Numerická matematika

Transkript

1 Numerická matematika Jiří Felcman Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta KNM PRESS PRAHA 2014

2 iv

3 PŘEDMLUVA 1 felcman@karlinmffcunicz Tel KNMčdvK458(5042) 1 přednáška 2 NMAI042 Numerická matematika Obecná informatika Programování a softwarové systémy (Programování, Správa počítačových systémů- zahájení 2011 nebo dříve) 3 Požadavky ke zkoušce státnice(prospěl s vyznamenáním) Obecná informatika: MFF >Studium >BcaMgrstudium >Studijníplány >Obecná informatika sylabus SIS, Předměty, NMAI042, Hledej 4 Tituly PhD RNDr Mgr Bc 5 Studium v zahraničí- ERASMUS 6 Ceny udělované studentům 7 SVOČ 8 Hodnocení učitelů- srozumitelnost 9 Zápočet: pátek 2 května Zkouška: pátek 9 května 2014, 12:20 část písemná, dosažení minimálního předepsaného počtu bodů pro každou otázku část ústní Praha, 3 února 2014 J F v

4

5 OBSAH Úvod 1 1 Aproximace funkcí v IR 2 11 Lagrangeův interpolační polynom Chyba Lagrangeovy interpolace 5 12 Kubický spline Konstrukce přirozeného kubického spline 7 2 Numerická integrace funkcí Newtonovy-Cotesovy vzorce Složené Newtonovy Cotesovy vzorce Rombergova kvadratura Gaußova kvadratura 16 3 Metody řešení nelineárních rovnic Newtonova metoda Důkaz konvergence Newtonovy metody Řád konvergence Metoda postupných aproximací pro nelineární rovnice Kořeny polynomu Hornerovo schema 24 4 Soustavy lineárních rovnic Podmíněnost matic Gaußova eliminace Pivotace Gaußova eliminace jako faktorizační metoda LU rozklad v obecném případě Vliv zaokrouhlovacích chyb Choleského rozklad QR rozklad 35 5 Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Klasické iterační metody 37 6 Výpočet vlastních čísel matic Mocninná metoda 43 7 Numerická integrace obyčejných diferenciálních rovnic Formulace problému Jednokrokové metody 45 vii

6 viii OBSAH 721 Metody typu Runge Kutta 47 8 Gradientní metody Formulace problému 50 Bibliografie 51 Index 52

7 ÚVOD Numerická analýza: Studium algoritmů(jednoznačně definovaná konečná posloupnost aritmetických a logických operací) pro řešení problémů spojité matematiky LN Trefethen, Bulletin IMA 1993 Numerická matematika: realizace matematických modelů na počítači Fyzikální realita matematický model numerické řešení, tj realizace matematického modelu na počítači Validation(solving the right equations) verification(solving the equations right) Literatura k přednášce:(quarteroni et al, 2004),(Ueberhuber, 2000),(Segethová, 2000) Předpokládané znalosti: Rolleova věta, definice normy funkce, definice seminormy, vlastní čísla, báze lineárního vektorového prostoru, Taylorova věta 1

8 1 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Jedna ze základních úloh numerické matematiky: aproximace dané funkce f jinou funkcí ϕ Zadání aproximované funkce- analyticky, nebo je k dispozici tabulkahodnot(x i, f i ), x i, f i IR, i=0,,n, n IN, f i = f(x i )(vizobr 101) tabulkahodnotderivacídourčitéhořáduvuzlech x i Pro funkci f definovanou na uzavřeném intervalu[a, b] uvažujeme dělení intervalu[a, b], a=x 0 < x 1, < x n = b, n Z + = {0,1, }anazývámeho sítí x i, i=0,nnazývámeuzly(ekvidistantní,je-li x i = a+ih,kde h IRje kroksítě) Poznámka 11 Pojem síť se používá obecně v N-rozměrném prostoru, viz např (Feistaueretal,2003,str185):LetΩ IR N beadomainif N=2,thenby Ω h wedenoteapolygonalapproximationofωthismeansthattheboundary Ω h ofω h consistsofafinitenumberofclosedsimplepiecewiselinearcurves For N=3,Ω h willdenoteapolyhedralapproximationofωfor N=3weset Ω h =ΩThesystem D h = {D i } i J,where J Z + = {0,1, }isanindexset and h >0,willbecalledafinitevolumemeshinΩ h,if D i, i J,areclosedline segmentsorclosedpolygonsorpolyhedrons,if N=1or N=2or3,respectively, with mutually disjoint interiors such that Ω h = i J D i Theelements D i D h arecalledfinitevolumestwofinitevolumes D i, D j D h areeitherdisjointortheirintersectionisformedbyacommonpartoftheir boundaries D i and D j If D i D j containsatleastonestraightsegmentora planemanifold,if N=2or3,respectively,thenwecall D i and D j neighbouring finite volumes(or simply neighbours) Požadavky na aproximující funkci ϕ (A) jednoduchý tvar, snadno vyčíslitelná polynom {1, x, x 2, x 3, } trigonometrickýpolynom {1,sinx,cosx,sin2x,cos2x, } racionální funkce exponenciálnífunkce ae bx 2

9 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Obr 101 Interpolační polynom nabývající v daných uzlech předepsaných hodnot Obr 102 Proložení přímky třemi body(ve smyslu nejmenších čtverců) (B) ϕ (j) (x i )=f (j) (x i ), derivací v uzlech) (C) ϕ f malá,kde značínormu i=0,,n, j=0,,c i (rovnosthodnot,event Poznámka 12 Od požadavku(b) někdy upouštíme(proložit třemi body přímku-vizobr102) Nejčastější způsoby aproximace 1Interpolace-kfunkci fsestrojímefunkci ϕzjistétřídy Msplňující(B) 2 Aproximace metodou nejmenších čtverců- k funkci f sestrojíme funkci ϕ z jisté třídy M splňující(b) ve smyslu nejmenších čtverců diskrétní případ

10 4 APROXIMACE FUNKCÍ V IR n ( w i f(xi ) ϕ(x i ) ) 2 =min i=0 ψ M i=0 n ( w i f(xi ) ψ(x i ) ) 2 kde w i >0, i=0,, njsouzadanáčísla,zvanáváhynázev nejmenší čtverce je patrný z následujícího příkladu: Příklad13Prodanéděleníintervalu[a, b]adanékladnéváhy w i uvažujme normu funkce f danou vztahem f := n ( w i f(xi ) ) 2 ϕ Msehledátak,že spojitý případ b a i=0 f ϕ 2 =min f ψ 2 ψ M w(x) ( f(x) ϕ(x) ) 2 dx=min ψ M b a w(x) ( f(x) ψ(x) ) 2 dx wjeváhováfunkce(skorovšudekladnáv[a, b], w L 2 (a, b)definice pojmu skorovšude aprostoru L 2 (a, b)viznapř(feistaueretal,2003, strana)) 3 Čebyševova(stejnoměrná) aproximace- k funkci f sestrojíme funkci ϕ z jisté třídy M splňující max [a,b] ϕ(x) f(x) max ψ(x) f(x) [a,b] provšechnyfunkce ψ M,kde Mjezvolenámnožinafunkcí 11 Lagrangeův interpolační polynom 2 přednáška Hledámepolynom L n stupněnejvýše n(píšeme L n Π n -prostorpolynomů stupně nejvýše n) takový že L n (x i )=f(x i ) i=0,,n, (111) x i -navzájemrůznéuzly, obecněneekvidistantnítakovýpolynomnazveme Lagranegeovým interpolačním polynomem Věta14Nechť x 0,, x n jsounavzájemrůznéuzlypakexistujeprávějeden interpolačnípolynom L n Π n : L n (x i )=f(x i ) i=0,,n

11 Důkaz 1 Existence Uvažujme polynomy LAGRANGEŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM 5 l i (x)= (x x 0)(x x 1 )(x x i 1 )(x x i+1 )(x x n ) (x i x 0 )(x i x 1 )(x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n ) (tzv Lagrangeovy polynomy) Platí α) l i (x) Π n, 1, i=j, β) l i (x j )=δ ij = (Kroneckerovo delta) 0, i j Položme n L n (x)= f(x i )l i (x) i=0 2 Jednoznačnost Nechť L 1 n, L2 n Π nsplňují(viz(111)) L 1 n(x i )=L 2 n(x i )=f(x i ) i=0,,n Potom L 1 n L 2 n Π n jepolynom,kterýmá(n+1)různýchkořenůpodle základnívětyalgebryje L 1 n L2 n nulovýpolynom Poznámka 15 Položme Potom platí kde čárka označuje derivaci ω n+1 (x)=(x x 0 )(x x n ) l i (x)= 111 Chyba Lagrangeovy interpolace ω n+1 (x) (x x i ) ω n+1 (x i), Věta16Nechť f C n+1 (I),kde Ijenejmenšíintervalobsahující x 0,,x n, x a x 0,, x n jsounavzájemrůznéuzly,nechť L n Π n jelagrangeůvinterpolačnípolynomprofunkci fpak ξ I f(x ) L n (x )= f(n+1) (ξ) ω n+1 (x ) (n+1)! (chybalagrangeovyinterpolacevbodě x )

12 6 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Důkaz Pro x = x i jedůkazzřejmýpro x x i uvažujmefunkci: kde t IRPlatí: F(x)=f(x) L n (x) t ω n+1 (x) F(x i )=0 i=0,,n Pro vhodnou volbu t:= f(x ) L n (x ) ω n+1 (x (112) ) platí,že F(x )=0 F mátedy n+2nulovýchbodů(uzly x i abod x )Podle Rolleovy věty: F máaspoň n+1nulovýchbodů, F (n+1) máaspoň1nulovýbod,označmeho ξ F (n+1) (ξ)=0=f (n+1) (ξ) 0 t (n+1)! / ωn+1 (x ) (n+1)! kdejsmevyužilitoho,že(n+1)-níderivace L n jenulováa(n+1)-níderivace ω n+1 je(n+1)!dosadíme-liza tzevztahu(112),dostaneme f(x ) L n (x )= f(n+1) (ξ) ω n+1 (x ) (n+1)! Zkušební otázka 11! Chyba Lagrangeovy interpolace 12 Kubický spline Definice17Nechťjedánoděleníintervalu[a, b], a=x 0 < x 1 < < x n = b (x i navzájemrůzné)řekneme,žefunkce ϕ:[a, b] IRjekubickýspline,jestliže 1 ϕ jespojitá( C 2 [a, b]), 2 ϕ [xi,x i+1] jekubickýpolynom,pro i=0,1,, n 1 Poznámka 18 Spline- elastické pravítko používané při stavbě lodí Poznámka 19 Kubický spline je speciálním případem spline k-tého řádu pro k=3důvodemčastéhopoužitíkubickéhosplinejefakt,želidskéokojeschopné rozlišit ještě změny 2 derivace Poznámka 110 Kubický spline dobře aproximuje funkci, která popisuje tvar s minimální energií Popíšeme-li tvar pružné laťky funkcí y = f(x), potom E(y)= b a y (x) [ 1+(y (x)) 2] 3/2 dx měří její ohybovou energii Lať se deformuje tak, že je tato energie minimální (Hamiltonůvprincip)Dáseukázat,žemezivšemifunkcemizC 2 [a, b]aproximuje

13 KUBICKÝ SPLINE 7 kubickýspline ϕ:: ϕ(x i )=f(x i )velmidobřefunkci y,prokterousenabývá minima E(y):min y E(y)=E(y ) Věta111Nechť f C 2 [a, b]pakprokaždýkubickýspline ϕsplňující ϕ(x i )=f(x i ), i=0,,n, platí ϕ f, kde u 2 := b a u (x) 2 dx, jestliže je splněna některá z následujících třech podmínek: (a) ϕ (a)= 0 = ϕ (b) (b) ϕ (a)=f (a) a ϕ (b)=f (b) (c) ϕ (a)=ϕ (b) a ϕ (a)=ϕ (b) (121) Poznámka 112(Pozor, ve větě 111 neznačí normu, ale pouze seminormu vsobolevověprostoru H 2 (a, b),kteráseobvykleznačí H 2 (a,b),detailyviznapř (Feistaueretal,2003,page)) Důkaz Viz cvičení k přednášce Důsledek 113 Ve všech třech případech(a),(b),(c) je kubický spline určen jednoznačně 121 Konstrukce přirozeného kubického spline Značení: f i := f(x i ) i=0,,n, ϕ i := ϕ [xi,x i+1] i=0,,n 1, h i := x i+1 x i i=0,,n 1 Kubickýpolynom ϕ i jenaintervalu[x i, x i+1 ]určenčtyřmikoeficientypočet intervalůje n,celkemmámetedyprourčení ϕpočetstupňůvolnosti4npro tyto stupně volnosti sestavíme příslušné rovnice Počet neznámých 4 počet intervalů 4n Početrovnic ϕ(x i )=f(x i ), i=0,,n n+1 spojitost ϕvx i, i=1,,n 1 n 1 spojitost ϕ v x i, i=1,,n 1 n 1 spojitost ϕ v x i, i=1,,n 1 n 1 4n 2 Počet rovnic je o dvě menší než počet neznámých Doplníme je proto některou z podmínek(121),(a) (b) Uvažujme např podmínku(121),(a), tj podmínku

14 8 APROXIMACE FUNKCÍ V IR ϕ M i i M i+1 x i x i+1 Obr121 Přímka ϕ i nulových druhých derivací v krajních bodech Takový spline nazýváme přirozenýmkubickýmsplinemprourčenípřirozenéhokubickéhosplinuhledáme ϕ i ve vhodném tvaru Ukazuje se, že efektivní metoda není založena na vyjádření ϕ i (x)=a i x 3 + b i x 2 + c i x+ d i (NEVHODNÉvizcvičení) ani na vyjádření ϕ i (x)=a i (x x i ) 3 +b i (x x i ) 2 +c i (x x i )+d i (MÉNĚVHODNÉvizcvičení) ale na vyjádření pomocí tzv momentů, což jsou hodnoty druhé derivace ϕ v uzlechoznačmeje M i : M i := ϕ (x i ), i=0,,n a předpokládejme, že tyto momenty známe Později ukážeme, jak je určit Platí ϕ i kubickýpolynom ϕ i parabola ϕ i přímka Z předpokladu spojitosti druhé derivace ϕ v uzlech dostáváme M i = ϕ i (x i), M i+1 = ϕ i(x i+1 ) Jetedy ϕ i přímka,procházejícíbody(x i, M i )a(x i+1, M i+1 )(vizobr121)

15 KUBICKÝ SPLINE 9 ϕ i (x)=(x x i) M i+1 x i+1 x i + M i (x x i+1 ) x i x i+1, ϕ i (x)= M i (x x i+1 )+ M i+1 (x x i ) h i h i Integrací odvodíme ϕ i(x)= M i 2h i (x x i+1 ) 2 + M i+1 2h i (x x i ) 2 + A i, ϕ i (x)= M i 6h i (x x i+1 ) 3 + M i+1 6h i (x x i ) 3 + A i (x x i )+B i (122) vhodný rozpis integrační konstanty Ve vyjádření ϕ i ve tvaru (122) nejprve určíme koeficienty A i, B i, i = 0,, n 1pomocímomentůapotomsestavímerovnicepromomentyVyužijeme k tomu podmínky ϕ i (x i )=f i, ϕ i (x i+1 )=f i+1, i=0,,n 1 (Dvěrovniceprodvěneznámé A i, B i, i=0,,n 1)Dostaneme ϕ i (x i )= M i 6 h2 i + B i= f i, ϕ i (x i+1 )= M i+1 6 B i =f i M i 6 h2 i, h 2 i + A ih i + f i M i 6 h2 i = f i+1, A i = f i+1 f i + M i M i+1 h i h i 6 Rovnice pro momenty sestavíme ekvivalentním vyjádřením podmínky spojitosti derivace kubického spline v uzlech: Připomeňmesitvar ϕ i resp ϕ i 1 ϕ i 1 (x i)=ϕ i (x i), i=1,,n ϕ i(x)= M i (x x i+1 ) 2 + M i+1 (x x i ) 2 + A i 2h i 2h i ϕ i 1 (x)= M i 1 2h i 1 (x x i ) 2 + M i 2h i 1 (x x i 1 ) 2 + A i 1 Svyužitímvyjádřenípro A i,resp A i 1 pomocímomentůdostaneme ϕ i 1 (x i)=0+ M i h 2 i 1 2h + f i f i 1 + M i 1 M i h i 1 i 1 h i 1 6

16 10 APROXIMACE FUNKCÍ V IR = M i h 2 2h i+0+ f i+1 f i + M i M i+1 h i = ϕ i h i 6 i(x i ) Protožekonstruujemepřirozenýkubickýspline,je M 0 = ϕ (x 0 )=0=ϕ (x n )= M n adostávámetak n 1rovnic(i = 1,,n 1)proneznámemomenty M 1, M 2,, M n 1 Tytorovnicelzepřepsatvetvaru ( 6 M hi 1 i 1+ h i 1 + h i h ) i M i + h i 6 6 M i+1= f i f i 1 + f i+1 f i h i 1 h i h i 1 +h i g i 3 h i 1 Maticový zápis vede na soustavu s třídiagonální maticí h 0+h 1 3 h 1 6 h i 1 6 h i 1+h i 3 h i 6 h n 2 6 h n 2+h n 1 3 Zkušební otázka 12! Konstrukce přirozeného kubického spline M 1 g 1 M i 1 g i 1 M i = g i M i+1 g i+1 M n 1 g n 1 Příklad 114 Pro ekvidistantní dělení s krokem h má matice soustavy tvar 4 1 h Při vyšetřování řešitelnosti této soustavy lze využít následující definici a větu z algebry: Definice115Řekněme,žematice Atypu n n, n 2jeostřediagonálně dominantní(odd), jestliže a ii > n j=1,j i a ij i=1,,n Věta116Nechť A IR nn jeoddpak Ajenesingulární

17 KUBICKÝ SPLINE 11 Důkaz pomocí Geršgorinových kruhů, viz(quarteroni et al, 2004, str 184) Ajenesingulární deta 0 rovnicedet(a λi)=0nemákořen λ=0 nula není vlastním číslem matice A Nechť λ je vlastní číslo matice A Ax=λx y:= x x, x :=max x i i Ay=λy y i 1, i 0 :: y i0 =1 j i 0 a i0jy j + a i0i 0 y i0 = λy i0 j i0 a i0jy j = λ ai0i 0 y i0 λ a i0i 0 ai0j j i 0 (Geršgorinůvkruhostředu a i0i 0 apoloměru a i0j ) j i 0 Kdyby λ=0bylovlastnímčíslem a i0i 0 ai0j j i 0 SporsODD λ=0tedynenívlastníčísloamatice Ajenesingulární Matice soustavy rovnic pro momenty je ODD, soustava je tedy podle výše uvedené věty jednoznačně řešitelná a protože matice soustavy je třídiagonální, lze pro řešení použít např Gaußovu eliminaci

18 2 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ 3 přednáška Nechťjedánoděleníintervalu[a, b], a x 0 < x 1 < < x n b(x i navzájemrůzné)označme h=max i {0,,n 1} x i+1 x i Vzorec Cíl: I(f)= b a f(x)dx I h (f)= I h (f)= n α i f(x i ) i=0 n α i f(x i ) (201) senazývákvadraturníformule, α i jsoukoeficientykvadraturníformuleax i jsou uzly kvadraturní formule Motivace hledání aproximace určitého integrálu ve tvarulineárníkominacehodnotfunkce fvuzlech x i jezřejmáznásledujícího odstavce 21 Newtonovy-Cotesovy vzorce Prodané n IN uvažujmeekvidistantníděleníintervalu[a, b]skrokem h= b a n, x i = a+ih, i=0,,naproximujeme-lifunkci f Lagrangeovýminterpolačnímpolynomem L n prouzly x 0,, x n,lzeurčitýintegrálzfunkce f aproximovat následujícím způsobem: b a n f(x i ) i=0 b a f(x)dx b a i=0 L n (x)dx= l i(x) { }} { (x x 0 )(x x i 1 )(x x i+1 )(x x n ) (x i x 0 )(x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n ) dx= i=0 b n l i (x)dx f(x i ) (211) a α i Tento vzorec nazýváme pro ekvidistantní uzly Newtonův-Cotesův Pro výpočetkoeficientů α i použijemenásledujícísubstituci 12

19 NEWTONOVY-COTESOVY VZORCE 13 subst x=a+th x i = a+ih, h= b a n α i := b a n j=0,j i (x x j ) (x i x j ) dx= b a n n 0 n j=0,j i (t j) dt (212) (i j) ZkonstrukceLagrangeovyinterpolace L n funkce f Π n plyne,že L n (x)= f(x),atedyn-cvzorecjepřesnýpropolynomystupněnejvýšentonásvede k následující definici Definice21Řekneme,žekvadraturníformule n i=0 α i f(x i )mářádpřesnosti m,jestliže m IN {0}jemaximálníčíslotakové,že b a p(x)dx= n α i p(x i ) p Π m (213) i=0 Zkušební otázka 21 Řád kvadraturní formule Lemma22Je-likvadraturníformule n i=0 α i f(x i )symetrická, tjpro i= 0,, nplatí b x n i = x i a, α i = α n i, aje-lijejířád n, nsudé,pakjejejířád n+1 Lemma 23 Newtonův-Cotesův vzorec je symetrická kvadraturní formule Důsledek24Pro nsudéjeřádn-cvzorce n+1 Zkušební otázka 22 Odvoďte Newtonův-Cotesův vzorec Lemma 25(Odhad chyby lichoběžníkového pravidla) Nechť f C 2 [a, b]označme T h (f)n-cvzorecpro n=1(lichoběžníkové pravidlo)pak ξ [a, b],::(přiznačení I(f)= b a f(x)dx) I(f) T h (f)= f (ξ) 2 h3, h=(b a) (214) 6 Lemma 26(Odhad chyby Simpsonova pravidla) Nechť f C 3 [a, b] Označme S h (f) N-C vzorec pro n = 2 (Simpsonovo pravidlo)pak ξ [a, b],:: I(f) S h (f)= h5 90 f (ξ), h= (b a) (215) 2

20 14 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ Definice 27(zbytek kvadraturního vzorce) Rozdíl kde I(f)= b nazýváme zbytek kvadraturního vzorce E h (f)=i(f) I h (f), a f(x)dx, I h (f)= 211 Složené Newtonovy Cotesovy vzorce n α i f(x i ), Newtonovy Cotesovy vzorce lze také aplikovat tak, že interval[a, b] rozdělíme na nekvidistantníchsubintervalů[x i, x i+1 ]velikosti hanakaždémztěchto subintervalů použijeme Newtonův Cotesův vzorec pro m + 1 ekvidistantních uzlů x i = x i0 < < x im = x i+1 skrokem H x i = a+ih, h= b a n, i=0, n, x i j = x i + jh, H= h m n 1 I(f):= i=0 xi+1 x i i=0 i=0 i=0 j=0 n, m IN n 1 n 1 f(x)dx IH i (f)= m α ij f(x ij )=: I H (f) Věta28(složené N-C vzorce) Nechť f C m+1 [a, b] Pak pro složené N-C vzorce platí I(f) I H (f) ch m+1, (216) kde c >0jekonstantanezávislánaH Důkaz plyne z odhadu chyby Lagrangeova interpolačního polynomu 22 Rombergova kvadratura Výpočet b a f(x)dxpomocísloženéholichoběžníkovéhopravidlapro n+1uzlů h= b a n, m=1, H= h Věta29(Eulerova-MacLaurinova)Nechť f C 2N+2 [a, b], h= b a n, n IN Potomprosloženélichoběžníkovépravidlo(označmeho CT h (f))platí: CT h (f)=p(h 2 )+O(h 2N+2 ) (221) = I(f)+a 1 h 2 + a 2 h 4 + +a N h 2N + O(h 2N+2 ), (222) kde p Π N, p=p(t)=a 0 + a 1 t+ +a N t, a 0 = p(0)= b a f(x)dx=i(f)

21 Důkaz viz Stör Numerische Mathematik I ROMBERGOVA KVADRATURA 15 Rombergovakvadratura:konstruujemelineárníkombinacivzorců CT h (f)pro vhodné h tak, abychom získali vzorec, který je přesnější: CT h (f)=i(f)+a 1 h 2 + O(h 4 ) / 1 h 2 CT h(f)=i(f)+a O(h4 ) /4 4CT h(f) CT h (f) 2 3 = I(f)+O(h 4 ) link=i(f)+chyba (N=1) Vhodnou lineární kombinací vzorců, z nichž každý aproximuje integrál I(f) s chybou O(h 2 ), jsme tak odvodili vzorec, který aproximuje integrál I(f) s chybou O(h 4 )Zapředpokladudostatečnéhladkostifunkce f (vizeulerova MacLaurinova věta) můžeme tímto způsobem odvodit vzorec, který aproximuje integrál I(f)schybou O(h 2N+2 )Všimněmesinapř,jakourolihrajevtomto postupuvyčíslenílagrangeovainterpolačníhopolynomu L 2 prouzly h2, CT h zapsanéhovetvaru L 2 (0)+b 1 t+b 2 t 2 (předpoklá- ahodnoty CT h 4 dáme h <<1), CT h 2 16, h 2 4, h2 Euler MacLaurin Lagrange CT h (f)= I(f)+a 1 h 2 + a 2 h 4 + O(h 6 )=L 2 (0)+b 1 h 2 + b 2 h 4 (223) h CT h(f)= I(f)+a a 2 h h 2 O(h6 ) = L 2 (0)+b b 2 (224) 16 h CT h(f)= I(f)+a a 2 h h 2 O(h6 ) = L 2 (0)+b b h 4 2 (225) 256 link = I(f)+0+0+O(h 6 ) = L 2 (0)+0+0 (N=2) kde L 2 (t)= b }{{} 0 +b 1 t+b 2 t 2 jelagrangeůvinterpolačnípolynomprotabulku L 2(0) h link CT h 4 (f) CT h 2 h 2 4 h 2 (f) CT h (f) Závěr: L 2 (0)aproximuje b a f(x)dxschybou O(h6 )Přikonstrukci L 2 (0)se jedná o tzv Richardsonovu extrapolaci Uvedený postup lze provést až do řádu 2N+2prouzly( h 2) 2 ahodnoty CT i h, i=0,, N,pomocínichžkonstruujeme 2i L N Problém: Vyčíslení Lagrangeova interpolačního polynomu v jediném bodě (zde konkrétně v 0) aniž bychom Lagrangeův interpolační polynom sestavovali Zde nepotřebujeme tvar Lagrangeova interpolačního polynomu, ale pouze jeho hodnotu v jediném bodě K tomu se používá Aitkenovo Nevilleovo schéma h 4

22 16 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ Zkušební otázka 23! Odvoďte Rombergův kvadraturní vzorec, který aproximujehodnotu b a f(x)dx schybou O(h4 ) VysvětletevýznamLagrangeova interpolačního polynomu při konstrukci Rombergova kvadraturního vzorce 23 Gaußova kvadratura Víme,žeN-Cvzorcemajířádaspoň n(pro nsudédokonceaspoň n+1)jakého řádumůžebýtformuletypu n i=0 α if(x i )?Uvažujmeprodanéděleníintervalu [a, b], a x 0 < < x n bkvadraturníformuli I h (f)= n α i f(x i ) (231) i=0 Lemma 210(Řád kvadraturní formule) Řád kvadraturní formule(231) je nejvýše2n+1 Důkaz Uvažujmepolynom p(x)= n i=0 (x x i) 2 Π 2n+2 Tentopolynomje nezápornáfunkcenaintervalu[a, b]aplatíproněho b a p(x) >0 Kvadraturní formule typu(231) dává pro tento polynom n α i p(x i )=0 i=0 Propolynom pnenítedykvadraturníformule(231)přesnáajejířádjetedy nejvýše2n+1 Gaußova kvadratura je způsob konstrukce vzorce n i=0 α if(x i ), který je přesný pro všechny polynomy stupně nejvýše 2n + 1 Definice 211(skalární součin polynomů) Skalární součin v C[a, b] je definován (u, v)= b Definice 212 Množina normovaných polynomů a u(x)v(x) dx (232) Π n = {p Π n ; p(x)=x n + a n 1 x n 1 + +a 0 } (233) Myšlenka konstrukce Gaußovy kvadratury: x i (uzly): kořenypolynomu p n+1 zmnožinyortogonálníchpolynomů {p 0, p 1,, p n+1 }, b α i (koeficienty): určíme tak, aby a q(x)dx = n i=0 α iq(x i ) q Π 2n+1

23 GAUßOVA KVADRATURA 17 Věta213(Ortogonálnípolynomy)Existujíjednoznačněurčenépolynomy p i, pro které platí 1 p i Π i, i IN {0}, (p i, p j )=0, i j, (pozn p 0 (x)=1) 2Kořeny x 0,,x n polynomu p n+1, n IN {0},jsoureálné,jednoduché aležív(a, b) 3 p 0 (x 0 ) p 0 (x 1 ) p 0 (x n ) p 1 (x 0 ) p 1 (x 1 ) p 1 (x n ) A= je nesingulární p n (x 0 ) p n (x 1 ) p n (x n ) Důkaz viz cvičení k přednášce 4 přednáška Svyužitímortogonálníchpolynomů p 0,, p n+1 akořenů x i polynomu p n+1 určímekoeficienty α i Gaußovykvadraturníformuletak,abyplatilo: b a q(x)dx= n α i q(x i ), q Π 2n+1 (234) i=0 Ktomuvyjádřímepolynom qvetvaru q(x)=r(x)p n+1 (x)+s(x), r, s Π n, (dělenípolynomu qpolynomem p n+1 )apolynomy r(x), s(x) Π n vyjádříme jako lineární kombinaci ortogonálních polynomů(existence takového vyjádření viz cvičení k přednášce), specielně nechť s(x)= n γ j p j (x) Nazákladětohotovyjádřenímávýraznalevéstraněv(234)tvar = b a b a j=0 b q(x)dx= r(x)p n+1 (x)dx+ a =0 n γ j p j (x)dx= j=0 b a n j=0 γ j b a s(x) dx =1 { }} { p 0 (x) p j (x)dx

24 18 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ = n b b b γ j p 0 (x)p j (x)dx=γ 0 p 0 (x)p 0 (x)dx=γ 0 dx j=0 a Levástranav(234)jetedyrovna a γ 0 (b a) Pravá strana v(234) má na základě výše uvedených vyjádření tvar n n n α i [r(x i )p n+1 (x i ) +s(x i )]= α i γ j p j (x i ) i=0 i=0 j=0 =0 Vidíme, že levou a pravou stranu v(234) lze tedy vyjádřit jako lineární kombinacíjistýchvýrazůskoeficienty γ j γ 0 (b a)+ γ γ n 0 n n n = γ 0 p 0 (x i )α i + γ 1 p 1 (x i )α i + +γ n p n (x i )α i i=0 i=0 Porovnánímvýrazůukoeficientů γ j nalevéapravéstranědostanemerovnice prourčeníhledanýchkoeficientů α i : n i=0 p 0(x i )α i = (b a) n i=0 p 1(x i )α i = 0 n i=0 p n(x i )α i = 0 i=0 p 0 (x 0 ) p 0 (x n ) p 1 (x 0 ) p 1 (x n ) p n (x 0 ) p n (x n ) a α 0 α 1 α n = b a 0 Zhlediskastabilityjevýhodné,žekoeficienty α i Gaußovakvadraturního vzorce n i=0 α if(x i )jsoukladné Věta214(pozitivita α i ) Koeficienty α i Gaußova kvadraturního vzorce jsou kladné Důkaz Položme: 0 < p k (x)= b a n i=0,i k (x x i ) 2 Π 2n n p k (x)dx= α i p k (x i )=α k p k (x k ) i=0 >0 α k kladné k=0,1,,n Zkušební otázka 24! Odvoďte Gaußův kvadraturní vzorec řádu 2n + 1 na intervalu[a, b] Odvoďte Gaußův kvadraturní vzorec řádu 3 na intervalu[ 1, 1] (uvažujteortogonálnípolynomy {1, x, x } 0

25 3 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Nechť je dáno nelineární zobrazení 5 přednáška F:IR N IR N Hledáme α:: F(α)=0 Metody pro řešení výše uvedené úlohy jsou většinou iterační Cíl je generovat posloupnost {x (k) }takovou,želimx (k) = α,kde F(α)=0 31 Newtonova metoda Problém F(x)=0nahradímeposloupnostílineárníchproblémů L k (x)=0, L k : IR N IR N, k=0,1,,takových,žejejichřešenítvoříposloupnostkonvergující křešeníproblému F(x)=0 α x (k+1), kde L k (x (k+1) )=0 Nechť x (0) jedáno(pozdějiukážeme,jakhovolit)prodanouaprixamaci x (k) uvažujeme L k (x)jakolineárníčásttaylorovarozvojezobrazení Fvbodě x (k) IR N (J(x)značíJakobihomaticizobrazeníFvbodě x): F(x)=F(x (k) )+J(x (k) )(x x (k) ) +O( x x (k) 2 ) L k (x) (za předpokladu dostatečné hladkosti zobrazení F) Nelineární problém nahradíme problémem lineárním {F(x)=0} {F(x (k) )+J(x (k) )(x x (k) ) =0(311) L k (x) řešení αnelinpb aproximujemeřešením x (k+1) linpb (312) α x (k+1) := x (k) J 1 (x (k) )F(x (k) )(313) Vzorecv(313),kterýmjedefinována(k+1)-níaproximace x (k+1) řešení nelineárního problému je formální, ve skutečnosti se inverzní matice nepočítá a algoritmus má následující dva kroky: Algoritmus: 19

26 20 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 1 J(x (k) )(x x k ) δx (k) = F(x(k) )-řešímelineárníúlohupro δx(k) 2 x (k+1) := x (k) + δx (k) -provedemeupdatepředchozíaproximace Pro N = 1(nelineární skalární rovnice pro jednu neznámou) má Newtonova metoda názorný geometrický význam Nelineární funkci f(x) nahradíme lineárnífunkcí(přímkou),kterájetečnoukegrafufunkce f vbodě(x (k), f(x (k) ) (mátedysměrnici f (x (k) )aprocházíbodem(x (k), f(x (k) ))Vtomtopřípaděse Newtonova metoda nazývá metodou tečen N=1: x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ), x(0) dáno, f (x (k) ) 0 Zkušební otázka 31! Odvoďte Newtonovu metodu pro soustavy nelineárních rovnic a její algoritmizaci Popište algoritmus v případě jedné skalární rovnice Způsob,jaknahraditfunkci f přímkouprocházejícíbodem(x (k), f(x (k) )) není jediný Další možnosti jsou metoda sečen, jednobodová metoda sečen nebo metoda regula falsi(viz cvičení k přednášce) Poznámka 31 Newtonova metoda je speciálním případem náhrady funkce f lineární funkcí l k (x):= f(x (k) )+(x x (k) )q k, kdesměrnice q k sevolí q k := f (x (k) ) 311 Důkaz konvergence Newtonovy metody Věta32(KonvergenceNewtonovymetodyprosoustavy)Nechť F C(D), D IR N konvexní,otevřenámnožina,kteráobsahuje α:: F(α)=0Nechť J 1 (α), nechť R >0, c >0, L >0: J 1 (α) c, J(x) J(y) L x y maticová norma vekt norma x, y B(α, R), kde B(α, R)jekouleostředu αapoloměru RPotom r, x (0) B(α, r), posloupnost 313 je jednoznačně definována a konverguje k α a platí α x (k+1) α cl x (k) 2 (314) Motivace: N=1 x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ) Newtonova metoda

27 Z Taylorova rozvoje dostáváme: NEWTONOVA METODA 21 f(α)=f(x (k) )+f (x (k) )(α x (k) )+ f (ξ)(α x (k) ) 2 2 Zajímánáschyba(α x (k+1) )Chcemeukázat,že α x (k+1) 0Odečtením α od obou stran vzorce pro Newtonovu metodu získáme vyjádření α x (k+1) = α x (k) + f(x(k) ) f (x (k) ) Úpravou Taylorova rozvoje(uvědomíme-li si, že f(α) = 0) dostaneme 0= f(x(k) ) f (x (k) ) +(α x(k) )+ f (ξ)(α x (k) ) 2 2 f (x (k) ) Z předchozích dvou rovnic snadno nahlédneme, že platí α x (k+1) = f (ξ)(α x (k) ) 2 2 f (x (k) ) Předpokládejme nyní, že existuje konstanta c taková, že podíl derivací na pravé straně předchozího výrazu lze odhadnout f (ξ) 2 f (x (k) ) < c ξ x(k) Potom dostaneme ( α x (k+1) α c x (k) 2 ) c c α x (k 1) 2 2 = 1 c ( ) c α x (k 1) 4 1 c ( ) c α x (0) 2 k+1 Pravástranakonvergujeknulepro k + zapředpokladu c α x (0) <1,tjjestližeje x (0) dostatečněblízkokα Pro důkaz konvergence Newtonovy metody pro jednu skalární rovnici jsme tedy využili tyto předpoklady 1 x (0) dostatečněblízko α, 2 f omezenáshora 1 3 f omezenáshora(tjpředpokládáme f (α) 0), které korespondují s předpoklady Věty 32 Jak, to je patrné z následujícího důkazu

28 22 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Důkaz věty32 x (0) zvolímevb(α, r),kde ručímetak,aby J 1 (x (0) )existovala(jinýmislovy, x (0) volímedostatečněblízko α)ktomuvyužijemenásledující tvrzení z algebry: Lemma 33 Důkaz viz cvičení k přednášce Definujme matici A <1 (I A) 1 existujeaplatí (I A) A A:= I J 1 (α)j(x (0) ) kde x (0) zvolímetak(blízko α),aby A <1,konkrétnězvolíme x (0) tak,aby A 1 2 K tomu využijeme předpoklady Věty 32 týkající se odhadu inverze Jacobiho matice v bodě α a lipschitzovskosti Jacobiho matice: A { }} { I J 1 (α)j(x (0) ) = J 1 (α)(j(α) J(x (0) )) cl α x (0) (315) x (0) zvolímetak,abyposlednívýrazv(315) 1 2 Tímdostávámepodmínku na x (0) : α x (0) 1 α cl azároveň x (0) R( platnost podmínky lipschitzovskosti) Pro r dostáváme ( ) 1 r:=min 2cL, R Vmnožine B(α, r)existujepodlevýšeuvedenéhotvrzenízalgebry J 1 (x (0) ) Toplynezevztahů (I A)=J 1 (α)j(x 0 ), (I A) 1 = J 1 (x (0) )J(α) Lze tedy spočítat první iteraci Newtonovy metody a odhadnout její chybu: α x (1) = α x (0) + J 1 (x (0) )F(x (0) ) Úpravou Taylorova rozvoje(uvědomíme-li si, že F(α) = 0) dostaneme 0=F(α)=F(x (0) )+J(x (0) )(α x (0) )+ zbytek, 0=J 1 (x (0) )F(x (0) )+(α x (0) )+J 1 (x (0) )zbytek

29 NEWTONOVA METODA 23 S využitím odhadu zbytku Taylorova rozvoje dostaneme odhad zbytku { }} { α x (1) J 1 (x (0) 1 α ) 2 L x (0) 2 a důkaz dokončíme pomocí odhadu normy inverzní matice J 1 (x (0) ) = J ( 1) (x (0) )J(α) J (I A) 1 Pro odhad chyby máme tedy vztah ( 1) (α) 1 c 2c 1 A }{{} 1 2 α x (1) α cl x (0) 2 ( ) = cl α x (0) α x (0), 1 2 z něhož plyne dále indukcí konvergence Newtonovy metody Zkušební otázka 32 Dokažte větu o konvergenci Newtonovy metody Poznámka 34 Modifikace Newtonovy metody: Jacobihomaticeseneměnípro p 2kroků nepřesné řešení soustavy lin rovnic vyčísleníjacobihomaticepomocídiferencí f (x) f(x+h) f(x) h 312 Řádkonvergence Definice 35(řád konvergence iterační metody pro řešení F(x) = 0) Řekneme, žeposloupnost {x (k) }generovanánumerickoumetodoukonvergujekαsřádem p 1,pokud c >0 α x (k+1) α x (k) p c k k 0 V takovém případě se numerická metoda nazývá řádu p Věta 32 říká, že Newtonova metoda je kvadraticky konvergentní, α x (k+1) α cl x (k) 2, pokudje x (0) dostatečněblízko αapokudje J(α)nesingulární

30 24 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 32 Metoda postupných aproximací pro nelineární rovnice Metoda postupných aproximací je založena na faktu, že pro dané zobrazení F: M IR N IR N jevždymožnétransformovatproblém F(x)=0naekvivalentní problém x φ(x)=0,kdepomocnáfunkce φjevolenatak,aby φ(α)=αprávě když F(α)=0Nalezenínulovýchbodůzobrazení Fsetakpřevedenanalezení pevného bodu zobrazení φ, které se realizuje pomocí následujícího algoritmu: Dáno x (0), x (k+1) := φ(x (k) ), k 0 Definice36(kontrahujícízobrazení)Řekneme,žezobrazení G:D IR N IR n jekontrahujícína D 0 D,jestliže L <1:: G(x) G(y) L x y x, y D 0 Věta37(větaopevnémbodě)Nechť G:D IR N IR N kontrahujícína uzavřenémnožině D 0 D, G(x) D 0 x D 0 Pak Gmáprávějedenpevný bodtentobodjelimitouposloupnosti x (k+1) = φ(x (k) ), x (0) D 0 libovolné Důkaz jednoznačnost, existence(cauchyovská posloupnost, spojitost G), viz cvičení k přednášce Poznámka 38 Newtonova metoda jako speciální případ věty o pevném bodě (Viz cvičení k přednášce) 33 Kořeny polynomu Nalezení lokalizacekořenůvc aproximace kořenů 6 přednáška Věta 39(Descartes) Počet kladných kořenů(včetně násobnosti) polynomu p n (α)=a 0 +a 1 x+ +a n x n jerovenpočtuznaménkovýchzměnvposloupnosti a 0, a 1,,a n,nebojeosudéčíslomenší Věta 310(Cauchy) Kořeny polynomu leží v kruhu { Γ= z C; z 1+η, η= max 0 k n 1 Poznámka3111 η:translaceazměnasouřadnic 331 Hornerovoschema V dalším budeme potřebovat vyčíslení hodnoty polynomu v daném bodě x Vyčíslení polynomu: p n (x)=a 0 + a 1 x+ +a n x n a k a n }