Teorie her. Kapitola Základní pojmy Základní pojmy

Transkript

1 Kapitola 1 Teorie her Dosud jsme se věnovali jednokriteriální či vícekriteriální optimalizaci, kde ve všech úlohách byly předem pevně dané podmínky a ty se nijak neměnily v závislosti na našem rozhodnutí. Také jsme uvažovali modely (rozhodování za rizika a nejistoty), kde nebyly podmínky pro rozhodování jisté, neboť závisely ještě na dalších okolnostech, o kterých jsme neměli jistotu, jak dopadnou. V této kapitole se budeme zabývat řešením tzv. konfliktních situací. Jedná se o situace, kdy okolí na naše rozhodnutí může nějakým způsobem zareagovat, udělat nějaké protiopatření, čímž se může zcela změnit naše situace. Typickými příklady konfliktních situací jsou válečné situace, společenské (salónní) hry (z této oblasti byly převzaty i některé pojmy v teorii her), boj o ovládnutí trhu, boj zemědělců s přírodou apod. Příklad 1. Příkladem takové situace z ekonomie je oligopol. Pokud se bude rozhodovat jeden oligopolista sám a nebude brát v úvahu okolí, stanoví svůj objem výroby tak, aby maximalizoval své tržby. Spočítá si své jednotkové náklady závislé na objemu produkce, podle statistik dopočítá, kolik bude jednotkový zisk v závislosti na objemu produkce dodávané na trh (uvažuje, že na trh dodává sám) a odtud stanoví optimální výrobní plán. Pokud bude postupovat takto a nebude brát v úvahu okolí, je na nejlepší cestě skončit s podnikáním. Nevzal v úvahu ostatní oligopolisty. Pokud budou i oni vyrábět, potom se cena na trhu sníží (není sám, kdo dodává stejné zboží) a jeho zisky vůbec nemusí být, pro jím stanovený objem výroby, optimální. 1.1 Základní pojmy Základní pojmy Teorie her pracuje s těmito základními pojmy: hra každá konfliktní situace (v dalším textu se omezíme pouze na hry, které lze matematicky modelovat), hráč aktivní účastník hry, který svým chováním může ovlivnit její výsledek (fyzická nebo právnická osoba, popř. skupina osob se stejnými zájmy), racionální (inteligentní) hráč hráč, který usiluje o optimální výsledek hry indiferentní (neinteligentní) hráč hráč, kterému je výsledek hry lhostejný, strategie hráče možnost chování hráče při hře, množinu všech strategií určitého hráče budeme nazývat prostorem strategií tohoto hráče, výplata hráče kvantitativně vyjádřený výsledek hry, posuzovaný z hlediska uvažovaného hráče; přitom kladná hodnota výplaty představuje skutečný užitek hráče ze hry (je to 1

2 2 KAPITOLA 1. TEORIE HER např. získaná částka peněz, počet bodů apod.), záporná výplata je prohrou; výplata hráče je vždy závislá na volbě strategií všech hráčů, takže ji lze vyjádřit jako funkci uvažovaných strategií. Předpis pro zisk v závislosti na zvolené strategii se nazývá výplatní funkce hráče. Naším cílem je zvolit optimální strategii. Poznámka. Příkladem indiferentního hráče je příroda či nějaká instituce. Naopak každá fyzická osoba je pokládána za racionálního hráče. Obecně, není-li řečeno jinak, či ze zadání jasně nevyplývá, že se jedná o indiferentního hráče (příroda), všechny hráče pokládáme za racionální Klasifikace her dle různých kritérií Hry můžeme z různých hledisek rozdělit do skupin, které se vyznačují stejným nebo podobným způsobem řešení. Podle počtu hráčů rozlišujeme hry dvou hráčů a více hráčů. Podle součtu výplat všech hráčů rozlišujeme hry s konstantním součtem (antagonistický konflikt) a nekonstantním součtem (neantagonistický konflikt). Zvláštním případem her s konstantním součtem jsou hry s nulovým součtem. Poznámka. Většina salonních her jsou hry s nulovým součtem hráči vloží nějakou částku do banku a tuto částku si následně rozdělí dle výsledku hry. V takovém případě je součet výplat všech hráčů nulový. Naopak příkladem hry s nekonstantním součtem jsou např. situace na trhu, podle toho, jak se zachovají hráči, vnější činitelé (kupující), vloží různou částku do hry (investují). Hry dvou hráčů s konstantním, ale nenulovým součtem výplat lze převést na hry s nulovým součtem. Způsob řešení je tedy stejný, viz řešený příklad 1.4. U neantagonistických konfliktů musíme rozlišit, kdy hráči spolupracují a kdy ne. Jde o tzv. kooperativní a nekooperativní hry. Podle velikosti prostoru strategií rozlišujeme hry konečné, kde prostor strategií každého hráče je konečný (tj. každý hráč má jen konečný počet všech možných strategií). Jestliže alespoň jeden z hráčů má k dispozici nekonečný počet strategií, uvažovaná hra je nekonečná. Poznámka. Častou aplikací nekonečných her jsou hry, ve kterých hráči hledají nejvhodnější okamžik k provedení určité akce. Řada námětů pro tento typ her je vojenského charakteru. Podle informace, kterou mají hráči k dispozici. U konfliktů, v nichž strategie hráčů jsou tvořeny posloupností tahů, rozlišujeme hry s úplnou informací (hráči mají před každým tahem přesnou informaci o všem, co se dosud ve hře dělo) a hry s neúplnou informací (informace o dosavadních tazích hráčů jsou jen částečné). Poznámka. Příkladem hry s úplnou informací jsou šachy. Charakter her s neúplnou informací má většina karetních her. Podle informací o důsledku volby dělíme hry na deterministické (pokud zvolíme strategii, víme přesně, kolik získáme v závislosti na tom, jakou strategii zvolí protihráč) a stochastické (do hry vstupuje náhoda zvolíme-li danou strategii, náš zisk má nějaké pravděpodobnostní rozdělení). Poznámka. Příkladem deterministických her jsou hry karetní, hra Kámen-Nůžky-Papír aj. Zvolí-li hráči své strategie, pravidla udávají, jaký bude výsledek (kdo kolik vyhraje). Naopak příkladem stochastických her může být situace na trhu, kde po zvolení strategií všech prodávajících se jejich zisky řídí nějakým pravděpodobnostním rozdělením (nemůžu dopředu určit, kolik přesně přijde zákazníků). (Stochastické hry se často pro jednoduchost snažíme řešit nějakým vhodným deterministickým modelem.)

3 1.1. ZÁKLADNÍ POJMY 3 Podle racionality hráčů dělíme hry na hry racionálních hráčů a hry hrané proti přírodě, kde předpokládáme, že jeden hráč je indiferentní. Podle způsobu řešení dělíme hry na hry řešené v ryzích strategiích a na hry řešené ve smíšených strategiích. To je vlastně rozlišení případů, kdy dáme návod, kterou strategii vybrat a případů, kdy vybíráme různé strategie s různými pravděpodobnostmi. Neuvedeme-li jinak, uvažujeme ryzí strategie. Podle počtu realizací hry dělíme hry na jednotahové a vícetahové Používaná symbolika Abychom mohli naše teorie srozumitelně zapisovat, budeme používat následující (běžné) značení: X Y x y f 1 (x, y) f 2 (x, y) prostor strategií 1. hráče, prostor strategií 2. hráče, strategie prvního hráče (v případě konečného počtu (m) strategií prvního hráče, můžeme značit x i, kde i = 1... m), strategie druhého hráče (v případě konečného počtu (n) strategií druhého hráče, můžeme značit y j, kde j = 1... n), výplatní funkce prvního hráče, výplatní funkce druhého hráče. Hra je dána výčtem strategií jednotlivých hráčů a výplatními funkcemi. Smysl značení si ukážeme na následujícím příkladu. Příklad 2. Uvažujme hru o jednom tahu, ve které hráč A volí mezi dvěma čísly 1 a 2 a hráč B rovněž volí mezi dvěma čísly 1 a 2. Při výplatě dostává hráč A od hráče B 1 Kč v případě, jsou-li zvolená čísla různá, a hráč A zaplatí 1 Kč hráči B v případě, že jsou tato čísla stejná. Výplatní matice hráče A je následující. A = ( Prostorem strategií X hráče A v tomto případě jsou dvě strategie strategie x 1 zvolit číslo 1 a strategie x 2 zvolit číslo 2. Hráč B má také prostor strategií Y dvouprvkový. Výplatní funkci hráče A můžeme zapsat do výplatní matice následovně: ). B 1 2 A V této matici prvek matice a ij odpovídá hodnotě výplatní funkce f 1 (x i, y j ). Například tedy prvek a 12 (má hodnotu 1) odpovídá výplatě prvního hráče za předpokladu, že první hráč A zvolil svou první strategii (x 1 zvolil číslo 1) a druhý hráč B zvolil svou druhou strategii (y 2 zvolil číslo 2). Řešený příklad 1.1. Předpokládáme, že slečna vlastní kožich, jehož hodnota je Kč. Může si tento kabát za 100 Kč na jeden rok pojistit a v případě, že jí bude kožich v tuto dobu zničen požárem, bude jí škoda nahrazena. Má či nemá si slečna kožich pojistit? Řešení. V této hře je jedním hráčem slečna a druhým příroda. Strategie (prostor X) prvního hráče, tj. slečny, jsou pojistit a nepojistit si kabát (tj. x 1 pojistit, x 2 nepojistit, X = {x 1, x 2 }). Strategie přírody (prostor Y ) jsou kabát slečně shoří a nestane se s kabátem nic (tj. y 1 kabát shoří, y 2 nestane se nic, Y = {y 1, y 2 }). Výplatní funkce slečny (u přírody nemají smysl) jsou.

4 4 KAPITOLA 1. TEORIE HER podle ceny kabátu, ceny pojištění a ceny náhrady, kterou pojišťovna slečně poskytne v případě, že by slečně kožich shořel. Pro slečnu můžeme napsat výplatní matici. Výplatní matice slečny má tedy následující tvar: OK zničen pojistí nepojistí Jak se má slečna rozhodnout? Poznámka. Všimněte si podobnosti tohoto řešení a řešení úloh rozhodování za nejistoty. V tomto příkladu je jeden hráč racionální (předpokládáme to o slečně) a jeden indiferentní. V tom případě se skutečně jedná o tutéž situaci jako v rozhodování za nejistoty. Poznámka. Všimněme si, že určitě nemusí platit, že počet strategií prvního a druhého hráče je stejný. Pojisťujeme-li si například auto, potom nejsou strategie přírody pouze zničit, nezničit, ale také různé částečné poničení. Nám zůstávají strategie dvě pojistit, nepojistit. 1.2 Maticové hry úvod Důležité místo v teorii her mají konečné hry dvou hráčů s konečným počtem strategií, které nazýváme maticovými hrami. Tyto hry můžeme rozdělit na hry, kde jsou oba hráči racionální (ty pak dále dělíme na hry antagonistické a neantagonistické) a na hry, kde jeden z hráčů je indiferentní, jde o hry hrané proti přírodě (indiferentním hráčem může být skutečně příroda nebo nějaká instituce) Dominované a nedominované strategie Stejně jako ve vícekriteriálním hodnocení variant, i zde můžeme narazit na tzv. dominované a nedominované varianty, resp. strategie. Definice 1. Řekneme, že strategie x k prvního hráče dominuje strategii x l tohoto hráče, jestliže pro všechny možné strategie y j druhého hráče platí, že f(x k, y j ) f(x l, y j ) a zároveň existuje alespoň jedna strategie y 0 taková, že f(x k, y 0 ) > f(x l, y 0 ). Neboli ať zvolí druhý hráč jakoukoliv stategii, v každém případě je pro prvního hráče výhodnější (nebo stejně výhodné) zvolit strategii x i1 než volit strategii x i2. Druhá podmínka uvádí, že alespoň v jednom případě (při alespoň jedné strategii druhého hráče) je pro prvního hráče (ostře) výhodnější zvolit strategii x i1 oproti strategii x i2. (Pokud by tato podmínka nebyla splněna a byla splněna první podmínka, znamenalo by to, že obě varianty jsou pro hráče stejné.) A proto RACIONÁLNÍ HRÁČ NIKDY NEVOLÍ DOMINOVANOU VARIANTU!

5 1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY 5 Příklad 3. Představme si, že slečna z příkladu 1.1 si může sjednat jeden z následujících tří druhů pojištění. Sjedná-li si pojištění I, potom za toto pojištění zaplatí za rok 100 Kč a v případě požáru dostane jako náhradu Kč, sjedná-li si pojištění II, zaplatí roční sazbu 70 Kč a v případě požáru dostane náhradu Kč, pojištění III stojí 75 Kč a náhrada je také Kč. Napišme matici této hry: OK zničen pojištění I pojištění II pojištění III bez pojištění V tomto příkladu je již ze zadání zřejmé, že pojištění III je pro slečnu nevýhodná varianta, poněvadž pojištění II je levnější a nabízí jí totéž. Po zápisu do výplatní matice vidíme, že skutečně varianta pojištění III je dominována variantou pojištění II. Matematicky zapsáno, v této matici platí, že a 21 > a 31 a zároveň a 22 > a 32. (Připomeňte si, že u jednomaticové hry a ij = f(x i, x j ).) 1.3 Jednomaticové hry Antagonistický konflikt Antagonistickým konfliktem rozumíme konflikt (s konstantním součtem), kde proti sobě stojí dva racionální hráči a zisk jednoho hráče je roven ztrátě druhého hráče (př. sázky mezi dvěma lidmi). Nebo obecněji o co jeden získá více, o to druhý více ztratí (mají si nějakým způsobem rozdělit fixní částku, přičemž se povoluje, že jeden dostane částku celou a ještě navíc něco od druhého). Matematickým modelem je tzv. hra s konstantním součtem, tzn. f 1 (x, y) + f 2 (x, y) = k. Je možné ukázat, že bez újmy na obecnosti můžeme uvažovat pouze o hrách se součtem nula, neboť všechny hry s konstantním součtem je možné převést na hry se součtem nula. Poznámka. Uvědomte si, že nemá žádný smysl mluvit o kooperaci v antagonistickém konfliktu. Problém: Rozmyslete si, že je skutečně jedno, zda řeším hru s konstantním součtem obecné k nebo nulovým. Máme-li konečný prostor strategií, tzv. konečnou hru, můžeme hru přepsat do matice A, kde řádky budou tvořit možné strategie prvního hráče a sloupce možné strategie druhého hráče. Jednotlivými prvky matice a ij je potom výplata prvního hráče v případě, že první hráč zvolí svou i-tou strategii a druhý hráč zvolí svou j-tou strategii. Hráče, kteří se účastní maticové hry, označíme písmeny A a B a hru budeme sledovat vždy z hlediska hráče A. Jeho výplatu budeme nazývat výhrou a výplatu hráče B prohrou. Má-li hráč A k dispozici m strategií x 1, x 2,..., x m a hráč B n strategií y 1, y 2,..., y n, výhry hráče A (a tedy prohry hráče B) při všech možných dvojicích strategií (x i, y j ) můžeme sestavit do matice typu m n, kterou nazýváme výplatní maticí (též maticí hry). Prvek a ij matice nám udává výplatu prvního hráče, pokud první zvolí i-tou strategii, tj. strategii x i, a druhý hráč zvolí j-tou strategii, tj. strategii y j, tedy a ij = f 1 (x i, y j ), kde f 1 (x i, y j ) značí výplatní funkci hráče A. Protože se jedná o antagonistický konflikt, potom je a ij s opačným znaménkem, tj. a ij, výplatou druhého hráče, při stejných strategiích, tedy pro výplatní funkci hráče B s označením f 2 (x i, y j ) platí f 2 (x i, y j ) = f 1 (x i, y j ) = a ij. K popisu maticové hry stačí jedna výplatní funkce, kterou budeme značit f(x i, y j ). Jedná se tedy o tzv. jednomaticovou hru. Uvedené pojmy a konstrukci výplatní matice ilustrujeme na několika příkladech.

6 6 KAPITOLA 1. TEORIE HER Řešený příklad 1.2. Uvažujme následující hru. Hrají dva hráči. Každý má pět sirek. Teď si každý může vzít do ruky kolik chce sirek (z těch pěti) a na povel ruce otevřou. Kdo bude mít v ruce více sirek, vyhrál, pokud mají stejně, je remíza. Řešení. Ze zadání příkladu je zřejmé, že je rozumné, aby každý hráč vzal do ruky všech pět sirek. Ukažme si, že stejně nám dovede poradit i teorie her. Napišme si výplatní matici A prvního hráče a výplatní matici B druhého hráče. V obou maticích budou řádky odpovídat jednotlivým strategiím prvního hráče, postupně 1, 2,..., 5 sirkám v jeho ruce (předpokládejme, že musí alespoň jednu vzít) a sloupce steným způsobem jednotlivým strategiím druhého hráče. Výplatní matice mají tedy tvar: A = B = Poznámka. Všimněme si, že skutečně platí A = B, a tedy je zbytečné pro zápis takovéto hry používat dvě matice. Řešený příklad 1.3. Hráč A napíše slabiku ná nebo tá a hráč B, který nezná volbu hráče A, napíše slabiku ta, bor nebo chod. Když obě slabiky dají dohromady slovo, zaplatí hráč A hráči B korunu a když vzniklé slovo bude představovat jméno města, dostane hráč B od hráče A navíc ještě prémii 3 koruny. Kdyby spojení obou slabik nedávalo smysl, hráč B zaplatí hráči A 2 koruny. Jaké slabiky mají oba hráči volit, aby vyhrávali co nejvíc? Řešení. Tuto společenskou hru můžeme zobrazit pomocí matice, jejíž řádky jsou nadepsány strategiemi hráče A, tj. slabikami ná a tá a nad sloupci jsou nadepsány strategie hráče B, tj. slabiky ta, bor a chod. Prvky této matice (označme ji A) lze odvodit z podmínek hry. Matice A: ná tá ta bor chod ( ) Řešený příklad 1.4. Dvě konkurující si firmy I a II uvažují o vybudování motelu na dálnici v jednom z míst P, Q, R, S (viz schéma, kde je uvedena též vzdálenost mezi potenciálními místy motelu). Postaví-li obě firmy motel v témže místě, na každou z nich připadne polovina celkové poptávky (potencionálním nocležníkům nezbude než dojet do zvoleného místa a tam si náhodně vyberou

7 1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY 7 jeden ze dvou motelů). V ostatních případech je procento poptávky přímo úměrné délce trasy přiřazené zvolenému místu (např. jestliže firma I se rozhodne pro místo Q a firma II pro R, procento poptávky pro firmu I je úměrné délce úseku P Q + 1 QR = 40). 2 (Předpokládá se, že potencionální zákazník si vybere nejbližší možný hotel, tedy ten, kdo bude mezi body P, Q zvolí hotel v místě Q, a ti, co budou mezi místy Q, R, s 50% pravděpodobností budou blíže ke Q, a tedy zvolí Q. Ostatní budou blíže druhému hotelu a zvolí tedy hotel II. firmy. Navíc se předpokládá, že rozdělení potencionálních zákazníků na celém úseku je rovnoměrné.) Poněvadž celková délka trasy je 100 km a firma I svým výběrem místa obsadila 40 km z této trasy, předpokládá se, že při volbě těchto strategií bude firma I obsluhovat 40% zákazníků. V jakém místě mají obě firmy motel vybudovat, aby dosáhly co největšího procenta poptávky? Řešení. V uvedené konfliktní situaci má každá firma 4 strategie (stavbu motelu v místě P nebo Q nebo R nebo S), přičemž za její výhry lze považovat procenta poptávky, kterých může dosáhnout. Výplatní matice pro firmu I má podobu matice F (viz dále), přičemž prvky výplatní matice pro firmu II (označme ji G) můžeme z matice F odvodit jakožto doplňky do 100. Jde tedy o konečnou hru dvou hráčů, s konstantním, ale nenulovým součtem výplat. Uvažovanou konfliktní situaci můžeme zobrazit pomocí jedné matice, jestliže zaujmeme stanovisko firmy I a za výplaty zvolíme procenta poptávky u této firmy, zmenšená o procenta poptávky u firmy II (neboli o kolik procent více poptávky získala při daných strategiích firma I oproti firmě II). Takto formulovaná konfliktní situace pak představuje hru s nulovým součtem (má-li firma I o x% více poptávky než firma II, potom má firma II právě o x% více poptávky než firma I). Výplatní matice takto formulované hry má podobu matice H. P Q R S Matice F: Matice G: Matice H: P Q R S P Q R S P Q R S P P Q Q R R S S Řešení jednomaticových her obecně Účelem hraní hry s konstantním součtem je pro hráče A jeho maximální výhra a pro hráče B je cílem jeho minimální prohra. Poněvadž uvažujeme hry s konstantním součtem, jsou snahy obou hráčů v jakémsi protikladu (čím větší je výhra prvního hráče, tím větší je prohra druhého hráče a naopak.) Tyto snahy obou hráčů ale přece jen dovedou hráče k jejich optimálním strategiím, které mohou být jednak ryzí, jednak smíšené. Ryzí strategie hráče představuje jednu z jeho možných strategií. Jak jsme již zmínili, je to vlastně řešení pro hru, která se hraje pouze jednou, nedochází k opakování. (Pokud existuje ryzí strategie i v případě, kdy se má hra opakovat, potom hráč bude stále hrát stejnou strategii.) Smíšená strategie hráče znamená náhodné střídání jeho strategií a je určena rozložením pravděpodobností na prostoru ryzích strategií (vyjadřujeme ji vektorem pravděpodobností, s jakými hráč volí jednotlivé své strategie). Pro hráče A budeme smíšenou strategii označovat p A = (p A 1, pa 2,..., pa m), kde p A i nám udává pravděpodobnost, s jakou má první hráč volit svou i-tou strategii, tj. strategii x i. Smíšenou strategii hráče B bude obdobně představovat vektor p B = (p B 1, pb 2,..., pb n ), kde opět p B j udává pravděpodobnost, s jakou má druhý hráč volit svou

8 8 KAPITOLA 1. TEORIE HER j-tou strategii, tj. strategii y j. Složky vektorů) p A a p B (jedná se o pravděpodobnosti úplné kolekce nezávislých jevů) tvoří nezáporná čísla, jejichž součet je roven jedné. Z uvedené definice vyplývá, že ryzí strategie je zvláštním případem smíšené strategie (např. ryzí strategii A i lze vyjádřit vektorem, jehož i-tá složka se rovná jedné a ostatní složky jsou nulové). Poznámka. Všimněme si, že v této terminologii tedy první hráč usiluje o maximalizaci: max i f(x i, y j ) = max a ij, i přičemž on může ovlivnit pouze volbu i (pouze výběr své strategie) a volbu j (volbu strategie protihráče) ovlivnit nemůže, kdežto druhý hráč usiluje o minimalizaci kde druhý hráč může ovlivnit volbu j, ale ne i Řešení v ryzích strategiích min f(x i, y j ) = min a ij, j j Hledáme-li optimální řešení antagonistického konfliktu v ryzích strategiích, hledáme vlastně stabilní řešení. Stabilní v tom smyslu, že řešení musí být takové, aby se ani jednomu hráči nevyplatilo od této strategie utéci. Tj. má to být takové řešení, aby pokud pouze jeden hráč změní svou strategii a druhý hráč strategii nezmění, potom by si měl hráč, který svou strategii změnil, pohoršit. V takovém případě je řešení stabilní, neboť žádný hráč nemá zájem na změně své strategie. Ne vždy ale takovéto řešení existuje. Existuje-li takovéto řešení, mluvíme o sedlovém bodě hry, rovnovážném řešení. Podívejme se ještě jednou podrobněji, jak lze k tomuto stabilnímu řešení dospět. Jestliže hráč A volí strategii x i, musí počítat s tím, že inteligentní hráč B mu odpoví strategií, která jeho výhru zredukuje na minimum, neboli hráč A má při volbě této strategie zaručenou minimální výhru v hodnotě min a ij j (ve výplatní matici jde o nejmenší prvek v i-tém řádku). Protože hráč A chce hrát opatrně, zvolí strategii, při které bude toto minimum největší, tzn. nabude hodnoty max i min j a ij (z čísel, která představují minimální prvky v řádcích výplatní matice, vybereme největší). Tuto strategii hráče A nazýváme strategií maximinovou, přičemž číslo max i min a ij j označujeme jako dolní cenu hry. Úvaha hráče B je podobná. Jestliže volí strategii y j, nemůže prohrát více než max a ij i (ve výplatní matici je to největší prvek v j-tém sloupci). Hráč B zvolí takovou strategii, při které toto maximum bude minimální, tj. při které neprohraje víc než min j max a ij i (z čísel, která představují maximální prvky ve sloupcích výplatní matice, vybereme nejmenší). Tuto strategii hráče B nazýváme strategií minimaxovou, přičemž číslo min j max i a ij označujeme jako horní cenu hry.

9 1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY 9 Lze dokázat, že v každé maticové hře je dolní cena hry nejvýše rovna horní ceně. Jestliže se obě ceny sobě rovnají, tzn. jestliže platí max i min j a ij = min j max a ij, (1.1) i použití příslušných strategií zaručuje oběma hráčům optimální výsledek, neboli jde o ryzí optimální strategie. Je-li splněna rovnost (1.1), ve výplatní matici musí existovat prvek, který je nejmenší ve svém řádku a zároveň největší ve svém sloupci; tento prvek nazýváme sedlovým bodem. Existence sedlového bodu ve výplatní matici je nutnou a postačující podmínkou proto, aby příslušná hra měla řešení v oboru ryzích strategií, existovalo rovnovážné řešení. Hodnota sedlového bodu je cenou hry. Jestliže v dané výplatní matici existuje více sedlových bodů, je pro každou dvojici ryzích optimálních strategií cena hry stejná. V dané hře pak existuje nekonečně mnoho smíšených optimálních strategií, které jsou konvexní kombinací ryzích optimálních strategií. Obecněji, nejen pro hry s konečným počtem strategií, definujeme optimální řešení antagonistického konfliktu v ryzích strategiích (sedlový bod) následovně: Definice 2. Kombinace strategií (x 0, y 0 ) určuje optimální řešení v ryzích strategiích tehdy a jen tehdy, pokud platí: neboli existuje dvojice (x 0, y 0 ) taková, že f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f(x 0, y) x X, y Y, (1.2) min y kde f je výplatní funkce hry. max x f(x, y) = f(x 0, y 0 ) = max min f(x, y), (1.3) x y Poznámka. Ještě jednou připomeňme, že sedlový bod je v podstatě rovnovážným bodem v tom smyslu, že žádnému hráči se nevyplatí změnit strategii. Sedlový bod je určen nerovnostmi (1.2). V tomto vztahu první nerovnost vyjadřuje, že pokud by první hráč libovolně změnil svou strategii (a druhý ne zůstal by v y 0 ), potom by výplata prvního hráče buď zůstala stejná nebo by se zmenšila. Tedy první hráč nemá zájem na změně strategie. Druhá nerovnost udává stejnou podmínku pro druhého hráče (připomeňme, že výhry druhého hráče jsou hodnoty f(x, y), tedy čím menší hodnota f(x, y), tím je to pro druhého hráče lepší). Na obrázku 1.1 je vidět, jak sedlový bod vypadá že je to skutečně bod, kde dvourozměrná funkce nabývá maxima přes proměnnou x a zároveň minima přes proměnnou y. Poznámka. Rozmyslete si, jak souvisí vztah (1.1) se vztahem (1.3). Obecně matice mohou mít žádný, jeden nebo více sedlových bodů. Pokud nemají žádný, neexistuje rovnovážná strategie (a hru lze vyřešit pouze ve smíšených strategiích), pokud mají jeden, určuje rovnovážnou strategii, pokud jich mají více, určují alternativní rovnovážné strategii. Problém: Rozmyslete si, že v případě antagonistického konfliktu jsou skutečně alternativní rovnovážné strategie ekvivalentní ve smyslu zisku jednotlivých hráčů. Tj. v případě více sedlových bodů je jedno, který hráč zvolí který sedlový bod. Řešený příklad 1.5. Uvažujme příklad 1.2, jehož výplatní matice je A =

10 10 KAPITOLA 1. TEORIE HER Obrázek 1.1: Sedlový bod Existuje v tomto případě sedlový bod? Řešení. Sedlový bod, jak již bylo zmíněno výše, hledáme tak, že zjistíme minima v řádcích a poté maxima ve sloupcích. Pokud někde odpovídá řádkové minimum sloupcovému maximu, jedná se o sedlový bod. V následujících maticích jsou v první matici tučně označená minima v řádcích a v druhé jsou tučně vyznačena maxima ve sloupcích. A = A = Hledáme pozici v této matici, ve které máme zároveň označeno minimum v řádku a maximum ve sloupci. Takováto pozice v této matici je jediná a jedná se o prvek a 55 = 0. Nebo-li tato hra má sedlový bod, má jediný sedlový bod, existuje tedy rovnovážné řešení. Tím řešením je, aby každý hráč vzal do ruky pět sirek. Poznámka. V tomto případě bylo řešení zjevné již od začátku, nebylo třeba úlohu řešit takto složitou metodou, ale tento příklad měl sloužit jen jako demonstrace. Nadále uvidíme, že většinou správné řešení hry není od počátku vidět a je zapotřebí zmíněných metod užít. Řešený příklad 1.6. Uvažujme známou hru Kámen-Nůžky-Papír. V této hře hrají proti sobě dva hráči, každý volí jednu ze tří možných strategií Kámen, Nůžky či Papír. Pokud oba hráči zvolí stejnou strategii, jedná se o remízu, zisk obou je 0. Další pravidla jsou, že Kámen vyhrává nad Nůžkami, Nůžky nad Papírem a Papír nad Kamenem. Řekneme, že hráči hrají při každé hře o jednu korunu, tedy možná výhra je 1. Existuje u této hry sedlový bod? Řešení. Asi tušíte, že tato hra nemá sedlový bod, jinak by nebyla tak populární k rozhodování různých sporů. Zkusme tedy tuto hru analyzovat. Nejprve napišme matici hry.

11 1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY 11 Kámen Nůžky Papír Kámen Nůžky Papír V dalším kroku, podobně jako v předchozím příkladu, vyznačme v matici minima v řádcích a ve druhé matici maxima ve sloupcích. Kámen Nůžky Papír Kámen Nůžky Papír , Kámen Nůžky Papír Kámen Nůžky Papír Teď je vidět, že tentokrát neexistuje prvek, který by byl minimální ve svém řádku a zároveň maximální ve svém sloupci. Tedy tato hra nemá sedlový bod, neexistuje tedy řešení v ryzích strategiích. Řešený příklad 1.7. Uvažujme následující hru. Hráč A může volit číslo od 5 do 8 a hráč B volí mezi čísly od 1 do 4. Výhry jsou stanoveny následovně: bude-li součet hráči zvolených čísel menší nebo roven 7, potom hráč A zaplatí hráči B 30 Kč, bude-li součet mezi 8 a 10, dostane hráč A od hráče B 5 Kč a v případě, že součet čísel bude větší než deset, dostane hráč A od hráče B 10 Kč. Poznámka. Byli byste raději v pozici hráče A či hráče B? Řešení. Sestavme nejprve matici této hry V dalším kroku opět v matici vyznačíme minima v řádcích a maxima ve sloupcích Tentokrát vidíme, že tato úloha má čtyři sedlové body a 31, a 32, a 41, a 42, jejichž hodnota je 5. Aby výsledek hry byl v sedlovém bodě, potom první hráč musí volit buď číslo 7 nebo 8 a druhý hráč číslo 1 nebo 2. Také je z matice vidět, že když oba hráči zvolí libovolnou strategii vedoucí do sedlového bodu, potom skutečně výsledek hry bude v sedlovém bodě. (Tato vlastnost platí u antagonostických konfliktů ale neplatí obecně u neantagonistických konfliktů, jak si ukážeme dále.)

12 12 KAPITOLA 1. TEORIE HER Spravedlivé a nespravedlivé hry Jak jsme již zmínili výše, výplatu, která odpovídá rovnovážnému stavu (sedlový bod) nazýváme cenou hry. Je-li nulová, potom hru nazýváme spravedlivou. V opačném případě se jedná o hru nespravedlivou. Poznámka. Je tedy vidět, že v případě hry 1.2 se jedná o spravedlivou hru, ale hra 1.7 je nespravedlivá (hodnota v sedlovém bodě je 5). Má-li hra sedlový bod a znají-li oba hráči své optimální strategie, nemá smyslu takovou hru hrát. Stačí, když oba hráči ohlásí své optimální strategie a konflikt skončí rozumnou dohodou. Jestliže ve výplatní matici neexistuje sedlový bod (dolní cena hry je menší než horní cena hry), místo volby maximinové a minimaxové strategie je pro oba hráče výhodnější náhodné střídání strategií (tzn. volba smíšených strategií), které hráči A zaručí větší výhru než je dolní cena hry a hráči B menší prohru než je horní cena hry Řešení ve smíšených strategiích Při volbě smíšených strategií p A, p B je výplata hráčů náhodná veličina, jejíž očekávanou hodnotu budeme značit E f(p A, p B ). Jestliže hráči volí strategie p A a p B nezávisle na sobě, je pravděpodobnost, že výhra hráče A bude a ij, dána součinem pravděpodobností p A i a p B j, tzn. pro jeho očekávanou výhru platí E f(p A, p B ) = m n a ij p A i p B j i=1 j=1 Pomocí očekávané výplaty hráčů lze nyní rozšířit pojem optimální strategie i na smíšené strategie. Dvojice smíšených strategií p A 0, pb 0 je optimální právě tehdy, když pro všechny ostatní strategie p A, p B platí E f(p A, p B 0 ) E f(p A 0, p B 0 ) E f(p A 0, p B ) Uvedený vztah znamená, že při jakékoli odchylce od optimální smíšené strategie si hráč pohorší, jestliže protihráč zvolil optimální smíšenou strategii. Očekávaná hodnota výplaty, která odpovídá optimálním smíšeným strategiím obou hráčů, tj. E f(p A 0, pb 0 ), představuje cenu hry v. Trojice údajů (p A 0, pb 0, v) představuje řešení hry v oboru smíšených strategií. Podle základní věty maticových her existuje pro každou maticovou hru řešení ve smíšených strategiích. Důsledek volby optimální smíšené strategie se neprojeví při jednotlivém rozhodování v konkrétní situaci, ale při opakovaném provádění hry budou na tom hráči rozhodně lépe, když se přidrží svých optimálních strategií Grafické řešení maticových her Pokud je hra m 2 nebo 2 n, lze ji řešit jednoduchým grafickým způsobem. Vzpomeňte na grafické odvozování velikosti koeficientu α u Hurwitczova přístupu při rozhodování za nejistoty. Do podobné soustavy souřadnic budeme zakreslovat prvky výplatní matice. Pokud budeme řešit hru 2 n, na ose x budeme zjišťovat, jaké jsou smíšené strategie hráče A. Na osu v (kolmice na osu x v bodě 0) budeme vynášet číslo, které je ve výplatní matici na pozici (1, k), kde k = 1, 2,..., n. Na osu z (kolmice na osu x v bodě 1) budeme vynášet číslo, které je ve výplatní matici na pozici (2, k), kde k = 1, 2,..., n. Oba body (prvky výplatní matice), příslušející jedné strategii hráče B, vždy spojíme přímkou. Když máme zakreslené všechny úsečky příslušející strategiím hráče B, hledáme část úsečky, pod kterou se nenachází body jiné úsečky. Tato část představuje graf minimální očekávané výhry hráče A. Pokud řešíme hry typu m 2, vynášíme

13 1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY 13 na osy v,z prohry hráče B při jednotlivých strategiích hráče A. Postup budeme ilustrovat na následujících příkladech. Řešený příklad 1.8. Mějme matici A = ( S jakými pravděpodobnostmi má hráč A volit svě strategie? Jaká je cena hry? Řešení. x 01 = 4 11, x 02 = 7 11, v = Grafické řešení viz obrázek 1.2. ). v z v 0 x 02 x 01 1 x Obrázek 1.2: Grafické řešení příkladu 1.8 Řešený příklad 1.9. Mějme matici A = ( S jakými pravděpodobnostmi má hráč A volit své strategie a jaá je cena hry? Řešení. x 01 = 1, x 02 = 0, v = 1. Grafické řešení viz obrázek 1.3. Řešený příklad Mějme matici B = S jakými pravděpodobnostmi má hráč B volit své strategie a jaká je cena hry? Řešení. y 01 = 0, y 02 = 1, v = 1. Grafické řešení viz obrázek ). Řešený příklad Mějme matici B = ( S jakými pravděpodobnostmi má hráč B volit své strategie a jaká je cena hry? Řešení. y 01 = 4 5, y 02 = 1 5, v = 7 5. Grafické řešení viz obrázek 1.5. ).

14 14 KAPITOLA 1. TEORIE HER v z 0 v x 01 1 x Obrázek 1.3: Grafické řešení příkladu 1.9 v z v 0 y 02 1 x Obrázek 1.4: Grafické řešení příkladu Řešení maticových her metodami LP Mějme výplatní matici A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n..... a m1 a m2... a mn Následující soustavou nerovnic lze vyjádřit požadavek, aby optimální strategie hráče A tomuto hráči zajistila výhru nejméně v hodnotě ceny hry v, ať už hráč B volí jakoukoliv ze svých ryzích strategií: a 11 x 01 + a 21 x a m1 x 0m v a 12 x 01 + a 22 x a m2 x 0m v. a 1n x 01 + a 2n x a mn x 0m v V případě, že matice obsahuje záporná čísla, ke všem jejím prvkům přičteme dostatečně velké kladné číslo. Tím získáme strategicky ekvivalentní hru, jejíž cena bude o přičítanou konstantu

15 1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY 15 v z v 0 y 02 y 01 1 x Obrázek 1.5: Grafické řešení příkladu 1.11 vyšší. Pokud je nezápornost prvků matice splněna, vydělíme cenou každou nerovnici soustavy a podíly x 0i v nahradíme symbolem t i pro i = 1, 2,..., m. Soustava má pak tvar a 11 t 1 + a 21 t a m1 t m 1 a 12 t 1 + a 22 t a m2 t m 1. a 1n t 1 + a 2n t a mn t m 1 Do podmínky m i=1 x 0i = 1 za x 0i dosadíme součin vt i. Potom platí v m i=1 t i = 1, neboli m t i = 1 v. Danou úlohu můžeme zapsat jako úlohu LP. Na množině nezáporných řešení soustavy lineárních nerovnic hledáme minimum lineární funkce f = m i=1 t i. Cena hry se rovná převrácené hodnotě účelové funkce a pro optimální strategii hráče A platí x 0i = vt i pro i = 1, 2,..., m. Nyní zformulujeme model z hlediska hráče B. Očekávaná prohra hráče B nesmí být větší než cena hry, ať už hráč A volí kteroukoliv ze svých ryzích strategií. Musí platit i=1 a 11 y 01 + a 12 y a 1n y 0n v a 21 y 01 + a 22 y a 2n y 0n v. a m1 y 01 + a m2 y a mn y 0n v I u hráče B upravíme výplatní matici tak, aby cena hry byla kladná a položíme y 0j v = s j, j = 1, 2,..., n. Soustavu pak můžeme napsat ve tvaru a 11 s 1 + a 12 s a 1n s n 1 a 21 s 1 + a 22 s a 2n s n 1. a m1 s 1 + a m2 s a mn s n 1

16 16 KAPITOLA 1. TEORIE HER Do podmínky n j=1 y 0j = 1 za y 0j dosadíme součin vs j. Potom platí v n j=1 s j = 1, neboli n j=1 s j = 1 v. Snaha hráče B je minimalizovat cenu hry neboli maximalizovat součet n j=1 s j. Stejně jako u hráče A, i zde je možné úlohu zformulovat jako úlohu LP. Na množině nezáporných řešení soustavy lineárních nerovnic hledáme maximum lineární funkce z = n j=1 s j. Úlohy jsou duálně sdružené. Příklad 4. Pro hru Kámen-Nůžky-Papír zapíšeme výplatní matici (strategie jsou v pořadí kámen, nůžky, papír) a určíme optimální smíšené strategie pomocí LP. A = Výplatní matici upravíme přičtením čísla 1, aby matice neobsahovala záporná čísla. Z hlediska hráče A je model následující: A = t 1 + 2t t 1 + t 2 1 2t 2 + t 3 1 t 1, t 2, t 3 0 f = t 1 + t 2 + t 3 min Z hlediska hráče B je model následující: s 1 + 2s 2 1 s 2 + 2s 3 1 2s 1 + s 3 1 s 1, s 2, s 3 0 f = s 1 + s 2 + s 3 max Výsledky pro hráče A: t 1 = 1 3, t 2 = 1 3, t 3 = 1 3, f = 1 v = 1, v = v 1 = 0 Výsledky pro hráče B: s 1 = 1 3, s 2 = 1 3, s 3 = 1 3, z = 1 v = 1, v = v 1 = 0.

17 1.3. JEDNOMATICOVÉ HRY Hry hrané proti přírodě To je téma velmi podobné rozhodování za nejistoty, připomeňme řešený příklad 1.1. Při řešení her hraných proti přírodě má smysl hovořit jen o optimální strategii hráče A. Tento pojem však není zcela vyjasněn, přičemž různý přístup k problému optimální strategie hráče A ve hrách proti přírodě může vést u téže hry k odlišným výsledkům. Jednou z možností pro řešení her s přírodou je uplatnění principu minimaxu. Tento přístup, který předpokládá zákeřnost přírody, je projevem přílišné opatrnosti a může vést k nepřijatelným rozhodnutím. Správnější přístup k řešení her proti přírodě spočívá v aplikaci postupů známých pro jednokriteriální hodnocení rizikových variant (viz rozhodování za rizika). Ve srovnání s těmito postupy však princip minimaxu umožňuje řešení her proti přírodě ve smíšených strategiích, tzn. připouští kombinace některých rozhodnutí. Různé možnosti řešení her hraných proti přírodě ilustrujeme na následujícím příkladu. Řešený příklad Pacient je postižen chorobou, která mohla být vyvolána pěti kmeny bakterií. Lékař ještě nezjistil přesnou diagnózu a rozhoduje se o předepsání jednoho ze tří léků. První lék zaručuje na 50 % zničení prvních čtyř bakteriálních kmenů. Druhý lék bezpečně ničí první kmen. Třetí lék ničí v 50 % druhý kmen a je zaručeným prostředkem proti pátému kmenu. Pro který lék se má lékař rozhodnout, chce-li maximalizovat pravděpodobnost zničení všech bakteriálních kmenů? Uvedený rozhodovací problém představuje hru hranou proti přírodě, ve které strategie lékaře jsou dány předepsáním prvního nebo druhého nebo třetího léku a strategie přírody spočívají ve výskytu jednotlivých bakteriálních kmenů. V příslušné výplatní matici (označme ji A) prvek a ij představuje pravděpodobnost, s jakou i-tý lék ničí j-tý bakteriální kmen (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5). Řešení. lék 1 lék 2 lék 3 Matice A: kmen I kmen II kmen III kmen IV kmen V 0,5 0,5 0,5 0, , Pokud připustíme zlomyslnost přírody, řešíme danou úlohu jako hru hranou podle minimaxu. Matice A nemá sedlový bod, takže lékař se nemůže jednoznačně rozhodnout pro jeden ze tří uvažovaných léků. Jestliže v matici A vynecháme řádky a sloupce, které odpovídají dominovaným strategiím, získáme matici 2 2 tvaru lék 1 lék 3 kmen III ( 0,5 0 kmen V ) 0 1 Jestliže na tuto matici aplikujeme vzorce (6,2) a (6,3), bude platit x 01 = 2 3, x 03 = 1 3, v = 1 3. Podle tohoto výsledku by měl lékař pacientovi předepsat lék 1 a lék 3 a nařídit mu, aby tyto léky užíval v poměru 2:1. Očekávaný úspěch této léčby by byl přibližně 33 %. Při optimistickém přístupu lékaře k předepisování léků by se jako nejúčinnější jevil lék 2 nebo lék 3 (za předpokladu, že bakteriální kmen bude typu I nebo V). Jestliže lékař zjistil, že uvažované bakteriální kmeny se vyskytují v poměru 1:3:3:2:5, tj. s pravděpodobnostmi 1 14, 3 14, 3 14, 1 7, 5 14, mohl by uplatnit některé pravidlo pro rozhodování za rizika. Např. při použití pravidla očekávané (střední) hodnoty porovnáme očekávané pravděpodobnosti účinnosti jednotlivých léků, tj. zlomky 9 28, 1 14, Z tohoto porovnání vychází nejlépe lék 3.

18 18 KAPITOLA 1. TEORIE HER Rozmysli: Rozmyslete si, že se vskutku jedná o stejnou situaci jako u jednokriteriálního hodnocení variant. Řešení této úlohy přes tzv. zaručenou výhru (zaručený zisk) dává stejné řešení jako řešení při rozhodování za nejistoty pesimistickým pravidlem. A podobně řešení této úlohy přes maximální možný zisk dává stejné řešení jako řešení rozhodování za nejistoty optimistickým pravidlem. 1.4 Dvoumaticové hry hry dvou hráčů s nekonstantním součtem Model neantagonistického konfliktu dvou hráčů Při neantagonistickém konfliktu každý z hráčů sleduje své zájmy, které ovšem nemusí být v protikladu se zájmy protihráče. Jedná se o hry s nekonstantním součtem. Hráč A má opět možnost volit strategie x 1, x 2,..., x m, hráč B má možnost volit mezi strategiemi y 1, y 2,..., y n. Připomeňme, že výplatu hráče A při volbě strategií x i, y j značíme f 1 (x i, y j ). Výplata hráče B je f 2 (x i, y j ). U her s konstantním součtem bylo možné z výplaty jednoho hráče odvodit i výplatu protihráče. U neantagonistického konfliktu toto možné není, neboť f 1 (x i, y j ) + f 2 (x i, y j ) konst. Z tohoto důvodu je nutné pro každého hráče napsat matici jeho výplat. Tyto hry se proto nazývají dvoumaticové hry. Hry tohoto typu mohou být nekooperativní a kooperativní. Kooperativní hry pak můžeme rozdělit na hry s přenosnou výhrou (hráči se dohodnou na rozdělení společné výhry) a na hry s nepřenosnou výhrou (hráči se dohodnou pouze na volbě strategií) Nekooperativní hry Tak jako u her s konstantním součtem jsme hledali optimální strategie hráčů, i v tomto typu her hledáme optimální strategie - zde hledáme Nashův rovnovážný bod. Tento bod reprezentuje dvojici strategií (x 0, y 0 ) - tzv. rovnovážné strategie. f 1 (x i, y 0 ) f 1 (x 0, y 0 ) i {1, 2,..., m} f 2 (x 0, y j ) f 2 (x 0, y 0 ) j {1, 2,..., n} Neboli opět hledáme takový bod, ze kterého se nevyplatí žádnému hráči utéci, tj. bod, ve kterém když jeden z hráčů sám změní strategii, potom si tento hráč pohorší. (Rozmyslete si, že přesně to je smyslem výše zapsaných nerovnic.) U her s nekonstantním součtem si při odchýlení od optimální strategie hráč sám pohorší a může způsobit i zhoršení výplaty protihráče. U her s konstantním součtem hráč, který se odchýlil, zajistí protihráči vyšší výplatu (dokonce, přesně o kolik si pohoršil, o tolik protihráči přilepšil). Řešený příklad Uvažujme dva investory, kteří přemýšlejí o vstupu na trh ve třech různých odvětvích, ve kterých si mohou konkurovat. Každý z nich volí jedno odvětví, do kterého se rozhodne vstoupit, to znamená, nejprve si v něm udělá reklamu a poté do něj vstoupí. Tabulka uvádí zisky jednotlivých investorů v jednotlivém odvětví v případě, že tam vstoupí sami či oba.

19 1.4. DVOUMATICOVÉ HRY HRY DVOU HRÁČŮ S NEKONSTANTNÍM SOUČTEM 19 zisk sami oba 1. investor 1. odvětví 9, odvětví odvětví investor 1. odvětví 8,9 5,5 2. odvětví odvětví 10 7 Řešení. Tuto hru můžeme zapsat více způsoby. Jedna možnost je zapsat ji pomocí dvou samostatných matic, kdy první matice vyjadřuje výplatu prvního hráče a druhá výplatu druhého hráče. Druhou možností je zapsat hru do jedné matice, kde na každé pozici budou dva prvky, první bude udávat výplatu prvního hráče a druhý výplatu druhého. Pro ilustraci uveďme obě možnosti. A = 1. odv. 2. odv. 3. odv. 1. odv. 2. odv. 3. odv. 6 9,5 9, , B= 1. odv. 2. odv. 3. odv. 1. odv. 2. odv. 3. odv. 5, , , odvětví 2. odvětví 3. odvětví 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví (6, 5,5) (9,5, 8) (9,5,10) (13, 8,9) (7,7) (13, 10) (12, 8,9) (12, 8) (8,7) Na tomto příkladu budeme ilustrovat hledání Nashova rovnovážného bodu. Ten se hledá následujícím způsobem: V matici, reprezentující výplaty hráče A, nalezneme ve sloupcích maxima a příslušné pozice si zaznamenáme. V matici B najdeme maxima v řádcích a příslušné pozice si také zaznamenáme. Zjistíme, zda existuje pozice, na které je zároveň maximum ve sloupci matice A a zároveň maximum v řádku matice B. Pokud taková či takové pozice existují, určují Nashův či Nashovy rovnovážné body. Vyznačme tedy v zadaném příkladu maxima ve sloupcích matice A a maxima v řádcích matice B. 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví (6, 5,5) (9,5, 8) (9,5, 10) (13, 8,9) (7,7) (13, 10) (12, 8,9) (12, 8) (8,7) Vidíme, že v tomto případě máme právě jeden rovnovážný bod, a to bod na pozici [2, 3].

20 20 KAPITOLA 1. TEORIE HER Existuje-li právě jeden rovnovážný bod (jako v tomto případě), potom nám tento bod udává optimální strategie hráčů. Neboli v tomto případě má první hráč investovat do 2. odvětví a druhý hráč do 3. odvětví. Pokud by od této strategie jeden z nich upustil a druhý ji dodržel, potom by si ten, kdo změnil strategii, pohoršil (viz matice zisků). Ovšem ne každá úloha má takto jednoduché řešení, ve skutečnosti mohou nastat ještě dvě jiné možnosti buď Nashův rovnovážný bod vůbec neexistuje nebo jich existuje více. V případě, že Nashův rovnovážný bod vůbec neexistuje, pak je možné úlohu řešit buď kooperací (viz dále) nebo pomocí metod rozhodování za nejistoty (viz příslušná kapitola). V případě existence více Nashových bodů rozlišujeme dvě situace rozlišujeme, zda existuje či neexistuje Nashův rovnovážný bod, který všechny ostatní Nashovy body dominuje. Definice 3. Předpokládejme úlohu, která má k Nashových rovnovážných bodů, kde k 2. Strategie, které určují tyto body označme ([i 1, j 1 ], [i 2, j 2 ],..., [i k, j k ]). Potom řekneme, že jeden z nich bod [i 0, j 0 ] je dominujícím Nashovým rovnovážným bodem, pokud platí a i0 > a il l = 1,..., k, i 0 i l b i0 > b il l = 1,..., k, i 0 i l. Pokud jeden z Nashových rovnovážných bodů ostatním dominuje, potom si hráči přirozeně vyberou tento a problém je vyřešen. Pokud tomu tak není, může se stát, že každý z hráčů zvolí jiný rovnovážný bod, čímž se dostanou do oboustranně nevýhodné situace. Příklad 5. Uvažujme obdobný příklad jako předchozí, jen pozměňme možné zisky jednotlivých investorů. V takovém případě je matice zisků následující. zisk sami oba 1. investor 1. odvětví 9, odvětví 9, odvětví investor 1. odvětví 8,9 5,5 2. odvětví odvětví odvětví 2. odvětví 3. odvětví 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví (6, 5,5) (9,5,11) (9,5,10) (9,8, 8,9) (6,6) (9,8, 10) (12, 8,9) (12, 11) (8,7) Vyznačme v zadaném příkladu opět maxima ve sloupcích matice A a maxima v řádcích matice B. 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví (6, 5,5) (9,5, 11) (9,5, 10) (9,8, 8,9) (6,6) (9,8, 10) (12, 8,9) (12, 11) (8,7) V tomto případě máme dva rovnovážné body, bod a 32 a a 23. Tentokrát máme štěstí, protože bod a 32 dominuje bod a 23, neboli pro oba investory je výhodnější zvolit bod a 32 než volit bod a 23. A tedy jejich rozhodnutí je zřejmé.

21 1.4. DVOUMATICOVÉ HRY HRY DVOU HRÁČŮ S NEKONSTANTNÍM SOUČTEM 21 Příklad 6. Opět uvažujme obdobný příklad, jen s jinými zisky jednotlivých investorů. Zapišme matici zisků. zisk sami oba 1. investor 1. odvětví 9, odvětví 9, odvětví investor 1. odvětví 8,9 5,5 2. odvětví odvětví odvětví 2. odvětví 3. odvětví 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví (6, 5,5) (9,5,9) (9,5,10) (9,8, 8,9) (6,6) (9,8, 10) (12, 8,9) (12, 9) (8,7) B. Vyznačme v zadaném příkladu maxima ve sloupcích matice A a maxima v řádcích matice 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví 1. odvětví 2. odvětví 3. odvětví (6, 5,5) (9,5, 9) (9,5, 10) (9,8, 8,9) (6,6) (9,8, 10) (12, 8,9) (12, 9) (8,7) Tentokrát máme dva rovnovážné body, bod a 32 a a 23, ovšem pro prvního hráče by byl výhodnější bod a 32 a pro druhého a 23. Tedy žádný z bodů není dominující. Pokud se první hráč rozhodne pro bod a 32 a druhý pro a 23, tedy první hráč zvolí investici do 3. odvětví a stejně tak druhý, dostanou se oba do nevýhodné situace, do bodu a 33 se zisky 8 a 7. Pokud by se oba rozhodli volit bod, který je výhodnější pro druhého z nich, potom by se dostali ještě do horší situace, oba by zvolili investici do 2. odvětví a dosáhli by zisku pouze po 6. V tomto případě nelze úlohu řešit přes Nashovy rovnovážné body a je nutné ji buď řešit kooperací, je-li to možné, nebo přes zaručené zisky Známé příklady nekooperativních her Vězňovo dilema. Uvažujme dva lidi ve vyšetřovací vazbě, kteří společně spáchali nějaký trestný čin. Oba vědí, že situace je následující. Pokud se ani jeden z nich nepřizná, potom se vyšetřovatelům nepodaří najít proti nim dostatek důkazů a budou odsouzeni každý k maximálně dvou letům vězení. V případě, že se jeden z nich přizná a druhý nikoliv, ten, co se přiznal, dostane pouze jeden rok, přiznání je polehčující okolnost a druhý dostane deset let. V případě, že se přiznají oba, dostanou po šesti letech. Jak se mají rozhodnout, přiznat, nepřiznat? Vězňovo dilema je model konfliktu, ve kterém obtížnost situace spočívá v tom, že oboustranně výhodné řešení existuje, ale je pro oba zúčastněné riskantní, neboť jednostranné porušení solidárního jednání vede k podstatné výhodě pro toho, kdo toto jednání porušil a k nevýhodě pro toho, kdo na oboustrannou solidárnost spoléhal. Matice této hry je následující.

22 22 KAPITOLA 1. TEORIE HER N P N (2, 2) (10, 1) P (1, 10) (6, 6) Nashův rovnovážný bod této hry existuje, je jím přiznání obou aktérů. (Připomeňme, že tentokrát se hráči snaží minimalizovat svůj pobyt za mřížemi, pro hledání sedlového bodu tedy používáme minima ve sloupcích první matice a minima v řádcích druhé matice.) Je ale vidět, že pokud by se vězni mohli domluvit nebo si věřit, potom by pro ně bylo výhodnější se nepřiznávat. Dalším typem konfliktu je tzv. manželský spor. Uvažujeme situaci, kdy se manželé rozhodují, jak stráví volné odpoledne. Muž by rád odpoledne strávil na sportovním stadiónu, kdežto žena by dala přednost kulturnímu odpoledni. Avšak oba chtějí trávit odpoledne společně. Vyjádřeno pomocí preferencí, žena by nejraději strávila kulturní odpoledne, ovšem pouze za předpokladu, že tam s ní bude i její muž. Další varianta v pořadí je pro ni strávení sportovního odpoledne s mužem a pokud by měla trávit odpoledne sama, nebude z toho mít žádný užitek. Podobně je na tom muž, nejraději by byl na sportovním stadiónu se svou ženou, potom by preferoval kulturní odpoledne se ženou a trávení odpoledne bez ženy by mu žádný užitek nepřineslo. Toto je typ konfliktu, kdy existuje více dvojic rovnovážných strategií, z nichž žádná není dominující. Matici tohoto sporu můžeme zapsat například následovně. K S K (2, 1) (0, 0) S (0, 0) (1,2) Tentokrát tedy existují dva Nashovy rovnovážné body, a to kombinace (K, K) a kombinace (S, S). Problémem tentokrát je, že žádný z těchto dvou bodů není dominující (pro ženu je výhodnější kombinace (K, K), ale pro muže (S, S)). V takovémto případě je problém, že pokud by se každý z hráčů rozhodl pro jiný rovnovážný bod, potom společně dojdou k řešení, které je oboustranně nevýhodné (například žena půjde za kulturou a bude totéž čekat od muže, ale ten půjde na stadión (a totéž čeká od ženy), tím se oba dostanou do situace, ze které ani jeden z nich nebude mít užitek). Další typ konfliktu nazveme prestiž. Uvažujme situaci inspirovanou filmem Rebel bez příčiny. Dva lidé jedou autem po cestě, která končí prudkým vysokým srázem do moře. Jedná se o to, který z nich první situaci nevydrží a z auta vyskočí, ten ztratí svou prestiž, druhý vyjde jako vítěz. Matici této hry můžeme napsat například následovně. (U ustoupit, N neustoupit) U N U (0, 0) (-5, 5) N (5, -5) (-100,-100) Předpokládáme, že ztráta prestiže je pro účastníky nepříjemná, ale stále příjemnější, než ztráta života, ke které by došlo, pokud by ani jeden z účastníků neustoupil. Každý z hráčů může buď ustoupit nebo neustoupit. Pokud oba hráči ustoupí, je výsledek neutrální, jednostranná ústupnost vede ke ztrátě prestiže toho, kdo ustoupil, oboustranná neústupnost vede ke krajně nepříznivým výsledkům u obou hráčů. Nashovy rovnovážné body jsou opět dva a žádný není dominující.