměru podstavy r = cm, výšce v = 6 cm. V: y = (/), V = 7. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule o daném poloměru r.. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y =, y = 1/, y = 0, = kolem osy. V: (5/6) 4. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotačního kužele o poloměru podstavy r, výšce v. 5. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = +, = -1, = 1, y = 0 kolem osy. 6. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = 1 - a y = kolem osy. 7. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblouku sinusoidy y = sin kolem osy v intervalu <0; >. 4. Základy vektorové algebry, operace s vektory Definujte vektor, sčítání a odčítání vektorů, násobení vektoru reálným číslem, radiusvektor bodu v kartézské soustavě souřadnic. Lineární kombinace vektorů. Skalární, vektorový a smíšený součin, využití při řešení geometrických úloh. 1. Vypočtěte souřadnice bodu B, je-li B = A +.u v, kde A[; 4], u = (1; ), v = ( ; 5).. Zjistěte, zda vektor u = (1; 1; ) je lineární kombinací vektorů a = ( 1; 0; 1), b = (; ; ) a vektor v = ( ; 4; 6) lineární kombinací p = (1; ; ), q = (; 1; 1).. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku A, B, C. Uveďte alespoň dvě metody řešení. A[0; 1], B[ 1; ], C[1; ]. 4. Je dán ABC, A(-1, -, 8), B(0, 0, 0), C(6,, 0). Užitím vektorového součinu vypočítejte jeho obsah. 5. Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu určeného vektory a = (, 4, 0), b = (0, -, 1), c = (, 0, 5). 6. Jsou dány vektory a = (, ), b = (1, 4), c = (0, ). Určete početně i graficky: a) u = a + b + c, b) v = a + b c. 7. Jsou dány body K (,, -4), L (, 6, -5), M (-4, -1, 0). Vypočítejte souřadnice bodu N, jestliže platí: L K = u, M N = -u. 8. Je dán ABC, A (,, 1), B (1, -, 0), C (0,, 5). Užitím skalárního součinu určete velikost vnitřního úhlu. 9. Jsou dány vektory a = (, -, 1), b = (1, 1, ), c = (, 1, -1). Vypočtěte a. (b c). 10. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, a = 6, v =.. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete velikost boční hrany jehlanu, úhel hran AV a BC a úhel hran AV a CV. 11. V krychli ABCDEFGH dokažte, že rovina AFH je kolmá na rovinu CGE. Využijte vhodně zvolenou soustavu souřadnic a vektory.

3 5. Obor kompleních čísel. Zavedení oboru kompleních čísel, algebraický a goniometrický tvar, číslo kompleně sdružené, Gaussova rovina, Moivreova věta, absolutní hodnota a argument kompleního čísla, odmocnina kompleního čísla, diskuse řešení kvadratické rovnice v R a v C. 1. Jsou dána komplení čísla: z = 1 + i, u = 5i. Vypočtěte: a) Součin z.u, b) z + u - z - u, c) Podíl z/u ( 1 + i; -8; -7/4 + 11/4 i). Převeďte daná komplení čísla z, u na goniometrický tvar. Porovnejte výsledky operací z.u, z/u metodou algebraickou a goniometrickou, vysvětlete geometrickou interpretaci násobení a dělení: z = 1 i; u = i ( (cos7 /4 + isin7 /4); (cos /4 + isin /4) ). Zobrazte čísla z, pro která platí: a) z 1 + i = ( kružnice S(1, -1), r = ) b) z - 1 z - i ( polorovina y ) 4. Najděte všechna komplení čísla z, pro která platí: a) z + z = 6 i, b) z z = 6 + 8i (+i, -i) 5. V Gaussově rovině zobrazte všechna komplení čísla, pro která platí: a) 1 + i z > ½, b) 1 + i z, c) - i z 1 + i - i 6. Vypočítejte z = 5 + 1i bez přechodu ke goniometrickému tvaru kompleního čísla. ( z = ± ± i) 7. Řešte v oboru C rovnici: i 1 + i = 1 i + i (1/10 + 1/10 i) 8. Užitím Moivreova věty vypočítejte: a) (cos / + i.sin /) 6, b) (1 i) 100 1, c) 1 + i (-1/ + i /; - 50 ; -i/) Shodná zobrazení v rovině středová souměrnost, posunutí Definujte shodné zobrazení, středovou souměrnost, posunutí. Popište zobrazení bodu, přímky a kružnice. Vztah středové souměrnosti a otočení. 1. Je dána přímka p, kružnice k(s; r), bod M, který neleží na přímce ani na kružnici. Sestrojte všechny úsečky, jejichž krajní body jsou na zadaných útvarech, přičemž tyto úsečky jsou půleny zadaným bodem M.. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li velikosti všech těžnic trojúhelníka. Řešte užitím středové souměrnosti.. Jsou dány dvě protínající se kružnice k, l. Jedním jejich průsečíkem veďte přímky tak, aby na nich kružnice vytínaly stejně dlouhé tětivy. 4. V ABC je dáno: t b = 5 cm, a = 7 cm, = 60. Výchozím prvkem je t b. Sestrojte jej. 5. Je dána kružnice k(s;,5 cm) a její dvě rovnoběžné tečny t 1 a t. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC o délce strany 5,5 cm, aby A t 1, B t, C k. 7. Binomická věta Definujte faktoriál, kombinační číslo, uveďte jeho vlastnosti. Binomická věta, Pascalův trojúhelník. 1. Zjistěte, který člen binomického rozvoje neobsahuje proměnnou. Pokud takový člen eistuje, určete jeho pořadí a jeho hodnotu. Použijte vztah pro výpočet k-tého členu binomického rozvoje:

4 a) ) ( b) ( ) V: A6, A6. Vypočtěte 10. člen binomického rozvoje. Kolikátý člen binomického rozvoje V: odmoc() neobsahuje proměnnou? V:.člen 4. Vypočtěte a) ( - i) 5 b) (1 + i. ) 4 5. Pro které reálné platí, že čtvrtý člen rozvoje výrazu (1 + ) 6 je čtyřikrát větší než třetí člen? 6. Vypočítejte čtvrtý člen binomického rozvoje ( 1/ + y 1/ ) 4 V: 4y 1/ 8. Lineární funkce, grafy. Absolutní hodnota. Definujte binární relaci, zobrazení, funkci, lineární funkci. Definujte absolutní hodnotu reálného čísla. Definujte graf funkce, uveďte způsob výpočtu průsečíku grafu dvou funkcí. 1. Určete průsečík funkce f: y = - + se souřadnými osami. Pak napište rovnici lineární funkce g, jejíž graf je rovnoběžný s grafem funkce f() a prochází bodem [4; ].. Sestrojte graf funkce: a) f: y = b) g: y = Sestrojte graf funkce f: y = a vypočtěte jeho průsečíky se souřadnými osami. 4. Sestrojte graf relace + y Sestrojte graf funkce f: y = Vypočtěte průsečík funkce f: y = + 1 s funkcí g: y =

5 9. Kvadratická rovnice (i s parametrem), Vietovy vzorce. Metody řešení. Objasněte pojem kvadratické rovnice, systém jejího řešení. Vysvětlete význam zkoušky. Proveďte diskusi řešení kvadratické rovnice v R. Algebraické a grafické metody řešení. 1. Najděte alespoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čísla a) opačná b) dvojnásobná ke kořenům rovnice = 0, aniž danou rovnici řešíte.. Sestavte alespoň jednu kvadratickou rovnici, která má za kořeny převrácená čísla ke kořenům rovnice = 0, aniž danou rovnici řešíte.. V kvadratické rovnici (a - 5) (a 1) + = 0 určete hodnotu parametru a R tak, aby tato rovnice měla dvojnásobný kořen. V: a = 4 4. Součet. mocnin dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je o 40 menší než. mocnina součtu těchto čísel. Určete obě čísla. V: +(+1) +40=(+1), čísla 14, Vypočítejte obsah obdélníku, jehož úhlopříčka je o cm delší než délka obdélníku a o 16 cm delší než jeho šířka. V: =(-) +(-16), čísla 6, 10 nemá smysl, S=4.10=40 6. Pro která reálná čísla m bude mít rovnice 4-8m - 6m + 9 = 0 jeden kořen třikrát větší než druhý? 7. Řešte v R: a) p + (p + ) + p + 0,75 = 0 b) a + 6a + a = Neurčitý integrál jednoduché metody integrace Definujte funkci, derivaci spojité funkce v bodě a intervalu, primitivní funkci (neurčitý integrál). Základní vzorce a metody integrace jednoduchých funkcí. 1. K dané funkci f určete primitivní funkci F tak, aby graf funkce F procházel bodem A(, ), jestliže f: y = y = -(/) d d 4 d 5 7. Vypočtěte: 4. Vypočtěte: tg d d cot g d 1 d sin cos d cos cos sin d cos.sin d 4. Vypočtěte: d 5. Vypočtěte: sin d lnd e d cos d 1 1 ( + 1) Vypočtěte: d d 1 d sin tg d cos 5

6 11. Aritmetická posloupnost. Definujte posloupnost, aritmetickou posloupnost. Rekurentní vyjádření. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená. Graf posloupnosti. Základní vztahy pro práci s aritmetickou posloupností, odvození, Gaussův vzorec. 1. Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen: n + 1 n n = 1. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte některé rekurentní zadání.. Posloupnost je dána rekurentně: a 1 = -, a n+1 = a n +. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte vzorec pro n-tý člen.. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: a + a 5 = 8 a + a 7 = 14 V: a 1 = -1, d = 4. Určete 1. člen, diferenci a vzorec pro n-tý člen AP, v níž je součet prvních členů roven 7 a součet. mocnin těchto členů roven 75. (a 1 = 5, d = 4, a n = 4n + 1) 5. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: a 1 + a 5 = 6 a.a 4 = 160 V: a 1 = 7, d = nebo a 1 = 19, d = - 6. Určete součet těch dvou sousedních členů AP: -, -17, -11, -5, 1,, mezi nimiž leží číslo (Pozor: číslo nemusí být členem této posloupnosti) ( 000) 7. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: součet prvních 4 členů je -, součet prvních 8 členů je. V: a 1 = -17, d = 6 1. Analytická geometrie lineárních útvarů polohové úlohy Definujte vzájemnou polohu přímek a rovin v rovině a prostoru. Uveďte základní způsoby vyjádření přímky v rovině a v prostoru a roviny v prostoru. 1. Napište parametrické rovnice roviny určené třemi body A(6; -; ), B(7; -; 0), C(5; -; ). Převeďte na obecnou rovnici.. Určete vzájemnou polohu přímky PQ, P(0; 0; 0), Q(1; 0; ) a roviny + y + z + 8 = 0. Jsou-li rovnoběžné, vypočítejte vzdálenost, jsou-li různoběžné, vypočítejte souřadnice průsečíku. (různoběžné, (-; 0; -4). Určete vzájemnou polohu rovin y 6z + 5 = 0, y 6z = 0. Jsou-li rovnoběžné, vypočítejte vzdálenost, jsou-li různoběžné, vypočítejte rovnici průsečnice a odchylku. (rovnoběžné, v = 5) 4. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny. Napište rovnici přímky q, která je pravoúhlým průmětem přímky p do roviny. a) p: = 1 - t, y = + t, z = 4 + t, t R; : + y - z - 6 = 0 b) p: = 1 - t, y = + t, z = 4 + t, t R; : - y + z + 18 = 0 5. Určete vzájemnou polohu rovin a : a) : - 5y + 4z - 10 = 0, : 4-10y + 8z - 10 = 0 b) : - 5y + 4z - 10 = 0, : - y - z - = 0 c) : - 5y + 4z - 10 = 0, : 4-10y + 8z - 0 = 0 6. Jsou dány přímky p: = 6 - t, y = m + t, z = -5 + t, t R; q: = -4 + s, y = 4 + s, z = 8-4s, s R. Určete číslo m tak, aby přímky byly různoběžné a vypočtěte jejich průsečík. Napište parametrickou a obecnou rovnici roviny určené přímkami p, q. 6

7 1. Geometrická posloupnost. Definujte posloupnost, geometrickou posloupnost. Rekurentní vyjádření. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená. Graf posloupnosti. Základní vztahy pro práci s geometrickou posloupností, jejich odvození. 1. Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen: 1 n n = 1. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte některé rekurentní zadání.. GP kladných čísel má tu vlastnost, že součet jejích prvních dvou členů je roven 1, zatímco součet prvních čtyř členů je roven. Vypočítejte kvocient a 1. člen GP. (q=, a 1 = -1). Součet 1. a. členu geometrické posloupnosti kladných čísel je roven 15. Součet prvních čtyř členů této posloupnosti je roven 45. Určete sedmý člen této posloupnosti. (a 1 =, q=, a 7 =19) 4. Velikosti hran kvádru tvoří po sobě jdoucí členy GP, součet jejich délek je 7 cm, objem kvádru je 8 cm. Vypočtěte povrch kvádru. (hrany: 1,, 4, V = 8) 5. Firma odepisuje každoročně 18 % z pořizovací ceny zakoupeného služebního auta. Za jak dlouho klesne cena pořízeného auta na 40 % ceny auta nového? (n = 4,617 = 4 roky 5 dnů) 6. Pan Rozhodný si uložil na 5 let do banky částku Kč na % úrok. Kolik mu banka vyplatí po uplynutí 5 let, jestliže je nutno každoročně státu platit 15 % daň z úroků, úrokovací období je 1 rok. (54 97 Kč) 7. Firma GKH se na začátku roku rozhodla, že v každém čtvrtletí zvýší svůj obrat o % ve srovnání s předcházejícím čtvrtletím. Předpokládejme, že se jí tento záměr daří plnit. A) O kolik procent vzroste obrat této firmy za roky? B) Za jak dlouho vzroste obrat o 5 %? V: a) 17, 17 %, b) během 1. čtvrtletí (n = 11,68) 14. Poloha dvou přímek v prostoru analytická metoda Definujte vzájemnou polohu přímek v rovině a prostoru. Uveďte základní způsoby vyjádření přímky v rovině a v prostoru. 1. Zjistěte vzájemnou polohu přímek v prostoru: p: = 1 - t, y = + t, z = t, t R, q: = 1 + s, y = -1 - s, z = s, s R. V: různoběžné, P(7, -4, -6). Bodem P[1; ; ] veďte přímku, která je kolmá k rovině : + y + z - 1 = 0. Určete souřadnice průmětu bodu P do této roviny.. Jsou dány body A[-1; 1; -1], B[5; 1; 7], C[4; ; ], D[1; ; -1]. Dokažte, že obrazec ABCD je lichoběžník. Určete, které strany jsou základnami a v jakém poměru jsou jejich velikosti. Vypočítejte velikost úhlu BAD. V: Základny AB, CD, poměr je :1, úhel = 57st. min 4. Dokažte, že přímky AB a CD jsou mimoběžné a vypočítejte jejich odchylku: A(1,,0), B(4,,-), C(,0,1), D(5,,-). stup 1 min 5. Pro které hodnoty reálného parametru m jsou přímky AB, CD rovnoběžné? A(,,), B(-1,0,), C(m,- 1,), D(1,1,). m = Jsou dány body A, B, C: A(7, 0, 5), B(1,-,-1), C(,,-1). Dokažte, že tyto body vytvářejí v prostoru pravoúhlý trojúhelník. Vypočítejte pak souřadnice těžiště, ortocentra, středu kružnice opsané ABC. Přepona AB, C = O, S je středem AB 7

8 15. Nerovnice algebraické a grafické řešení Popište řešení algebraických rovnic a nerovnic metodou nulových bodů, jiné způsoby řešení, ekvivalentní a neekvivalentní úpravy. Vysvětlete význam zkoušky. Definujte absolutní hodnotu reálného a kompleního čísla. 1. Řešte v R nerovnici: V: -1, 15. Řešte v R nerovnici: V: -4, /. Řešte v R algebraicky i graficky nerovnici: < 0 V: (-1, ) 4. Určete definiční obor funkce f: y = + 14 V: (-, -7/, + ) 5. Řešte v R nerovnici: ( ).( 5)/( ).( 7) < 0 V: (, ) (5, 7) 6. Určete definiční obor funkce f: y = log (5 8 4) V: (-, -/5) (, + ) 16. Trigonometrické řešení obecného trojúhelníka Vyslovte sinovou a kosinovou větu, uveďte jejich možné použití. Vztahy pro výpočet obsahu trojúhelníka, úvahy vedoucí k výpočtu poloměru kružnice opsané a vepsané trojúhelníku. 1. Řešte trojúhelník ABC (tj. vypočítejte velikosti všech stran a vnitřních úhlů), je-li dáno: c = 59 cm, = 40 0, S = cm.. Letadlo letí ve výšce 00 m směrem k pozorovatelně. V okamžiku prvního měření bylo vidět pod výškovým úhlem, v druhém okamžiku pod výškovým úhlem 58. Určete vzdálenost, kterou letadlo proletělo.. Je dán trojúhelník ABC: a = 7, cm, b = 4,8 cm, = 65. Vypočítejte: délku strany c, výšky v c, těžnice t c. V: c = 6,8, v c =4,6, t c =5,1 4. Patu věže C a místa A, B, ze kterých věž pozorujeme, jsou vrcholy trojúhelníku, ve kterém c = 80 m, = 60, = 8. Vypočítejte výšku věže, je-li z místa A vidět vrchol věže pod výškovým úhlem = 50. V: asi 60 m 5. Budova je vysoká 15 metrů, je vzdálena 0 metrů od břehu řeky. Z vodorovné střechy této budovy je vidět šířku řeky pod úhlem e = 15. Vypočítejte šířku řeky. V:asi 4 m 8

9 17. Derivace funkce, geometrická interpretace Vysvětlete geometrický způsob zavedení derivace. Derivace funkce v bodě a intervalu. Derivace součtu, součinu a podílu, derivace elementárních funkcí. Derivace a intervaly monotónnosti funkce. 1. Vypočítejte derivace následujících funkcí f() v libovolném bodě, ve kterém je fce def. a spojitá: a) f() = 1/; b) f() = ; c) f() = ; d) f() = ;e)f () = 4. Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f() = v jejím bodě T(1; t ). (y = 5 4). Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: f() =, g() =. ( = 45, = 18 6 ) 4. Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: f() =, g() =. ( = 45, = 6 4 ) 5. Vypočtěte 1. derivaci: a) y = sin : (1 - sin ) b) y = 5 cos Napište rovnici tečny a normály funkce y = ( - 1) : ( + ) v bodě T[0,?]. 7. Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: a)f() =, g() = sin, b) f() = sin, g() = cos 8. Napište rovnici tečny ke grafu funkce f: y = + 8, která prochází bodem T(1; y) ležícím na grafu této funkce. V: T(1, 5), t: y = Určete, ve kterých intervalech je funkce f: y = rostoucí a ve kterých klesající, stanovte stacionární body a lokální etrémy. klesající (-1, ) V: rost. (-nek, -1) (, nek.), 18. Stejnolehlost, podobnost, využití v konstrukčních úlohách Definujte shodné a podobné zobrazení, typy. Samodružné body. Skládání zobrazení. Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití při odvození Euklidových vět a Pythagorovy věty. Stejnolehlost. Společné tečny dvou kružnic. Apolloniovy úlohy. 1. Zobrazte trojúhelník ABC ve stejnolehlosti H(S, k). a) S AB, k =,5 b) S leží vně ABC, k = : c) S = A, k = -0,75. Do ostroúhlého trojúhelníku ABC vepište čtverec PQRS tak, aby P, Q AB, R BC, S AC.. Jsou dány dvě různoběžky a, b a bod M, který neleží na žádné z nich. Sestrojte kružnici, která se dotýká obou přímek a prochází bodem M. 4. Je dána přímka p, kružnice k a bod A (vše navzájem disjunktní). Sestrojte všechny úsečky XY, kde X p, Y k a AY =. AX 5. Je dán konvení úhel AVB a bod M ležící uvnitř tohoto úhlu. Bodem M veďte přímku m, protínající VA a VB v bodech X a Y tak, že VX : VY = : 6. Je dána přímka p, kružnice k a bod A (vše navzájem disjunktní). Sestrojte ABC tak, aby B p, C k, = 60 a AC =. AB. 7. Sestrojte ABC, pro který platí: a : c = 4 : 7; = 45 ; t c = 4,5 cm. 8. Je dána přímka t, ve stejné polorovině určené touto přímkou jsou dány dva různé body A, B tak, že jejich spojnice není ani kolmá k přímce t, ani není rovnoběžná s t. Sestrojte všechny kružnice, které procházejí body A, B a zároveň se dotýkají přímky t. 9

10 19. Limita posloupnosti a limita funkce 1. Rozhodněte, zda dané posloupnosti jsou konvergentní či divergentní. Pokud jsou konvergentní vypočítejte limitu pro n + : n + 1 n + n = 1 n, n + 1 n = 1 n, n + n = 1 n 4, 5n n = 1 5 +, ( 1) n n.n n = 1. Vypočítejte limity: a) b). Vypočítejte limity: a) b) 4. Vypočítejte limity: a) b) c) 5. Vypočítejte limity: a) b) c) 0. Kartézský součin, binární relace a zobrazení, vlastnosti a grafy. Definujte kartézský součin, binární relaci a zobrazení. Inverzní relace a zobrazení, definiční obor, obor hodnot. Grafy. 1. Je dána množina A = {1,,, 4} a relace S = {[1; ], [; ], [; ], [4; 4]}. Určete definiční obor a obor hodnot relace S. Určete, zda relace S v množině A je zobrazení (funkce), prosté zobrazení. Najděte inverzní relaci S -1 a určete, je-li zobrazením.. V množině R jsou dány dvě binární relace: A: + y 9, B: y + 0. Sestrojte jejich kartézské grafy a vyznačte: A B, A B, A B, B A.. V množině R jsou dány dvě binární relace: A: + y, B: y - 0. Sestrojte jejich kartézské grafy a vyznačte: A B, A B, A B, B A. 4. Sestrojte do jednoho obrázku kartézské grafy tří binárních relací v množině R: A: y + 1, B: y, C: y + 0. Vyznačte: A B, C B, A C, A B C. 5. Sestrojte v R grafy relací T: y a U: y +. Určete graf relace V = T U a vypočtěte obsah grafu relace V. 10

11 1. Vyšetřování průběhu funkce Definujte kartézský součin, relaci, funkci, definiční obor, obor hodnot, omezenost, spojitost, monotónnost, sudost a lichost, etrémy, inflení body, asymptoty grafu. Vyšetřování průběhu pomocí derivací a limit. 1. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: V: asymptoty = -1, y=- y = + 1. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: V: as: =, = -, y = 1, sudá. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: y = 4 y = Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: 1 y = 1 +. Goniometrické rovnice Definujte goniometrické funkce obecného úhlu. Definiční obory a obory hodnot, asymptoty a body nespojitosti. Grafy. 1. Řešte rovnici v R: a) sin ( + /6) = -1 b) cos ( - /8) = -1. Řešte rovnici v R: sin cos 4sin + = 0. Řešte rovnici v R: cos = sin 4. Řešte rovnici v R: tg + 4 cotg = 9 5. Řešte rovnici v R:.sin + 7.cos - 5 = 0 6. Řešte rovnici v R: a) cos + sin = 0 b).sin =.tg 7. Řešte rovnici v R: tg + tg = 1 + tg 11

12 . Eponenciální rovnice Definujte funkci, definiční obor a obor hodnot, prostou funkci, graf funkce. Pojem inverzní funkce, kritérium eistence, souvislost D(f), H(f), D(f-1), H(f-1). Definujte eponenciální a logaritmickou funkci, načrtněte jejich grafy. Přirozený logaritmus. 1. Řešte v oboru R rovnici:. Řešte v oboru R rovnici: 6 5 ( = ) log 7 log 0,01 = = 1,. Řešte v oboru R rovnici: 5.. = 0 = 1, Řešte v oboru R rovnici: = 1 + = ½ = 4 5. Řešte v oboru R rovnici: = 1 = ± 0,69 6. Řešte v oboru R rovnici: = = 5 7. Řešte v oboru R rovnici: 81 + = 1 =, Nekonečná geometrická řada Definujte posloupnost, aritmetickou a geometrickou posloupnost, řadu, geometrickou řadu. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená, neomezená. Konvergence a součet nekonečné geometrické řady. 1. Určete hodnotu součinu: V: součin = 4 n 1 4. Řešte v R rovnici: a) = b) ( n ) 4 sin = tg V: 6, /4+k n = 1 n = 1. Do rovnostranného trojúhelníku A 1 B 1 C 1 o straně a je vepsán trojúhelník A B C tvořený jeho středními příčkami. Do něj je stejným způsobem vepsán další trojúhelník atd. Vypočtěte součet obvodů a součet obsahů všech takto získaných trojúhelníků. n = 1 4. Řešte v R rovnici: 1 n = V: def. obor je 0, výsl. = Na jednom rameni úhlu AVB, jehož velikost je / rad, je z bodu A spuštěna kolmice na druhé rameno, její pata je označena A 1, z ní je spuštěna kolmice na první rameno, její pata je A, atd až do nekonečna. Vypočítejte délku takto vzniklé lomené čáry, je-li AV = 10 cm. 6. V rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB sestrojíme výšku CC 1 z vrcholu C, dále v trojúhelníku ACC 1 výšku C 1 C z vrcholu C 1, atd. Vyjádřete délku lomené čáry CC 1 C C pomocí délky odvěsny BC = a. V: a( +1) 1

13 5. Kvadratická funkce. Definujte funkci, definiční obor a obor hodnot, prostou, rostoucí, klesající funkci, graf funkce. Pojem inverzní funkce, kritérium eistence, vztahy mezi D(f), H(f), D(f -1 ), H(f -1 ). Definujte kvadratickou funkci. 1. Načrtněte graf funkcí: y =, y = -, y = ( ), y = -( +), y = -( -1) +. Popište vlastnosti těchto funkcí.. Načrtněte graf funkce: a) y = + b) y = 6 8. Nalezněte souřadnice vrcholu paraboly, která je grafem této funkce.. Načrtněte graf funkce: a) y = b) y = 0, Nalezněte souřadnice vrcholu paraboly, která je grafem této funkce. 4. Načrtněte graf funkce: a) y =. b) y =. -. Popište jejich vlastnosti. 5. Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí: y =, y =, y =. Popište, jak spolu souvisejí jednotlivé grafy. 6. Je dána úsečka délky d. Rozdělte tuto úsečku na části tak, aby součet obsahů rovnostranných trojúhelníků sestrojených z těchto částí byl minimální. 6. Kombinatorika - variace, permutace, kombinace, vlastn. kombinačních čísel Definujte základní kombinatorické postupy a pojmy, variace, permutace, kombinace, faktoriál, kombinační číslo a jeho vlastnosti, Pascalův trojúhelník. Anagramy. 1. Kolik 4-ciferných přirozených čísel lze sestavit z cifer 0, 1,,, 4, 5, 6, jestliže a) žádná cifra se neopakuje, b) v každém čísle se mohou cifry jakkoliv opakovat. V(4,7)-V(,6)=70 V (4,7)- V (,7)=7 4-7 =058. Kolik anagramů je možno sestavit ze slova MATEMATIKA? 10!/(!!!1!1!1!)= účastníků sportovního kurzu se na cestu zpět rozdělilo na 4 skupiny: 17 se jich vracelo vlakem, 8 autobusem, 6 na kole, 4 pěšky. Kolika způsoby se mohli rozdělit? 5!/(17!8!6!4!) tj. asi 4, Kolika způsoby lze ze 7 chlapců a 4 dívek vybrat 6 členné volejbalové družstvo tak, aby v něm byla alespoň děvčata? (4nad).(7nad4)+(4nad).(7nad)+(4nad4).(7nad)=71 5. Kolik je Apolloniových úloh, tj. konstrukce kružnice ze daných prvků bod, přímka, kružnice, prvky se mohou jakkoliv opakovat. Pokuste se je specifikovat. K (,) = (5nad) =10 (n+k-1nadk) 6. V TIPSPORTU se tipuje 1 fotbalových zápasů výhra hostů, výhra domácích, remíza. Kolik je všech možných tipů? V (1,)= 1 = Je dáno 1 bodů v rovině, z nichž 5 leží na jedné přímce. Žádné další body na přímce neleží. Kolik přímek je těmito body určeno? 8. V rovině je 10 bodů, z nichž 6 leží na jedné kružnici. Kolik kružnic je těmito body určeno? 9. V prostoru je dáno 1 bodů. z nichž 6 leží v jedné rovině. Kolik čtyřstěnů lze ze všech bodů vytvořit? 10. V kolika bodech se protíná 9 přímek, z nichž 4 jsou navzájem rovnoběžné? 11. Zvětší-li se počet prvků o 1, zvýší se počet trojčlenných kombinací bez opakování o 1. Kolik je dáno prvků? 1. Ve třídě je 18 chlapců a 14 dívek. Kolikerým způsobem se mohou zvolit do tříčlenné skupiny její zástupci, mají-li to být: a) samí chlapci b) samé dívky c) dva chlapci a jedna dívka? 1. Test se skládá z 5 otázek otázky z dějepisu (připraveno je jich 0), dvě otázky ze ZSV (připraveno je jich 5) a 1 otázka ze zeměpisu (připraveno je jich 0). Kolik variant testu připravené otázky umožňují? 14. Vyřešte danou kombinační rovnici: a) (n nad k) (n nad k) = 0. (nad1)nebo(nad) 1

14 7. Analytická geometrie kvadratických útvarů elipsa, kružnice Definujte kružnici, elipsu. Rovnice v základních případech. Ohniska, osy, vrcholy, střed, ecentricita. Tečna. Vzájemné polohy útvarů. Kuželosečky obecně. 1. Určete rovnici kružnice, která se dotýká přímky + 4y 6 = 0 v bodě T(9;?) a prochází bodem A(11; 7).. Pro které reálné číslo q je přímka y = + q tečnou kružnice + y + 4 8y + 10 = 0?. Napište rovnici elipsy s ohnisky E[; 5], F[; 1] procházející bodem M[5; 1]. 4. Určete souřadnice středu a velikosti poloos elipsy dané rovnicí 5 + 9y y = 0. Načrtněte tuto elipsu. 5. Napište rovnici elipsy vepsané do obdélníka, jehož rozměry jsou 10cm a 8cm. Vrchol obdélníka je v počátku soustavy souřadnic a strany leží na osách, y. 6. Napište rovnice tečen elipsy s rovnicí ( - 1) + 0,5(y + ) = 1 v jejích průsečících s přímkou y = Určete c tak, aby přímka y = + c byla tečnou elipsy 0,5 + y = Napište rovnici kružnice opsané a vepsané ABC: A[1; ], B[-; -1], C[-5; ]. 9. Najděte společné body elipsy + 4y = 17 a kružnice + y = 5. Vysvětlete postup výpočtu odchylky těchto křivek v bodech průniku. 10. Určete délku tětivy, kterou vytíná elipsa + y = 18 na přímce p s rovnicí + y - 6 = Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou a odmocninou Definujte absolutní hodnotu reálného čísla. Postup řešení rovnice s absolutní hodnotou a odmocninou. Význam zkoušky při řešení rovnice. Rozdíly při řešení rovnice a nerovnice. Možnosti grafického řešení. 1. Řešte v R: a) + 1 = b) + 1 < c) + 1 >. Řešte v R: a) + 1 = - b) = 6. Řešte v R: a) + > - b) < 8 4. Řešte v R: > 4( ) 5. Řešte v R: a) = + 1 b) = 8 a) -0,5, b) Řešte v R: = + 1 = 1 14

15 9. Objemy a povrchy těles válec, hranol, jehlan, koule Uveďte základní vztahy pro výpočet objemu a povrchu válce, hranolu, jehlanu, koule. Cavallieriho princip při řešení objemů těles. Integrální počet a jeho využití při výpočtu objemu rotačního tělesa. 1. Součet obsahů tří stěn kvádru, které procházejí týmž vrcholem, je 00 cm. Rozměry kvádru jsou v poměru : : 5. Vypočítejte objem kvádru. (asi 90 cm ). Vypočítejte rozměry rotačního válce o objemu 1 litr a výšce rovné dvojnásobku průměru podstavy. (r je asi 4, cm). Poměr pláště rotačního válce k obsahu podstavy je 5 :. Úhlopříčka osového řezu má velikost 6 cm. Vypočítejte objem válce. (asi cm ) 4. Do rovnostranného válce (výška je rovna průměru podstavy) je vepsána koule a kužel. Podstava válce je podstavou kužele, který má vrchol ve středu druhé podstavy válce. Vypočítejte poměr objemů těchto tří těles. ( : : 1) 5. V pravidelném trojbokém jehlanu jsou boční hrany navzájem kolmé, velikost podstavné hrany je 0 cm. Vypočtěte objem jehlanu. (asi 1 590) 6. Vypočítejte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož podstavná hrana má velikost 8 cm a odchylka boční hrany od roviny podstavy je = Pravidelný 6-boký jehlan má podstavnou hranu a = 10 cm. Dvě sousední boční hrany určují odchylku b = 4. Vypočítejte objem a povrch jehlanu. 0. Eponenciální a logaritmická funkce Definujte funkci, inverzní funkci, podmínky eistence. Definujte eponenciální a logaritmickou funkci, načrtněte jejich grafy. Základní vztahy pro počítání s logaritmy (logaritmus součinu, podílu, mocniny, dekadický a přirozený logaritmus. 1. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y =, y = -, y =, y = -. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y = +1, y = --1, y = -1. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y = log, y = log 1/, y = log, y = log (-1) 4. Na základě vlastností eponenciální funkce rozhodněte, které z následujících mocnin jsou menší než 7 jedna, větší než jedna, rovny jedné. Zdůvodněte: 0,5, 5 0,75,,18 5. Načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí: y =, y = +1, y = -. 0,1 5, , Načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí: y = ln, y = ln, y = ln ( e). Jakou odchylku svírá graf funkce y = ln s osou? 0,. 15

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006

Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006 MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 005-006 Třída 8.A/8,.A/ V.Zlatohlávek, B. Naer. Úpravy výrazů v matematice.... Rovnice

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

3.4.1. Tabulace učebního plánu

3.4.1. Tabulace učebního plánu 3.4.1. Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: Kvinta, 1. ročník Tématická Číselné obory Druhy čísel (N, Z, Q, R, I) - prezentuje přehled číselných oborů Mocniny

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Interaktivní testy matematických znalostí

Interaktivní testy matematických znalostí MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce Interaktivní testy matematických znalostí Brno 2006 Jana Bobčíková Vedoucí práce: Mgr. Pavla Musilová, Ph.D. Prohlášení Prohlašuji,

Více

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky. otázka. Řešení logaritmických rovnic Řešte rovnici s neznámou x R:. log(x 2 +) log(x+) = 2 2. log 2 2 x + 2 log 2 x = 0. log x + log x =.

Více

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova 5.5 Učební osnovy: Matematika

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova 5.5 Učební osnovy: Matematika Podle těchto učebních osnov se vyučuje ve třídách 1.N a 2.N šestiletého gymnázia od školního roku 2013/2014. Zpracování osnov předmětu Matematika koordinoval Mgr. Petr Spisar Časová dotace : Nižší gymnázium:

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Test Matematika Var: 101

Test Matematika Var: 101 Test Matematika Var: 101 Pokyny: Vyplňte příslušné kolečko odpovídající správné odpovědi u každé otázky ve zvláštním odpovědním formuláři, který Vám byl rozdán spolu se zadáním testu. 1. Přímky p: y =

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek.

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek. . ABSOLUTNÍ HODNOTA definice absolutní hodnoty reálného čísla a geometrická interpretace, definice absolutní hodnoty komplexního čísla a geometrická interpretace, vzdálenost bodu od přímky (v rovině i

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Učební osnova předmětu matematika. Pojetí vyučovacího předmětu

Učební osnova předmětu matematika. Pojetí vyučovacího předmětu Učební osnova předmětu matematika Obor vzdělání: 23 41 M/01 Strojírenství, 2 41 M/01 Elektrotechnika Délka a forma studia: 4 roky denní studium Celkový počet týdenních hodin za studium: 12 Platnost: od

Více

Matematika. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem

Matematika. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem 6.15 Pojetí vyučovacího předmětu matematika Název vyučovacího předmětu: Matematika Obor vzdělání Gymnázium Forma vzdělání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) Platnost: od 1.9.2009

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.

Více

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

6.7 Matematika. 6.7.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.7 Matematika. 6.7.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.7 Matematika 6.7.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika je zařazen jako povinný ve všech ročnících čtyřletého studia. Patří do vzdělávací oblasti

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose Dodatek k ŠVP č. 38 Výstupy matematika 6. ročník doplnění standardů RVP 6. ročník ŠVP 6.ročník Učivo Matematika Doplnění podle standardů Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

EKOLOGIE A ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ

EKOLOGIE A ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ Přílohy školního vzdělávacího programu EKOLOGIE A ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ - inovace platné od 1.9.2011 Střední průmyslová škola keramická a sklářská Karlovy Vary adresa: nám. 17.listopadu 12, 360 05 Karlovy

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD11C0T04 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový

Více