Numerická matematika

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerická matematika"

Transkript

1 Numerická matematika Jiří Felcman Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta KNM PRESS PRAHA 2009

2 iv

3 PŘEDMLUVA 1 přednáška 1 felcman@karlinmffcunicz Tel KNMčdv442 2 Numerická matematika- anotace Obecná informatika(druh, program, ročník, obor: BI3IOI) 3 Požadavky ke zkoušce státnice(prospěl s vyznamenáním), souborná zkouška sylabus 4 Tituly PhD(projekt + angličtina) RNDr Mgr Bc 5 Studium v zahraničí- ERASMUS 6 Ceny udělované studentům 7 SVOČ 8 Hodnocení učitelů- srozumitelnost 9 Náhrada (Zahraničí) (HONOM 2009) (?Velký pátek?) (Svátek práce) (Den vítězství) 10 Zápočet: pátek 15 května Zkouška: pátek 15 května 2009(Ukončení výuky předmětů, které jsou uvedeny v doporučeném průběhu bakalářského studia pro 6 semestr) část písemná část ústní Práce je částí výzkumného projektu MSM financovaného MŠMT Děkuji panu Michalu Zerolovi, studentu Matematicko-fyzikální fakulty UK v Praze,kterýnapsalvL A TEXupřevážnoučásttohotoučebníhotextuapřispěl tak podstatnou měrou k jeho realizaci Praha, 11 února 2009 J F v

4 vi PŘEDMLUVA Numerická matematika MAI042p1aLS2008/ přednáška Reálné situace, modely, diskretizace, počítačová realizace(fólie) Náměty do cvičení: Zdroje chyb v numerické matematice 2 přednáška Aproximace funkcí, interpolace, aproximace pomoci metody nejmenších čtverců, Lagrangeova báze, existence a jednoznačnost Lagrangeova interpolačního polynomu, chyba Lagrangeovy interpolace Náměty do cvičení: Newtonova báze, monomiální báze, Vandermondova matice a determinant, vyčíslení Lagrangeova interpolačního polynomu v jediném bodě(aitkenovo-nevilleovo schéma), Hornerovo schéma, vyčíslení hodnoty derivace polynomu pomocí Hornerova schématu, počet operací při vyčíslení hodnoty polynomu 3 přednáška Přirozený kubický spline Náměty do cvičení: Konstrukce přirozeného kubického spline, řešitelnost soustavy rovnic pro momenty 4 přednáška Numerická integrace Náměty do cvičení: Symboly o(h) a O(h), substituce při výpočtu určitého integrálu(výpočet koeficientů N-C vzorců), odhad chyby N-C vzorců 5 přednáška Numerická integrace Náměty do cvičení: Rombergova kvadratura, ortogonální polynomy(důkazvěty213),konstrukceortogonálníchpolynomů p 0,p 1,p 2 na[ 1,1], vyjádření polynomu jako lineární kombinace ortogonálních polynomů 6 přednáška Metody řešení nelineárních rovnic Náměty do cvičení: půlení intervalu, metoda sečen, metoda tečen, metoda regula falsi, důkaz lemmatu 33 7 přednáška Metody řešení nelineárních rovnic Náměty do cvičení: důkaz konvergence metody postupných aproximací (věta 37), Newtonova metoda jako speciální případ věty o pevném bodě, Hornerovo schéma pro výpočet derivace,zápis algoritmu Hornerova schématu 8 přednáška Soustavy lineárních rovnic Náměty do cvičení: zápis algoritmu Gaußovy eliminace, počet operací Gaußovy eliminace, 9 přednáška Soustavy lineárních rovnic Náměty do cvičení: Gaußova eliminace jako LU rozklad, LU rozklad obecně, LU rozklad matice 44, číslo podmíněnosti při LU rozkladu 10 přednáška Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Náměty do cvičení: výpočet jedné iterace Gaußovy Seidelovy metody pro matici přednáška Výpočet vlastních čísel matic

5 PŘEDMLUVA vii Náměty do cvičení: motivace výpočtu vlastních čísel matic, aplikace, metody výpočtu vlastních čísel, vlastní čísla symetrických matic, diagonalizovatelnost matic, různé varianty mocninné metody 12 přednáška Numerická integrace obyčejných diferenciálních rovnic Náměty do cvičení: Věta o existenci a jednoznačnosti řešení, soustavy obyčejných diferenciálních rovnic, Taylorův rozvoj funkce více proměnných, odvození Rungeovy Kuttovy metody 2 řádu 13 přednáška Gradientní metody Náměty do cvičení: pojem gradient funkce, motivace gradientních metod, odvození metody sdružených gradientů

6

7 OBSAH Úvod 1 1 Aproximace funkcí v IR 2 11 Lagrangeův interpolační polynom Chyba Lagrangeovy interpolace 5 12 Kubický spline Konstrukce přirozeného kubického spline 7 2 Numerická integrace funkcí Newtonovy-Cotesovy vzorce Složené Newtonovy Cotesovy vzorce Rombergova kvadratura Gaußova kvadratura 16 3 Metody řešení nelineárních rovnic Newtonova metoda Důkaz konvergence Newtonovy metody Řád konvergence Metoda postupných aproximací pro nelineární rovnice Kořeny polynomu Hornerovo schema 24 4 Soustavy lineárních rovnic Podmíněnost matic Gaußova eliminace Pivotace Gaußova eliminace jako faktorizační metoda LU rozklad v obecném případě Vliv zaokrouhlovacích chyb Choleského rozklad QR rozklad 35 5 Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Klasické iterační metody 37 6 Výpočet vlastních čísel matic Mocninná metoda 43 7 Numerická integrace obyčejných diferenciálních rovnic Formulace problému Jednokrokové metody 45 ix

8 x OBSAH 721 Metody typu Runge Kutta 47 8 Gradientní metody Formulace problému 50 Bibliografie 51 Index 52

9 ÚVOD Numerická analýza: Studium algoritmů(jednoznačně definovaná konečná posloupnost aritmetických a logických operací) pro řešení problémů spojité matematiky LN Trefethen, Bulletin IMA 1993 Numerická matematika: realizace matematických modelů na počítači Fyzikální realita matematický model numerické řešení, tj realizace matematického modelu na počítači Validation(solving the right equations) verification(solving the equations right) Literatura k přednášce:(quarteroni et al, 2004),(Ueberhuber, 2000), (Segethová, 2000) Předpokládané znalosti: Rolleova věta, definice normy funkce, definice seminormy, vlastní čísla, báze lineárního vektorového prostoru, Taylorova věta 1

10 1 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Jedna ze základních úloh numerické matematiky: aproximace dané funkce f jinou funkcí ϕ Zadání aproximované funkce- analyticky, nebo je k dispozici tabulkahodnot(x i,f i ),x i,f i IR,i=0,,n,n IN,f i = f(x i )(vizobr 101) tabulkahodnotderivacídourčitéhořáduvuzlech x i Pro funkci f definovanou na uzavřeném intervalu[a, b] uvažujeme dělení intervalu[a,b], a=x 0 < x 1, < x n = b,n Z + = {0,1,}anazývámeho sítí x i, i=0,nnazývámeuzly(ekvidistantní,je-li x i = a+ih,kde h IRje kroksítě) Poznámka 11 Pojem síť se používá obecně v N-rozměrném prostoru, viz např (Feistaueretal,2003,str185):LetΩ IR N beadomainif N=2,thenby Ω h wedenoteapolygonalapproximationofωthismeansthattheboundary Ω h ofω h consistsofafinitenumberofclosedsimplepiecewiselinearcurves For N=3,Ω h willdenoteapolyhedralapproximationofωfor N=3weset Ω h =ΩThesystem D h = {D i } i J,where J Z + = {0,1,}isanindexset and h >0,willbecalledafinitevolumemeshinΩ h,if D i, i J,areclosedline segmentsorclosedpolygonsorpolyhedrons,if N=1or N=2or3,respectively, with mutually disjoint interiors such that Ω h = i J D i Theelements D i D h arecalledfinitevolumestwofinitevolumes D i, D j D h areeitherdisjointortheirintersectionisformedbyacommonpartoftheir boundaries D i and D j If D i D j containsatleastonestraightsegmentora planemanifold,if N=2or3,respectively,thenwecall D i and D j neighbouring finite volumes(or simply neighbours) Požadavky na aproximující funkci ϕ (A) jednoduchý tvar, snadno vyčíslitelná polynom {1,x,x 2,x 3,} trigonometrickýpolynom {1,sin x,cos x,sin2x,cos2x,} racionální funkce exponenciálnífunkce ae bx 2

11 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Obr 101 Interpolační polynom nabývající v daných uzlech předepsaných hodnot Obr 102 Proložení přímky třemi body(ve smyslu nejmenších čtverců) (B) ϕ (j) (x i )=f (j) (x i ), derivací v uzlech) (C) ϕ f malá,kde značínormu i=0,,n,j=0,,c i (rovnosthodnot,event Poznámka 12 Od požadavku(b) někdy upouštíme(proložit třemi body přímku-vizobr102) Nejčastější způsoby aproximace 1 Interpolace-kfunkci fsestrojímefunkci ϕzjistétřídy Msplňující(B) 2 Aproximace metodou nejmenších čtverců- k funkci f sestrojíme funkci ϕ z jisté třídy M splňující(b) ve smyslu nejmenších čtverců diskrétní případ

12 4 APROXIMACE FUNKCÍ V IR n ( w i f(xi ) ϕ(x i ) ) 2 =min i=0 ψ M i=0 n ( w i f(xi ) ψ(x i ) ) 2 kde w i >0,i=0,,njsouzadanáčísla,zvanáváhyNázev nejmenší čtverce je patrný z následujícího příkladu: Příklad13 Prodanéděleníintervalu[a,b]adanékladnéváhy w i uvažujme normu funkce f danou vztahem f := n ( w i f(xi ) ) 2 ϕ Msehledátak,že spojitý případ b a i=0 f ϕ 2 =min f ψ 2 ψ M w(x) ( f(x) ϕ(x) ) 2 dx=min ψ M b a w(x) ( f(x) ψ(x) ) 2 dx wjeváhováfunkce(skorovšudekladnáv[a,b], w L 2 (a,b)definice pojmu skorovšude aprostoru L 2 (a,b)viznapř(feistaueretal, 2003,strana)) 3 Čebyševova(stejnoměrná) aproximace- k funkci f sestrojíme funkci ϕ z jisté třídy M splňující max [a,b] ϕ(x) f(x) max ψ(x) f(x) [a,b] provšechnyfunkce ψ M,kde Mjezvolenámnožinafunkcí 11 Lagrangeův interpolační polynom Hledámepolynom L n stupněnejvýše n(píšeme L n Π n -prostorpolynomů stupně nejvýše n) takový že L n (x i )=f(x i ) i=0,,n, (111) x i -navzájemrůznéuzly,obecněneekvidistantnítakovýpolynomnazveme Lagranegeovým interpolačním polynomem Věta14 Nechť x 0,,x n jsounavzájemrůznéuzlypakexistujeprávějeden interpolačnípolynom L n Π n : L n (x i )=f(x i ) i=0,,n

13 Důkaz 1 Existence Uvažujme polynomy LAGRANGEŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM 5 l i (x)= (x x 0)(x x 1 )(x x i 1 )(x x i+1 )(x x n ) (x i x 0 )(x i x 1 )(x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n ) (tzv Lagrangeovy polynomy) Platí α) l i (x) Π n, 1, i=j, β) l i (x j )=δ ij = (Kroneckerovo delta) 0, i j Položme n L n (x)= f(x i )l i (x) i=0 2 Jednoznačnost Nechť L 1 n,l 2 n Π n splňují(viz(111)) L 1 n(x i )=L 2 n(x i )=f(x i ) i=0,,n Potom L 1 n L 2 n Π n jepolynom,kterýmá(n+1)různýchkořenůpodle základnívětyalgebryje L 1 n L 2 nnulovýpolynom Poznámka 15 Položme Potom platí kde čárka označuje derivaci ω n+1 (x)=(x x 0 )(x x n ) l i (x)= 111 Chyba Lagrangeovy interpolace ω n+1 (x) (x x i ) ω n+1 (x i), Věta16 Nechť f C n+1 (I),kde Ijenejmenšíintervalobsahující x 0,,x n,x a x 0,,x n jsounavzájemrůznéuzly,nechť L n Π n jelagrangeůvinterpolačnípolynomprofunkci fpak ξ I f(x ) L n (x )= f(n+1) (ξ) ω n+1 (x ) (n+1)! (chybalagrangeovyinterpolacevbodě x )

14 6 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Důkaz Pro x = x i jedůkazzřejmýpro x x i uvažujmefunkci: F(x)=f(x) L n (x) t ω n+1 (x) kde t IRPlatí: F(x i )=0 i=0,,n Pro vhodnou volbu t:= f(x ) L n (x ) ω n+1 (x ) (112) platí,že F(x )=0 F mátedy n+2nulovýchbodů(uzly x i abod x )Podle Rolleovy věty: F máaspoň n+1nulovýchbodů, F (n+1) máaspoň1nulovýbod,označmeho ξ F (n+1) (ξ)=0=f (n+1) (ξ) 0 t (n+1)! / ωn+1 (x ) (n+1)! kdejsmevyužilitoho,že(n+1)-níderivace L n jenulováa(n+1)-níderivace ω n+1 je(n+1)!dosadíme-liza tzevztahu(112),dostaneme f(x ) L n (x )= f(n+1) (ξ) ω n+1 (x ) (n+1)! Zkušební otázka 11! Chyba Lagrangeovy interpolace 12 Kubický spline 2 přednáška Definice17 Nechťjedánoděleníintervalu[a,b], a=x 0 < x 1 < < x n = b (x i navzájemrůzné)řekneme,žefunkce ϕ:[a,b] IRjekubickýspline,jestliže 1 ϕ jespojitá( C 2 [a,b]), 2 ϕ [xi,x i+1] jekubickýpolynom,pro i=0,1,,n 1 Poznámka 18 Spline- elastické pravítko používané při stavbě lodí Poznámka 19 Kubický spline je speciálním případem spline k-tého řádu pro k=3důvodemčastéhopoužitíkubickéhosplinejefakt,želidskéokojeschopné rozlišit ještě změny 2 derivace

15 KUBICKÝ SPLINE 7 Poznámka 110 Kubický spline dobře aproximuje funkci, která popisuje tvar s minimální energií Popíšeme-li tvar pružné laťky funkcí y = f(x), potom E(y)= b a y (x) [ 1+(y (x)) 2] 3/2 dx měří její ohybovou energii Lať se deformuje tak, že je tato energie minimální (Hamiltonůvprincip)Dáseukázat,žemezivšemifunkcemizC 2 [a,b]aproximuje kubickýspline ϕ:: ϕ(x i )=f(x i )velmidobřefunkci y,prokterousenabývá minima E(y):min y E(y)=E(y ) Věta111 Nechť f C 2 [a,b]pakprokaždýkubickýspline ϕsplňující platí ϕ(x i )=f(x i ), ϕ f, kde u 2 := i=0,,n, b a u (x) 2 dx, jestliže je splněna některá z následujících třech podmínek: (a) ϕ (a)= 0 = ϕ (b) (b) ϕ (a)=f (a) a ϕ (b)=f (b) (c) ϕ (a)=ϕ (b) a ϕ (a)=ϕ (b) (121) Poznámka 112 (Pozor, ve větě 111 neznačí normu, ale pouze seminormu vsobolevověprostoru H 2 (a,b),kteráseobvykleznačí H 2 (a,b),detailyviznapř (Feistaueretal,2003,page)) Důkaz Viz cvičení k přednášce Důsledek 113 Ve všech třech případech(a),(b),(c) je kubický spline určen jednoznačně 121 Konstrukce přirozeného kubického spline Značení: f i := f(x i ) i=0,,n, ϕ i := ϕ [xi,x i+1] i=0,,n 1, h i := x i+1 x i i=0,,n 1 Kubickýpolynom ϕ i jenaintervalu[x i,x i+1 ]určenčtyřmikoeficientypočet intervalůje n,celkemmámetedyprourčení ϕpočetstupňůvolnosti4npro tyto stupně volnosti sestavíme příslušné rovnice Počet neznámých 4 počet intervalů 4n Početrovnic ϕ(x i )=f(x i ),i=0,,n n+1 spojitost ϕvx i,i=1,,n 1 n 1 spojitost ϕ v x i,i=1,,n 1 n 1 spojitost ϕ v x i,i=1,,n 1 n 1 4n 2

16 8 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Počet rovnic je o dvě menší než počet neznámých Doplníme je proto některou z podmínek(121),(a) (b) Uvažujme např podmínku(121),(a), tj podmínku nulových druhých derivací v krajních bodech Takový spline nazýváme přirozenýmkubickýmsplinemprourčenípřirozenéhokubickéhosplinuhledáme ϕ i ve vhodném tvaru Ukazuje se, že efektivní metoda není založena na vyjádření ϕ i (x)=a i x 3 + b i x 2 + c i x+d i (NEVHODNÉvizcvičení) ani na vyjádření ϕ i (x)=a i (x x i ) 3 +b i (x x i ) 2 +c i (x x i )+d i (MÉNĚVHODNÉvizcvičení) ale na vyjádření pomocí tzv momentů, což jsou hodnoty druhé derivace ϕ v uzlechoznačmeje M i : M i := ϕ (x i ), i=0,,n a předpokládejme, že tyto momenty známe Později ukážeme, jak je určit Platí ϕ i kubickýpolynom ϕ i parabola ϕ i přímka Z předpokladu spojitosti druhé derivace ϕ v uzlech dostáváme M i = ϕ i(x i ), M i+1 = ϕ i(x i+1 ) Jetedy ϕ i přímka,procházejícíbody(x i,m i )a(x i+1,m i+1 )(vizobr121) Integrací odvodíme ϕ i(x)= (x x i) M i+1 x i+1 x i + M i (x x i+1 ) x i x i+1, ϕ i(x)= M i h i (x x i+1 )+ M i+1 h i (x x i ) ϕ i(x)= M i 2h i (x x i+1 ) 2 + M i+1 2h i (x x i ) 2 + A i, ϕ i (x)= M i 6h i (x x i+1 ) 3 + M i+1 6h i (x x i ) 3 + A i (x x i )+B i (122) vhodný rozpis integrační konstanty

17 KUBICKÝ SPLINE 9 ϕ M i i M i+1 x i x i+1 Obr121 Přímka ϕ i Ve vyjádření ϕ i ve tvaru (122) nejprve určíme koeficienty A i,b i, i = 0,,n 1pomocímomentůapotomsestavímerovnicepromomentyVyužijeme k tomu podmínky ϕ i (x i )=f i, ϕ i (x i+1 )=f i+1, i=0,,n 1 (Dvěrovniceprodvěneznámé A i,b i, i=0,,n 1)Dostaneme ϕ i (x i )= M i 6 h2 i+ B i = f i, ϕ i (x i+1 )= M i+1 6 B i =f i M i 6 h2 i, h 2 i+ A i h i + f i M i 6 h2 i= f i+1, A i = f i+1 f i + M i M i+1 h i h i 6 Rovnice pro momenty sestavíme ekvivalentním vyjádřením podmínky spojitosti derivace kubického spline v uzlech: ϕ i 1(x i )=ϕ i(x i ), i=1,,n Připomeňmesitvar ϕ i resp ϕ i 1 ϕ i(x)= M i (x x i+1 ) 2 + M i+1 (x x i ) 2 + A i 2h i 2h i ϕ i 1(x)= M i 1 2h i 1 (x x i ) 2 + M i 2h i 1 (x x i 1 ) 2 + A i 1

18 10 APROXIMACE FUNKCÍ V IR Svyužitímvyjádřenípro A i,resp A i 1 pomocímomentůdostaneme ϕ i 1(x i )=0+ M i h 2 2h i 1+ f i f i 1 + M i 1 M i h i 1 i 1 h i 1 6 = M i h 2 2h i+0+ f i+1 f i + M i M i+1 h i = ϕ i h i 6 i(x i ) Protožekonstruujemepřirozenýkubickýspline,je M 0 = ϕ (x 0 )=0=ϕ (x n )= M n adostávámetak n 1rovnic(i = 1,,n 1)proneznámemomenty M 1,M 2,,M n 1 Tytorovnicelzepřepsatvetvaru ( 6 M hi 1 i 1+ h i 1 + h i h ) i M i + h i 6 6 M i+1= f i f i 1 + f i+1 f i h i 1 h i } {{ } } {{ } h i 1 +h i g i 3 h i 1 Maticový zápis vede na soustavu s třídiagonální maticí h 0+h 1 h h i 1 h i 1+h i h i h n 2 6 h n 2+h n 1 3 M 1 M i 1 M i M i+1 M n 1 Zkušební otázka 12! Konstrukce přirozeného kubického spline = g 1 g i 1 g i g i+1 g n 1 Příklad 114 Pro ekvidistantní dělení s krokem h má matice soustavy tvar 4 1 h Při vyšetřování řešitelnosti této soustavy lze využít následující definici a větu z algebry: Definice115 Řekněme,žematice Atypu n n,n 2jeostřediagonálně dominantní(odd), jestliže a ii > n j=1,j i a ij i=1,,n

19 KUBICKÝ SPLINE 11 Věta116 Nechť A IR nn jeoddpak Ajenesingulární Důkaz pomocí Geršgorinových kruhů, viz(quarteroni et al, 2004, str 184) Ajenesingulární deta 0 rovnicedet(a λi)=0nemákořen λ=0 nula není vlastním číslem matice A Nechť λ je vlastní číslo matice A Ax=λx y:= x x, x :=max x i i Ay= λy y i 1, i 0 :: y i0 =1 j i 0 a i0jy j + a i0i 0 y i0 = λy i0 j i0 a i0jy j = λ ai0i 0 y i0 λ a i0i 0 ai0j j i 0 (Geršgorinůvkruhostředu a i0i 0 apoloměru ai0j ) j i 0 Kdyby λ=0bylovlastnímčíslem a i0i 0 ai0j j i 0 SporsODD λ=0tedynenívlastníčísloamatice Ajenesingulární Matice soustavy rovnic pro momenty je ODD, soustava je tedy podle výše uvedené věty jednoznačně řešitelná a protože matice soustavy je třídiagonální, lze pro řešení použít např Gaußovu eliminaci

20 2 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ 3 přednáška Nechťjedánoděleníintervalu[a,b], a x 0 < x 1 < < x n b(x i navzájemrůzné)označme h=max i {0,,n 1} x i+1 x i Vzorec Cíl: I(f)= b a f(x)dx I h (f)= I h (f)= n α i f(x i ) i=0 n α i f(x i ) (201) senazývákvadraturníformule, α i jsoukoeficientykvadraturníformuleax i jsou uzly kvadraturní formule Motivace hledání aproximace určitého integrálu ve tvarulineárníkominacehodnotfunkce f vuzlech x i jezřejmáznásledujícího odstavce 21 Newtonovy-Cotesovy vzorce Prodané n IN uvažujmeekvidistantníděleníintervalu[a,b]skrokem h= b a n, x i = a+ih, i=0,,naproximujeme-lifunkci f Lagrangeovýminterpolačnímpolynomem L n prouzly x 0,,x n,lzeurčitýintegrálzfunkce f aproximovat následujícím způsobem: b a n f(x i ) i=0 b a f(x)dx b a i=0 L n (x)dx= l i(x) { }} { (x x 0 )(x x i 1 )(x x i+1 )(x x n ) (x i x 0 )(x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n ) dx= i=0 b n l i (x)dx f(x i ) (211) a } {{ } α i Tento vzorec nazýváme pro ekvidistantní uzly Newtonův-Cotesův Pro výpočetkoeficientů α i použijemenásledujícísubstituci 12

21 NEWTONOVY-COTESOVY VZORCE 13 subst x=a+th x i = a+ih, h= b a n α i := b a n j=0,j i (x x j ) (x i x j ) dx= b a n n 0 n j=0,j i (t j) dt (212) (i j) ZkonstrukceLagrangeovyinterpolace L n funkce f Π n plyne,že L n (x)= f(x),atedyn-cvzorecjepřesnýpropolynomystupněnejvýšentonásvede k následující definici Definice21 Řekneme,žekvadraturníformule n i=0 α i f(x i )mářádpřesnosti m,jestliže m IN {0}jemaximálníčíslotakové,že b a p(x)dx= n α i p(x i ) p Π m (213) i=0 Zkušební otázka 21 Řád kvadraturní formule Lemma22 Je-likvadraturníformule n i=0 α i f(x i )symetrická,tjpro i= 0,,nplatí b x n i = x i a, α i = α n i, aje-lijejířád n, nsudé,pakjejejířád n+1 Lemma 23 Newtonův-Cotesův vzorec je symetrická kvadraturní formule Důsledek24 Pro nsudéjeřádn-cvzorce n+1 Zkušební otázka 22 Odvoďte Newtonův-Cotesův vzorec Lemma 25 (Odhad chyby lichoběžníkového pravidla) Nechť f C 2 [a,b]označme T h (f)n-cvzorecpro n=1(lichoběžníkové pravidlo)pak ξ [a,b],::(přiznačení I(f)= b a f(x)dx) I(f) T h (f)= f (ξ) 2 h3, h=(b a) (214) 6 Lemma 26 (Odhad chyby Simpsonova pravidla) Nechť f C 3 [a,b] Označme S h (f) N-C vzorec pro n = 2 (Simpsonovo pravidlo)pak ξ [a,b],:: I(f) S h (f)= h5 90 f (ξ), h= (b a) (215) 2

22 14 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ Definice 27 (zbytek kvadraturního vzorce) Rozdíl kde I(f)= b nazýváme zbytek kvadraturního vzorce E h (f)=i(f) I h (f), a f(x)dx, I h (f)= 211 Složené Newtonovy Cotesovy vzorce n α i f(x i ), Newtonovy Cotesovy vzorce lze také aplikovat tak, že interval[a, b] rozdělíme na mekvidistantníchsubintervalů[x i,x i+1 ]velikosti H anakaždémztěchto subintervalů použijeme Newtonův Cotesův vzorec pro n ekvidistantních uzlů x i = x i0 < < x in = x i+1 skrokem h x i = a+ih, H= b a m, i=0,m, x i j = x i + jh, h= H n I(f):= m 1 i=0 xi+1 x i m 1 f(x)dx Ih(f)= i i=0 i=0 m 1 i=0 j=0 m,n IN n α ij f(x ij )=: I h (f) Věta28 (složené N-C vzorce) Nechť f C n+1 [a,b] Pak pro složené N-C vzorce platí I(f) I h (f) ch n+1, (216) kde c >0jekonstantanezávislánah Důkaz plyne z odhadu chyby Lagrangeova interpolačního polynomu 22 Rombergova kvadratura Výpočet b f(x)dxpomocísloženéholichoběžníkovéhopravidlapro n+1uzlů a m=n, H= b a m, h=h Věta29 (Eulerova-MacLaurinova)Nechť f C 2N+2 [a,b], h= b a n, n IN Potomprosloženélichoběžníkovépravidlo(označmeho CT h (f))platí: CT h (f)=p(h 2 )+O(h 2N+2 ) (221) = I(f)+a 1 h 2 + a 2 h 4 + +a N h 2N + O(h 2N+2 ), (222) kde p Π N, p=p(t)=a 0 + a 1 t+ +a N t, a 0 = p(0)= b a f(x)dx=i(f)

23 Důkaz viz Stör Numerische Mathematik I ROMBERGOVA KVADRATURA 15 Rombergovakvadratura:konstruujemelineárníkombinacivzorců CT h (f)pro vhodné h tak, abychom získali vzorec, který je přesnější: CT h (f)=i(f)+a 1 h 2 + O(h 4 ) / 1 h 2 CT h(f)=i(f)+a O(h4 ) /4 4CT h(f) CT h (f) 2 3 = I(f)+O(h 4 ) link=i(f)+chyba (N=1) Vhodnou lineární kombinací vzorců, z nichž každý aproximuje integrál I(f) s chybou O(h 2 ), jsme tak odvodili vzorec, který aproximuje integrál I(f) s chybou O(h 4 )Zapředpokladudostatečnéhladkostifunkce f (vizeulerova MacLaurinova věta) můžeme tímto způsobem odvodit vzorec, který aproximuje integrál I(f)schybou O(h 2N+2 )Všimněmesinapř,jakourolihrajevtomto postupuvyčíslenílagrangeovainterpolačníhopolynomu L 2 prouzly h2, CT h zapsanéhovetvaru L 2 (0)+b 1 t+b 2 t 2 (předpoklá- ahodnoty CT h 4 dáme h <<1), CT h 2 16, h 2 4, h2 Euler MacLaurin Lagrange CT h (f)=i(f)+a 1 h 2 + a 2 h 4 + O(h 6 )=L 2 (0)+b 1 h 2 + b 2 h 4 (223) h CT h(f)= I(f)+a a 2 h h 2 O(h6 ) = L 2 (0)+b b 2 (224) 16 h CT h(f)= I(f)+a a 2 h h 2 O(h6 ) = L 2 (0)+b b h 4 2 (225) 256 link = I(f)+0+0+O(h 6 ) = L 2 (0)+0+0 (N=2) kde L 2 (t)= b 0 }{{} L 2(0) +b 1 t+b 2 t 2 jelagrangeůvinterpolačnípolynomprotabulku h link CT h 4 (f) CT h 2 h 2 4 h 2 (f) CT h (f) Závěr: L 2 (0)aproximuje b a f(x)dxschybou O(h6 )Přikonstrukci L 2 (0)se jedná o tzv Richardsonovu extrapolaci Uvedený postup lze provést až do řádu 2N+2prouzly( h 2 i ) 2 ahodnoty CT h 2 i, i=0,,n,pomocínichžkonstruujeme L N Problém: Vyčíslení Lagrangeova interpolačního polynomu v jediném bodě (zde konkrétně v 0) aniž bychom Lagrangeův interpolační polynom sestavovali Zde nepotřebujeme tvar Lagrangeova interpolačního polynomu, ale pouze jeho hodnotu v jediném bodě K tomu se používá Aitkenovo Nevilleovo schéma h 4

24 16 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ Zkušební otázka 23! Odvoďte Rombergův kvadraturní vzorec, který aproximuje hodnotu b a f(x)dxschybou O(h4 )Vysvětlete význam Lagrangeova interpolačního polynomu při konstrukci Rombergova kvadraturního vzorce 23 Gaußova kvadratura 4 přednáška Víme,žeN-Cvzorcemajířádaspoň n(pro nsudédokonceaspoň n+1) Jakéhořádumůžebýtformuletypu n i=0 α if(x i )?Uvažujmeprodanédělení intervalu[a,b], a x 0 < < x n bkvadraturníformuli I h (f)= n α i f(x i ) (231) i=0 Lemma 210 (Řád kvadraturní formule) Řád kvadraturní formule(231) je nejvýše2n+1 Důkaz Uvažujmepolynom p(x)= n i=0 (x x i) 2 Π 2n+2 Tentopolynomje nezápornáfunkcenaintervalu[a,b]aplatíproněho b a p(x) >0 Kvadraturní formule typu(231) dává pro tento polynom n α i p(x i )=0 i=0 Propolynom pnenítedykvadraturníformule(231)přesnáajejířádjetedy nejvýše2n+1 Gaußova kvadratura je způsob konstrukce vzorce n i=0 α if(x i ), který je přesný pro všechny polynomy stupně nejvýše 2n + 1 Definice 211 (skalární součin polynomů) Skalární součin v C[a, b] je definován (u,v)= b Definice 212 Množina normovaných polynomů a u(x)v(x) dx (232) Π n = {p Π n ; p(x)=x n + a n 1 x n 1 + +a 0 } (233) Myšlenka konstrukce Gaußovy kvadratury: x i (uzly): kořenypolynomu p n+1 zmnožinyortogonálníchpolynomů {p 0,p 1,,p n+1 }, b α i (koeficienty): určíme tak, aby a q(x)dx = n i=0 α iq(x i ) q Π 2n+1

25 GAUßOVA KVADRATURA 17 Věta213 (Ortogonálnípolynomy)Existujíjednoznačněurčenépolynomy p i, pro které platí 1 p i Π i, i IN {0}, (p i,p j )=0, i j, (pozn p 0 (x)=1) 2 Kořeny x 0,,x n polynomu p n+1, n IN {0},jsoureálné,jednoduché aležív(a,b) 3 p 0 (x 0 ) p 0 (x 1 ) p 0 (x n ) p 1 (x 0 ) p 1 (x 1 ) p 1 (x n ) A= p n (x 0 ) p n (x 1 ) p n (x n ) je nesingulární Důkaz viz cvičení k přednášce Svyužitímortogonálníchpolynomů p 0,,p n+1 akořenů x i polynomu p n+1 určímekoeficienty α i Gaußovykvadraturníformuletak,abyplatilo: b a q(x)dx= n α i q(x i ), q Π 2n+1 (234) i=0 Ktomuvyjádřímepolynom qvetvaru q(x)=r(x)p n+1 (x)+s(x), r,s Π n, (dělenípolynomu qpolynomem p n+1 )apolynomy r(x),s(x) Π n vyjádříme jako lineární kombinaci ortogonálních polynomů(existence takového vyjádření viz cvičení k přednášce), specielně nechť s(x)= n γ j p j (x) Nazákladětohotovyjádřenímávýraznalevéstraněv(234)tvar j=0 = b a b a b q(x)dx= r(x)p n+1 (x)dx+ a } {{ } =0 n γ j p j (x)dx= j=0 b a n j=0 γ j b a s(x) dx =1 { }} { p 0 (x) p j (x)dx

26 18 NUMERICKÁ INTEGRACE FUNKCÍ = n b b b γ j p 0 (x)p j (x)dx=γ 0 p 0 (x)p 0 (x)dx=γ 0 dx j=0 a Levástranav(234)jetedyrovna a γ 0 (b a) Pravá strana v(234) má na základě výše uvedených vyjádření tvar n n n α i [r(x i )p n+1 (x i ) +s(x i )]= α i γ j p j (x i ) } {{ } i=0 i=0 j=0 =0 Vidíme, že levou a pravou stranu v(234) lze tedy vyjádřit jako lineární kombinacíjistýchvýrazůskoeficienty γ j γ 0 (b a)+ γ γ n 0 n n n = γ 0 p 0 (x i )α i + γ 1 p 1 (x i )α i + +γ n p n (x i )α i i=0 i=0 Porovnánímvýrazůukoeficientů γ j nalevéapravéstranědostanemerovnice prourčeníhledanýchkoeficientů α i : n i=0 p 0(x i )α i = (b a) p 0 (x 0 ) p 0 (x n ) n i=0 p 1(x i )α i = 0 p 1 (x 0 ) p 1 (x n ) n i=0 p n(x i )α i = 0 p n (x 0 ) p n (x n ) i=0 a α 0 α 1 α n = b a 0 Zhlediskastabilityjevýhodné,žekoeficienty α i Gaußovakvadraturního vzorce n i=0 α if(x i )jsoukladné Věta214 (pozitivita α i ) Koeficienty α i Gaußova kvadraturního vzorce jsou kladné Důkaz Položme: 0 < p k (x)= b a n i=0,i k (x x i ) 2 Π 2n n p k (x)dx= α i p k (x i )=α k p k (x k ) } {{ } i=0 >0 α k kladné k=0,1,,n Zkušební otázka 24! Odvoďte Gaußův kvadraturní vzorec řádu 2n + 1 na intervalu[a, b] Odvoďte Gaußův kvadraturní vzorec řádu 3 na intervalu[ 1, 1] (uvažujteortogonálnípolynomy {1,x,x } 0

27 3 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Nechť je dáno nelineární zobrazení 5 přednáška F:IR N IR N Hledáme α:: F(α)=0 Metody pro řešení výše uvedené úlohy jsou většinou iterační Cíl je generovat posloupnost {x (k) }takovou,želim x (k) = α,kde F(α)=0 31 Newtonova metoda Problém F(x)=0nahradímeposloupnostílineárníchproblémů L k (x)=0, L k : IR N IR N,k=0,1,,takových,žejejichřešenítvoříposloupnostkonvergující křešeníproblému F(x)=0 α x k+1,kde L k (x k+1 )=0 Nechť x (0) jedáno(pozdějiukážeme,jakhovolit)prodanouaprixamaci x (k) uvažujeme L k (x)jakolineárníčásttaylorovarozvojezobrazení Fvbodě x (k) IR N (J(x)značíJakobihomaticizobrazeníFvbodě x): F(x)=F(x (k) )+J(x (k) )(x x (k) ) +O( x x (k) 2 ) } {{ } L k (x) (za předpokladu dostatečné hladkosti zobrazení F) Nelineární problém nahradíme problémem lineárním {F(x)=0} {F(x (k) )+J(x (k) )(x x (k) ) =0(311) } {{ } L k (x) řešení αnelinpb aproximujemeřešením x (k+1) linpb (312) α x (k+1) := x (k) J 1 (x (k) )F(x (k) )(313) Vzorecv(313),kterýmjedefinována(k+1)-níaproximace x (k+1) řešení nelineárního problému je formální, ve skutečnosti se inverzní matice nepočítá a algoritmus má následující dva kroky: Algoritmus: 19

28 20 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 1 J(x (k) )(x x k ) } {{ } δx (k) = F(x(k) )-řešímelineárníúlohupro δx(k) 2 x (k+1) := x (k) + δx (k) -provedemeupdatepředchozíaproximace Pro N = 1(nelineární skalární rovnice pro jednu neznámou) má Newtonova metoda názorný geometrický význam Nelineární funkci f(x) nahradíme lineárnífunkcí(přímkou),kterájetečnoukegrafufunkce f vbodě(x (k),f(x (k) ) (mátedysměrnici f (x (k) )aprocházíbodem(x (k),f(x (k) ))Vtomtopřípaděse Newtonova metoda nazývá metodou tečen N=1: x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ), x(0) dáno, f (x (k) ) 0 Zkušební otázka 31! Odvoďte Newtonovu metodu pro soustavy nelineárních rovnic a její algoritmizaci Popište algoritmus v případě jedné skalární rovnice Způsob,jaknahraditfunkci f přímkouprocházejícíbodem(x (k),f(x (k) )) není jediný Další možnosti jsou metoda sečen, jednobodová metoda sečen nebo metoda regula falsi(viz cvičení k přednášce) Poznámka 31 Newtonova metoda je speciálním případem náhrady funkce f lineární funkcí l k (x):= f(x (k) )+(x x (k) )q k, kdesměrnice q k sevolí q k := f (x (k) ) 311 Důkaz konvergence Newtonovy metody Věta32 (KonvergenceNewtonovymetodyprosoustavy)Nechť F C(D),D IR N konvexní,otevřenámnožina,kteráobsahuje α:: F(α)=0Nechť J 1 (α), nechť R >0,c >0,L >0: J 1 (α) c, J(x) J(y) } {{ } L x y } {{ } maticová norma vekt norma x,y B(α,R), kde B(α,R)jekouleostředu αapoloměru RPotom r, x (0) B(α,r), posloupnost 313 je jednoznačně definována a konverguje k α a platí Motivace: N=1 α x (k+1) α cl x (k) 2 (314) x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ) Newtonova metoda

29 Z Taylorova rozvoje dostáváme: NEWTONOVA METODA 21 f(α)=f(x (k) )+f (x (k) )(α x (k) )+ f (ξ)(α x (k) ) 2 2 Zajímánáschyba(α x (k+1) )Chcemeukázat,že α x (k+1) 0Odečtením α od obou stran vzorce pro Newtonovu metodu získáme vyjádření α x (k+1) = α x (k) + f(x(k) ) f (x (k) ) Úpravou Taylorova rozvoje(uvědomíme-li si, že f(α) = 0) dostaneme 0= f(x(k) ) f (x (k) ) +(α x(k) )+ f (ξ)(α x (k) ) 2 2 f (x (k) ) Z předchozích dvou rovnic snadno nahlédneme, že platí α x (k+1) = f (ξ)(α x (k) ) 2 2 f (x (k) ) Předpokládejme nyní, že existuje konstanta c taková, že podíl derivací na pravé straně předchozího výrazu lze odhadnout f (ξ) 2 f (x (k) ) < c ξ x(k) Potom dostaneme ( α x (k+1) α c x (k) 2 ) c c α x (k 1) 2 2 = 1 c ( ) c α x (k 1) 4 1 c ( ) c α x (0) 2 k+1 Pravástranakonvergujeknulepro k + zapředpokladu c α x (0) <1,tjjestližeje x (0) dostatečněblízkokα Pro důkaz konvergence Newtonovy metody pro jednu skalární rovnici jsme tedy využili tyto předpoklady 1 x (0) dostatečněblízko α, 2 f omezenáshora 1 3 f omezenáshora(tjpředpokládáme f (α) 0), které korespondují s předpoklady Věty 32 Jak, to je patrné z následujícího důkazu

30 22 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Důkaz věty32 x (0) zvolímevb(α,r),kde ručímetak,aby J 1 (x (0) )existovala(jinýmislovy, x (0) volímedostatečněblízko α)ktomuvyužijemenásledující tvrzení z algebry: Lemma 33 Důkaz viz cvičení k přednášce Definujme matici A <1 (I A) 1 existujeaplatí (I A) A A:= I J 1 (α)j(x (0) ) kde x (0) zvolímetak(blízko α),aby A <1,konkrétnězvolíme x (0) tak,aby A 1 2 K tomu využijeme předpoklady Věty 32 týkající se odhadu inverze Jacobiho matice v bodě α a lipschitzovskosti Jacobiho matice: A { }} { I J 1 (α)j(x (0) ) = J 1 (α)(j(α) J(x (0) )) cl α x (0) (315) x (0) zvolímetak,abyposlednívýrazv(315) 1 2 Tímdostávámepodmínku na x (0) : α x (0) 1 α cl azároveň x (0) R( platnost podmínky lipschitzovskosti) Pro r dostáváme ( ) 1 r:=min 2cL,R Vmnožine B(α,r)existujepodlevýšeuvedenéhotvrzenízalgebry J 1 (x (0) ) Toplynezevztahů (I A)=J 1 (α)j(x 0 ), (I A) 1 = J 1 (x (0) )J(α) Lze tedy spočítat první iteraci Newtonovy metody a odhadnout její chybu: α x (1) = α x (0) + J ( 1) (x (0) )F(x (0) ) Úpravou Taylorova rozvoje(uvědomíme-li si, že F(α) = 0) dostaneme 0=F(α)=F(x (0) )+J(x (0) )(α x (0) )+ zbytek, 0=J 1 (x (0) )F(x (0) )+(α x (0) )+J 1 (x (0) )zbytek

31 NEWTONOVA METODA 23 S využitím odhadu zbytku Taylorova rozvoje dostaneme odhad zbytku { }} { α x (1) J 1 (x (0) 1 α ) 2 L x (0) 2 a důkaz dokončíme pomocí odhadu normy inverzní matice J 1 (x (0) ) = J ( 1) (x (0) } {{ )J(α) J ( 1) 1 (α) c 2c } 1 A (I A) }{{} Pro odhad chyby máme tedy vztah α x (1) α cl x (0) 2 ( ) = cl α x (0) α x (0), } {{ } 1 2 z něhož plyne dále indukcí konvergence Newtonovy metody Zkušební otázka 32 Dokažte větu o konvergenci Newtonovy metody Poznámka 34 Modifikace Newtonovy metody: Jacobihomaticeseneměnípro p 2kroků nepřesné řešení soustavy lin rovnic vyčísleníjacobihomaticepomocídiferencí f (x) f(x+h) f(x) h 312 Řádkonvergence 6 přednáška Definice 35 (řád konvergence iterační metody pro řešení F(x) = 0) Řekneme, žeposloupnost {x (k) }generovanánumerickoumetodoukonvergujekαsřádem p 1,pokud c >0 α x (k+1) α x (k) p c k k 0 V takovém případě se numerická metoda nazývá řádu p Věta 32 říká, že Newtonova metoda je kvadraticky konvergentní, α x (k+1) α cl x (k) 2, pokudje x (0) dostatečněblízko αapokudje J(α)nesingulární

32 24 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 32 Metoda postupných aproximací pro nelineární rovnice Metoda postupných aproximací je založena na faktu, že pro dané zobrazení F: M IR N IR N jevždymožnétransformovatproblém F(x)=0naekvivalentní problém x φ(x)=0,kdepomocnáfunkce φjevolenatak,aby φ(α)=αprávě když F(α)=0Nalezenínulovýchbodůzobrazení Fsetakpřevedenanalezení pevného bodu zobrazení φ, které se realizuje pomocí následujícího algoritmu: Dáno x (0), x (k+1) := φ(x (k) ), k 0 Definice36 (kontrahujícízobrazení)řekneme,žezobrazení G:D IR N IR n jekontrahujícína D 0 D,jestliže L <1:: G(x) G(y) L x y x,y D 0 Věta37 (větaopevnémbodě)nechť G:D IR N IR N kontrahujícína uzavřenémnožině D 0 D, G(x) D 0 x D 0 Pak Gmáprávějedenpevný bodtentobodjelimitouposloupnosti x (k+1) = φ(x (k) ), x (0) D 0 libovolné Důkaz jednoznačnost, existence(cauchyovská posloupnost, spojitost G), viz cvičení k přednášce Poznámka 38 Newtonova metoda jako speciální případ věty o pevném bodě (Viz cvičení k přednášce) 33 Kořeny polynomu Nalezení lokalizace kořenů v C aproximace kořenů Věta 39(Descartes) Počet kladných kořenů(včetně násobnosti) polynomu p n (α)=a 0 +a 1 x+ +a n x n jerovenpočtuznaménkovýchzměnvposloupnosti a 0,a 1,,a n,nebojeosudéčíslomenší Věta 310(Cauchy) Kořeny polynomu leží v kruhu { Γ= z C; z 1+η,η= max 0 k n 1 Poznámka311 1 η:translaceazměnasouřadnic 331 Hornerovoschema V dalším budeme potřebovat vyčíslení hodnoty polynomu v daném bodě x Vyčíslení polynomu: 1 neefektivní r=1; s=a 0 ; p n (x)=a 0 + a 1 x+ +a n x n a k a n }

33 for i=1to ndo r=r x; s=s+a i r; end for p n (x)=s,početnásobení2n 2 Hornerovo schéma s=a n ; for i=n 1downto0do s=s x+a i ; end for p n (x)=s,početnásobení n KOŘENY POLYNOMU 25 Poznámka312 ZapišmeHornerovoschémaprovyčíslení p n (z)takto: b n = a n ; for i=n 1downto0do b i = b i+1 z+ a i ; end for p n (z)=b 0 Ukážeme,žetentozápisjevhodnýprovyčísleníderivace p n (anásledně použijemenewtonovumetoduprourčeníkořene p n (x))prodělenípolynomu polynomem platí (a n x n +a n 1 x n 1 + +a 0 ):(x z)= a }{{} n x n 1 +(a n 1 + a n z)x n 2 + +b 1 +zbytek } {{ } b n b n 1 p n (x)=q n 1 (x;z)(x z)+b 0 kde q n 1 (x;z)=b n x n 1 + b n 1 x n 2 + +b 1 Je-li zkořen,pak b 0 =0 NyníapliklujemeNewtonovumetodupronalezeníkořenepolynomu p n Newtonovametoda: x (k+1) = x (k) Hornerovo sch { }} { p n (x (k) ) p n(x (k) ) } {{ } Hornerovo sch, x (0) dáno Vzorec, který dostaneme s využitím Hornerova schématu, se nazývá Newtonova- Hornerova metoda: x (k+1) = x (k) p n (x (k) ) q n 1 (x (k) ;x (k) ) Výraz ve jmenovateli dostaneme z následujících vztahů p n(x)=q n 1(x;z)(x z)+q n 1 (x;z),

34 26 METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC p n(z)=q n 1 (z;z), z:= x (k) Algoritmuspronalezeníkořenůpolynomu p n : for m=ndownto1do Najdikořen rpolynomu p m (Newtonovametoda) Vyčíslikoeficienty q m 1 (x;r)(pomocíhornerovaschematu) p m 1 := q m 1 end for Zkušební otázka 33 Odvoďte Newtonovu-Hornerovu metodu nalezení kořene polynomu Poznámka 313 Začít od kořene nejmenšího v absolutní hodnotě(kvůli zaokrouhlovacím chybám) Poznámka314 Restartovatalgoritmus,tjpoužítpůvodnípolynom(je-li r j aproximacekořene r j,jítzpětkp n (x)ahledatnovouaproximacisr (0) j = r j )

35 4 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Hledáme x IR N takové,že Ax=b, A IR NN, A-nesingulární Metody: přímé- konečný předem známý počet kroků pro nalezení řešení iterační- konstruujeme(nekonečnou) posloupnost vektorů konvergujících křešení 41 Podmíněnost matic Matice se nazývá dobře podmíněná, jestliže relativně malé změny v koeficientech způsobí relativně malé změny v řešení Matice se nazývá špatně podmíněná, jestliže relativně malé změny v koeficientech způsobí relativně velké změny v řešení Analýza zaokrouhlovacích chyb- chyby ve výpočtu se obvykle reprezentují chybami ve vstupních datech Vzhledem k zaokrouhlovacím chybám poskytuje numerická metoda přibližné řešení, které splňuje perturbovaný systém Numerická metoda poskytuje(přesné) řešení x + δx perturbovaného systému (A+δA)(x+δx)=b+δb δx lze( zhruba ) odhadnout následujícím způsobem x+δx=(a+δa) 1 (b+δb)=[a(i+ A 1 δa)] 1 (b+δb) =(I+ A 1 δa) } {{ } 1 A 1 (b+δb) nahradíme (I A 1 δa) (x+a 1 δb)=x+a 1 δb A 1 δax A 1 δaa 1 δb } {{ } motivace f(x)= 1 1+x =1+xf (0)+chyba=1+x( 1)+chyba ( ) 1 1+x 1 x δx = A 1 δb A 1 δax, δx A 1 δb + A 1 δa x, 27

36 28 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Závěr: δx x A 1 δb x A 1 A x δb x b + A 1 δa A A + A 1 δa A A δx x A ( A 1 δb } {{ } b + δa ) A číslo podmíněnosti K(A) Poznámka41 NejčastějipoužívanénormyvC N, x C N, A C NN x 1 = x i, i ( ) x 2 = x i 2 x p = ( x =max i i A =sup x 0 A 1 =max j A 2 = i x i p )1 p x i, ρ(a H A)= Euklidova, 1 p <, Ax x, a ij, }{{} i sloupcový součet ρ(aa H ), A H transponovanáakomplzdružená(hermitovská), ρ(b) největší v abs hodnotě vlastní číslo B(spektrální poloměr), A F = a ij 2 Frobeniova, i,j A =max i a ij řádkovýsoučet, j I F = N I =1, Ax A x AB A B sub-multiplikativita 42 Gaußova eliminace Cíl: Ax=b Ux=ˆb, Algoritmus 42 kde Ujehornítrojúhelníková

37 forsloupec j=1to n 1do najdi a pj 0, p {j,,n} if a pj =0 pthen STOP(singularita) else záměna p a j-tého řádku endif forřádek i=j+1to ndo l ij = aij a jj ; for k=j+1to ndo a ik = a ik l ij a jk ; end for b i = b i l ij b j ; end for end for GAUßOVA ELIMINACE 29 u ij, i j jsoupakposledníhodnoty a ij ˆbi jsoupakposledníhodnoty b i Počet operací v j-tém kroku celkem n (2+n)(n 1) Hledání a pj 0 n j+1 j=2 j= 2 n 1 n(n 1) Výpočet l ij n j j=1 j= 2 Výpočet a ik 2(n j) 2 2 n 1 j=1 j2 =2 2n3 3n 2 +n 6 Výpočet b i 2(n j) 2 n 1 j=1 Početoperacíprořešení Ux=ˆb: j=2 n(n 1) 2 Celkovýpočetoperací: 2 3 n3 + O(n 2 ) násobení sčítání (n+1)n 2 n(n 1) 2 Zkušební otázka 41 Zdůvodněte odhad počtu operací v Gaußově eliminaci 421 Pivotace Výpočet l ij = aij a jj valgoritmu42, a jj 0 Částečnápivotace a pj =max l=j,,n a lj (421) Úplnápivotace a pj =max l,m=j,,n a lm (422) Důvod: I když Guaßova eliminace je proveditelná bez záměny řádků a sloupců, mohoumaléhodnoty a jj způsobitvelkéchybyvřešení Příklad 42

38 30 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 6 1 x x x 3 = 15, x 50 x GE= Gaußova eliminace je numericky nestabilní Pivotace je podstatná pro stabilitu elim procesu Ani velké hodnoty pivotů však nejsou zárukou dostatečně přesného řešení Důvod: velké změny v koeficientech Náprava:škálování,dělení i-téhořádku d i = n j=1 a ij,aletotoděleníopět vnáší zaokrouhlovací chyby 43 Gaußova eliminace jako faktorizační metoda Ax=b LUx=b { Ux=ˆb, Lˆb=b 7 přednáška (431) Nechť P j jematice,kterávj-témkrokugaußovyeliminacerealizujezáměnu p-tého a j-tého řádku matice A v Algoritmu 42 j p 1 j = p anechť L j jematice,pomocínížseprovádínulováníprvků j-téhosloupcepod diagonálou = l l l Algoritmus Gaußovy eliminace lze maticově zapsat(ge s částeční pivotací): Označme L n 1 P n 1 L 1 P 1 A=U } {{ } M P= P n 1 P 1,

39 Potom GAUßOVA ELIMINACE JAKO FAKTORIZAČNÍ METODA 31 M= L n 1 P n 1 L 1 P 1 MA=U, MP 1 PA=U, PA=PM } {{ 1 } U, L PA=LU Lze-li provést Gaußovou eliminaci bez záměny řádků a sloupců, dostáváme A=LU (432) Věta43 Nechť A IR nn,aregulárnípakexistujepermutačnímatice P IR nn,nesingulární Ua Lsjedničkaminadiagonále:: PA=LU (433) Algoritmus Matici LvýšeuvedenoudostanemepomocíAlgoritmu42tak,že l ij uložíme do a ij,jejichžhodnotynejsouvgaußověeliminacipotřebaapřipivotacije zaměníme Řešeníúlohy Ax=bvetřechkrocích 1 PA=LU 2 PAx=L }{{} Ux= Pb ˆb Lˆb=Pb 3 Ux=ˆb Měřeníkvalityřešení: r=b A x-reziduum Věta 44 (Odhad rezidua)[prager/oettli] Nechť xjepřibližnéřešení Ax=b, r = b A xreziduumnechťjedáno 0 δa IR nn,0 δb IR n Pak xjepřesnéřešení Ã x= b, kde (434) Ã A δa, b b δb (posložkách) (435) právě když r δa x +δb (436) Důkaz (pouze )

40 32 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Nechť à x= b( xjepřesnéřešeníperturbovanéhosystému)aproperturbace platí odhad à A δa b b δb Ã=A+ A b=b+ b A δa b δb r = b A x = b b }{{} à x + A x b A x b δa x +δb 44 LU rozklad v obecném případě ( ) 1 2 A= 1 2 ( ) 0 1 A= 1 0 ( ) 0 1 A= 0 2! LUrozklad neexistuje LU rozklad LU není jednoznačný Přikonstrukci LUrozkladumatice A IR nn postupujemetak,žepostupně počítáme m-týřádekmatice Ua m-týsloupecmatice L, m=1,npříslušné vzorce odvodíme pomocí vzorce pro násobení matic a ij = A=LU, n l ik u kj k=1 Máme n 2 rovnicprourčeníneznámých l ij, i j a u ij, i j (prvkůdolní trojúhelníkové matice L a horní trojúhelníkové matice U) Počet neznámých je 2(1+n)n/2=n 2 + npředepíšemetedyhodnotyněkterýchprvků,například položíme diagonální prvky matice L rovny jedné Dostáváme následující vzorce pro m=1,,n:

41 LU ROZKLAD V OBECNÉM PŘÍPADĚ 33 m-týřádekmatice U, u mj, j m(křížkyoznačujíjižspočtenéhodnoty, počítáme prvek : j m = } {{ } A n a mj = k=1 1 1 m } {{ } L m 1 l mk u kj = k=1 m-týsloupecmatice L, l im, i > m: m i = } {{ } A n a im = k=1 l mk u kj +1 u mj, u mj =, i } {{ } L m 1 l ik u km = k=1 l ik u km + l im u mm, l im = j } {{ } U m } {{ } U Zkušební otázka 42! Odvoďte vzorce pro konstrukci LU rozkladu matice A Věta45 Nechť A IR nn jeobecnámaticefaktorizace A=LUexistujeaje a 11 a 1k jednoznačná právě když všechny hlavní minory A, tj det, k= 1,,n 1jsounenulové a k1 Věta 46 Je-li matice řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní, tj n a ii a ij, (řádkově) (441) nebo a jj j=1,j i n i=1,i j a kk a ij, (sloupcově) (442) pak LU rozklad existuje Speciálně, je-li matice sloupcově diagonálně dominantní, je l ij 1 i,j=1,,n

42 34 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 441 Vliv zaokrouhlovacích chyb Uvažujeme-lizaokrouhlovacíchyby,faktorizačníprocesprodukujematiceˆL, Û takové, že ˆLÛ= A+δA (443) Lze odhadnout(viz(higham, 1989)) δa nu ˆL Û, 1 nu u= 1 2 ε M, (444) kde B = A znamenámatici n nsprvky b ij = a ij, C Dmávýznam c ij d ij (poprvcích), i,j = 1,naε M jenejmenšíčísločíslotakové,že 1+ε M >1(strojovéepsilon,roundoffunit)Z(444)jevidět(l ij = aij a jj,viz Gaußova eliminace), že přítomnost malých pivotů může způsobit neomezenost pravé strany a v důsledku toho ztrátu kontroly kontroly δa Je tedy vhodné najít odhad δa g(u) A }{{} vhodná funkce Příklad47 NechťˆL 0, ˆL Û 0,pak Û = ˆLÛ Odtud ˆL Û = ˆLÛ = A+δA A + δa A + nu ˆL Û 1 nu a z 444 dostáváme ( ˆL Û 1 nu ˆL Û ) A 1 nu ) 1 A ( 1 2nu 1 nu δa nu A (445) 1 2nu } {{ } g(u) Pivotace umožňuje obdržet odhad obdobný(445) pro libovolnou matici 45 Choleského rozklad Věta48 Prokaždousymetrickou,pozitivnědefinitní(x T Ax >0, x 0, x IR n )matici A IR nn existujeprávějednadolnítrojúhelníkovámatice Ls kladnými prvky na diagonále tak, že platí Důkaz indukcí A=L L T (451) Věta49 Nechť A IR nn jesymetrická,ostřediagdominantní( a ii > j i a ij ), a ii >0,pak Ajepozitivnědefinitní

43 46 QR rozklad QR ROZKLAD 35 Věta410 Kekaždénesingulárnímatici A IR nn existujeortogonálnímatice Q IR nn (QQ T = Q T Q=I)anesingulárníhornítrojúhelníková Rtaková,že A=Q R (461) Poznámka 411 Transformace, která(na rozdíl od LU) nezvyšuje číslo podmíněnosti(k(u) 4 n 1 K(PA))

44 5 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC 8 přednáška Hledáme x IR n :: A IR nn, b IR n,deta 0 Přímé metody(např Gaußova eliminace): pro libovolné plné matice početoperací O( 2 3 n3 ) Nevýhoda: Ax=b (501) a) nevyužívají informaci o struktuře matice(řídkost, blokově diagonální) b) nákladné, je-li n velké c) pro řídké matice mohou být nevhodné(zaplnění) Iterační metody formálně poskytují řešení po nekonečném počtu kroků vkaždémkrokupožadujívýpočetrezidua,výpočetnínáročnost O(n 2 ) mohou soupeřit s přímými metodami, je-li počet iterací k získání řešení s danou tolerancí nezávislý na n nebo menší než n používají se, stačí-li získat řešení pouze s určitou přesností(fyzika model matematický model) Ideaiteračníchmetod:konstrukce {x (k) } x= lim k x(k), kde xjeřešeníax=b (502) Poznámka51 Posloupnost x (0),x (1),,x (k),,jenekonečná,cílemjenalezenířešení x spředepsanoupřesností,tj x x (k) εotázkoujeurčení vhodnéhostoppingkriteria(napřomezenostrezidua b Ax (k) ε) Princip iteračních metod je na základě předchozích aproximací konstrukce nové aproximace takové, že x (k+1) = ϕ(x (k) ), resp x (k+1) = ϕ(x (k),x (k 1),,x (0) ) kde x je hledané řešení Požadavky: x (k+1) xpro k, 36

45 KLASICKÉ ITERAČNÍ METODY 37 rychlá konvergence snadné vyčíslení ϕ(méně operací než matice vektor, řádově O(n)) řešení s předepsanou přesností 51 Klasické iterační metody Idea:větaopevnémbodě Ax=b x=g(x) (511) Prodané x (0) seřešeníhledájakolimitaposloupnosti x (k+1) = G(x (k) ) 1 Richardsonova metoda x=x+b Ax, x=(i A) x+b, } {{ } B R x (k+1) = B R x (k) + b 2 Jacobiho metoda A=E+ D+ F, kde E je ostře dolní trojúhelníková, D je diagonální, F je ostře horní trojúhelníková Ax=b (E+ D+ F)x=b, Dx = (E+ F)x+b, 1 b, f J x = D 1 (E+ F) x+d } {{ } } {{ } B J x (k+1) = B J x (k) + f J 3 Gaußova Seidelova metoda Ax=b (D+ E)x+Fx=b, (D+ E)x = Fx+b, 1 b x = (D+ E) 1 F x+(d+ E) } {{ } } {{ } B GS x (k+1) = B GS x (k) + f GS f GS

46 38 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC Poznámka 52 Porovnejme způsob algoritmizace Jacobiho a Gaußovy- Seidelovy metody K tomu je třeba si nejprve uvědomit, že D 1 X= 1 a 11 1 a 22 1 D 1 a = 33 1 a nn, a 11 a 11 a 11 a 11 a 11 a a 22 a 22 a 22 a 22 a 22 a a nn a nn a nn a nn a nn a nn Vyčíslení inverzní matice v Gaußově-Seidelově metodě se vyhneme následujícím způsobem Na základě vyjádření x (k+1) = (D+ E) 1 F x (k) +(D+ E) 1 b } {{ } } {{ } B GS f GS přepíšeme Gaußovu Seidelovu metodu ve tvaru (D+ E)x (k+1) = Fx (k) + b, Dx (k+1) = Ex (k+1) Fx (k) + b, x (k+1) = D 1 Ex (k+1) D 1 Fx (k) + D 1 b, tj x (k+1) = D 1 E x (k+1) D 1 F x (k) + D 1 b } {{ } f J, (512) x (k+1) = x (k+1) x (k)

47 KLASICKÉ ITERAČNÍ METODY 39 Při použití Jacobiho metody + f J x (k+1) = B J x (k) + f J, tj x k+1 = x k + f J, jetřebasipamatovatcelývektor x (k) provýpočetnovéiterace x (k+1) U metody Gaußovy-Seidelovy se v paměti počítače rezervuje místo pro jediný vektor x (k),najehožmístosepostupněukládajísložkyvektoru x (k+1) jak vyplývá z rozepsání po složkách vztahu(512): x (k+1) i n j=1 a ijx j = b i, i 1 j=1 a ijx j + a ii x i + n j=i+1 a ijx j = b i, a ii x i = i 1 j=1 a ijx j n j=i+1 a ijx j + b i, ( x (k+1) i = 1 a ii i 1 j=1 a ijx (k+1) j ) n j=i+1 a ijx (k) j + bi a ii Dostáváme tak algoritmus Gaußovy Seidelovy metody, který lze vyjádřit následujícím způsobem Vyjdeme z Jacobiho metody a spočtenou složku uložímedo x (k) i anásledněpočítáme x (k+1) i+1,i=1,,n x k+1 i+1 = 4 Metoda SOR(superrelaxační) Ax=(E+ D+ F)x=b, x (k+1) = D 1 Ex (k+1) D 1 Fx (k) + D 1 b, x (k+1) = x (k) + ω( x (k+1) x (k) ), x k + f J

48 40 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC x (k+1) =(1 ω)x (k) + ω x (k+1), x (k+1) = ωd 1 Ex (k+1) + [ (1 ω)i ωd 1 F ] x (k) + ωd 1 b, x (k+1) = ( D 1 ID+ ωd 1 E ) 1 [ (1 ω)d 1 ID ωd 1 F ] x (k) +(D 1 ID+ ωd 1 E) 1 ωd 1 b, x (k+1) =(D+ ωe) 1 [(1 ω)d ωf] } {{ } B SOR +(D+ ωe) 1 ωb } {{ } f SOR (k) x x (k+1) = B SOR x (k) + f SOR Pro výpočty pomocí výše uvedených metod se používá jejich zápis do složek: x (k+1) i = 1 i 1 n a ij x (k) j a ij x (k) j + b i, (Jacobi) a ii a ii x (k+1) i = 1 a ii x (k+1) i = 1 a ii i 1 j=1 j=1 i 1 a ij x (k+1) j j=1 x (k+1) i a ij x (k+1) j = x (k) i j=i+1 n j=i+1 a ij x (k) j + b i, a ii n j=i+1 + ω( x (k+1) i a ij x (k) j + b i, a ii x (k) i ) (Gauß Seidel) (SOR) Zkušební otázka 51! Odvoďte Jacobiho, Gaußovu Seidelovu a SOR metodu prořešeníúlohy Ax=bZapištejematicověarozepsanédosložekbezpoužití inverze matic Uvažujme iterační metodu x (k+1) = Bx (k) + f (513) Definice53 Řekneme,žeiteračnímetoda x (k+1) = Bx (k) + f jekonzistentní s Ax=b,jestliže x=bx+f, kde xjeřešeníúlohy Ax=b Ekvivalentně f=(i B)x=(I B)A 1 b

49 KLASICKÉ ITERAČNÍ METODY 41 Věta54 Nechť x (k+1) = Bx (k) + f jekonzistentnímetodapakposloupnost {x (k) }konvergujekx,kde x splňuje Ax = b,prolibovolné x (0),právěkdyž ρ(b)(spektrálnípoloměrmatice B, ρ(b)=max {λvlč B} λ )jemenšínež1 Důkaz x = Bx + f x (k+1) = Bx (k) + f (podmínkakonzistence), (iteračnímetoda), e (k+1) := x x (k+1) (chybav)(k+1)-níiteraci) Chybuvk-téiteracilzevyjádřitjakosoučin k-témocninymatice Bachyby počáteční aproximace Podle definice limity e (k) = Be (k 1) = B 2 e (k 2) = =B k e (0) x (k) x e (k) 0 Platí e (k) 0 B k e (0) 0 ρ(b) <1 Poslední ekvivalenci dokážeme na základě následující věty z algebry Vyhneme se tak klasickému důkazu pomocí převedení matice B na Jordanův kanonický tvar Lemma55 Nechť A C nn, ε > 0 Pak existuje konzistentní ( Ax A x )maticovánorma A,ε taková,že A A,ε ρ(a)+ε Pokračování v důkazu předchozí věty Nechť ρ(b) <1Potom ε:: ρ(b) <1 εadáleexistuje B,ε :: atedy B B,ε ρ(b)+ε <1 B k B,ε B k B,ε 0 Platí tedy e (k) = B k e (0) B k e (0) B k e (0) 0 Předpokládejme sporem, že ρ(b) > 1 Existuje tedy vlastní číslo λ matice B takové,že λ > 1Zvolmepočátečníaproximaci x (0) tak,že e (0) je vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu λ Potom e (k) = B k e (0) = λ k e (0) Vdůsledkutohotovztahu e (k) nekonvergujeknule(prodanouvolbu x (0) ), protože λ >1

50 42 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC Poznámka56 Lemma55jsmevyužiliprodůkazvztahu ρ(b) <1 B k 0 Obrácená implikace se dokáže snadno Pro důkaz konvergence výše uvedených klasických iteračních metod se využívá řada kritérií, která vycházejí z přímo z vlastností matice A Detaily viz cvičení k přednášce

51 6 VÝPOČET VLASTNÍCH ČÍSEL MATIC 9 přednáška A C nn Hledáme λ C:: x C n, x 0, Ax=λx (601) aplikace: kvantová mechanika, strukturální vibrace, analýza elektrických sítí, analýza numerických metod(výpočet optimálních parametrů relaxačních metod), analýza stability numerických metod pro řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic omezíme se na výpočet dominantního vlastního čísla 61 Mocninná metoda A C nn, Adiagonalizovatelná A=XΛX 1, X= x 1 C nn, x n x i vlastnívektory(ax i = λ i x i ), x i =1Nechť λ 1 > λ 2 λ 3 λ n, λ 1 mánásobnost1pak λ 1 nazvemedominantnímvlastnímčíslem Nechťjedáno q (0) C n, q (0) =1( := 2 -Euklidovská)Konstruujeme posloupnost vektorů q (k) = Aq(k 1) Aq (k 1) = = Ak q (0) Ak q (0) (odtudnázevmocninnámetoda) Je-li A diagonalizovatelná, má matice X za sloupce vlastní vektory matice A Tytovlastnívektoryjsoulineárněnezávisléatvoříbázi C n Lzetedypsát: q (0) = n α i x i, α i C, i=1,,n i=1 43

52 44 VÝPOČET VLASTNÍCH ČÍSEL MATIC Budemeuvažovattakové q (0),prokteré α 1 0Jinakbychomvdalšímpostupu narazilinaproblémdělenínuloudále Ax i = λ i x i pro i=1,,navytkneme-li α 1 λ k 1,dostaneme n q (k) i=1 = α iλ k i x i n i=1 α iλ k i x = α 1λ k 1(x 1 + y (k) ) i α1 λ k 1 x1 + y (k) kde( n i=1 α iλ k i x i= α 1 λ k 1(x 1 + α2λ2 α 1λ x k αnλn 1 α 1λ x k n ) 1 n ( ) k y (k) α i λi = x i α i=2 1 avdůsledkupřepokladu,že λ 1 jedominantnívlastníčíslomatice Aa x i =1, n y (k) = ( ) k α i λi n x i α i=2 1 λ 1 k k α i λ 2 α i=2 1 λ 1 C λ 2 λ 1 } {{ } C Odtud dostáváme λ 1 y (k) 0 pro k Pro k setedysměr q (k) budeblížitsměru x 1 Orychlostikonvergence rozhodujepodíl λ 2 /λ 1 Uvažujme Aq (k) a q (k)h Aq (k) (x H = x T )Ukážeme,že q (k)h Aq (k) λ 1 pro k q (k)h = α 1λ k 1(x 1 + y (k) ) H α 1 λ k 1 x 1 + y (k), Aq(k) = α 1λ k 1(λ 1 x 1 + Ay (k) ) α 1 λ k 1 x 1 + y (k), q (k)h Aq (k) = (α 1λ k 1) 2 (λ 1 + x H 1 Ay (k) + λ 1 y (k)h x 1 + y (k)h Ay (k) ) α1 λ k 2 x1 1 + y (k) 2 λ 1, kdejsmevyužilitoho,že x H 1 x 1 =1 Zkušební otázka 61! Dokažte konvergenci mocninné metody pro výpočet dominantního vlastního čísla matice A Dáleukážeme,že q (k) x 1 Ktomuuvažujme Aq (k) λ 1 q (k) = α 1λ k 1(λ 1 x 1 +Ay (k) ) α1 λ k 1 x1 + y (k) α 1λ k 1(λ 1 x 1 +λ 1 y (k) ) α1 λ k 1 x1 + y (k) = α 1λ k 1(Ay (k) λ 1 y (k) ) α1 λ k 1 x1 + y (k) 0 vdůsledkutoho,že y (k) 0pro k

Numerická matematika

Numerická matematika Numerická matematika Jiří Felcman Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta KNM PRESS PRAHA 2014 iv PŘEDMLUVA 1 felcman@karlinmffcunicz Tel221913392 KNMčdvK458(5042) http://wwwkarlinmffcunicz/~felcman/nmpdf

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,

Více

Numerická matematika Písemky

Numerická matematika Písemky Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Kombinatorická minimalizace

Kombinatorická minimalizace Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11

1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11 LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23

Více

úloh pro ODR jednokrokové metody

úloh pro ODR jednokrokové metody Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat

Více

Čebyševovy aproximace

Čebyševovy aproximace Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu

Více

Numerické metody a statistika

Numerické metody a statistika Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Numerické řešení diferenciálních rovnic

Numerické řešení diferenciálních rovnic Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost

Více

Numerické řešení soustav lineárních rovnic

Numerické řešení soustav lineárních rovnic Numerické řešení soustav lineárních rovnic irko Navara Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky elektrotechnická fakulta ČVUT, Praha http://cmpfelkcvutcz/~navara 30 11 2016 Úloha: Hledáme řešení

Více

Numerická stabilita algoritmů

Numerická stabilita algoritmů Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá

Více

Typy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)

Typy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017) Typy příkladů na písemnou část zkoušky NU a vzorová řešení (doc. Martišek 07). Vhodnou iterační metodou (tj. metodou se zaručenou konvergencí) řešte soustavu: x +x +4x 3 = 3.5 x 3x +x 3 =.5 x +x +x 3 =.5

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

Řešení nelineárních rovnic

Řešení nelineárních rovnic Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS

Více

Numerické řešení soustav lineárních rovnic

Numerické řešení soustav lineárních rovnic Numerické řešení soustav lineárních rovnic Mirko Navara http://cmpfelkcvutcz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 04a http://mathfeldcvutcz/nemecek/nummethtml

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda

Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma

DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze

Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Arnoldiho a Lanczosova metoda

Arnoldiho a Lanczosova metoda Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat

Více

Podobnostní transformace

Podobnostní transformace Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Numerické metody a programování. Lekce 4

Numerické metody a programování. Lekce 4 Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Pomocný text. Polynomy

Pomocný text. Polynomy Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné

Více

s velmi malými čísly nevýhodou velký počet operací, proto je mnohdy postačující částečný výběr

s velmi malými čísly nevýhodou velký počet operací, proto je mnohdy postačující částečný výběr 1. Úvod 1.1. druhy chyb: ch. matematického modelu rozdíl mezi idealizovaným a reálným problémem ch. numerické metody výsledkem nepřesné řešení ch. zaokrouhlovací vystupují současaně 1.. chyba absolutní

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Numerické metody I. Jaro Normy vektorů a matic 1. 2 Nelineární rovnice Metoda bisekce (půlení intervalu) Iterační metody...

Numerické metody I. Jaro Normy vektorů a matic 1. 2 Nelineární rovnice Metoda bisekce (půlení intervalu) Iterační metody... Poznámky k přednášce 1 Numerické metody I Jaro 2010 Tomáš Řiháček Obsah 1 Normy vektorů a matic 1 2 Nelineární rovnice 3 2.1 Metoda bisekce (půlení intervalu).............................. 3 2.2 Iterační

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Numerické metody a programování. Lekce 7

Numerické metody a programování. Lekce 7 Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro 1 nebo více pravých stran Výpočet

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011 Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh   1. cvičení ( ) 2. cvičení ( ) Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 21 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 21 Řešíme následující úlohu: differencovatelnou funkci f : R R známe jen v konečném počtu bodů x 0,

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více