Počítačová geometrie. + algoritmy DG

Transkript

1 Pojem výpočetní geometrie (počítačové) analýza a návrh efektivních algoritmů pro určování vlastností a vztahů geometrických objektů řešení geometrických problémů navrženými geometrickými algoritmy hlavním podnětem vzniku VG jako samostatné disciplíny rozvoj počítačové grafiky, CAD/CAM systémů (počítačem podporovaná výroba a projektování) řeší se transformace roviny a prostoru problémy geometrického vyhledávání, problém polohy bodu hledání konvexní obálky množiny bodů v d-rozměrném prostoru problém hledání blízkých bodů výpočet průniků polygonálních oblastí a poloprostorů geometrie rovnoběžníků + algoritmy DG

2 y transformace roviny a prostoru y X [ x, y ] y S S S[ x, y ] X[ x, y] X[ x, y] x y X [ x, y ] X [ x, y ] S S S[ x, y ] X[ x, y] X [ x, y ] x x X[ x, y] x

3 problémy geometrického vyhledávání, problém polohy bodu M 2 M 1 M 3

4 hledání konvexní obálky množiny bodů v d-rozměrném prostoru

5 výpočet průniků polygonálních oblastí a poloprostorů y x

6 triangulace

7 co je potřeba porozumění geometrickým vlastnostem problémů používat vhodnou aplikaci algoritmů a datových struktur zvládat techniky tvorby efektivních algoritmů doporučení singulární případy zprvu ignorovat, zahrnout až dodatečně (v praxi jde o běžnou metodu), důležité experimentování důležitá numerická stabilita algoritmus může být správný a přesto nerobustní (bod napravo nalevo od přímky, průnik přímky a roviny, ) těžké ošetřit hodnocení a porovnávání algoritmů nezávislé na typu počítače a na jazyku

8 Oblasti aplikací počítačová grafika lokalizace myši, řešení viditelnosti, průniky geometrických objektů, stíny,

9 Oblasti aplikací geografické informační systémy (GIS) digitální modely terénu, kartografie dem/index.html

10 Oblasti aplikací CAD/CAM systémy (computer aided design and manufacturing) návrh a výroba podporovaná počítačem 07.ibm.com/lenovoi nfo/thinkstation/bd/a pplications.html

11 Oblasti aplikací 2D, 3D konstrukce obrazová analýza počítačové modelování vizualizace, hry, simulátory virtuální realita editory dopravních sítí rozpoznávání textu GIF, Flash animace

12 Analytické vyjádření zobrazovacích metod Promítání (projekce) zobrazování prostorových objektů do roviny (průmětny) určeno středem (směrem) a průmětnou 3D 2D

13 Analytické vyjádření zobrazovacích metod promítací paprsek přímka vedená promítaným bodem, jejíž směr závisí na zvolené promítací metodě průmětna rovina (i obecná plocha), do které promítáme průmět bodu průsečík promítacího paprsku a průmětny při zobrazování prostorových objektů následuje po promítání další zpracování dat př. nalezení viditelných a zakrytých částí objektů

14 Analytické vyjádření zobrazovacích metod Rovnoběžné promítání s střed promítání - nevlastní promítací přímky jsou určeny směrem promítání všechny promítací paprsky mají stejný směr A B A B Středové promítání S střed promítání vlastní promítací přímky procházejí středem promítání všechny promítací paprsky vycházejí z jednoho bodu A A B B

15 Rovnoběžné promítaní v prostoru zvolme kartézskou soustavu souřadnic S { O; e, e, e } zobrazujeme, v níž je analyticky popsán objekt, který v průmětně zvolme kartézskou soustavu souřadnic S { O; e, e} 1 2 promítání do jiné průmětny můžeme vždy převést pomocí transformace (nejčastěji otočení nebo posunutí)

16 Rovnoběžné promítaní Kótované promítání z A A A A[ x, y, z ] [ A A A x, y ] y O A A y A x A O A y x x x, y - souřadnice ve 2D

17 Rovnoběžné promítaní Mongeovo promítání A 2 z A A A A A[ x, y, z ] 1 [ A A A x, y ] [ A, A A ] 2 x z A 3 A2 [ A, A A ] 3 y z y z A O y A x O x x ( y) A 1 x, y - souřadnice ve 2D A 1 y A

18 Rovnoběžné promítaní Kosoúhlá axonometrie z y dáno: průměty os s jednotkami jx, jy, jz j z x O jx jy y x x, y - souřadnice ve 2D

19 Rovnoběžné promítaní Kosoúhlá axonometrie x z y O jx j z jy y e i - průměty x e i e 1 ( jxcos, jxsin ) e 2 ( jycos, jysin ) e 3 (0, j z ) jy cos j y

20 Rovnoběžné promítaní Kosoúhlá axonometrie z y A A A A[ x, y, z ] x O jx A y j y j z jy A A x j x A A A[ x j cos y j cos 0, x A A A x j sin y j sin z j ] A z j z y x x y z bod A vyjadřujeme v soustavě S y

21 Rovnoběžné promítaní Nejčastěji se používají následující typy axonometrií Izometrie jx : jy : jz 1:1:1 30 j 1 pro, dostaneme dosazením do vzorců x A A A A[ x, y, z ] 3 1 A x y, x y z 2 2 A A A A A

22 Rovnoběžné promítaní Nejčastěji se používají následující typy axonometrií Dimetrie j : j : j k : k :1 x y z nebo můžeme provést cyklickou záměnu, úhly volíme tak, že axonometrické osy se stejnými jednotkami jsou symetrické vzhledem ke zbývající ose j : j : j 1: 2: 2 30 pro x y z a dostaneme technickou dimetrii

23 Rovnoběžné promítaní Nejčastěji se používají následující typy axonometrií Dimetrie technická dimetrie po dosazení 3 1 A A A A A[ x, y, z ] x 2 y, x 2y 2z 2 2 A A A A A

24 Rovnoběžné promítaní Nejčastěji se používají následující typy axonometrií Kosoúhlé promítání j : j : j 1: q :1 x y z (0,2 ), k, k 1,2,3 2 0 pro q 1, 45 dostáváme kavalírní perspektivu

25 Rovnoběžné promítaní Nejčastěji se používají následující typy axonometrií Kosoúhlé promítání kavalírní perspektiva po dosazení 2 2 A A A A A[ x, y, z ] x y, x z 2 2 A A A A

26 Rovnoběžné promítaní Nejčastěji se používají následující typy axonometrií Pravoúhlá axonometrie, volíme úhly, vše ostatní odvodíme z vlastností pravoúhlé axonometrie

27 Rovnoběžné promítaní Nejčastěji se používají následující typy axonometrií X x Pravoúhlá axonometrie 2 z Z O 2 P j z ( O) 3 OZ ( OZ ) 1 Y y O( O) ( OP ) ( O) P 2 2 ( OP ) 2 OP OP 1 2 ( OP )

28 Rovnoběžné promítaní Nejčastěji se používají následující typy axonometrií Pravoúhlá axonometrie PY tg1 PX tg2 1 2 ( OP ) 1tg tg 1 2 j 1tg tg z 1 2 ostatní jednotky stejně j j x y 1tg tg 2 3 1tg tg 1 3