Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016

Transkript

1 Pružnost a pevnost 2. přednáška, 10. října 2016 Prut namáhaný jednoduchým ohybem: rovnoměrně ohýbaný prut nerovnoměrně ohýbaný prut příklad výpočet napětí a ohybu vliv teplotních měn příklad nerovnoměrné oteplení

2 Rovnoměrně ohýbaný prut původní délka prutu L

3 Rovnoměrně ohýbaný prut konstantní průře vnější momenty působí poue na koncích poloměr křivosti R M neměněná délka střednice L R M

4 Rovnoměrně ohýbaný prut protažení vlákna L relativní protažení vlákna L L R R M nová délka vlákna L L R R M

5 Rovnoměrně ohýbaný prut relativní protažení vlákna 1 R R 1 R křivost prutu L deformace vlákna je úměrná míře křivení prutu, charakteriované křivostí vdálenosti vlákna od osy prutu (v průmětu do svislé roviny x) deformace se mění po výšce průřeu lineárně

6 Rovnoměrně ohýbaný prut deformace se mění po výšce průřeu lineárně uplatníme Hookeův ákon: E E také napětí se mění po výšce průřeu lineárně M M

7 Rovnoměrně ohýbaný prut podmínka rovnováhy: výslednicí napětí v průřeu musí být moment M M M M

8 Rovnoměrně ohýbaný prut ohybový moment jako výslednice napětí v průřeu těžišťová osa rovnoběžná s osou y y x h b

9 Rovnoměrně ohýbaný prut ohybový moment jako výslednice napětí v průřeu y x h d E b

10 Rovnoměrně ohýbaný prut ohybový moment jako výslednice napětí v průřeu y x d h b d b ohybový moment k těžišťové ose y: příspěvek k momentu: b d h /2 h /2 M b d

11 Vtah mei ohybovým momentem a křivostí E obdélníkový průře h/ 2 h/ 2 M b E b EI 2 d d h/ 2 h/ 2 moment setrvačnosti průřeu k těžišťové ose y I b d b 3 b h /2 h/2 h /2 3 h / h/ 2 h/ 2 bh

12 Vtah mei ohybovým momentem a křivostí E obecný průře max M b E b EI 2 d d min max min moment setrvačnosti průřeu k těžišťové ose y max 2 2 I b d da min A dvojný integrál

13 Vtah mei ohybovým momentem a křivostí M EI ohybový moment ohybová tuhost průřeu EI křivost (charakteriuje deformaci ohybem) modul pružnosti (charakteriuje tuhost materiálu) moment setrvačnosti (charakteriuje geometrii průřeu)

14 Přehled odvoených vtahů pro rovnoměrný ohyb M E I L M EI M EI

15 Základní veličiny a rovnice přemístění vnější síly geometrické rovnice statické rovnice přetvoření materiálové rovnice (fyikální, konstitutivní) vnitřní síly

16 Základní veličiny a rovnice pro rovnoměrně ohýbaný prut EI M L M ohybová tuhost prutu / L (ve stavební mechanice se M M pod pojmem ohybová tuhost obvykle roumí ) 2 EI / L M EI M

17 Hypotéa o achování rovinnosti průřeu

18 Hypotéa o achování rovinnosti průřeu

19 Hypotéa o achování rovinnosti průřeu proatím předpokládáme, že každý průře ůstává i po deformaci rovinný

20 Deformace prutu v rovině

21 Přemístění průřeu v rovině x

22 Přemístění průřeu v rovině x wx x ux x

23 Deformace segmentu prutu elementární segment prutu před deformací po deformaci ohybem x y x x křivost lim d x 0 x dx

24 Přehled vtahů pro jednoduchý ohyb rovnoměrný ohyb M E I L nerovnoměrný ohyb x d dx x x, x Mx x, E x I x M EI M x EI x x

25 Příklad - výpočet napětí a ohybu 50 mm f 200 kn/m 25 mm 400 mm L 4 m 300 mm Zjistěte, ve které oblasti nosníku vniká maximální normálové napětí, a určete jeho velikost.

26 Příklad - výpočet napětí a ohybu 50 mm f 200 kn/m 25 mm 400 mm L 4 m 300 mm Mx x, I x

27 Příklad - výpočet napětí a ohybu 50 mm f 200 kn/m 25 mm 400 mm L 4 m 300 mm f L x f M x x f x Lx x

28 Příklad - výpočet napětí a ohybu 50 mm f 200 kn/m 25 mm 400 mm L 4 m 300 mm max 2 L f L M x M M 2 8 max

29 Maximální napětí a ohybu M I max max max M W max e pružný průřeový modul W např. pro obdélníkový průře e W I e max bh h /12 bh /

30 Vliv teplotních měn obvyklý předpoklad: měna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřeu T h... měna teploty horních vláken T d... měna teploty dolních vláken

31 Vliv teplotních měn obvyklý předpoklad: měna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřeu T h... měna teploty horních vláken T d... měna teploty dolních vláken

32 Vliv teplotních měn obvyklý předpoklad: měna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřeu T h T T... nerovnoměrné oteplení d h T s... měna teploty střednice T d

33 Vliv teplotních měn obvyklý předpoklad: měna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřeu T h T d T h T s T d roklad na dva stavy

34 Vliv teplotních měn obvyklý předpoklad: měna teploty je konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřeu T h T d T h T s T h T s T s T d T s Td Ts

35 Vliv teplotních měn obvyklý předpoklad: měna teploty je měna teploty dolních vláken T d Th T x, Ts h konstantní po délce prutu a lineární po výšce průřeu měna teploty horních vláken měna teploty v obecném bodě měna teploty ve střednici prutu teplotní gradient (spád) po výšce prutu

36 měna teploty: Vliv teplotních měn T d Th T x, Ts h deformace působená měnou teploty: T T x, T x, T h d h T T T s T Ts T poměrné protažení od oteplení v obecném bodě poměrné protažení střednice od středního oteplení Ts křivost od teplotního gradientu T

37 Vliv teplotních měn poměrné protažení střednice je součtem příspěvků odpovídajících normálové síle a střednímu oteplení: s x N x EA x Ts (vi přednáška o tahu-tlaku) podobně křivost střednice je součtem příspěvků odpovídajících ohybovému momentu a teplotnímu gradientu: x M x EI x T M x EI x x T

38 Příklad nerovnoměrné oteplení E T 210 GPa K 6 1 T h 40 K T d 20 K L 4 m 50 mm 25 mm 300 mm 400 mm Zjistěte, jak se nosník pod vlivem nerovnoměrného oteplení deformuje a jaké v něm vniká napětí. Řešte obdobnou úlohu i pro nosník vetknutý na obou koncích.