Matematika pro chemické inženýry

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika pro chemické inženýry"

Transkript

1 Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Lineární a nelineární regrese Přednášky ZS Sponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA , 2016

2 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní zkoušce (žádné označení) Řešené příklady k procvičení - dobrovolné Pro studenty, kteří chtějí vědět víc. Tato látka se nebude přednášet, nebude v písemkách, nebude se zkoušet.

3 Obsah 1 Vyhodnocování experimentálních dat Náhodná veličina, distribuční funkce Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny Kovariance náhodných veličin 2 Základy regresní analýzy Základní model lineární regrese Ekvivalentní model Metoda nejmenších čtverců 3 Nelineární regrese 4 Literatura k dalšímu studiu

4 Vyhodnocování experimentálních dat - Při řešení chemicko-inženýrských problémů jsme obvykle schopni odvodit model procesu nebo děje probíhajícího v zařízení, ale... - Často nejsme schopni určit numerické hodnoty parametrů, které v modelu vystupují Z matematického hlediska mohou být modely různé povahy: lineární nebo nelineární algebraické rovnice, obyčejné diferenciální rovnice nebo parciální diferenciální rovnice. Zajímá nás závislost modelu na množině bezrozměrných parametrů. Předpokládáme závislost ve tvaru y = f (x, a), (1) kde x = (x 1, x 2,..., x n) je vektor nezávisle proměnných, a = (a 1,..., a P ) je vektor parametrů, jejichž hodnoty je třeba určit, a y je závisle proměnná (odezva). Předpokládáme, že nezávisle proměnné x i se měří s prakticky zanedbatelnou chybou ve srovnání s chybou měření závisle proměnné y.

5 Náhodná veličina, distribuční funkce Náhodná veličina Náhodná veličina X je reálná funkce, definovaná na množině všech elementárních jevů Ω s hodnotami v R. Je to tedy funkce, která přiřazuje každému náhodnému pokusu ω Ω reálné číslo X(ω). Náhodné veličiny dělíme na diskrétní jejich obor hodnot je konečná nebo spočetná množina, a na spojité jejich obor hodnot je nespočetná množina. Pravděpodobnost, se kterou náhodná proměnná nabývá určité hodnoty nebo je obsažena v určitém intervalu hodnot, se nazývá rozdělení pravděpodobnosti. Základní možnost, jak popsat pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny X, je určit její distribuční funkci. Distribuční funkcí náhodné veličiny X nazveme reálnou funkci F(x), x R, definovanou vztahem F(x) = P(X x). Tedy hodnota distribuční funkce v bodě x je pravděpodobnost toho, že náhodná veličina X bude mít hodnotu menší nebo rovnou tomuto x.

6 Náhodná veličina, distribuční funkce Příklad Příklad: Hraní rulety Sledujme dva hody kuličkou a pozorujme, kolikrát přitom padne lichá. Diskrétní náhodná veličina X má za hodnoty počet kol, v nichž padlo liché číslo. Prostor elementárních jevů tohoto náhodného pokusu (označíme S sudou a L lichou) má čtyři prvky: ω 1 = SS, ω 2 = SL, ω 3 = LS, ω 4 = LL a náhodná veličina má tyto hodnoty: X(ω 1 ) = 0, X(ω 2 ) = X(ω 3 ) = 1, X(ω 4 ) = 2.

7 Náhodná veličina, distribuční funkce Vlastnosti distribuční funkce Vlastnosti distribuční funkce: 0 F(x) 1, je neklesající, je zprava spojitá, ma konečně nebo nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti lim x F(x) = 0, lim x F(x) = 1.

8 Náhodná veličina, distribuční funkce Pravděpodobnostní funkce Diskrétní náhodná veličina X má konečně nebo nejvýše spočetně mnoho hodnot {x 1, x 2,..., x n,... }. Pravděpodobnosti, že tyto hodnoty náhodná veličina nabude, jsou kladné, tj. P(X = x i ) > 0 a platí pro ně x i P(X = x i ) = 1. Říkáme také, že náhodná veličina X ma rozdělení diskrétniho typu. Funkce p(x) = P(X = x) se nazývá pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny X. Je definovaná pouze na oboru hodnot {x 1, x 2,..., x n,... } náhodné veličiny X a platí p(x i ) > 0, p(x i ) = 1. x i Pravděpodobnostní funkce umožňuje určit distribuční funkci F náhodné veličiny X: F(x) = xi x P(X = x i ) = xi x p(x i ), < x <.

9 Náhodná veličina, distribuční funkce Tedy distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je nespojitá v bodech x 1, x 2,... v každém x i má skok velikosti P(X = x i ), v intervalech x i ; x i+1 ) je vždy konstantní. Spojitá náhodná veličina X má rozdělení pravděpodobnosti spojitého typu, existuje-li nezáporná reálná funkce f (x) taková, že distribuční funkci F(x) lze vyjádřit ve tvaru F(x) = f (t)dt, < x <. Funkce f (x) je definovaná pro všechna reálná x a nazývá se hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Lze ukázat, že takto definovaná distribuční funkce F spojité náhodné veličiny je spojitá pro všechna x a ve všech bodech, v nichž má derivaci, je f (x) = F (x).

10 Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny Číselné charakteristiky náhodných veličin Střední hodnota náhodné veličiny X je charakteristikou její polohy (myšleno ve smyslu polohy hodnot veličiny X na číselné ose), je to jistá průměrná hodnota, kolem níž náhodná veličina náhodně kolísá. Je-li X náhodná veličina s diskrétním rozdělením pravděpodobnosti, která nabývá hodnoty x 1, x 2,... a má pravděpodobnostní funkci p(x), pak její střední hodnota je číslo E(X) = x i x i p(x i ). Je-li X náhodná veličina se spojitým rozdělením pravděpodobnosti a s hustotu f (x), je její střední hodnota číslo E(X) = xf (x)dx.

11 Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny Rozptyl charakterizuje kolísání náhodné veličiny kolem její střední hodnoty. Rozptylem náhodné veličiny X nazveme číslo: D(X) = E(X E(X)) 2. Dosadíme-li do tohoto vztahu vzorec pro střední hodnotu pro veličinu s diskrétním a potom se spojitým rozdělením, dostaneme pro rozptyl: Je-li X diskrétní náhodná veličina, je D(X) = x i (x i E(X)) 2 p(x i ). Je-li X spojitá náhodná veličina, je D(X) = Vždy platí D(X) 0. (x E(X)) 2 f (x)dx.

12 Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny Rozptyl se také značí σ 2. Odmocnině z rozptylu se říká směrodatná odchylka. Tedy σ = D(X). Je-li σ malé, nabývá náhodná veličina s velkou pravděpodobností hodnot, velmi blízkých své střední hodnotě E(X). Rozptyl se často počítá podle vzorce D(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2, tedy pro veličinu s diskrétním rozdělením D(X) = xi 2 p(x i ) (E(X)) 2, x i pro veličinu se spojitým rozdělením D(X) = x 2 f (x)dx (E(X)) 2.

13 Dvojice náhodných veličin Uvažujme dvojici náhodných veličin, někdy říkáme, že tvoří náhodný vektor (X, Y ) nebo také dvourozměrnou náhodnou veličinu. Distribuční funkcí náhodné veličiny (X, Y ) nazveme reálnou funkci F(x.y) definovanou v R 2 vztahem F(x, y) = P(X x, Y y). Střední hodnotou dvourozměrné náhodné veličiny (X, Y ) budeme nazývat dvojici (E(X), E(Y )).

14 Kovariance náhodných veličin Kovariance náhodných veličin Kromě číselných charakteristik jednotlivých náhodných veličin X a Y jsou důležité číselné charakteristiky, které vyjadřují jejich vzájemnou souvislost: Kovariance náhodných veličin X a Y je číslo cov(x, Y ) = E([X E(X)] [Y E(Y )]) cov(x, X) = E([X E(X)] 2 ) = D(X). K výpočtu kovariance slouží nejčastěji vzorec cov(x, Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ), kde E(X Y ) = x i y j x i y j p(x i, y j ). Kovariance je mírou lineární závislosti veličin X a Y. Pro zhodnocení takové závislosti je ale většinou vhodnější tzv. korelační koeficient ϱ(x, Y ), ϱ(x, Y ) = cov(x, Y ) D(X) D(Y ).

15 Kovariance náhodných veličin Kovarianční matice Pro korelační koeficient vždy platí 1 ϱ 1. Například závisí-li Y na X lineárně, tj. Y = ax + b, platí: 1 je-li grafem této závislosti rostoucí přímka, čili a > 0, je ϱ = 1, 2 je-li grafem této závislosti klesající přímka, čili a < 0, je ϱ = 1 Je-li kovariance X a Y rovna nule, je také jejich korelační koeficient roven nule a takové veličiny nazýváme nekorelované. Pro takové veličiny pak platí E(X Y ) = E(X) E(Y ). Matice [ cov(x, X) cov(x, Y ) cov(y, X) cov(y, Y ) ] [ = D(X) cov(x, Y ) cov(y, X) D(Y ) ] se nazývá kovarianční matice dvojice náhodných veličin X a Y. Kovarianční matice je analogie k jednorozměrnému rozptylu náhodné veličiny X.

16 Regresní funkce Funkci η(x) = E(Y (x)) definovanou na definičním oboru A R proměnné x nazveme regresní funkcí. Regresí rozumíme závislost střední hodnoty náhodné veličiny Y (x) na veličině x. Předpokládáme, že známe tvar regresní funkce, a na základě náhodného výběru odhadujeme její neznámé parametry: Vybereme n hodnot x j, j = 1,..., n, x j A, nezávisle proměnné. Pro každé x j napozorujeme (naměříme) realizaci (hodnotu) y j náhodné veličiny Y j : x j, j = 1,..., n, A y j = Y (x j ). Získané dvojice hodnot (x 1, y 1 ),..., (x n, y n) nám poslouží k odhadu neznámých parametrů regresní funkce. Speciální případ: Jednoduchá lineární regresní funkce má tvar η(x) = β 1 + β 2 x, kde β 1, β 2 jsou parametry této funkce, jejichž hodnoty hledáme. Grafem jednoduché lineární regresní funkce je přímka se směrnicí β 2, říkáme, že jde o přímkovou regresi.

17 Základní model lineární regrese Základní model lineární regrese Model lineární regrese by měl splňovat: 1. Regresní funkce η(x) je lineární funkcí tvaru η(x) = p β k f k (x), k=1 kde f k (x) jsou známé funkce a β k, k = 1,..., p, neznámé parametry. Funkce η je lineární vzhledem k parametrům. 2. Hodnotě x j je přiřazena náhodná veličina Y j, pro kterou platí E(Y j ) = η(x j ), D(Y j ) = σ 2, j = 1,..., n, Druhá rovnice znamená, že rozptyl náhodné veličiny Y nezávisí na x j a je tedy konstantní, což může např. znamenat, že všechny realizace y 1,..., y n náhodných veličin Y 1,..., Y n jsou naměřeny se stejnou přesností. 3. Hodnoty nezávisle proměnné x j, j = 1,..., n, nejsou všechny stejné.

18 Základní model lineární regrese 4. Matice F = (f ij ), kde f ij = f i (x j ), i = 1,..., p, j = 1,..., n. má hodnost p. Poznamenejme, že počet n dvojic (x j, y j ) musí být větší než počet neznámých parametrů p, přesněji, mělo by platit n p > Náhodné veličiny Y 1,..., Y n jsou nekorelované, t.j. Maticově zapsáno cov(y i, Y j ) = 0, i, j = 1,..., n, i j. C y = σ 2 E n, kde E n je jednotková matice řádu n, C y je matice kovariance veličin Y 1,..., Y n. Příklad Pro regresní přímku, tj. regresní funkci tvaru η(x) = α + βx je počet neznámých parametrů p = 2 a β 1 = α, f 1 = 1, β 2 = β, f 2 = x.

19 Ekvivalentní model Ekvivalentní model Popsaný model v ekvivalentním tvaru Y j = η(x j ) + ε j = p β k f kj + ε j, j = 1,..., n, (2) k=1 kde hodnoty x 1,..., x n jsou hodnotami nenáhodné proměnné, hodnoty f kj = f k (x j ) splňují podmínku 3. modelu. Pro náhodné chyby ε j, j = 1,..., n, a pro kovarianční matici C ε náhodného vektoru ε = (ε 1,..., ε n) platí E(ε j ) = 0, j = 1,..., n, C ε = σ 2 E n = C y. Rovnici (2) lze zapsat maticově Y = F T β + ε.

20 Metoda nejmenších čtverců Metoda nejmenších čtverců Odhady neznámých parametrů β 1,..., β p v popsaném modelu lineární regrese budeme hledat metodou nejmenších čtverců. Označme tyto odhady b 1,..., b p, což jsou výběrové funkce náhodného výběru Y 1,..., Y n. Minimalizujeme součet čtverců odchylek napozorovaných hodnot y j od středních hodnot η j = η(x j ), tedy součet čtverců Q(β 1,..., β p) = n (y j η j ) 2 = j=1 ( n y j Odhady b 1,..., b p tedy najdeme jako řešení soustavy rovnic j=1 Q β k = 0, k = 1,..., p. Tato soustava se nazývá soustavou normálních rovnic. ) 2 p β k f kj. k=1

21 Metoda nejmenších čtverců Soustavu pro hledané odhady b 1,..., b p zapíšeme v přehledném tvaru kde b 1 S 11 + b 2 S b ps 1p = S 1y b 1 S 21 + b 2 S b ps 2p = S 2y. b 1 S p1 + b 2 S p2 + + b ps pp = S py, S ki = S ky = n f kj f ij, i, k = 1,..., p, j=1 n f kj y j, k = 1,..., p. j=1 Zřejmě S ik = S ki pro i, k = 1,..., p.

22 Metoda nejmenších čtverců Maticově: Je-li y = (y 1,..., y n) T, b = (b 1,..., b p) T, pak normální rovnice lze zapsat ve tvaru F F T b = F y. (3) Podle předpokladu je h(f ) = p, pak také h(f F T ) = p a F F T je typu p p, regulární = existuje (F F T ) 1, a tedy z rovnice (3) lze vyjádřit vektor b : b = (F F T ) 1 F y, vektor b je jednoznačně určen a jeho jednotlivé složky jsou lineárními kombinacemi hodnot y 1,..., y n. Pozor! Výpočet je extrémně numericky nestabilní, viz přednáška Lineární algebra.

23 Metoda nejmenších čtverců Příklad Necht regresní přímka prochází počátkem, η(x) = a x, pak f ij = x a β 1 = a. Označme x = (x 1,..., x n) T, F = (x 1,..., x n). Pak F F T = (x 1,..., x n) (x 1,..., x n) T = n j=1 xj 2 = (FF T ) 1 1 = n j=1 x. j 2 Odhad parametru a je a = (F F T ) 1 F y = ( ) n 1 n x T j=1 x jy j y = j=1 x j 2 n j=1 x. j 2

24 Metoda nejmenších čtverců Příklad Růst ledových krystalů Ledové krystaly byly uloženy do boxu s konstantní teplotou -5 C. Cílem bylo analyzovat růst krystalů jako funkci času. V následující tabulce jsou uvedena naměřená data, y je délka krystalů v mikronech, x je čas v sekundách. Uvedena jsou i opakovaná měření. S využitím přímkové regrese y = β 0 + β 1 x určete parametry β 0 a β 1. x[s] y[mm] x[s] y[mm] , , , , , , , 25, , , 29, , , , 30, , 28, , 36, , 25,

25 Metoda nejmenších čtverců Řešení Experimentální data zapíšeme maticově y = X = , kde y R n je vektor a X R n p matice. Celkový počet měřicích bodů je n = 43 a p reprezentuje počet parametrů, v tomto případě dva: β 0, β 1. První sloupec matice X má v každém řádku jen 1. Počet navzájem různých měřicích bodů je m = 22. Protože se mnoho experimentů opakuje, je m podstatně menší, než celkový počet měřicích bodů n. Označme n i počet měření pro každé x i, i = 1,..., m, přičemž n = m i=1 n i. Parametry modelu můžeme spočítat následovně: b = [ β 0, β 1 ] = (X T X) 1 X T y = Získali jsme model y = x. [ ].

26 Metoda nejmenších čtverců Nejlepší nestranný odhad lineární parametrické funkce Úloha Hledáme nejlepší nestranný odhad lineární funkce parametrů β = (β1,..., β p) T. Uvažujme parametrickou funkci γ = p c k β k = c T β, k=1 kde c = (c 1,..., c p) T je známý nenulový vektor ( c 0). Tvrzení Nejlepším nestranným lineárním odhadem parametrické funkce c T β je výběrová funkce (statistika) g = c T b, kde b je řešením normálních rovnic. E(g) = γ a nejlepší znamená, že rozptyl D(g) je minimální ve třídě nestranných odhadů.

27 Nelineární regrese Cíl: odhad parametrů a 1,..., a n v nelineární empirické formuli y = f (x, a). Budeme minimalizovat součet čtverců odchylek S(a) = m (f (x j, a) y j) 2 m = qj 2 (a), j=1 j=1 kde q j je residuum j tého měřeného bodu. Označme a + bod, v němž součet čtverců S(a) nabývá svého minima. Hodnotu a + hledáme jako limitu tzv. minimizující posloupnosti a k tak, aby platilo S(a k+1 ) < S(a k ).

28 Taylorův rozvoj funkce f (zanedbáme členy vyššího řádu než 1): f (x, a) f (x, a k ) + grad T a f (x, ak ) (a a k ) f (x, a) f (x, a k ) + Vyhodnot me aproximativní formuli n j=1 f (x, a k ) a j (a j a k j ). y f (x, a k ) = n j=1 f (x, a k ) a j a k j. Označme Γ(a) Jacobiovu matici, f (x 1, a) f (x 1, a)... a 1 a 2 Γ(a) =. f (x m, a) f (x 1, a)... a 1 a 2 f (x 1, a) a n. f (x m, a) a n.

29 Hledané řešení: ( 1 + a k = Γ T (a k ) Γ(a )) k Γ T (a k )q(a k ), kde q = (q 1,..., q m). Pomocí + a k vypočteme další iteraci a k+1 = a k + λ + a k, λ (0, 1. První hodnota: λ = 1. Je-li S(a k+1 ) S(a k ), zmenšíme λ. Výpočet provádíme pro Γ T (a k ) Γ(a k ) }{{} + a k = Γ T (a k ) q(a k ). matice n n Proces ukončíme, je-li + a k menší, než zadaná přesnost.

30 Literatura k dalšímu studiu D. R. Cox, Christl A. Donnelly: Principles of Applied Statistics. Cambridge University Press, Kubíček M., Dubcová M., Janovská D.: Numerické metody a algoritmy, VŠCHT Praha, 2005 (second edition). Harvey Motulsky, Arthur Christopoulos: Fitting Models to Biological Data using Linear and Nonlinear Regression. A practical guide to curve fitting. 2003, GraohPad Software Inc. San Diego CA, J. Pavlík a kol.: Aplikovaná statistika. Vysoká škola chemicko-technologická v Praze, Praha Anders Rasmuson, Bengt Andersson, Louise Olsson, Ronnie Andersson: Mathematical Modeling in Chemical Engineering. Cambridge University Press, 2014.

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A AKM - 1-2 CVIČENÍ Opakování maticové algebry Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A 1 1 ( A ) = ( A ) ( A ) = A ( A + B) = A + B 1 1 1 ( AB) = B A, kde A je řádu mxn a B nxk Čtvercová matice

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

STATISTICKÁ VAZBA. 1.1 Statistická vazba Charakteristiky statistické vazby dvou náhodných veličin Literatura 9

STATISTICKÁ VAZBA. 1.1 Statistická vazba Charakteristiky statistické vazby dvou náhodných veličin Literatura 9 STATISTICKÁ VAZBA Obsah 1 Korelační analýza 1 1.1 Statistická vazba.................................... 1 1.2 Motivační příklady................................... 1 1.3 Sdružená distribuční funkce a nezávislost

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných 8. Regresní a korelační analýza Problém: hledání, zkoumání a hodnocení souvislostí, závislostí mezi dvěma a více statistickými znaky (veličinami). Typy závislostí: pevné a volné Pevná závislost každé hodnotě

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

1 Pravděpodobnostní prostor

1 Pravděpodobnostní prostor PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách

13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách 13 Regrese 13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Přitom je třeba vyřešit jednak volbu funkcí k vystižení dané závislosti a dále stanovení konkrétních

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů

Časové řady, typy trendových funkcí a odhady trendů Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Stochastický proces Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2 } se nazývá stochastický proces

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více