x = a a 2. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice.
|
|
- Luděk Mašek
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1. Lineární rovnice, lineární rovnice s parametrem, soustavy lineárních rovnic Základní typy algebraických rovnic. Vysvětlete význam zkoušky. Princip řešení rovnic s parametrem, diskuse řešení, přípustnost parametru. Ukažte základní metody řešení soustavy lineárních rovnic a související pojmy, např. matice soustavy a Gaussova eliminační metoda. 1. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R: p=0 nedefin. P nemá řeš., P - = R, ostatní = 1/(p-) p = p. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R: p + + p + p p (p = p p=± nedefin., P nemá řeš., ostatní -6p /(p-). Řešte rovnici s neznámou R a parametrem p R: p + 6p + p = 0 p=0 všechna reál. čísla, -1/ 1, 1/ -1, (-1/, 0) (0, 1/) nemá řeš., ostatní = -p± (9p -1) 4. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem a R: 1 = a a + a = a a 5. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem a R: 1 a = 0 nepřípustná hodnota, ostatní = a/(a 1) 6. Řešte rovnici s neznámou R a parametrem a R: řešení, a = ± = 1/(a-) V: = 1/(a ) a = a V: a = ± 1 nemá řeš. + 4) 9 V: a = - R, a = nemá 7. Řešte v R zvolenou metodou soustavy rovnic: a) y + z = 0 5y z = - 7 -y + z = 16 V:,, 1 b) y + z = 0 + y z = + y + z = 1 V:,, 5 c) y + 4z = 8 + 5y z = 10 7 y + 7z = 15 V: nemá řešení 8. Řešte v R soustavu rovnic: 1/( + ) + 10/(y + 5) = 1 /( + ) - 5/(y + 5) = -1 V: 1; 10. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice. 1. Je dán bod A a dvě soustředné kružnice k(s; cm) a l(s; cm). Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby B k, C l.. Je dán čtverec vhodné velikosti. Na jedné straně je dán bod A (v žádné speciální poloze). Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby zbývající vrcholy B, C ležely na obvodu čtverce.. Je dán bod A, přímka p a kružnice k. Sestrojte všechny pravoúhlé rovnoramenné ABC se základnou BC, pro které platí B k, C p. 4. Jsou dány dvě různé kružnice k, l a bod S. Sestrojte všechny obdélníky ABCD se středem S, pro které platí AB =. BC, B k, C l. 5. Je dán bod C, přímka p a kružnice k(s; 4 cm), S,p = 5 cm, přitom body C, S leží v téže polorovině s hraniční přímkou p. Sestrojte všechny pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky ABC ( <ACB = 90 ) tak, aby A p, B k.
2 . Užití určitého integrálu objem rotačního tělesa Definujte funkci, derivaci spojité funkce a primitivní funkci. Primitivní funkce a určitý integrál, Newton- Leibnitzova věta. 1. Vypočítejte objem rotačního paraboloidu o poloměru podstavy r = cm, výšce v = 6 cm. V: y = (/), V = 7. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule o daném poloměru r.. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y =, y = 1/, y = 0, = kolem osy. V: (5/6) 4. Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotačního kužele o poloměru podstavy r, výšce v. 5. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = +, = -1, = 1, y = 0 kolem osy. 6. Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného křivkami y = 1 - a y = kolem osy. 7. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblouku sinusoidy y = sin kolem osy v intervalu <0; >. 4. Základy vektorové algebry, operace s vektory Definujte vektor, sčítání a odčítání vektorů, násobení vektoru reálným číslem, radiusvektor bodu v kartézské soustavě souřadnic. Lineární kombinace vektorů. Skalární, vektorový a smíšený součin, využití při řešení geometrických úloh. 1. Vypočtěte souřadnice bodu B, je-li B = A +.u v, kde A[; 4], u = (1; ), v = ( ; 5).. Zjistěte, zda vektor u = (1; 1; ) je lineární kombinací vektorů a = ( 1; 0; 1), b = (; ; ) a vektor v = ( ; 4; 6) lineární kombinací p = (1; ; ), q = (; 1; 1).. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku A, B, C. Uveďte alespoň dvě metody řešení. A[0; 1], B[ 1; ], C[1; ]. 4. Je dán ABC, A(-1, -, 8), B(0, 0, 0), C(6,, 0). Užitím vektorového součinu vypočítejte jeho obsah. 5. Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu určeného vektory a = (, 4, 0), b = (0, -, 1), c = (, 0, 5). 6. Jsou dány vektory a = (, ), b = (1, 4), c = (0, ). Určete početně i graficky: a) u = a + b + c, b) v = a + b c. 7. Jsou dány body K (,, -4), L (, 6, -5), M (-4, -1, 0). Vypočítejte souřadnice bodu N, jestliže platí: L K = u, M N = -u. 8. Je dán ABC, A (,, 1), B (1, -, 0), C (0,, 5). Užitím skalárního součinu určete velikost vnitřního úhlu. 9. Jsou dány vektory a = (, -, 1), b = (1, 1, ), c = (, 1, -1). Vypočtěte a. (b c). 10. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, a = 6, v =.. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete velikost boční hrany jehlanu, úhel hran AV a BC a úhel hran AV a CV. 11. V krychli ABCDEFGH dokažte, že rovina AFH je kolmá na rovinu CGE. Využijte vhodně zvolenou soustavu souřadnic a vektory.
3 5. Obor kompleních čísel. Zavedení oboru kompleních čísel, algebraický a goniometrický tvar, číslo kompleně sdružené, Gaussova rovina, Moivreova věta, absolutní hodnota a argument kompleního čísla, odmocnina kompleního čísla, diskuse řešení kvadratické rovnice v R a v C. 1. Jsou dána komplení čísla: z = 1 + i, u = 5i. Vypočtěte: a) Součin z.u, b) z + u - z - u, c) Podíl z/u ( 1 + i; -8; -7/4 + 11/4 i). Převeďte daná komplení čísla z, u na goniometrický tvar. Porovnejte výsledky operací z.u, z/u metodou algebraickou a goniometrickou, vysvětlete geometrickou interpretaci násobení a dělení: z = 1 i; u = i ( (cos7 /4 + isin7 /4); (cos /4 + isin /4) ). Zobrazte čísla z, pro která platí: a) z 1 + i = ( kružnice S(1, -1), r = ) b) z - 1 z - i ( polorovina y ) 4. Najděte všechna komplení čísla z, pro která platí: a) z + z = 6 i, b) z z = 6 + 8i (+i, -i) 5. V Gaussově rovině zobrazte všechna komplení čísla, pro která platí: a) 1 + i z > ½, b) 1 + i z, c) - i z 1 + i - i 6. Vypočítejte z = 5 + 1i bez přechodu ke goniometrickému tvaru kompleního čísla. ( z = ± ± i) 7. Řešte v oboru C rovnici: i 1 + i = 1 i + i (1/10 + 1/10 i) 8. Užitím Moivreova věty vypočítejte: a) (cos / + i.sin /) 6, b) (1 i) 100 1, c) 1 + i (-1/ + i /; - 50 ; -i/) Shodná zobrazení v rovině středová souměrnost, posunutí Definujte shodné zobrazení, středovou souměrnost, posunutí. Popište zobrazení bodu, přímky a kružnice. Vztah středové souměrnosti a otočení. 1. Je dána přímka p, kružnice k(s; r), bod M, který neleží na přímce ani na kružnici. Sestrojte všechny úsečky, jejichž krajní body jsou na zadaných útvarech, přičemž tyto úsečky jsou půleny zadaným bodem M.. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li velikosti všech těžnic trojúhelníka. Řešte užitím středové souměrnosti.. Jsou dány dvě protínající se kružnice k, l. Jedním jejich průsečíkem veďte přímky tak, aby na nich kružnice vytínaly stejně dlouhé tětivy. 4. V ABC je dáno: t b = 5 cm, a = 7 cm, = 60. Výchozím prvkem je t b. Sestrojte jej. 5. Je dána kružnice k(s;,5 cm) a její dvě rovnoběžné tečny t 1 a t. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC o délce strany 5,5 cm, aby A t 1, B t, C k. 7. Binomická věta Definujte faktoriál, kombinační číslo, uveďte jeho vlastnosti. Binomická věta, Pascalův trojúhelník. 1. Zjistěte, který člen binomického rozvoje neobsahuje proměnnou. Pokud takový člen eistuje, určete jeho pořadí a jeho hodnotu. Použijte vztah pro výpočet k-tého členu binomického rozvoje:
4 a) ) ( b) ( ) V: A6, A6. Vypočtěte 10. člen binomického rozvoje. Kolikátý člen binomického rozvoje V: odmoc() neobsahuje proměnnou? V:.člen 4. Vypočtěte a) ( - i) 5 b) (1 + i. ) 4 5. Pro které reálné platí, že čtvrtý člen rozvoje výrazu (1 + ) 6 je čtyřikrát větší než třetí člen? 6. Vypočítejte čtvrtý člen binomického rozvoje ( 1/ + y 1/ ) 4 V: 4y 1/ 8. Lineární funkce, grafy. Absolutní hodnota. Definujte binární relaci, zobrazení, funkci, lineární funkci. Definujte absolutní hodnotu reálného čísla. Definujte graf funkce, uveďte způsob výpočtu průsečíku grafu dvou funkcí. 1. Určete průsečík funkce f: y = - + se souřadnými osami. Pak napište rovnici lineární funkce g, jejíž graf je rovnoběžný s grafem funkce f() a prochází bodem [4; ].. Sestrojte graf funkce: a) f: y = b) g: y = Sestrojte graf funkce f: y = a vypočtěte jeho průsečíky se souřadnými osami. 4. Sestrojte graf relace + y Sestrojte graf funkce f: y = Vypočtěte průsečík funkce f: y = + 1 s funkcí g: y =
5 9. Kvadratická rovnice (i s parametrem), Vietovy vzorce. Metody řešení. Objasněte pojem kvadratické rovnice, systém jejího řešení. Vysvětlete význam zkoušky. Proveďte diskusi řešení kvadratické rovnice v R. Algebraické a grafické metody řešení. 1. Najděte alespoň jednu kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čísla a) opačná b) dvojnásobná ke kořenům rovnice = 0, aniž danou rovnici řešíte.. Sestavte alespoň jednu kvadratickou rovnici, která má za kořeny převrácená čísla ke kořenům rovnice = 0, aniž danou rovnici řešíte.. V kvadratické rovnici (a - 5) (a 1) + = 0 určete hodnotu parametru a R tak, aby tato rovnice měla dvojnásobný kořen. V: a = 4 4. Součet. mocnin dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je o 40 menší než. mocnina součtu těchto čísel. Určete obě čísla. V: +(+1) +40=(+1), čísla 14, Vypočítejte obsah obdélníku, jehož úhlopříčka je o cm delší než délka obdélníku a o 16 cm delší než jeho šířka. V: =(-) +(-16), čísla 6, 10 nemá smysl, S=4.10=40 6. Pro která reálná čísla m bude mít rovnice 4-8m - 6m + 9 = 0 jeden kořen třikrát větší než druhý? 7. Řešte v R: a) p + (p + ) + p + 0,75 = 0 b) a + 6a + a = Neurčitý integrál jednoduché metody integrace Definujte funkci, derivaci spojité funkce v bodě a intervalu, primitivní funkci (neurčitý integrál). Základní vzorce a metody integrace jednoduchých funkcí. 1. K dané funkci f určete primitivní funkci F tak, aby graf funkce F procházel bodem A(, ), jestliže f: y = y = -(/) d d 4 d 5 7. Vypočtěte: 4. Vypočtěte: tg d d cot g d 1 d sin cos d cos cos sin d cos.sin d 4. Vypočtěte: d 5. Vypočtěte: sin d lnd e d cos d 1 1 ( + 1) Vypočtěte: d d 1 d sin tg d cos 5
6 11. Aritmetická posloupnost. Definujte posloupnost, aritmetickou posloupnost. Rekurentní vyjádření. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená. Graf posloupnosti. Základní vztahy pro práci s aritmetickou posloupností, odvození, Gaussův vzorec. 1. Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen: n + 1 n n = 1. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte některé rekurentní zadání.. Posloupnost je dána rekurentně: a 1 = -, a n+1 = a n +. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte vzorec pro n-tý člen.. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: a + a 5 = 8 a + a 7 = 14 V: a 1 = -1, d = 4. Určete 1. člen, diferenci a vzorec pro n-tý člen AP, v níž je součet prvních členů roven 7 a součet. mocnin těchto členů roven 75. (a 1 = 5, d = 4, a n = 4n + 1) 5. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: a 1 + a 5 = 6 a.a 4 = 160 V: a 1 = 7, d = nebo a 1 = 19, d = - 6. Určete součet těch dvou sousedních členů AP: -, -17, -11, -5, 1,, mezi nimiž leží číslo (Pozor: číslo nemusí být členem této posloupnosti) ( 000) 7. Najděte 1. člen a diferenci aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: součet prvních 4 členů je -, součet prvních 8 členů je. V: a 1 = -17, d = 6 1. Analytická geometrie lineárních útvarů polohové úlohy Definujte vzájemnou polohu přímek a rovin v rovině a prostoru. Uveďte základní způsoby vyjádření přímky v rovině a v prostoru a roviny v prostoru. 1. Napište parametrické rovnice roviny určené třemi body A(6; -; ), B(7; -; 0), C(5; -; ). Převeďte na obecnou rovnici.. Určete vzájemnou polohu přímky PQ, P(0; 0; 0), Q(1; 0; ) a roviny + y + z + 8 = 0. Jsou-li rovnoběžné, vypočítejte vzdálenost, jsou-li různoběžné, vypočítejte souřadnice průsečíku. (různoběžné, (-; 0; -4). Určete vzájemnou polohu rovin y 6z + 5 = 0, y 6z = 0. Jsou-li rovnoběžné, vypočítejte vzdálenost, jsou-li různoběžné, vypočítejte rovnici průsečnice a odchylku. (rovnoběžné, v = 5) 4. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny. Napište rovnici přímky q, která je pravoúhlým průmětem přímky p do roviny. a) p: = 1 - t, y = + t, z = 4 + t, t R; : + y - z - 6 = 0 b) p: = 1 - t, y = + t, z = 4 + t, t R; : - y + z + 18 = 0 5. Určete vzájemnou polohu rovin a : a) : - 5y + 4z - 10 = 0, : 4-10y + 8z - 10 = 0 b) : - 5y + 4z - 10 = 0, : - y - z - = 0 c) : - 5y + 4z - 10 = 0, : 4-10y + 8z - 0 = 0 6. Jsou dány přímky p: = 6 - t, y = m + t, z = -5 + t, t R; q: = -4 + s, y = 4 + s, z = 8-4s, s R. Určete číslo m tak, aby přímky byly různoběžné a vypočtěte jejich průsečík. Napište parametrickou a obecnou rovnici roviny určené přímkami p, q. 6
7 1. Geometrická posloupnost. Definujte posloupnost, geometrickou posloupnost. Rekurentní vyjádření. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená. Graf posloupnosti. Základní vztahy pro práci s geometrickou posloupností, jejich odvození. 1. Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen: 1 n n = 1. Určete zda se jedná o posloupnost rostoucí nebo klesající (dokažte), omezenou či neomezenou, najděte některé rekurentní zadání.. GP kladných čísel má tu vlastnost, že součet jejích prvních dvou členů je roven 1, zatímco součet prvních čtyř členů je roven. Vypočítejte kvocient a 1. člen GP. (q=, a 1 = -1). Součet 1. a. členu geometrické posloupnosti kladných čísel je roven 15. Součet prvních čtyř členů této posloupnosti je roven 45. Určete sedmý člen této posloupnosti. (a 1 =, q=, a 7 =19) 4. Velikosti hran kvádru tvoří po sobě jdoucí členy GP, součet jejich délek je 7 cm, objem kvádru je 8 cm. Vypočtěte povrch kvádru. (hrany: 1,, 4, V = 8) 5. Firma odepisuje každoročně 18 % z pořizovací ceny zakoupeného služebního auta. Za jak dlouho klesne cena pořízeného auta na 40 % ceny auta nového? (n = 4,617 = 4 roky 5 dnů) 6. Pan Rozhodný si uložil na 5 let do banky částku Kč na % úrok. Kolik mu banka vyplatí po uplynutí 5 let, jestliže je nutno každoročně státu platit 15 % daň z úroků, úrokovací období je 1 rok. (54 97 Kč) 7. Firma GKH se na začátku roku rozhodla, že v každém čtvrtletí zvýší svůj obrat o % ve srovnání s předcházejícím čtvrtletím. Předpokládejme, že se jí tento záměr daří plnit. A) O kolik procent vzroste obrat této firmy za roky? B) Za jak dlouho vzroste obrat o 5 %? V: a) 17, 17 %, b) během 1. čtvrtletí (n = 11,68) 14. Poloha dvou přímek v prostoru analytická metoda Definujte vzájemnou polohu přímek v rovině a prostoru. Uveďte základní způsoby vyjádření přímky v rovině a v prostoru. 1. Zjistěte vzájemnou polohu přímek v prostoru: p: = 1 - t, y = + t, z = t, t R, q: = 1 + s, y = -1 - s, z = s, s R. V: různoběžné, P(7, -4, -6). Bodem P[1; ; ] veďte přímku, která je kolmá k rovině : + y + z - 1 = 0. Určete souřadnice průmětu bodu P do této roviny.. Jsou dány body A[-1; 1; -1], B[5; 1; 7], C[4; ; ], D[1; ; -1]. Dokažte, že obrazec ABCD je lichoběžník. Určete, které strany jsou základnami a v jakém poměru jsou jejich velikosti. Vypočítejte velikost úhlu BAD. V: Základny AB, CD, poměr je :1, úhel = 57st. min 4. Dokažte, že přímky AB a CD jsou mimoběžné a vypočítejte jejich odchylku: A(1,,0), B(4,,-), C(,0,1), D(5,,-). stup 1 min 5. Pro které hodnoty reálného parametru m jsou přímky AB, CD rovnoběžné? A(,,), B(-1,0,), C(m,- 1,), D(1,1,). m = Jsou dány body A, B, C: A(7, 0, 5), B(1,-,-1), C(,,-1). Dokažte, že tyto body vytvářejí v prostoru pravoúhlý trojúhelník. Vypočítejte pak souřadnice těžiště, ortocentra, středu kružnice opsané ABC. Přepona AB, C = O, S je středem AB 7
8 15. Nerovnice algebraické a grafické řešení Popište řešení algebraických rovnic a nerovnic metodou nulových bodů, jiné způsoby řešení, ekvivalentní a neekvivalentní úpravy. Vysvětlete význam zkoušky. Definujte absolutní hodnotu reálného a kompleního čísla. 1. Řešte v R nerovnici: V: -1, 15. Řešte v R nerovnici: V: -4, /. Řešte v R algebraicky i graficky nerovnici: < 0 V: (-1, ) 4. Určete definiční obor funkce f: y = + 14 V: (-, -7/, + ) 5. Řešte v R nerovnici: ( ).( 5)/( ).( 7) < 0 V: (, ) (5, 7) 6. Určete definiční obor funkce f: y = log (5 8 4) V: (-, -/5) (, + ) 16. Trigonometrické řešení obecného trojúhelníka Vyslovte sinovou a kosinovou větu, uveďte jejich možné použití. Vztahy pro výpočet obsahu trojúhelníka, úvahy vedoucí k výpočtu poloměru kružnice opsané a vepsané trojúhelníku. 1. Řešte trojúhelník ABC (tj. vypočítejte velikosti všech stran a vnitřních úhlů), je-li dáno: c = 59 cm, = 40 0, S = cm.. Letadlo letí ve výšce 00 m směrem k pozorovatelně. V okamžiku prvního měření bylo vidět pod výškovým úhlem, v druhém okamžiku pod výškovým úhlem 58. Určete vzdálenost, kterou letadlo proletělo.. Je dán trojúhelník ABC: a = 7, cm, b = 4,8 cm, = 65. Vypočítejte: délku strany c, výšky v c, těžnice t c. V: c = 6,8, v c =4,6, t c =5,1 4. Patu věže C a místa A, B, ze kterých věž pozorujeme, jsou vrcholy trojúhelníku, ve kterém c = 80 m, = 60, = 8. Vypočítejte výšku věže, je-li z místa A vidět vrchol věže pod výškovým úhlem = 50. V: asi 60 m 5. Budova je vysoká 15 metrů, je vzdálena 0 metrů od břehu řeky. Z vodorovné střechy této budovy je vidět šířku řeky pod úhlem e = 15. Vypočítejte šířku řeky. V:asi 4 m 8
9 17. Derivace funkce, geometrická interpretace Vysvětlete geometrický způsob zavedení derivace. Derivace funkce v bodě a intervalu. Derivace součtu, součinu a podílu, derivace elementárních funkcí. Derivace a intervaly monotónnosti funkce. 1. Vypočítejte derivace následujících funkcí f() v libovolném bodě, ve kterém je fce def. a spojitá: a) f() = 1/; b) f() = ; c) f() = ; d) f() = ;e)f () = 4. Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f() = v jejím bodě T(1; t ). (y = 5 4). Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: f() =, g() =. ( = 45, = 18 6 ) 4. Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: f() =, g() =. ( = 45, = 6 4 ) 5. Vypočtěte 1. derivaci: a) y = sin : (1 - sin ) b) y = 5 cos Napište rovnici tečny a normály funkce y = ( - 1) : ( + ) v bodě T[0,?]. 7. Vypočtěte, pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí: a)f() =, g() = sin, b) f() = sin, g() = cos 8. Napište rovnici tečny ke grafu funkce f: y = + 8, která prochází bodem T(1; y) ležícím na grafu této funkce. V: T(1, 5), t: y = Určete, ve kterých intervalech je funkce f: y = rostoucí a ve kterých klesající, stanovte stacionární body a lokální etrémy. klesající (-1, ) V: rost. (-nek, -1) (, nek.), 18. Stejnolehlost, podobnost, využití v konstrukčních úlohách Definujte shodné a podobné zobrazení, typy. Samodružné body. Skládání zobrazení. Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití při odvození Euklidových vět a Pythagorovy věty. Stejnolehlost. Společné tečny dvou kružnic. Apolloniovy úlohy. 1. Zobrazte trojúhelník ABC ve stejnolehlosti H(S, k). a) S AB, k =,5 b) S leží vně ABC, k = : c) S = A, k = -0,75. Do ostroúhlého trojúhelníku ABC vepište čtverec PQRS tak, aby P, Q AB, R BC, S AC.. Jsou dány dvě různoběžky a, b a bod M, který neleží na žádné z nich. Sestrojte kružnici, která se dotýká obou přímek a prochází bodem M. 4. Je dána přímka p, kružnice k a bod A (vše navzájem disjunktní). Sestrojte všechny úsečky XY, kde X p, Y k a AY =. AX 5. Je dán konvení úhel AVB a bod M ležící uvnitř tohoto úhlu. Bodem M veďte přímku m, protínající VA a VB v bodech X a Y tak, že VX : VY = : 6. Je dána přímka p, kružnice k a bod A (vše navzájem disjunktní). Sestrojte ABC tak, aby B p, C k, = 60 a AC =. AB. 7. Sestrojte ABC, pro který platí: a : c = 4 : 7; = 45 ; t c = 4,5 cm. 8. Je dána přímka t, ve stejné polorovině určené touto přímkou jsou dány dva různé body A, B tak, že jejich spojnice není ani kolmá k přímce t, ani není rovnoběžná s t. Sestrojte všechny kružnice, které procházejí body A, B a zároveň se dotýkají přímky t. 9
10 19. Limita posloupnosti a limita funkce 1. Rozhodněte, zda dané posloupnosti jsou konvergentní či divergentní. Pokud jsou konvergentní vypočítejte limitu pro n + : n + 1 n + n = 1 n, n + 1 n = 1 n, n + n = 1 n 4, 5n n = 1 5 +, ( 1) n n.n n = 1. Vypočítejte limity: a) b). Vypočítejte limity: a) b) 4. Vypočítejte limity: a) b) c) 5. Vypočítejte limity: a) b) c) 0. Kartézský součin, binární relace a zobrazení, vlastnosti a grafy. Definujte kartézský součin, binární relaci a zobrazení. Inverzní relace a zobrazení, definiční obor, obor hodnot. Grafy. 1. Je dána množina A = {1,,, 4} a relace S = {[1; ], [; ], [; ], [4; 4]}. Určete definiční obor a obor hodnot relace S. Určete, zda relace S v množině A je zobrazení (funkce), prosté zobrazení. Najděte inverzní relaci S -1 a určete, je-li zobrazením.. V množině R jsou dány dvě binární relace: A: + y 9, B: y + 0. Sestrojte jejich kartézské grafy a vyznačte: A B, A B, A B, B A.. V množině R jsou dány dvě binární relace: A: + y, B: y - 0. Sestrojte jejich kartézské grafy a vyznačte: A B, A B, A B, B A. 4. Sestrojte do jednoho obrázku kartézské grafy tří binárních relací v množině R: A: y + 1, B: y, C: y + 0. Vyznačte: A B, C B, A C, A B C. 5. Sestrojte v R grafy relací T: y a U: y +. Určete graf relace V = T U a vypočtěte obsah grafu relace V. 10
11 1. Vyšetřování průběhu funkce Definujte kartézský součin, relaci, funkci, definiční obor, obor hodnot, omezenost, spojitost, monotónnost, sudost a lichost, etrémy, inflení body, asymptoty grafu. Vyšetřování průběhu pomocí derivací a limit. 1. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: V: asymptoty = -1, y=- y = + 1. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: V: as: =, = -, y = 1, sudá. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: y = 4 y = Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf: 1 y = 1 +. Goniometrické rovnice Definujte goniometrické funkce obecného úhlu. Definiční obory a obory hodnot, asymptoty a body nespojitosti. Grafy. 1. Řešte rovnici v R: a) sin ( + /6) = -1 b) cos ( - /8) = -1. Řešte rovnici v R: sin cos 4sin + = 0. Řešte rovnici v R: cos = sin 4. Řešte rovnici v R: tg + 4 cotg = 9 5. Řešte rovnici v R:.sin + 7.cos - 5 = 0 6. Řešte rovnici v R: a) cos + sin = 0 b).sin =.tg 7. Řešte rovnici v R: tg + tg = 1 + tg 11
12 . Eponenciální rovnice Definujte funkci, definiční obor a obor hodnot, prostou funkci, graf funkce. Pojem inverzní funkce, kritérium eistence, souvislost D(f), H(f), D(f-1), H(f-1). Definujte eponenciální a logaritmickou funkci, načrtněte jejich grafy. Přirozený logaritmus. 1. Řešte v oboru R rovnici:. Řešte v oboru R rovnici: 6 5 ( = ) log 7 log 0,01 = = 1,. Řešte v oboru R rovnici: 5.. = 0 = 1, Řešte v oboru R rovnici: = 1 + = ½ = 4 5. Řešte v oboru R rovnici: = 1 = ± 0,69 6. Řešte v oboru R rovnici: = = 5 7. Řešte v oboru R rovnici: 81 + = 1 =, Nekonečná geometrická řada Definujte posloupnost, aritmetickou a geometrickou posloupnost, řadu, geometrickou řadu. Posloupnost rostoucí, klesající, omezená, neomezená. Konvergence a součet nekonečné geometrické řady. 1. Určete hodnotu součinu: V: součin = 4 n 1 4. Řešte v R rovnici: a) = b) ( n ) 4 sin = tg V: 6, /4+k n = 1 n = 1. Do rovnostranného trojúhelníku A 1 B 1 C 1 o straně a je vepsán trojúhelník A B C tvořený jeho středními příčkami. Do něj je stejným způsobem vepsán další trojúhelník atd. Vypočtěte součet obvodů a součet obsahů všech takto získaných trojúhelníků. n = 1 4. Řešte v R rovnici: 1 n = V: def. obor je 0, výsl. = Na jednom rameni úhlu AVB, jehož velikost je / rad, je z bodu A spuštěna kolmice na druhé rameno, její pata je označena A 1, z ní je spuštěna kolmice na první rameno, její pata je A, atd až do nekonečna. Vypočítejte délku takto vzniklé lomené čáry, je-li AV = 10 cm. 6. V rovnoramenném pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB sestrojíme výšku CC 1 z vrcholu C, dále v trojúhelníku ACC 1 výšku C 1 C z vrcholu C 1, atd. Vyjádřete délku lomené čáry CC 1 C C pomocí délky odvěsny BC = a. V: a( +1) 1
13 5. Kvadratická funkce. Definujte funkci, definiční obor a obor hodnot, prostou, rostoucí, klesající funkci, graf funkce. Pojem inverzní funkce, kritérium eistence, vztahy mezi D(f), H(f), D(f -1 ), H(f -1 ). Definujte kvadratickou funkci. 1. Načrtněte graf funkcí: y =, y = -, y = ( ), y = -( +), y = -( -1) +. Popište vlastnosti těchto funkcí.. Načrtněte graf funkce: a) y = + b) y = 6 8. Nalezněte souřadnice vrcholu paraboly, která je grafem této funkce.. Načrtněte graf funkce: a) y = b) y = 0, Nalezněte souřadnice vrcholu paraboly, která je grafem této funkce. 4. Načrtněte graf funkce: a) y =. b) y =. -. Popište jejich vlastnosti. 5. Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí: y =, y =, y =. Popište, jak spolu souvisejí jednotlivé grafy. 6. Je dána úsečka délky d. Rozdělte tuto úsečku na části tak, aby součet obsahů rovnostranných trojúhelníků sestrojených z těchto částí byl minimální. 6. Kombinatorika - variace, permutace, kombinace, vlastn. kombinačních čísel Definujte základní kombinatorické postupy a pojmy, variace, permutace, kombinace, faktoriál, kombinační číslo a jeho vlastnosti, Pascalův trojúhelník. Anagramy. 1. Kolik 4-ciferných přirozených čísel lze sestavit z cifer 0, 1,,, 4, 5, 6, jestliže a) žádná cifra se neopakuje, b) v každém čísle se mohou cifry jakkoliv opakovat. V(4,7)-V(,6)=70 V (4,7)- V (,7)=7 4-7 =058. Kolik anagramů je možno sestavit ze slova MATEMATIKA? 10!/(!!!1!1!1!)= účastníků sportovního kurzu se na cestu zpět rozdělilo na 4 skupiny: 17 se jich vracelo vlakem, 8 autobusem, 6 na kole, 4 pěšky. Kolika způsoby se mohli rozdělit? 5!/(17!8!6!4!) tj. asi 4, Kolika způsoby lze ze 7 chlapců a 4 dívek vybrat 6 členné volejbalové družstvo tak, aby v něm byla alespoň děvčata? (4nad).(7nad4)+(4nad).(7nad)+(4nad4).(7nad)=71 5. Kolik je Apolloniových úloh, tj. konstrukce kružnice ze daných prvků bod, přímka, kružnice, prvky se mohou jakkoliv opakovat. Pokuste se je specifikovat. K (,) = (5nad) =10 (n+k-1nadk) 6. V TIPSPORTU se tipuje 1 fotbalových zápasů výhra hostů, výhra domácích, remíza. Kolik je všech možných tipů? V (1,)= 1 = Je dáno 1 bodů v rovině, z nichž 5 leží na jedné přímce. Žádné další body na přímce neleží. Kolik přímek je těmito body určeno? 8. V rovině je 10 bodů, z nichž 6 leží na jedné kružnici. Kolik kružnic je těmito body určeno? 9. V prostoru je dáno 1 bodů. z nichž 6 leží v jedné rovině. Kolik čtyřstěnů lze ze všech bodů vytvořit? 10. V kolika bodech se protíná 9 přímek, z nichž 4 jsou navzájem rovnoběžné? 11. Zvětší-li se počet prvků o 1, zvýší se počet trojčlenných kombinací bez opakování o 1. Kolik je dáno prvků? 1. Ve třídě je 18 chlapců a 14 dívek. Kolikerým způsobem se mohou zvolit do tříčlenné skupiny její zástupci, mají-li to být: a) samí chlapci b) samé dívky c) dva chlapci a jedna dívka? 1. Test se skládá z 5 otázek otázky z dějepisu (připraveno je jich 0), dvě otázky ze ZSV (připraveno je jich 5) a 1 otázka ze zeměpisu (připraveno je jich 0). Kolik variant testu připravené otázky umožňují? 14. Vyřešte danou kombinační rovnici: a) (n nad k) (n nad k) = 0. (nad1)nebo(nad) 1
14 7. Analytická geometrie kvadratických útvarů elipsa, kružnice Definujte kružnici, elipsu. Rovnice v základních případech. Ohniska, osy, vrcholy, střed, ecentricita. Tečna. Vzájemné polohy útvarů. Kuželosečky obecně. 1. Určete rovnici kružnice, která se dotýká přímky + 4y 6 = 0 v bodě T(9;?) a prochází bodem A(11; 7).. Pro které reálné číslo q je přímka y = + q tečnou kružnice + y + 4 8y + 10 = 0?. Napište rovnici elipsy s ohnisky E[; 5], F[; 1] procházející bodem M[5; 1]. 4. Určete souřadnice středu a velikosti poloos elipsy dané rovnicí 5 + 9y y = 0. Načrtněte tuto elipsu. 5. Napište rovnici elipsy vepsané do obdélníka, jehož rozměry jsou 10cm a 8cm. Vrchol obdélníka je v počátku soustavy souřadnic a strany leží na osách, y. 6. Napište rovnice tečen elipsy s rovnicí ( - 1) + 0,5(y + ) = 1 v jejích průsečících s přímkou y = Určete c tak, aby přímka y = + c byla tečnou elipsy 0,5 + y = Napište rovnici kružnice opsané a vepsané ABC: A[1; ], B[-; -1], C[-5; ]. 9. Najděte společné body elipsy + 4y = 17 a kružnice + y = 5. Vysvětlete postup výpočtu odchylky těchto křivek v bodech průniku. 10. Určete délku tětivy, kterou vytíná elipsa + y = 18 na přímce p s rovnicí + y - 6 = Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou a odmocninou Definujte absolutní hodnotu reálného čísla. Postup řešení rovnice s absolutní hodnotou a odmocninou. Význam zkoušky při řešení rovnice. Rozdíly při řešení rovnice a nerovnice. Možnosti grafického řešení. 1. Řešte v R: a) + 1 = b) + 1 < c) + 1 >. Řešte v R: a) + 1 = - b) = 6. Řešte v R: a) + > - b) < 8 4. Řešte v R: > 4( ) 5. Řešte v R: a) = + 1 b) = 8 a) -0,5, b) Řešte v R: = + 1 = 1 14
15 9. Objemy a povrchy těles válec, hranol, jehlan, koule Uveďte základní vztahy pro výpočet objemu a povrchu válce, hranolu, jehlanu, koule. Cavallieriho princip při řešení objemů těles. Integrální počet a jeho využití při výpočtu objemu rotačního tělesa. 1. Součet obsahů tří stěn kvádru, které procházejí týmž vrcholem, je 00 cm. Rozměry kvádru jsou v poměru : : 5. Vypočítejte objem kvádru. (asi 90 cm ). Vypočítejte rozměry rotačního válce o objemu 1 litr a výšce rovné dvojnásobku průměru podstavy. (r je asi 4, cm). Poměr pláště rotačního válce k obsahu podstavy je 5 :. Úhlopříčka osového řezu má velikost 6 cm. Vypočítejte objem válce. (asi cm ) 4. Do rovnostranného válce (výška je rovna průměru podstavy) je vepsána koule a kužel. Podstava válce je podstavou kužele, který má vrchol ve středu druhé podstavy válce. Vypočítejte poměr objemů těchto tří těles. ( : : 1) 5. V pravidelném trojbokém jehlanu jsou boční hrany navzájem kolmé, velikost podstavné hrany je 0 cm. Vypočtěte objem jehlanu. (asi 1 590) 6. Vypočítejte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož podstavná hrana má velikost 8 cm a odchylka boční hrany od roviny podstavy je = Pravidelný 6-boký jehlan má podstavnou hranu a = 10 cm. Dvě sousední boční hrany určují odchylku b = 4. Vypočítejte objem a povrch jehlanu. 0. Eponenciální a logaritmická funkce Definujte funkci, inverzní funkci, podmínky eistence. Definujte eponenciální a logaritmickou funkci, načrtněte jejich grafy. Základní vztahy pro počítání s logaritmy (logaritmus součinu, podílu, mocniny, dekadický a přirozený logaritmus. 1. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y =, y = -, y =, y = -. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y = +1, y = --1, y = -1. Načrtněte grafy funkcí, určete definiční obory a obory hodnot: y = log, y = log 1/, y = log, y = log (-1) 4. Na základě vlastností eponenciální funkce rozhodněte, které z následujících mocnin jsou menší než 7 jedna, větší než jedna, rovny jedné. Zdůvodněte: 0,5, 5 0,75,,18 5. Načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí: y =, y = +1, y = -. 0,1 5, , Načrtněte do jednoho obrázku grafy funkcí: y = ln, y = ln, y = ln ( e). Jakou odchylku svírá graf funkce y = ln s osou? 0,. 15
Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceNezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.
Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška
VíceMaturitní témata od 2013
1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceMaturitní nácvik 2008/09
Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],
VíceMATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA
MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné
VíceOpakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
VícePRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná
PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků
VíceMATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011
MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);
VíceII. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
VíceObsah Matematická logika, důkazy vět, množiny a operace s nimi Mocninná funkce, výrazy s mocninami a odmocninami Iracionální rovnice a rovnice s absol
Přípravné úlohy k maturitě z matematiky RNDr Miroslav Hruška Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009 Obsah Matematická logika, důkazy vět, množiny a operace s nimi Mocninná funkce,
VíceMatematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
Více[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY
Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VícePožadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků
Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy
Více2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
VíceSbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky
Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b
Více( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
VíceMaturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011
Vyučující: RNDr. Ivanka Dvořáčková Třída: 8.A Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Otázka Okruh 1 1. Výroky a operace s nimi 2. Množiny a operace s nimi 2 3. Matematické věty a jejich
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
Více5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
VíceMatematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:
Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za
VíceMATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik
MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceMaturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky
Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky A. Informace o zkoušce Písemná maturitní zkouška z matematiky v profilové části se
VíceDodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)
Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceMATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
VíceTÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA G5 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;
VíceAlternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13
ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti
Více1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
VíceTÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA G5 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;
VíceSTRUČNÉ OPAKOVÁNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY V PŘÍKLADECH
STRUČNÉ OPAKOVÁNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY V PŘÍKLADECH RNDr. Milada Rezková RNDr. Vlasta Sudzinová Mgr. Eva Valentová 2016 Předmluva Tento učební text je určen studentům 4. ročníku čtyřletých gymnázií,
VíceDodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)
Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
VíceTÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceTémata absolventského klání z matematiky :
Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný
Více0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
Více2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
Víceje číslo vyjádřené výrazem 7n 21n , C cos je iracionální číslo d) 0, 9 = 1
Číselné obory N, Z, Q, R, C (definice, základní operace v jednotlivých oborech, vlastnosti operací s čísly, různé zápisy čísel, znázornění čísel na číselné ose a v Gaussově rovině, řešení rovnic v jednotlivých
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VíceZákladní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů
1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou
VíceMaturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006
MATURITA 005-006 Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova 66 0.9.005 Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 005-006 Třída 8.A/8,.A/ V.Zlatohlávek, B. Naer. Úpravy výrazů v matematice.... Rovnice
Více1. Základní poznatky z matematiky
. Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),,
VíceCVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VíceMINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,
VíceSTEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*
STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceMINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo
VíceSBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.
Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat Přírozená čísla Číselné obory Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Základní poznatky Teorie množin Výroková logika Mocniny a odmocniny Množiny Vennovy diagramy
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceKomplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice
Více1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše
VíceTEMATICKÝ PLÁN. září říjen
TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené
VíceSBÍRKA n PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY kde n =
SBÍRKA n PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY kde n = 017-1957 Mgr. Petr Říman Gymnázium Ostrava-Zábřeh, Volgogradská a červen 017 1. Vypočítejte: 1 0, 4 1 8 0,75. Vypočítejte:. Vypočítejte: ( 4 4) ( + ) ( i) [ + 4i]
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné
VíceMatematika - 6. ročník Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby desetinná čísla. - zobrazení na číselné ose
Matematika - 6. ročník desetinná čísla - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - zaokrouhlování a porovnávání des. čísel ve výpočtových úlohách - zobrazení na číselné ose MDV kritické
VíceSTEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...
STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceObor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA
Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
VíceMatematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě
Řeší s porozumněním rovnice s parametrem Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řovnice, nerovnice a jejich soustavy Třetí, 24 hodin Zvolí vhodnou metodu řešení rovnice nebo nerovnice Vysvětlí zvolený způsob
VíceII. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů
MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni
VícePOŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
Více3.4.1. Tabulace učebního plánu
3.4.1. Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: Kvinta, 1. ročník Tématická Číselné obory Druhy čísel (N, Z, Q, R, I) - prezentuje přehled číselných oborů Mocniny
VíceŠroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VícePředmět: MATEMATIKA Ročník: 6.
Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Mezipředm. vazby, PT Číslo a proměnná - užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek - část (přirozeným číslem, poměrem,
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
VícePředmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:
Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,
VíceZákladní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální
Více