Mechanika kompozitů pro design

Transkript

1 Mechanika kompozitů pro design KM-DMK Robert Zemčík

2 2 Historie Základní pojmy a vlastnosti Klasifikace kompozitních materiálů

3 3 Kompozitní materiál skládá se ze dvou nebo více různých složek každá složka má jiné vlastnosti (mechanické, chemické) každá složka plní jinou funkci výsledné vlastnosti (výhody i nevýhody) jsou dány kombinací vlastností dílčích složek

4 4 Historie první písemná zmínka o použití kompozitů: Bible kniha xodus o Odchodu Izraelitů z gypta Protož ustanovili nad ním úředníky, kteříž by plat vybírali, aby je trápili břemeny svými I vystavěl [lid Izraelský] Faraonovi města skladů, Fiton a Ramesses A k hořkosti přivodili život jejich robotami těžkými, v hlině a cihlách a ve všelijakém díle na poli, mimo všelikou potřebu svou, k níž práce jejich užívali nenáležitě a bez lítosti I přikázal Farao v ten den úředníkům nad lidem a šafářům jeho, řka: Nedávejte již více slámy lidu k dělání cihel jako prvé; nechať jdou sami a sbírají sobě slámu

5 5 Hlína + sláma = vepřovice ADOB sláma působí jako zpevňující složka navíc kyseliny uvolněné ze slámy hlínu vytvrzují až 3x vyšší pevnost oproti samotné nepálené hlíně břeh Dunaje, Rumunsko

6 6 Stavby z nepálené hlíny Huaca del Sol, Peru, 45 AD Tambo Colorado, Peru Huaca de la Luna, Peru Citadela Arg-e Bam, Írán, 5 BC 23 AD

7 7 Přírodní kompozity srdeční céva tkáně živočichů svaly, cévy, kosti, schránky pletivo rostlin dřevo kmen ořešáku ulita loděnky

8 Habakkuk 8 Kompozity na bázi dřeva dřevovláknité desky (dřevotříska, sololit) lisované, lepené třísky, piliny překližky lepené vrstvy dřeva gypt 35 BC pykrete piliny v ledu 2 světová válka De Havilland Mosquito sendvič (překližka + balza)

9 Kompozity na bázi keramiky CRMT 9 keramická matrice + kovová výztuž keramika tepelná odolnost kov tažnost (nikl, molybden, kobalt) zubní výplně protézy, elektronické součástky, povrch raketoplánu, jaderné reaktory Atlantis

10 Kompozity na bázi kovů MMC matrice: hliník, hořčík, titan, ocel tepelná vodivost výztuha: vlákna z uhlíku, boronu, SiC tuhost, pevnost Porsche Boxter auto-brzdy, bloky motoru, vrtáky, rámy kol Specialized S-Works

11 Organické kompozity asfalt (+ písek, kamínky) kostel J z Arku, Nice železobeton (848) zubní protézy (+ keramika) syntaktická pěna (duté skleněné kuličky v matrici) ulita

12 Kompozity na bázi polymerů FRP 2 matrice (s různými příměsmi) termoplasty (lze opakovaně tepelně zpracovávat) polyetylen, polystyren, PVC, PT termosety (nelze opakovaně tepelně zpracovávat, pevnější, použití za vyšších teplot) epoxidová, polyimidová, polyesterová, fenolická pryskyřice, bakelit (97) výztuha (s různými povlaky) dřevo, sklo (922), uhlík (964), kevlar / aramid (965), hliník, bor vlákna krátká, dlouhá (kontinuální) částice tkaniny (D), 2D, 3D Airbus A38 Aston Martin DBR9

13 3 Speciální kompozity uhlík-uhlík (RCC) vysoká tepelná odolnost uhlíková nanovláka (CNT) vylepšují vlastnosti matrice Bugatti Veyron BMC Columbia kg = $8

14 4 Výhody a nevýhody FRP + nízká hmotnost + vysoká tuhost a pevnost + směrově orientované vlastnosti + tepelná, chemická odolnost, ohnivzdornost + nižší tepelná roztažnost + elektrická a tepelná vodivost cena konstrukční návrh, výroba spoje, opracovatelnost, recyklace defektoskopie, opravy

15 5 Rozdělení FRP kompozitů částicové orientované neorientované vláknové jednovrstvé krátkovláknové orientované neorientované (rohože) dlouhovláknové jednosměrové dvousměrové (tkaniny) 3D tkaniny vícevrstvé lamináty hybridní lamináty sendviče

16 6 Jednosměrové kompozity vlákno = výztuha přenáší především tahové namáhání určuje podélný směr L (longitudinal) Ø cca 5-5 mm tvoří 4-6% objemu kompozitu T L matrice = pojivo přenáší především tlakové namáhání ve směru (směrech) kolmém (příčném) na vlákna T (transverse) drží vlákna (popř jednotlivé vrstvy) pohromadě rozkládá lokální namáhání do okolí

17 7 2 Výroba a použití kompozitních materiálů (desky, skořepiny, sendviče, trubky)

18 Produkty 8

19 Produkty 9

20 Produkty 2

21 2 Produkty Caesar's Palace Dome, Las Vegas Buckminster Fuller Geodesic Dome fontána ve Staples Center, LA Futuro houses, orig ve Finsku Schwerin, Německo

22 22 Vlákna vysokopevnostní (high-strength) vysokotuhostní (high-modulus) Typ vlákna sklo aramid HS - uhlík HM - uhlík hliník ocel Modul pružnosti v podélném směru fl [MPa] Modul pružnosti v příčném směru ft [MPa] Modul pružnosti ve smyku G flt [MPa] Pevnost v tahu S fl [MPa] Hustota ρ f [kg/m 3 ] Cena [USD/kg] index f = fiber % $3 8 % $25 6 % $85 8 % Pozn díky nižší hustotě a váze konstrukce se výsledný poměr cen zkoriguje Dále nutno zohlednit sekundární úspory (palivo, seriová výroba, manipulace) $6 6 % $2 < 3 % < $

23 23 Volba vláken Konstrukční požadavky Volba vlákna Pevnost Uhlík Tuhost Uhlík Houževnatost Aramid Creep Uhlík Únava Uhlík Nízká cena -sklo Prostup světla -sklo Korozivzdornost Sklo Radioprůzračnost D-sklo Nejvyváženější mechanické vlastnosti -sklo

24 24 Matrice Druh pryskyřice epoxidové polyesterové fenolové polyimidové Modul pružnosti m [MPa] Poissonovo číslo n m Modulu pružnosti ve smyku G m [MPa] Pevnost v tahu pm [MPa] Hustota ρ m [kg/m 3 ] Maximální teplota T max [ o C] index m = matrix

25 25 Matrice vlastnosti Ve vytvrzeném kompozitu jsou požadovány tyto vlastnosti: adhezivní pevnost (spojení matrice vlákna) teplotní odolnost únavová pevnost (dlouhodobé, cyklické zatížení) chemická odolnost odolnost proti vlhkosti

26 26 Volba matrice Konstrukční požadavky Volba pojiva Ohnivzdornost Fenol Korozivzdornost Bismaleid Teplotní odolnost Fenol, Polyimid Prostup světla Polyester Nízká cena Polyester Houževnatost poxid, termoplast Nejvyváženější mechanické vlastnosti poxid

27 27 Matrice vlastnosti Většina namáhaných kompozitových struktur je v současnosti vyráběna z epoxidových pryskyřic Proč jsou epoxidy tak široce používané? dobrá adheze k vláknům nízké smrštění během vytvrzování dobrá chemická odolnost různé pevnostní a tuhostní charakteristiky creepová a únavová odolnost neobsahují styrén, nejsou toxické mohou být samozhášivé

28 28 Technologie výroby postup matrice + vlákna impregnace, prosycení umístění směsi (laminát) do formy (+ separační vrstvy, atp) vytvrzení (možno za zvýšené teploty, ozářením) (příčné propojení polymerových řetězců, exotermická reakce) demontáž z formy konečná úprava

29 29 Kontakní formování Váleček Výztuž + matrice Separátor + gel coat

30 3 Lisování protikus Výztuž + matrice Forma (negativ) Separátor + gel coat

31 3 Vakuování Těsnicí tmel Krycí fólie (plachetka) Atmosférický tlak Vakuum Plsť Laminát Strhávací síťka Separátor Vývěva + Jímač pryskyřice snaha o co největší % podíl vláken a minimalizaci bublinek

32 32 Lamináty výroba prepregu ruční nebo strojové řezání (CAD) desky do lisu skořepiny do formy a do autokoávu

33 33 Lamináty pěnové jádro aplikace vláken, tekuté matrice, kompresoru, plachetky vakuová oprava letadla hotový výrobek

34 34 Navíjení vláken () Trn Vlákno, tkanina, roving Topné těleso (polymerizace)

35 35 Navíjení vláken (2) Trn Vlákno, tkanina, roving Pryskyřice

36 36 Navíjení vláken (3) CompoTech (Sušice) navíjení s možností vložení axiálních vláken ( )

37 37 Tváření profilů - pultruze Pryskyřice Skelná tkanina, vlákno Polymerizační pec

38 38 Vstřikování (termosety) Vyhřívaná forma Směs vláken + termosetická pryskyřice Protikus formy

39 39 Vstřikování (termoplasty) Topné těleso Směs vláken + termoplastická pryskyřice

40 4 3 Ortotropní materiál Principy určování materiálových vlastností

41 4 Materiály homogenní heterogenní anizotropní ortotropní kubický hexagonální izotropní periodicky se opakující struktura zdánlivě periodicky se opakující struktura

42 42 Ortotropní materiál orthos přímý, kolmý tropo otáčet, měnit v každém místě existují 3 na sebe kolmé roviny symetrie směry kolmé k těmto rovinám jsou tzv hlavní materiálové osy ozn většinou, 2, 3

43 43 Ortotropní materiál mikrostruktura ukázka jedné buňky

44 44 Ortotropní materiál mikrostruktura

45 45 Ortotropní materiál jednoosá napjatost (ve smyslu os, 2 nebo 3!) různé deformace v podélném a v obou příčných směrech F 3 F F 2

46 46 Ortotropní materiál jednoosá napjatost (ve smyslu osy, kladná síla tah) protažení ve směru a zúžení ve směrech 2 a 3 původní tvar zdeformovaný tvar l 3 Dl 3 < l 2 l Dl 2 < Dl >

47 Ortotropní materiál l l l l l l D D D A F A F A F n n D l A F l určení (definice) materiálových charakteristik (konstant) změříme opticky (pravítkem) změříme siloměrem (zvážíme) změříme elektronicky (tenzometry) + = modul pružnosti (v tahu) n Poissonovo číslo (koeficient, poměr) Pozor pořadí indexů u n hraje roli! 47

48 48 Ortotropní materiál určení materiálových charakteristik (konstant) pro určení konstant, n 2 a n 3 musí být (dlouhé, štíhlé) těleso zatíženo ve směru osy (nastane stav jednoosé napjatosti) analogicky (záměnou os) se určí ostatní konstanty celkem tedy můžeme určit 9 různých (ale obecně nikoliv nezávislých) materiálových konstant pro případ prostého tahu (jednoosé napjatosti) ve směrech, 2 a 3:, n 2, n 3, 2, n 23, n 2, 3, n 3, n 32

49 49 Optická metoda měření pracuje na principu korelace digitálního obrazu = porovnání dvou obrázků umožňuje měřit posunutí, natočení a deformace na povrchu tělesa náhodný nástřik těleso před deformací těleso po deformaci

50 5 Optická metoda měření hodnoty deformace se určí z deformačního gradientu transformace z původní oblasti na deformovanou zkoumaná oblast před deformací nalezená oblast a její tvar po deformaci detail středu tělesa před deformací detail středu tělesa po deformaci

51 5 4 Hookeův zákon = konstitutivní vztah pro materiály s různou strukturou

52 52 Hookeův zákon vztah mezi napětím a deformací (resp jejich složkami) předpokládáme homogenní materiál pro D napjatost (jedna složka napětí jedna složka deformace) jsou hodnoty svázány jednou konstantou nebo G prostý tah, tlak (ohyb) prostý krut

53 53 Hookeův zákon (D napjatost) Dl 3 = n 3 l 3 3 = n 3 F A F A Dl 2 = n 2 l 2 Dl = l = ( / ) l 2 = n 2 = /

54 Zatížení ve směru = / 2 = n 2 3 = n 3 = ( / ) 2 = n 2 ( / ) 3 = n 3 ( / ) / / / n n maticový zápis = ( / ) 2 = ( n 2 / ) 3 = ( n 3 / ) 54

55 + zatížení ve směru 2 / / / / / / n n n n maticový zápis 2 = 2 / 2 = n = n

56 + zatížení ve směru 3 / / / / / / / / / n n n n n n maticový zápis 3 = 3 / 3 = n = n

57 smyková zatížení = 2 / G 2 23 = 23 / G 23 3 = 3 / G 3 POZN pořadí řádků je většinou takovéto / n2 / n3 / n / n 2 23 / / n n 3 32 / / / / G 23 / G 3 2 / G maticový zápis

58 pro homogenní ortotropní materiál v souřadnicovém systému hlavních materiálových os z nutnosti symetrie matice plyne: Hookeův zákon (3D) / / / / / / / / / / / / n n n n n n G G G n 2 / 2 = n 2 / n 3 / 3 = n 3 / n 32 / 3 = n 23 / 2 58

59 59 Hookeův zákon (3D) / n2 / n3 / n / n 2 23 / / n n 3 32 / / / / G 23 / G 3 / G 2 vektor deformace matice poddajnosti materiálu vektor napětí (sloupcová matice) (vždy symetrická) (sloupcová matice) S nebo C kde C = S je matice tuhosti materiálu (také vždy symetrická)

60 6 Ortotropní materiál 3 roviny symetrie (2, 23 a 3) 9 nezávislých materiálových konstant:, 2, 3, n 2, n 23, n 3, G 2, G 23, G 3 tady na pořadí indexů záleží C C C C 2 3 C C C C C C C 44 C 55 C 66

61 6 Hexagonální materiál rovina symetrie a současně izotropie (23) 5 nezávislých materiálových konstant:, 2 = 3, n 2 = n 3, n 32, G 2 = G 3 dopočítá se G 23 = 2 /2/(+n 32 ) D C jako izotropní materiál, proto se také ozn jako příčně izotropní materiál

62 Kubický materiál 3 roviny symetrie (2, 23 a 3) 3 nezávislé materiálové konstanty: = = 2 = 3, n n 2 = n 23 = n 3, G = G 2 = G 23 = G 3 D D D C 62

63 Izotropní materiál každá rovina je rovinou symetrie 2 nezávislé materiálové konstanty: = = 2 = 3, n n 2 = n 23 = n 3 dopočítá se G = G 2 = G 23 = G 3 = /2/(+n) D D D C 63

64 64 5 Jednosměrové kompozity Určení efektivních parametrů

65 65 Jednosměrové kompozity vlákno = výztuha přenáší především tahové namáhání určuje podélný směr L (longitudinal) Ø cca 5-5 mm tvoří 4-6% objemu kompozitu značeno indexem f (fiber) T L matrice = pojivo přenáší především tlakové namáhání ve směru (směrech) kolmém (příčném) na vlákna T (transverse) drží vlákna (popř jednotlivé vrstvy) pohromadě rozkládá lokální namáhání do okolí značena indexem m (matrix)

66 66 Objemové podíly určení efektivních parametrů homogenizace materiálu z mikropohledu heterogenní z makropohledu homogenní příčný řez jednosměrovým kompozitem A V Objemové podíly vláken a matrice jsou definovány takto: v f = V f / V = A f / A v m = V m / V = A m / A Protože V f + V m = V a také T A f + A m = A, T A m V m A f V f tak pro objemové podíly platí v f + v m =

67 67 Hmotnost hustota kompozitu hmotnost vláken m f = r f V f r V T T r m V m r f V f hmotnost matrice m m = r m V m hmotnost kompozitu m = m f + m m hustota kompozitu r = m / V = r f v f + r m v m

68 68 Jednosměrové kompozity deformace vyvolaná zatížením ve směru L předpokládáme, že deformace vláken a matrice je v podélném směru stejná! L l F l+dl F T A f L m f A m platí pro homogenní materiál s modulem L platí: Dl Fl L A

69 69 Napětí v tahu ve vlákně a matrici L f, f L f Lm m Lm Tahová síla je dána vztahem F A f A L f m Lm Tahové napětí v kompozitu L F A v f L f v m Lm v f f v m m L Modul pružnosti ve směru vláken je L L L v f f v m m Jestliže je f m, pak je možno vztah zjednodušit Dostaneme v L f f

70 7 Jednosměrové kompozity deformace vyvolaná zatížením ve směru T předpokládáme, že normálové napětí pro směr zatížení je ve vláknech i matrici stejné! L l F l+dl F L T l m m l f f platí pro homogenní materiál s modulem T platí: Dl Fl T A

71 T m f T T Poměrné příčné prodloužení vlákna a matrice m T T m f T Tf, Změna délky ve směru T Tm m Tf f m f l l l l l D D D Pro případ, že, pak f m m m T v Poměrné prodloužení ve směru T T m m f f Tm m Tf f T v v v v l l D Příčný modul pružnosti T kompozitu je definován f m f m m m f f m m f T T T T v v v v 7

72 72 6 Hookeův zákon v pootočeném souřadnicovém systému Transformace složek napětí a deformace Transformace matic tuhosti a poddajnosti

73 73 Hookeův zákon (3D) / n2 / n3 / n / n 2 23 / / n n 3 32 / / / / G 23 / G 3 / G 2 vektor deformace matice poddajnosti materiálu vektor napětí (sloupcová matice) (vždy symetrická) (sloupcová matice) S nebo C kde C = S je matice tuhosti materiálu (také vždy symetrická)

74 74 Jednosměrové kompozity pro popis chování potřebujeme konstitutivní vztah, tj Hookeův zákon popis je někdy nutné provést vzhledem k souřadnicovému systému, který není totožný se směry hlavních materiálových os jednosměrové kompozity jsou často ve formě tenkých struktur desky, skořepiny jsou namáhané tahem v rovině a ohybem (zatížením působícím jen na okrajích) tento stav lze považovat za rovinnou napjatost (zanedbáváme např lokální tlak vyvolaný normálovou silou v místě jejího působiště)

75 75 Hookeův zákon (3D) / n2 / n3 / n / n 2 23 / / n n 3 32 / / / / G 23 / G 3 / G rovinná napjatost: Platí např pro tenká tělesa (desky) namáhané v rovině tahem, tlakem ohybem, krutem Nikoliv tlakem po tloušťce!!! To by způsobilo 33 <>

76 Hookeův zákon (RN) / / / / / n n G LT T L LT T L LT T TL L LT T L G n n / / / / / nebo T LT L S C nebo C = S 76

77 77 Transformace napětí (RN) stav napjatosti v bodě tělesa je dán 3 složkami napětí složky se pro různě natočené systémy mění lze zakreslit pomocí Mohrovy kružnice nezáleží na materiálu! y y xy x a x

78 78 Transformace napětí (RN) L T LT 2 cos a 2 sin a sin a cos a T sin cos 2 2 a a sin a cos a L 2sin a cos a x 2sin a cos a y 2 2 cos a sin a xy 2a x y y L T x x a y LT xy T

79 79 Transformace deformace (RN) obdobně jako napětí L T LT 2 cos a 2 sin a 2sin a cos a sin cos 2 2 a a 2sin a cos a sin a cos a x sin a cos a y 2 2 cos a sin a xy T

80 8 Transformace Hookeova zákona transformace napětí transformace deformace T T Hookeův zákon v ss hlavních materiálových os LT C (T ) = C (T ) T - (T ) = T - C (T ) Hookeův zákon v pootočeném ss xy = (T - C T = C matice tuhosti v pootočeném systému xy C = T - C T

81 8 7 Mechanizmy porušení vláknových kompozitů Podmínky pevnosti = kriteria porušení

82 82 Mechanizmy porušení příčný řez jednosměrovým kompozitem pod mikroskopem detail jednosměrového kompozitu po vytržení vláken z matrice

83 83 Mechanizmy porušení (vláken) porušení vlákna porušování vláken (vláknové přemostění) porušování vláken (ztráta adheze) nestabilní ztráta adheze nestabilní porušení vláken

84 84 Mechanizmy porušení (matrice) porušení matrice ztráta adheze šíření trhliny zastaveno další šíření trhliny

85 Porušení tahem 85

86 Mechanizmy porušení (delaminace) 86

87 87 Podmínky pevnosti u izotropních materiálů (ocel) předpokládáme, že existuje jedna pevnost = jedna materiálová konstanta v případě jednoduchého namáhání jedna podmínka ve formě < D nebo / D < v případě obecné napjatosti jedna hypotéza = funkce (např Guest, Von Mises, ) f() < D nebo f(, D ) <

88 88 Podmínky pevnosti u jednosměrových kompozitů existuje 5 konstant pevnosti pro základní typy namáhání vhledem k materiálovým osám (lze je nejsnáze změřit experimentálně) podélná tahová pevnost F Lt podélná tlaková pevnost F Lc POZOR: místo značení F Lt, F Lc, F Tt, F Tc a F LT se často používá kombinace X t, X c, Y t, Y c a S Ve všech případech se každopádně jedná o hodnoty napětí v Pa! příčná tahová pevnost F Tt příčná tlaková pevnost F Tc smyková pevnost F LT

89 89 Kritéria pevnosti Pro jednosměrové kompozity lze rozdělit: a) Neinteraktivní kritéria Kritérium maximálního napětí Kritérium maximální deformace více funkcí, každá pro jednu složku napětí a odpovídající pevnost b) Interaktivní kritéria Hillovo kritérium pevnosti Tsai-Hillovo kritérium pevnosti Hoffmanovo kritérium pevnosti Tsai-Wu kritérium pevnosti Puckovo kritérium pevnosti jedna nebo více funkcí, každá obecně více složek napětí a pevností: f i ( L, T, LT, F Lt, F Lc, F Tt, F Tc, F LT, ) < atd

90 9 Kritérium maximálního napětí předpokládá, že k poruše dojde, pokud kterákoli ze složek napětí překročí dovolenou mez, tj F F Lc L Lt (porušení vláken) F F Tc T Tt (porušení matrice) F LT LT F LT (porušení matrice)

91 9 Kritérium maximálního napětí graficky lze bezpečnou oblast (oblast hodnot, kdy nedojde k porušení) vyjádřit v systému složek napětí jako kvádr se stěnami kolmými k osám řez bezpečnou oblastí v rovině LT =

92 92 Porovnání kriterií různě formulované podmínky (funkce) pevnosti jinak predikovaná nosnost materiálu pro obecné namáhání všechny mají stejné průsečíky s osami (experimentálně snadno měřitelné hodnoty) Max napětí Max deformace Tsai-Wu Puck

93 93 8 Analogie nosníkové teorie a CLT (izotropní případ) Analogie teorie desek a CLT (izotropní případ)

94 94 9 Lamináty = vrstevnaté kompozity CLT klasická laminátová teorie Vliv skládání vrstev na výsledné vlastnosti

95 Izotropní nosník x z h/2 h/2 u w = w a z u z u a ) ( z z x w x u x u z 2 2 ) ( x w a z z z ) ( ) ( u posunutí ve směru x w posunutí ve směru z w (x) průhybová čára 95

96 96 Matematický model TAH l b h M OHYB R = / M N N l+dl N bh N bh M M J 2, J bh 3 2 bh 3 SUPRPOZIC TAH + OHYB N M A ε D κ A D bh bh 2 3 Tuhost v tahu Tuhost v ohybu

97 97 Teorie desek N xy M y N y M xy M x z y N x x N x M x M xy N y M y N xy všechny uvažované způsoby namáhání laminátové desky POZOR: síly i momenty jsou zde vztažené na jednotkovou délku, rozměry tedy mají [N/m], respektive [N]!

98 98 Lamináty značení Orientace vrstev (úhel natočení od základního směru) [/45/-45/9] Symetrie [/9/] S = [/9///9/] Opakování vrstev [/9 3 /45] = [/9/9/9/45] Dvě vrstvy s opačnou orientací u sebe [/±45/] = [/45/-45/] Označení materiálu [ G / C /9 C /9 K ] Glass, Carbon, Kevlar

99 99 Lamináty příklady značení [ 4 ] [ 2 /9 2 ] L a x [45 2 /-45 2 ] [45/-45] S

100 CLT klasická laminátová teorie vychází z teorie desek síly a momenty jsou opět vztažené na jednotkovou délku Tahová síla Tahová síla Smyková síla Ohybový moment Ohybový moment Ohybový moment N N N M M M x y xy x y xy konstitutivní rovnice laminátové desky A A A B B B A A A B B B A A A B B B B B B D D D B B B D D D B B B D D D x y xy x y xy Protažení Protažení Zkos Ohyb (křivost) Ohyb (křivost) Ohyb (křivost) A M B N Bε D κ matice A, B a D se vypočítají zvlášť pro každou vrstvu materiálu pomocí integrace přes tloušťku vrstvy příslušné matice C ve společném referenčním systému xy a poté se všechny příslušné matice sečtou

101 CLT klasická laminátová teorie konstitutivní rovnice laminátové desky (zjednodušený zápis) A M B N Bε D κ Vnější účinky: N vektor sil M vektor momentů Popis změny tvaru: vektor deformace (střední roviny) vektor křivosti (střední roviny) Charakteristika tuhosti desky: A matice tahové tuhosti B matice vazbové tuhosti D matice ohybové tuhosti

102 2 Symetrické lamináty liminují vazbu mezi tahem a ohybem, tahem a krutem Každé vrstvě nad odpovídá stejná pod střední plochou tj B = A A A 2 6 A A A A A A D D D 2 6 D D D D6 D 26 D66

103 3 Vyvážené lamináty liminuje vazbu mezi normálovými silami a smykem Každé vrstvě odpovídá stejně tlustá s opačnou orientací tj A 6 = A 26 = A A B B B A A 2 22 B B B A B B B B B B D D D B B B D D D B B B D D D

104 Vyvážené symetrické lamináty Kombinace výše uvedených D D D D D D D D D A A A A A rovina symetrie 4

105 5 Symetrické křížené lamináty Jsou symetrické a vyvážené Vrstvy jsou kladeny pouze pod úhly a 9 Májí vlastnosti jako čistě ortotropní materiál A A 2 A A 2 22 A 66 D D 2 D D 2 22 D 66

106 6 Tah [ 4 ] F [45 2 /-45 2 ] F

107 7 Ohyb [ 4 ] M [45 2 /-45 2 ] M

108 8 Literatura Laš V: Mechanika kompozitních materiálů, Skripta ZČU, Plzeň, 24 The Free Dictionary, wwwtfdcom, Farlex Inc, 27 Gay D: Reinforced Plastics Matériaux composites, Hermes, Paris, 997 Wikipedia,