x = a a 2. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "x = a a 2. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice."

Transkript

1 1. Lineární rovnice, lineární rovnice s parametrem, soustavy lineárních rovnic Základní typy algebraických rovnic. Vysvětlete význam zkoušky. Princip řešení rovnic s parametrem, diskuse řešení, přípustnost parametru. Ukažte základní metody řešení soustavy lineárních rovnic a související pojmy, např. matice soustavy a Gaussova eliminační metoda. 1. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R: p=0 nedefin. P nemá řeš., P - = R, ostatní = 1/(p-) p = p. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R: p + + p + p p (p = p p=± nedefin., P nemá řeš., ostatní -6p /(p-). Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R: p + 6p + p = 0 p=0 všechna reál. čísla, -1/ 1, 1/ -1, (-1/, 0) (0, 1/) nemá řeš., ostatní = -p± (9p -1) 4. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem a R: 1 = a a + a = a a 5. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem a R: 1 a = 0 nepřípustná hodnota, ostatní = a/(a 1) 6. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem a R: řešení, a = ± = 1/(a-) V: = 1/(a ) a = a V: a = ± 1 nemá řeš. + 4) 9 V: a = - R, a = nemá 7. Řešte v R zvolenou metodou soustavy rovnic: a) y + z = 0 5y z = - 7 -y + z = 16 V:,, 1 b) y + z = 0 + y z = + y + z = 1 V:,, 5 c) y + 4z = 8 + 5y z = 10 7 y + 7z = 15 V: nemá řešení 8. Řešte v R soustavu rovnic: 1/( + ) + 10/(y + 5) = 1 /( + ) - 5/(y + 5) = -1 V: 1; 10. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice. 1. Je dán bod A a dvě soustředné kružnice k(s; cm) a l(s; cm). Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby B k, C l.. Je dán čtverec vhodné velikosti. Na jedné straně je dán bod A (v žádné speciální poloze). Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby zbývající vrcholy B, C ležely na obvodu čtverce.. Je dán bod A, přímka p a kružnice k. Sestrojte všechny pravoúhlé rovnoramenné ABC se základnou BC, pro které platí B k, C p. 4. Jsou dány dvě různé kružnice k, l a bod S. Sestrojte všechny obdélníky ABCD se středem S, pro které platí AB =. BC, B k, C l. 5. Je dán bod C, přímka p a kružnice k(s; 4 cm), S,p = 5 cm, přitom body C, S leží v téže polorovině s hraniční přímkou p. Sestrojte všechny pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky ABC ( <ACB = 90 ) tak, aby A p, B k.

2 . Užití určitého integrálu objem rotačního tělesa Definujte funkci, derivaci spojité funkce a primitivní funkci. Primitivní funkce a určitý integrál, Newton- Leibnitzova věta. 1. Vypočítejte objem rotačního paraboloidu o poloměru podstavy r = cm, výšce v = 6 cm. V: y = (/), V = 7. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule o daném poloměru r.. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y =, y = 1/, y = 0, = kolem osy. V: (5/6) 4. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotačního kužele o poloměru podstavy r, výšce v. 5. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = +, = -1, = 1, y = 0 kolem osy. 6. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = 1 - a y = kolem osy. 7. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblouku sinusoidy y = sin kolem osy v intervalu <0; >. 4. Základy vektorové algebry, operace s vektory Definujte vektor, sčítání a odčítání vektorů, násobení vektoru reálným číslem, radiusvektor bodu v kartézské soustavě souřadnic. Lineární kombinace vektorů. Skalární, vektorový a smíšený součin, využití při řešení geometrických úloh. 1. Vypočtěte souřadnice bodu B, je-li B = A +.u v, kde A[; 4], u = (1; ), v = ( ; 5).. Zjistěte, zda vektor u = (1; 1; ) je lineární kombinací vektorů a = ( 1; 0; 1), b = (; ; ) a vektor v = ( ; 4; 6) lineární kombinací p = (1; ; ), q = (; 1; 1).. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku A, B, C. Uveďte alespoň dvě metody řešení. A[0; 1], B[ 1; ], C[1; ]. 4. Je dán ABC, A(-1, -, 8), B(0, 0, 0), C(6,, 0). Užitím vektorového součinu vypočítejte jeho obsah. 5. Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu určeného vektory a = (, 4, 0), b = (0, -, 1), c = (, 0, 5). 6. Jsou dány vektory a = (, ), b = (1, 4), c = (0, ). Určete početně i graficky: a) u = a + b + c, b) v = a + b c. 7. Jsou dány body K (,, -4), L (, 6, -5), M (-4, -1, 0). Vypočítejte souřadnice bodu N, jestliže platí: L K = u, M N = -u. 8. Je dán ABC, A (,, 1), B (1, -, 0), C (0,, 5). Užitím skalárního součinu určete velikost vnitřního úhlu. 9. Jsou dány vektory a = (, -, 1), b = (1, 1, ), c = (, 1, -1). Vypočtěte a. (b c). 10. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, a = 6, v =.. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete velikost boční hrany jehlanu, úhel hran AV a BC a úhel hran AV a CV. 11. V krychli ABCDEFGH dokažte, že rovina AFH je kolmá na rovinu CGE. Využijte vhodně zvolenou soustavu souřadnic a vektory.

3 5. Obor kompleních čísel. Zavedení oboru kompleních čísel, algebraický a goniometrický tvar, číslo kompleně sdružené, Gaussova rovina, Moivreova věta, absolutní hodnota a argument kompleního čísla, odmocnina kompleního čísla, diskuse řešení kvadratické rovnice v R a v C. 1. Jsou dána komplení čísla: z = 1 + i, u = 5i. Vypočtěte: a) Součin z.u, b) z + u - z - u, c) Podíl z/u ( 1 + i; -8; -7/4 + 11/4 i). Převeďte daná komplení čísla z, u na goniometrický tvar. Porovnejte výsledky operací z.u, z/u metodou algebraickou a goniometrickou, vysvětlete geometrickou interpretaci násobení a dělení: z = 1 i; u = i ( (cos7 /4 + isin7 /4); (cos /4 + isin /4) ). Zobrazte čísla z, pro která platí: a) z 1 + i = ( kružnice S(1, -1), r = ) b) z - 1 z - i ( polorovina y ) 4. Najděte všechna komplení čísla z, pro která platí: a) z + z = 6 i, b) z z = 6 + 8i (+i, -i) 5. V Gaussově rovině zobrazte všechna komplení čísla, pro která platí: a) 1 + i z > ½, b) 1 + i z, c) - i z 1 + i - i 6. Vypočítejte z = 5 + 1i bez přechodu ke goniometrickému tvaru kompleního čísla. ( z = ± ± i) 7. Řešte v oboru C rovnici: i 1 + i = 1 i + i (1/10 + 1/10 i) 8. Užitím Moivreova věty vypočítejte: a) (cos / + i.sin /) 6, b) (1 i) 100 1, c) 1 + i (-1/ + i /; - 50 ; -i/) Shodná zobrazení v rovině středová souměrnost, posunutí Definujte shodné zobrazení, středovou souměrnost, posunutí. Popište zobrazení bodu, přímky a kružnice. Vztah středové souměrnosti a otočení. 1. Je dána přímka p, kružnice k(s; r), bod M, který neleží na přímce ani na kružnici. Sestrojte všechny úsečky, jejichž krajní body jsou na zadaných útvarech, přičemž tyto úsečky jsou půleny zadaným bodem M.. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li velikosti všech těžnic trojúhelníka. Řešte užitím středové souměrnosti.. Jsou dány dvě protínající se kružnice k, l. Jedním jejich průsečíkem veďte přímky tak, aby na nich kružnice vytínaly stejně dlouhé tětivy. 4. V ABC je dáno: t b = 5 cm, a = 7 cm, = 60. Výchozím prvkem je t b. Sestrojte jej. 5. Je dána kružnice k(s;,5 cm) a její dvě rovnoběžné tečny t 1 a t. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC o délce strany 5,5 cm, aby A t 1, B t, C k. 7. Binomická věta Definujte faktoriál, kombinační číslo, uveďte jeho vlastnosti. Binomická věta, Pascalův trojúhelník. 1. Zjistěte, který člen binomického rozvoje neobsahuje proměnnou. Pokud takový člen eistuje, určete jeho pořadí a jeho hodnotu. Použijte vztah pro výpočet k-tého členu binomického rozvoje:

4 a) ) ( b) ( ) V: A6, A6. Vypočtěte 10. člen binomického rozvoje. Kolikátý člen binomického rozvoje V: odmoc() neobsahuje proměnnou? V:.člen 4. Vypočtěte a) ( - i) 5 b) (1 + i. ) 4 5. Pro které reálné platí, že čtvrtý člen rozvoje výrazu (1 + ) 6 je čtyřikrát větší než třetí člen? 6. Vypočítejte čtvrtý člen binomického rozvoje ( 1/ + y 1/ ) 4 V: 4y 1/ 8. Lineární funkce, grafy. Absolutní hodnota. Definujte binární relaci, zobrazení, funkci, lineární funkci. Definujte absolutní hodnotu reálného čísla. Definujte graf funkce, uveďte způsob výpočtu průsečíku grafu dvou funkcí. 1. Určete průsečík funkce f: y = - + se souřadnými osami. Pak napište rovnici lineární funkce g, jejíž graf je rovnoběžný s grafem funkce f() a prochází bodem [4; ].. Sestrojte graf funkce: a) f: y = b) g: y = Sestrojte graf funkce f: y = a vypočtěte jeho průsečíky se souřadnými osami. 4. Sestrojte graf relace + y Sestrojte graf funkce f: y = Vypočtěte průsečík funkce f: y = + 1 s funkcí g: y =

5 9. Kvadratická rovnice (i s parametrem), Vietovy vzorce. Metody řešení. Objasněte pojem kvadratické rovnice, systém jejího řešení. Vysvětlete význam zkoušky. Proveďte diskusi řešení kvadratické rovnice v R. Algebraické a grafické metody řešení. 1. Najděte alespoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čísla a) opačná b) dvojnásobná ke kořenům rovnice = 0, aniž danou rovnici řešíte.. Sestavte alespoň jednu kvadratickou rovnici, která má za kořeny převrácená čísla ke kořenům rovnice = 0, aniž danou rovnici řešíte.. V kvadratické rovnici (a - 5) (a 1) + = 0 určete hodnotu parametru a R tak, aby tato rovnice měla dvojnásobný kořen. V: a = 4 4. Součet. mocnin dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je o 40 menší než. mocnina součtu těchto čísel. Určete obě čísla. V: +(+1) +40=(+1), čísla 14, Vypočítejte obsah obdélníku, jehož úhlopříčka je o cm delší než délka obdélníku a o 16 cm delší než jeho šířka. V: =(-) +(-16), čísla 6, 10 nemá smysl, S=4.10=40 6. Pro která reálná čísla m bude mít rovnice 4-8m - 6m + 9 = 0 jeden kořen třikrát větší než druhý? 7. Řešte v R: a) p + (p + ) + p + 0,75 = 0 b) a + 6a + a = Neurčitý integrál jednoduché metody integrace Definujte funkci, derivaci spojité funkce v bodě a intervalu, primitivní funkci (neurčitý integrál). Základní vzorce a metody integrace jednoduchých funkcí. 1. K dané funkci f určete primitivní funkci F tak, aby graf funkce F procházel bodem A(, ), jestliže f: y = y = -(/) d d 4 d 5 7. Vypočtěte: 4. Vypočtěte: tg d d cot g d 1 d sin cos d cos cos sin d cos.sin d 4. Vypočtěte: d 5. Vypočtěte: sin d lnd e d cos d 1 1 ( + 1) Vypočtěte: d d 1 d sin tg d cos 5

6 11. Aritmetická posloupnost. Definujte posloupnost, aritmetickou posloupnost. Rekurentní vyjádření. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená. Graf posloupnosti. Základní vztahy pro práci s aritmetickou posloupností, odvození, Gaussův vzorec. 1. Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen: n + 1 n n = 1. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte některé rekurentní zadání.. Posloupnost je dána rekurentně: a 1 = -, a n+1 = a n +. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte vzorec pro n-tý člen.. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: a + a 5 = 8 a + a 7 = 14 V: a 1 = -1, d = 4. Určete 1. člen, diferenci a vzorec pro n-tý člen AP, v níž je součet prvních členů roven 7 a součet. mocnin těchto členů roven 75. (a 1 = 5, d = 4, a n = 4n + 1) 5. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: a 1 + a 5 = 6 a.a 4 = 160 V: a 1 = 7, d = nebo a 1 = 19, d = - 6. Určete součet těch dvou sousedních členů AP: -, -17, -11, -5, 1,, mezi nimiž leží číslo (Pozor: číslo nemusí být členem této posloupnosti) ( 000) 7. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: součet prvních 4 členů je -, součet prvních 8 členů je. V: a 1 = -17, d = 6 1. Analytická geometrie lineárních útvarů polohové úlohy Definujte vzájemnou polohu přímek a rovin v rovině a prostoru. Uveďte základní způsoby vyjádření přímky v rovině a v prostoru a roviny v prostoru. 1. Napište parametrické rovnice roviny určené třemi body A(6; -; ), B(7; -; 0), C(5; -; ). Převeďte na obecnou rovnici.. Určete vzájemnou polohu přímky PQ, P(0; 0; 0), Q(1; 0; ) a roviny + y + z + 8 = 0. Jsou-li rovnoběžné, vypočítejte vzdálenost, jsou-li různoběžné, vypočítejte souřadnice průsečíku. (různoběžné, (-; 0; -4). Určete vzájemnou polohu rovin y 6z + 5 = 0, y 6z = 0. Jsou-li rovnoběžné, vypočítejte vzdálenost, jsou-li různoběžné, vypočítejte rovnici průsečnice a odchylku. (rovnoběžné, v = 5) 4. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny. Napište rovnici přímky q, která je pravoúhlým průmětem přímky p do roviny. a) p: = 1 - t, y = + t, z = 4 + t, t R; : + y - z - 6 = 0 b) p: = 1 - t, y = + t, z = 4 + t, t R; : - y + z + 18 = 0 5. Určete vzájemnou polohu rovin a : a) : - 5y + 4z - 10 = 0, : 4-10y + 8z - 10 = 0 b) : - 5y + 4z - 10 = 0, : - y - z - = 0 c) : - 5y + 4z - 10 = 0, : 4-10y + 8z - 0 = 0 6. Jsou dány přímky p: = 6 - t, y = m + t, z = -5 + t, t R; q: = -4 + s, y = 4 + s, z = 8-4s, s R. Určete číslo m tak, aby přímky byly různoběžné a vypočtěte jejich průsečík. Napište parametrickou a obecnou rovnici roviny určené přímkami p, q. 6

7 1. Geometrická posloupnost. Definujte posloupnost, geometrickou posloupnost. Rekurentní vyjádření. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená. Graf posloupnosti. Základní vztahy pro práci s geometrickou posloupností, jejich odvození. 1. Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen: 1 n n = 1. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte některé rekurentní zadání.. GP kladných čísel má tu vlastnost, že součet jejích prvních dvou členů je roven 1, zatímco součet prvních čtyř členů je roven. Vypočítejte kvocient a 1. člen GP. (q=, a 1 = -1). Součet 1. a. členu geometrické posloupnosti kladných čísel je roven 15. Součet prvních čtyř členů této posloupnosti je roven 45. Určete sedmý člen této posloupnosti. (a 1 =, q=, a 7 =19) 4. Velikosti hran kvádru tvoří po sobě jdoucí členy GP, součet jejich délek je 7 cm, objem kvádru je 8 cm. Vypočtěte povrch kvádru. (hrany: 1,, 4, V = 8) 5. Firma odepisuje každoročně 18 % z pořizovací ceny zakoupeného služebního auta. Za jak dlouho klesne cena pořízeného auta na 40 % ceny auta nového? (n = 4,617 = 4 roky 5 dnů) 6. Pan Rozhodný si uložil na 5 let do banky částku Kč na % úrok. Kolik mu banka vyplatí po uplynutí 5 let, jestliže je nutno každoročně státu platit 15 % daň z úroků, úrokovací období je 1 rok. (54 97 Kč) 7. Firma GKH se na začátku roku rozhodla, že v každém čtvrtletí zvýší svůj obrat o % ve srovnání s předcházejícím čtvrtletím. Předpokládejme, že se jí tento záměr daří plnit. A) O kolik procent vzroste obrat této firmy za roky? B) Za jak dlouho vzroste obrat o 5 %? V: a) 17, 17 %, b) během 1. čtvrtletí (n = 11,68) 14. Poloha dvou přímek v prostoru analytická metoda Definujte vzájemnou polohu přímek v rovině a prostoru. Uveďte základní způsoby vyjádření přímky v rovině a v prostoru. 1. Zjistěte vzájemnou polohu přímek v prostoru: p: = 1 - t, y = + t, z = t, t R, q: = 1 + s, y = -1 - s, z = s, s R. V: různoběžné, P(7, -4, -6). Bodem P[1; ; ] veďte přímku, která je kolmá k rovině : + y + z - 1 = 0. Určete souřadnice průmětu bodu P do této roviny.. Jsou dány body A[-1; 1; -1], B[5; 1; 7], C[4; ; ], D[1; ; -1]. Dokažte, že obrazec ABCD je lichoběžník. Určete, které strany jsou základnami a v jakém poměru jsou jejich velikosti. Vypočítejte velikost úhlu BAD. V: Základny AB, CD, poměr je :1, úhel = 57st. min 4. Dokažte, že přímky AB a CD jsou mimoběžné a vypočítejte jejich odchylku: A(1,,0), B(4,,-), C(,0,1), D(5,,-). stup 1 min 5. Pro které hodnoty reálného parametru m jsou přímky AB, CD rovnoběžné? A(,,), B(-1,0,), C(m,- 1,), D(1,1,). m = Jsou dány body A, B, C: A(7, 0, 5), B(1,-,-1), C(,,-1). Dokažte, že tyto body vytvářejí v prostoru pravoúhlý trojúhelník. Vypočítejte pak souřadnice těžiště, ortocentra, středu kružnice opsané ABC. Přepona AB, C = O, S je středem AB 7

8 15. Nerovnice algebraické a grafické řešení Popište řešení algebraických rovnic a nerovnic metodou nulových bodů, jiné způsoby řešení, ekvivalentní a neekvivalentní úpravy. Vysvětlete význam zkoušky. Definujte absolutní hodnotu reálného a kompleního čísla. 1. Řešte v R nerovnici: V: -1, 15. Řešte v R nerovnici: V: -4, /. Řešte v R algebraicky i graficky nerovnici: < 0 V: (-1, ) 4. Určete definiční obor funkce f: y = + 14 V: (-, -7/, + ) 5. Řešte v R nerovnici: ( ).( 5)/( ).( 7) < 0 V: (, ) (5, 7) 6. Určete definiční obor funkce f: y = log (5 8 4) V: (-, -/5) (, + ) 16. Trigonometrické řešení obecného trojúhelníka Vyslovte sinovou a kosinovou větu, uveďte jejich možné použití. Vztahy pro výpočet obsahu trojúhelníka, úvahy vedoucí k výpočtu poloměru kružnice opsané a vepsané trojúhelníku. 1. Řešte trojúhelník ABC (tj. vypočítejte velikosti všech stran a vnitřních úhlů), je-li dáno: c = 59 cm, = 40 0, S = cm.. Letadlo letí ve výšce 00 m směrem k pozorovatelně. V okamžiku prvního měření bylo vidět pod výškovým úhlem, v druhém okamžiku pod výškovým úhlem 58. Určete vzdálenost, kterou letadlo proletělo.. Je dán trojúhelník ABC: a = 7, cm, b = 4,8 cm, = 65. Vypočítejte: délku strany c, výšky v c, těžnice t c. V: c = 6,8, v c =4,6, t c =5,1 4. Patu věže C a místa A, B, ze kterých věž pozorujeme, jsou vrcholy trojúhelníku, ve kterém c = 80 m, = 60, = 8. Vypočítejte výšku věže, je-li z místa A vidět vrchol věže pod výškovým úhlem = 50. V: asi 60 m 5. Budova je vysoká 15 metrů, je vzdálena 0 metrů od břehu řeky. Z vodorovné střechy této budovy je vidět šířku řeky pod úhlem e = 15. Vypočítejte šířku řeky. V:asi 4 m 8

9 17. Derivace funkce, geometrická interpretace Vysvětlete geometrický způsob zavedení derivace. Derivace funkce v bodě a intervalu. Derivace součtu, součinu a podílu, derivace elementárních funkcí. Derivace a intervaly monotónnosti funkce. 1. Vypočítejte derivace následujících funkcí f() v libovolném bodě, ve kterém je fce def. a spojitá: a) f() = 1/; b) f() = ; c) f() = ; d) f() = ;e)f () = 4. Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f() = v jejím bodě T(1; t ). (y = 5 4). Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: f() =, g() =. ( = 45, = 18 6 ) 4. Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: f() =, g() =. ( = 45, = 6 4 ) 5. Vypočtěte 1. derivaci: a) y = sin : (1 - sin ) b) y = 5 cos Napište rovnici tečny a normály funkce y = ( - 1) : ( + ) v bodě T[0,?]. 7. Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: a)f() =, g() = sin, b) f() = sin, g() = cos 8. Napište rovnici tečny ke grafu funkce f: y = + 8, která prochází bodem T(1; y) ležícím na grafu této funkce. V: T(1, 5), t: y = Určete, ve kterých intervalech je funkce f: y = rostoucí a ve kterých klesající, stanovte stacionární body a lokální etrémy. klesající (-1, ) V: rost. (-nek, -1) (, nek.), 18. Stejnolehlost, podobnost, využití v konstrukčních úlohách Definujte shodné a podobné zobrazení, typy. Samodružné body. Skládání zobrazení. Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití při odvození Euklidových vět a Pythagorovy věty. Stejnolehlost. Společné tečny dvou kružnic. Apolloniovy úlohy. 1. Zobrazte trojúhelník ABC ve stejnolehlosti H(S, k). a) S AB, k =,5 b) S leží vně ABC, k = : c) S = A, k = -0,75. Do ostroúhlého trojúhelníku ABC vepište čtverec PQRS tak, aby P, Q AB, R BC, S AC.. Jsou dány dvě různoběžky a, b a bod M, který neleží na žádné z nich. Sestrojte kružnici, která se dotýká obou přímek a prochází bodem M. 4. Je dána přímka p, kružnice k a bod A (vše navzájem disjunktní). Sestrojte všechny úsečky XY, kde X p, Y k a AY =. AX 5. Je dán konvení úhel AVB a bod M ležící uvnitř tohoto úhlu. Bodem M veďte přímku m, protínající VA a VB v bodech X a Y tak, že VX : VY = : 6. Je dána přímka p, kružnice k a bod A (vše navzájem disjunktní). Sestrojte ABC tak, aby B p, C k, = 60 a AC =. AB. 7. Sestrojte ABC, pro který platí: a : c = 4 : 7; = 45 ; t c = 4,5 cm. 8. Je dána přímka t, ve stejné polorovině určené touto přímkou jsou dány dva různé body A, B tak, že jejich spojnice není ani kolmá k přímce t, ani není rovnoběžná s t. Sestrojte všechny kružnice, které procházejí body A, B a zároveň se dotýkají přímky t. 9

10 19. Limita posloupnosti a limita funkce 1. Rozhodněte, zda dané posloupnosti jsou konvergentní či divergentní. Pokud jsou konvergentní vypočítejte limitu pro n + : n + 1 n + n = 1 n, n + 1 n = 1 n, n + n = 1 n 4, 5n n = 1 5 +, ( 1) n n.n n = 1. Vypočítejte limity: a) b). Vypočítejte limity: a) b) 4. Vypočítejte limity: a) b) c) 5. Vypočítejte limity: a) b) c) 0. Kartézský součin, binární relace a zobrazení, vlastnosti a grafy. Definujte kartézský součin, binární relaci a zobrazení. Inverzní relace a zobrazení, definiční obor, obor hodnot. Grafy. 1. Je dána množina A = {1,,, 4} a relace S = {[1; ], [; ], [; ], [4; 4]}. Určete definiční obor a obor hodnot relace S. Určete, zda relace S v množině A je zobrazení (funkce), prosté zobrazení. Najděte inverzní relaci S -1 a určete, je-li zobrazením.. V množině R jsou dány dvě binární relace: A: + y 9, B: y + 0. Sestrojte jejich kartézské grafy a vyznačte: A B, A B, A B, B A.. V množině R jsou dány dvě binární relace: A: + y, B: y - 0. Sestrojte jejich kartézské grafy a vyznačte: A B, A B, A B, B A. 4. Sestrojte do jednoho obrázku kartézské grafy tří binárních relací v množině R: A: y + 1, B: y, C: y + 0. Vyznačte: A B, C B, A C, A B C. 5. Sestrojte v R grafy relací T: y a U: y +. Určete graf relace V = T U a vypočtěte obsah grafu relace V. 10

11 1. Vyšetřování průběhu funkce Definujte kartézský součin, relaci, funkci, definiční obor, obor hodnot, omezenost, spojitost, monotónnost, sudost a lichost, etrémy, inflení body, asymptoty grafu. Vyšetřování průběhu pomocí derivací a limit. 1. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: V: asymptoty = -1, y=- y = + 1. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: V: as: =, = -, y = 1, sudá. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: y = 4 y = Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: 1 y = 1 +. Goniometrické rovnice Definujte goniometrické funkce obecného úhlu. Definiční obory a obory hodnot, asymptoty a body nespojitosti. Grafy. 1. Řešte rovnici v R: a) sin ( + /6) = -1 b) cos ( - /8) = -1. Řešte rovnici v R: sin cos 4sin + = 0. Řešte rovnici v R: cos = sin 4. Řešte rovnici v R: tg + 4 cotg = 9 5. Řešte rovnici v R:.sin + 7.cos - 5 = 0 6. Řešte rovnici v R: a) cos + sin = 0 b).sin =.tg 7. Řešte rovnici v R: tg + tg = 1 + tg 11

12 . Eponenciální rovnice Definujte funkci, definiční obor a obor hodnot, prostou funkci, graf funkce. Pojem inverzní funkce, kritérium eistence, souvislost D(f), H(f), D(f-1), H(f-1). Definujte eponenciální a logaritmickou funkci, načrtněte jejich grafy. Přirozený logaritmus. 1. Řešte v oboru R rovnici:. Řešte v oboru R rovnici: 6 5 ( = ) log 7 log 0,01 = = 1,. Řešte v oboru R rovnici: 5.. = 0 = 1, Řešte v oboru R rovnici: = 1 + = ½ = 4 5. Řešte v oboru R rovnici: = 1 = ± 0,69 6. Řešte v oboru R rovnici: = = 5 7. Řešte v oboru R rovnici: 81 + = 1 =, Nekonečná geometrická řada Definujte posloupnost, aritmetickou a geometrickou posloupnost, řadu, geometrickou řadu. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená, neomezená. Konvergence a součet nekonečné geometrické řady. 1. Určete hodnotu součinu: V: součin = 4 n 1 4. Řešte v R rovnici: a) = b) ( n ) 4 sin = tg V: 6, /4+k n = 1 n = 1. Do rovnostranného trojúhelníku A 1 B 1 C 1 o straně a je vepsán trojúhelník A B C tvořený jeho středními příčkami. Do něj je stejným způsobem vepsán další trojúhelník atd. Vypočtěte součet obvodů a součet obsahů všech takto získaných trojúhelníků. n = 1 4. Řešte v R rovnici: 1 n = V: def. obor je 0, výsl. = Na jednom rameni úhlu AVB, jehož velikost je / rad, je z bodu A spuštěna kolmice na druhé rameno, její pata je označena A 1, z ní je spuštěna kolmice na první rameno, její pata je A, atd až do nekonečna. Vypočítejte délku takto vzniklé lomené čáry, je-li AV = 10 cm. 6. V rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB sestrojíme výšku CC 1 z vrcholu C, dále v trojúhelníku ACC 1 výšku C 1 C z vrcholu C 1, atd. Vyjádřete délku lomené čáry CC 1 C C pomocí délky odvěsny BC = a. V: a( +1) 1

13 5. Kvadratická funkce. Definujte funkci, definiční obor a obor hodnot, prostou, rostoucí, klesající funkci, graf funkce. Pojem inverzní funkce, kritérium eistence, vztahy mezi D(f), H(f), D(f -1 ), H(f -1 ). Definujte kvadratickou funkci. 1. Načrtněte graf funkcí: y =, y = -, y = ( ), y = -( +), y = -( -1) +. Popište vlastnosti těchto funkcí.. Načrtněte graf funkce: a) y = + b) y = 6 8. Nalezněte souřadnice vrcholu paraboly, která je grafem této funkce.. Načrtněte graf funkce: a) y = b) y = 0, Nalezněte souřadnice vrcholu paraboly, která je grafem této funkce. 4. Načrtněte graf funkce: a) y =. b) y =. -. Popište jejich vlastnosti. 5. Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí: y =, y =, y =. Popište, jak spolu souvisejí jednotlivé grafy. 6. Je dána úsečka délky d. Rozdělte tuto úsečku na části tak, aby součet obsahů rovnostranných trojúhelníků sestrojených z těchto částí byl minimální. 6. Kombinatorika - variace, permutace, kombinace, vlastn. kombinačních čísel Definujte základní kombinatorické postupy a pojmy, variace, permutace, kombinace, faktoriál, kombinační číslo a jeho vlastnosti, Pascalův trojúhelník. Anagramy. 1. Kolik 4-ciferných přirozených čísel lze sestavit z cifer 0, 1,,, 4, 5, 6, jestliže a) žádná cifra se neopakuje, b) v každém čísle se mohou cifry jakkoliv opakovat. V(4,7)-V(,6)=70 V (4,7)- V (,7)=7 4-7 =058. Kolik anagramů je možno sestavit ze slova MATEMATIKA? 10!/(!!!1!1!1!)= účastníků sportovního kurzu se na cestu zpět rozdělilo na 4 skupiny: 17 se jich vracelo vlakem, 8 autobusem, 6 na kole, 4 pěšky. Kolika způsoby se mohli rozdělit? 5!/(17!8!6!4!) tj. asi 4, Kolika způsoby lze ze 7 chlapců a 4 dívek vybrat 6 členné volejbalové družstvo tak, aby v něm byla alespoň děvčata? (4nad).(7nad4)+(4nad).(7nad)+(4nad4).(7nad)=71 5. Kolik je Apolloniových úloh, tj. konstrukce kružnice ze daných prvků bod, přímka, kružnice, prvky se mohou jakkoliv opakovat. Pokuste se je specifikovat. K (,) = (5nad) =10 (n+k-1nadk) 6. V TIPSPORTU se tipuje 1 fotbalových zápasů výhra hostů, výhra domácích, remíza. Kolik je všech možných tipů? V (1,)= 1 = Je dáno 1 bodů v rovině, z nichž 5 leží na jedné přímce. Žádné další body na přímce neleží. Kolik přímek je těmito body určeno? 8. V rovině je 10 bodů, z nichž 6 leží na jedné kružnici. Kolik kružnic je těmito body určeno? 9. V prostoru je dáno 1 bodů. z nichž 6 leží v jedné rovině. Kolik čtyřstěnů lze ze všech bodů vytvořit? 10. V kolika bodech se protíná 9 přímek, z nichž 4 jsou navzájem rovnoběžné? 11. Zvětší-li se počet prvků o 1, zvýší se počet trojčlenných kombinací bez opakování o 1. Kolik je dáno prvků? 1. Ve třídě je 18 chlapců a 14 dívek. Kolikerým způsobem se mohou zvolit do tříčlenné skupiny její zástupci, mají-li to být: a) samí chlapci b) samé dívky c) dva chlapci a jedna dívka? 1. Test se skládá z 5 otázek otázky z dějepisu (připraveno je jich 0), dvě otázky ze ZSV (připraveno je jich 5) a 1 otázka ze zeměpisu (připraveno je jich 0). Kolik variant testu připravené otázky umožňují? 14. Vyřešte danou kombinační rovnici: a) (n nad k) (n nad k) = 0. (nad1)nebo(nad) 1

14 7. Analytická geometrie kvadratických útvarů elipsa, kružnice Definujte kružnici, elipsu. Rovnice v základních případech. Ohniska, osy, vrcholy, střed, ecentricita. Tečna. Vzájemné polohy útvarů. Kuželosečky obecně. 1. Určete rovnici kružnice, která se dotýká přímky + 4y 6 = 0 v bodě T(9;?) a prochází bodem A(11; 7).. Pro které reálné číslo q je přímka y = + q tečnou kružnice + y + 4 8y + 10 = 0?. Napište rovnici elipsy s ohnisky E[; 5], F[; 1] procházející bodem M[5; 1]. 4. Určete souřadnice středu a velikosti poloos elipsy dané rovnicí 5 + 9y y = 0. Načrtněte tuto elipsu. 5. Napište rovnici elipsy vepsané do obdélníka, jehož rozměry jsou 10cm a 8cm. Vrchol obdélníka je v počátku soustavy souřadnic a strany leží na osách, y. 6. Napište rovnice tečen elipsy s rovnicí ( - 1) + 0,5(y + ) = 1 v jejích průsečících s přímkou y = Určete c tak, aby přímka y = + c byla tečnou elipsy 0,5 + y = Napište rovnici kružnice opsané a vepsané ABC: A[1; ], B[-; -1], C[-5; ]. 9. Najděte společné body elipsy + 4y = 17 a kružnice + y = 5. Vysvětlete postup výpočtu odchylky těchto křivek v bodech průniku. 10. Určete délku tětivy, kterou vytíná elipsa + y = 18 na přímce p s rovnicí + y - 6 = Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou a odmocninou Definujte absolutní hodnotu reálného čísla. Postup řešení rovnice s absolutní hodnotou a odmocninou. Význam zkoušky při řešení rovnice. Rozdíly při řešení rovnice a nerovnice. Možnosti grafického řešení. 1. Řešte v R: a) + 1 = b) + 1 < c) + 1 >. Řešte v R: a) + 1 = - b) = 6. Řešte v R: a) + > - b) < 8 4. Řešte v R: > 4( ) 5. Řešte v R: a) = + 1 b) = 8 a) -0,5, b) Řešte v R: = + 1 = 1 14

15 9. Objemy a povrchy těles válec, hranol, jehlan, koule Uveďte základní vztahy pro výpočet objemu a povrchu válce, hranolu, jehlanu, koule. Cavallieriho princip při řešení objemů těles. Integrální počet a jeho využití při výpočtu objemu rotačního tělesa. 1. Součet obsahů tří stěn kvádru, které procházejí týmž vrcholem, je 00 cm. Rozměry kvádru jsou v poměru : : 5. Vypočítejte objem kvádru. (asi 90 cm ). Vypočítejte rozměry rotačního válce o objemu 1 litr a výšce rovné dvojnásobku průměru podstavy. (r je asi 4, cm). Poměr pláště rotačního válce k obsahu podstavy je 5 :. Úhlopříčka osového řezu má velikost 6 cm. Vypočítejte objem válce. (asi cm ) 4. Do rovnostranného válce (výška je rovna průměru podstavy) je vepsána koule a kužel. Podstava válce je podstavou kužele, který má vrchol ve středu druhé podstavy válce. Vypočítejte poměr objemů těchto tří těles. ( : : 1) 5. V pravidelném trojbokém jehlanu jsou boční hrany navzájem kolmé, velikost podstavné hrany je 0 cm. Vypočtěte objem jehlanu. (asi 1 590) 6. Vypočítejte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož podstavná hrana má velikost 8 cm a odchylka boční hrany od roviny podstavy je = Pravidelný 6-boký jehlan má podstavnou hranu a = 10 cm. Dvě sousední boční hrany určují odchylku b = 4. Vypočítejte objem a povrch jehlanu. 0. Eponenciální a logaritmická funkce Definujte funkci, inverzní funkci, podmínky eistence. Definujte eponenciální a logaritmickou funkci, načrtněte jejich grafy. Základní vztahy pro počítání s logaritmy (logaritmus součinu, podílu, mocniny, dekadický a přirozený logaritmus. 1. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y =, y = -, y =, y = -. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y = +1, y = --1, y = -1. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y = log, y = log 1/, y = log, y = log (-1) 4. Na základě vlastností eponenciální funkce rozhodněte, které z následujících mocnin jsou menší než 7 jedna, větší než jedna, rovny jedné. Zdůvodněte: 0,5, 5 0,75,,18 5. Načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí: y =, y = +1, y = -. 0,1 5, , Načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí: y = ln, y = ln, y = ln ( e). Jakou odchylku svírá graf funkce y = ln s osou? 0,. 15

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Matematika POZNÁMKY PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika POZNÁMKY PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Vyučující: RNDr. Ivanka Dvořáčková Třída: 8.A Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Otázka Okruh 1 1. Výroky a operace s nimi 2. Množiny a operace s nimi 2 3. Matematické věty a jejich

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006

Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006 MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 005-006 Třída 8.A/8,.A/ V.Zlatohlávek, B. Naer. Úpravy výrazů v matematice.... Rovnice

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

1. Základní poznatky z matematiky

1. Základní poznatky z matematiky . Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),,

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd. MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

3.4.1. Tabulace učebního plánu

3.4.1. Tabulace učebního plánu 3.4.1. Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: Kvinta, 1. ročník Tématická Číselné obory Druhy čísel (N, Z, Q, R, I) - prezentuje přehled číselných oborů Mocniny

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6.

Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Mezipředm. vazby, PT Číslo a proměnná - užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek - část (přirozeným číslem, poměrem,

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální

Více

Změna týdenní hodinové dotace v 1. ročníku v předmětu matematika. původní dotace 3 hodiny týdně, nově 4 hodiny týdně

Změna týdenní hodinové dotace v 1. ročníku v předmětu matematika. původní dotace 3 hodiny týdně, nově 4 hodiny týdně Dodatek č.. Školního vzdělávacího programu Obchodní akademie Lysá nad Labem, obor -1-M/0 Obchodní akademie, platného od 1. 9. 01 - platnost dodatku je od 1. 9. 015 Změna týdenní hodinové dotace v 1. ročníku

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Racionální čísla a procenta a základy finanční matematiky, Trojúhelníky a čtyřúhelníky, Výrazy I, Hranoly Třída: Sekunda Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek.

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek. . ABSOLUTNÍ HODNOTA definice absolutní hodnoty reálného čísla a geometrická interpretace, definice absolutní hodnoty komplexního čísla a geometrická interpretace, vzdálenost bodu od přímky (v rovině i

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

4 Goniometrické výrazy, rovnice a nerovnice Funkce, grafy funkcí, definiční obory... 14

4 Goniometrické výrazy, rovnice a nerovnice Funkce, grafy funkcí, definiční obory... 14 Vážený čtenáři, sbírka příkladů, kterou jsi právě otevřel Vám chce pomoci při studiu jedné z nejkrásnějších vědních disciplín - matematiky. Sbírka obsahuje všechny typy příkladů, včetně výsledků, které

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více