5. Kvadratická funkce

Transkript

1 @ Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a 0. názvosloví: a = koeficient u kvadratického členu, ax 2 kvadratický člen, b = koeficient u lineárního členu, bx lineární člen c = absolutní člen Poznámka: Ze základní školy víte, že grafem kvadratické funkce je parabola. Úkol: Proč je v definici kvadratické funkce podmínka a 0? výsledek

2 @066 Poznámka: Stačí-li nám náčrtek grafu, využijeme výše uvedených znalostí, aniž bychom cokoli dalšího počítali. Pokud potřebujeme přesnější graf, využijeme toho, že grafem je parabola, která musí protnout osu y v bodě [0; c] a osu x v bodech odpovídajících kořenech kvadratické rovnice. Pokud kořeny neexistují, musíme si pomoci výpočtem jiných bodů. Také je vhodné využít skutečnosti, že rovnoběžka s osou y procházející bodem minima resp. maxima, je osou symetrie paraboly. Protože předpis kvadratické funkce obsahuje tři parametry, stačí k jednoznačnému určení paraboly tři body. Prozkoumejme trochu blíže vliv jednotlivých koeficientů na průběh kvadratické funkce a porovnejme získané výsledky s výše uvedenou teorií. Úkol: Načrtněte grafy funkcí y = ax 2 pro a = -3, -2, -1, 1/2, 1, 2. výsledek

3 @069 Načrtněte grafy funkcí y = x 2 + c pro c = -3, -2, -1, 1/2, 1, 2. pokračování

4 @072 Shrnutí do atlasu funkcí: 3 kvadratická funkce název: kvadratická funkce 2 předpis: y ax bx c, a 0 zařazení: patří do skupiny polynomických funkcí definiční obor: celá množina reálných čísel R obor hodnot: pro a>0 interval 4ac b 4a graf: směr otevření určuje znaménko koeficientu a 2 4ac b, ), pro a<0 interval (, 4a 2 křivka: parabola asymptoty: nemá funkce inverzní: kvadratická funkce není prostá derivace: y = 2ax + b užití: velmi pestré; spolu s lineární funkcí je kvadratická funkce numericky i logicky dostupná široké veřejnosti b poznámka: v bodě x má funkce extrém; pro a>0 minimum a pro a<0 maximum 2 a Úkol: Je kvadratická funkce prostá? Je kvadratická funkce omezená (shora, zdola, oboustranně)? Je kvadratická funkce periodická? není prostá, není omezená, není periodická není prostá, je omezená, není periodická je prostá, není omezená, je periodická

5 @075 Správně. Není prostá, protože rovnoběžka s osou x protíná parabolu většinou ve dvou různých bodech, což znamená, že dvěma různým reálným číslům je přiřazena táž funkční hodnota. Není periodická, nic se na ní neopakuje. Je omezená. Pro a>0 je omezená zdola, stačí vzít jakékoli číslo menší než minimum. Pro a<0 je omezená shora, stačí vzít jakékoli číslo větší než maximum. pokračování

6 @078 Největší obsah ze všech rovinných útvarů při zadaném obvodu má kruh. Příklad: Pojďme spolu navštívit Tajemný hrad ve Středočeském kraji. Kastelán nám ukazuje hradní studnu a tvrdí, že je 60 metrů hluboká. Hodíme si kontrolní kamínek, aby nás neviděl, a uslyšíme šplouchnutí za 2 vteřiny. Závěr: kastelán lže kastelán mluví pravdu

7 @081 Příklad: Julie stojí na balkoně, který je 5 metrů nad ulicí. Romeo se jí snaží hodit růži. Rozpřáhl se a vymrštil ji rychlostí 10,6 m/s. Má Julie šanci růži chytit? Úkol: a) Sestavte funkci popisující vzdálenost růže od Romea v závislosti na čase. b) Nakreslete graf této funkce. c) Zodpovězte položenou otázku. výsledek

8 @463 Proč je v definici kvadratické funkce podmínka a 0? Pro a=0 nejde o kvadratickou funkci, ale o lineární funkci s předpisem y = bx + c. Nyní prozkoumáme kvadratickou funkci a její průběh f: y = ax 2 + bx +c A) Definiční obor funkce: Není žádný důvod nějaké reálné číslo vylučovat, proto D f = R B) Symetrie Musíme prozkoumat f(-x) = a(-x) 2 + b(-x) + c = ax 2 bx + c Obecně není kvadratická funkce ani lichá ani sudá. Ovšem pro případ b = 0, tzv. ryze kvadratické funkce g(x) = ax 2 + c, platí g(-x)=a(-x) 2 + c = ax 2 + c = g(x) Ryze kvadratická funkce je sudá. C) Derivace Vypočítáme derivaci a najdeme body možné extrémy a určíme, ve kterých intervalech je funkce rostoucí, klesající, konstantní. f (x) = 2ax + b V bodech, kdy f (x) = 0, jsou možná minima nebo maxima. U kvadratické funkce jde o jediný bod a to (*) x Celý definiční obor se tedy rozpadá na dva intervaly: ( ; ),( ; ) b 2a Ze základní školy víme, že grafem kvadratické funkce je parabola s osou rovnoběžnou s osou y. Kde je kvadratická funkce rostoucí resp. klesající záleží na hodnotách a, b. Základní rozlišení se provádí podle parametru a. Pro a > 0 je parabola typu, tedy nejprve klesá, v bodě (*) má své minimum, a pak roste. Pro a < 0 je parabola typu, nejprve roste, v bodě (*) nabývá maxima a poté klesá. D) Funkční hodnoty - asymptoty Žádné asymptoty kvadratická funkce nemá. Jedinou funkční hodnotu, kterou má smysl vypočíst je f ( b 2a 4ac b ) 4a 2 D 4a b 2a b 2a, kde D značí známý diskriminant. Nemá však smysl si tento vzorec pamatovat; podle potřeby vždy hodnotu spočítáme dosazením konkrétní hodnoty do konkrétního zadání funkce.

9 E) Průsečíky se souřadnými osami Průsečík s osou y získáme snadno. Je to bod [0; f(0)] získáme ho výpočtem funkční hodnoty pro x = 0. => [0; c] Průsečík s osou x se získá obtížněji. Je to bod [x; f(x)=0] abychom získali hodnotu x, pro kterou je funkční hodnota rovna nule, musíme vyřešit rovnici f(x) = 0 tj. ax 2 + bx + c = 0 Jak víme ze základní školy nebo z našeho kurzu Rovnice řešení kvadratické rovnice závisí na hodnotě diskriminantu, tj. čísla D = b 2-4ac Pro D>0 existují dvě řešení funkce s osou x. x 1 b 2a D, x 2 b 2a D a tedy i dva průsečíky grafu D = 0 má rovnice jediné řešení a tedy existuje jediný společný bod s osou x [ ;0] D < 0 rovnice nemá žádný reálný kořen, tedy není ani žádný společný bod s osou x. b 2a Úkol: Načrtněte grafy kvadratických funkcí pro všech šest případů (znaménko koeficientu a kombinováno s počtem řešení kvadratické rovnice, tj. počtu průsečíků s osou x) výsledek

10 @067 Načrtněte grafy funkcí y = ax 2 pro a = -3, -2, -1, 1/2, 1, 2. pokračování

11 @070 Zbývá nám prozkoumat vliv parametru b. Víme, že kvadratická funkce má v bodě extrém a jeho hodnota je a velikost extrému. 4ac b 4a 2 D 4a x b 2a znamená to, že parametr b ovlivňuje polohu Úkol: Načrtněte grafy funkcí y = x 2 + bx pro b = -3, -2, -1, 1/2, 1, 2. Doplňte obrázek grafem funkce y = -x 2. výsledek

12 @073 Ale, ale. Správně, není prostá, protože rovnoběžka s osou x protíná parabolu většinou ve dvou různých bodech, což znamená, že dvěma různým reálným číslům je přiřazena táž funkční hodnota. Správně, není periodická, nic se na ní neopakuje. Ale je omezená. Pro a>0 je omezená zdola, stačí vzít jakékoli číslo menší než minimum. Pro a<0 je omezená shora, stačí vzít jakékoli číslo větší než maximum. Tato znalost je důležitá, proto na obrázky!

13 @076 Příklad: Lev Nikolajevič Tolstoj napsal povídku o muži Ivanovi: Kolik půdy člověk potřebuje. Už nevím proč, dostal Ivan od vrchnosti možnost získat tolik půdy, kolik jí dokáže za den obejít. Vyrazil hned, jak slunce vyšlo a s ním stráž na koních, kteří kolíkovali jeho majetek. Ivan cestou viděl tu lesík, tu rybníček, tu... Vždy si ho zahrnul do svého záboru. Atd, atd. Při západu slunce sice dorazil na místo startu a tak splnil podmínku, že jeho chůze musí být uzavřená křivka a půda se stala jeho, ale byl tak vyčerpaný, že padnul a byl na místě mrtev. Takže mu nakonec stačili dva sáhy pro hrob. Zde se nebudeme zabývat morálními kvalitami muže Ivana (nechť si závěry udělá každý sám), nás bude zajímat problém záboru půdy. Řekněme, že jsme schopni za den ujít 20 km, 40 km, 60 km (spočítáme všechny tři případy, nicméně každý nechť posoudí svoje schopnosti), že se omezíme pouze na obcházení území ve tvaru obdélníku a nenecháme se zlákat pěkným remízkem, starým hradem a pod. (i když je to reálně nemožné). Úkol: a) Sestavte funkci našeho problému včetně definičního oboru. b) Sestrojte graf této funkce c) Odpovězte na otázku: Jak velké území a jakého tvaru (rozměry obdélníku) lze získat pro zadané tři délky pochodu. výsledek

14 @079 Z fyziky víme, že jde o volný pád. Průběh volného pádu popisuje kvadratická funkce. Vypustíme-li kamínek volně z ruky, bude klesat podle vzorce 1 s gt 2, kde g=9,8 ms -2 ~ 10 ms Dosadíme naše hodnoty h = /2 = 20 m Výška studny od okraje k hladině vody je 20 metrů. Kastelán možná lže možná mluví pravdu, protože nevíme, jak je velký sloupec vody ve studni. pokračování

15 @065a pokračování

16 @065b pokračování

17 @065c pokračování

18 @065d pokračování

19 @065e pokračování

20 @065f pokračování

21 @068 Úkol: Načrtněte grafy funkcí y = x 2 + c pro c = -3, -2, -1, 1/2, 1, 2. výsledek

22 @071 Načrtněte grafy funkcí y = x 2 + bx pro b = -3, -2, -1, 1/2, 1, 2. Doplňte obrázek grafem funkce y = -x 2. pokračování

23 @073 Ale, ale. Správně, není prostá, protože rovnoběžka s osou x protíná parabolu většinou ve dvou různých bodech, což znamená, že dvěma různým reálným číslům je přiřazena táž funkční hodnota. Správně, není periodická, nic se na ní neopakuje. Ale je omezená. Pro a>0 je omezená zdola, stačí vzít jakékoli číslo menší než minimum. Pro a<0 je omezená shora, stačí vzít jakékoli číslo větší než maximum. Tato znalost je důležitá, proto na obrázky!

24 @074 Ale, ale. Není prostá, protože rovnoběžka s osou x protíná parabolu většinou ve dvou různých bodech, což znamená, že dvěma různým reálným číslům je přiřazena táž funkční hodnota. Není periodická, nic se na ní neopakuje. Je omezená. Pro a>0 je omezená zdola, stačí vzít jakékoli číslo menší než minimum. Pro a<0 je omezená shora, stačí vzít jakékoli číslo větší než maximum. Tato znalost je důležitá, proto na obrázky!

25 @077 Řešení: Označme si A délku pochodu (přece nebudeme provádět třikrát stejnou činnost; úlohu vyřešíme jednou obecně a pak dosadíme konkrétní hodnoty) x jednu stranu obdélníka s obvod obdélníka = ušlá délka A = 2x + 2s x Tedy s = (A - 2x)/2 a obsah obdélníka = zabraná půda P = xs = x(a 2x)/2 pro stranu x platí, že musí být kladná x>0 a nemůže být větší než polovina obvodu x<a/2 a) Sestavte funkci našeho problému včetně definičního oboru. Funkce modelující náš příklad proto je A P : y x x x (0; 2 b) Sestrojte graf této funkce 2 A ) 2

26 c) Odpovězte na otázku: Jak velké území a jakého tvaru (rozměry obdélníku) lze získat pro zadané tři délky pochodu. Největšího obsahu dosáhneme tehdy, když bude jedna strana obdélníka rovna x = A/4 a druhá strana s = (A - 2x)/2 = A/4 Největší obsah ze všech obdélníku při zadaném obvodu má čtverec. Pro A=20 km získáme čtverec o straně x = 5 km a obsahu P = 25 km 2 pro A=40 km získáme čtverec o straně x =10 km a obsahu P =100 km 2 pro A=60 km získáme čtverec o straně x =15 km a obsahu P =225 km 2 Úkol: Zkuste odhadnout (nebudeme to odvozovat ani dokazovat) jaký geometrický útvar v rovině má největší obsah při zadaném (pevném) obvodu. výsledek

27 @082 Julie stojí na balkoně, který je 5 metrů nad ulicí. Romeo se jí snaží hodit růži. Rozpřáhl se a vymrštil ji rychlostí 10,6 m/s. Má Julie šanci růži chytit? Řešení: a) Sestavte funkci popisující vzdálenost růže od Romea v závislosti na čase. Z fyziky víme, že jde o vrh svislý. Vzhůru se růže pohybuje rovnoměrně přímočaře a zároveň padá dolů rovnoměrně zrychleně. 1 2 R : h gt vt h0 2 Počáteční výška h 0 je nulová (počítáme výšku od Romea), jinak dosadíme zadané hodnoty Funkce je věcně smysluplná jen, je-li h > 0. b) Nakreslete graf této funkce. R: h = -5t ,6t c) Má Julie šanci růži chytit? Uvážíme-li, že rychlost 10,6 m/s = 38,16 km/hod je rychlost slušného větru, tak Romeo ze sebe vydal všechno a Julie jen taktak růži zachytila, protože maximum = 5,618 m > 5 m = výška balkonu KONEC LEKCE