Numerická matematika

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerická matematika"

Transkript

1 Numerická matematika Jiří Felcman Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta KNM PRESS PRAHA 2014

2 iv

3 PŘEDMLUVA 1 Tel KNMčdvK458(5042) 1 přednáška 2 NMAI042 Numerická matematika Obecná informatika Programování a softwarové systémy (Programování, Správa počítačových systémů- zahájení 2011 nebo dříve) 3 Požadavky ke zkoušce státnice(prospěl s vyznamenáním) Obecná informatika: MFF >Studium >BcaMgrstudium >Studijníplány >Obecná informatika sylabus SIS, Předměty, NMAI042, Hledej 4 Tituly PhD RNDr Mgr Bc 5 Studium v zahraničí- ERASMUS 6 Ceny udělované studentům 7 SVOČ 8 Hodnocení učitelů- srozumitelnost 9 Zápočet: pátek 2 května Zkouška: pátek 9 května 2014, 12:20 část písemná, dosažení minimálního předepsaného počtu bodů pro každou otázku část ústní Praha, 3 února 2014 J F v

4

5 OBSAH Úvod 1 1 Aproximace funkcí v IR 2 11 Lagrangeův interpolační polynom Chyba Lagrangeovy interpolace 5 12 Kubický spline Konstrukce přirozeného kubického spline 7 2 Numerická integrace funkcí Newtonovy-Cotesovy vzorce Složené Newtonovy Cotesovy vzorce Rombergova kvadratura Gaußova kvadratura 16 3 Metody řešení nelineárních rovnic Newtonova metoda Důkaz konvergence Newtonovy metody Řád konvergence Metoda postupných aproximací pro nelineární rovnice Kořeny polynomu Hornerovo schema 24 4 Soustavy lineárních rovnic Podmíněnost matic Gaußova eliminace Pivotace Gaußova eliminace jako faktorizační metoda LU rozklad v obecném případě Vliv zaokrouhlovacích chyb Choleského rozklad QR rozklad 35 5 Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Klasické iterační metody 37 6 Výpočet vlastních čísel matic Mocninná metoda 43 7 Numerická integrace obyčejných diferenciálních rovnic Formulace problému Jednokrokové metody 45 vii

6 viii OBSAH 721 Metody typu Runge Kutta 47 8 Gradientní metody Formulace problému 50 Bibliografie 51 Index 52

7 ÚVOD Numerická analýza: Studium algoritmů(jednoznačně definovaná konečná posloupnost aritmetických a logických operací) pro řešení problémů spojité matematiky LN Trefethen, Bulletin IMA 1993 Numerická matematika: realizace matematických modelů na počítači Fyzikální realita matematický model numerické řešení, tj realizace matematického modelu na počítači Validation(solving the right equations) verification(solving the equations right) Literatura k přednášce:(quarteroni et al, 2004),(Ueberhuber, 2000),(Segethová, 2000) Předpokládané znalosti: Rolleova věta, definice normy funkce, definice seminormy, vlastní čísla, báze lineárního vektorového prostoru, Taylorova věta 1

8 1 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Jedna ze základních úloh numerické matematiky: aproximace dané funkce f jinou funkcí ϕ Zadání aproximované funkce- analyticky, nebo je k dispozici tabulkahodnot(x i, f i ), x i, f i IR, i=0,,n, n IN, f i = f(x i )(vizobr 101) tabulkahodnotderivacídourčitéhořáduvuzlech x i Pro funkci f definovanou na uzavřeném intervalu[a, b] uvažujeme dělení intervalu[a, b], a=x 0 < x 1, < x n = b, n Z + = {0,1, }anazývámeho sítí x i, i=0,nnazývámeuzly(ekvidistantní,je-li x i = a+ih,kde h IRje kroksítě) Poznámka 11 Pojem síť se používá obecně v N-rozměrném prostoru, viz např (Feistaueretal,2003,str185):LetΩ IR N beadomainif N=2,thenby Ω h wedenoteapolygonalapproximationofωthismeansthattheboundary Ω h ofω h consistsofafinitenumberofclosedsimplepiecewiselinearcurves For N=3,Ω h willdenoteapolyhedralapproximationofωfor N=3weset Ω h =ΩThesystem D h = {D i } i J,where J Z + = {0,1, }isanindexset and h >0,willbecalledafinitevolumemeshinΩ h,if D i, i J,areclosedline segmentsorclosedpolygonsorpolyhedrons,if N=1or N=2or3,respectively, with mutually disjoint interiors such that Ω h = i J D i Theelements D i D h arecalledfinitevolumestwofinitevolumes D i, D j D h areeitherdisjointortheirintersectionisformedbyacommonpartoftheir boundaries D i and D j If D i D j containsatleastonestraightsegmentora planemanifold,if N=2or3,respectively,thenwecall D i and D j neighbouring finite volumes(or simply neighbours) Požadavky na aproximující funkci ϕ (A) jednoduchý tvar, snadno vyčíslitelná polynom {1, x, x 2, x 3, } trigonometrickýpolynom {1,sinx,cosx,sin2x,cos2x, } racionální funkce exponenciálnífunkce ae bx 2

9 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Obr 101 Interpolační polynom nabývající v daných uzlech předepsaných hodnot Obr 102 Proložení přímky třemi body(ve smyslu nejmenších čtverců) (B) ϕ (j) (x i )=f (j) (x i ), derivací v uzlech) (C) ϕ f malá,kde značínormu i=0,,n, j=0,,c i (rovnosthodnot,event Poznámka 12 Od požadavku(b) někdy upouštíme(proložit třemi body přímku-vizobr102) Nejčastější způsoby aproximace 1Interpolace-kfunkci fsestrojímefunkci ϕzjistétřídy Msplňující(B) 2 Aproximace metodou nejmenších čtverců- k funkci f sestrojíme funkci ϕ z jisté třídy M splňující(b) ve smyslu nejmenších čtverců diskrétní případ

10 4 APROXIMACE FUNKCÍ V IR n ( w i f(xi ) ϕ(x i ) ) 2 =min i=0 ψ M i=0 n ( w i f(xi ) ψ(x i ) ) 2 kde w i >0, i=0,, njsouzadanáčísla,zvanáváhynázev nejmenší čtverce je patrný z následujícího příkladu: Příklad13Prodanéděleníintervalu[a, b]adanékladnéváhy w i uvažujme normu funkce f danou vztahem f := n ( w i f(xi ) ) 2 ϕ Msehledátak,že spojitý případ b a i=0 f ϕ 2 =min f ψ 2 ψ M w(x) ( f(x) ϕ(x) ) 2 dx=min ψ M b a w(x) ( f(x) ψ(x) ) 2 dx wjeváhováfunkce(skorovšudekladnáv[a, b], w L 2 (a, b)definice pojmu skorovšude aprostoru L 2 (a, b)viznapř(feistaueretal,2003, strana)) 3 Čebyševova(stejnoměrná) aproximace- k funkci f sestrojíme funkci ϕ z jisté třídy M splňující max [a,b] ϕ(x) f(x) max ψ(x) f(x) [a,b] provšechnyfunkce ψ M,kde Mjezvolenámnožinafunkcí 11 Lagrangeův interpolační polynom 2 přednáška Hledámepolynom L n stupněnejvýše n(píšeme L n Π n -prostorpolynomů stupně nejvýše n) takový že L n (x i )=f(x i ) i=0,,n, (111) x i -navzájemrůznéuzly, obecněneekvidistantnítakovýpolynomnazveme Lagranegeovým interpolačním polynomem Věta14Nechť x 0,, x n jsounavzájemrůznéuzlypakexistujeprávějeden interpolačnípolynom L n Π n : L n (x i )=f(x i ) i=0,,n

11 Důkaz 1 Existence Uvažujme polynomy LAGRANGEŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM 5 l i (x)= (x x 0)(x x 1 )(x x i 1 )(x x i+1 )(x x n ) (x i x 0 )(x i x 1 )(x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n ) (tzv Lagrangeovy polynomy) Platí α) l i (x) Π n, 1, i=j, β) l i (x j )=δ ij = (Kroneckerovo delta) 0, i j Položme n L n (x)= f(x i )l i (x) i=0 2 Jednoznačnost Nechť L 1 n, L2 n Π nsplňují(viz(111)) L 1 n(x i )=L 2 n(x i )=f(x i ) i=0,,n Potom L 1 n L 2 n Π n jepolynom,kterýmá(n+1)různýchkořenůpodle základnívětyalgebryje L 1 n L2 n nulovýpolynom Poznámka 15 Položme Potom platí kde čárka označuje derivaci ω n+1 (x)=(x x 0 )(x x n ) l i (x)= 111 Chyba Lagrangeovy interpolace ω n+1 (x) (x x i ) ω n+1 (x i), Věta16Nechť f C n+1 (I),kde Ijenejmenšíintervalobsahující x 0,,x n, x a x 0,, x n jsounavzájemrůznéuzly,nechť L n Π n jelagrangeůvinterpolačnípolynomprofunkci fpak ξ I f(x ) L n (x )= f(n+1) (ξ) ω n+1 (x ) (n+1)! (chybalagrangeovyinterpolacevbodě x )

12 6 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Důkaz Pro x = x i jedůkazzřejmýpro x x i uvažujmefunkci: kde t IRPlatí: F(x)=f(x) L n (x) t ω n+1 (x) F(x i )=0 i=0,,n Pro vhodnou volbu t:= f(x ) L n (x ) ω n+1 (x (112) ) platí,že F(x )=0 F mátedy n+2nulovýchbodů(uzly x i abod x )Podle Rolleovy věty: F máaspoň n+1nulovýchbodů, F (n+1) máaspoň1nulovýbod,označmeho ξ F (n+1) (ξ)=0=f (n+1) (ξ) 0 t (n+1)! / ωn+1 (x ) (n+1)! kdejsmevyužilitoho,že(n+1)-níderivace L n jenulováa(n+1)-níderivace ω n+1 je(n+1)!dosadíme-liza tzevztahu(112),dostaneme f(x ) L n (x )= f(n+1) (ξ) ω n+1 (x ) (n+1)! Zkušební otázka 11! Chyba Lagrangeovy interpolace 12 Kubický spline Definice17Nechťjedánoděleníintervalu[a, b], a=x 0 < x 1 < < x n = b (x i navzájemrůzné)řekneme,žefunkce ϕ:[a, b] IRjekubickýspline,jestliže 1 ϕ jespojitá( C 2 [a, b]), 2 ϕ [xi,x i+1] jekubickýpolynom,pro i=0,1,, n 1 Poznámka 18 Spline- elastické pravítko používané při stavbě lodí Poznámka 19 Kubický spline je speciálním případem spline k-tého řádu pro k=3důvodemčastéhopoužitíkubickéhosplinejefakt,želidskéokojeschopné rozlišit ještě změny 2 derivace Poznámka 110 Kubický spline dobře aproximuje funkci, která popisuje tvar s minimální energií Popíšeme-li tvar pružné laťky funkcí y = f(x), potom E(y)= b a y (x) [ 1+(y (x)) 2] 3/2 dx měří její ohybovou energii Lať se deformuje tak, že je tato energie minimální (Hamiltonůvprincip)Dáseukázat,žemezivšemifunkcemizC 2 [a, b]aproximuje

13 KUBICKÝ SPLINE 7 kubickýspline ϕ:: ϕ(x i )=f(x i )velmidobřefunkci y,prokterousenabývá minima E(y):min y E(y)=E(y ) Věta111Nechť f C 2 [a, b]pakprokaždýkubickýspline ϕsplňující ϕ(x i )=f(x i ), i=0,,n, platí ϕ f, kde u 2 := b a u (x) 2 dx, jestliže je splněna některá z následujících třech podmínek: (a) ϕ (a)= 0 = ϕ (b) (b) ϕ (a)=f (a) a ϕ (b)=f (b) (c) ϕ (a)=ϕ (b) a ϕ (a)=ϕ (b) (121) Poznámka 112(Pozor, ve větě 111 neznačí normu, ale pouze seminormu vsobolevověprostoru H 2 (a, b),kteráseobvykleznačí H 2 (a,b),detailyviznapř (Feistaueretal,2003,page)) Důkaz Viz cvičení k přednášce Důsledek 113 Ve všech třech případech(a),(b),(c) je kubický spline určen jednoznačně 121 Konstrukce přirozeného kubického spline Značení: f i := f(x i ) i=0,,n, ϕ i := ϕ [xi,x i+1] i=0,,n 1, h i := x i+1 x i i=0,,n 1 Kubickýpolynom ϕ i jenaintervalu[x i, x i+1 ]určenčtyřmikoeficientypočet intervalůje n,celkemmámetedyprourčení ϕpočetstupňůvolnosti4npro tyto stupně volnosti sestavíme příslušné rovnice Počet neznámých 4 počet intervalů 4n Početrovnic ϕ(x i )=f(x i ), i=0,,n n+1 spojitost ϕvx i, i=1,,n 1 n 1 spojitost ϕ v x i, i=1,,n 1 n 1 spojitost ϕ v x i, i=1,,n 1 n 1 4n 2 Počet rovnic je o dvě menší než počet neznámých Doplníme je proto některou z podmínek(121),(a) (b) Uvažujme např podmínku(121),(a), tj podmínku

14 8 APROXIMACE FUNKCÍ V IR ϕ M i i M i+1 x i x i+1 Obr121 Přímka ϕ i nulových druhých derivací v krajních bodech Takový spline nazýváme přirozenýmkubickýmsplinemprourčenípřirozenéhokubickéhosplinuhledáme ϕ i ve vhodném tvaru Ukazuje se, že efektivní metoda není založena na vyjádření ϕ i (x)=a i x 3 + b i x 2 + c i x+ d i (NEVHODNÉvizcvičení) ani na vyjádření ϕ i (x)=a i (x x i ) 3 +b i (x x i ) 2 +c i (x x i )+d i (MÉNĚVHODNÉvizcvičení) ale na vyjádření pomocí tzv momentů, což jsou hodnoty druhé derivace ϕ v uzlechoznačmeje M i : M i := ϕ (x i ), i=0,,n a předpokládejme, že tyto momenty známe Později ukážeme, jak je určit Platí ϕ i kubickýpolynom ϕ i parabola ϕ i přímka Z předpokladu spojitosti druhé derivace ϕ v uzlech dostáváme M i = ϕ i (x i), M i+1 = ϕ i(x i+1 ) Jetedy ϕ i přímka,procházejícíbody(x i, M i )a(x i+1, M i+1 )(vizobr121)

15 KUBICKÝ SPLINE 9 ϕ i (x)=(x x i) M i+1 x i+1 x i + M i (x x i+1 ) x i x i+1, ϕ i (x)= M i (x x i+1 )+ M i+1 (x x i ) h i h i Integrací odvodíme ϕ i(x)= M i 2h i (x x i+1 ) 2 + M i+1 2h i (x x i ) 2 + A i, ϕ i (x)= M i 6h i (x x i+1 ) 3 + M i+1 6h i (x x i ) 3 + A i (x x i )+B i (122) vhodný rozpis integrační konstanty Ve vyjádření ϕ i ve tvaru (122) nejprve určíme koeficienty A i, B i, i = 0,, n 1pomocímomentůapotomsestavímerovnicepromomentyVyužijeme k tomu podmínky ϕ i (x i )=f i, ϕ i (x i+1 )=f i+1, i=0,,n 1 (Dvěrovniceprodvěneznámé A i, B i, i=0,,n 1)Dostaneme ϕ i (x i )= M i 6 h2 i + B i= f i, ϕ i (x i+1 )= M i+1 6 B i =f i M i 6 h2 i, h 2 i + A ih i + f i M i 6 h2 i = f i+1, A i = f i+1 f i + M i M i+1 h i h i 6 Rovnice pro momenty sestavíme ekvivalentním vyjádřením podmínky spojitosti derivace kubického spline v uzlech: Připomeňmesitvar ϕ i resp ϕ i 1 ϕ i 1 (x i)=ϕ i (x i), i=1,,n ϕ i(x)= M i (x x i+1 ) 2 + M i+1 (x x i ) 2 + A i 2h i 2h i ϕ i 1 (x)= M i 1 2h i 1 (x x i ) 2 + M i 2h i 1 (x x i 1 ) 2 + A i 1 Svyužitímvyjádřenípro A i,resp A i 1 pomocímomentůdostaneme ϕ i 1 (x i)=0+ M i h 2 i 1 2h + f i f i 1 + M i 1 M i h i 1 i 1 h i 1 6

16 10 APROXIMACE FUNKCÍ V IR = M i h 2 2h i+0+ f i+1 f i + M i M i+1 h i = ϕ i h i 6 i(x i ) Protožekonstruujemepřirozenýkubickýspline,je M 0 = ϕ (x 0 )=0=ϕ (x n )= M n adostávámetak n 1rovnic(i = 1,,n 1)proneznámemomenty M 1, M 2,, M n 1 Tytorovnicelzepřepsatvetvaru ( 6 M hi 1 i 1+ h i 1 + h i h ) i M i + h i 6 6 M i+1= f i f i 1 + f i+1 f i h i 1 h i h i 1 +h i g i 3 h i 1 Maticový zápis vede na soustavu s třídiagonální maticí h 0+h 1 3 h 1 6 h i 1 6 h i 1+h i 3 h i 6 h n 2 6 h n 2+h n 1 3 Zkušební otázka 12! Konstrukce přirozeného kubického spline M 1 g 1 M i 1 g i 1 M i = g i M i+1 g i+1 M n 1 g n 1 Příklad 114 Pro ekvidistantní dělení s krokem h má matice soustavy tvar 4 1 h Při vyšetřování řešitelnosti této soustavy lze využít následující definici a větu z algebry: Definice115Řekněme,žematice Atypu n n, n 2jeostřediagonálně dominantní(odd), jestliže a ii > n j=1,j i a ij i=1,,n Věta116Nechť A IR nn jeoddpak Ajenesingulární

17 KUBICKÝ SPLINE 11 Důkaz pomocí Geršgorinových kruhů, viz(quarteroni et al, 2004, str 184) Ajenesingulární deta 0 rovnicedet(a λi)=0nemákořen λ=0 nula není vlastním číslem matice A Nechť λ je vlastní číslo matice A Ax=λx y:= x x, x :=max x i i Ay=λy y i 1, i 0 :: y i0 =1 j i 0 a i0jy j + a i0i 0 y i0 = λy i0 j i0 a i0jy j = λ ai0i 0 y i0 λ a i0i 0 ai0j j i 0 (Geršgorinůvkruhostředu a i0i 0 apoloměru a i0j ) j i 0 Kdyby λ=0bylovlastnímčíslem a i0i 0 ai0j j i 0 SporsODD λ=0tedynenívlastníčísloamatice Ajenesingulární Matice soustavy rovnic pro momenty je ODD, soustava je tedy podle výše uvedené věty jednoznačně řešitelná a protože matice soustavy je třídiagonální, lze pro řešení použít např Gaußovu eliminaci

18 2 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ 3 přednáška Nechťjedánoděleníintervalu[a, b], a x 0 < x 1 < < x n b(x i navzájemrůzné)označme h=max i {0,,n 1} x i+1 x i Vzorec Cíl: I(f)= b a f(x)dx I h (f)= I h (f)= n α i f(x i ) i=0 n α i f(x i ) (201) senazývákvadraturníformule, α i jsoukoeficientykvadraturníformuleax i jsou uzly kvadraturní formule Motivace hledání aproximace určitého integrálu ve tvarulineárníkominacehodnotfunkce fvuzlech x i jezřejmáznásledujícího odstavce 21 Newtonovy-Cotesovy vzorce Prodané n IN uvažujmeekvidistantníděleníintervalu[a, b]skrokem h= b a n, x i = a+ih, i=0,,naproximujeme-lifunkci f Lagrangeovýminterpolačnímpolynomem L n prouzly x 0,, x n,lzeurčitýintegrálzfunkce f aproximovat následujícím způsobem: b a n f(x i ) i=0 b a f(x)dx b a i=0 L n (x)dx= l i(x) { }} { (x x 0 )(x x i 1 )(x x i+1 )(x x n ) (x i x 0 )(x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n ) dx= i=0 b n l i (x)dx f(x i ) (211) a α i Tento vzorec nazýváme pro ekvidistantní uzly Newtonův-Cotesův Pro výpočetkoeficientů α i použijemenásledujícísubstituci 12

19 NEWTONOVY-COTESOVY VZORCE 13 subst x=a+th x i = a+ih, h= b a n α i := b a n j=0,j i (x x j ) (x i x j ) dx= b a n n 0 n j=0,j i (t j) dt (212) (i j) ZkonstrukceLagrangeovyinterpolace L n funkce f Π n plyne,že L n (x)= f(x),atedyn-cvzorecjepřesnýpropolynomystupněnejvýšentonásvede k následující definici Definice21Řekneme,žekvadraturníformule n i=0 α i f(x i )mářádpřesnosti m,jestliže m IN {0}jemaximálníčíslotakové,že b a p(x)dx= n α i p(x i ) p Π m (213) i=0 Zkušební otázka 21 Řád kvadraturní formule Lemma22Je-likvadraturníformule n i=0 α i f(x i )symetrická, tjpro i= 0,, nplatí b x n i = x i a, α i = α n i, aje-lijejířád n, nsudé,pakjejejířád n+1 Lemma 23 Newtonův-Cotesův vzorec je symetrická kvadraturní formule Důsledek24Pro nsudéjeřádn-cvzorce n+1 Zkušební otázka 22 Odvoďte Newtonův-Cotesův vzorec Lemma 25(Odhad chyby lichoběžníkového pravidla) Nechť f C 2 [a, b]označme T h (f)n-cvzorecpro n=1(lichoběžníkové pravidlo)pak ξ [a, b],::(přiznačení I(f)= b a f(x)dx) I(f) T h (f)= f (ξ) 2 h3, h=(b a) (214) 6 Lemma 26(Odhad chyby Simpsonova pravidla) Nechť f C 3 [a, b] Označme S h (f) N-C vzorec pro n = 2 (Simpsonovo pravidlo)pak ξ [a, b],:: I(f) S h (f)= h5 90 f (ξ), h= (b a) (215) 2

20 14 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ Definice 27(zbytek kvadraturního vzorce) Rozdíl kde I(f)= b nazýváme zbytek kvadraturního vzorce E h (f)=i(f) I h (f), a f(x)dx, I h (f)= 211 Složené Newtonovy Cotesovy vzorce n α i f(x i ), Newtonovy Cotesovy vzorce lze také aplikovat tak, že interval[a, b] rozdělíme na nekvidistantníchsubintervalů[x i, x i+1 ]velikosti hanakaždémztěchto subintervalů použijeme Newtonův Cotesův vzorec pro m + 1 ekvidistantních uzlů x i = x i0 < < x im = x i+1 skrokem H x i = a+ih, h= b a n, i=0, n, x i j = x i + jh, H= h m n 1 I(f):= i=0 xi+1 x i i=0 i=0 i=0 j=0 n, m IN n 1 n 1 f(x)dx IH i (f)= m α ij f(x ij )=: I H (f) Věta28(složené N-C vzorce) Nechť f C m+1 [a, b] Pak pro složené N-C vzorce platí I(f) I H (f) ch m+1, (216) kde c >0jekonstantanezávislánaH Důkaz plyne z odhadu chyby Lagrangeova interpolačního polynomu 22 Rombergova kvadratura Výpočet b a f(x)dxpomocísloženéholichoběžníkovéhopravidlapro n+1uzlů h= b a n, m=1, H= h Věta29(Eulerova-MacLaurinova)Nechť f C 2N+2 [a, b], h= b a n, n IN Potomprosloženélichoběžníkovépravidlo(označmeho CT h (f))platí: CT h (f)=p(h 2 )+O(h 2N+2 ) (221) = I(f)+a 1 h 2 + a 2 h 4 + +a N h 2N + O(h 2N+2 ), (222) kde p Π N, p=p(t)=a 0 + a 1 t+ +a N t, a 0 = p(0)= b a f(x)dx=i(f)

21 Důkaz viz Stör Numerische Mathematik I ROMBERGOVA KVADRATURA 15 Rombergovakvadratura:konstruujemelineárníkombinacivzorců CT h (f)pro vhodné h tak, abychom získali vzorec, který je přesnější: CT h (f)=i(f)+a 1 h 2 + O(h 4 ) / 1 h 2 CT h(f)=i(f)+a O(h4 ) /4 4CT h(f) CT h (f) 2 3 = I(f)+O(h 4 ) link=i(f)+chyba (N=1) Vhodnou lineární kombinací vzorců, z nichž každý aproximuje integrál I(f) s chybou O(h 2 ), jsme tak odvodili vzorec, který aproximuje integrál I(f) s chybou O(h 4 )Zapředpokladudostatečnéhladkostifunkce f (vizeulerova MacLaurinova věta) můžeme tímto způsobem odvodit vzorec, který aproximuje integrál I(f)schybou O(h 2N+2 )Všimněmesinapř,jakourolihrajevtomto postupuvyčíslenílagrangeovainterpolačníhopolynomu L 2 prouzly h2, CT h zapsanéhovetvaru L 2 (0)+b 1 t+b 2 t 2 (předpoklá- ahodnoty CT h 4 dáme h <<1), CT h 2 16, h 2 4, h2 Euler MacLaurin Lagrange CT h (f)= I(f)+a 1 h 2 + a 2 h 4 + O(h 6 )=L 2 (0)+b 1 h 2 + b 2 h 4 (223) h CT h(f)= I(f)+a a 2 h h 2 O(h6 ) = L 2 (0)+b b 2 (224) 16 h CT h(f)= I(f)+a a 2 h h 2 O(h6 ) = L 2 (0)+b b h 4 2 (225) 256 link = I(f)+0+0+O(h 6 ) = L 2 (0)+0+0 (N=2) kde L 2 (t)= b }{{} 0 +b 1 t+b 2 t 2 jelagrangeůvinterpolačnípolynomprotabulku L 2(0) h link CT h 4 (f) CT h 2 h 2 4 h 2 (f) CT h (f) Závěr: L 2 (0)aproximuje b a f(x)dxschybou O(h6 )Přikonstrukci L 2 (0)se jedná o tzv Richardsonovu extrapolaci Uvedený postup lze provést až do řádu 2N+2prouzly( h 2) 2 ahodnoty CT i h, i=0,, N,pomocínichžkonstruujeme 2i L N Problém: Vyčíslení Lagrangeova interpolačního polynomu v jediném bodě (zde konkrétně v 0) aniž bychom Lagrangeův interpolační polynom sestavovali Zde nepotřebujeme tvar Lagrangeova interpolačního polynomu, ale pouze jeho hodnotu v jediném bodě K tomu se používá Aitkenovo Nevilleovo schéma h 4

22 16 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ Zkušební otázka 23! Odvoďte Rombergův kvadraturní vzorec, který aproximujehodnotu b a f(x)dx schybou O(h4 ) VysvětletevýznamLagrangeova interpolačního polynomu při konstrukci Rombergova kvadraturního vzorce 23 Gaußova kvadratura Víme,žeN-Cvzorcemajířádaspoň n(pro nsudédokonceaspoň n+1)jakého řádumůžebýtformuletypu n i=0 α if(x i )?Uvažujmeprodanéděleníintervalu [a, b], a x 0 < < x n bkvadraturníformuli I h (f)= n α i f(x i ) (231) i=0 Lemma 210(Řád kvadraturní formule) Řád kvadraturní formule(231) je nejvýše2n+1 Důkaz Uvažujmepolynom p(x)= n i=0 (x x i) 2 Π 2n+2 Tentopolynomje nezápornáfunkcenaintervalu[a, b]aplatíproněho b a p(x) >0 Kvadraturní formule typu(231) dává pro tento polynom n α i p(x i )=0 i=0 Propolynom pnenítedykvadraturníformule(231)přesnáajejířádjetedy nejvýše2n+1 Gaußova kvadratura je způsob konstrukce vzorce n i=0 α if(x i ), který je přesný pro všechny polynomy stupně nejvýše 2n + 1 Definice 211(skalární součin polynomů) Skalární součin v C[a, b] je definován (u, v)= b Definice 212 Množina normovaných polynomů a u(x)v(x) dx (232) Π n = {p Π n ; p(x)=x n + a n 1 x n 1 + +a 0 } (233) Myšlenka konstrukce Gaußovy kvadratury: x i (uzly): kořenypolynomu p n+1 zmnožinyortogonálníchpolynomů {p 0, p 1,, p n+1 }, b α i (koeficienty): určíme tak, aby a q(x)dx = n i=0 α iq(x i ) q Π 2n+1

23 GAUßOVA KVADRATURA 17 Věta213(Ortogonálnípolynomy)Existujíjednoznačněurčenépolynomy p i, pro které platí 1 p i Π i, i IN {0}, (p i, p j )=0, i j, (pozn p 0 (x)=1) 2Kořeny x 0,,x n polynomu p n+1, n IN {0},jsoureálné,jednoduché aležív(a, b) 3 p 0 (x 0 ) p 0 (x 1 ) p 0 (x n ) p 1 (x 0 ) p 1 (x 1 ) p 1 (x n ) A= je nesingulární p n (x 0 ) p n (x 1 ) p n (x n ) Důkaz viz cvičení k přednášce 4 přednáška Svyužitímortogonálníchpolynomů p 0,, p n+1 akořenů x i polynomu p n+1 určímekoeficienty α i Gaußovykvadraturníformuletak,abyplatilo: b a q(x)dx= n α i q(x i ), q Π 2n+1 (234) i=0 Ktomuvyjádřímepolynom qvetvaru q(x)=r(x)p n+1 (x)+s(x), r, s Π n, (dělenípolynomu qpolynomem p n+1 )apolynomy r(x), s(x) Π n vyjádříme jako lineární kombinaci ortogonálních polynomů(existence takového vyjádření viz cvičení k přednášce), specielně nechť s(x)= n γ j p j (x) Nazákladětohotovyjádřenímávýraznalevéstraněv(234)tvar = b a b a j=0 b q(x)dx= r(x)p n+1 (x)dx+ a =0 n γ j p j (x)dx= j=0 b a n j=0 γ j b a s(x) dx =1 { }} { p 0 (x) p j (x)dx

24 18 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ = n b b b γ j p 0 (x)p j (x)dx=γ 0 p 0 (x)p 0 (x)dx=γ 0 dx j=0 a Levástranav(234)jetedyrovna a γ 0 (b a) Pravá strana v(234) má na základě výše uvedených vyjádření tvar n n n α i [r(x i )p n+1 (x i ) +s(x i )]= α i γ j p j (x i ) i=0 i=0 j=0 =0 Vidíme, že levou a pravou stranu v(234) lze tedy vyjádřit jako lineární kombinacíjistýchvýrazůskoeficienty γ j γ 0 (b a)+ γ γ n 0 n n n = γ 0 p 0 (x i )α i + γ 1 p 1 (x i )α i + +γ n p n (x i )α i i=0 i=0 Porovnánímvýrazůukoeficientů γ j nalevéapravéstranědostanemerovnice prourčeníhledanýchkoeficientů α i : n i=0 p 0(x i )α i = (b a) n i=0 p 1(x i )α i = 0 n i=0 p n(x i )α i = 0 i=0 p 0 (x 0 ) p 0 (x n ) p 1 (x 0 ) p 1 (x n ) p n (x 0 ) p n (x n ) a α 0 α 1 α n = b a 0 Zhlediskastabilityjevýhodné,žekoeficienty α i Gaußovakvadraturního vzorce n i=0 α if(x i )jsoukladné Věta214(pozitivita α i ) Koeficienty α i Gaußova kvadraturního vzorce jsou kladné Důkaz Položme: 0 < p k (x)= b a n i=0,i k (x x i ) 2 Π 2n n p k (x)dx= α i p k (x i )=α k p k (x k ) i=0 >0 α k kladné k=0,1,,n Zkušební otázka 24! Odvoďte Gaußův kvadraturní vzorec řádu 2n + 1 na intervalu[a, b] Odvoďte Gaußův kvadraturní vzorec řádu 3 na intervalu[ 1, 1] (uvažujteortogonálnípolynomy {1, x, x } 0

25 3 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Nechť je dáno nelineární zobrazení 5 přednáška F:IR N IR N Hledáme α:: F(α)=0 Metody pro řešení výše uvedené úlohy jsou většinou iterační Cíl je generovat posloupnost {x (k) }takovou,želimx (k) = α,kde F(α)=0 31 Newtonova metoda Problém F(x)=0nahradímeposloupnostílineárníchproblémů L k (x)=0, L k : IR N IR N, k=0,1,,takových,žejejichřešenítvoříposloupnostkonvergující křešeníproblému F(x)=0 α x (k+1), kde L k (x (k+1) )=0 Nechť x (0) jedáno(pozdějiukážeme,jakhovolit)prodanouaprixamaci x (k) uvažujeme L k (x)jakolineárníčásttaylorovarozvojezobrazení Fvbodě x (k) IR N (J(x)značíJakobihomaticizobrazeníFvbodě x): F(x)=F(x (k) )+J(x (k) )(x x (k) ) +O( x x (k) 2 ) L k (x) (za předpokladu dostatečné hladkosti zobrazení F) Nelineární problém nahradíme problémem lineárním {F(x)=0} {F(x (k) )+J(x (k) )(x x (k) ) =0(311) L k (x) řešení αnelinpb aproximujemeřešením x (k+1) linpb (312) α x (k+1) := x (k) J 1 (x (k) )F(x (k) )(313) Vzorecv(313),kterýmjedefinována(k+1)-níaproximace x (k+1) řešení nelineárního problému je formální, ve skutečnosti se inverzní matice nepočítá a algoritmus má následující dva kroky: Algoritmus: 19

26 20 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 1 J(x (k) )(x x k ) δx (k) = F(x(k) )-řešímelineárníúlohupro δx(k) 2 x (k+1) := x (k) + δx (k) -provedemeupdatepředchozíaproximace Pro N = 1(nelineární skalární rovnice pro jednu neznámou) má Newtonova metoda názorný geometrický význam Nelineární funkci f(x) nahradíme lineárnífunkcí(přímkou),kterájetečnoukegrafufunkce f vbodě(x (k), f(x (k) ) (mátedysměrnici f (x (k) )aprocházíbodem(x (k), f(x (k) ))Vtomtopřípaděse Newtonova metoda nazývá metodou tečen N=1: x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ), x(0) dáno, f (x (k) ) 0 Zkušební otázka 31! Odvoďte Newtonovu metodu pro soustavy nelineárních rovnic a její algoritmizaci Popište algoritmus v případě jedné skalární rovnice Způsob,jaknahraditfunkci f přímkouprocházejícíbodem(x (k), f(x (k) )) není jediný Další možnosti jsou metoda sečen, jednobodová metoda sečen nebo metoda regula falsi(viz cvičení k přednášce) Poznámka 31 Newtonova metoda je speciálním případem náhrady funkce f lineární funkcí l k (x):= f(x (k) )+(x x (k) )q k, kdesměrnice q k sevolí q k := f (x (k) ) 311 Důkaz konvergence Newtonovy metody Věta32(KonvergenceNewtonovymetodyprosoustavy)Nechť F C(D), D IR N konvexní,otevřenámnožina,kteráobsahuje α:: F(α)=0Nechť J 1 (α), nechť R >0, c >0, L >0: J 1 (α) c, J(x) J(y) L x y maticová norma vekt norma x, y B(α, R), kde B(α, R)jekouleostředu αapoloměru RPotom r, x (0) B(α, r), posloupnost 313 je jednoznačně definována a konverguje k α a platí α x (k+1) α cl x (k) 2 (314) Motivace: N=1 x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ) Newtonova metoda

27 Z Taylorova rozvoje dostáváme: NEWTONOVA METODA 21 f(α)=f(x (k) )+f (x (k) )(α x (k) )+ f (ξ)(α x (k) ) 2 2 Zajímánáschyba(α x (k+1) )Chcemeukázat,že α x (k+1) 0Odečtením α od obou stran vzorce pro Newtonovu metodu získáme vyjádření α x (k+1) = α x (k) + f(x(k) ) f (x (k) ) Úpravou Taylorova rozvoje(uvědomíme-li si, že f(α) = 0) dostaneme 0= f(x(k) ) f (x (k) ) +(α x(k) )+ f (ξ)(α x (k) ) 2 2 f (x (k) ) Z předchozích dvou rovnic snadno nahlédneme, že platí α x (k+1) = f (ξ)(α x (k) ) 2 2 f (x (k) ) Předpokládejme nyní, že existuje konstanta c taková, že podíl derivací na pravé straně předchozího výrazu lze odhadnout f (ξ) 2 f (x (k) ) < c ξ x(k) Potom dostaneme ( α x (k+1) α c x (k) 2 ) c c α x (k 1) 2 2 = 1 c ( ) c α x (k 1) 4 1 c ( ) c α x (0) 2 k+1 Pravástranakonvergujeknulepro k + zapředpokladu c α x (0) <1,tjjestližeje x (0) dostatečněblízkokα Pro důkaz konvergence Newtonovy metody pro jednu skalární rovnici jsme tedy využili tyto předpoklady 1 x (0) dostatečněblízko α, 2 f omezenáshora 1 3 f omezenáshora(tjpředpokládáme f (α) 0), které korespondují s předpoklady Věty 32 Jak, to je patrné z následujícího důkazu

28 22 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Důkaz věty32 x (0) zvolímevb(α, r),kde ručímetak,aby J 1 (x (0) )existovala(jinýmislovy, x (0) volímedostatečněblízko α)ktomuvyužijemenásledující tvrzení z algebry: Lemma 33 Důkaz viz cvičení k přednášce Definujme matici A <1 (I A) 1 existujeaplatí (I A) A A:= I J 1 (α)j(x (0) ) kde x (0) zvolímetak(blízko α),aby A <1,konkrétnězvolíme x (0) tak,aby A 1 2 K tomu využijeme předpoklady Věty 32 týkající se odhadu inverze Jacobiho matice v bodě α a lipschitzovskosti Jacobiho matice: A { }} { I J 1 (α)j(x (0) ) = J 1 (α)(j(α) J(x (0) )) cl α x (0) (315) x (0) zvolímetak,abyposlednívýrazv(315) 1 2 Tímdostávámepodmínku na x (0) : α x (0) 1 α cl azároveň x (0) R( platnost podmínky lipschitzovskosti) Pro r dostáváme ( ) 1 r:=min 2cL, R Vmnožine B(α, r)existujepodlevýšeuvedenéhotvrzenízalgebry J 1 (x (0) ) Toplynezevztahů (I A)=J 1 (α)j(x 0 ), (I A) 1 = J 1 (x (0) )J(α) Lze tedy spočítat první iteraci Newtonovy metody a odhadnout její chybu: α x (1) = α x (0) + J 1 (x (0) )F(x (0) ) Úpravou Taylorova rozvoje(uvědomíme-li si, že F(α) = 0) dostaneme 0=F(α)=F(x (0) )+J(x (0) )(α x (0) )+ zbytek, 0=J 1 (x (0) )F(x (0) )+(α x (0) )+J 1 (x (0) )zbytek

29 NEWTONOVA METODA 23 S využitím odhadu zbytku Taylorova rozvoje dostaneme odhad zbytku { }} { α x (1) J 1 (x (0) 1 α ) 2 L x (0) 2 a důkaz dokončíme pomocí odhadu normy inverzní matice J 1 (x (0) ) = J ( 1) (x (0) )J(α) J (I A) 1 Pro odhad chyby máme tedy vztah ( 1) (α) 1 c 2c 1 A }{{} 1 2 α x (1) α cl x (0) 2 ( ) = cl α x (0) α x (0), 1 2 z něhož plyne dále indukcí konvergence Newtonovy metody Zkušební otázka 32 Dokažte větu o konvergenci Newtonovy metody Poznámka 34 Modifikace Newtonovy metody: Jacobihomaticeseneměnípro p 2kroků nepřesné řešení soustavy lin rovnic vyčísleníjacobihomaticepomocídiferencí f (x) f(x+h) f(x) h 312 Řádkonvergence Definice 35(řád konvergence iterační metody pro řešení F(x) = 0) Řekneme, žeposloupnost {x (k) }generovanánumerickoumetodoukonvergujekαsřádem p 1,pokud c >0 α x (k+1) α x (k) p c k k 0 V takovém případě se numerická metoda nazývá řádu p Věta 32 říká, že Newtonova metoda je kvadraticky konvergentní, α x (k+1) α cl x (k) 2, pokudje x (0) dostatečněblízko αapokudje J(α)nesingulární

30 24 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 32 Metoda postupných aproximací pro nelineární rovnice Metoda postupných aproximací je založena na faktu, že pro dané zobrazení F: M IR N IR N jevždymožnétransformovatproblém F(x)=0naekvivalentní problém x φ(x)=0,kdepomocnáfunkce φjevolenatak,aby φ(α)=αprávě když F(α)=0Nalezenínulovýchbodůzobrazení Fsetakpřevedenanalezení pevného bodu zobrazení φ, které se realizuje pomocí následujícího algoritmu: Dáno x (0), x (k+1) := φ(x (k) ), k 0 Definice36(kontrahujícízobrazení)Řekneme,žezobrazení G:D IR N IR n jekontrahujícína D 0 D,jestliže L <1:: G(x) G(y) L x y x, y D 0 Věta37(větaopevnémbodě)Nechť G:D IR N IR N kontrahujícína uzavřenémnožině D 0 D, G(x) D 0 x D 0 Pak Gmáprávějedenpevný bodtentobodjelimitouposloupnosti x (k+1) = φ(x (k) ), x (0) D 0 libovolné Důkaz jednoznačnost, existence(cauchyovská posloupnost, spojitost G), viz cvičení k přednášce Poznámka 38 Newtonova metoda jako speciální případ věty o pevném bodě (Viz cvičení k přednášce) 33 Kořeny polynomu Nalezení lokalizacekořenůvc aproximace kořenů 6 přednáška Věta 39(Descartes) Počet kladných kořenů(včetně násobnosti) polynomu p n (α)=a 0 +a 1 x+ +a n x n jerovenpočtuznaménkovýchzměnvposloupnosti a 0, a 1,,a n,nebojeosudéčíslomenší Věta 310(Cauchy) Kořeny polynomu leží v kruhu { Γ= z C; z 1+η, η= max 0 k n 1 Poznámka3111 η:translaceazměnasouřadnic 331 Hornerovoschema V dalším budeme potřebovat vyčíslení hodnoty polynomu v daném bodě x Vyčíslení polynomu: p n (x)=a 0 + a 1 x+ +a n x n a k a n }

Numerická matematika

Numerická matematika Numerická matematika Jiří Felcman Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta KNM PRESS PRAHA 2009 iv PŘEDMLUVA 1 přednáška 1 felcman@karlinmffcunicz Tel 22191 3392 KNMčdv442 2 Numerická matematika-

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro 1 nebo více pravých stran Výpočet

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Moderní numerické metody

Moderní numerické metody Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Numerická matematika Banka řešených příkladů

Numerická matematika Banka řešených příkladů Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.

NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Numerická matematika. Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou

Numerická matematika. Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou Numerická matematika Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou Václav Bubník, xbubni01, sk. 60 FIT VUT v Brně, 2004 Obsah Numerická matematika...1 1. Teorie... 3 1.1 Diferenciální

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojmy: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocniny neznámé x, tj. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 = 0, kde n je přirozené

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL

APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012

Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012 Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic

Více

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd 1. Vektorový prostor R n 2. Podprostory 3. Lineární zobrazení 4. Matice 5. Soustavy lineárních rovnic

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA IV STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA IV STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ doc RNDr Josef Dalík, CSc MATEMATIKA IV NUMERICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε c Josef

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit.

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit. 7. ODR POČÁTEČNÍ ÚLOHY Numerické metody 7. ODR počáteční úlohy Průvodce studiem Jen velmi málo diferenciálních rovnic, které se vyskytují při popisu praktických úloh, se dářešit exaktně, a i když dokážeme

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Řešení diferenciálních rovnic

Řešení diferenciálních rovnic Projekt M3 Řešení diferenciálních rovnic 1. Zadání A. Stanovte řešení dané diferenciální rovnice popřípadě soustavy rovnic. i) Pro úlohy M3.1 až M3.12: uveďte matematický popis použité metody sestavte

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Diferenciál a Taylorův polynom

Diferenciál a Taylorův polynom Diferenciál a Taylorův polynom Základy vyšší matematiky lesnictví LDF MENDELU c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 1 / 11 Aproximace funkce v okoĺı bodu Danou funkci

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty 8 MATICE A DETERMINANTY 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice 81 Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a

Více