Statika 2. Vetknuté nosníky. Miroslav Vokáč 2. listopadu ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 2. M.

Transkript

1 3. přednáška Průhybová čára Mirosav Vokáč ČVUT v Praze, Fakuta architektury 2. istopadu 2016

2 Průhybová čára ohýbaného nosníku Znaménková konvence veičin M z x +q +w +ϕ + q... spojité zatížení je kadné ve směru osy z M... kadný ohybový moment táhne doní vákna w... průhyb je kadný ve směru osy z ϕ... natočení průřezu je kadné po směru hodinových ručiček Protože natočení průřezu ϕ je vemi maé, můžeme předpokádat ϕ(x). = tan(ϕ(x)) = w (x). Budeme předpokádat ohýbané nosníky s konstantním průřezem po ceé déce, tj. s konstatní ohybovou tuhostí průřezu.

3 Odvození vztahu pro křivost Předpokádejme prut ohýbaný konstantním ohybovým momentem M. Pro ε(z) ze odvodit: + = 1 1+ε(z) = +z ε(z) = z M z σ(z) + M σ(z) Dosazením do Hookeova zákova získáme: σ(z) = Eε(z) = E z Dosazením do podmínky ekvivaence: M = σ(z) z da = E z 2 da A A Proto můžeme vyjádřit: 1 = M 1... je křivost... je ohybová tuhost průřezu

4 Odvození diferenciání rovnice průhybové čáry z x q(x) ϕ(x) w(x) Křivost funke w(x) je matematicky definována: 1 = w (x) {1+w 2 (x)} 3/2 Protože w(x) pro x 0,, předpokádáme. = w (x), a proto patí: 1 w (x) = M(x) Dáe musí patit Schwederovy věty: M (x) = V(x) V (x) = q(x) : w v (x) = q(x)

5 a průběhy funkcí V(x), M(x), ϕ(x) a w(x) q(x) x z V M ϕ V (x) = q(x) M (x) = V(x) ϕ (x) = M(x) w 4 + w (x) = ϕ(x)

6 Průhyb prostého nosníku přímou integrací z diferenciání rovnice x z q w v (x) = q(x) = q w (x) = V(x) = qx + C 1 w (x) = M(x) = q x2 2 + C 1x + C 2 w (x) = ϕ(x) = q x3 6 + C 1 x2 2 + C 2x + C 3 w(x) = q x C 1 x3 6 + C 2 x2 2 + C 3x + C 4 Integrační konstanty se určí z okrajových podmínek: 1. Pro M(x) patí: M(0) = 0 M() = 0 2. Pro w(x) patí: w(0) = 0 w() = 0 Průhyb uprostřed rozpětí: ( ) w 2 = 5 q 4 384

7 (Mohrovy věty) Reáný (skutečný) nosník q(x) Duání (fiktivní) nosník z x V + 1 V (x) = q(x) q d (x) = M(x) 2 M ϕ w M (x) = V(x) ϕ (x) = M(x) w (x) = ϕ(x) V d M d

8 (Mohrovy věty) 1. Natočení průřezu ϕ(x) na reáném nosníku odpovídá posouvající síe na duáním nosníku V d (x). 2. Průhyb w(x) na reáném nosníku odpovídá ohybovému momentu na duáním nosníku M d (x). 3. Zatížení duáního nosníku odpovídá obrazci ohybového momentu na reáném nosníku redukovaném ohybovou tuhostí průřezu, tj. q d (x) = M(x). 4. Duání nosník musí spňovat okrajové podmínky pro průhybovou čáru de násedující tabuky...

9 Okrajové podmínky pro sestavení duáního nosníku Reáný (skutečný) nosník w = 0 ϕ 0 Duání (fiktivní) nosník M d = 0 T d 0 w = 0 ϕ = 0 w 0 ϕ 0 M d = 0 T d = 0 M d 0 T d 0 w = 0 ϕ L = ϕ P M d = 0 T dl = T dp w 0 ϕ L ϕ P M d 0 T dl T dp

10 Průhyb prostého nosníku Mohrovou anaogií M R d z Reáný nosník F x w =? /2 / F Duání nosník Q d /3 /6 q d Q d Zatížení na duáním nosníku: q d = F 4 Výsednice trojúheníkového zatížení: Q d = q d = 1 F 2 16 Reakce na duáním nosníku: R d = Q d = 1 F 2 16 Průhyb uprostřed rozpětí: w ( ( 2) = ) Md 2 = Rd 2 Q d 6 ( ) w = 1 F

11 Pochy a těžiště některých paraboických obrazců Paraboická úseč t a t a A = 2 3 a A = 2 3 a Paraboický trojúheník t a A = 1 3 a

12 Příkad děení paraboických poch M(x) pro Mohrovu anaogii Reáný nosník q 1 w =? 2 q A q M 2 = 1 2 q2 1 M 3 = A 1 A + B M Duání nosník M 1 = 1 8 q2 2 q d3 = A1 q d1 = q2 2 8 q d2 = q2 1 2

13 Příkad děení paraboických poch M(x) pro Mohrovu anaogii Reáný nosník q A a w 1 =? b M M 1 = Aa 1 2 qa2 M 3 = 1 8 qb2 M 2 = 1 8 qa2 + a 2 a 2 b 2 b 2 Duání nosník q d3 q d2 q d1

14 Příkad Určete průhyb a natočení průřezu pro daný dřevěný trám v předepsaných bodech. F = 2kN Modu pružnosti uvažujte q = 3kNm 1 E = 10 GPa. M 1 + 3m 8 q32 = 3,375kNm Duání nosník q d2 = 3,375 2kNm ϕ =? 1m w =? q d1 = 2 90mm 130mm Moment setrvačnosti průřezu: I y = 1 12 bh3 I y = I y = 16, mm 4

15 Příkad q = 3kNm 1 3m Duání nosník q d2 = 3,375 F = 2kN ϕ =? 1m w =? q d1 = 2 Výsednice zatížení: Q d1 = = 1 Q d2 = 2 3, = 6,75 Q d3 = = 3 Reakce na duáním nosníku: a Q d2 Q d3 B d b b c a : Q d2. 1,5 Q d3. 2 B d. 3 = 0 6,75. 1, B d. 3 = 0 B d = 1,375 B d Q d1

16 Příkad q = 3kNm 1 3m Duání nosník q d2 = 3,375 F = 2kN ϕ =? 1m w =? q d1 = 2 Průhyb w: w = B d Q d1 w = 1, w = 0,708 0,708 w = , w = 4, m a Q d2 Q d3 B d b b c Natočení ϕ: ϕ = B d = 1,375 1,375 ϕ = , ϕ = 8, rad = 0,478 B d Q d1

17 Průhyby prostého nosníku Vzorce pro stanovení průhybů bývají pro různá zatížení tabeovány ve Statických tabukách. Hořejší, J.; Šafka, J. a ko. Statické tabuky. Technický průvodce, svazek 51. Praha : SNTL, Vybrané nejdůežitější případy q w ( ) 2 = 5 q F 2 2 w ( ) 2 = 1 F 3 48

18 Doporučené maximání hodnoty průhybu nosníku Průhyb ohýbaného nosníku nemůže být natoik veký, aby omezova použitenost konstrukce (např. znemožnění otevírání oken naměrným průhybem překadu). Proto jsou v normě doporučené omezení. Maximání hodnota je závisá na typu konstrukce (trám, průvak, konzoa, strop (omítnutý/neomítnutý), střecha, překad, mostní objekt). Různá omezení jsou dána také pro zatížení douhodobá a krátkodobá. Maximání hodnota průhybu je závisá i na materiáu (konstrukce dřevěné, oceové, žeezobetonové a z předpjatého betonu, hiníkové... ) U konstrukcí pozemních staveb se doporučuje maximání hodnota průhybu od (pode typu konstrukce). 200 do 400

19 a pruty typu vetknutí-koub F Nosník typu vetknutí-koub F q q i pruty typu vetknutí-koub ze řešit přímou integrací z difrerenciání rovnice. Výsedkem jsou funkce V(x), M(x), ϕ(x) i w(x). Působí-i na nosník sožka zatížení ve směru osy x, ze řešit staticky neurčitý tah a tak z Hookeova zákona. Reakce v podporách se určí až z průběhů vnitřních si V(x), M(x) a N(x).

20 Příkad vetknutého nosníku F x z a b Nosník rozděíme { na 2 části: w w v v (x) = 1 (x) = 0 pro x 0, a w 2 v (x) = 0 pro x a, Integrujeme oba intervay zvášt : w 1 v(x) = 0 w x 1(x) = C C 12 x2 2 + C 13x + C 14 w 2 v(x) = 0 w x 2(x) = C C 22 x2 2 + C 23x + C 24 Integrační konstanty se určí z okrajových podmínek a podmínek spojitosti: 1. Okrajové podmínky: w 1 (0) = 0 w 2 () = 0 w 1 (0) = 0 w 2 () = 0 2. Podmínky spojitosti: w 1 (a) = w 2 (a) w 1 (a) = w 2 w 1 (a) F = w 2 (a) (a) w 1 (a) = w 2 (a)

21 Příkad nosníku vetknutí-koub q z x Integrací diferenciání rovnice získáme: w v (x) = q w(x) = q x C 1 x3 6 + C 2 x2 2 + C 3x + C 4 Integrační konstanty se určí z okrajových podmínek: 1. Okrajové podmínky pro průhyb: w(0) = 0 w() = 0 2. Okrajové podmínky pro natočení průřezu: w (0) = 0 3. Okrajové podmínky pro ohybový moment: w () = 0

22 a pruty typu vetknutí-koub Moment ve vetknutí pro vybrané typy zatížení Ohybové momenty ve vetknutí bývají pro různá zatížení tabeovány ve Statických tabukách. Hořejší, J.; Šafka, J. a ko. Statické tabuky. Technický průvodce, svazek 51. Praha : SNTL, Vybrané nejdůežitější případy Zatížení prutu Mab a b Mba M ab a b q M ab = M ba = 1 12 q2 M ab = 1 8 q2 F a b M ab = Fab2 2 M ba = Fba2 2 M ab = F ab(+b) 2 2

23 a pruty typu vetknutí-koub Dopněk posouvající síy a M ab a a F F b b M ba b Posouvající sía V(x) se určí jako posouvající sía na prostém nosníku V 0 (x) zvětšená o dopněk posouvajících si V : V(x) = V 0 (x)+ M ba M ab A 0 = F b V B 0 = F a V Dopněk V je na ceém prutu konstantní. Po určení ohybových mometů ve vetknutí, reakcí A = A 0 + V a B = B 0 V jsou známy všechny síy pro výpočet průběhů V(x) a M(x).

24 a pruty typu vetknutí-koub Příkad stanovení průběhu vnitřních si F = 5kN F = 5kN M ab 1 1 3m M ba M ab = M ab = 6, 8 kn m A +7,72 5m B M ba = M ba = 3, 2 kn m ,72 V 6,8 M +0, ,64 2,28 3,2 V = 3,2 ( 6,8) 5 = +0, 72 kn A = , 72 A = +7, 72 kn B = , 72 B = +2, 28 kn

25 Kontroní otázka Předpokad, že průřez oýbaného nosníku zůstává po deformaci rovinný a komý na průhybovou čáru, nazýváme: a) Schwederova věta b) Steinerova věta c) Bernoui-Navierova hypotéza

26 Kontroní otázka Průhyb středu rozpětí prostého nosníku rozpětí L zatíženého spojitým zatížením q po ceé jeho déce se vypočte: a) w = 5 ql b) w = 5 ql c) w = 5 ql 4 384

27 Kontroní otázka w(x) má tvar: a) w (x) = q(x) b) w (x) = q(x) c) w (x) = q(x)

28 Kontroní otázka Pode Mohrovy anaogie odpovídá funkci průhybu na reáném nosníku: a) Funkce spojitého zatížení na duáním nosníku. b) Funkce posouvající síy na duáním nosníku. c) Funkce ohybového momentu na duáním nosníku.

29 Konec přednášky Děkuji za pozornost. Vysázeno systémem L A T E X. Obrázky vytvořeny v systému Å Ì ÈÇËÌ.